Математикийн хүлээлтэд итгэх итгэлийн интервал - энэ нь мэдэгдэж буй магадлал бүхий нийт хүн амын математикийн хүлээлтийг агуулсан өгөгдлөөс тооцсон интервал юм. Математикийн хүлээлтийн байгалийн тооцоо нь түүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундаж юм. Тиймээс бид хичээлийн туршид "дундаж" ба "дундаж үнэ цэнэ" гэсэн нэр томъёог ашиглах болно. Итгэлийн интервалыг тооцоолох асуудалд ихэвчлэн "дундаж тооны итгэлийн интервал [тодорхой бодлогын утга] нь [бага утга]-аас [илүү утга] хүртэл байна" гэх мэт хариултыг ихэвчлэн шаарддаг. Итгэлийн интервалыг ашиглан та зөвхөн дундаж утгыг төдийгүй нийт хүн амын тодорхой шинж чанарын эзлэх хувийг үнэлж болно. Хичээл дээр бид шинэ тодорхойлолт, томъёонд хүрэх дундаж утга, тархалт, стандарт хазайлт, алдааны талаар ярилцана. Түүвэр ба популяцийн шинж чанар .

Дундаж утгын цэг ба интервалын тооцоо

Хэрэв популяцийн дундаж утгыг тоогоор (цэгээр) тооцсон бол ажиглалтын түүврээс тооцоолсон тодорхой дундаж утгыг популяцийн үл мэдэгдэх дундаж утгыг тооцоолно. Энэ тохиолдолд түүврийн дундаж утга - санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь нийт хүн амын дундаж утгатай давхцахгүй. Тиймээс түүврийн дундаж утгыг зааж өгөхдөө түүврийн алдааг нэгэн зэрэг зааж өгөх ёстой. Түүвэрлэлтийн алдааны хэмжүүр нь дундажтай ижил нэгжээр илэрхийлэгдсэн стандарт алдаа юм. Тиймээс дараах тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг: .

Хэрэв дундаж үнэлгээг тодорхой магадлалтай холбох шаардлагатай бол популяцийн сонирхлын параметрийг нэг тоогоор биш, харин интервалаар үнэлэх ёстой. Итгэлийн интервал гэдэг нь тодорхой магадлал бүхий интервал юм Пхүн амын тооцоолсон үзүүлэлтийн утгыг олно. Энэ нь байж болох итгэлийн интервал П = 1 - α санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг олоод дараах байдлаар тооцоолно.

,

α = 1 - П, үүнийг статистикийн бараг бүх номын хавсралтаас олж болно.

Практикт популяцийн дундаж ба дисперс нь тодорхойгүй тул популяцийн дисперсийг түүврийн дисперсээр, олонлогийн дундажийг түүврийн дундажаар солино. Тиймээс ихэнх тохиолдолд итгэлийн интервалыг дараах байдлаар тооцдог.

.

Итгэлийн интервалын томъёог хэрэв хүн амын дундаж утгыг тооцоолоход ашиглаж болно

• хүн амын стандарт хазайлт мэдэгдэж байна;
• эсвэл хүн амын стандарт хазайлт тодорхойгүй боловч түүврийн хэмжээ 30-аас их байна.

Түүврийн дундаж нь хүн амын дунджийг бодитой бус тооцоолол юм. Хариуд нь түүврийн хэлбэлзэл популяцийн хэлбэлзлийн бодитой тооцоолол биш юм. Түүврийн дисперсийн томьёо дахь олонлогийн дисперсийн бодит үнэлгээг авахын тулд түүврийн хэмжээ n-ээр солих ёстой n-1.

Жишээ 1.Тодорхой хотын санамсаргүй түүврээр сонгогдсон 100 кафед ажиллагсдын дундаж тоо 4.6 стандарт хазайлттай 10.5 байна гэсэн мэдээллийг цуглуулсан. Кафены ажилчдын тоонд итгэх итгэлийн 95% интервалыг тодорхойл.

ач холбогдлын түвшний стандарт хэвийн тархалтын критик утга хаана байна α = 0,05 .

Тиймээс кафены ажилчдын дундаж тоо 95% -ийн итгэлцлийн интервал нь 9.6-11.4 хооронд хэлбэлзэж байна.

Жишээ 2. 64 ажиглалтын популяциас санамсаргүй түүврийн хувьд дараах нийт утгыг тооцоолсон.

ажиглалтын утгын нийлбэр,

дундаж утгуудын квадрат хазайлтын нийлбэр .

Математикийн хүлээлтэд 95% итгэх интервалыг тооцоол.

Стандарт хазайлтыг тооцоолъё:

,

Дундаж утгыг тооцоолъё:

.

Бид итгэлцлийн интервалын илэрхийлэлд утгуудыг орлуулна.

ач холбогдлын түвшний стандарт хэвийн тархалтын критик утга хаана байна α = 0,05 .

Бид авах:

Тиймээс энэ түүврийн математикийн хүлээлтийн 95%-ийн итгэлийн интервал 7.484-11.266 хооронд хэлбэлзэж байна.

Жишээ 3. 100 ажиглалтаас бүрдсэн санамсаргүй популяцийн түүврийн хувьд тооцоолсон дундаж нь 15.2, стандарт хазайлт нь 3.2 байна. Хүлээгдэж буй утгын хувьд 95%, дараа нь 99% итгэлийн интервалыг тооцоол. Хэрэв түүврийн хүч ба түүний хэлбэлзэл өөрчлөгдөөгүй бөгөөд итгэлцлийн коэффициент нэмэгдэх юм бол итгэлийн интервал нарийсч эсвэл өргөсөх үү?

Бид эдгээр утгыг итгэлцлийн интервалын илэрхийлэл болгон орлуулна.

ач холбогдлын түвшний стандарт хэвийн тархалтын критик утга хаана байна α = 0,05 .

Бид авах:

.

Иймээс энэ түүврийн дундаж утгын 95% итгэлийн интервал 14.57-15.82 хооронд хэлбэлзэж байна.

Бид эдгээр утгыг дахин итгэлийн интервалын илэрхийлэл болгон орлуулж байна:

ач холбогдлын түвшний стандарт хэвийн тархалтын критик утга хаана байна α = 0,01 .

Бид авах:

.

Иймээс энэ түүврийн дундаж утгын 99% итгэлийн интервал 14.37-16.02 хооронд хэлбэлзэж байна.

Бидний харж байгаагаар итгэлийн коэффициент нэмэгдэхийн хэрээр стандарт хэвийн тархалтын критик утга нэмэгдэж, улмаар интервалын эхлэл ба төгсгөлийн цэгүүд дунджаас хол байрлаж, улмаар математикийн хүлээлтэд итгэх итгэлийн интервал нэмэгддэг. .

Тодорхой таталцлын цэг ба интервалын тооцоо

Зарим түүврийн шинж чанаруудын эзлэх хувь нь хувьцааны цэгийн тооцоо гэж тайлбарлаж болно хнийт хүн амын дунд ижил шинж чанартай байдаг. Хэрэв энэ утгыг магадлалтай холбох шаардлагатай бол хувийн таталцлын итгэлцлийн интервалыг тооцоолох хэрэгтэй. хмагадлал бүхий популяцийн шинж чанар П = 1 - α :

.

Жишээ 4.Зарим хотод хоёр нэр дэвшигч байдаг АТэгээд Бхотын даргад нэр дэвшиж байна. Хотын 200 оршин суугчдаас санамсаргүй байдлаар санал асуулга явуулахад 46 хувь нь нэр дэвшигчийн төлөө саналаа өгнө гэж хариулжээ. А, 26% - нэр дэвшигчийн хувьд Б 28% нь хэнд санал өгөхөө мэдэхгүй байна. Нэр дэвшигчийг дэмжиж буй хотын оршин суугчдын хувийн жингийн 95 хувийн итгэлийн интервалыг тодорхойл А.

Энэ нийтлэлд томъёоны синтакс болон функцийн ашиглалтыг тайлбарласан болно ИТГЭЛ Microsoft Excel дээр.

Тодорхойлолт

Хэвийн тархсан популяцийн дундаж утгын итгэлийн интервалыг буцаана.

Итгэлийн интервал нь утгын хүрээ юм. Түүврийн дундаж x нь энэ мужын дунд цэг тул итгэлийн интервалыг x ± ИТГЭЛ гэж тодорхойлдог. Жишээлбэл, хэрэв х нь шуудангаар захиалсан барааг хүргэх хугацааны түүвэр дундаж бол хүн амын хүлээлт нь x ± ИТГЭЛИЙН интервалд байна. Энэ интервал дахь хүн амын хүлээлтийн μ0 утгын хувьд түүврийн дундаж нь μ0-ээс x-ээс их ялгаатай байх магадлал нь альфа ач холбогдлын түвшнээс давсан байна. Энэ интервалаас гадуур байгаа μ0 хүлээлтийн хувьд түүврийн дундаж нь μ0-ээс x-ээс их ялгаатай байх магадлал нь альфа ач холбогдлын түвшнээс хэтрэхгүй байна. Жишээлбэл, түүврийн дундаж х, нийт стандарт хазайлт, түүврийн хэмжээг харгалзан та хүлээгдэж буй утга нь μ0 гэсэн таамаглалыг шалгахын тулд альфа ач холбогдлын түвшинд хоёр түүврийн тест үүсгэхийг хүсч байна гэж бодъё. Энэ тохиолдолд μ0 итгэлийн интервалд хамаарах бол таамаглалыг үгүйсгэхгүй, μ0 нь түүнд хамаарахгүй бол үгүйсгэнэ. Итгэмжлэлийн интервал нь магадлалын дагуу (1 - альфа) дараагийн багцыг хүргэх хугацаа нь итгэлцлийн интервал дотор байх болно гэж үзэх боломжийг бидэнд олгодоггүй.

Чухал:Энэ функцийг илүү нарийвчлалтай болгож, зорилгыг нь илүү сайн тусгасан нэртэй нэг буюу хэд хэдэн шинэ функцээр сольсон. Хэдийгээр энэ функцийг хуучин нийцтэй болгоход ашигласаар байгаа ч Excel-ийн ирээдүйн хувилбаруудад ашиглах боломжгүй тул шинэ функцуудыг ашиглахыг зөвлөж байна.

Шинэ функцүүдийн талаар илүү ихийг мэдэхийг хүсвэл ИТГЭЛИЙН НОРМ функц болон ИТГЭЛИЙН ОЮУТНЫ функцийг үзнэ үү.

Синтакс

ИТГЭЛ(альфа, стандарт_унтраах, хэмжээ)

TRUST функцийн аргументуудыг доор тайлбарлав.

Альфа- шаардлагатай аргумент. Итгэлийн түвшинг тооцоолоход ашигласан ач холбогдлын түвшин. Итгэлийн түвшин нь 100*(1 - альфа) хувь буюу өөрөөр хэлбэл альфа утга 0.05 бол 95 хувийн итгэлийн түвшин юм.

Стандарт_унтраах- шаардлагатай аргумент. Хэд хэдэн өгөгдлийн популяцийн стандарт хазайлтыг мэддэг гэж үздэг.

Хэмжээ- шаардлагатай аргумент. Дээжийн хэмжээ.

Тэмдэглэл

Жишээ

Дараах хүснэгтээс жишээ өгөгдлийг хуулж, шинэ Excel ажлын хуудасны A1 нүдэнд буулгана уу. Томъёоны үр дүнг харуулахын тулд тэдгээрийг сонгоод F2, дараа нь Enter товчийг дарна уу. Шаардлагатай бол бүх өгөгдлийг харахын тулд баганын өргөнийг өөрчил.

Оюун ухаан нь зөвхөн мэдлэгээс гадна мэдлэгийг практикт ашиглах чадвараас бүрддэг. (Аристотель)

Итгэлийн интервалууд

Ерөнхий тойм

Популяциас түүвэр авснаар бид сонирхож буй параметрийн цэгийн тооцоог гаргаж, тооцооллын нарийвчлалыг харуулахын тулд стандарт алдааг тооцоолно.

Гэсэн хэдий ч ихэнх тохиолдолд стандарт алдаа нь хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй. Энэ нарийвчлалын хэмжүүрийг популяцийн параметрийн интервалын тооцоотой хослуулах нь илүү ашигтай байдаг.

Түүврийн статистикийн (параметр) магадлалын онолын тархалтын талаарх мэдлэгийг ашиглан параметрийн итгэлийн интервалыг (CI - Итгэлийн интервал, CI - Итгэлийн интервал) тооцоолох замаар үүнийг хийж болно.

Ерөнхийдөө итгэлцлийн интервал нь хоёр чиглэлд тооцооллыг стандарт алдааны тодорхой үржвэрээр (өгөгдсөн параметрийн) өргөтгөдөг; Интервалыг тодорхойлсон хоёр утгыг (итгэлийн хязгаар) ихэвчлэн таслалаар тусгаарлаж, хаалтанд бичдэг.

Дундаж утгын итгэлцлийн интервал

Хэвийн хуваарилалтыг ашиглах

Түүврийн хэмжээ их байвал түүврийн дундаж нь хэвийн тархалттай байдаг тул түүврийн дундажийг авч үзэхдээ хэвийн тархалтын талаарх мэдлэгийг ашиглах боломжтой.

Тодруулбал, түүврийн дундаж тархалтын 95% нь хүн амын дунджаас 1.96 стандарт хазайлт (SD) дотор байна.

Бидэнд зөвхөн нэг түүвэр байгаа тохиолдолд бид үүнийг дундажийн стандарт алдаа (SEM) гэж нэрлээд, дундаж утгын 95% итгэх интервалыг дараах байдлаар тооцоолно.

Хэрэв бид энэ туршилтыг хэд хэдэн удаа давтвал интервал нь тухайн үеийн 95%-д жинхэнэ популяцийг агуулна.

Ерөнхийдөө энэ нь итгэлцлийн интервал, тухайлбал, жинхэнэ популяцийн дундаж (ерөнхий дундаж) 95% -ийн итгэлцлийн магадлал бүхий утгын интервал юм.

Хэдийгээр итгэлцлийн интервалыг ингэж тайлбарлах нь тийм ч хатуу биш ч (хүн амын дундаж нь тогтмол утга учир үүнтэй холбогдох магадлал байж болохгүй) ойлголтын хувьд ойлгоход хялбар байдаг.

Хэрэглээ т-хуваарилалт

Хэрэв та популяцийн дисперсийн утгыг мэдэж байгаа бол хэвийн тархалтыг ашиглаж болно. Мөн түүврийн хэмжээ бага байх үед суурь популяцийн өгөгдөл хэвийн тархсан тохиолдолд түүврийн дундаж нь хэвийн тархалтыг дагаж мөрддөг.

Хэрэв хүн амын суурь өгөгдөл нь хэвийн тархаагүй ба/эсвэл ерөнхий дисперс (поплогийн хэлбэлзэл) тодорхойгүй бол түүврийн дундаж нь дагаж мөрддөг. Оюутны t хуваарилалт.

Нийт хүн амын дундах 95% итгэлийн интервалыг бид дараах байдлаар тооцоолно.

Хувийн цэг хаана байна (хувь) т- 0.05 гэсэн хоёр талын магадлалыг өгдөг (n-1) эрх чөлөөний зэрэгтэй оюутны t тархалт.

Ерөнхийдөө энэ нь хүн амын стандарт хазайлт ба/эсвэл түүврийн хэмжээ багатай тул нэмэлт тодорхойгүй байдлыг харгалзан үздэг тул хэвийн тархалтыг ашиглахаас илүү өргөн хүрээг хангадаг.

Түүврийн хэмжээ их байвал (100 ба түүнээс дээш дарааллаар) хоёр тархалтын ялгаа ( t-Оюутанба хэвийн) ач холбогдолгүй байна. Гэсэн хэдий ч тэд үргэлж ашигладаг т-түүврийн хэмжээ их байсан ч итгэлцлийн интервалыг тооцоолохдоо хуваарилалт.

Ихэвчлэн 95% CI гэж мэдээлдэг. Дундаж утгын 99% CI гэх мэт бусад итгэлийн интервалуудыг тооцоолж болно.

Стандарт алдаа болон хүснэгтийн утгын үржвэрийн оронд т- 0.05-ын хоёр талын магадлалтай тохирч буй тархалтыг (стандарт алдаа) 0.01-ийн хоёр талын магадлалд тохирох утгаараа үржүүлнэ. Энэ нь 95%-ийн итгэлцлийн интервалаас илүү өргөн итгэлийн интервал юм, учир нь энэ интервал нь хүн амын дундаж утгыг багтаасан гэсэн итгэл нэмэгдсэнийг харуулж байна.

Пропорцын итгэлийн интервал

Пропорцын түүврийн тархалт нь бином тархалттай байдаг. Гэсэн хэдий ч хэрэв дээжийн хэмжээ nболомжийн том бол пропорцын түүвэрлэлтийн тархалт дундажтай ойролцоогоор хэвийн байна.

Бид сонгомол хандлагаар үнэлдэг p=r/n(Хаана r- бидний сонирхож буй онцлог шинж чанартай түүвэр дэх хүмүүсийн тоо), стандарт алдааг тооцоолно.

Пропорцын 95% итгэлийн интервалыг тооцоолсон болно:

Хэрэв түүврийн хэмжээ бага бол (ихэвчлэн хэзээ n.p.эсвэл n(1-p)бага 5 ), тэгвэл итгэлийн интервалыг үнэн зөв тооцоолохын тулд бином тархалтыг ашиглах шаардлагатай.

гэдгийг анхаарна уу ххувиар илэрхийлсэн бол (1-p)-аар сольсон (100-p).

Итгэлийн интервалын тайлбар

Итгэлийн интервалыг тайлбарлахдаа бид дараах асуултуудыг сонирхож байна.

Итгэлийн интервал хэр өргөн бэ?

Өргөн итгэлийн интервал нь тооцоолол тодорхой бус байгааг илтгэнэ; нарийн нь үнэн зөв тооцоолол байгааг илтгэнэ.

Итгэмжлэх интервалын өргөн нь стандарт алдааны хэмжээнээс хамаардаг бөгөөд энэ нь эргээд түүврийн хэмжээнээс хамаардаг бөгөөд тоон хувьсагчийг авч үзэхэд өгөгдлийн хувьсах чанар нь цөөн тооны хувьсагчаас бүрдсэн том өгөгдлийн багц судалгаанаас илүү өргөн итгэлийн интервал үүсгэдэг. .

CI-д онцгой сонирхол татахуйц үнэ цэнийг тусгасан уу?

Та популяцийн параметрийн боломжит утга итгэлийн интервалд багтаж байгаа эсэхийг шалгаж болно. Хэрэв тийм бол үр дүн нь энэ магадлалтай утгатай нийцэж байна. Хэрэв тийм биш бол параметр нь ийм утгатай байх магадлал бага (95% -ийн итгэлийн интервалын хувьд магадлал бараг 5%).

Бусад нь бүгдээрээ түүвэр биш, харин нийт хүн амтай байсан бол олж авч болох онолын аналогийн тооцоо юм. Гэвч харамсалтай нь, нийт хүн ам нь маш үнэтэй бөгөөд ихэвчлэн хүртээмжгүй байдаг.

Интервалын тооцооны тухай ойлголт

Аливаа түүврийн тооцоо нь зарим тархалттай байдаг, учир нь тодорхой түүвэр дэх утгуудаас хамааран санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. Тиймээс илүү найдвартай статистик дүгнэлт гаргахын тулд та зөвхөн цэгийн тооцоог төдийгүй өндөр магадлалтай интервалыг мэдэх хэрэгтэй. γ (гамма) нь үнэлэгдсэн үзүүлэлтийг хамарна θ (тета).

Албан ёсоор эдгээр нь ийм хоёр утга юм (статистик) T 1 (X)Тэгээд T 2 (X), Юу Т 1< T 2 , өгөгдсөн магадлалын түвшинд γ нөхцөл хангагдсан:

Товчхондоо энэ нь магадгүй юм γ эсвэл түүнээс дээш бодит үзүүлэлт нь цэгүүдийн хооронд байна T 1 (X)Тэгээд T 2 (X), тэдгээрийг доод ба дээд хязгаар гэж нэрлэдэг итгэлийн интервал.

Итгэлийн интервалыг бий болгох нөхцлүүдийн нэг нь түүний хамгийн их нарийссан байдал юм. аль болох богино байх ёстой. Хүсэл нь үнэхээр байгалийн юм, учир нь ... судлаач хүссэн параметрийн байршлыг илүү нарийвчлалтай тогтоохыг хичээдэг.

Үүнээс үзэхэд итгэлцлийн интервал нь тархалтын хамгийн их магадлалыг хамрах ёстой. мөн үнэлгээ нь өөрөө төвд байх ёстой.

Өөрөөр хэлбэл, дээшээ хазайх магадлал (үнээлсэн бодит үзүүлэлт) нь доошоо хазайх магадлалтай тэнцүү байна. Мөн тэгш бус хуваарилалтын хувьд баруун талын интервал нь зүүн талын интервалтай тэнцүү биш гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Дээрх зураг нь өөртөө итгэх магадлал их байх тусам интервал илүү өргөн болохыг харуулж байна - шууд харилцаа.

Энэ нь үл мэдэгдэх параметрүүдийн интервалын үнэлгээний онолын товч танилцуулга байв. Математикийн хүлээлтэд итгэх итгэлийн хязгаарыг олох руу шилжье.

Математикийн хүлээлтэд итгэх итгэлийн интервал

Хэрэв анхны өгөгдөл дээр тархсан бол дундаж нь хэвийн утга байх болно. Энэ нь ердийн утгуудын шугаман хослол нь хэвийн тархалттай байдаг гэсэн дүрмээс харагдаж байна. Тиймээс магадлалыг тооцоолохын тулд ердийн тархалтын хуулийн математик аппаратыг ашиглаж болно.

Гэхдээ энэ нь ихэвчлэн үл мэдэгдэх хүлээлт ба хэлбэлзэл гэсэн хоёр параметрийг мэдэх шаардлагатай болно. Мэдээжийн хэрэг та параметрийн оронд тооцооллыг ашиглаж болно (арифметик дундаж ба ), гэхдээ дараа нь дундажийн тархалт бүхэлдээ хэвийн биш, доошоо бага зэрэг хавтгайрсан байх болно. Энэ баримтыг Ирландын иргэн Уильям Госсет 1908 оны 3-р сарын "Biometrica" ​​сэтгүүлийн дугаарт нийтлэхдээ ухаалаг тэмдэглэжээ. Нууцлалын үүднээс Госсет өөрийгөө Оюутан гэж гарын үсэг зурсан. Оюутны t хуваарилалт ингэж гарч ирсэн.

Гэсэн хэдий ч К.Гаусын одон орны ажиглалтын алдааг шинжлэхэд ашигласан өгөгдлийн хэвийн тархалт нь дэлхийн амьдралд маш ховор тохиолддог бөгөөд үүнийг тогтооход нэлээд хэцүү байдаг (өндөр нарийвчлалтай байхын тулд 2 мянга орчим ажиглалт шаардлагатай). Тиймээс хэвийн байдлын таамаглалаас татгалзаж, анхны өгөгдлийн тархалтаас үл хамаарах аргуудыг ашиглах нь зүйтэй.

Асуулт гарч ирнэ: хэрэв энэ нь үл мэдэгдэх тархалтын өгөгдлөөс тооцоолсон бол арифметик дундаж нь ямар тархалттай байх вэ? Хариултыг магадлалын онолд сайн мэддэг хүмүүс өгдөг Төвийн хязгаарын теорем(CPT). Математикийн хувьд түүний хэд хэдэн хувилбар байдаг (томьёо нь олон жилийн туршид боловсронгуй болсон) боловч тэдгээр нь бүгдээрээ, барагцаагаар хэлбэл, олон тооны бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр нь ердийн тархалтын хуульд захирагддаг гэсэн мэдэгдэлд хүргэдэг.

Арифметик дундажийг тооцоолохдоо санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийг ашиглана. Эндээс харахад арифметик дундаж нь хэвийн тархалттай байх ба үүнд хүлээлт нь анхны өгөгдлийн хүлээлт, дисперс нь .

Ухаалаг хүмүүс CLT-ийг хэрхэн батлахаа мэддэг ч бид Excel дээр хийсэн туршилтын тусламжтайгаар үүнийг шалгах болно. 50 жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний түүврийг загварчилж үзье (Excel-ийн RANDBETWEEN функцийг ашиглан). Дараа нь бид 1000 ийм дээж хийж, тус бүрийн арифметик дундажийг тооцоолно. Тэдний тархалтыг харцгаая.

Дундажын тархалт хэвийн хуультай ойролцоо байгаа нь харагдаж байна. Хэрэв түүврийн хэмжээ, тоог илүү том болговол ижил төстэй байдал нь илүү дээр байх болно.

Одоо бид CLT-ийн хүчинтэй байдлыг нүдээрээ харсан тул өгөгдсөн магадлал бүхий бодит дундаж буюу математикийн хүлээлтийг хамарсан арифметик дундажийн итгэлийн интервалыг ашиглан тооцоолж болно.

Дээд ба доод хязгаарыг тогтоохын тулд та хэвийн тархалтын параметрүүдийг мэдэх хэрэгтэй. Дүрмээр бол ийм зүйл байхгүй тул тооцооллыг ашигладаг. арифметик дундажТэгээд түүврийн зөрүү. Би давтан хэлье, энэ арга нь зөвхөн том дээжээр сайн ойролцооллыг өгдөг. Дээж бага байх үед Оюутны хуваарилалтыг ашиглахыг зөвлөж байна. Битгий итгэ! Дундаж утгын Оюутны тархалт нь анхны өгөгдөл хэвийн тархсан үед л тохиолддог, өөрөөр хэлбэл бараг хэзээ ч байхгүй. Тиймээс шаардлагатай өгөгдлийн хэмжээг нэн даруй тогтоож, асимптотын зөв аргуудыг ашиглах нь дээр. Тэд 30 ажиглалт хангалттай гэж хэлдэг. 50-г аваарай - та алдаа гаргахгүй.

T 1.2– итгэлийн интервалын доод ба дээд хязгаар

– арифметик дундаж жишээ

s 0- дээжийн стандарт хазайлт (хязгааргүй)

n - дээжийн хэмжээ

γ - итгэх магадлал (ихэвчлэн 0.9, 0.95 эсвэл 0.99-тэй тэнцүү)

c γ =Φ -1 ((1+γ)/2)– стандарт хэвийн тархалтын функцийн урвуу утга. Энгийнээр хэлбэл, энэ нь арифметик дунджаас доод буюу дээд хязгаар хүртэлх стандарт алдааны тоо юм (эдгээр гурван магадлал нь 1.64, 1.96, 2.58 гэсэн утгатай).

Томъёоны мөн чанар нь арифметик дунджийг аваад дараа нь тодорхой хэмжээг хасдаг ( γ-тэй) стандарт алдаа ( s 0 /√n). Бүх зүйл мэдэгдэж байгаа, үүнийг авч, бодож үзээрэй.

Хувийн компьютерийг өргөнөөр ашиглахаас өмнө ердийн тархалтын функц ба түүний урвуу утгыг олж авдаг байв. Тэдгээрийг өнөөг хүртэл ашигласаар байгаа ч бэлэн Excel томъёог ашиглах нь илүү үр дүнтэй байдаг. Дээрх ( , ба ) томъёоны бүх элементүүдийг Excel дээр хялбархан тооцоолж болно. Гэхдээ итгэлцлийн интервалыг тооцоолох бэлэн томъёо байдаг - ИТГЭЛ.НОРМ. Түүний синтакс нь дараах байдалтай байна.

ИТГЭЛ.НОРМ(альфа;стандарт_унтраах;хэмжээ)

альфа– дээр дурдсан тэмдэглэгээнд 1- γ-тэй тэнцэх ач холбогдлын түвшин буюу итгэлийн түвшин, өөрөөр хэлбэл. Математикийн магадлалхүлээлт итгэлийн интервалаас гадуур байх болно. Итгэлийн түвшин 0.95, альфа нь 0.05 гэх мэт.

стандарт_унтраах– түүврийн өгөгдлийн стандарт хазайлт. Стандарт алдааг тооцоолох шаардлагагүй, Excel өөрөө n-ийн язгуурт хуваагдана.

хэмжээ– түүврийн хэмжээ (n).

ИТГЭЛИЙН NORM функцийн үр дүн нь итгэлцлийн интервалыг тооцоолох томъёоны хоёр дахь гишүүн юм, i.e. хагас интервал Үүний дагуу доод ба дээд цэгүүд нь дундаж ± олж авсан утга юм.

Тиймээс арифметик дундажийн итгэлцлийн интервалыг тооцоолох бүх нийтийн алгоритмыг бүтээх боломжтой бөгөөд энэ нь анхны өгөгдлийн тархалтаас хамаардаггүй. Нийтлэг байдлын үнэ нь түүний асимптотик шинж чанар юм, өөрөөр хэлбэл. харьцангуй том дээж ашиглах хэрэгцээ. Гэсэн хэдий ч орчин үеийн технологийн эрин үед шаардлагатай хэмжээний өгөгдлийг цуглуулах нь ихэвчлэн хэцүү биш юм.

Итгэлийн интервал ашиглан статистик таамаглалыг шалгах

(модуль 111)

Статистикийн хувьд шийдэгддэг гол асуудлын нэг бол . Үүний мөн чанар нь товчхондоо дараах байдалтай байна. Жишээлбэл, нийт хүн амын хүлээлт ямар нэгэн утгатай тэнцүү байна гэсэн таамаглал дэвшүүлсэн. Дараа нь өгөгдсөн хүлээлтэд ажиглагдаж болох түүврийн хэрэгслийн хуваарилалтыг байгуулна. Дараа нь тэд энэ нөхцөлт хуваарилалтын бодит дундаж хаана байрлаж байгааг хардаг. Хэрэв энэ нь зөвшөөрөгдөх хэмжээнээс давсан бол ийм дундаж үзүүлэлт гарах магадлал маш бага бөгөөд туршилтыг нэг удаа давтах нь бараг боломжгүй бөгөөд энэ нь дэвшүүлсэн таамаглалтай зөрчилдөж, амжилттай няцаагдсан байна. Хэрэв дундаж нь эгзэгтэй түвшнээс хэтрээгүй бол таамаглалыг үгүйсгэхгүй (гэхдээ бас нотлогдоогүй!).

Тиймээс итгэлийн интервалын тусламжтайгаар бидний хувьд хүлээлтийн хувьд та зарим таамаглалыг шалгаж болно. Үүнийг хийхэд маш хялбар. Тодорхой түүврийн арифметик дундаж нь 100-тай тэнцүү гэж бодъё. Хүлээгдэж буй утга нь 90 гэсэн таамаглалыг шалгана. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид асуултыг анхдагч байдлаар тавивал энэ нь иймэрхүү сонсогддог: энэ нь байж болох уу? дундаж утга нь 90-тэй тэнцүү бол ажиглагдсан дундаж нь 100 болсон уу?

Энэ асуултад хариулахын тулд танд стандарт хазайлт, түүврийн хэмжээ зэрэг мэдээлэл хэрэгтэй болно. Стандарт хазайлтыг 30, ажиглалтын тоог 64 (үндэсийг хялбархан гаргаж авах) гэж үзье. Дараа нь дундажийн стандарт алдаа нь 30/8 буюу 3.75 байна. 95% -ийн итгэлцлийн интервалыг тооцоолохын тулд та дундаж тал бүрт хоёр стандарт алдаа нэмэх шаардлагатай (илүү нарийвчлалтай, 1.96). Итгэлийн интервал нь ойролцоогоор 100±7.5 буюу 92.5-аас 107.5 хүртэл байх болно.

Цаашдын үндэслэл дараах байдалтай байна. Хэрэв шалгаж буй утга нь итгэлцлийн интервалд багтаж байвал энэ нь таамаглалтай зөрчилдөхгүй, учир нь санамсаргүй хэлбэлзлийн хязгаарт (95% магадлалтай) багтдаг. Хэрэв шалгаж буй цэг нь итгэлцлийн интервалаас гадуур байвал ийм үйл явдлын магадлал маш бага, ямар ч тохиолдолд зөвшөөрөгдөх хэмжээнээс доогуур байна. Энэ нь таамаглал нь ажиглагдсан өгөгдөлтэй зөрчилдөж байна гэсэн үг юм. Манай тохиолдолд хүлээгдэж буй утгын талаархи таамаглал нь итгэлцлийн интервалаас гадуур байгаа (шинжилсэн 90-ийн утга нь 100±7.5 интервалд ороогүй) тул үүнийг үгүйсгэх хэрэгтэй. Дээрх энгийн асуултанд хариулахдаа үүнийг хэлэх хэрэгтэй: үгүй, энэ нь боломжгүй, ямар ч тохиолдолд энэ нь маш ховор тохиолддог. Ихэнхдээ тэд таамаглалыг (p-түвшин) буруугаар няцаах тодорхой магадлалыг заадаг бөгөөд итгэлцлийн интервалыг бий болгосон тодорхой түвшинг бус харин өөр үед илүү ихийг илэрхийлдэг.

Таны харж байгаагаар дундаж (эсвэл математикийн хүлээлт)-ийн итгэлцлийн интервалыг бий болгох нь тийм ч хэцүү биш юм. Гол нь мөн чанарыг нь ойлгох хэрэгтэй, тэгвэл бүх зүйл цаашаа явна. Практикт ихэнх тохиолдолд 95% итгэлийн интервалыг ашигладаг бөгөөд энэ нь дундаж утгын хоёр талд ойролцоогоор хоёр стандарт алдаатай байдаг.

Одоохондоо ийм л байна. Хамгийн сайн сайхныг хүсье!

Итгэлийн интервал

Итгэлийн интервал- түүврийн хэмжээ бага үед илүү тохиромжтой байдаг статистик үзүүлэлтүүдийн интервал (цэгээс ялгаатай) үнэлгээнд математик статистикт хэрэглэгддэг нэр томъёо. Найдвартай байдлын интервал нь тодорхойгүй параметрийг өгөгдсөн найдвартайгаар хамардаг интервал юм.

Итгэлийн интервалын аргыг Английн статистикч Рональд Фишерийн санаан дээр үндэслэн Америкийн статистикч Жерзи Нейман боловсруулсан.

Тодорхойлолт

Параметрийн итгэлцлийн интервал θ санамсаргүй хувьсагчийн тархалт Xитгэлийн түвшин 100 p%, дээжээр үүсгэгдсэн ( x 1 ,…,x n), хил хязгаартай интервал гэж нэрлэдэг ( x 1 ,…,x n) ба ( x 1 ,…,x n) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн бодит байдал юм Л(X 1 ,…,X n) ба У(X 1 ,…,X n), ийм байна

Итгэлийн интервалын хилийн цэгүүдийг нэрлэнэ итгэлийн хязгаар.

Итгэлийн интервалын зөн совин дээр суурилсан тайлбар нь: хэрэв хтом бол (0.95 эсвэл 0.99 гэж хэлье), тэгвэл итгэлийн интервал нь жинхэнэ утгыг агуулна. θ .

Итгэлийн интервалын тухай ойлголтын өөр нэг тайлбар: үүнийг параметрийн утгын интервал гэж үзэж болно θ туршилтын өгөгдөлтэй нийцэж байгаа бөгөөд тэдгээртэй зөрчилдөхгүй.

Жишээ

• Хэвийн түүврийн математикийн хүлээлтийн итгэлийн интервал;
• Түүврийн хэвийн дисперсийн итгэлцлийн интервал.

Байесийн итгэлийн интервал

Байесийн статистикт итгэлцлийн интервалын тодорхойлолт нь ижил төстэй боловч зарим гол нарийн ширийн зүйлд ялгаатай байдаг. Энд тооцоолсон параметрийг өөрөө санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж үздэг бөгөөд өмнөх тархалттай (хамгийн энгийн тохиолдолд, жигд) түүвэр нь тогтмол байдаг (сонгодог статистикт бүх зүйл яг эсрэгээрээ байдаг). Байесийн итгэлийн интервал нь дараах магадлал бүхий параметрийн утгыг хамарсан интервал юм.

Ерөнхийдөө сонгодог болон Байезийн итгэлийн интервалууд өөр өөр байдаг. Англи хэл дээрх уран зохиолд Байесийн итгэлийн интервалыг ихэвчлэн нэр томъёо гэж нэрлэдэг найдвартай интервал, мөн сонгодог нь - итгэлийн интервал.

Тэмдэглэл

Викимедиа сан.

• 2010 он.
• Хүүхдүүд (кино)

Колоничлогч

Итгэлийн интервалБусад толь бичгүүдэд "Итгэлийн интервал" гэж юу болохыг харна уу. - өгөгдсөн магадлалаар (итгэлтэй) тооцоолсон тархалтын параметрийн үл мэдэгдэх үнэн утгыг хамарсан түүврийн өгөгдлөөс тооцсон интервал. Эх сурвалж: ГОСТ 20522 96: Хөрс. Үр дүнг статистик боловсруулах арга...

Норматив, техникийн баримт бичгийн нэр томъёоны толь бичиг-лавлах номитгэлийн интервал - популяцийн скаляр параметрийн хувьд энэ нь энэ параметрийг агуулсан сегмент юм. Энэ хэллэг нь нэмэлт тайлбаргүйгээр утгагүй юм. Итгэлийн интервалын хил хязгаарыг түүврээс тооцдог тул ... ... болох нь зүйн хэрэг.

Социологийн статистикийн толь бичигИТГЭЛИЙН ИНТЕРВАЛ - цэгийн тооцооноос ялгаатай параметрүүдийг тооцоолох арга. Жишээ нь x1, . . ., f(x, α) магадлалын нягттай тархалтаас xn ба a*=a*(x1, . . ., xn) тооцоолол α, g(a*, α) магадлалын нягтын тооцоо. Бид хайж байна ......

Социологийн статистикийн толь бичигГеологийн нэвтэрхий толь бичиг - (итгэлийн интервал) Түүвэр судалгааны үндсэн дээр олж авсан олонлогийн параметрийн утгын найдвартай байдал нь тодорхой хэмжээний магадлал, жишээ нь 95% байх интервал бөгөөд энэ нь түүвэр өөрөөс шалтгаална. Өргөн……

Норматив, техникийн баримт бичгийн нэр томъёоны толь бичиг-лавлах номЭдийн засгийн толь бичиг - – өгөгдсөн итгэлийн магадлалаар тодорхойлогдсон хэмжигдэхүүний жинхэнэ утгыг байрлах интервал юм. Ерөнхий хими: сурах бичиг / A. V. Жолнин ...

Химийн нэр томъёоИтгэлийн интервал CI Генетик. Нэвтэрхий толь бичиг

Социологийн статистикийн толь бичиг- статистик үзүүлэлтийг тооцоолоход үүсдэг ойлголт. утгын интервалаар хуваарилалт. D. ба. q параметрийн хувьд энэ коэффициенттэй харгалзах. итгэлцэл P нь ийм интервалтай (q1, q2) тэнцүү бөгөөд тэгш бус байдлын магадлалын тархалтын хувьд... ... Физик нэвтэрхий толь бичиг

Норматив, техникийн баримт бичгийн нэр томъёоны толь бичиг-лавлах ном- - Харилцаа холбооны сэдвүүд, үндсэн ойлголтууд EN итгэлцлийн интервал ... Техникийн орчуулагчийн гарын авлага

Норматив, техникийн баримт бичгийн нэр томъёоны толь бичиг-лавлах ном- pasikliovimo intervalas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultato vertė. attikmenys: англи хэл. итгэлийн интервал vok. Vertrauensbereich, m rus.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

Норматив, техникийн баримт бичгийн нэр томъёоны толь бичиг-лавлах ном- pasikliovimo intervalas statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultatų vertė. attikmenys: англи хэл. итгэлийн интервал орос. итгэлцлийн бүс; итгэлийн интервал ... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas