Нэгжийн тойрог дээр цэгүүдийг тэмдэглэв. Нэгж тойрог дээрх цэгүүдийг хэрхэн санах вэ

Ахиллес яст мэлхийгээс арав дахин хурдан гүйж, түүнээс мянган алхмын ард байна гэж бодъё. Ахиллес энэ зайд гүйхэд шаардагдах хугацаанд яст мэлхий нэг чиглэлд зуун алхам мөлхөх болно. Ахиллес зуун алхам гүйхэд яст мэлхий дахиад арван алхам мөлхдөг гэх мэт. Энэ үйл явц эцэс төгсгөлгүй үргэлжлэх бөгөөд Ахиллес яст мэлхийг хэзээ ч гүйцэхгүй.

Энэ үндэслэл нь дараагийн бүх үеийнхний хувьд логик цочрол болсон. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Тэд бүгд нэг талаараа Зеногийн апориа гэж үзсэн. Цочрол маш хүчтэй байсан тул " ... өнөөдрийг хүртэл хэлэлцүүлэг үргэлжилж байна, шинжлэх ухааны нийгэмлэг парадоксуудын мөн чанарын талаар нэгдсэн саналд хүрч чадаагүй байна ... асуудлыг судлахад математикийн шинжилгээ, олонлогын онол, шинэ физик, философийн хандлагыг оролцуулсан; ; Тэдгээрийн аль нь ч асуудлыг шийдэх нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн шийдэл болсонгүй ..."[Википедиа, "Зеногийн апориа". Хүн бүр хууртагдаж байгааг ойлгодог, гэхдээ хууран мэхлэлт юунаас бүрддэгийг хэн ч ойлгодоггүй.

Математикийн үүднээс авч үзвэл, Зено өөрийн апориадаа хэмжигдэхүүнээс -д шилжихийг тодорхой харуулсан. Энэ шилжилт нь байнгын бус хэрэглээг илэрхийлдэг. Миний ойлгож байгаагаар хувьсах хэмжлийн нэгжийг ашиглах математикийн аппарат хараахан боловсруулагдаагүй эсвэл Зеногийн апорид ашиглагдаагүй байна. Ердийн логикоо ашиглах нь биднийг урхинд оруулдаг. Бид сэтгэхүйн инерцийн улмаас цаг хугацааны тогтмол нэгжийг харилцан хамааралтай үнэ цэнэд ашигладаг. Физик талаас нь харвал энэ нь Ахиллес яст мэлхийг гүйцэх тэр мөчид бүрэн зогстол цаг удааширч байгаа мэт харагдаж байна. Хэрэв цаг хугацаа зогсвол Ахиллес яст мэлхийг гүйцэж чадахгүй.

Хэрэв бид ердийн логикоо эргүүлбэл бүх зүйл байрандаа орно. Ахиллес тогтмол хурдтайгаар гүйдэг. Түүний замын дараагийн хэсэг бүр өмнөхөөсөө арав дахин богино байна. Үүний дагуу үүнийг даван туулахад зарцуулсан хугацаа өмнөхөөсөө арав дахин бага байна. Хэрэв бид энэ нөхцөлд "хязгааргүй" гэсэн ойлголтыг ашиглавал "Ахиллес яст мэлхийг хязгааргүй хурдан гүйцэх болно" гэж хэлэх нь зөв байх болно.

Энэ логик урхинаас хэрхэн зайлсхийх вэ? Цагийн тогтмол нэгжид үлдэж, харилцан адилгүй нэгж рүү бүү шилжинэ. Зеногийн хэлээр энэ нь дараах байдалтай байна.

Ахиллес мянган алхам гүйхэд яст мэлхий нэг зүгт зуун алхам мөлхөх болно. Эхнийхтэй тэнцэх дараагийн хугацааны интервалд Ахиллес дахиад мянган алхам гүйж, яст мэлхий зуун алхам мөлхөх болно. Одоо Ахиллес яст мэлхийнээс найман зуун алхмын өмнө байна.

Энэ хандлага нь бодит байдлыг ямар ч логик парадоксгүйгээр хангалттай дүрсэлдэг. Гэхдээ энэ нь асуудлыг шийдэх бүрэн шийдэл биш юм. Эйнштейний гэрлийн хурдыг үл тоомсорлодог тухай мэдэгдэл нь Зеногийн "Ахиллес ба яст мэлхий" апориатай тун төстэй юм. Бид энэ асуудлыг судалж, дахин бодож, шийдвэрлэх шаардлагатай хэвээр байна. Мөн шийдлийг хязгааргүй олон тоогоор бус хэмжилтийн нэгжээр хайх ёстой.

Зеногийн өөр нэг сонирхолтой апориа нь нисдэг сумны тухай өгүүлдэг.

Нисдэг сум цаг мөч бүрт амарч, цаг мөч бүрт амарч байдаг тул хөдөлгөөнгүй байдаг.

Энэ апорид логик парадоксыг маш энгийнээр даван туулдаг - цаг мөч бүрт нисдэг сум сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдэд амарч байгаа бөгөөд энэ нь үнэндээ хөдөлгөөн юм гэдгийг тодруулахад хангалттай. Энд бас нэг зүйлийг анхаарах хэрэгтэй. Зам дээрх машины нэг гэрэл зургаас түүний хөдөлгөөний баримт, түүнд хүрэх зайг тодорхойлох боломжгүй юм. Машин хөдөлж байгаа эсэхийг тодорхойлохын тулд цаг хугацааны өөр өөр цэгээс нэг цэгээс авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй боловч тэдгээрийн хоорондох зайг тодорхойлж чадахгүй. Машин хүртэлх зайг тодорхойлохын тулд танд сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдээс авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй, гэхдээ тэдгээрээс та хөдөлгөөний баримтыг тодорхойлж чадахгүй (мэдээжийн хэрэг, танд тооцоололд нэмэлт мэдээлэл хэрэгтэй, тригонометр танд туслах болно. ). Миний онцгой анхаарал хандуулахыг хүсч байгаа зүйл бол цаг хугацааны хоёр цэг, орон зайн хоёр цэг нь судалгаа хийх өөр өөр боломжийг олгодог тул андуурч болохгүй өөр зүйл юм.

2018 оны 7-р сарын 4, Лхагва гараг

Багц ба олон багцын ялгааг Википедиа дээр маш сайн дүрсэлсэн байдаг. Харцгаая.

Таны харж байгаагаар "ижил олонлогт хоёр ижил элемент байх боломжгүй" боловч хэрэв олонлогт ижил элементүүд байгаа бол ийм олонлогийг "олон олонлог" гэж нэрлэдэг. Ухаантай хүмүүс ийм утгагүй логикийг хэзээ ч ойлгохгүй. Энэ бол "бүрэн" гэдэг үгнээс оюун ухаангүй ярьдаг тоть, сургасан сармагчингийн түвшин юм. Математикчид энгийн сургагч багшийн үүрэг гүйцэтгэж, утгагүй санаагаа бидэнд номлодог.

Эрт урьд цагт гүүрийг барьсан инженерүүд гүүрний туршилт хийж байхдаа гүүрэн доор завинд сууж байжээ. Хэрэв гүүр нурсан бол дунд зэргийн инженер өөрийн бүтээлийн нуранги дор нас баржээ. Хэрвээ гүүр ачааллыг даах чадвартай бол авъяаслаг инженер бусад гүүрүүдийг барьсан.

Математикчид “намайг бод, би гэртээ байна” гэх, эс тэгвээс “математик хийсвэр ойлголтуудыг судалдаг” гэсэн хэллэгийн ард яаж нуугдаж байсан ч тэдгээрийг бодит байдалтай салшгүй холбодог хүйн ​​зангилаа байдаг. Энэ хүйн ​​бол мөнгө. Математик олонлогын онолыг математикчдад өөрсдөө хэрэгжүүлцгээе.

Бид математикийн хичээлийг маш сайн сурсан, одоо цалингаа өгөөд кассанд сууж байна. Тэгэхээр нэг математикч мөнгөө авахаар манайд ирдэг. Бид түүнд бүх дүнг тоолж, өөр өөр овоолго хэлбэрээр ширээн дээр тавьж, ижил мөнгөн дэвсгэртийг оруулав. Дараа нь бид овоо бүрээс нэг дэвсгэрт авч, математикчдаа түүний "математикийн цалин" -ыг өгнө. Ижил элементгүй олонлог нь ижил элементтэй олонлогтой тэнцүү биш гэдгийг нотлох үед л үлдсэн үнэт цаасыг хүлээн авах болно гэдгийг математикчд тайлбарлая. Эндээс л зугаа цэнгэл эхэлдэг.

Юуны өмнө, депутатуудын логик ажиллах болно: "Үүнийг бусдад хэрэглэж болно, гэхдээ надад биш!" Дараа нь тэд ижил мөнгөн дэвсгэртүүд өөр өөр үнэт цаасны дугаартай байдаг тул тэдгээрийг ижил элемент гэж үзэх боломжгүй гэж биднийг тайвшруулж эхэлнэ. За, цалингаа зоосоор тоолъё - зоосон дээр ямар ч тоо байхгүй. Энд математикч физикийн тухай дурсан санаж эхэлнэ: янз бүрийн зоосон мөнгө өөр өөр хэмжээтэй, атомын талст бүтэц, зохион байгуулалт нь зоос бүрийн хувьд өвөрмөц байдаг ...

Одоо надад хамгийн сонирхолтой асуулт байна: олон багцын элементүүд олонлогийн элементүүд болон эсрэгээр хувирах шугам хаана байна вэ? Ийм шугам байхгүй - бүх зүйлийг бөө нар шийддэг, шинжлэх ухаан энд хэвтэхэд ойрхон ч биш юм.

Энд хар. Бид ижил талбайтай хөлбөмбөгийн цэнгэлдэхүүдийг сонгодог. Талбайн талбайнууд ижил байна - энэ нь бид олон багцтай гэсэн үг юм. Гэхдээ эдгээр ижил цэнгэлдэх хүрээлэнгүүдийн нэрийг харвал нэр нь өөр учраас олон гарч ирнэ. Таны харж байгаагаар ижил элементүүдийн багц нь олонлог ба олон багц юм. Аль нь зөв бэ? Тэгээд энд математикч-бөө-хурц хүн ханцуйнаасаа бүрээ гаргаж ирээд багц эсвэл олон багцын тухай ярьж эхлэв. Ямар ч байсан тэр бидний зөв гэдэгт итгүүлэх болно.

Орчин үеийн бөө нар олонлогийн онолыг бодит байдалтай уялдуулан хэрхэн ажилладагийг ойлгохын тулд нэг олонлогийн элементүүд нөгөө олонлогийн элементүүдээс юугаараа ялгаатай вэ гэсэн нэг асуултад хариулахад хангалттай. Би та нарт "нэг бүхэл бүтэн биш гэж төсөөлж болохуйц" эсвэл "ганц бүхэлдээ төсөөлшгүй" зүйлгүйгээр харуулах болно.

2018 оны 3-р сарын 18, Ням гараг

Тооны цифрүүдийн нийлбэр гэдэг нь математикт огт хамааралгүй бөөгийн хэнгэрэгтэй бүжиг юм. Тийм ээ, математикийн хичээл дээр бид тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олж, түүнийгээ ашиглахыг заадаг, гэхдээ тэд бөө учраас үр хойчдоо ур чадвар, мэргэн ухааныг зааж сургах, эс бөгөөс бөө нар зүгээр л үхэх болно.

Танд нотлох баримт хэрэгтэй байна уу? Википедиа нээгээд "Тооны цифрүүдийн нийлбэр" гэсэн хуудсыг хайж олоод үзээрэй. Тэр байхгүй. Аливаа тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олох томьёо математикт байдаггүй. Эцсийн эцэст тоо бол бидний тоо бичдэг график тэмдэг бөгөөд математикийн хэлээр даалгавар нь иймэрхүү сонсогддог: "Аливаа тоог илэрхийлэх график тэмдгийн нийлбэрийг ол." Математикчид энэ асуудлыг шийдэж чадахгүй ч бөө нар амархан шийдэж чадна.

Өгөгдсөн тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олохын тулд юу хийж, яаж хийхийг олж мэдье. Ингээд 12345 тоотой болцгооё. Энэ тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олохын тулд юу хийх хэрэгтэй вэ? Бүх алхамуудыг дарааллаар нь авч үзье.

1. Цаасан дээр тоог бич. Бид юу хийсэн бэ? Бид энэ тоог график тооны тэмдэг болгон хөрвүүлсэн. Энэ бол математикийн үйлдэл биш юм.

2. Үүссэн нэг зургийг хэд хэдэн зураг болгон хайчилж, бие даасан тоонуудыг агуулна. Зургийг тайрах нь математикийн үйлдэл биш юм.

3. График тэмдэгтүүдийг тоо болгон хувиргах. Энэ бол математикийн үйлдэл биш юм.

4. Үүссэн тоонуудыг нэмнэ. Одоо энэ бол математик.

12345 тооны цифрүүдийн нийлбэр нь 15. Математикчдын хэрэглэдэг бөө нараас авсан “зүсэх, оёх дамжаа” юм. Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм.

Математикийн үүднээс авч үзвэл ямар тооны системд тоо бичих нь хамаагүй. Тиймээс өөр өөр тооны системд ижил тооны цифрүүдийн нийлбэр өөр өөр байх болно. Математикийн хувьд тооны системийг тухайн тооны баруун талд байрлах доод тэмдэгтээр заадаг. 12345 гэсэн том тоогоор би толгойгоо хуурахыг хүсэхгүй байна, нийтлэлээс 26 дугаарыг авч үзье. Энэ тоог хоёртын, наймтын, аравтын, арван зургаатын тооллын системд бичье. Бид алхам бүрийг микроскопоор харахгүй. Үр дүнг харцгаая.

Таны харж байгаагаар янз бүрийн тооны системд ижил тооны цифрүүдийн нийлбэр өөр өөр байдаг. Энэ үр дүн нь математиктай ямар ч холбоогүй юм. Хэрэв та тэгш өнцөгтийн талбайг метр, сантиметрээр тодорхойлсон бол огт өөр үр дүн гарахтай адил юм.

Тэг нь бүх тооны системд адилхан харагддаг бөгөөд цифрүүдийн нийлбэр байдаггүй. Энэ бол үүнийг батлах өөр нэг үндэслэл юм. Математикчдад зориулсан асуулт: математикт тоо биш зүйлийг яаж тодорхойлдог вэ? Математикчдын хувьд тооноос өөр юу ч байхгүй гэж үү? Би үүнийг бөө нарт зөвшөөрч болох ч эрдэмтдэд зөвшөөрөөгүй. Бодит байдал зөвхөн тоон дээр тогтдоггүй.

Хүлээн авсан үр дүнг тооллын систем нь тоонуудын хэмжүүрийн нэгж гэдгийг нотлох баримт гэж үзэх ёстой. Эцсийн эцэст бид өөр өөр хэмжүүр бүхий тоонуудыг харьцуулж болохгүй. Хэрэв ижил хэмжигдэхүүнийг хэмжих өөр өөр нэгжтэй ижил үйлдэл нь тэдгээрийг харьцуулсны дараа өөр өөр үр дүнд хүргэдэг бол энэ нь математиктай ямар ч холбоогүй болно.

Жинхэнэ математик гэж юу вэ? Энэ нь математикийн үйлдлийн үр дүн нь тоон хэмжээ, ашигласан хэмжүүрийн нэгж, энэ үйлдлийг хэн гүйцэтгэж байгаагаас хамаарахгүй байх үед юм.

Өө! Энэ эмэгтэйчүүдийн бие засах газар биш гэж үү?
- Залуу эмэгтэй! Энэ бол сүнснүүдийг тэнгэрт өргөгдсөнийхөө ариун байдлыг судлах лаборатори юм! Дээрээс нь гал болон дээш сум. Өөр ямар бие засах газар вэ?

Эмэгтэй... Дээд талын гэрэлт цагираг, доош сум нь эрэгтэй.

Хэрэв дизайны урлагийн ийм бүтээл таны нүдний өмнө өдөрт хэд хэдэн удаа анивчдаг бол

Дараа нь та машиндаа гэнэт хачин дүрсийг олж хараад гайхах зүйл алга.

Би хувьдаа баас хийж буй хүнд хасах дөрвөн градусыг харахыг хичээдэг (нэг зураг) (хэд хэдэн зургийн найрлага: хасах тэмдэг, дөрөв, градусын тэмдэглэгээ). Би энэ охиныг физик мэдэхгүй тэнэг гэж бодохгүй байна. Тэр зүгээр л график дүрсийг мэдрэх хүчтэй хэвшмэл ойлголттой. Үүнийг математикчид бидэнд байнга заадаг. Энд нэг жишээ байна.

1А нь "хасах дөрвөн градус" эсвэл "нэг а" биш юм. Энэ нь "баасан хүн" буюу арван зургаатын тооллын "хорин зургаа" гэсэн тоо юм. Энэ тооны системд байнга ажилладаг хүмүүс тоо, үсгийг нэг график тэмдэг болгон автоматаар хүлээн авдаг.

Та тооны тойргийн талаар аль хэдийн уншиж, түүнийг яагаад тооны тойрог гэж нэрлэдэг, координатын гарал үүсэл түүн дээр байгаа, аль тал нь эерэг чиглэл болохыг мэдсэн байх гэж найдаж байна. Үгүй бол гүй! Мэдээжийн хэрэг та тооны тойрог дээр оноо олохгүй бол.

Бид \(2π\), \(π\), \(\frac(π)(2)\), \(-\frac(π)(2)\), \(\frac(3π) гэсэн тоонуудыг тэмдэглэдэг. (2)\)

Тооны тойргийн радиус нь \(1\) гэдгийг өмнөх нийтлэлээс мэдэж байгаа. Энэ нь тойрог нь \(2π\)-тай тэнцүү байна гэсэн үг (\(l=2πR\) томъёогоор тооцоолсон). Үүнийг харгалзан бид тооны тойрог дээр \(2π\) тэмдэглэнэ. Энэ тоог тэмдэглэхийн тулд бид тооны тойргийн дагуу \(0\) -аас явах хэрэгтэй бөгөөд энэ зай нь эерэг чиглэлд \(2π\) -тэй тэнцүү байх ба тойргийн урт нь \(2π\) тул Бид бүрэн хувьсгал хийх болно. Өөрөөр хэлбэл \(2π\) ба \(0\) тоо нь ижил цэгтэй тохирч байна. Санаа зоволтгүй, нэг цэгийн олон утга нь тооны тойрогт хэвийн байна.

Одоо тооны тойрог дээрх \(π\) тоог тэмдэглэе. \(π\) нь \(2π\)-ийн тал юм. Тиймээс энэ тоо болон харгалзах цэгийг тэмдэглэхийн тулд та \(0\) цэгээс эерэг чиглэлд хагас тойрог явах хэрэгтэй.

Цэгийг тэмдэглэе \(\frac(π)(2)\) . \(\frac(π)(2)\) нь \(π\-ийн тэн хагас нь) тул энэ тоог тэмдэглэхийн тулд \(0\) цэгээс эерэг чиглэлд \(-ийн хагастай тэнцэх зайд явах хэрэгтэй. π\), энэ нь дөрөвний тойрог юм.

Тойрог дээрх цэгүүдийг тэмдэглэе \(-\)\(\frac(π)(2)\) . Бид өнгөрсөн үеийнхтэй ижил зайд, гэхдээ сөрөг чиглэлд шилждэг.

\(-π\) тавья. Үүнийг хийхийн тулд бид сөрөг чиглэлд хагас тойрогтой тэнцүү зайд алхах болно.

Одоо илүү төвөгтэй жишээг харцгаая. Тойрог дээр \(\frac(3π)(2)\) тоог тэмдэглэе. Үүнийг хийхийн тулд бид \(\frac(3)(2)\) бутархайг \(\frac(3)(2)\) \(=1\)\(\frac(1)(2)\ болгон хөрвүүлнэ. ), өөрөөр хэлбэл e. \(\frac(3π)(2)\) \(=π+\)\(\frac(π)(2)\) . Энэ нь та \(0\) цэгээс эерэг чиглэлд хагас тойрог, өөр дөрөвний нэг зайд явах хэрэгтэй гэсэн үг юм.

Даалгавар 1. Тооны тойрог дээр \(-2π\),\(-\)\(\frac(3π)(2)\) цэгүүдийг тэмдэглэ.

Бид \(\frac(π)(4)\), \(\frac(π)(3)\), \(\frac(π)(6)\) ,\(\frac(7π) тоонуудыг тэмдэглэнэ. (6 )\), \(-\frac(4π)(3)\), \(\frac(7π)(4)\)

Дээрээс бид тоон тойргийн \(x\) ба \(y\) тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийн утгуудыг олсон. Одоо завсрын цэгүүдийн байрлалыг тодорхойлъё. Эхлээд \(\frac(π)(4)\) , \(\frac(π)(3)\) ба \(\frac(π)(6)\) цэгүүдийг зуръя.
\(\frac(π)(4)\) нь \(\frac(π)(2)\)-ын тал нь (өөрөөр хэлбэл \(\frac(π)(4)\) \(=\)\ ( \frac(π)(2)\) \(:2)\) , тэгэхээр \(\frac(π)(4)\) нь дөрөвний нэг тойрог байна.

\(\frac(π)(4)\) нь \(π\)-ийн гуравны нэг (өөрөөр хэлбэл \(\frac(π)(3)\) \(=π:3\)), тиймээс зай \ (\frac(π)(3)\) нь хагас тойргийн гуравны нэг юм.

\(\frac(π)(6)\) нь \(\frac(π)(3)\)-ийн хагас нь (эцэст нь \(\frac(π)(6)\) \(=\)\( \frac (π)(3)\) \(:2\)) тиймээс \(\frac(π)(6)\) зай нь \(\frac(π)(3)\) зайны тал юм.

Тэд бие биентэйгээ харьцуулахад ийм байдлаар байрладаг.

Сэтгэгдэл:\(0\), \(\frac(π)(2)\) ,\(π\), \(\frac(3π)(2)\) , \(\frac(π) утгатай цэгүүдийн байршил ( 4)\) , \(\frac(π)(3)\) , \(\frac(π)(6)\) зүгээр л санаж байх нь дээр. Тэдгээргүйгээр тооны тойрог нь мониторгүй компьютер шиг ашигтай зүйл мэт боловч хэрэглэхэд туйлын тохиромжгүй юм.

Одоо тойрог дээрх цэгийг тэмдэглэе \(\frac(7π)(6)\) , үүний тулд бид дараах хувиргалтыг хийнэ: \(\frac(7π)(6)\) \(=\)\(\ frac(6π + π )(6)\) \(=\)\(\frac(6π)(6)\) \(+\)\(\frac(π)(6)\) \(=π+ \)\(\ frac(π)(6)\) . Эндээс бид тэгээс эерэг чиглэлд \(π\), дараа нь өөр \(\frac(π)(6)\) зайг туулах хэрэгтэйг харж болно.

Тойрог дээрх \(-\)\(\frac(4π)(3)\) цэгийг тэмдэглэ. Хувиргах: \(-\)\(\frac(4π)(3)\) \(=-\)\(\frac(3π)(3)\) \(-\)\(\frac(π)( 3)\) \(=-π-\)\(\frac(π)(3)\) . Энэ нь \(0\)-аас та сөрөг чиглэлд \(π\) зай, мөн \(\frac(π)(3)\) явах хэрэгтэй гэсэн үг юм.

\(\frac(7π)(4)\) цэгийг зуръя, үүний тулд бид \(\frac(7π)(4)\) \(=\)\(\frac(8π-π)(4) хувиргана. )\) \ (=\)\(\frac(8π)(4)\) \(-\)\(\frac(π)(4)\) \(=2π-\)\(\frac(π) )(4) \) . Энэ нь \(\frac(7π)(4)\) утгатай цэгийг байрлуулахын тулд \(2π\) утгатай цэгээс сөрөг тал руу \(\) зайд шилжих шаардлагатай гэсэн үг юм. frac(π)(4)\) .

Даалгавар 2. \(-\)\(\frac(π)(6)\) ,\(-\)\(\frac(π)(4)\) ,\(-\)\(\frac) цэгүүдийг тэмдэглэ. тооны тойрог (π)(3)\) ,\(\frac(5π)(4)\) ,\(-\)\(\frac(7π)(6)\) ,\(\frac(11π) (6) \) , \(\frac(2π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(3π)(4)\) .

Бид \(10π\), \(-3π\), \(\frac(7π)(2)\) ,\(\frac(16π)(3)\), \(-\frac(21π) тоонуудыг тэмдэглэдэг. )( 2)\), \(-\frac(29π)(6)\)

\(10π\) гэж \(5 \cdot 2π\) хэлбэрээр бичье. \(2π\) нь тойргийн урттай тэнцүү зай гэдгийг бид санаж байгаа тул \(10π\) цэгийг тэмдэглэхийн тулд та тэгээс \(5\) тойрогтой тэнцэх зай хүртэл явах хэрэгтэй. Бид дахин \(0\) цэг дээр ирнэ гэдгийг таахад хэцүү биш, зүгээр л таван эргэлт хий.

Энэ жишээнээс бид дүгнэж болно:

\(n∈Z\) (өөрөөр хэлбэл \(n\) нь дурын бүхэл тоо) гэсэн \(2πn\) зөрүүтэй тоонууд ижил цэгт тохирно.

Өөрөөр хэлбэл, \(2π\)-аас их (эсвэл \(-2π\)-ээс бага) тоо тавихын тулд түүнээс тэгш тоо \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) хийгээд хая. Тиймээс бид цэгийн байрлалд нөлөөлөхгүй тооноос "хоосон хувьсгал" -ыг хасах болно.

Өөр нэг дүгнэлт:

\(0\) харгалзах цэг нь бүх тэгш хэмжигдэхүүнтэй тохирч байна \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).

Одоо тойрогт \(-3π\) хэрэглэнэ. \(-3π=-π-2π\), энэ нь \(-3π\) ба \(–π\) тойрог дээрх нэг газар байна (учир нь \(-2π-д "хоосон эргэлт"-ээр ялгаатай. \)).

Дашрамд хэлэхэд бүх сондгой \(π\) тэнд бас байх болно.

\(π\) харгалзах цэг нь \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…) бүх сондгой хэмжигдэхүүнтэй тохирч байна.

Одоо \(\frac(7π)(2)\) тоог тэмдэглэе. Бид ердийнхөөрөө: \(\frac(7π)(2)\) \(=\)\(\frac(6π)(2)\) \(+\)\(\frac(π)(2) \ ) \(=3π+\)\(\frac(π)(2)\) \(=2π+π+\)\(\frac(π)(2)\) . Бид хоёр пи-г хаясан бөгөөд \(\frac(7π)(2)\) тоог тодорхойлохын тулд та тэгээс эерэг чиглэлд \(π+\)\(\) -тэй тэнцэх зай руу явах хэрэгтэй болж байна. frac(π)(2)\ ) (жишээ нь хагас тойрог, өөр дөрөвний нэг).

Сургуульд тригонометрийн хичээлийг судлахдаа сурагч бүр "тооны тойрог" гэсэн маш сонирхолтой ойлголттой тулгардаг. Сурагч хожим нь тригонометрийг хэр сайн сурах нь сургуулийн багшийн энэ нь юу болох, яагаад хэрэгтэйг тайлбарлах чадвараас хамаарна. Харамсалтай нь багш бүр энэ материалыг тодорхой тайлбарлаж чаддаггүй. Үүнээс болж олон оюутан хэрхэн тэмдэглэхээ мэдэхгүй эргэлзэж байна тооны тойрог дээрх цэгүүд. Хэрэв та энэ өгүүллийг эцэс хүртэл уншвал ямар ч асуудалгүйгээр үүнийг хэрхэн хийхийг сурах болно.

Ингээд эхэлцгээе. Радиус нь 1 тойрог зуръя. Энэ тойргийн “хамгийн баруун” цэгийг үсгээр тэмдэглэе. О:

Баяр хүргэе, та дөнгөж сая нэгж тойрог зурлаа. Энэ тойргийн радиус 1 тул урт нь .

Бодит тоо бүрийг цэгээс эхлэн тооны тойргийн дагуух траекторийн урттай холбож болно О. Эерэг чиглэлийг цагийн зүүний эсрэг хөдөлгөөний чиглэл гэж авна. Сөрөг тохиолдолд - цагийн зүүний дагуу:

Тооны тойрог дээрх цэгүүдийн байршил

Өмнө дурьдсанчлан, тооны тойргийн урт (нэгж тойрог) нь -тэй тэнцүү байна. Тэгвэл энэ тойрог дээрх дугаар хаана байх вэ? Мэдээжийн хэрэг, цэгээс Оцагийн зүүний эсрэг бид тойргийн уртыг хагасаар явах хэрэгтэй бөгөөд бид хүссэн цэг дээрээ өөрсдийгөө олох болно. Үүнийг үсгээр тэмдэглэе Б:

Хагас тойрог замаар сөрөг чиглэлд алхвал ижил цэгт хүрч болохыг анхаарна уу. Дараа нь бид тоог нэгжийн тойрог дээр зурна. Өөрөөр хэлбэл, тоонууд нь ижил цэгтэй тохирч байна.

Түүгээр ч зогсохгүй энэ цэг нь , , , тоонуудтай тохирч, ерөнхийдөө , хэлбэрээр бичиж болох хязгааргүй тооны олонлогтой тохирч байна, өөрөөр хэлбэл бүхэл тооны олонлогт хамаарна. Энэ бүх учир нь цэгээс БТа ямар ч чиглэлд "дэлхийг тойрон" аялж (тойрог нэмэх, хасах) ижил цэгт хүрч болно. Та ойлгож, санаж байх хэрэгтэй чухал дүгнэлтийг бид олж авлаа.

Тоо бүр нь тооны тойргийн нэг цэгтэй тохирч байна. Гэхдээ тооны тойргийн цэг бүр нь хязгааргүй тооны тоотой тохирч байна.

Одоо тооны тойргийн дээд хагас тойргийг цэгээр тэнцүү урттай нумуудад хуваацгаая C. Нумын уртыг харахад хялбар байдаг О.Ч.-тэй тэнцүү. Одоо гол зүйлээ хойшлуулъя Cцагийн зүүний эсрэг чиглэлд ижил урттай нум. Үүний үр дүнд бид зорилгодоо хүрэх болно Б. Үр дүн нь нэлээд хүлээгдэж буй тул . Энэ нумыг дахин нэг чиглэлд тавья, гэхдээ одоо цэгээс Б. Үүний үр дүнд бид зорилгодоо хүрэх болно Д, аль хэдийн дугаартай тохирч байх болно:

Энэ цэг нь зөвхөн тоонд төдийгүй, жишээлбэл, тоотой тохирч байгааг дахин анхаарна уу, учир нь энэ цэгээс холдох замаар хүрч болно. Оцагийн зүүний дагуу дөрөвний тойрог (сөрөг чиглэл).

Ерөнхийдөө энэ цэг нь хэлбэрээр бичиж болох хязгааргүй олон тоотой тохирч байгааг бид дахин тэмдэглэж байна. . Гэхдээ тэдгээрийг мөн хэлбэрээр бичиж болно. Эсвэл хэрэв хүсвэл . Эдгээр бүх бүртгэл нь туйлын тэнцүү бөгөөд тэдгээрийг бие биенээсээ авч болно.

Одоо нумыг хувааж үзье О.Ч.хагас цэг М. Одоо нумын урт хэд болохыг олж мэдээрэй ОМ? Энэ нь зөв, нумын хагас нь О.Ч.. Энэ нь . Цэг нь ямар тоотой тохирч байна вэ? Мтооны тойрог дээр? Одоо та эдгээр тоонуудыг гэж бичиж болно гэдгийг ойлгох болно гэдэгт итгэлтэй байна.

Гэхдээ үүнийг өөрөөр хийж болно. Авцгаая. Дараа нь бид үүнийг авдаг . Өөрөөр хэлбэл, эдгээр тоог маягтаар бичиж болно . Тооны тойргийг ашиглан ижил үр дүнг авч болно. Би аль хэдийн хэлсэнчлэн, хоёр бүртгэл нь тэнцүү бөгөөд тэдгээрийг бие биенээсээ авч болно.

Одоо та оноо тохирох тоонуудын жишээг хялбархан өгч болно Н, ПТэгээд Ктооны тойрог дээр. Жишээлбэл, тоонууд болон:

Ихэнхдээ тооны тойрог дээрх харгалзах цэгүүдийг тодорхойлохын тулд хамгийн бага эерэг тоонуудыг авдаг. Хэдийгээр энэ нь огт шаардлагагүй боловч хугацаа Н, та бүхний мэдэж байгаачлан, бусад тоонуудын хязгааргүй тоотой тохирч байна. Жишээлбэл, тоо орно.

Хэрэв та нумыг эвдвэл О.Ч.цэгүүдтэй тэнцүү гурван нум болгон СТэгээд Л, тэгэхээр энэ бол гол зүйл юм Сцэгүүдийн хооронд байх болно ОТэгээд Л, дараа нь нумын урт OSба нумын урттай тэнцүү байх болно OL-тэй тэнцүү байх болно. Хичээлийн өмнөх хэсэгт олж авсан мэдлэгээ ашигласнаар тоон тойрог дээрх үлдсэн цэгүүд хэрхэн гарч ирснийг хялбархан олж мэдэх боломжтой.

Тооны тойрог дээрх π-ийн үржвэр биш тоо

Одоо өөрөөсөө асуулт асууя: 1-ийн тоонд тохирох цэгийг тоон шулуун дээр хаана тэмдэглэх вэ? Үүнийг хийхийн тулд та нэгж тойргийн хамгийн "баруун" цэгээс эхлэх хэрэгтэй Оурт нь 1-тэй тэнцүү байх нумыг зур. Бид зөвхөн хүссэн цэгийн байршлыг ойролцоогоор зааж өгч чадна. Дараах байдлаар үргэлжлүүлье.

Координатууд xтойрог дээр байрлах цэгүүд нь cos(θ) ба координатуудтай тэнцүү байна y sin(θ)-д харгалзах бөгөөд энд θ нь өнцгийн хэмжээ юм.

• Хэрэв та энэ дүрмийг санахад хэцүү байвал (cos; sin) хосын хувьд "синус хамгийн сүүлд ирдэг" гэдгийг санаарай.
• Энэ дүрмийг тэгш өнцөгт гурвалжнууд болон эдгээр тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтыг (өнцгийн синус нь эсрэг талын уртын харьцаа, зэргэлдээ талын косинусыг гипотенузтай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү) харгалзан гаргаж авч болно.

Хэрэв та нэгжийн тооны тойргийг координатын хавтгайд байрлуулбал түүний цэгүүдийн координатыг олох боломжтой. Тооны тойрог нь түүний төв нь онгоцны гарал үүсэл, өөрөөр хэлбэл О (0; 0) цэгтэй давхцахаар байрладаг.

Ихэвчлэн нэгжийн дугаарын тойрог дээр тойргийн гарал үүсэлтэй тохирох цэгүүдийг тэмдэглэдэг

• дөрөвний нэг - 0 эсвэл 2π, π/2, π, (2π)/3,
• дунд хэсэг - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• дөрөвний гуравны нэг - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Координатын хавтгай дээр нэгж тойргийн дээрх байрлалтай бол тойргийн эдгээр цэгүүдэд тохирох координатуудыг олж болно.

Улирлын төгсгөлийн координатыг олоход маш хялбар байдаг. Тойргийн 0 цэг дээр х координат 1, у координат 0 байна. Бид үүнийг A (0) = A (1; 0) гэж тэмдэглэж болно.

Эхний улирлын төгсгөл нь эерэг y тэнхлэгт байрлана. Тиймээс B (π/2) = B (0; 1).

Хоёрдугаар улирлын төгсгөл нь сөрөг хагас тэнхлэг дээр байна: C (π) = C (-1; 0).

Гуравдугаар улирлын төгсгөл: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Гэхдээ улирлын дундын цэгүүдийн координатыг хэрхэн олох вэ? Үүнийг хийхийн тулд тэгш өнцөгт гурвалжин байгуул. Түүний гипотенуз нь тойргийн төвөөс (эсвэл гарал үүсэл) улирлын тойргийн дунд цэг хүртэлх сегмент юм. Энэ бол тойргийн радиус юм. Тойрог нь нэгж учраас гипотенуз нь 1-тэй тэнцүү байна.Дараа нь тойрог дээрх цэгээс дурын тэнхлэгт перпендикуляр зур. Үүнийг x тэнхлэг рүү чиглүүл. Үр дүн нь тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд түүний хөлийн урт нь тойрог дээрх цэгийн х ба у координат юм.

Дөрөвний тойрог нь 90º байна. Мөн дөрөвний хагас нь 45º байна. Гипотенузыг квадрантын дунд цэг рүү татсан тул гарал үүслийн эхнээс гарч буй гипотенуз ба хөлийн хоорондох өнцөг 45º байна. Гэхдээ аливаа гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь 180º байна. Үүний үр дүнд гипотенуз ба нөгөө хөлийн хоорондох өнцөг нь 45º хэвээр байна. Үүний үр дүнд тэгш өнцөгт гурвалжин үүснэ.

Пифагорын теоремоос бид x 2 + y 2 = 1 2 тэгшитгэлийг олж авна. x = y ба 1 2 = 1 тул тэгшитгэл х 2 + x 2 = 1 болж хялбарчлагдана. Үүнийг шийдэж x = √½ = 1/√2 = √2/2 болно.

Тиймээс цэгийн координатууд M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

Бусад хэсгийн дунд цэгүүдийн цэгүүдийн координатуудад зөвхөн тэмдгүүд өөрчлөгдөж, утгын модулиуд ижил хэвээр байх болно, учир нь зөв гурвалжинг зөвхөн эргүүлэх болно. Бид авах:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
М 4 ((7π)/4) = М 4 (√2/2; -√2/2)

Тойргийн дөрөвний гурав дахь хэсгийн координатыг тодорхойлохдоо тэгш өнцөгт гурвалжинг бас байгуулдаг. Хэрэв бид π/6 цэгийг аваад x тэнхлэгт перпендикуляр зурвал гипотенуз ба х тэнхлэг дээр хэвтэж буй хөлийн хоорондох өнцөг 30º болно. 30º өнцгийн эсрэг байрлах хөл нь гипотенузын хагастай тэнцүү гэдгийг мэддэг. Энэ нь бид y координатыг олсон гэсэн үг бөгөөд энэ нь ½-тэй тэнцүү байна.

Гипотенуз ба нэг хөлийн уртыг мэдэж, Пифагорын теоремыг ашиглан бид нөгөө хөлийг олно.
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

Тиймээс T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

Эхний улирлын хоёр дахь гуравны нэг (π/3) цэгийн хувьд y тэнхлэгт тэнхлэгт перпендикуляр зурах нь дээр. Дараа нь эхлэл дээрх өнцөг нь мөн 30º болно. Энд x координат нь ½, y-тэй тэнцүү байх болно, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Гуравдугаар улирлын бусад цэгүүдийн хувьд координатын утгын тэмдэг, дараалал өөрчлөгдөнө. X тэнхлэгт ойр байгаа бүх цэгүүд нь √3/2-тэй тэнцүү модуль x координатын утгатай байна. Y тэнхлэгт ойр байгаа цэгүүд нь √3/2-тэй тэнцүү y модулийн утгатай байна.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)