Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Эхлээд хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх томъёог санацгаая.
- $sinx=a$
- $cosx=a$
- $tgx=a$
- $ctgx=a$
Энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх.
Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд эхлээд харгалзах тэгшитгэлийг шийдэж, дараа нь тригонометрийн тойрог ашиглан тэгш бус байдлын шийдийг олох хэрэгтэй. Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлын шийдлүүдийг жишээн дээр авч үзье.
Жишээ 1
$sinx\ge \frac(1)(2)$
$sinx=\frac(1)(2)$ тригонометрийн тэгш бус байдлын шийдийг олцгооё.
\ \
Зураг 1. $sinx\ge \frac(1)(2)$ тэгш бус байдлын шийдэл.
Тэгш бус байдал нь "илүү их буюу тэнцүү" тэмдэгтэй тул шийдэл нь тойргийн дээд нуман дээр байрладаг (тэгшитгэлийн шийдэлтэй харьцуулахад).
Хариулт: $\left[\frac(\pi )(6)+2\pi n,\frac(5\pi )(6)+2\pi n\right]$.
Жишээ 2
$cosx=\frac(\sqrt(3))(2)$ тригонометрийн тэгш бус байдлын шийдийг олцгооё.
\ \
Тригонометрийн тойрог дээр шийдлийг тэмдэглэе
Тэгш бус байдал нь "бага" тэмдэгтэй тул шийдэл нь зүүн талд байрлах тойргийн нуман дээр байрладаг (тэгшитгэлийн шийдэлтэй харьцуулахад).
Хариулт: $\left(\frac(\pi )(6)+2\pi n,\frac(11\pi )(6)+2\pi n\right)$.
Жишээ 3
$tgx\le \frac(\sqrt(3))(3)$
$tgx=\frac(\sqrt(3))(3)$ тригонометрийн тэгш бус байдлын шийдийг олцгооё.
\ \
Энд бас тодорхойлолтын домэйн хэрэгтэй. Бидний санаж байгаагаар Z$ дахь шүргэгч функц $x\ne \frac(\pi )(2)+\pi n,n\
Тригонометрийн тойрог дээр шийдлийг тэмдэглэе
Зураг 3. $tgx\le \frac(\sqrt(3))(3)$ тэгш бус байдлын шийдэл.
Тэгш бус байдал нь "бага буюу тэнцүү" гэсэн тэмдэгтэй тул шийдэл нь 3-р зурагт цэнхэрээр тэмдэглэгдсэн дугуй нумууд дээр байрладаг.
Хариулт:$\ \left(-\frac(\pi )(2)+2\pi n\баруун.,\зүүн.\frac(\pi )(6)+2\pi n\баруун]\аяга \зүүн (\frac(\pi )(2)+2\pi n,\баруун.\зүүн.\frac(7\pi )(6)+2\pi n\баруун]$
Жишээ 4
$ctgx=\sqrt(3)$ тригонометрийн тэгш бус байдлын шийдийг олцгооё.
\ \
Энд бас тодорхойлолтын домэйн хэрэгтэй. Бидний санаж байгаагаар Z$ дахь тангенсийн функц $x\ne \pi n,n\
Тригонометрийн тойрог дээр шийдлийг тэмдэглэе
Зураг 4. $ctgx\le \sqrt(3)$ тэгш бус байдлын шийдэл.
Тэгш бус байдал нь "илүү" тэмдэгтэй тул шийдэл нь 4-р зурагт цэнхэрээр тэмдэглэгдсэн дугуй нуман дээр байрладаг.
Хариулт:$\ \left(2\pi n,\frac(\pi )(6)+2\pi n\right)\аяга \left(\pi +2\pi n,\frac(7\pi )( 6)+2\pi n\баруун)$
“Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх” алгебрийн төсөл Гүйцэтгэсэн 10 “Б” ангийн сурагч Казачкова Юлия Удирдагч: математикийн багш Кочакова Н.Н.
Зорилго "Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь" сэдвээр материалыг нэгтгэж, оюутнуудад удахгүй болох шалгалтанд бэлтгэх сануулга бий болгох.
Зорилго: Энэ сэдвээрх материалыг нэгтгэн дүгнэх. Хүлээн авсан мэдээллийг системчлэх. Улсын нэгдсэн шалгалтанд энэ сэдвийг авч үзье.
Хамааралтай байдал Миний сонгосон сэдвийн хамаарал нь "Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх" сэдвийн даалгавруудыг Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаварт багтаасан явдал юм.
Тригонометрийн тэгш бус байдал Тэгш бус байдал нь хоёр тоо буюу илэрхийллийг дараах тэмдгүүдийн аль нэгээр нь холбосон хамаарлыг хэлнэ: (илүү их); ≥ (илүү их эсвэл тэнцүү). Тригонометрийн тэгш бус байдал нь тригонометрийн функцуудыг хамарсан тэгш бус байдал юм.
Тригонометрийн тэгш бус байдал Тригонометрийн функц агуулсан тэгш бус байдлын шийдэл нь дүрмээр бол, sin x>a, sin x хэлбэрийн хамгийн энгийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд буурдаг. a, cos x a, tg x a,ctg x
Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритм Өгөгдсөн тригонометрийн функцэд харгалзах тэнхлэг дээр энэ функцийн өгөгдсөн тоон утгыг тэмдэглэ. Нэгж тойргийг огтолж буй тэмдэглэсэн цэгээр шугам зур. Шугаман ба тойргийн огтлолцлын цэгүүдийг хатуу эсвэл хатуу бус тэгш бус байдлын тэмдгийг харгалзан сонгоно. Тэгш бус байдлын шийдүүд байрлах тойргийн нумыг сонго. Дугуй нумын эхлэл ба төгсгөлийн өнцгийн утгыг тодорхойлно. Өгөгдсөн тригонометрийн функцийн үечлэлийг харгалзан тэгш бус байдлын шийдийг бич.
Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх томьёо sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn). синкс a; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosxa; x (arctg a + πn ; + πn). tgx a; x (πn ; arctan + πn). ctgx
Үндсэн тригонометрийн тэгш бус байдлын график шийдэл sinx >a
Үндсэн тригонометрийн тэгш бус байдлын график шийдэл sinx Тригонометрийн үндсэн тэгш бус байдлын график шийдэл cosx >a Тригонометрийн үндсэн тэгш бус байдлын график шийдэл cosx Үндсэн тригонометрийн тэгш бус байдлын график шийдэл tgx >a Үндсэн тригонометрийн тэгш бус байдлын график шийдэл tgx Үндсэн тригонометрийн тэгш бус байдлын график шийдэл ctgx >a
ТОДОРХОЙЛОЛТ
Тригонометрийн тэгш бус байдал нь тригонометрийн функцийн тэмдгийн дор хувьсагчийг агуулсан тэгш бус байдал юм.
Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх
Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдэх нь ихэвчлэн дараах хэлбэрийн хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд хүргэдэг: \(\ \sin x a \), \(\ \cos x > a \), \(\ \operatorname(tg) x > a \), \(\ \ operatorname(ctg) x > a \), \(\ \sin x \leq a \), \(\ \cos x \leq a \), \(\ \operatorname(tg) x \leq a \), \ (\ \operatorname(ctg) x \leq a \), \(\ \sin x \geq a \), \(\ \cos \geq a \), \(\ \operatorname(tg) x \geq a \ ), \(\ \операторын нэр(tg) x \geq a \)
Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг графикаар эсвэл нэгж тригонометрийн тойрог ашиглан шийддэг.
Тодорхойлолтоор \(\\альфа \) өнцгийн синус нь нэгж тойргийн \(\P_(\alpha)(x, y)\) цэгийн ординат (Зураг 1), косинус нь энэ цэгийн абсцисса. Энэ баримтыг нэгж тойрог ашиглан косинус ба синус бүхий энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.
Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх жишээ
Тэгш бус байдлыг шийд \(\ \sin x \leq \frac(\sqrt(3))(2) \)
\(\ \left|\frac(\sqrt(3))(2)\right| тул энэ тэгш бус байдал шийдэлтэй бөгөөд хоёр аргаар шийдэж болно.
Эхний арга. Энэ тэгш бус байдлыг графикаар шийдье. Үүний тулд синусын \(\ y=\sin x \) (Зураг 2) ба шулуун шугамын \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \) графикийг байгуулъя. нэг координатын систем
\(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \) шулуун шугамын графикийн доор синусоид байрлах интервалуудыг тодруулцгаая. Эдгээр графикуудын огтлолцох цэгүүдийн абсциссуудыг \(\ x_(1) \) ба \(\ x_(2) \) олъё: \(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt() 3))(2 )=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) x_(2)=\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)+ 2 \pi=\ frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)
Бид \(\ \left[-\frac(4 \pi)(3) ; \frac(\pi)(3)\right] \) интервалыг авсан боловч \(\ y=\sin x \) функцээс хойш. үе үе бөгөөд үетэй \(\ 2 \pi \) , тэгвэл хариулт нь интервалуудын нэгдэл байх болно: \(\ \left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac( 7 \pi)(3)+ 2 \pi k\баруун]\), \(\k \in Z\)
Хоёр дахь арга зам. Нэгж тойрог ба шулуун шугам байгуулъя \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \), тэдгээрийн огтлолцлын цэгүүдийг бид \(\ P_(x_(1)) \) ба \ (\ P_(x_(2 )) \) (Зураг 3). Анхны тэгш бус байдлын шийдэл нь \(\ \frac(\sqrt(3))(2) \) -ээс бага ординатын цэгүүдийн багц байх болно. \(\ \boldsymbol(I)_(1) \) ба \(\ \boldsymbol(I)_(2) \)-ийн утгыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлж олъё, \(\ x_(1) 3-р зураг.
\(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) x_ (2)=\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)+2 \pi=\frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)
Синусын функцийн үечилсэн байдлыг харгалзан бид эцэст нь \(\ \left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+2 \ интервалуудыг олж авдаг. pi\right] \), \(\k\-д Z\)
\(\ \sin x>2\) тэгш бус байдлыг шийд
Синус нь хязгаарлагдмал функц юм: \(\ |\sin x| \leq 1 \) , энэ тэгш бус байдлын баруун тал нь нэгээс их тул шийдэл байхгүй.
\(\ \cos x>\frac(1)(2) \) тэгш бус байдлыг шийд.
Энэ тэгш бус байдлыг график болон нэгж тойрог ашиглан хоёр аргаар шийдэж болно. Арга тус бүрийг авч үзье.
Эхний арга. Нэг координатын системд тэгш бус байдлын зүүн ба баруун талыг дүрсэлсэн функцуудыг, өөрөөр хэлбэл \(\ y=\cos x \) болон \(\ y=\frac(1)(2) \) дүрсэлж үзье. \(\ y=\cos x \) косинусын функцийн график \(\ y=\frac(1)(2) \) шулуун шугамын график дээр байрлах интервалуудыг тодруулцгаая (Зураг 1). 4).
\(\ \boldsymbol(x)_(1) \) ба \(\ x_(2) \) – \(\ y=\cos x) функцийн графикуудын огтлолцох цэгүүдийн абсциссуудыг олъё. \) болон \(\ y=\frac (1)(2) \) , эдгээр нь заасан тэгш бус байдлын аль нэг интервалын төгсгөл юм. \(\x_(1)=-\arccos \frac(1)(2)=-\frac(\pi)(3)\); \(\ x_(1)=\arccos \frac(1)(2)=\frac(\pi)(3) \)
Косинус нь \(\ 2 \pi \) үетэй үечилсэн функц гэдгийг харгалзан үзвэл хариулт нь \(\ \left(-\frac(\pi)) интервалаас \(\ x \) байх болно. (3)+2 \pi k \frac(\pi)(3)+2 \pi k\баруун) \), \(\ k \in Z \)
Хоёр дахь арга зам. Нэгж тойрог ба шулуун шугамыг \(\x=\frac(1)(2)\) байгуулъя (абсцисса тэнхлэг нь нэгж тойрог дээрх косинусуудтай тохирч байгаа тул). \(\ P_(x_(1)) \) ба \(\ P_(x_(2)) \) (Зураг 5) – шулуун шугам ба нэгж тойргийн огтлолцлын цэгүүдийг тэмдэглэе. Анхны тэгшитгэлийн шийдэл нь \(\ \frac(1)(2) \) -ээс бага абсцисса цэгүүдийн багц байх болно. \(\ x_(1) \) ба \(\ 2 \) -ийн утгыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлэх замаар олцгооё, ингэснээр \(\ x_(1) Косинусын үечилсэн байдлыг харгалзан бид эцэст нь интервалуудыг авна \( \ \left(-\frac (\pi)(3)+2 \pi k; \frac(\pi)(3)+2 \pi k\right) \),\(\k \in Z \)
\(\ \operatorname(ctg) x \leq-\frac(\sqrt(3))(3) \) тэгш бус байдлыг шийд.
\(\ y=\operatorname(ctg) x \), \(\ y=-\frac(\sqrt(3))(3) \) функцуудын графикийг нэг координатын системд байгуулъя.
\(\ y=\operatorname(ctg) x \) функцийн график \(\ y=-\frac(\sqrt(3)) шулуун шугамын графикаас өндөргүй байх интервалуудыг онцолж үзье. )(3) \) (Зураг 6) .
\(\ x_(0) \) тэгш бус байдал үүссэн интервалуудын аль нэгний төгсгөл болох \(\ x_(0) \) цэгийн абсциссыг олцгооё \(\ x_(0)=\operatorname(arcctg)\left(-\frac() \sqrt(3))( 3)\баруун)=\pi-\operatorname(arcctg)\left(\frac(\sqrt(3))(3)\баруун)=\pi-\frac(\pi)( 3)=\frac(2 \pi)(3)\)
Энэ интервалын нөгөө төгсгөл нь \(\ \pi \) цэг бөгөөд энэ цэг дэх \(\ y=\operatorname(ctg) x \) функц тодорхойгүй байна. Иймээс энэхүү тэгш бус байдлын шийдлүүдийн нэг нь \(\ \frac(2 \pi)(3) \leq x интервал юм.
Нарийн төвөгтэй аргумент бүхий тригонометрийн тэгш бус байдал
Нарийн төвөгтэй аргументтай тригонометрийн тэгш бус байдлыг орлуулах аргыг ашиглан энгийн тригонометрийн тэгш бус байдал болгон бууруулж болно. Үүнийг шийдсэний дараа урвуу орлуулалт хийж, анхны үл мэдэгдэхийг илэрхийлнэ.
Тэгш бус байдлыг шийд \(\ 2 \cos \left(2 x+100^(\circ)\right) \leq-1 \)
Энэ тэгш бус байдлын баруун талд косинусыг илэрхийлье: \(\ \cos \left(2 x+100^(\circ)\right) \leq-\frac(1)(2) \)
Бид орлуулалтыг хийж \(\ t=2 x+100^(\circ) \) , үүний дараа энэ тэгш бус байдал хамгийн энгийн тэгш бус байдал болж хувирна \(\ \cos t \leq-\frac(1)(2) \)
Үүнийг нэгжийн тойрог ашиглан шийдье. Нэгж тойрог ба шулуун шугамыг байгуулъя \(\ x=-\frac(1)(2) \) . \(\P_(1)\) ба \(\P_(2)\) - шулуун шугам ба нэгж тойргийн огтлолцлын цэгүүдийг тэмдэглэе (Зураг 7).
Анхны тэгш бус байдлын шийдэл нь \(\ -\frac(1)(2)\)-ээс ихгүй абсцисса цэгүүдийн багц байх болно. \(\ P_(1) \) цэг нь өнцөгтэй тохирч байна \(\ 120^(\circ) \) , цэг \(\ P_(2) \) . Тиймээс, косинусын үеийг харгалзан бид \(\ 120^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq t \leq 240^(\circ)+360^(\circ)-г авна. \cdot n \) ,\(\n\Z-д)
Урвуу өөрчлөлтийг хийцгээе \(\ t=2 x+100^(\circ) 120^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq 2 x+100^(\circ) \leq 240^ (\ circ)+360^(\circ) \cdot n\), \(\n \in Z\)
Эхлээд \(\ 100^(\circ) 120^(\circ)-100^(\circ)+360^(\circ) \ cdot n \ -ийг хасахын тулд \(\ \mathbf(x) \) гэж илэрхийлье. leq 2 x+100^(\circ)-100^(\circ) \leq 240^(\circ)-100^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \( \n\ Z\-д); \(\ 20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq 2 x \leq 140^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z\)
дараа нь 2-т хуваана \(\ \frac(20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \leq \frac(2 x)(2) \leq \frac(140^ (\circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \), \(\n \in Z\); \(\ 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \leq x \leq 70^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \), \(\ n \ in Z \)
Давхар тригонометрийн тэгш бус байдал
Давхар тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдэх \(\ \frac(1)(2)
\(\ t=\frac(x)(2) \) орлуулалтыг танилцуулъя, тэгвэл анхны тэгш бус байдал \(\ \frac(1)(2) хэлбэрийг авна.
Нэгжийн тойрог ашиглан үүнийг шийдье. Нэгж тойрог дээрх ординатын тэнхлэг нь синустай тохирч байгаа тул бид үүн дээр ординат нь \(\ x=\frac(1)(2) \)-ээс их, \(\-ээс бага буюу тэнцүү ординатуудыг сонгоно. \frac(\sqrt(2))(2 ) \) . Зураг 8-д эдгээр цэгүүд нь \(\P_(t_(1))\), \(\P_(t_(2))\) ба \(\P_(t_(3))\) нуман дээр байрлана. , \( \P_(t_(4))\) . \(\ t_(1) \), \(\ t_(2) \), \(\ t_(3) \), \(\ t_(4) \) гэсэн утгыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлж, \ (\t_(1)\(\t_(3)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(2))(2)=\pi-\frac(\pi)(4)=\frac(3\ pi)(4)\(\t_(4)=\pi-\arcsin \frac(1)(2)=\pi-\frac(\pi)(6)=\frac(5 \pi) (6)\)
Тиймээс бид хоёр интервалыг олж авах бөгөөд синус функцийн үечлэлийг харгалзан дараах байдлаар бичиж болно \(\ \frac(\pi)(6)+2 \pi k \leq t \frac(\pi) (4)+2 \ pi k \quad \frac(3 \pi)(4)+2 \pi k Урвуу өөрчлөлтийг хийцгээе \(\ t=\frac(x)(2) \frac(\pi)( 6)+2 \pi k \ leq \frac(x)(2) \frac(\pi)(4)+2 \pi k \), \(\ \frac(3 \pi)(4)+2 \ pi k \(\ \mathbf( x) \) илэрхийлье, үүний тулд хоёр тэгш бус байдлын бүх талыг 2-оор үржүүлбэл \(\ \frac(\pi)(3)+4 \pi k \leq гарна. x
ТРИГОНОМЕТРИЙН ТЭГШ БУС БАЙДЛЫГ ШИЙДЭХ АРГА
Хамааралтай байдал. Түүхээс харахад тригонометрийн тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт онцгой байр суурь эзэлдэг. Тригонометр бол сургуулийн хичээл, ерөнхийдөө математикийн шинжлэх ухааны хамгийн чухал хэсгүүдийн нэг гэж бид хэлж чадна.
Тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдал нь ерөнхий боловсролын сургуулийн математикийн хичээлд сургалтын материалын агуулга, суралцах явцад бий болох, шаардлагатай боловсролын болон танин мэдэхүйн үйл ажиллагааны арга барилын хувьд гол байруудын нэгийг эзэлдэг бөгөөд олон тооны асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг. онолын болон хэрэглээний шинж чанартай асуудлуудын .
Тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь тригонометрийн бүх сургалтын материалтай холбоотой оюутнуудын мэдлэгийг системчлэх урьдчилсан нөхцөлийг бүрдүүлдэг (жишээлбэл, тригонометрийн функцүүдийн шинж чанар, тригонометрийн илэрхийлэлийг хувиргах аргууд гэх мэт) бөгөөд судалж буй материалтай үр дүнтэй холбоо тогтоох боломжийг олгодог. алгебр (тэгшитгэл, тэгшитгэлийн эквивалент, тэгш бус байдал, алгебрийн илэрхийллийн ижил хувиргалт гэх мэт).
Өөрөөр хэлбэл, тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх арга техникийг авч үзэх нь эдгээр ур чадварыг шинэ агуулгад шилжүүлэх явдал юм.
Онолын ач холбогдол, түүний олон тооны хэрэглээ нь сонгосон сэдвийн хамаарлын нотолгоо юм. Энэ нь эргээд курсын ажлын зорилго, зорилт, судалгааны сэдвийг тодорхойлох боломжийг олгодог.
Судалгааны зорилго: тригонометрийн тэгш бус байдлын боломжит төрлүүд, тэдгээрийг шийдвэрлэх үндсэн ба тусгай аргуудыг нэгтгэн дүгнэх, сургуулийн сурагчдын тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх багц асуудлыг сонгох.
Судалгааны зорилго:
1. Судалгааны сэдвээр байгаа уран зохиолын дүн шинжилгээнд үндэслэн материалыг системчлэх.
2. “Тригонометрийн тэгш бус байдал” сэдвийг нэгтгэхэд шаардлагатай багц даалгавруудыг өг.
Судалгааны объект нь сургуулийн математикийн хичээлийн тригонометрийн тэгш бус байдал юм.
Судалгааны сэдэв: тригонометрийн тэгш бус байдлын төрлүүд, тэдгээрийг шийдвэрлэх арга.
Онолын ач холбогдол материалыг системчлэх явдал юм.
Практик ач холбогдол: асуудлыг шийдвэрлэхэд онолын мэдлэгийг ашиглах; тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үндсэн нийтлэг аргуудын шинжилгээ.
Судалгааны аргууд : шинжлэх ухааны уран зохиолд дүн шинжилгээ хийх, олж авсан мэдлэгийг нэгтгэх, нэгтгэх, асуудлыг шийдвэрлэхэд дүн шинжилгээ хийх, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх оновчтой аргуудыг хайх.
§1. Тригонометрийн тэгш бус байдлын төрлүүд, тэдгээрийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд
1.1. Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдал
эсвэл > тэмдгээр холбогдсон хоёр тригонометрийн илэрхийллийг тригонометрийн тэгш бус байдал гэнэ.
Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх гэдэг нь тэгш бус байдлыг хангасан тэгш бус байдалд орсон үл мэдэгдэх утгуудын багцыг олохыг хэлнэ.
Тригонометрийн тэгш бус байдлын үндсэн хэсгийг хамгийн энгийн шийдэл болгон бууруулж шийддэг.
Энэ нь хүчин зүйлчлэл, хувьсагчийг өөрчлөх арга байж болно ( 
, 
гэх мэт), ердийн тэгш бус байдлыг эхлээд шийдэж, дараа нь хэлбэрийн тэгш бус байдал 
гэх мэт, эсвэл бусад аргууд.
Хамгийн энгийн тэгш бус байдлыг хоёр аргаар шийдэж болно: нэгж тойрог ашиглах эсвэл графикаар.
Болъёf(x
- тригонометрийн үндсэн функцүүдийн нэг. Тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд 
түүний шийдлийг нэг хугацаанд олоход хангалттай, өөрөөр хэлбэл. урт нь функцийн үетэй тэнцүү аль ч сегмент дээре
x
. Тэгвэл анхны тэгш бус байдлын шийдэл бүгд олдоноx
, түүнчлэн функцийн бүхэл тоогоор олдсон утгуудаас ялгаатай утгууд. Энэ тохиолдолд график аргыг ашиглах нь тохиромжтой.
Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритмын жишээг өгье 
(
) Мөн 
.
Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритм (
).
1. Тооны синусын тодорхойлолтыг томъёолx нэгж тойрог дээр.
3. Ординатын тэнхлэг дээр цэгийг координатаар тэмдэглэнэа .
4. Энэ цэгээр OX тэнхлэгтэй параллель шулуун зурж, огтлолцох цэгүүдийг тойрогоор тэмдэглэнэ.
5. Бүх цэгүүд нь ординатаас бага байх тойргийн нумыг сонгоа .
6. Тойргийн чиглэлийг (цагийн зүүний эсрэг) зааж, интервалын төгсгөлд функцийн үеийг нэмж хариултыг бичнэ үү.2πn
,
.
Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритм .
1. Тооны шүргэгчийн тодорхойлолтыг томъёолx нэгж тойрог дээр.
2. Нэгж тойрог зур.
3. Шүргэгчийн шугамыг зурж, ординат бүхий цэгийг тэмдэглэа .
4. Энэ цэгийг эхтэй холбож, үүссэн сегментийн огтлолцох цэгийг нэгж тойрогтой тэмдэглэнэ.
5. Бүх цэгүүд нь шүргэгч шулуун дээр ординаттай байхаас бага тойргийн нумыг сонгоа .
6. Гүйлтийн чиглэлийг зааж, хариуг функцийн тодорхойлолтын мужийг харгалзан цэг нэмж бичнэ үү.πn
,
(оруултын зүүн талд байгаа тоо нь баруун талд байгаа тооноос үргэлж бага байдаг).
Хамгийн энгийн тэгшитгэлийн шийдлийн график тайлбар, тэгш бус байдлыг ерөнхий хэлбэрээр шийдвэрлэх томъёог хавсралтад (Хавсралт 1, 2) үзүүлэв.
Жишээ 1.
Тэгш бус байдлыг шийд 
.
Нэгж тойрог дээр шулуун шугам зур 
, энэ нь тойрогтой А ба В цэгүүдээр огтлолцоно.
Бүх утгаy
интервал дээр NM илүү байна
, AMB нумын бүх цэгүүд энэ тэгш бус байдлыг хангаж байна. Бүх эргэлтийн өнцөгт, том 
, гэхдээ бага 
,
илүү их үнэ цэнийг авах болно
(гэхдээ нэгээс илүүгүй).
Зураг 1
Тиймээс тэгш бус байдлын шийдэл нь интервал дахь бүх утгууд байх болно 
, өөрөөр хэлбэл 
. Энэ тэгш бус байдлын бүх шийдлийг олж авахын тулд энэ интервалын төгсгөлд нэмэхэд хангалттай 
, Хаана 
, өөрөөр хэлбэл 
,
.
утгууд гэдгийг анхаарна уу 
Тэгээд 
тэгшитгэлийн үндэс юм 
,
тэдгээр. 
;
.
Хариулт: 
, .
1.2. График арга
Практикт тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх график арга нь ихэвчлэн ашигтай байдаг. Тэгш бус байдлын жишээг ашиглан аргын мөн чанарыг авч үзье 
:
1. Хэрэв аргумент нь төвөгтэй бол (хэрэвX ), дараа нь үүнийг солино уут .
2. Бид нэг координатын хавтгайд бүтээдэгтоглоом
функцын графикууд 
Тэгээд 
.
3. Бид ийм зүйл олдогграфикуудын огтлолцлын хоёр зэргэлдээ цэг, тэдгээрийн хоорондсинус долгионбайрладагилүү өндөр
шууд . Бид эдгээр цэгүүдийн абсциссуудыг олдог.
4. Аргументийн давхар тэгш бус байдлыг бичт , косинусын үеийг харгалзан (т олдсон абсциссуудын хооронд байх болно).
5. Урвуу орлуулалт хийж (анхны аргумент руу буцах) утгыг илэрхийлX давхар тэгш бус байдлаас бид хариултыг тоон интервал хэлбэрээр бичнэ.
Жишээ 2. Тэгш бус байдлыг шийдэх: .
График аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ функцүүдийн графикийг аль болох нарийвчлалтай байгуулах шаардлагатай. Тэгш бус байдлыг дараах хэлбэрт шилжүүлье.
Нэг координатын систем дэх функцүүдийн графикийг байгуулъя 
Тэгээд 
(Зураг 2).
Зураг 2
Функцийн графикууд цэг дээр огтлолцдогА
координатуудтай 
; 
. Энэ хооронд 
график цэгүүд 
график цэгүүдийн доор 
. Тэгээд хэзээ функцийн утга ижил байна. Тийм ч учраас цагт 
.
Хариулт: 
.
1.3. Алгебрийн арга
Ихэнх тохиолдолд анхны тригонометрийн тэгш бус байдлыг зөв сонгосон орлуулах замаар алгебрийн (рационал эсвэл иррационал) тэгш бус байдал болгон бууруулж болно. Энэ арга нь тэгш бус байдлыг хувиргах, орлуулах эсвэл хувьсагчийг орлуулахыг хэлнэ.
Энэ аргыг хэрэглэх тодорхой жишээг авч үзье.
Жишээ 3.
Хамгийн энгийн хэлбэрт оруулах 
.
(Зураг 3)
Зураг 3
, 
.
Хариулт: 
,
Жишээ 4. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх:
ОДЗ: 
, 
.
Томьёог ашиглах: 
, 
Тэгш бус байдлыг дараах хэлбэрээр бичье. 
.
Эсвэл итгэх 
энгийн өөрчлөлтүүдийн дараа бид олж авдаг
,
,
.
Сүүлчийн тэгш бус байдлыг интервалын аргаар шийдэж, бид дараахь зүйлийг олж авна.
Зураг 4
, тус тус 
. Дараа нь Зураг дээрээс. 4 дагадаг 
, Хаана 
.
Зураг 5
Хариулт: 
, 
.
1.4. Интервалын арга
Интервалын аргыг ашиглан тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх ерөнхий схем:
Тригонометрийн томьёог ашиглах хүчин зүйл.
Функцийн тасалдлын цэг ба тэгийг олж тойрог дээр байрлуул.
Ямар ч цэгийг авTO (гэхдээ өмнө нь олдоогүй) ба бүтээгдэхүүний тэмдгийг олж мэдээрэй. Хэрэв бүтээгдэхүүн эерэг байвал тухайн өнцөгт тохирох туяан дээр нэгж тойргийн гадна цэг тавина. Үгүй бол цэгийг тойрог дотор байрлуулна.
Хэрэв цэг хэд хэдэн удаа тохиолдвол бид үүнийг тэгш үржвэрийн цэг гэж нэрлэдэг бол сондгой олон тооны цэг гэж нэрлэдэг. Дараах байдлаар нуман зурна: цэгээс эхэлнэTO , хэрэв дараагийн цэг нь сондгой үржвэртэй бол нуман энэ цэг дээр тойрогтой огтлолцдог, харин цэг нь тэгш олон талтай бол огтлолцохгүй.
Тойргийн ард байгаа нумууд нь эерэг интервалууд юм; тойрог дотор сөрөг орон зай бий.
Жишээ 5. Тэгш бус байдлыг шийдэх
, 
.
Эхний цувралын оноо: 
.
Хоёр дахь цувралын оноо: 
.
Цэг бүр сондгой олон удаа тохиолддог, өөрөөр хэлбэл бүх цэгүүд сондгой үржвэртэй байдаг.
Бүтээгдэхүүний тэмдгийг эндээс олж мэдье 
: . Нэгж тойрог дээрх бүх цэгүүдийг тэмдэглэе (Зураг 6):
Цагаан будаа. 6
Хариулт: 
, 
; 
, 
; 
, 
.
Жишээ 6 . Тэгш бус байдлыг шийд.
Шийдэл:
Илэрхийллийн тэгүүдийг олцгооё .
Хүлээн авахaeм :
,
;
, 
;
, 
;
, 
;
Нэгж тойргийн цувааны утгууд дээрX
1
цэгээр дүрслэгдсэн 
. ЦувралX
2
оноо өгдөг 
. ЦувралаасX
3
Бид хоёр оноо авдаг 
. Эцэст нь цувралX
4
цэгүүдийг төлөөлөх болно 
. Эдгээр бүх цэгүүдийг нэгж тойрог дээр зурж, тэдгээрийн үржвэрийг тус бүрийн хажууд хаалтанд оруулъя.
Одоо тоогоо өгье 
тэнцүү байх болно. Тэмдэгт дээр үндэслэн тооцоо хийцгээе.
Тэгэхээр, цэгА
өнцгийг бүрдүүлж буй цацраг дээр сонгогдох ёстой 
цацрагтайӨө,
нэгж тойргийн гадна. (Туслах цацраг гэдгийг анхаарна ууТУХАЙ
А
Үүнийг зураг дээр дүрслэх шаардлагагүй. ЦэгА
ойролцоогоор сонгосон.)
Одоо цэгээсА
бүх тэмдэглэгдсэн цэгүүд рүү дараалан долгионтой тасралтгүй шугам зурна. Мөн цэгүүдэд Манай шугам нэг хэсгээс нөгөө рүү шилждэг: хэрэв энэ нь нэгж тойргийн гадна байсан бол түүний дотор ордог. Зорилгодоо ойртож байна 
, шугам нь дотоод бүс рүү буцаж ирдэг, учир нь энэ цэгийн олон талт тэгш байдаг. Яг л цэг дээр 
(тэгш олон талт) шугамыг гаднах бүс рүү эргүүлэх хэрэгтэй. Тиймээс бид Зураг дээр үзүүлсэн тодорхой зургийг зурсан. 7. Энэ нь нэгжийн тойрог дээр хүссэн хэсгүүдийг тодруулахад тусална. Тэд "+" тэмдгээр тэмдэглэгдсэн байдаг.
Зураг 7
Эцсийн хариулт:
Анхаарна уу. Хэрэв долгионы шугамыг нэгж тойрог дээр тэмдэглэсэн бүх цэгүүдийг дайруулсны дараа цэг рүү буцаах боломжгүйА , "хууль бус" газар тойргийг гатлахгүйгээр энэ нь шийдэлд алдаа гарсан, тухайлбал сондгой тооны үндэс алга болсон гэсэн үг юм.
Хариулт: .
§2. Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх багц бодлого
Сургуулийн сурагчдын тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх явцад 3 үе шатыг ялгаж салгаж болно.
1. бэлтгэл,
2. энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх;
3. бусад төрлийн тригонометрийн тэгш бус байдлын танилцуулга.
Бэлтгэл үе шатны зорилго нь сургуулийн хүүхдүүдэд тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн тулд тригонометрийн тойрог эсвэл график ашиглах чадварыг хөгжүүлэх шаардлагатай.
Хэлбэрийн энгийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх чадвар ,
, ,
,
синус ба косинусын функцүүдийн шинж чанарыг ашиглах;
Тоон тойргийн нуман эсвэл функцийн графикийн нумын хувьд давхар тэгш бус байдлыг бий болгох чадвар;
Тригонометрийн илэрхийллийн янз бүрийн хувиргалтыг хийх чадвар.
Сургуулийн сурагчдын тригонометрийн функцүүдийн шинж чанарын талаархи мэдлэгийг системчлэх явцад энэ үе шатыг хэрэгжүүлэхийг зөвлөж байна. Гол хэрэгсэл нь оюутнуудад санал болгож, багшийн удирдлаган дор эсвэл бие даан гүйцэтгэх даалгавар, түүнчлэн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ур чадвар байж болно.
Ийм ажлуудын жишээ энд байна:
1
. Нэгж тойрог дээр цэг тэмдэглэ 
, Хэрэв
.
2.
Цэг нь координатын хавтгайн аль дөрөвний нэгт байрладаг вэ? , Хэрэв 
тэнцүү байна: 
3.
Тригонометрийн тойрог дээрх цэгүүдийг тэмдэглэ , Хэрэв:
4. Илэрхийлэлийг тригонометрийн функц болгон хувиргаIулирал.
A) 
,
б) 
,
V) 
5. MR нумыг өгсөн.М - дундI-р улирал,Р - дундII-р улирал. Хувьсагчийн утгыг хязгаарлахт хувьд: (давхар тэгш бус байдал гаргах) a) нуман MR; б) RM нумууд.
6. Графикийн сонгосон хэсгүүдийн давхар тэгш бус байдлыг бичнэ үү.
Цагаан будаа. 1
7.
Тэгш бус байдлыг шийдэх 
, 
, 
, 
.
8. Илэрхийлэл хөрвүүлэх .
Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдэж сурах хоёр дахь шатанд бид оюутнуудын үйл ажиллагааг зохион байгуулах аргачлалтай холбоотой дараах зөвлөмжийг өгч болно. Энэ тохиолдолд хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад бий болсон тригонометрийн тойрог эсвэл графиктай ажиллах оюутнуудын одоо байгаа ур чадварт анхаарлаа хандуулах шаардлагатай.
Нэгдүгээрт, жишээлбэл, хэлбэрийн тэгш бус байдал руу шилжих замаар хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдэх ерөнхий аргыг олж авах нь зүйтэй эсэхийг өдөөж болно. 
.
Бэлтгэл үе шатанд олж авсан мэдлэг, ур чадвараа ашиглан оюутнууд санал болгож буй тэгш бус байдлыг хэлбэрт оруулна 
, гэхдээ үүссэн тэгш бус байдлын цогц шийдлүүдийг олоход хэцүү байж магадгүй, учир нь Зөвхөн синус функцийн шинж чанарыг ашиглан үүнийг шийдэх боломжгүй юм. Тохиромжтой дүрслэл (тэгшитгэлийг графикаар шийдэх эсвэл нэгж тойрог ашиглан) хийх замаар энэ хүндрэлээс зайлсхийх боломжтой.
Хоёрдугаарт, багш оюутнуудын анхаарлыг даалгаврыг гүйцэтгэх янз бүрийн аргуудад хандуулж, тэгш бус байдлыг графикаар болон тригонометрийн тойрог ашиглан шийдвэрлэх тохиромжтой жишээг өгөх ёстой.
Тэгш бус байдлын дараах шийдлүүдийг авч үзье .
1. Нэгж тойргийг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх.
Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх эхний хичээлээр бид оюутнуудад тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх үндсэн ур чадварыг алхам алхмаар танилцуулах дэлгэрэнгүй алгоритмыг санал болгох болно.
Алхам 1.Нэгж тойрог зурж ординатын тэнхлэг дээр цэгийг тэмдэглэе 
түүгээр х тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам татна. Энэ шугам нь нэгж тойргийг хоёр цэгээр огтолно. Эдгээр цэг бүр нь синус нь тэнцүү тоонуудыг илэрхийлдэг .
Алхам 2.Энэ шулуун шугам нь тойргийг хоёр нуман болгон хуваасан. -аас их синустай тоог дүрсэлсэн тоог сонгоцгооё . Мэдээжийн хэрэг, энэ нум нь зурсан шулуун шугамын дээгүүр байрладаг.
Цагаан будаа. 2
Алхам 3.Тэмдэглэгдсэн нумын төгсгөлүүдийн аль нэгийг сонгоно уу. Нэгж тойргийн энэ цэгээр дүрслэгдсэн тоонуудын аль нэгийг бичье 
.
Алхам 4.Сонгосон нумын хоёр дахь төгсгөлд тохирох тоог сонгохын тулд бид энэ нумын дагуу нэрлэсэн төгсгөлөөс нөгөө рүү "алхдаг". Үүний зэрэгцээ, цагийн зүүний эсрэг хөдөлж байх үед бидний өнгөрөх тоо нэмэгддэг (эсрэг чиглэлд шилжих үед тоо буурах болно) гэдгийг санаарай. Нэгж тойрог дээр тэмдэглэгдсэн нумын хоёр дахь төгсгөлд дүрслэгдсэн тоог бичье 
.
Тиймээс бид тэгш бус байдлыг харж байна тэгш бус байдал үнэн байх тоонуудыг ханга 
. Бид синусын функцийн ижил үе дээр байрлах тоонуудын тэгш бус байдлыг шийдсэн. Тиймээс тэгш бус байдлын бүх шийдлийг хэлбэрээр бичиж болно 
Суралцагчдаас зургийг сайтар судалж, тэгш бус байдлын бүх шийдлүүдийн шалтгааныг олж мэдэхийг хүсэх хэрэгтэй хэлбэрээр бичиж болно 
, 
.
Цагаан будаа. 3
Косинусын функцийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ ординатын тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам татдаг болохыг оюутнуудын анхаарлыг татах шаардлагатай.
Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх график арга.
Бид график бүтээдэг 
Тэгээд 
, үүнийг өгсөн 
.
Цагаан будаа. 4
Дараа нь бид тэгшитгэлийг бичнэ 
болон түүний шийдвэр 
, 
, 
, томьёо ашиглан олсон 
, 
, 
.
(Өгөхn
0, 1, 2 утгууд, бид эмхэтгэсэн тэгшитгэлийн гурван үндэсийг олдог). Үнэ цэнэ 
графикуудын огтлолцох цэгүүдийн дараалсан гурван абсцисса юм Тэгээд . Мэдээжийн хэрэг, үргэлж интервал дээр байдаг 
тэгш бус байдал бий 
, мөн интервал дээр 
- тэгш бус байдал 
. Бид эхний тохиолдлыг сонирхож байгаа бөгөөд дараа нь энэ интервалын төгсгөлд синусын үеийн олон тооны тоог нэмснээр тэгш бус байдлын шийдлийг олж авна. хэлбэрээр: 
, .
Цагаан будаа. 5
Дүгнэж хэлье. Тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд , та харгалзах тэгшитгэлийг үүсгэж, шийдвэрлэх хэрэгтэй. Үүссэн томъёоноос үндсийг ол 
Тэгээд 
, тэгш бус байдлын хариултыг дараах хэлбэрээр бичнэ үү. , .
Гуравдугаарт, харгалзах тригонометрийн тэгш бус байдлын язгуурын олонлогийн тухай баримтыг графикаар шийдвэрлэхэд маш тодорхой нотлогддог.
Цагаан будаа. 6
Тэгш бус байдлын шийдэл болох эргэлт нь тригонометрийн функцийн үетэй тэнцэх ижил интервалаар давтагдаж байгааг оюутнуудад харуулах шаардлагатай. Та мөн синус функцийн графикийн ижил төстэй дүрслэлийг авч үзэж болно.
Дөрөвдүгээрт, тригонометрийн функцүүдийн нийлбэрийг (ялгааг) үржвэр болгон хувиргах техникийг оюутнуудад шинэчлэх ажлыг хийж, тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд эдгээр аргуудын үүрэг рольд оюутнуудын анхаарлыг хандуулахыг зөвлөж байна.
Ийм ажлыг оюутнууд багшийн санал болгосон даалгаврыг бие даан гүйцэтгэх замаар зохион байгуулж болох бөгөөд үүнд бид дараахь зүйлийг онцолж байна.
Тавдугаарт, оюутнуудаас энгийн тригонометрийн тэгш бус байдал бүрийн шийдлийг график эсвэл тригонометрийн тойрог ашиглан дүрслэн харуулахыг шаардах ёстой. Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ холбогдох зураглал нь өгөгдсөн тэгш бус байдлын шийдлийн багцыг бүртгэх маш тохиромжтой хэрэгсэл болдог тул та түүний зохистой байдалд, ялангуяа тойрог ашиглахад анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй.
Дараах схемийн дагуу хамгийн энгийн биш тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргуудыг оюутнуудад танилцуулахыг зөвлөж байна: тодорхой тригонометрийн тэгш бус байдал руу шилжих, холбогдох тригонометрийн тэгшитгэл рүү шилжих хамтарсан хайлт (багш - оюутнууд) -ийг бие даан шилжүүлэх. ижил төрлийн бусад тэгш бус байдлын аргыг олсон.
Тригонометрийн талаархи оюутнуудын мэдлэгийг системчлэхийн тулд бид үүнийг шийдвэрлэх явцад хэрэгжүүлж болох янз бүрийн хувиргалтуудыг шаарддаг ийм тэгш бус байдлыг тусгайлан сонгож, оюутнуудын анхаарлыг тэдгээрийн онцлогт төвлөрүүлэхийг зөвлөж байна.
Ийм бүтээмжтэй тэгш бус байдлын хувьд бид жишээлбэл дараахь зүйлийг санал болгож болно.
Дүгнэж хэлэхэд бид тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх асуудлын багцын жишээг өгье.
1. Тэгш бус байдлыг шийд:
2. Тэгш бус байдлыг шийд: 3. Тэгш бус байдлын бүх шийдлийг ол: 4. Тэгш бус байдлын бүх шийдлийг ол:A) 
, нөхцөлийг хангаж байна 
;
б) 
, нөхцөлийг хангаж байна 
.
5. Тэгш бус байдлын бүх шийдийг ол:
A) ;
б) ;
V) 
;
G) 
;
г) 
.
6. Тэгш бус байдлыг шийд:
A) ;
б) ;
V);
G) 
;
г);
e);
ба) 
.
7. Тэгш бус байдлыг шийд:
A) 
;
б) ;
V);
G) .
8. Тэгш бус байдлыг шийд:
A) ;
б) ;
V);
G) 
;
г) 
;
e);
ба) 
;
h) .
Математикийн ахисан түвшний суралцаж буй оюутнуудад 6, 7-р даалгаврыг, математикийн гүнзгийрүүлсэн сургалттай ангийн оюутнуудад 8-р даалгаврыг санал болгохыг зөвлөж байна.
§3. Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх тусгай аргууд
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тусгай аргууд - өөрөөр хэлбэл зөвхөн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болох аргууд. Эдгээр аргууд нь тригонометрийн функцүүдийн шинж чанарыг ашиглах, түүнчлэн янз бүрийн тригонометрийн томьёо, таних тэмдгүүдийг ашиглахад суурилдаг.
3.1. Салбарын арга
Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх секторын аргыг авч үзье. Маягтын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх 
, ХаанаП
(
x
)
ТэгээдQ
(
x
)
– рационал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхтэй адил рационал тригонометрийн функцууд (синус, косинус, тангенс ба котангенсууд нь рациональ байдлаар орно). Рационал тэгш бус байдлыг тоон шулуун дээрх интервалын аргыг ашиглан шийдвэрлэхэд тохиромжтой. Рационал тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аналог нь тригонометрийн тойрог дахь секторуудын арга юм.синкс
Тэгээдcosx
(
) эсвэл тригонометрийн хагас тойрогtgx
Тэгээдctgx
(
).
Интервалын аргад хэлбэрийн тоо болон хуваагчийн шугаман хүчин зүйл бүрийг 
тооны тэнхлэг дээрх цэгтэй тохирч байна 
, мөн энэ цэгээр дамжин өнгөрөх үед тэмдгийг өөрчилдөг. Салбарын аргад маягтын хүчин зүйл бүр 
, Хаана 
- функцүүдийн нэгсинкс
эсвэлcosx
Тэгээд 
, тригонометрийн тойрогт тохирох хоёр өнцөг байна 
Тэгээд 
, энэ нь тойргийг хоёр секторт хуваадаг. Хажуугаар өнгөрөхдөө Тэгээд функц тэмдгийг өөрчилдөг.
Дараахь зүйлийг санаж байх ёстой.
a) Маягтын хүчин зүйлүүд 
Тэгээд 
, Хаана 
, бүх утгын тэмдгийг хадгална 
. Тоолуур ба хуваагчийн ийм хүчин зүйлийг өөрчлөх замаар устгана (хэрэв 
) ийм татгалзах бүрт тэгш бус байдлын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдөнө.
б) Маягтын хүчин зүйлүүд 
Тэгээд 
бас хаядаг. Түүнээс гадна, хэрэв эдгээр нь хуваагчийн хүчин зүйлүүд бол тэгш бус байдлын эквивалент системд хэлбэрийн тэгш бус байдлыг нэмнэ. 
Тэгээд 
. Хэрэв эдгээр нь тоологчийн хүчин зүйлүүд юм бол хязгаарлалтын эквивалент системд тэдгээр нь тэгш бус байдалд тохирно. Тэгээд хатуу анхны тэгш бус байдлын хувьд, мөн тэгш байдал 
Тэгээд 
хатуу бус анхны тэгш бус байдлын хувьд. Үржүүлэгчийг хаях үед 
эсвэл 
тэгш бус байдлын тэмдэг урвуу байна.
Жишээ 1.
Тэгш бус байдлыг шийдэх: a) 
, б) 
.
Бидэнд b) функц байна. Бидэнд байгаа тэгш бус байдлыг шийд,
3.2. Төвлөрсөн тойрог арга
Энэ арга нь оновчтой тэгш бус байдлын системийг шийдвэрлэх зэрэгцээ тооны тэнхлэгийн аргын аналог юм.
Тэгш бус байдлын системийн жишээг авч үзье.
Жишээ 5.
Энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлын системийг шийд 
Эхлээд бид тэгш бус байдал бүрийг тусад нь шийддэг (Зураг 5). Зургийн баруун дээд буланд бид тригонометрийн тойргийг аль аргументыг авч үзэхийг зааж өгнө.
Зураг 5
Дараа нь бид аргументийн төвлөрсөн тойргийн системийг бий болгодогX . Бид тойрог зурж, эхний тэгш бус байдлын шийдлийн дагуу сүүдэрлэж, дараа нь илүү том радиустай тойрог зурж, хоёр дахь шийдлийн дагуу сүүдэрлэж, дараа нь бид гурав дахь тэгш бус байдлын тойрог ба суурийн тойрог байгуулна. Бид системийн төвөөс туяаг нумануудын төгсгөлөөр зурж, бүх тойргийг огтолно. Бид үндсэн тойрог дээр уусмал үүсгэдэг (Зураг 6).
Зураг 6
Хариулт:
, 
.
Дүгнэлт
Хичээлийн судалгааны бүх зорилго биелсэн. Онолын материалыг системчилсэн: тригонометрийн тэгш бус байдлын үндсэн төрлүүд ба тэдгээрийг шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг (график, алгебр, интервалын арга, сектор ба төвлөрсөн тойргийн арга) өгсөн болно. Арга тус бүрт тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх жишээг өгсөн. Онолын хэсгийн дараа практик хэсэг байв. Энэ нь тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх олон даалгавруудыг агуулдаг.
Энэхүү курсын ажлыг оюутнууд бие даасан ажилд ашиглаж болно. Сургуулийн сурагчид энэ сэдвийг эзэмшсэн түвшинг шалгаж, янз бүрийн нарийн төвөгтэй даалгавруудыг гүйцэтгэх дадлага хийх боломжтой.
Энэ асуудлын талаархи холбогдох уран зохиолыг судалсны дараа бид сургуулийн алгебр, анхан шатны шинжилгээний хичээлд тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх чадвар, ур чадвар маш чухал бөгөөд үүнийг хөгжүүлэх нь математикийн багшаас ихээхэн хүчин чармайлт шаарддаг гэж бид дүгнэж болно.
Иймд энэхүү ажил нь “Тригонометрийн тэгш бус байдал” сэдвээр сурагчдын сургалтыг үр дүнтэй зохион байгуулах боломжийг олгодог тул математикийн багш нарт хэрэг болох юм.
Судалгааг эцсийн мэргэшлийн ажил болгон өргөжүүлэх замаар үргэлжлүүлж болно.
Ашигласан уран зохиолын жагсаалт
Богомолов, Н.В. Математикийн асуудлын цуглуулга [Текст] / N.V. Богомолов. – М .: тоодог, 2009. – 206 х.
Выгодский, М.Я. Анхан шатны математикийн гарын авлага [Текст] / М.Я. Выгодский. – М .: тоодог, 2006. – 509 х.
Журбенко, Л.Н. Жишээ ба бодлого дахь математик [Текст] / Л.Н. Журбенко. – М.: Инфра-М, 2009. – 373 х.
Иванов, О.А. Сургуулийн сурагчид, оюутнууд, багш нарт зориулсан бага ангийн математик [Текст] / О.А. Иванов. – М.: МЦНМО, 2009. – 384 х.
Карп, А.П. 11-р ангид эцсийн давталт, баталгаажуулалтыг зохион байгуулах алгебрийн талаархи даалгавар, шинжилгээний эхлэл [Текст] / A.P. Carp. – М.: Боловсрол, 2005. – 79 х.
Куланин, Э.Д. Математикийн 3000 уралдааны бодлого [Текст] / Э.Д. Куланин. – М.: Iris-press, 2007. – 624 х.
Лейбсон, К.Л. Математикийн практик даалгаврын цуглуулга [Текст] / K.L. Лейбсон. – М .: тоодог, 2010. – 182 х.
Тохой, V.V. Параметрүүдтэй холбоотой асуудлууд ба тэдгээрийн шийдэл. Тригонометр: тэгшитгэл, тэгш бус байдал, систем. 10-р анги [Текст] / V.V. Тохой. – М.: АРКТИ, 2008. – 64 х.
Манова, А.Н. Математик. Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх экспресс багш: оюутан. гарын авлага [Текст] / A.N. Манова. – Ростов-на-Дону: Финикс, 2012. – 541 х.
Мордкович, А.Г. Алгебр ба математик анализын эхлэл. 10-11 анги. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг [Текст] / A.G. Мордкович. – М.: Iris-press, 2009. – 201 х.
Новиков, А.И. Тригонометрийн функц, тэгшитгэл ба тэгш бус байдал [Текст] / A.I. Новиков. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. – 260 х.
Оганесян, В.А. Ерөнхий боловсролын сургуульд математикийн хичээл заах арга зүй: Ерөнхий арга зүй. Сурах бичиг физикийн оюутнуудад зориулсан гарын авлага - дэвсгэр. хуурамч. ped. Инст. [Текст] / V.A. Оганесян. – М.: Боловсрол, 2006. – 368 х.
Оленик, С.Н. Тэгшитгэл ба тэгш бус байдал. Стандарт бус шийдлийн аргууд [Текст] / С.Н. Оленик. – М.: Факториал хэвлэлийн газар, 1997. – 219 х.
Севрюков, П.Ф. Тригонометр, экспоненциал ба логарифм тэгшитгэл ба тэгш бус байдал [Текст] / П.Ф. Севрюков. – М.: Ардын боловсрол, 2008. – 352 х.
Сергеев, I.N. Улсын нэгдсэн шалгалт: Математикийн хариулт, шийдэл бүхий 1000 бодлого. C бүлгийн бүх даалгавар [Текст] / I.N. Сергеев. – М.: Шалгалт, 2012. – 301 х.
Соболев, А.Б. Анхан шатны математик [Текст] / А.Б. Соболев. – Екатеринбург: Улсын дээд мэргэжлийн боловсролын сургалтын байгууллага USTU-UPI, 2005. – 81 х.
Фенко, Л.М. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх, функцийг судлах интервалын арга [Текст] / L.M. Фенко. – М .: тоодог, 2005. – 124 х.
Фридман, Л.М. Математик заах аргын онолын үндэс [Текст] / Л.М. Фридман. – М.: “ЛИБРОКОМ” номын өргөө, 2009. – 248 х.
Хавсралт 1
Энгийн тэгш бус байдлын шийдлийн график тайлбар
Цагаан будаа. 1
Цагаан будаа. 2
Зураг 3
Зураг 4
Зураг 5
Зураг 6
Зураг 7
Зураг 8
Хавсралт 2
Энгийн тэгш бус байдлын шийдэл
