Шийдлийн тайлбар. Нийт дифференциал дахь тэгшитгэл нь нийт дифференциал дахь тэгшитгэлийн тодорхойлолт

зарим функцууд. Хэрэв бид функцийг нийт дифференциалаас нь сэргээвэл дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл олно. Доор бид ярих болно функцийг нийт дифференциалаас нь сэргээх арга.

Дифференциал тэгшитгэлийн зүүн тал нь зарим функцийн нийт дифференциал юм U(x, y) = 0, нөхцөл хангагдсан бол.

Учир нь бүрэн дифференциал функц U(x, y) = 0Энэ , энэ нь нөхцөл хангагдсан үед .

Дараа нь, .

Системийн эхний тэгшитгэлээс бид олж авдаг . Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг ашиглан функцийг олно.

Ингэснээр бид шаардлагатай функцийг олох болно U(x, y) = 0.

Жишээ.

DE-ийн ерөнхий шийдлийг олъё .

Шийдэл.

Бидний жишээнд. Нөхцөл хангагдсан учир нь:

Дараа нь анхны дифференциал тэгшитгэлийн зүүн тал нь зарим функцийн нийт дифференциал юм U(x, y) = 0. Бид энэ функцийг олох хэрэгтэй.

Учир нь нь функцийн нийт дифференциал юм U(x, y) = 0, гэсэн утгатай:

.

Бид нэгтгэдэг xСистемийн 1-р тэгшитгэл ба ялгаатай yүр дүн:

.

Системийн 2-р тэгшитгэлээс бид . гэсэн утгатай:

Хаана ХАМТ- дурын тогтмол.

Тиймээс өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл болно .

Хоёрдахь нь бий функцийг нийт дифференциалаас нь тооцоолох арга. Энэ нь тогтмол цэгийн шугамын интегралыг авахаас бүрдэнэ (x 0 , y 0)хувьсах координаттай цэг хүртэл (х, у): . Энэ тохиолдолд интегралын утга нь интегралын замаас хамааралгүй байна. Холбоос нь координатын тэнхлэгтэй параллель байгаа тасархай шугамыг нэгтгэх зам болгон авах нь тохиромжтой.

Жишээ.

DE-ийн ерөнхий шийдлийг олъё .

Шийдэл.

Бид нөхцөлийн биелэлтийг шалгана:

Тиймээс дифференциал тэгшитгэлийн зүүн тал нь зарим функцийн бүрэн дифференциал юм U(x, y) = 0. Цэгийн муруйн интегралыг тооцоолж энэ функцийг олъё (1; 1) руу (х, у). Интеграцийн замын хувьд бид тасархай шугамыг авдаг: хугарсан шугамын эхний хэсэг нь шулуун шугамын дагуу дамждаг. y = 1цэгээс (1, 1) руу (x, 1), замын хоёр дахь хэсэг болгон бид цэгээс шулуун шугамын сегментийг авдаг (x, 1)руу (х, у):

Тиймээс алсын удирдлагын ерөнхий шийдэл дараах байдалтай байна. .

Жишээ.

DE-ийн ерөнхий шийдлийг тодорхойлъё.

Шийдэл.

Учир нь , энэ нь нөхцөл хангагдаагүй гэсэн үг юм, тэгвэл дифференциал тэгшитгэлийн зүүн тал нь функцийн бүрэн дифференциал болохгүй бөгөөд та шийдлийн хоёр дахь аргыг ашиглах хэрэгтэй (энэ тэгшитгэл нь салангид хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэл юм).

Дифференциал хэлбэрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг

П(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 ,

Энд зүүн тал нь хоёр хувьсагчийн аливаа функцийн нийт дифференциал юм.

Хоёр хувьсагчийн үл мэдэгдэх функцийг (нийт дифференциал дахь тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд үүнийг олох шаардлагатай) гэж тэмдэглэе. Фмөн бид удахгүй үүн рүү буцах болно.

Таны анхаарах ёстой хамгийн эхний зүйл бол тэгшитгэлийн баруун талд тэг байх ёстой бөгөөд зүүн талд хоёр гишүүнийг холбосон тэмдэг нь нэмэх байх ёстой.

Хоёрдугаарт, энэ дифференциал тэгшитгэл нь нийт дифференциал дахь тэгшитгэл гэдгийг баталж байгаа зарим тэгш байдлыг ажиглах ёстой. Энэхүү шалгалт нь нийт дифференциал дахь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмын зайлшгүй хэсэг юм (энэ хичээлийн хоёр дахь догол мөрөнд байгаа), тиймээс функцийг олох үйл явц Фмаш их хөдөлмөр шаарддаг бөгөөд эхний шатанд цаг хугацаа алдахгүй байх нь чухал юм.

Тиймээс олох шаардлагатай үл мэдэгдэх функцийг дараах байдлаар тэмдэглэв Ф. Бүх бие даасан хувьсагчийн хэсэгчилсэн дифференциалуудын нийлбэр нь нийт дифференциалыг өгдөг. Тиймээс хэрэв тэгшитгэл нь нийт дифференциал тэгшитгэл бол тэгшитгэлийн зүүн тал нь хэсэгчилсэн дифференциалуудын нийлбэр юм. Дараа нь тодорхойлолтоор

dF = П(x,y)dx + Q(x,y)dy .

Хоёр хувьсагчийн функцийн нийт дифференциалыг тооцоолох томъёог эргэн санацгаая.

Сүүлийн хоёр тэгшитгэлийг шийдэж, бид бичиж болно

.

Бид эхний тэгш байдлыг "y" хувьсагчтай, хоёр дахь нь "x" хувьсагчаар ялгадаг.

.

Энэ нь өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэл үнэхээр нийт дифференциал тэгшитгэл байх нөхцөл юм.

Нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм

Алхам 1.Тэгшитгэл нь нийт дифференциал тэгшитгэл байгаа эсэхийг шалгаарай. Илэрхийлэхийн тулд зарим функцийн нийт дифференциал байв Ф(x, y) шаардлагатай бөгөөд хангалттай учраас . Өөрөөр хэлбэл, та хэсэгчилсэн деривативыг авч үзэх хэрэгтэй xболон хамаарах хэсэгчилсэн дериватив yөөр гишүүн бөгөөд хэрэв эдгээр деривативууд тэнцүү бол тэгшитгэл нь нийт дифференциал тэгшитгэл болно.

Алхам 2.Функцийг бүрдүүлдэг хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн системийг бич Ф:

Алхам 3.Системийн эхний тэгшитгэлийг нэгтгэх - by x (y Ф:

,
y.

Альтернатив хувилбар (хэрэв интегралыг ингэж олоход хялбар бол) системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг нэгтгэх явдал юм. y (xтогтмол хэвээр байх ба интеграл тэмдэгээс хасагдана). Ийм байдлаар функцийг мөн сэргээдэг Ф:

,
-ийн хараахан тодорхойгүй функц хаана байна X.

Алхам 4. 3-р алхамын үр дүнг (олдсон ерөнхий интеграл) -аар ялгана y(өөр хувилбараар - дагуу x) ба системийн хоёр дахь тэгшитгэлтэй тэнцэнэ:

,

ба өөр хувилбарт - системийн эхний тэгшитгэлд:

.

Үүссэн тэгшитгэлээс бид тодорхойлно (өөр нэг хувилбараар)

Алхам 5. 4-р алхамын үр дүн нь нэгтгэх, олох явдал юм (өөр нэг хувилбар бол олох).

Алхам 6. 5-р алхамын үр дүнг 3-р алхамын үр дүнд - хэсэгчилсэн интеграцид сэргээгдсэн функц руу орлуул. Ф. Дурын тогтмол Cтэгшитгэлийн баруун талд ихэвчлэн тэнцүү тэмдгийн дараа бичдэг. Ийнхүү бид нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олж авна. Өмнө дурьдсанчлан энэ нь хэлбэртэй байна Ф(x, y) = C.

Нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийн жишээ

Жишээ 1.

Алхам 1. нийт дифференциал дахь тэгшитгэл xилэрхийллийн зүүн талд нэг нэр томъёо

болон хамаарах хэсэгчилсэн дериватив yөөр нэр томъёо
нийт дифференциал дахь тэгшитгэл .

Алхам 2. Ф:

Алхам 3. By x (yтогтмол хэвээр байх ба интеграл тэмдэгээс хасагдана). Тиймээс бид функцийг сэргээдэг Ф:

-ийн хараахан тодорхойгүй функц хаана байна y.

Алхам 4. y

.

.

Алхам 5.

Алхам 6. Ф. Дурын тогтмол C :
.

Энд ямар алдаа гарах магадлал хамгийн өндөр вэ? Хамгийн нийтлэг алдаа бол функцүүдийн үржвэрийн ердийн интегралын аль нэг хувьсагчийн хэсэгчилсэн интегралыг авч, хэсэгчлэн эсвэл орлуулах хувьсагчаар интегралдах, мөн хоёр хүчин зүйлийн хэсэгчилсэн деривативыг үүсмэл хэлбэрээр авах явдал юм. функцүүдийн үржвэр болон холбогдох томъёог ашиглан деривативыг олоорой.

Үүнийг санаж байх ёстой: нэг хувьсагчийн хувьд хэсэгчилсэн интегралыг тооцоолохдоо нөгөө нь тогтмол бөгөөд интегралын тэмдгээс хасагдсан, харин нэг хувьсагчийн хувьд хэсэгчилсэн деривативыг тооцоолохдоо нөгөө нь тогтмол байна. нь мөн тогтмол бөгөөд илэрхийллийн дериватив нь тогтмолоор үржүүлсэн “ажилладаг” хувьсагчийн дериватив хэлбэрээр олддог.

дунд нийт дифференциал дахь тэгшитгэл Экспоненциал функцтэй жишээг олох нь ховор биш юм. Энэ бол дараагийн жишээ юм. Үүний шийдэл нь өөр хувилбарыг ашигладаг нь бас анхаарал татаж байна.

Жишээ 2.Дифференциал тэгшитгэлийг шийд

.

Алхам 1.Тэгшитгэл байгаа эсэхийг шалгацгаая нийт дифференциал дахь тэгшитгэл . Үүнийг хийхийн тулд бид хэсэгчилсэн деривативыг олно xилэрхийллийн зүүн талд нэг нэр томъёо

болон хамаарах хэсэгчилсэн дериватив yөөр нэр томъёо
. Эдгээр деривативууд нь тэнцүү бөгөөд энэ нь тэгшитгэл нь гэсэн үг юм нийт дифференциал дахь тэгшитгэл .

Алхам 2.Функцийг бүрдүүлдэг хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн системийг бичье Ф:

Алхам 3.Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг нэгтгэж үзье - by y (xтогтмол хэвээр байх ба интеграл тэмдэгээс хасагдана). Тиймээс бид функцийг сэргээдэг Ф:

-ийн хараахан тодорхойгүй функц хаана байна X.

Алхам 4.Бид 3-р алхамын үр дүнг (олдсон ерөнхий интеграл) -аас ялгадаг X

системийн эхний тэгшитгэлтэй тэнцүү байна:

Үүссэн тэгшитгэлээс бид дараахь зүйлийг тодорхойлно.
.

Алхам 5.Бид 4-р алхамын үр дүнг нэгтгэж, олно:
.

Алхам 6.Бид 5-р алхамын үр дүнг 3-р алхамын үр дүнд - хэсэгчилсэн интеграцид сэргээгдсэн функц болгон орлуулна. Ф. Дурын тогтмол Cтэнцүү тэмдгийн ард бичнэ. Ингэснээр бид нийт дүнг авна нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх :
.

Дараах жишээн дээр бид өөр хувилбараас үндсэн хувилбар руу буцах болно.

Жишээ 3.Дифференциал тэгшитгэлийг шийд

Алхам 1.Тэгшитгэл байгаа эсэхийг шалгацгаая нийт дифференциал дахь тэгшитгэл . Үүнийг хийхийн тулд бид хэсэгчилсэн деривативыг олно yилэрхийллийн зүүн талд нэг нэр томъёо

болон хамаарах хэсэгчилсэн дериватив xөөр нэр томъёо
. Эдгээр деривативууд нь тэнцүү бөгөөд энэ нь тэгшитгэл нь гэсэн үг юм нийт дифференциал дахь тэгшитгэл .

Алхам 2.Функцийг бүрдүүлдэг хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн системийг бичье Ф:

Алхам 3.Системийн эхний тэгшитгэлийг нэгтгэж үзье - By x (yтогтмол хэвээр байх ба интеграл тэмдэгээс хасагдана). Тиймээс бид функцийг сэргээдэг Ф:

-ийн хараахан тодорхойгүй функц хаана байна y.

Алхам 4.Бид 3-р алхамын үр дүнг (олдсон ерөнхий интеграл) -аас ялгадаг y

системийн хоёр дахь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна:

Үүссэн тэгшитгэлээс бид дараахь зүйлийг тодорхойлно.
.

Алхам 5.Бид 4-р алхамын үр дүнг нэгтгэж, олно:

Алхам 6.Бид 5-р алхамын үр дүнг 3-р алхамын үр дүнд - хэсэгчилсэн интеграцид сэргээгдсэн функц болгон орлуулна. Ф. Дурын тогтмол Cтэнцүү тэмдгийн ард бичнэ. Ингэснээр бид нийт дүнг авна нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх :
.

Жишээ 4.Дифференциал тэгшитгэлийг шийд

Алхам 1.Тэгшитгэл байгаа эсэхийг шалгацгаая нийт дифференциал дахь тэгшитгэл . Үүнийг хийхийн тулд бид хэсэгчилсэн деривативыг олно yилэрхийллийн зүүн талд нэг нэр томъёо

болон хамаарах хэсэгчилсэн дериватив xөөр нэр томъёо
. Эдгээр деривативууд нь тэнцүү бөгөөд энэ нь тэгшитгэл нь нийт дифференциал тэгшитгэл гэсэн үг юм.

Алхам 2.Функцийг бүрдүүлдэг хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн системийг бичье Ф:

Алхам 3.Системийн эхний тэгшитгэлийг нэгтгэж үзье - By x (yтогтмол хэвээр байх ба интеграл тэмдэгээс хасагдана). Тиймээс бид функцийг сэргээдэг Ф:

-ийн хараахан тодорхойгүй функц хаана байна y.

Алхам 4.Бид 3-р алхамын үр дүнг (олдсон ерөнхий интеграл) -аас ялгадаг y

системийн хоёр дахь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна:

Үүссэн тэгшитгэлээс бид дараахь зүйлийг тодорхойлно.
.

Алхам 5.Бид 4-р алхамын үр дүнг нэгтгэж, олно:

Алхам 6.Бид 5-р алхамын үр дүнг 3-р алхамын үр дүнд - хэсэгчилсэн интеграцид сэргээгдсэн функц болгон орлуулна. Ф. Дурын тогтмол Cтэнцүү тэмдгийн ард бичнэ. Ингэснээр бид нийт дүнг авна нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх :
.

Жишээ 5.Дифференциал тэгшитгэлийг шийд

.

Алхам 1.Тэгшитгэл байгаа эсэхийг шалгацгаая нийт дифференциал дахь тэгшитгэл . Үүнийг хийхийн тулд бид хэсэгчилсэн деривативыг олно yилэрхийллийн зүүн талд нэг нэр томъёо

болон хамаарах хэсэгчилсэн дериватив xөөр нэр томъёо
. Эдгээр деривативууд нь тэнцүү бөгөөд энэ нь тэгшитгэл нь гэсэн үг юм нийт дифференциал дахь тэгшитгэл .

Нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэлийг хэрхэн танихыг харуулна. Үүнийг шийдвэрлэх аргуудыг өгсөн болно. Нийт дифференциал дахь тэгшитгэлийг хоёр аргаар шийдвэрлэх жишээг өгөв.

Танилцуулга

Хэрэв ийм функц U олдвол (х, у), тэгвэл тэгшитгэл нь дараах хэлбэрийг авна.
dU (x, y) = 0.
Үүний ерөнхий интеграл нь:
У (x, y) = C,
Энд C нь тогтмол байна.

Хэрэв нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг деривативаар нь бичвэл:
,
дараа нь хэлбэрт оруулахад хялбар байдаг (1) . Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийг dx-ээр үржүүлнэ.
(1) .

Дараа нь . Үүний үр дүнд бид дифференциалаар илэрхийлсэн тэгшитгэлийг олж авна.

Нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэлийн шинж чанар (1) Тэгшитгэл хийхийн тулд
(2) .

Энэ нь нийт дифференциал дахь тэгшитгэл байсан тул харилцааг хангахад шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм:

Баталгаа Бид цаашид нотлоход ашигласан бүх функцууд тодорхойлогдсон бөгөөд x ба y хувьсагчдын утгын зарим мужид харгалзах деривативуудтай байна гэж бид таамаглаж байна. x цэг

0 , y 0.
мөн энэ бүсэд хамаарна. (1) Нөхцөл (2) шаардлагатайг баталцгаая. (х, у):
.
Тэгшитгэлийн зүүн талыг үзье
;
.
нь зарим U функцийн дифференциал юм
;
.
Дараа нь (2) Хоёрдахь дериватив нь ялгах дарааллаас хамаарахгүй тул

Үүнийг дагадаг..
Шаардлагатай нөхцөл (2) :
(2) .
батлагдсан. (х, у)Нөхцөл (2) хангалттай гэдгийг баталъя.
.
Нөхцөл хангагдах болтугай (х, у)Ийм U функцийг олох боломжтой гэдгийг харуулъя
(3) ;
(4) .
түүний дифференциал нь: (3) Энэ нь ийм U функц байгаа гэсэн үг юм 0 , энэ нь тэгшитгэлийг хангадаг:
;
;
(5) .
Ийм функцийг олцгооё. Тэгшитгэлийг нэгтгэж үзье (2) :

.
x-ээс x-ээр (4) y-г тогтмол гэж үзвэл x хүртэл:
.
Бид x-г тогтмол гэж үзээд у-д хамааруулан ялгадаг 0 Тэгшитгэл
;
;
.
байвал гүйцэтгэнэ (5) :
(6) .
y-ээс y дээр интеграл
.
танд:

Орлуулах (6) Тиймээс бид дифференциалтай функцийг олсон Хангалттай нь батлагдсан.Томъёонд (х, у), У Бид цаашид нотлоход ашигласан бүх функцууд тодорхойлогдсон бөгөөд x ба y хувьсагчдын утгын зарим мужид харгалзах деривативуудтай байна гэж бид таамаглаж байна.(x 0 , y 0)

тогтмол байна - U функцийн утга

x цэг дээр
(1) .
. (2) :
(2) .
Энэ нь ямар ч утгыг оноож болно.

Нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэлийг хэрхэн таних вэ

Тэгшитгэл нийт дифференциал байгаа эсэхийг шалгана уу:
.

Энд
, .
Бид x тогтмолыг харгалзан y-г ялгадаг:


.
Ялгаж үзье


.
Учир нь:
,
тэгвэл өгөгдсөн тэгшитгэл нь нийт дифференциал болно.

Нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Дараалсан дифференциал олборлох арга

Нийт дифференциал дахь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хамгийн энгийн арга бол дифференциалыг дараалан тусгаарлах арга юм. Үүнийг хийхийн тулд бид дифференциал хэлбэрээр бичсэн ялгах томъёог ашигладаг.
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d (UV);
;
.
Эдгээр томъёонд u болон v нь хувьсагчдын дурын хослолоос бүрдсэн дурын илэрхийлэл юм.

Жишээ 1

Тэгшитгэлийг шийд:
.

Өмнө нь бид энэ тэгшитгэл нь нийт дифференциал байгааг олж мэдсэн. Үүнийг өөрчилье:
(P1) .
Бид дифференциалыг дараалан тусгаарлах замаар тэгшитгэлийг шийддэг.
;
;
;
;

.
байвал гүйцэтгэнэ (P1):
;
.

Дараалсан интеграцийн арга

Энэ аргын хувьд бид U функцийг хайж байна (х, у), тэгшитгэлийг хангах:
(3) ;
(4) .

Тэгшитгэлийг нэгтгэж үзье (3) x-д y тогтмолыг авч үзвэл:
.
Энд φ (y)- тодорхойлох шаардлагатай y-ийн дурын функц. Энэ нь интеграцийн тогтмол юм. Тэгшитгэлд орлуулна уу (4) :
.
Эндээс:
.
Интеграцчилснаар бид φ-ийг олно (y)улмаар У (х, у).

Жишээ 2

Тэгшитгэлийг нийт дифференциалаар шийд:
.

Өмнө нь бид энэ тэгшитгэл нь нийт дифференциал байгааг олж мэдсэн. Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя.
, .
U функцийг хайж байна (х, у), дифференциал нь тэгшитгэлийн зүүн тал нь:
.
Дараа нь:
(3) ;
(4) .
Тэгшитгэлийг нэгтгэж үзье (3) x-д y тогтмолыг авч үзвэл:
(P2)
.
y-ээр ялгах:

.
Орлуулж орцгооё (4) :
;
.
Нэгтгэцгээе:
.
Орлуулж орцгооё (P2):

.
Тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл:
У (x, y) = const.
Бид хоёр тогтмолыг нэг болгон нэгтгэдэг.

Муруй дагуу нэгтгэх арга

U функцийг хамаарлаар тодорхойлсон:
dU = p (x, y) dx + q(x, y) dy,
цэгүүдийг холбосон муруйн дагуу энэ тэгшитгэлийг интегралчлах замаар олж болно Хангалттай нь батлагдсан.Тэгээд (х, у):
(7) .
Учир нь
(8) ,
тэгвэл интеграл нь зөвхөн анхны координатаас хамаарна Хангалттай нь батлагдсан.ба эцсийн (х, у)оноо бөгөөд муруй хэлбэрээс хамаарахгүй. -аас (7) Тэгээд (8) бид олдог:
(9) .
Энд x 0 болон y 0 - байнгын. Тиймээс У Хангалттай нь батлагдсан.- бас тогтмол.

U-ийн ийм тодорхойлолтын жишээг нотлох баримтаас авсан болно.
(6) .
Энд интеграцийг эхлээд цэгээс у тэнхлэгтэй параллель сегментийн дагуу гүйцэтгэнэ (x 0 , y 0 )цэг хүртэл (x 0 , y). (x 0 , y)цэг хүртэл (х, у) .

Дараа нь цэгээс x тэнхлэгтэй параллель сегментийн дагуу интеграцийг гүйцэтгэнэ (x 0 , y 0 )Тэгээд (х, у)Ерөнхийдөө та муруй холболтын цэгүүдийн тэгшитгэлийг илэрхийлэх хэрэгтэй
параметрийн хэлбэрээр: x 1 = s(t 1) ;;
параметрийн хэлбэрээр: y 1 = s(t 1) 1 = r(t 1);
0 = s(t 0) 0 = r(t 0) x = s 0 = r(t 0);
(t) 1 ; 0 y = r

ба т дээр нэгтгэх (x 0 , y 0 )Тэгээд (х, у)-аас т
параметрийн хэлбэрээр: т. 1 = s(t 1) Интеграцийг гүйцэтгэх хамгийн хялбар арга бол сегментийг холбох цэгүүд юм;
. 0 = 0 Энэ тохиолдолд: 1 ;
1 = x 0 + (x - x 0) t 1 1 = (x - x 0) dt 1; dy.
1 = (y - y 0) dt 1 0 руу 1 .
Орлуулсны дараа бид t-ийн интегралыг олж авна

Гэхдээ энэ арга нь нэлээд төвөгтэй тооцоолол хийхэд хүргэдэг.
Ашигласан уран зохиол:

V.V. Степанов, Дифференциал тэгшитгэлийн курс, "LKI", 2015 он.Тодорхойлолт 8.4.

Маягтын дифференциал тэгшитгэл
Хаана

нийт дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.
.

Ийм тэгшитгэлийн зүүн тал нь зарим функцийн нийт дифференциал гэдгийг анхаарна уу

Ерөнхийдөө (8.4) тэгшитгэлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно

,

(8.5) тэгшитгэлийн оронд бид тэгшитгэлийг авч үзэж болно
Үүний шийдэл нь (8.4) тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл юм. Тиймээс (8.4) тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд функцийг олох шаардлагатай

(8.6)

. (8.4) тэгшитгэлийн тодорхойлолтын дагуу бид байна
Чиг үүрэг

Маягтын дифференциал тэгшитгэл Бид эдгээр нөхцлүүдийн аль нэгийг (8.6) хангасан функцийг хайх болно: .

-аас хамааралгүй дурын функц
Чиг үүрэг

(8.7)

илэрхийллийн хоёр дахь нөхцөл (8.6) хангагдсан байхаар тодорхойлогддог
(8.7) илэрхийллээс функц тодорхойлогдоно
. Үүнийг илэрхийлэлд орлуулж байна

мөн анхны тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олж авна.Асуудал 8.3.

Тэгшитгэлийг нэгтгэх
.

Энд
Иймээс энэ тэгшитгэл нь нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэлийн төрөлд хамаарна. Чиг үүрэг

.

Бид үүнийг хэлбэрээр хайх болно

.

Нөгөө талаас,
Зарим тохиолдолд нөхцөл байдал

биелэхгүй байж болно. Дараа нь ийм тэгшитгэлийг ерөнхий тохиолдолд зөвхөн функц болох интегралчлагч хүчин зүйлээр үржүүлэх замаар авч үзэж буй төрөл болгон бууруулна. .

эсвэл Хэрэв зарим тэгшитгэл нь зөвхөн хамаарах интегралч хүчин зүйлтэй бол

, дараа нь томъёогоор тодорхойлно харилцаа хаана байна .

зөвхөн функц байх ёстой Үүний нэгэн адил интеграцийн хүчин зүйл нь зөвхөн хамаарна

, томъёогоор тодорхойлогдоно
харилцаа хаана байна .

харилцаа хаана байна Өгөгдсөн харилцаанд, эхний тохиолдолд хувьсагчийн байхгүй байх , хоёрдугаарт - хувьсагч

, нь өгөгдсөн тэгшитгэлийн интегралчлагч хүчин зүйл байгаагийн шинж тэмдэг юм.Асуудал 8.4.

.

Энэ тэгшитгэлийг нийт дифференциал дахь тэгшитгэл болгон бууруул.

.

Харилцааг авч үзье:

Сэдэв 8.2. Шугаман дифференциал тэгшитгэлТодорхойлолт 8.5
. Дифференциал тэгшитгэл хэрэв хүссэн функцийн хувьд шугаман бол шугаман гэж нэрлэдэг , түүний дериватив

мөн хүссэн функц болон түүний деривативын үржвэрийг агуулаагүй болно.

(8.8)

Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэрийг дараах харьцаагаар илэрхийлнэ.
Хэрэв (8.8) харьцаатай бол баруун тал
, тэгвэл ийм тэгшитгэлийг шугаман нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг. Баруун талд байгаа тохиолдолд

(8.8) тэгшитгэлийг квадратад нэгтгэж болохыг харуулъя.

Эхний шатанд бид шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг авч үздэг.

Ийм тэгшитгэл нь салангид хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Үнэхээр,

;

/

Сүүлийн хамаарал нь шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг тодорхойлно.

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олохын тулд тогтмолын деривативыг өөрчлөх аргыг ашигладаг. Аргын санаа нь шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэлтэй ижил хэлбэртэй боловч дурын тогтмол юм. зарим функцээр солигдсон
тодорхойлох. Тиймээс бидэнд байна:

(8.9)

(8.8)-д харгалзах илэрхийллийг орлуулах
Тэгээд
, бид авдаг

Сүүлийн илэрхийллийг (8.9) хамааралд орлуулснаар шугаман нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олж авна.

Ийнхүү шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл ба шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл гэсэн хоёр квадратаар тодорхойлно.

Асуудал 8.5.Тэгшитгэлийг нэгтгэх

Тиймээс анхны тэгшитгэл нь шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн төрөлд хамаарна.

Эхний шатанд бид шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олох болно.

;

Хоёр дахь шатанд бид шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг тодорхойлно.

,

Маягтын дифференциал тэгшитгэл
- функцийг тодорхойлох.

Тиймээс бидэнд байна:

Харилцааг орлуулах Тэгээд Анхны шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлд бид дараахь зүйлийг олж авна.

;

;

.

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

.

Стандарт хэлбэр $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$ байх ба зүүн тал нь $F зарим функцийн нийт дифференциал юм. \left( x,y\right)$-ийг нийт дифференциал тэгшитгэл гэнэ.

Нийт дифференциал дахь тэгшитгэлийг үргэлж $dF\left(x,y\right)=0$ гэж дахин бичиж болно, $F\left(x,y\right)$ нь $dF\left(x, y\баруун)=P\left(x,y\баруун)\cdot dx+Q\left(x,y\баруун)\cdot dy$.

$dF\left(x,y\right)=0$ тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэж үзье: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; тэг баруун талын интеграл нь дурын тогтмол $C$-тай тэнцүү байна. Иймд далд хэлбэрээр энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь $F\left(x,y\right)=C$ байна.

Өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэл нь нийт дифференциал дахь тэгшитгэл байхын тулд $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. сэтгэл хангалуун байх. Хэрэв заасан нөхцөл хангагдсан бол $F\left(x,y\right)$ функц байгаа бөгөөд бид үүнийг бичих боломжтой: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, үүнээс бид хоёр хамаарлыг олж авна. : $\frac(\ хэсэгчилсэн F)(\хэсэг x) =P\зүүн(x,y\баруун)$ болон $\frac(\хэсэг F)(\хэсэг y) =Q\зүүн(x,y\баруун) )$.

Бид $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$-ын $x$-ын эхний хамаарлыг нэгтгэж $F\left(x,y\right)=\int-ийг авна. P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, энд $U\left(y\right)$ нь $y$-ын дурын функц юм.

$\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ хоёр дахь хамаарлыг хангахаар үүнийг сонгоцгооё. Үүнийг хийхийн тулд бид $F\left(x,y\right)$-ын үр дүнгийн хамаарлыг $y$-тай харьцуулан ялгаж, үр дүнг $Q\left(x,y\right)$-тай тэнцүүлнэ. Бид дараахыг авна: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\right)$.

Цаашдын шийдэл нь:

• сүүлчийн тэгшитгэлээс бид $U"\left(y\right)$;
• $U"\left(y\right)$-г нэгтгэж, $U\left(y\right)$-г ол;
• $U\left(y\right)$-г $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) тэгшитгэлд орлуулна. $ ба эцэст нь $F\left(x,y\right)$ функцийг олж авна.

Бид ялгааг олдог:

Бид $U"\left(y\right)$-г $y$ дээр нэгтгэж $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$-г олно.

Үр дүнг ол: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Бид ерөнхий шийдлийг $F\left(x,y\right)=C$ хэлбэрээр бичнэ, тухайлбал:

Тодорхой шийдлийг олоорой $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0),y_(0) \right)$, энд $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

Хэсэгчилсэн шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.