х дуудсан

1.2.3. Үржүүлэхийн товчилсон тэмдэгтүүдийг ашиглах

Жишээ. Хүчин зүйл x 4 16.

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .

1.2.4. Олон гишүүнт үндсийг нь ашиглан үржүүлэх

Теорем. P x олон гишүүнт үндэс x 1 байг. Дараа нь энэ олон гишүүнтийг дараах байдлаар үржвэрлэж болно: P x x x 1 S x, энд S x нь зэрэг нь нэгээс бага олон гишүүнт юм.

утгыг P x-ийн илэрхийлэл болгон хувиргах үед бид x 2-ыг олж авна.

илэрхийлэл нь 0, өөрөөр хэлбэл P 2 0 болж хувирах бөгөөд энэ нь x 2 нь олон тооны үндэс гэсэн үг юм.

гишүүн. P x олон гишүүнтийг x 2-т хуваа.

X 3 3x 2 10x 24
x 32 x 2	24 10 х	x2 x12
	24 10 х

12х 2412х 24

P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3

x2 x3 x4

1.3. Бүрэн квадратыг сонгох

Бүрэн квадратыг сонгох арга нь a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 гэсэн томъёог ашиглахад суурилдаг.

Бүрэн квадратыг тусгаарлах нь өгөгдсөн гурвалсан гишүүнийг хоёр гишүүний квадратын нийлбэр эсвэл зөрүү ба зарим тоон эсвэл цагаан толгойн илэрхийлэлийн b 2 хэлбэрээр илэрхийлсэн таних тэмдгийн хувиргалт юм.

Хувьсагчийн хувьд квадрат гурвалжин нь хэлбэрийн илэрхийлэлийг өгдөг

ax 2 bx c , энд a , b ба c тоонууд өгөгдсөн бөгөөд a 0 .

Квадрат гурвалсан сүх 2 bx c-ийг дараах байдлаар хувиргацгаая.

x2:

коэффициент

Дараа нь бид b x илэрхийлэлийг 2b x (бүтээгдэхүүнийг 2 дахин) илэрхийлнэ

x ):a x

Хаалтанд байгаа илэрхийлэлд бид үүнээс тоог нэмж, хасдаг

Энэ нь тооны квадрат юм

Үүний үр дүнд бид:

Одоо л анзаарч байна

Бид авдаг

4a 2

Жишээ. Бүрэн квадратыг сонгоно уу.

2 х 12

2х 2 4х 5 2х 2 2х 5

2 x 2 2x 1 15

2 x 12 7.

4 a 2,

1.4. Хэд хэдэн хувьсагчийн олон гишүүнтүүд

Нэг хувьсагчийн олон гишүүнт гэх мэт хэд хэдэн хувьсагчийн олон гишүүнтүүдийг нэмж, үржүүлж, байгалийн хүчин чадалд өсгөж болно.

Хэд хэдэн хувьсагчийн олон гишүүнтийг таних чухал хувирал бол хүчин зүйлчлэл юм. Энд нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтанд оруулах, бүлэглэх, товчилсон үржүүлгийн таних тэмдэг ашиглах, бүтэн квадратыг тусгаарлах, туслах хувьсагчдыг оруулах зэрэг хүчин зүйлчлэлийг ашигладаг.

1. P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 олон гишүүнтийг үржүүл.

2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y 32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.

2. Хүчин зүйл P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Бүлэглэх аргыг хэрэглэцгээе

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y

4 x3 y5 x z.

3. Хүчин зүйл P x ,y x 4 4y 4 . Бүрэн квадратыг сонгоцгооё:

x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1.5. Аливаа рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарууд

Аливаа рационал илтгэгчтэй зэрэг нь дараахь шинж чанартай байдаг.

1. a r 1a r 2a r 1r 2,

	a r 1a r 2a r 1r 2,
3. a r 1r 2 a r 1r 2,
4. abr 1 ar 1 br 1,
	a r 1	ар 1


		br 1

a 0;b 0;r 1;r 2 нь дурын рационал тоонууд.

1. 8-ыг үржүүл

x 3 12x 7.

24 x 23.

8 x 3 12 x 7 x 8x 12x 8 12x 24

2. Хүчин зүйлд хуваах

2х3

1.6. Өөрөө хийх дасгалууд

1. Үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан үйлдлийг гүйцэтгэнэ. 1) a 52;

2) 3 a 72 ;

3) a nb n2.

4) 1 x 3;

	3 y 3 ;

7) 8 a 2 8a 2;

8) а нб ка кб на нб ка кб н.

9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;

10) a 3a 2 3a 9;

11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3

2. Товчилсон үржүүлгийн таних тэмдгийг ашиглан тооцоол:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. Хэн болохыг нотлох:

1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;

2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2;

3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .

4. Дараах олон гишүүнтүүдийг үржүүлээрэй.

1) 3 x a2 a2;

2) ac 7 bc3 a21 b;

3) 63 м 4н 327 м 3н 445 м 5н 7;

4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;

6) 24 ax38 bx12 a19 b;

7) 25 a 21 b 2q 2;

8) 9 5 a 4b 2 64a 2;

9) 121 n 2 3n 2t 2;

10) 4 т 2 20тн 25н 2 36;

11) p 4 6 p2 k9 k2 ;

12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6;

13) 6 x 3 36x 2 72x 48;

14) 15 сүх 3 45 сүх 2 45 сүх 15 a ;

15) 9 a 3 n 1 4.5a 2 n 1;

16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n;

17) 4 a 7b 232 a 4b 5;

18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2;

19) 1000 т 3 27т 6 .

5. Хамгийн энгийн аргаар тооцоол:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. Олон гишүүнтийн хэсэг ба үлдэгдлийг ол P x олон гишүүнт Q x: 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;

2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Q x x4 4 x2 .

7. Олон гишүүнт гэдгийг батал x 2 2x 2 нь жинхэнэ үндэсгүй.

8. Олон гишүүнтийн язгуурыг ол:

1) x 3 4 x;

2) x 3 3x 2 5x 15.

9. Хүчин зүйл:

1) 6 a 2 a 5 5a 3;

2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2;

3) x 3 6x 2 11x 6.

10. Бүрэн квадратыг тусгаарлах замаар тэгшитгэлийг шийд:

1) x 2 2x 3 0;

2) x 2 13x 30 0 .

11. Илэрхийллийн утгыг ол:

		4 3 85

		16 6
		2 520 9 519

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. Тооцоол:

16 0,25

Онлайн тооцоолуур.
Хоёр гишүүний квадратыг салгаж, дөрвөлжин гурвалжны хүчин зүйлийг ялгах.

Энэ математикийн програм дөрвөлжин хоёр гишүүнийг квадрат гурвалсанаас ялгадаг, өөрөөр хэлбэл дараах өөрчлөлтийг хийдэг.
$ax^2+bx+c \баруун сум a(x+p)^2+q $ ба квадрат гурвалжийг үржвэржүүлэх: $ax^2+bx+c \баруун сум a(x+n)(x+m) $

Тэдгээр. $p, q$ ба $n, m$ тоонуудыг олох хүртэл асуудал гардаг.

Програм нь асуудлын хариултыг өгөхөөс гадна шийдвэрлэх үйл явцыг харуулдаг.

Энэхүү програм нь ерөнхий боловсролын сургуулийн ахлах ангийн сурагчдад шалгалт, шалгалтанд бэлдэх, улсын нэгдсэн шалгалтын өмнө мэдлэгээ шалгах, эцэг эхчүүдэд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянахад хэрэг болно.

Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байж магадгүй юм уу? Эсвэл та математик, алгебрийн гэрийн даалгавраа аль болох хурдан хийхийг хүсч байна уу? Энэ тохиолдолд та нарийвчилсан шийдэл бүхий манай програмуудыг ашиглаж болно.

Энэ мэтчилэн та өөрийн дүү, эгч нарынхаа сургалтыг өөрөө явуулах боломжтой, харин асуудлыг шийдвэрлэх чиглэлээр боловсролын түвшин нэмэгддэг.

Хэрэв та квадрат гурвалжинд орох дүрмийг мэдэхгүй бол тэдэнтэй танилцахыг зөвлөж байна.

Квадрат олон гишүүнт оруулах дүрэм
Ямар ч латин үсэг хувьсагч болж чадна.

Жишээ нь: $x, y, z, a, b, c, o, p, q$ гэх мэт.
Тоонуудыг бүхэл болон бутархай тоогоор оруулж болно.

Түүнээс гадна бутархай тоог зөвхөн аравтын бутархай хэлбэрээр төдийгүй энгийн бутархай хэлбэрээр оруулж болно.
Аравтын бутархай оруулах дүрэм.
Аравтын бутархайн хувьд бутархай хэсгийг бүхэл хэсгээс цэг эсвэл таслалаар тусгаарлаж болно.

Жишээлбэл, та аравтын бутархайг дараах байдлаар оруулж болно: 2.5x - 3.5x^2
Энгийн бутархай оруулах дүрэм.

Зөвхөн бүхэл тоо нь бутархайн хүртэгч, хуваагч, бүхэл тоон хэсэг болж чадна.

Хуваагч нь сөрөг байж болохгүй. /
Тоон бутархай оруулахдаа тоологчийг хуваагчаас хуваах тэмдгээр тусгаарлана. &
Бүхэл хэсгийг бутархайгаас амперсанд тэмдгээр тусгаарлана.
Оролт: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2

Үр дүн: $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2$ Илэрхийлэл оруулах үедта хаалт ашиглаж болно
. Энэ тохиолдолд шийдвэрлэхдээ танилцуулсан илэрхийллийг эхлээд хялбаршуулсан болно.

Жишээ нь: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Нарийвчилсан шийдлийн жишээХоёр гишүүний квадратыг тусгаарлах. $$ ax^2+bx+c \баруун сум a(x+p)^2+q $$ $2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \баруун)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \баруун)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\зүүн (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \баруун)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \баруун)^2 \баруун)-\frac(9) )(2) = $$ $$2\зүүн(x+\frac(1)(2) \баруун)^2-\frac(9)(2) $$Хариулт: $$2х^2+2х-4 = 2\зүүн(x+\frac(1)(2) \баруун)^2-\frac(9)(2) $$Факторжуулалт.
$$ 2\зүүн(x^2+x-2 \баруун) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \баруун) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ $$ ax^2+bx+c \баруун сум a(x+p)^2+q $$ $2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \баруун)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \баруун)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\зүүн (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \баруун)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \баруун)^2 \баруун)-\frac(9) )(2) = $$ $$2\зүүн(x+\frac(1)(2) \баруун)^2-\frac(9)(2) $$$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Шийдэх

Энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим скриптүүд ачаалагдаагүй байгаа бөгөөд програм ажиллахгүй байж магадгүй юм.
Та AdBlock-ийг идэвхжүүлсэн байж магадгүй.
Энэ тохиолдолд үүнийг идэвхгүй болгож, хуудсыг дахин сэргээнэ үү.

Таны хөтөч дээр JavaScript идэвхгүй байна.
Шийдэл гарч ирэхийн тулд та JavaScript-г идэвхжүүлэх хэрэгтэй.
Хөтөч дээрээ JavaScript-г хэрхэн идэвхжүүлэх тухай заавар энд байна.

Учир нь Асуудлыг шийдэх хүсэлтэй хүмүүс олон байна, таны хүсэлтийг дараалалд орууллаа.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ.
Хүлээгээрэй сек...

Хэрэв та шийдэлд алдаа байгааг анзаарсан, дараа нь та энэ талаар санал хүсэлтийн маягт дээр бичиж болно.
Бүү март ямар ажлыг зааж өгнөта юуг шийднэ талбаруудад оруулна уу.

Манай тоглоом, таавар, эмуляторууд:

Бага зэрэг онол.

Хоёр гишүүний квадратыг дөрвөлжин гурвалсан гишүүнээс тусгаарлах

Хэрвээ дөрвөлжин гурвалсан тэнхлэг 2 +bx+c нь a(x+p) 2 +q хэлбэрээр дүрслэгдсэн бол p ба q нь бодит тоонууд бол бид дараахаас гэж хэлнэ. квадрат гурвалсан, хоёр гишүүний квадратыг тодруулсан.

2х 2 +12х+14 гурвалсан тооноос бид хоёр гишүүний квадратыг гаргаж авдаг.

$2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) $

Үүнийг хийхийн тулд 6x-ийг 2*3*x-ийн үржвэр гэж төсөөлөөд дараа нь 3 2-ыг нэмж хасах хэрэгтэй. Бид авах:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Тэр. Бид дөрвөлжин хоёр гишүүнийг дөрвөлжин гурвалсанаас гаргаж ав, мөн үүнийг харуулсан:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Квадрат гурвалжны коэффициент

Хэрэв квадрат гурвалсан тэнхлэг 2 +bx+c нь a(x+n)(x+m) хэлбэрээр дүрслэгдсэн бол n ба m нь бодит тоо бол үйлдлийг гүйцэтгэсэн гэж үзнэ. квадрат гурвалжны үржүүлэх.

Энэ хувиргалт хэрхэн хийгдсэнийг жишээгээр харуулъя.

2х 2 +4х-6 квадрат гурвалсан тоог үржүүлье.

А коэффициентийг хаалтнаас авч үзье, өөрөөр хэлбэл. 2:
$2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) $

Хаалтанд байгаа илэрхийллийг хувиргацгаая.
Үүнийг хийхийн тулд 2x-ийг 3x-1x-ийн зөрүү, -3-ыг -1*3 гэж төсөөл. Бид авах:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Тэр. Бид квадрат гурвалжийг хүчинтэй болгов, мөн үүнийг харуулсан:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Квадрат гурвалсан гишүүнд харгалзах квадрат тэгшитгэл үндэстэй үед л үржвэрлэх боломжтой гэдгийг анхаарна уу.
Тэдгээр. манай тохиолдолд 2х 2 +4х-6 =0 квадрат тэгшитгэл язгууртай бол 2х 2 +4х-6 гурвалсан тоог үржүүлэх боломжтой. Үржүүлэх үйл явцад бид 2x 2 + 4x-6 = 0 тэгшитгэл нь 1 ба -3 гэсэн хоёр үндэстэй болохыг тогтоосон. эдгээр утгуудаар 2(x-1)(x+3)=0 тэгшитгэл жинхэнэ тэгшитгэл болж хувирна.

Ном (сурах бичиг) Улсын нэгдсэн шалгалтын хураангуй болон Улсын нэгдсэн шалгалтын тестийн онлайн тоглоомууд, оньсого тоглоомууд Функцийн графикуудыг зурах Орос хэлний зөв бичгийн дүрмийн толь бичиг Орос сургуулийн залуучуудын хэллэгийн толь бичиг ОХУ-ын дунд боловсролын байгууллагуудын каталог Оросын их дээд сургуулиудын каталогийн жагсаалт даалгавруудын

Би аль хэдийн тэмдэглэсэнчлэн интеграл тооцоололд бутархайг нэгтгэх тохиромжтой томъёо байдаггүй. Тиймээс гунигтай хандлага бий: бутархай нь илүү боловсронгуй байх тусам түүний интегралыг олоход хэцүү байдаг. Үүнтэй холбогдуулан та янз бүрийн заль мэхийг ашиглах хэрэгтэй бөгөөд би одоо танд хэлэх болно. Бэлтгэсэн уншигчид тэр даруй давуу талыг ашиглах боломжтой агуулгын хүснэгт:

Энгийн бутархайн дифференциал тэмдгийг тооцох арга

Хиймэл тоологч хувиргах арга

Жишээ 1

Дашрамд хэлэхэд, авч үзсэн интегралыг хувьсагчийн аргыг өөрчлөх замаар шийдэж болно, гэхдээ шийдлийг бичих нь илүү урт байх болно.

Жишээ 2

Тодорхойгүй интегралыг ол. Шалгалт хийх.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хувьсах солих арга энд цаашид ажиллахгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Анхаар, чухал! Жишээ № 1, 2 нь ердийн бөгөөд байнга тохиолддог. Ялангуяа ийм интегралууд нь бусад интегралуудыг шийдвэрлэх явцад, ялангуяа иррационал функцуудыг (үндэс) нэгтгэх үед үүсдэг.

Энэ тохиолдолд авч үзсэн техник нь бас ажилладаг хэрэв тоологчийн хамгийн дээд зэрэг нь хуваагчийн хамгийн дээд зэргээс их бол.

Жишээ 3

Тодорхойгүй интегралыг ол. Шалгалт хийх.

Бид тоологчийг сонгож эхэлдэг.

Тоолуурыг сонгох алгоритм нь дараах байдалтай байна.

1) Тоолуур дээр би зохион байгуулах хэрэгтэй, гэхдээ тэнд . Юу хийх вэ? Би үүнийг хаалтанд хийгээд: -ээр үржүүлнэ.

2) Одоо би эдгээр хаалтуудыг нээхийг оролдсон, юу болох вэ? . Хмм... энэ нь дээр, гэхдээ анх тоологчийн хувьд хоёр байхгүй. Юу хийх вэ? Та үржүүлэх хэрэгтэй:

3) Би хаалтуудыг дахин нээв: . Мөн анхны амжилт энд байна! Энэ нь зөв болсон! Гэхдээ асуудал нь нэмэлт нэр томъёо гарч ирсэн явдал юм. Юу хийх вэ? Илэрхийлэл өөрчлөгдөхөөс сэргийлэхийн тулд би өөрийн бүтэцдээ ижил зүйлийг нэмэх ёстой:
. Амьдрал илүү хялбар болсон. Тоолуур дээр дахин зохион байгуулах боломжтой юу?

4) Энэ нь боломжтой. Оролдоод үзье: . Хоёр дахь гишүүний хаалтыг нээ:
. Уучлаарай, гэхдээ өмнөх алхам дээр надад байсан, үгүй. Юу хийх вэ? Та хоёр дахь гишүүнийг дараах байдлаар үржүүлэх хэрэгтэй.

5) Дахин хэлэхэд, шалгахын тулд би хоёр дахь улиралд хаалт нээнэ:
. Одоо энэ нь хэвийн: 3-р цэгийн эцсийн бүтээн байгуулалтаас гаралтай! Гэхдээ дахиад жижиг "гэхдээ" гэсэн нэмэлт нэр томъёо гарч ирсэн бөгөөд энэ нь би өөрийн илэрхийлэлд нэмэх ёстой гэсэн үг юм.

Хэрэв бүх зүйл зөв хийгдсэн бол бүх хаалтыг нээхэд бид интегралын анхны дугаарыг авах ёстой. Бид шалгаж байна:
Бүрээс.

Тиймээс:

Бэлэн. Сүүлийн үед би функцийг дифференциал дор оруулах аргыг ашигласан.

Хэрэв бид хариултын деривативыг олж, илэрхийллийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулбал бид яг анхны интеграл функцийг авна. Нийлбэр болгон задлах арга нь илэрхийлэлийг нийтлэг хуваагч руу хүргэх урвуу үйлдлээс өөр зүйл биш юм.

Ийм жишээн дэх тоологчийг сонгох алгоритмыг ноорог дээр хамгийн сайн хийдэг. Зарим ур чадварын хувьд энэ нь оюун санааны хувьд ажиллах болно. Би 11-р зэрэглэлийн сонгон шалгаруулалтыг хийж байхдаа рекорд эвдэрсэн тохиолдлыг санаж байна, тоологчийн өргөтгөл нь Вердын бараг хоёр мөрийг эзэлсэн.

Жишээ 4

Тодорхойгүй интегралыг ол. Шалгалт хийх.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм.

Энгийн бутархайн дифференциал тэмдгийг тооцох арга

Дараагийн төрлийн бутархайг авч үзье.
, , , (коэффициент ба тэгтэй тэнцүү биш).

Үнэн хэрэгтээ арксин ба арктангенс бүхий хэд хэдэн тохиолдлыг аль хэдийн хичээл дээр дурдсан Тодорхой бус интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх арга. Ийм жишээг дифференциал тэмдгийн дор функцийг нэгтгэж, хүснэгтийг ашиглан дараа нь нэгтгэх замаар шийддэг. Энд урт ба өндөр логарифм бүхий ердийн жишээнүүд байна:

Жишээ 5

Жишээ 6

Эндээс интегралын хүснэгтийг авч, ямар томьёо болон байгааг харахыг зөвлөж байна Яажхувиргалт явагддаг. Анхаарна уу яаж, яагаадЭдгээр жишээн дэх квадратуудыг тодруулсан болно. Тухайлбал, 6-р жишээнд бид эхлээд хуваагчийг хэлбэрээр илэрхийлэх хэрэгтэй , дараа нь дифференциал тэмдгийн доор авчир. Стандарт хүснэгтийн томъёог ашиглахын тулд энэ бүгдийг хийх шаардлагатай .

7, 8-р жишээнүүдийг өөрөө шийдэж үзээрэй, ялангуяа тэдгээр нь нэлээд богино тул:

Жишээ 7

Жишээ 8

Тодорхой бус интегралыг ол:

Хэрэв та эдгээр жишээнүүдийг шалгаж чадвал маш их хүндэтгэлтэй байна - таны ялгах чадвар маш сайн байна.

Бүтэн квадрат сонгох арга

Маягтын интегралууд (коэффициент ба тэгтэй тэнцүү биш) шийдэгдсэн дөрвөлжин олборлох бүрэн арга, аль хэдийн хичээл дээр гарч ирсэн Графикийн геометрийн хувиргалт.

Үнэн хэрэгтээ ийм интегралууд нь бидний сая үзсэн дөрвөн хүснэгтэн интегралын аль нэгэнд нь буурдаг. Үүнийг мэддэг товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан хийдэг.

Томьёог яг энэ чиглэлд ашигладаг, өөрөөр хэлбэл аргын санаа нь илэрхийлэлийг хуваагч дахь зохиомлоор зохион байгуулж, дараа нь аль алинд нь хөрвүүлэх явдал юм.

Жишээ 9

Тодорхойгүй интегралыг ол

Энэ бол хамгийн энгийн жишээ юм нэр томъёотой - нэгжийн коэффициент(зарим тоо эсвэл хасах биш).

Хуваагчийг харцгаая, энд бүх зүйл тохиолдлоос үүдэлтэй. Хуваагчийг хөрвүүлж эхэлцгээе:

Мэдээжийн хэрэг, та 4 нэмэх хэрэгтэй. Мөн илэрхийлэл өөрчлөгдөхгүйн тулд ижил дөрвийг хасна уу:

Одоо та томъёог хэрэглэж болно:

Хөрвүүлэлт дууссаны дараа ҮРГЭЛЖУрвуу хөдөлгөөн хийхийг зөвлөж байна: бүх зүйл зүгээр, алдаа байхгүй.

Тухайн жишээний эцсийн загвар нь иймэрхүү харагдах ёстой.

Бэлэн. Дифференциал тэмдгийн дор "чөлөөт" цогц функцийг тооцох нь зарчмын хувьд үл тоомсорлож болно

Жишээ 10

Тодорхой бус интегралыг ол:

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ бөгөөд хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна

Жишээ 11

Тодорхой бус интегралыг ол:

Урд талд нь хасах байвал яах вэ? Энэ тохиолдолд бид хаалтнаас хасахыг авч, нэр томъёог шаардлагатай дарааллаар нь цэгцлэх хэрэгтэй: . Тогтмол(энэ тохиолдолд хоёр) бүү хүр!

Одоо бид хаалтанд нэгийг нэмнэ. Илэрхийлэлд дүн шинжилгээ хийснээр бид хаалтны гадна нэгийг нэмэх шаардлагатай гэсэн дүгнэлтэд хүрэв.

Энд бид томъёог авч, хэрэглэнэ:

ҮРГЭЛЖБид төслийг шалгана:
, үүнийг шалгах шаардлагатай байсан.

Цэвэр жишээ нь иймэрхүү харагдаж байна:

Даалгаврыг улам хүндрүүлж байна

Жишээ 12

Тодорхой бус интегралыг ол:

Энд нэр томъёо нь нэгжийн коэффициент байхаа больсон, харин "тав" гэсэн үг юм.

(1) Хэрэв тогтмол тэмдэгт байвал бид тэр даруй хаалтнаас гаргана.

(2) Ерөнхийдөө энэ тогтмолыг интегралын гадна талд шилжүүлэх нь үргэлж дээр бөгөөд ингэснээр саад болохгүй.

(3) Мэдээжийн хэрэг, бүх зүйл томъёонд буух болно. Бид "хоёр" гэсэн нэр томъёог ойлгох хэрэгтэй.

(4) Тийм ээ, . Энэ нь бид илэрхийлэл дээр нэмж, ижил бутархайг хасна гэсэн үг юм.

(5) Одоо бүтэн квадратыг сонго. Ерөнхий тохиолдолд бид бас тооцоолох хэрэгтэй, гэхдээ энд урт логарифмын томъёо байна , мөн үйлдлийг гүйцэтгэх нь ямар ч утгагүй бөгөөд яагаад доор тодорхой болно;

(6) Үнэндээ бид томъёог хэрэглэж болно , зөвхөн “X”-ийн оронд бидэнд байгаа нь хүснэгтийн интегралын хүчинтэй байдлыг үгүйсгэхгүй. Хатуухан хэлэхэд нэг алхам алдагдсан - интеграцид орохоос өмнө функцийг дифференциал тэмдгийн дор оруулах ёстой: , гэхдээ би олон удаа тэмдэглэж байсанчлан үүнийг ихэвчлэн үл тоомсорлодог.

(7) Үндэс дор хариулахдаа бүх хаалтыг буцааж томруулахыг зөвлөж байна:

Хэцүү үү? Энэ бол интеграл тооцооллын хамгийн хэцүү хэсэг биш юм. Хэдийгээр авч үзэж буй жишээнүүд нь сайн тооцоолох техник шаарддаг тул тийм ч төвөгтэй биш юм.

Жишээ 13

Тодорхой бус интегралыг ол:

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Хуваарьт үндэстэй интегралууд байдаг бөгөөд тэдгээрийг орлуулснаар авч үзсэн төрлийн интеграл болгон бууруулж, тэдгээрийг нийтлэлээс уншиж болно Комплекс интеграл, гэхдээ маш их бэлтгэлтэй оюутнуудад зориулагдсан.