Логарифм илэрхийллийг хөрвүүлэх жишээ. Логарифм: жишээ ба шийдэл

Заавар

Өгөгдсөн логарифм илэрхийллийг бич. Хэрэв илэрхийлэл нь 10-ын логарифмыг ашигладаг бол түүний тэмдэглэгээг богиносгож, дараах байдлаар харагдана: lg b нь аравтын логарифм юм. Хэрэв логарифмын суурь нь e тоотой бол дараах илэрхийллийг бичнэ үү: ln b – натурал логарифм. Ямар ч үр дүн нь b тоог олж авахын тулд суурь тоог өсгөх ёстой хүчин чадал гэдгийг ойлгодог.

Хоёр функцийн нийлбэрийг олохдоо тэдгээрийг нэг нэгээр нь ялгаж, үр дүнг нэмэхэд хангалттай: (u+v)" = u"+v";

Хоёр функцийн үржвэрийн деривативыг олохдоо эхний функцийн деривативыг хоёр дахь функцээр үржүүлж, хоёрдугаар функцийн деривативыг эхний функцээр үржүүлсэнийг нэмэх шаардлагатай: (u*v)" = u"*v. +v"*u;

Хоёр функцийн үржвэрийн деривативыг олохын тулд ногдол ашгийн деривативын үржвэрийн үржвэрийн үржвэрийн үржвэрийг хуваагч функцээр үржүүлсэн үржвэрийг хасаж, хуваах шаардлагатай. энэ бүгдийг хуваагч функцээр квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Өгөгдсөн бол нарийн төвөгтэй функц, дараа нь үүсмэлийг үржүүлэх шаардлагатай дотоод функцба гадаад нэгний дериватив. y=u(v(x)), дараа нь y"(x)=y"(u)*v"(x) гэж үзье.

Дээрх үр дүнг ашиглан та бараг бүх функцийг ялгаж чадна. Тиймээс хэд хэдэн жишээг харцгаая:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *x));
Нэг цэгт деривативыг тооцоолоход бас асуудал гардаг. y=e^(x^2+6x+5) функцийг өгье, та x=1 цэг дээрх функцийн утгыг олох хэрэгтэй.
1) Функцийн деривативыг ол: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Функцийн утгыг тооцоол өгсөн оноо y"(1)=8*e^0=8

Сэдвийн талаархи видео

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Анхан шатны деривативын хүснэгтийг сур. Энэ нь цагийг ихээхэн хэмнэх болно.

Эх сурвалжууд:

• тогтмолын дериватив

Тэгэхээр, ялгаа нь юу вэ? ir рационал тэгшитгэлоновчтой байдлаас? Хэрэв үл мэдэгдэх хувьсагч тэмдгийн доор байгаа бол квадрат язгуур, тэгвэл тэгшитгэлийг иррациональ гэж үзнэ.

Заавар

Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх гол арга бол хоёр талыг барих арга юм тэгшитгэлдөрвөлжин болгон. Гэсэн хэдий ч. Энэ бол байгалийн зүйл, таны хийх ёстой хамгийн эхний зүйл бол тэмдгийг арилгах явдал юм. Энэ арга нь техникийн хувьд хэцүү биш боловч заримдаа асуудалд хүргэж болзошгүй юм. Жишээлбэл, тэгшитгэл нь v(2x-5)=v(4x-7). Хоёр талыг квадрат болгосноор 2x-5=4x-7 болно. Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь хэцүү биш юм; x=1. Гэхдээ 1-ийн тоог өгөхгүй тэгшитгэл. Яагаад? Тэгшитгэлд x-ийн утгын оронд нэгийг оруулаад баруун болон зүүн тал нь утгагүй илэрхийллийг агуулна. Энэ утга нь квадрат язгуурт тохирохгүй. Тиймээс 1 нь гадны үндэс, тиймээс өгөгдсөн тэгшитгэлүндэсгүй.

Тиймээс иррационал тэгшитгэлийг хоёр талыг нь квадрат болгох аргыг ашиглан шийддэг. Тэгшитгэлийг шийдсэний дараа гаднах үндсийг таслах шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд олсон үндсийг анхны тэгшитгэлд орлуулна.

Өөр нэгийг авч үзье.
2х+вх-3=0
Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэлийг өмнөхтэй ижил тэгшитгэл ашиглан шийдэж болно. Нэгдлүүдийг зөөх тэгшитгэл, квадрат язгуургүй, баруун талд, дараа нь квадратын аргыг хэрэглэнэ. Үүссэн рационал тэгшитгэл ба язгуурыг шийд. Гэхдээ бас өөр, илүү гоёмсог. Шинэ хувьсагч оруулах; vх=y. Үүний дагуу та 2y2+y-3=0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг хүлээн авна. Энэ нь ердийн зүйл юм квадрат тэгшитгэл. Үүний үндэсийг олох; y1=1 ба y2=-3/2. Дараа нь хоёрыг шийд тэгшитгэл vх=1; vх=-3/2. Хоёр дахь тэгшитгэлд үндэс байхгүй; Үндэсийг нь шалгахаа бүү мартаарай.

Тодорхойлолтыг шийдвэрлэх нь маш энгийн. Үүнийг хийхийн тулд тавьсан зорилгодоо хүрэх хүртэл ижил төстэй өөрчлөлтүүдийг хийх шаардлагатай. Тиймээс хамгийн энгийн тусламжтайгаар арифметик үйлдлүүдтулгарч буй ажил шийдэгдэх болно.

Танд хэрэгтэй болно

• - цаас;
• - үзэг.

Заавар

Ийм хувиргалтуудын хамгийн энгийн нь алгебрийн товчилсон үржүүлэх (нийлбэрийн квадрат (ялгаа), квадратуудын зөрүү, нийлбэр (ялгаа), нийлбэрийн шоо (ялгаа) гэх мэт) юм. Үүнээс гадна, олон байдаг ба тригонометрийн томъёо, эдгээр нь үндсэндээ ижил таних тэмдэг юм.

Үнэхээр хоёр гишүүний нийлбэрийн квадрат квадраттай тэнцүүэхний нэмэх нь эхнийхийн үржвэрийг хоёроор хоёр дахин нэмэх ба хоёр дахьын квадратыг нэмэх нь (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b юм. ^2=a^2+2ab +b^2.

Хоёуланг нь хялбарчил

Шийдлийн ерөнхий зарчим

Хувьсагчийг солих арга

Хоёр дахь төрлийн интегралыг шийдвэрлэх

Интеграцийн хязгаарыг орлуулах

Логарифм бүхий илэрхийллийг хөрвүүлэхдээ жагсаасан тэгшитгэлийг баруунаас зүүн тийш, зүүнээс баруун тийш хоёуланг нь ашигладаг.

Шинж чанаруудын үр дагаврыг цээжлэх шаардлагагүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй: хувиргалтыг хийхдээ та логарифмын үндсэн шинж чанарууд болон бусад баримтуудыг (жишээлбэл, b≥0-ийн хувьд) олж авах боломжтой. харгалзах үр дагавар гарч ирнэ. " Гаж нөлөө"Энэ арга нь шийдэл нь арай урт байх болно гэдгийг л харуулж байна. Жишээлбэл, томъёогоор илэрхийлсэн үр дагаваргүйгээр хийх зорилгоор , зөвхөн логарифмын үндсэн шинж чанаруудаас эхлэн та дараах хэлбэрийн хувиргалтын гинжин хэлхээг хийх шаардлагатай болно. .

Дээрх жагсаалтаас хамгийн сүүлийн үл хөдлөх хөрөнгийн талаар ижил зүйлийг хэлж болно, үүнд томъёогоор хариулна , учир нь энэ нь мөн логарифмын үндсэн шинж чанаруудаас хамаарна. Гол ойлгох ёстой зүйл бол илтгэгч дэх логарифмтай эерэг тооны зэрэглэл нь логарифмын тэмдгийн доорхи тоо болон түвшний суурь хоёрыг солих боломжтой байдаг. Шударга байхын тулд ийм төрлийн өөрчлөлтийг хэрэгжүүлэх жишээ практикт ховор байдгийг бид тэмдэглэж байна. Бид текстэнд цөөн хэдэн жишээг доор өгөх болно.

Тоон илэрхийллийг логарифм ашиглан хөрвүүлэх

Бид логарифмын шинж чанаруудыг санаж байгаа тул илэрхийллийг хувиргахын тулд тэдгээрийг практикт хэрхэн ашиглах талаар сурах цаг болжээ. Хувьсагчтай илэрхийллээс илүү тоон хэллэгийг хөрвүүлэхээс эхлэх нь зүйн хэрэг, учир нь тэдгээр нь үндсийг сурахад илүү хялбар бөгөөд хялбар байдаг. Энэ бол бид хийх зүйл бөгөөд бид маш их зүйлээс эхлэх болно энгийн жишээнүүд, логарифмын хүссэн шинж чанарыг хэрхэн сонгох талаар сурах, гэхдээ бид жишээнүүдийг хэзээ олж авах хүртэл аажмаар төвөгтэй болгох болно. эцсийн үр дүнта хэд хэдэн шинж чанарыг дараалан хэрэглэх шаардлагатай болно.

Логарифмын хүссэн шинж чанарыг сонгох

Логарифмын олон шинж чанарууд байдаг бөгөөд тэдгээрээс тохирохыг нь сонгох чадвартай байх нь тодорхой бөгөөд энэ тохиолдолд шаардлагатай үр дүнд хүргэх болно. Ихэвчлэн хувиргасан логарифм эсвэл илэрхийллийн төрлийг логарифмын шинж чанарыг илэрхийлдэг томъёоны зүүн ба баруун хэсгийн төрлүүдтэй харьцуулах замаар үүнийг хийхэд хэцүү биш юм. Хэрэв үлдсэн бол эсвэл баруун талтомъёоны аль нэг нь өгөгдсөн логарифм эсвэл илэрхийлэлтэй давхцаж байгаа бол хувиргах явцад энэ шинж чанарыг ашиглах ёстой. Дараах жишээнүүдэнэ нь тодорхой харагдаж байна.

a log a b =b, a>0, a≠1, b>0 томьёонд тохирох логарифмын тодорхойлолтыг ашиглан илэрхийллийг хувиргах жишээнүүдээс эхэлье.

Жишээ.

Боломжтой бол тооцоол: a) 5 log 5 4, b) 10 log(1+2·π), c) , d) 2 log 2 (−7) , e) .

Шийдэл.

a) үсгийн доорх жишээнд a log a b бүтэц тодорхой харагдаж байгаа бөгөөд a=5, b=4. Эдгээр тоо нь a>0, a≠1, b>0 нөхцлүүдийг хангаж байгаа тул та a log a b =b тэгшитгэлийг аюулгүй ашиглаж болно. Бидэнд 5 лог 5 4=4 байна.

b) Энд a=10, b=1+2·π, a>0, a≠1, b>0 нөхцөл хангагдсан. Энэ тохиолдолд 10 log(1+2·π) =1+2·π тэгшитгэл явагдана.

в) Мөн энэ жишээнд бид a log a b хэлбэрийн зэрэгтэй харьцаж байна, энд ба b=ln15. Тэгэхээр .

Хэдийгээр a log a b (энд a=2, b=−7) төрөлд хамаарах боловч g үсгийн доорх илэрхийлэлийг a log a b =b томьёог ашиглан хөрвүүлэх боломжгүй. Шалтгаан нь логарифмын тэмдгийн дор сөрөг тоог агуулж байгаа учраас утгагүй юм. Түүнчлэн b=−7 тоо нь b>0 нөхцөлийг хангахгүй бөгөөд энэ нь a>0, a≠1, b> нөхцөлийг биелүүлэхийг шаарддаг тул a log a b =b томьёог ашиглах боломжгүй болгодог. 0. Тиймээс бид 2 log 2 (−7) -ийн утгыг тооцоолох талаар ярьж болохгүй. Энэ тохиолдолд 2 log 2 (−7) =−7 гэж бичих нь алдаа болно.

Үүний нэгэн адил, e) үсгийн доорх жишээнд маягтын шийдлийг өгөх боломжгүй юм , анхны илэрхийлэл нь утгагүй учраас.

Хариулт:

a) 5 log 5 4 =4, b) 10 log(1+2·π) =1+2·π, c) , г), д) илэрхийлэл нь утгагүй байна.

Эерэг тоог экспонент дахь логарифм бүхий эерэг ба нэгдмэл бус тооны зэрэглэлээр илэрхийлсэн хувиргалт нь ихэвчлэн хэрэгтэй байдаг. Энэ нь a log a b =b, a>0, a≠1, b>0 логарифмын ижил тодорхойлолт дээр үндэслэсэн боловч томъёог баруунаас зүүн тийш, өөрөөр хэлбэл b=a log a b хэлбэрээр хэрэглэнэ. . Жишээлбэл, 3=e ln3 эсвэл 5=5 log 5 5 .

Илэрхийллийг хувиргахдаа логарифмын шинж чанарыг ашиглан үргэлжлүүлье.

Жишээ.

Илэрхийллийн утгыг ол: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) log ln1, f) log1, g) log 3.75 1, h) log 5 π 7 1 .

Шийдэл.

a), b) ба c) үсгийн доорх жишээнүүдэд log −2 1, log 1 1, log 0 1 гэсэн илэрхийллүүд өгөгдсөн бөгөөд логарифмын суурь сөрөг тоо агуулаагүй тул утгагүй болно. тэг эсвэл нэг, учир нь бид логарифмыг зөвхөн эерэг ба нэгдлээс ялгаатай суурийн хувьд тодорхойлсон. Тиймээс a) - c) жишээн дээр илэрхийллийн утгыг олох асуудал байж болохгүй.

Бусад бүх даалгавруудад логарифмын суурь нь эерэг ба нэгдмэл бус тоо 7, e, 10, 3.75 ба 5·π 7-г агуулсан байх ба логарифмын тэмдгийн дор хаа сайгүй нэгж байх нь ойлгомжтой. Мөн бид нэгдлийн логарифмын шинж чанарыг мэддэг: a>0, a≠1 ямар ч тохиолдолд log a 1=0. Тиймээс b) - e) илэрхийллийн утгууд тэгтэй тэнцүү байна.

Хариулт:

a), b), c) илэрхийлэл утгагүй, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3.75 1=0, h) log 5 e 7 1= 0 .

Жишээ.

Тооцоол: a) , b) lne , c) lg10 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), д) log −3 (−3) , f) log 1 1 .

Шийдэл.

a>0, a≠1-д log a=1 томъёонд тохирох суурийн логарифмын шинж чанарыг ашиглах ёстой нь ойлгомжтой. Үнэн хэрэгтээ бүх үсгийн доорх даалгавруудад логарифмын тэмдгийн доорх тоо нь түүний суурьтай давхцдаг. Тиймээс өгөгдсөн илэрхийлэл бүрийн утга нь 1 гэдгийг би шууд хэлмээр байна. Гэсэн хэдий ч та дүгнэлт хийх гэж яарах хэрэггүй: a) - г) үсгийн доорх даалгавруудад илэрхийллийн утга нь үнэхээр нэгтэй тэнцүү, e) ба е) даалгаварт анхны илэрхийлэл нь утгагүй байна. Эдгээр илэрхийллийн утгууд 1-тэй тэнцүү гэж хэлж болохгүй.

Хариулт:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), е) илэрхийлэл нь утгагүй байна.

Жишээ.

Утгыг ол: a) log 3 3 11, b) , c) , d) log −10 (−10) 6 .

Шийдэл.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын шинж тэмдгүүдийн дор суурийн зарим хүч байдаг. Үүний үндсэн дээр бид энд суурийн зэрэглэлийн шинж чанар хэрэгтэй болно гэдгийг ойлгож байна: log a a p =p, энд a>0, a≠1 ба p нь дурын байна. бодит тоо. Үүнийг харгалзан үзвэл дараах үр дүн гарч байна: a) log 3 3 11 =11, b) , V) . log −10 (−10) 6 =6 хэлбэрийн d) үсгийн доор жишээнд ижил тэгш байдлыг бичиж болох уу? Үгүй, та чадахгүй, учир нь log −10 (−10) 6 илэрхийлэл нь утгагүй юм.

Хариулт:

a) log 3 3 11 =11, b) , V) , г) илэрхийлэл нь утгагүй байна.

Жишээ.

Илэрхийллийг ижил суурийг ашиглан логарифмын зөрүү буюу нийлбэр хэлбэрээр үзүүлнэ үү: a) , b) , c) log((−5)·(−12)) .

Шийдэл.

a) Логарифмын тэмдгийн дор үржвэр байх ба бид үржвэрийн логарифмын шинж чанарыг мэддэг log a (x·y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0 , y>0. Манай тохиолдолд логарифмын суурь дахь тоо ба бүтээгдэхүүн дэх тоонууд эерэг, өөрөөр хэлбэл сонгосон өмчийн нөхцлийг хангаж байгаа тул бид үүнийг аюулгүйгээр ашиглаж болно. .

b) Энд a>0, a≠1, x>0, y>0 байх хэсгийн логарифмын шинж чанарыг ашиглана. Манай тохиолдолд логарифмын суурь нь эерэг тоо e, хуваагч ба хуваагч π эерэг бөгөөд энэ нь өмчийн нөхцөлийг хангаж байна гэсэн үг тул бид сонгосон томъёог ашиглах эрхтэй. .

в) Эхлээд log((−5)·(−12)) илэрхийлэл утга учиртай болохыг анхаарна уу. Гэхдээ үүний зэрэгцээ бид log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y үржвэрийн логарифмын томъёог хэрэглэх эрхгүй. >0, учир нь тоонууд −5 ба −12 – сөрөг бөгөөд x>0, y>0 нөхцөлийг хангахгүй. Өөрөөр хэлбэл, та ийм өөрчлөлтийг хийж чадахгүй. log((−5)·(−12))=лог(−5)+лог(−12). Тэгэхээр бид яах ёстой вэ? Ийм тохиолдолд, анхны илэрхийлэл зайлсхийхийн тулд урьдчилсан хувиргалт хэрэгтэй сөрөг тоонууд. тухай ижил төстэй тохиолдлуудБид логарифмын тэмдгийн дор сөрөг тоо бүхий илэрхийлэлүүдийн хувиргалтыг аль нэг хуудсанд дэлгэрэнгүй авч үзэх болно, гэхдээ одоогоор бид энэ жишээний шийдлийг урьдчилан тодорхой бөгөөд тайлбаргүйгээр өгөх болно. log((−5)·(−12))=log(5·12)=log5+lg12.

Хариулт:

A) , б) , в) log((−5)·(−12))=log5+lg12.

Жишээ.

Илэрхийллийг хялбарчлах: a) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5, b) .

Шийдэл.

Энд бидний өмнөх жишээн дээр ашигласан бүтээгдэхүүний логарифм ба логгарифмын ижил шинж чанарууд бидэнд туслах болно, зөвхөн одоо бид тэдгээрийг баруунаас зүүн тийш ашиглах болно. Өөрөөр хэлбэл, бид логарифмын нийлбэрийг бүтээгдэхүүний логарифм болгон, логарифмын зөрүүг хэсгийн логарифм болгон хувиргадаг. Бидэнд байна
A) бүртгэл 3 0.25+лог 3 16+лог 3 0.5=лог 3 (0.25 16 0.5)=лог 3 2.
б) .

Хариулт:

A) бүртгэл 3 0.25+лог 3 16+лог 3 0.5=лог 3 2, б) .

Жишээ.

Логарифмын тэмдгийн дор зэрэглэлээс ангижрах: a) log 0.7 5 11, b) , в) лог 3 (−5) 6 .

Шийдэл.

Бид log a b p хэлбэрийн илэрхийллүүдтэй харьцаж байгааг харахад хялбар байдаг. Логарифмын харгалзах шинж чанар нь log a b p =p·log a b хэлбэртэй байх ба энд a>0, a≠1, b>0, p - дурын бодит тоо. Өөрөөр хэлбэл, a>0, a≠1, b>0 нөхцөл хангагдсан тохиолдолд a b p чадлын логарифмаас бид p·log a b үржвэр рүү шилжиж болно. Өгөгдсөн илэрхийллүүдээр энэ хувиргалтыг хийцгээе.

a) Энэ тохиолдолд a=0.7, b=5, p=11. Тэгэхээр log 0.7 5 11 =11·log 0.7 5.

b) Энд a>0, a≠1, b>0 нөхцлүүд хангагдана. Тийм ч учраас

в) log 3 (−5) 6 илэрхийлэл нь log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 гэсэн бүтэцтэй ижил байна. Харин b-ийн хувьд b>0 нөхцөл хангагдаагүй учир log a b p =p·log a b томъёог хэрэглэх боломжгүй болгодог. Юу вэ, чи даалгавраа даван туулж чадахгүй байна уу? Энэ нь боломжтой, гэхдээ илэрхийллийн урьдчилсан хувиргалт хийх шаардлагатай бөгөөд үүнийг бид доор гарч буй догол мөрөнд дэлгэрэнгүй авч үзэх болно. Шийдэл нь дараах байдалтай байх болно. log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.

Хариулт:

a) лог 0.7 5 11 =11 log 0.7 5 ,
б)
в) log 3 (−5) 6 =6·log 3 5.

Ихэнх тохиолдолд хувиргалт хийхдээ зэрэглэлийн логарифмын томъёог баруунаас зүүн тийш p·log a b=log a b p (a, b, p-ийн хувьд ижил нөхцөл хангасан байх ёстой) хэлбэрээр хэрэглэх шаардлагатай болдог. Жишээлбэл, 3·ln5=ln5 3 ба log2·log 2 3=log 2 3 lg2.

Жишээ.

a) log2≈0.3010 ба log5≈0.6990 гэдгийг мэдэж байвал log 2 5-ын утгыг тооцоол. б) Бутархайг 3 суурьтай логарифм хэлбэрээр илэрхийлнэ.

Шийдэл.

a) Шинэ логарифмын суурь руу шилжих томъёо нь энэ логарифмийг аравтын бутархай логарифмын харьцаагаар харуулах боломжийг бидэнд олгодог бөгөөд тэдгээрийн утгууд нь бидэнд мэдэгддэг: . Зөвхөн тооцоо хийх л үлдлээ, бидэнд байна .

б) Энд шинэ суурь руу шилжих томъёог ашиглаж, баруунаас зүүн тийш, өөрөөр хэлбэл хэлбэрээр ашиглахад хангалттай. . Бид авдаг .

Хариулт:

a) log 2 5≈2.3223, b) .

Энэ үе шатанд бид хамгийн их өөрчлөлтийг нэлээд нухацтай авч үзсэн энгийн илэрхийллүүдлогарифмын үндсэн шинж чанарууд болон логарифмын тодорхойлолтыг ашиглах. Эдгээр жишээн дээр бид нэг өмчийг ашиглах ёстой байсан бөгөөд үүнээс өөр зүйл байхгүй. Одоо хамт цэвэр ухамсарТа логарифмын хэд хэдэн шинж чанарыг ашиглахыг шаарддаг жишээнүүдийг үргэлжлүүлж болно нэмэлт өөрчлөлтүүд. Бид дараагийн догол мөрөнд тэдэнтэй харьцах болно. Гэхдээ үүнээс өмнө логарифмын үндсэн шинж чанаруудын үр дагаврыг ашиглах жишээг товчхон авч үзье.

Жишээ.

a) Логарифмын тэмдгийн доорх үндсийг арилгана. b) Бутархайг 5 суурьтай логарифм болгон хөрвүүлнэ. в) Логарифмын тэмдэг болон түүний суурийн доорх эрх мэдлээс өөрийгөө чөлөөл. d) Илэрхийллийн утгыг тооцоол . e) Илэрхийлэлийг 3-р суурьтай зэрэглэлээр солино.

Шийдэл.

a) Хэрэв бид градусын логарифмын шинж чанараас үүссэн үр дүнг эргэн санавал , дараа нь та тэр даруй хариулт өгч болно: .

б) Энд бид томъёог ашигладаг баруунаас зүүн тийш, бид байна .

в) Энэ тохиолдолд томъёо нь үр дүнд хүргэдэг . Бид авдаг .

г) Энд томъёонд тохирох үр дүнг ашиглахад хангалттай . Тэгэхээр .

e) Логарифмын шинж чанар Хүссэн үр дүнд хүрэх боломжийг бидэнд олгоно: .

Хариулт:

A) . б) . V) . G) . г) .

Хэд хэдэн шинж чанарыг дараалан хэрэглэх

Логарифмын шинж чанарыг ашиглан илэрхийлэлийг хувиргах бодит ажлууд нь бидний өмнөх догол мөрөнд авч үзсэнээс илүү төвөгтэй байдаг. Тэдгээрийн хувьд дүрмээр бол үр дүнг нэг алхамаар олж авдаггүй боловч шийдэл нь хаалт нээх, цутгах гэх мэт нэмэлт ижил хувиргалтуудын хамт нэг шинж чанарыг дараалан ашиглахаас бүрддэг. ижил төстэй нэр томъёо, бутархайг багасгах гэх мэт. Тиймээс ийм жишээнүүд рүү ойртъё. Үүнд төвөгтэй зүйл байхгүй, гол зүйл бол үйлдлийн дарааллыг ажиглаж, анхааралтай, тууштай ажиллах явдал юм.

Жишээ.

Илэрхийллийн утгыг тооцоол (лог 3 15−log 3 5) 7 log 7 5.

Шийдэл.

Хаалтанд байгаа логарифмын зөрүүг логгарифмын шинж чанарын дагуу лог 3 (15:5) логарифмаар сольж, дараа нь түүний утгыг log 3 (15:5)=log 3 3=1 гэж тооцож болно. Логарифмын тодорхойлолтоор 7 log 7 5 илэрхийллийн утга нь 5-тай тэнцүү байна. Эдгээр үр дүнг анхны илэрхийлэл болгон орлуулснаар бид олж авна (лог 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

Энд тайлбаргүйгээр шийдэл байна:
(лог 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
=лог 3 3·5=1·5=5 .

Хариулт:

(лог 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Жишээ.

log 3 log 2 2 3 −1 тоон илэрхийллийн утга хэд вэ?

Шийдэл.

Бид эхлээд чадлын логарифмын томъёог ашиглан логарифмыг логарифмын тэмдгийн дор хувиргана: log 2 2 3 =3. Ингээд log 3 log 2 2 3 =log 3 3, дараа нь log 3 3=1 байна. Тэгэхээр log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

Хариулт:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

Жишээ.

Илэрхийлэлийг хялбарчлах.

Шийдэл.

Шинэ логарифмын суурь руу шилжих томьёо нь логарифмуудын нэг суурьтай харьцуулсан харьцааг лог 3 5 хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог. Энэ тохиолдолд анхны илэрхийлэл нь хэлбэрийг авна. Логарифмын тодорхойлолтоор 3 log 3 5 =5, өөрөөр хэлбэл , мөн логарифмын ижил тодорхойлолтын ачаар үүссэн илэрхийллийн утга нь хоёртой тэнцүү байна.

Энд богино хувилбарИхэвчлэн өгөгдсөн шийдлүүд: .

Хариулт:

.

Дараагийн догол мөр дэх мэдээлэл рүү жигд шилжихийн тулд 5 2+лог 5 3, log0.01 илэрхийллүүдийг харцгаая. Тэдний бүтэц нь логарифмын шинж чанаруудад тохирохгүй. Тэгэхээр юу болох вэ, тэдгээрийг логарифмын шинж чанарыг ашиглан хөрвүүлэх боломжгүй юу? Хэрэв та логарифмын шинж чанарыг ашиглахын тулд эдгээр илэрхийллийг бэлтгэх урьдчилсан хувиргалтыг хийвэл боломжтой. Тэгэхээр 5 2+лог 5 3 =5 2 5 бүртгэл 5 3 =25 3=75, ба log0.01=log10 −2 =−2. Дараа нь бид ийм илэрхийлэл бэлтгэх ажлыг хэрхэн хийж байгааг нарийвчлан авч үзэх болно.

Логарифмын шинж чанарыг ашиглах илэрхийлэл бэлтгэх

Хөрвүүлж буй илэрхийлэл дэх логарифмууд нь логарифмын шинж чанарт тохирсон томъёоны зүүн ба баруун хэсгээс тэмдэглэгээний бүтцээрээ маш их ялгаатай байдаг. Гэхдээ эдгээр илэрхийлэлийг өөрчлөхөд логарифмын шинж чанарыг ашиглах нь ихэвчлэн тохиолддог: тэдгээрийг ашиглахын тулд танд хэрэгтэй болно. урьдчилсан бэлтгэл. Мөн энэ бэлтгэл нь тодорхой ажлуудыг хийхээс бүрдэнэ таних тэмдгийн өөрчлөлтүүд, логарифмуудыг шинж чанаруудыг хэрэглэхэд тохиромжтой хэлбэрт оруулах.

Шударга байхын тулд бараг бүх илэрхийлэлийн хувиргалт нь ижил төстэй нэр томъёог багасгахаас эхлээд тригонометрийн томъёог ашиглах хүртэлх урьдчилсан хувиргалт болж чадна гэдгийг бид тэмдэглэж байна. Энэ нь ойлгомжтой, учир нь хувиргаж буй илэрхийллүүд нь хаалт, модуль, бутархай, үндэс, хүч гэх мэт ямар ч математик объектыг агуулж болно. Тиймээс логарифмын шинж чанарыг цаашид ашиглахын тулд та шаардлагатай хувиргалтыг хийхэд бэлэн байх хэрэгтэй.

Энэ мөчид бид логарифмын шинж чанарууд эсвэл логарифмын тодорхойлолтыг дараа нь ашиглах боломжийг олгох боломжтой бүх урьдчилсан хувиргалтыг ангилж, дүн шинжилгээ хийх зорилт тавиагүй гэдгийг шууд хэлье. Энд бид хамгийн энгийн бөгөөд практикт хамгийн их тулгардаг дөрөвхөнд нь л анхаарлаа хандуулах болно.

Одоо тэд тус бүрийн талаар дэлгэрэнгүй ярих болно, үүний дараа бидний сэдвийн хүрээнд логарифмын тэмдгийн дор хувьсагчтай илэрхийлэлийн хувиргалтыг ойлгоход л үлддэг.

Логарифмын тэмдэг болон түүний суурь дээрх хүчийг тодорхойлох

Нэг жишээгээр шууд эхэлцгээе. Логарифм гаргацгаая. Энэ хэлбэрээр түүний бүтэц нь логарифмын шинж чанарыг ашиглахад тохиромжгүй нь ойлгомжтой. Ямар нэгэн байдлаар хөрвүүлэх боломжтой юу энэ илэрхийлэлҮүнийг хялбарчлах уу, эсвэл илүү сайн, түүний үнэ цэнийг тооцоолох уу? Энэ асуултад хариулахын тулд 81 ба 1/9 тоонуудыг жишээн дээрээ нарийвчлан авч үзье. Эндээс харахад эдгээр тоонууд нь 3, үнэхээр 81 = 3 4 ба 1/9 = 3 −2 гэсэн хүчийг илэрхийлж болно. Энэ тохиолдолд анхны логарифмыг хэлбэрээр танилцуулж, томъёог ашиглах боломжтой болно . Тэгэхээр, .

Шинжилсэн жишээнд дүн шинжилгээ хийх нь дараахь бодлыг төрүүлдэг: хэрэв боломжтой бол логарифмын шинж чанар эсвэл түүний үр дагаврыг ашиглахын тулд та логарифмын тэмдгийн дор болон түүний суурь дээр зэрэглэлийг тусгаарлахыг оролдож болно. Эдгээр зэрэглэлийг хэрхэн ялгахыг олж мэдэх л үлдлээ. Энэ асуудлаар хэдэн зөвлөмж өгье.

Заримдаа логарифмын тэмдгийн доорх тоо болон/эсвэл түүний суурь дахь тоо нь дээр дурдсан жишээн дээрх бүхэл тооны хүчийг илэрхийлдэг нь тодорхой байдаг. Бараг байнга л сайн мэддэг хоёрын зэрэгтэй харьцах хэрэгтэй болдог: 4=2 2, 8=2 3, 16=2 4, 32=2 5, 64=2 6, 128=2 7, 256=2 8 , 512= 2 9, 1024=2 10. Гуравын хүчний талаар мөн адил зүйлийг хэлж болно: 9 = 3 2, 27 = 3 3, 81 = 3 4, 243 = 3 5, ... Ерөнхийдөө таны нүдний өмнө байвал энэ нь өвдөхгүй. градусын хүснэгт натурал тоонууд хэдэн арван дотор. Мөн арав, нэг зуу, мянга гэх мэт бүхэл тоон зэрэгтэй ажиллахад хэцүү биш.

Жишээ.

Утгыг тооцоолох эсвэл илэрхийллийг хялбарчлах: a) log 6 216, b) , c) log 0.000001 0.001.

Шийдэл.

a) Мэдээжийн хэрэг, 216=6 3, тэгэхээр log 6 216=log 6 6 3 =3.

б) Натурал тоонуудын чадлын хүснэгт нь 343 ба 1/243 тоог 7 3 ба 3 −4 зэрэгт тус тус илэрхийлэх боломжийг олгоно. Тиймээс өгөгдсөн логарифмын дараах хувиргалтыг хийх боломжтой.

в) 0.000001=10 −6 ба 0.001=10 −3 тул log 0.000001 0.001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

Хариулт:

a) log 6 216=3, b) , в) лог 0.000001 0.001=1/2.

Илүү их хүнд хэцүү тохиолдлуудтоонуудын хүчийг ялгахын тулд .

Жишээ.

Илэрхийлэлийг илүү болгон хувирга энгийн харагдац log 3 648 log 2 3 .

Шийдэл.

648 тоо юу болж задрахыг харцгаая үндсэн хүчин зүйлүүд:

Энэ нь 648=2 3 ·3 4 гэсэн үг. Тиймээс, log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

Одоо бид бүтээгдэхүүний логарифмийг логарифмын нийлбэр болгон хувиргасны дараа бид чадлын логарифмын шинж чанарыг ашиглана.
бүртгэл 3 (2 3 3 4)лог 2 3=(лог 3 2 3 +лог 3 3 4)лог 2 3=
=(3·log 3 2+4)·log 2 3 .

Томъёонд тохирох чадлын логарифмын шинж чанарын үр дүнд , log32·log23 үржвэр нь -ийн үржвэр бөгөөд мэдэгдэж байгаагаар нэгтэй тэнцүү байна. Үүнийг харгалзан үзвэл бид олж авдаг 3 лог 3 2 лог 2 3+4 лог 2 3=3 1+4 лог 2 3=3+4 бүртгэл 2 3.

Хариулт:

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

Ихэнх тохиолдолд логарифмын тэмдгийн доорх илэрхийлэл ба түүний суурийн үржвэрүүд эсвэл зарим тоонуудын үндэс ба/эсвэл зэрэглэлийн харьцааг илэрхийлдэг, жишээлбэл, , . Ийм илэрхийлэлийг эрх мэдэл гэж илэрхийлж болно. Үүнийг хийхийн тулд язгуураас хүч рүү шилжих шилжилтийг хийж, ашигладаг. Эдгээр хувиргалтууд нь логарифмын тэмдэг ба түүний суурийн дор хүчийг тусгаарлаж, дараа нь логарифмын шинж чанарыг ашиглах боломжийг олгодог.

Жишээ.

Тооцоолох: a) , б) .

Шийдэл.

a) Логарифмын суурь дахь илэрхийлэл нь ижил суурьтай зэрэглэлийн үржвэр юм холбогдох өмчбидэнд эрдмийн зэрэг бий 5 2 ·5 −0,5 ·5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Одоо логарифмын тэмдгийн дор бутархайг хувиргая: бид язгуураас хүч рүү шилжиж, дараа нь ижил суурьтай чадлын харьцааны шинж чанарыг ашиглана. .

Хүлээн авсан үр дүнг анхны илэрхийлэл болгон орлуулж, томъёог ашиглана уу болон хувиргалтыг дуусгах:

b) 729 = 3 6 ба 1/9 = 3 −2 тул анхны илэрхийллийг дахин бичиж болно.

Дараа нь бид чадлын язгуурын шинж чанарыг хэрэглэж, язгуураас хүч рүү шилжиж, логарифмын суурийг зэрэгт шилжүүлэхийн тулд чадлын харьцааны шинж чанарыг ашиглана. .

харгалзан үзэж байна сүүлчийн үр дүн, бидэнд байна .

Хариулт:

A) , б) .

Энэ нь тодорхой байна ерөнхий тохиолдоллогарифмын тэмдэг болон түүний суурь дээр хүчийг олж авахын тулд янз бүрийн хувиргалт хийх шаардлагатай байж болно янз бүрийн илэрхийлэл. Хэд хэдэн жишээ хэлье.

Жишээ.

Энэ илэрхийлэл нь ямар утгатай вэ: a) , б) .

Шийдэл.

Өгөгдсөн илэрхийлэл нь A=2, B=x+1 ба p=4 log A B p хэлбэртэй байгааг бид цаашид тэмдэглэж байна. Бид энэ төрлийн тоон илэрхийллүүдийг a b p =p·log a b чадлын логарифмын шинж чанарын дагуу хувиргасан тул өгөгдсөн илэрхийллийн дагуу би үүнтэй ижил зүйлийг хийж, log 2 (x+1) 4-ээс шилжихийг хүсч байна. 4·log 2 (x+1) . Одоо анхны илэрхийллийн утгыг болон хувиргасны дараа олж авсан илэрхийлэлийг тооцоолъё, жишээ нь x=−2 үед. Бидэнд log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , ба 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- утгагүй илэрхийлэл. Эндээс "Бид юу буруу хийсэн бэ?" гэсэн логик асуулт гарч ирнэ.

Үүний шалтгаан нь: log a b p =p·log a b томъёонд үндэслэн log 2 (x+1) 4 =4·log 2 (x+1) хувиргалтыг хийсэн боловч энэ томъёо a>0, a≠1, b>0, p - дурын бодит тоо гэсэн нөхцөл хангагдсан тохиолдолд л бид өргөдөл гаргах эрхтэй. Өөрөөр хэлбэл, бидний хийсэн хувиргалт x+1>0 буюу x>−1-тэй ижил байвал (A ба p-ийн хувьд нөхцөл хангагдсан) явагдана. Гэтэл манайд анхны илэрхийллийн х хувьсагчийн ODZ нь зөвхөн x>−1 интервалаас гадна x интервалаас бүрддэг.<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

DL-ийг харгалзан үзэх шаардлагатай

Сонгосон илэрхийллийн өөрчлөлтийг үргэлжлүүлэн задлан шинжилье log 2 (x+1) 4 , одоо 4 · log 2 (x+1) илэрхийлэл рүү шилжих үед ODZ-д юу тохиолдохыг харцгаая. Өмнөх догол мөрөнд бид анхны илэрхийллийн ODZ-ийг олсон - энэ нь олонлог юм (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Одоо талбайг олъё хүлээн зөвшөөрөгдөх үнэ цэнэ 4·log 2 (x+1) илэрхийллийн х хувьсагч . (−1, +∞) олонлогт тохирох x+1>0 нөхцөлөөр тодорхойлогдоно. Лог 2 (x+1) 4-ээс 4·log 2 (x+1) руу шилжих үед зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ нарийсах нь тодорхой байна. Энэ нь янз бүрийн сөрөг үр дагаварт хүргэж болзошгүй тул DL-ийг нарийсгахад хүргэдэг өөрчлөлтөөс зайлсхийхийг бид зөвшөөрсөн.

Өөрчлөлтийн алхам бүрт OA-ийг хянаж, нарийсахаас урьдчилан сэргийлэх нь ашигтай гэдгийг энд тэмдэглэх нь зүйтэй. Хэрэв өөрчлөлтийн зарим үе шатанд гэнэт DL нарийссан бол энэ өөрчлөлтийг зөвшөөрөх эсэх, бид үүнийг хийх эрхтэй эсэхийг сайтар судалж үзэх нь зүйтэй юм.

Шударга байхын тулд практик дээр бид ихэвчлэн хувьсагчийн ODZ нь хувиргалт хийхдээ логарифмын шинж чанаруудыг аль аль нь бидэнд мэдэгдэж байсан хэлбэрээр хязгаарлалтгүйгээр ашиглах боломжтой илэрхийллүүдтэй ажиллах ёстой гэж хэлье. зүүнээс баруун тийш, баруунаас зүүн тийш. Та үүнд хурдан дасаж, өөрчлөлтийг хийх боломжтой эсэх талаар бодохгүйгээр механикаар хийж эхэлдэг. Ийм мөчид, азаар логарифмын шинж чанарыг хайхрамжгүй ашиглах нь алдаа гаргахад хүргэдэг илүү төвөгтэй жишээнүүд алга болдог. Тиймээс та үргэлж сонор сэрэмжтэй байж, ОДЗ-ийн нарийсалт байхгүй эсэхийг шалгах хэрэгтэй.

Логарифмын шинж чанарт суурилсан үндсэн хувиргалтыг тусад нь тодруулах нь гэмтээхгүй бөгөөд үүнийг маш болгоомжтой хийх ёстой бөгөөд энэ нь OD-ийн нарийсалт, үр дүнд нь алдаа гарахад хүргэдэг.

Логарифмын шинж чанарт суурилсан илэрхийллийн зарим хувиргалт нь мөн эсрэгээр - ODZ-ийг өргөжүүлэхэд хүргэдэг. Жишээлбэл, 4·log 2 (x+1)-ээс log 2 (x+1) 4 руу шилжих нь ODZ-ийг (−1, +∞) олонлогоос (−∞, −1)∪(−1,) болгон өргөжүүлнэ. +∞). Хэрэв бид анхны илэрхийлэлийн хувьд ODZ-ийн хүрээнд үлдэх юм бол ийм өөрчлөлтүүд явагдана. Тэгэхээр сая дурдсан 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 хувиргалт нь 4·log 2 (x+1) гэсэн анхны илэрхийллийн хувьд x хувьсагчийн ODZ дээр явагдана. x+1> 0, энэ нь (−1, +∞)-тэй ижил байна.

Одоо бид логарифмын шинж чанарыг ашиглан хувьсагчтай илэрхийллийг хувиргахдаа анхаарах ёстой нюансуудын талаар ярилцсан тул эдгээр хувиргалтыг хэрхэн зөв хийх талаар олж мэдэх л үлдлээ.

X+2>0. Энэ нь манай тохиолдолд ажилладаг уу? Энэ асуултад хариулахын тулд x хувьсагчийн ODZ-ийг авч үзье. Энэ нь тэгш бус байдлын системээр тодорхойлогддог , энэ нь x+2>0 нөхцөлтэй тэнцэнэ (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү тэгш бус байдлын системийг шийдвэрлэх). Тиймээс бид чадлын логарифмын шинж чанарыг найдвартай ашиглаж чадна.

Бидэнд байна
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3·7·log(x+2)−log(x+2)−5·4·log(x+2)=
=21·log(x+2)−log(x+2)−20·log(x+2)=
=(21−1−20)·log(x+2)=0 .

Та өөрөөр ажиллаж болно, аз болоход ODZ танд үүнийг хийхийг зөвшөөрдөг, жишээлбэл:

Хариулт:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

Гэхдээ ОДЗ дээр логарифмын шинж чанарыг дагалдах нөхцөл хангагдаагүй тохиолдолд яах вэ? Бид үүнийг жишээгээр ойлгох болно.

log(x+2) 4 − log(x+2) 2 илэрхийллийг хялбарчлахыг биднээс шаардацгаая. Энэ илэрхийллийн өөрчлөлт нь өмнөх жишээн дээрх илэрхийллээс ялгаатай нь хүч чадлын логарифмын өмчийг чөлөөтэй ашиглах боломжийг олгодоггүй. Яагаад? Энэ тохиолдолд x хувьсагчийн ODZ нь x>−2 ба x хоёр интервалын нэгдэл юм<−2 . При x>−2 бид чадлын логарифмын шинж чанарыг хялбархан хэрэглэж, дээрх жишээний дагуу ажиллаж болно. log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). Гэхдээ ODZ нь дахиад нэг x+2 интервалыг агуулна<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2ба цаашлаад k lg|x+2| зэрэглэлийн шинж чанараас шалтгаална 4 −lg|x+2| 2. Хувьсагчийн дурын утгын хувьд |x+2|>0 байх тул үр дүнгийн илэрхийлэлийг чадлын логарифмын шинж чанарыг ашиглан хувиргаж болно. Бидэнд байна log|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. Одоо модуль үүргээ гүйцэтгэсэн тул та өөрийгөө чөлөөлж болно. Бид х+2 дээр хувиргалтыг хийдэг<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Модулиудтай ажиллах нь танил болохын тулд өөр нэг жишээг харцгаая. Илэрхийлэлээс санаа авцгаая x−1, x−2, x−3 шугаман биномуудын логарифмын нийлбэр ба зөрүү рүү оч. Эхлээд бид ODZ-ийг олно:

(3, +∞) интервал дээр x−1, x−2 ба x−3 илэрхийллийн утгууд эерэг байх тул нийлбэр ба ялгааны логарифмын шинж чанарыг хялбархан ашиглаж болно.

Мөн (1, 2) интервал дээр x−1 илэрхийллийн утгууд эерэг, x−2 ба x−3 илэрхийллийн утгууд сөрөг байна. Тиймээс авч үзсэн интервал дээр бид модулийг −|x−2| гэж ашиглан x−2 ба x−3-ыг илэрхийлнэ

ба −|x−3|

Бидэнд байна

тус тус. Үүний зэрэгцээ

Одоо бид бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанаруудыг ашиглаж болно, учир нь авч үзсэн интервал (1, 2) дээр x−1 , |x−2| илэрхийллийн утгууд байна.

• ба |x−3|
• - эерэг.
• Хүлээн авсан үр дүнг нэгтгэж болно:

Ерөнхийдөө ижил төстэй үндэслэл нь бүтээгдэхүүний логарифм, харьцаа, градусын томъёонд үндэслэн хэрэглэхэд тохиромжтой гурван практик үр дүнг авах боломжийг олгодог. log a (X·Y) хэлбэрийн дурын X ба Y хоёр илэрхийллийн үржвэрийн логарифмыг log a |X|+log a |Y| логарифмын нийлбэрээр сольж болно. , a>0, a≠1 .Тодорхой логарифм log a (X:Y) -ийг log a |X|−log a |Y| логарифмын зөрүүгээр сольж болно. , a>0, a≠1, X ба Y нь дурын илэрхийлэл юм.

Жишээ.

Зарим B илэрхийллийн логарифмаас log a B p хэлбэрийн тэгш p хүртэлх p·log a |B| илэрхийлэл рүү орж болно. , энд a>0, a≠1, p нь тэгш тоо, B нь дурын илэрхийлэл юм. .

Шийдэл.

Үүнтэй төстэй үр дүнг жишээ нь экспоненциал ба шийдвэрлэх зааварт өгсөн болно

логарифм тэгшитгэл

М.И.Сканавигийн найруулсан их дээд сургуульд элсэгчдэд зориулсан математикийн бодлогын түүвэр.

Илэрхийлэлийг хялбарчлах

Хүч, нийлбэр, ялгаварын логарифмын шинж чанаруудыг хэрэглэх нь зүйтэй юм. Гэхдээ бид үүнийг энд хийж чадах уу? Энэ асуултад хариулахын тулд бид DZ-ийг мэдэх хэрэгтэй.

Үүнийг тодорхойлъё:

Х хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын муж дахь x+4, x−2 ба (x+4) 13 илэрхийлэл нь эерэг ба сөрөг утгыг хоёуланг нь авч болох нь ойлгомжтой. Тиймээс бид модулиар дамжуулан ажиллах шаардлагатай болно.

Модулийн шинж чанарууд нь үүнийг дахин бичих боломжийг олгодог Мөн хүчний логарифмын шинж чанарыг ашиглах, дараа нь ижил төстэй нэр томъёог авчрахад юу ч саад болохгүй.Өөр нэг өөрчлөлтийн дараалал нь ижил үр дүнд хүргэдэг: мөн ODZ дээр x−2 илэрхийлэл нь эерэг ба сөрөг утгыг хоёуланг нь авч болох тул тэгш илтгэгчийг 14 байрлуулахдаа.

Та эдгээр дүрмийг мэдэх нь гарцаагүй - тэдэнгүйгээр нэг ч ноцтой асуудлыг шийдэж чадахгүй. логарифмын асуудал. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - та нэг өдрийн дотор бүгдийг сурч чадна. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифм нэмэх, хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: log а xболон бүртгэл а y. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

1. бүртгэл а x+ бүртгэл а y= бүртгэл а (x · y);
2. бүртгэл а x- бүртгэл а y= бүртгэл а (x : y).

Тэгэхээр логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү, зөрүү нь хуваалтын логарифмтай тэнцүү байна. Анхаарна уу: гол цэгЭнд - ижил үндэслэлүүд. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй!

Эдгээр томьёо нь логарифм илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Бүртгэл 6 4 + бүртгэл 6 9.

Логарифмууд ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 2 48 − log 2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 3 135 − log 3 5.

Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Олон хүмүүс энэ баримт дээр суурилдаг туршилтууд. Удирдлагын талаар юу хэлэх вэ? ижил төстэй илэрхийллүүдБүх ноцтойгоор (заримдаа бараг ямар ч өөрчлөлтгүй) Улсын нэгдсэн шалгалтанд санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье. Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Үүнийг анзаарахад амархан сүүлчийн дүрэмэхний хоёрыг дагадаг. Гэхдээ үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооллын хэмжээг эрс багасгах болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно. а > 0, а ≠ 1, x> 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр нь хэрэглэж сур, i.e. Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно. Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 7 49 6 .

Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
бүртгэл 7 49 6 = 6 бүртгэл 7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

[Зургийн тайлбар]

Хуваарь нь логарифм агуулж байгааг анхаарна уу, түүний суурь ба аргумент нь яг тэнцүү зэрэгтэй: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Бидэнд:

гэж бодож байна сүүлчийн жишээтодруулах шаардлагатай. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг. Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүч чадлын хэлбэрээр танилцуулж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log 2 7. log 2 7 ≠ 0 учраас бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд энэ нь хийгдсэн зүйл юм. Үүний хариу нь: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.

Логарифмын бүртгэлийг өгье а x. Дараа нь дурын тооны хувьд втиймэрхүү в> 0 ба в≠ 1, тэгш байдал нь үнэн:

[Зургийн тайлбар]

Ялангуяа, хэрэв бид тавьсан бол в = x, бид авах:

[Зургийн тайлбар]

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.

Эдгээр томьёо нь уламжлалт байдлаар ховор байдаг тоон илэрхийллүүд. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Гэхдээ шинэ суурь руу шилжсэнээс өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудлууд бий. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг харцгаая:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 5 16 log 2 25.

Хоёр логарифмын аргументууд нь тодорхой хүчийг агуулдаг болохыг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоё:

Хүчин зүйлийг дахин тохируулах үед бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайван үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

Одоо салцгаая аравтын логарифм, шинэ суурь руу шилжих:

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд дараах томъёолол бидэнд туслах болно.

Эхний тохиолдолд тоо nмэтгэлцээний зэрэглэлийн үзүүлэлт болдог. Тоо nюу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг үндсэн гэж нэрлэдэг логарифмын ижилсэл.

Уг нь тоо гарвал яах бол бтоо ийм хүч хүртэл нэмэгдүүлэх бэнэ хүчинд тоог өгдөг а? Энэ нь зөв: та ижил дугаарыг авах болно а. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн үүнд гацдаг.

Шинэ суурь руу шилжих томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

[Зургийн тайлбар]

log 25 64 = log 5 8 гэдгийг анхаарна уу - бид зүгээр л логарифмын суурь ба аргументаас квадратыг авсан. Эрх мэдлийг үржүүлэх дүрмийг авч үзэх ижил суурь, бид авах:

Мэдэхгүй хүн байвал Улсын нэгдсэн шалгалтаас авсан жинхэнэ даалгавар байсан шүү :)

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Эцэст нь хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй байдлыг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд гарч ирдэг бөгөөд гайхмаар нь "дэвшилтэт" оюутнуудад хүртэл асуудал үүсгэдэг.

1. бүртгэл а а= 1 байна логарифмын нэгж. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: дурын суурь руу логарифм аэнэ суурь нь нэгтэй тэнцүү байна.
2. бүртгэл а 1 = 0 нь логарифмын тэг юм. Суурь аюу ч байж болно, гэхдээ хэрэв аргумент нэгийг агуулж байвал - логарифм тэгтэй тэнцүү! Учир нь а 0 = 1 байна шууд үр дагавартодорхойлолтоос.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.

Та бүхний мэдэж байгаагаар илэрхийлэлийг зэрэглэлээр үржүүлэхэд тэдгээрийн илтгэгч нь үргэлж нэмэгддэг (a b *a c = a b+c). Энэ математикийн хуульАрхимед гаралтай бөгөөд хожим 8-р зуунд математикч Вирасен бүхэл тоон илтгэгчийн хүснэгтийг бүтээжээ. Тэд л логарифмын цаашдын нээлтэд үйлчилсэн хүмүүс юм. Энэ функцийг ашиглах жишээг энгийн нэмэх замаар үржүүлэлтийг хялбарчлах шаардлагатай бараг бүх газраас олж болно. Хэрэв та энэ өгүүллийг уншихад 10 минут зарцуулбал бид логарифм гэж юу болох, түүнтэй хэрхэн ажиллах талаар тайлбарлах болно. Энгийн бөгөөд хүртээмжтэй хэлээр.

Математик дахь тодорхойлолт

Логарифм нь дараах хэлбэрийн илэрхийлэл юм: log a b=c, өөрөөр хэлбэл дурын логарифм. сөрөг бус тоо(өөрөөр хэлбэл аливаа эерэг) "b" нь "a" суурьтай нь эцсийн эцэст "b" утгыг олж авахын тулд "a" суурийг өсгөх ёстой "c"-ийн хүч гэж үздэг. Логарифмд жишээн дээр дүн шинжилгээ хийцгээе, илэрхийлэл байна гэж бодъё лог 2 8. Хариултыг хэрхэн олох вэ? Энэ нь маш энгийн, та 2-оос шаардагдах хүч хүртэл 8-ыг авах хүчийг олох хэрэгтэй. Толгойдоо хэд хэдэн тооцоо хийсний дараа бид 3-ын тоог авна! Энэ нь үнэн, учир нь 2-ыг 3-ын зэрэглэлд 8 гэж хариулах болно.

Логарифмын төрлүүд

Олон оюутнуудын хувьд энэ сэдэв нь төвөгтэй, ойлгомжгүй мэт санагддаг, гэхдээ үнэндээ логарифм нь тийм ч аймшигтай биш бөгөөд гол зүйл бол тэдний ерөнхий утгыг ойлгож, шинж чанар, зарим дүрмийг санах явдал юм. Гурав байна бие даасан төрөл зүйл логарифм илэрхийллүүд:

1. Натурал логарифм ln a, суурь нь Эйлерийн тоо (e = 2.7).
2. Аравтын тоо a, суурь нь 10.
3. a>1 суурьтай дурын b тооны логарифм.

Тэд тус бүрийг нь шийддэг стандарт аргаар, үүнд логарифмын теоремуудыг ашиглан хялбаршуулах, багасгах, дараа нь нэг логарифм болгон бууруулах зэрэг орно. Логарифмын зөв утгыг олж авахын тулд тэдгээрийг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийн шинж чанар, үйлдлийн дарааллыг санах хэрэгтэй.

Дүрэм ба зарим хязгаарлалт

Математикийн хувьд аксиом гэж хүлээн зөвшөөрөгдсөн хэд хэдэн дүрэм-хязгаарлалтууд байдаг, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг хэлэлцэх боломжгүй бөгөөд үнэн юм. Жишээлбэл, тоонуудыг тэг болгон хуваах боломжгүй, сөрөг тооны тэгш язгуурыг гаргаж авах боломжгүй юм. Логарифмууд нь өөрийн гэсэн дүрмүүдтэй байдаг бөгөөд үүнийг дагаснаар та урт, багтаамжтай логарифмын илэрхийлэлтэй ч хялбархан ажиллаж сурах боломжтой.

• "a" суурь нь үргэлж байх ёстой тэгээс их, мөн үүнтэй зэрэгцэн 1-тэй тэнцүү байж болохгүй, эс тэгвээс илэрхийлэл утгаа алдах болно, учир нь "1" ба "0" нь ямар ч хэмжээгээр тэдгээрийн утгатай тэнцүү байдаг;
• хэрэв a > 0 бол a b >0 бол "c" нь тэгээс их байх ёстой.

Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ?

Жишээлбэл, 10 x = 100 тэгшитгэлийн хариултыг олох даалгавар өгөгдсөн. Энэ нь маш амархан, та бидний 100 авах аравын тоог өсгөх замаар хүчийг сонгох хэрэгтэй. Энэ нь мэдээжийн хэрэг 10 2 = юм. 100.

Одоо энэ илэрхийлэлийг логарифм хэлбэрээр илэрхийлье. Бид лог 10 100 = 2-ыг авдаг. Логарифмыг шийдвэрлэхдээ өгөгдсөн тоог гаргахын тулд логарифмын суурийг оруулахад шаардлагатай хүчийг олохын тулд бүх үйлдлүүд практикт нийлдэг.

Үл мэдэгдэх зэргийн утгыг үнэн зөв тодорхойлохын тулд та градусын хүснэгттэй хэрхэн ажиллах талаар сурах хэрэгтэй. Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.

Таны харж байгаагаар, хэрэв та үржүүлэх хүснэгтийн талаар техникийн мэдлэгтэй, мэдлэгтэй бол зарим илтгэгчийг зөн совингоор таах боломжтой. Гэсэн хэдий ч төлөө том үнэ цэнэтанд градусын хүснэгт хэрэгтэй болно. Үүнийг цогцолборын талаар огт мэддэггүй хүмүүс ч ашиглаж болно математикийн сэдвүүд. Зүүн баганад тоонууд (суурь a), тоонуудын дээд эгнээ нь а тоог өсгөсөн c чадлын утга юм. Уулзвар дээрх нүднүүдэд хариулт болох тоон утгуудыг агуулна (a c =b). Жишээлбэл, 10 тоотой хамгийн эхний нүдийг аваад квадрат болгоод бид хоёр нүдний уулзварт заасан 100 утгыг авна. Бүх зүйл маш энгийн бөгөөд хялбар байдаг тул хамгийн жинхэнэ хүмүүнлэгч хүртэл ойлгох болно!

Тэгшитгэл ба тэгш бус байдал

Тодорхой нөхцөлд экспонент нь логарифм болдог. Тиймээс аливаа математикийн тоон илэрхийллүүдлогарифм тэгшитгэл хэлбэрээр бичиж болно. Жишээлбэл, 3 4 =81-ийг 81-ийн суурь 3 логарифм гэж дөрөвтэй тэнцүү (лог 3 81 = 4) бичиж болно. Учир нь сөрөг хүчнүүддүрмүүд нь адилхан: 2 -5 = 1/32 бид үүнийг логарифм хэлбэрээр бичвэл лог 2 (1/32) = -5 болно. Математикийн хамгийн сонирхолтой хэсгүүдийн нэг бол "логарифм" сэдэв юм. Бид тэдгээрийн шинж чанарыг судалсны дараа доорх тэгшитгэлийн жишээ, шийдлүүдийг авч үзэх болно. Одоо тэгш бус байдал ямар харагддаг, тэдгээрийг тэгшитгэлээс хэрхэн ялгах талаар авч үзье.

Дараах хэлбэрийн илэрхийлэл өгөгдсөн: log 2 (x-1) > 3 - энэ нь логарифмын тэгш бус байдал, учир нь үл мэдэгдэх утга "x" нь логарифмын тэмдгийн доор байна. Мөн илэрхийлэлд хоёр хэмжигдэхүүнийг харьцуулсан болно: хоёрыг суурь болгохыг хүссэн тооны логарифм нь гурван тооноос их байна.

Логарифм тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын хоорондох хамгийн чухал ялгаа нь логарифм бүхий тэгшитгэлүүд (жишээ нь - логарифм 2 x = √9) нь нэг буюу хэд хэдэн тодорхой хариултыг илэрхийлдэг явдал юм. тоон утгууд, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ ба энэ функцийн таслах цэгийг хоёуланг нь тодорхойлно. Үүний үр дүнд хариулт нь тэгшитгэлийн хариулт шиг бие даасан тоонуудын энгийн багц биш, харин тасралтгүй цуваа эсвэл тооны багц юм.

Логарифмын тухай үндсэн теоремууд

Логарифмын утгыг олох энгийн даалгавруудыг шийдвэрлэхдээ түүний шинж чанарыг мэдэхгүй байж болно. Гэхдээ логарифмын тэгшитгэл буюу тэгш бус байдлын тухай ярихад юуны өмнө логарифмын бүх үндсэн шинж чанарыг тодорхой ойлгож, практикт хэрэглэх шаардлагатай. Бид дараа нь тэгшитгэлийн жишээг авч үзэх болно, эхлээд шинж чанар бүрийг нарийвчлан авч үзье.

1. Үндсэн таних тэмдэг нь дараах байдалтай байна: a logaB =B. Энэ нь зөвхөн a нь 0-ээс их, нэгтэй тэнцүү биш, В нь тэгээс их байх үед л хамаарна.
2. Бүтээгдэхүүний логарифмыг дүрсэлж болно дараах томъёо: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Энэ тохиолдолд заавал биелүүлэх нөхцөл нь: d, s 1 ба s 2 > 0; a≠1. Та энэ логарифмын томъёоны нотолгоог жишээ болон шийдлээр өгч болно. log a s 1 = f 1 ба log a s 2 = f 2, дараа нь a f1 = s 1, a f2 = s 2 гэж бичье. Бид s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 гэдгийг олж авна. градус ), дараа нь тодорхойлолтоор: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, үүнийг батлах шаардлагатай.
3. Хэсгийн логарифм дараах байдалтай байна: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Томъёо хэлбэртэй теорем нь дараах хэлбэртэй байна: log a q b n = n/q log a b.

Энэ томьёог "логарифмын зэрэглэлийн шинж чанар" гэж нэрлэдэг. Энэ нь ердийн зэрэглэлийн шинж чанаруудтай төстэй бөгөөд бүх математик нь байгалийн постулат дээр суурилдаг тул энэ нь гайхмаар зүйл биш юм. Нотлох баримтыг харцгаая.

Лог a b = t гэж үзье, энэ нь a t =b болно. Хэрэв бид хоёр хэсгийг хоёуланг нь m хүртэл өсгөвөл: a tn = b n ;

гэхдээ a tn = (a q) nt/q = b n тул log a q b n = (n*t)/t, дараа нь log a q b n = n/q log a b. Теорем нь батлагдсан.

Асуудал ба тэгш бус байдлын жишээ

Логарифмын хамгийн түгээмэл төрлийн бодлого бол тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын жишээ юм. Эдгээр нь бараг бүх асуудлын номонд байдаг бөгөөд математикийн шалгалтын заавал байх ёстой хэсэг юм. Их сургуульд элсэх эсвэл тэнцэхэд зориулагдсан элсэлтийн шалгалтуудМатематикийн хувьд ийм асуудлыг хэрхэн зөв шийдэхийг мэдэх хэрэгтэй.

Харамсалтай нь логарифмын үл мэдэгдэх утгыг шийдвэрлэх, тодорхойлох ганц төлөвлөгөө, схем байхгүй, гэхдээ тус бүрдээ математикийн тэгш бус байдалэсвэл логарифм тэгшитгэлийг хэрэглэж болно тодорхой дүрэм. Юуны өмнө та илэрхийллийг хялбарчлах эсвэл хүргэж болох эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэй ерөнхий дүр төрх. Хэрэв та тэдгээрийн шинж чанарыг зөв ашиглавал урт логарифмын илэрхийлэлийг хялбарчилж болно. Тэдэнтэй хурдан танилцацгаая.

Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бид ямар төрлийн логарифм байгааг тодорхойлох ёстой: жишээ илэрхийлэл нь натурал логарифм эсвэл аравтын нэгийг агуулж болно.

Энд ln100, ln1026 жишээнүүд байна. Тэдний шийдэл нь суурь 10 нь 100 ба 1026-тай тэнцүү байх хүчийг тодорхойлох шаардлагатай болдог. Шийдлийн хувьд байгалийн логарифмуудта логарифмын таних тэмдэг эсвэл тэдгээрийн шинж чанарыг ашиглах хэрэгтэй. Янз бүрийн төрлийн логарифмын асуудлыг шийдвэрлэх жишээг авч үзье.

Логарифмын томьёог хэрхэн ашиглах вэ: жишээ ба шийдэлтэй

Тиймээс, логарифмын талаархи үндсэн теоремуудыг ашиглах жишээг авч үзье.

1. Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг өргөжүүлэх шаардлагатай ажлуудад ашиглаж болно их үнэ цэнэ b тоонуудыг энгийн хүчин зүйл болгон хувиргана. Жишээлбэл, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Хариулт нь 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - Таны харж байгаачлан логарифмын чадлын дөрөв дэх шинж чанарыг ашиглан бид ээдрээтэй бөгөөд шийдвэрлэх боломжгүй мэт санагдах илэрхийлэлийг шийдэж чадсан. Та зөвхөн суурийг хүчин зүйлээр тооцож, дараа нь логарифмын тэмдгээс экспонентын утгыг авах хэрэгтэй.

Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавар

Логарифмууд ихэвчлэн олддог элсэлтийн шалгалтууд, ялангуяа Улсын нэгдсэн шалгалтанд маш олон логарифмын асуудал гардаг ( улсын шалгалтбүх сургууль төгсөгчдийн хувьд). Ихэвчлэн эдгээр ажлууд нь зөвхөн А хэсэгт байдаггүй (хамгийн хялбар туршилтын хэсэгшалгалт), мөн C хэсэгт (хамгийн төвөгтэй, том даалгавар). Шалгалт нь үнэн зөв, шаарддаг төгс мэдлэг"Байгалийн логарифмууд" сэдвүүд.

Асуудлын жишээ, шийдлийг албаны хүмүүсээс авсан Улсын нэгдсэн шалгалтын сонголтууд. Ийм ажлууд хэрхэн шийдэгдэж байгааг харцгаая.

Өгөгдсөн лог 2 (2x-1) = 4. Шийдэл:
лог 2 (2x-1) = 2 2-ыг бага зэрэг хялбарчилж, илэрхийллийг дахин бичье, логарифмын тодорхойлолтоор бид 2x-1 = 2 4, тиймээс 2x = 17 болно; x = 8.5.

• Шийдэл нь төвөгтэй, төөрөгдөл биш байхын тулд бүх логарифмуудыг нэг суурь болгон багасгах нь хамгийн сайн арга юм.
• Логарифмын тэмдгийн дор байгаа бүх илэрхийлэл нь эерэг гэж тэмдэглэгдсэн тул логарифмын тэмдгийн доор байрлах илэрхийллийн илтгэгчийг үржүүлэгч болгон авах үед логарифмын доор үлдсэн илэрхийлэл эерэг байх ёстой.

мөн ODZ дээр x−2 илэрхийлэл нь эерэг ба сөрөг утгыг хоёуланг нь авч болох тул тэгш илтгэгчийг 14 байрлуулахдаа.

1. логакс + логай = лога(х у);
2. логакс − логай = лога (x: y).

ижил үндэслэлүүд

Log6 4 + log6 9.

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье.

Логарифмыг шийдвэрлэх жишээ

Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x >

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Мөн үзнэ үү:

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Экспонент нь 2.718281828…. Экспонентийг санахын тулд та дүрмийг судалж болно: экспонент нь 2.7-той тэнцүү бөгөөд Лео Николаевич Толстойн төрсөн жилээс хоёр дахин их байна.

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Энэ дүрмийг мэдсэнээр та мэдэх болно яг үнэ цэнэүзэсгэлэнд оролцогчид, мөн Лев Толстойн төрсөн он сар өдөр.

Логарифмын жишээ

Логарифмын илэрхийллүүд

Жишээ 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 шинж чанарыг ашиглан бид тооцоолно

2.

3.

4. Хаана .

Жишээ 2. Хэрэв x-г ол

Жишээ 3. Логарифмын утгыг өгье

Хэрэв log(x)-ыг тооцоол

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмыг ямар ч тоонуудын нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифмууд нь яг энгийн тоо биш тул энд дүрэм гэж байдаг мөн ODZ дээр x−2 илэрхийлэл нь эерэг ба сөрөг утгыг хоёуланг нь авч болох тул тэгш илтгэгчийг 14 байрлуулахдаа.

Та эдгээр дүрмийг мэдэх нь гарцаагүй - тэдгээргүйгээр логарифмын ноцтой асуудлыг шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - та нэг өдрийн дотор бүгдийг сурч чадна. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифм нэмэх, хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: логакс ба лога. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

1. логакс + логай = лога(х у);
2. логакс − логай = лога (x: y).

Тэгэхээр логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү, зөрүү нь хуваалтын логарифмтай тэнцүү байна. Анхаарна уу: гол зүйл бол энд байна ижил үндэслэлүүд. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй!

Эдгээр томьёо нь логарифм илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Логарифмууд ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log2 48 − log2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log3 135 − log3 5.

Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон туршилт хийдэг. Тийм ээ, шалгалттай төстэй илэрхийлэлийг улсын нэгдсэн шалгалтанд бүх ноцтойгоор (заримдаа бараг өөрчлөгдөөгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна

Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооллын хэмжээг эрс багасгах болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр нь хэрэглэж сур. , өөрөөр хэлбэл Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно. Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log7 496.

Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Хуваагч нь логарифм агуулж байгааг анхаарна уу, түүний суурь ба аргумент нь яг хүчирхэг байх болно: 16 = 24; 49 = 72. Бидэнд:

Сүүлийн жишээнд тодорхой тайлбар хэрэгтэй гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг.

Логарифмын томъёо. Логарифмын шийдлийн жишээ.

Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүч чадлын хэлбэрээр танилцуулж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log2 7. log2 7 ≠ 0 тул бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд энэ нь хийгдсэн зүйл юм. Үүний хариу нь: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тохируулбал бид дараахь зүйлийг авна.

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.

Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Гэхдээ шинэ суурь руу шилжсэнээс өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудлууд бий. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг харцгаая:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log5 16 log2 25.

Хоёр логарифмын аргументууд нь тодорхой хүчийг агуулдаг болохыг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоё:

Хүчин зүйлийг дахин тохируулах үед бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайван үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд дараах томъёолол бидэнд туслах болно.

Эхний тохиолдолд n тоо нь аргумент дахь илтгэгч болдог. n тоо нь юу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: .

Үнэн хэрэгтээ, b тоог ийм зэрэгт аваачвал, энэ түвшний b тоо нь а тоог өгдөг бол юу болох вэ? Энэ нь зөв: үр дүн нь ижил тоо юм. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн үүнд гацдаг.

Шинэ суурь руу шилжих томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

log25 64 = log5 8 - зүгээр л логарифмын суурь ба аргументаас квадратыг авсан гэдгийг анхаарна уу. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.

Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ нь Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан :)

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Эцэст нь хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй байдлыг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд гарч ирдэг бөгөөд гайхмаар нь "дэвшилтэт" оюутнуудад хүртэл асуудал үүсгэдэг.

1. logaa = 1 байна. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
2. лога 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна! Учир нь a0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.

Мөн үзнэ үү:

a суурийн b-ийн логарифм нь илэрхийллийг илэрхийлнэ. Логарифмыг тооцоолох гэдэг нь тэгш байдал хангагдах x () хүчийг олох гэсэн үг юм

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмтай холбоотой бараг бүх асуудал, жишээг тэдгээрийн үндсэн дээр шийддэг тул дээрх шинж чанаруудыг мэдэх шаардлагатай. Үлдсэн чамин шинж чанаруудыг эдгээр томъёогоор математикийн аргаар гаргаж авах боломжтой

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Логарифмын нийлбэр ба зөрүүний томъёог (3.4) тооцоолохдоо та маш олон удаа тааралддаг. Үлдсэн хэсэг нь зарим талаараа төвөгтэй боловч хэд хэдэн даалгаварт нарийн төвөгтэй илэрхийллийг хялбарчлах, тэдгээрийн утгыг тооцоолоход зайлшгүй шаардлагатай байдаг.

Логарифмын нийтлэг тохиолдлууд

Зарим нийтлэг логарифмууд нь суурь нь бүр арав, экспоненциал эсвэл хоёр байдаг.
Аравтын суурийн логарифмыг ихэвчлэн аравтын бутархай логарифм гэж нэрлэдэг бөгөөд энгийнээр lg(x) гэж тэмдэглэдэг.

Бичлэгт үндсэн зүйл бичигдээгүй нь бичлэгээс тодорхой харагдаж байна. Жишээ нь

Натурал логарифм нь суурь нь илтгэгч (ln(x)-ээр тэмдэглэгдсэн) логарифм юм.

Экспонент нь 2.718281828…. Экспонентийг санахын тулд та дүрмийг судалж болно: экспонент нь 2.7-той тэнцүү бөгөөд Лео Николаевич Толстойн төрсөн жилээс хоёр дахин их байна. Энэ дүрмийг мэдсэнээр та экспонентийн яг тодорхой утга, Лев Толстойн төрсөн он сар өдрийг хоёуланг нь мэдэх болно.

Хоёр дахь суурийг тавих өөр нэг чухал логарифмыг дараах байдлаар тэмдэглэв

Функцийн логарифмын дериватив нь хувьсагчид хуваагдсантай тэнцүү байна

Интеграл эсвэл эсрэг дериватив логарифм нь хамаарлаар тодорхойлогддог

Өгөгдсөн материал нь логарифм, логарифмтай холбоотой өргөн ангиллын асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай юм. Материалыг ойлгоход тань туслахын тулд би цөөн хэдэн энгийн жишээг өгөх болно сургуулийн сургалтын хөтөлбөрболон их дээд сургуулиуд.

Логарифмын жишээ

Логарифмын илэрхийллүүд

Жишээ 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 шинж чанарыг ашиглан бид тооцоолно

2.
Логарифмын ялгаварын шинж чанараар бид байна

3.
3.5 шинж чанарыг ашиглан бид олдог

4. Хаана .

Гадаад төрхөөрөө нарийн төвөгтэй илэрхийлэлхэд хэдэн дүрмийг ашиглах нь хялбаршуулсан хэлбэр юм

Логарифмын утгыг олох

Жишээ 2. Хэрэв x-г ол

Шийдэл. Тооцооллын хувьд бид сүүлийн үеийн 5 ба 13 шинж чанаруудыг хэрэглэнэ

Бид үүнийг бичлэгт оруулж, эмгэнэл илэрхийлдэг

Суурь нь тэнцүү тул бид илэрхийллүүдийг тэгшитгэдэг

Логарифм. Элсэлтийн түвшин.

Логарифмын утгыг өгье

Хэрэв log(x)-ыг тооцоол

Шийдэл: Хувьсагчийн логарифмыг авч, түүний нөхцлийн нийлбэрээр логарифмыг бичье.

Энэ бол бидний логарифм ба тэдгээрийн шинж чанаруудтай танилцах эхлэл юм. Тооцоолол хийж, практик ур чадвараа баяжуулаарай - логарифм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд олж авсан мэдлэг тань удахгүй хэрэг болно. Ийм тэгшитгэлийг шийдэх үндсэн аргуудыг судалсны дараа бид таны мэдлэгийг өөр нэг чухал сэдэв болох логарифмын тэгш бус байдлын талаар өргөжүүлэх болно.

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмыг ямар ч тоонуудын нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифмууд нь яг энгийн тоо биш тул энд дүрэм гэж байдаг мөн ODZ дээр x−2 илэрхийлэл нь эерэг ба сөрөг утгыг хоёуланг нь авч болох тул тэгш илтгэгчийг 14 байрлуулахдаа.

Та эдгээр дүрмийг мэдэх нь гарцаагүй - тэдгээргүйгээр логарифмын ноцтой асуудлыг шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - та нэг өдрийн дотор бүгдийг сурч чадна. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифм нэмэх, хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: логакс ба лога. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

1. логакс + логай = лога(х у);
2. логакс − логай = лога (x: y).

Тэгэхээр логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү, зөрүү нь хуваалтын логарифмтай тэнцүү байна. Анхаарна уу: гол зүйл бол энд байна ижил үндэслэлүүд. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй!

Эдгээр томьёо нь логарифм илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log6 4 + log6 9.

Логарифмууд ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log2 48 − log2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log3 135 − log3 5.

Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон туршилт хийдэг. Тийм ээ, шалгалттай төстэй илэрхийлэлийг улсын нэгдсэн шалгалтанд бүх ноцтойгоор (заримдаа бараг өөрчлөгдөөгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье. Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооллын хэмжээг эрс багасгах болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр нь хэрэглэж сур. , өөрөөр хэлбэл Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно.

Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ

Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log7 496.

Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Хуваагч нь логарифм агуулж байгааг анхаарна уу, түүний суурь ба аргумент нь яг хүчирхэг байх болно: 16 = 24; 49 = 72. Бидэнд:

Сүүлийн жишээнд тодорхой тайлбар хэрэгтэй гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг. Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүч чадлын хэлбэрээр танилцуулж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log2 7. log2 7 ≠ 0 тул бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд энэ нь хийгдсэн зүйл юм. Үүний хариу нь: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тохируулбал бид дараахь зүйлийг авна.

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.

Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Гэхдээ шинэ суурь руу шилжсэнээс өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудлууд бий. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг харцгаая:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log5 16 log2 25.

Хоёр логарифмын аргументууд нь тодорхой хүчийг агуулдаг болохыг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоё:

Хүчин зүйлийг дахин тохируулах үед бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайван үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд дараах томъёолол бидэнд туслах болно.

Эхний тохиолдолд n тоо нь аргумент дахь илтгэгч болдог. n тоо нь юу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: .

Үнэн хэрэгтээ, b тоог ийм зэрэгт аваачвал, энэ түвшний b тоо нь а тоог өгдөг бол юу болох вэ? Энэ нь зөв: үр дүн нь ижил тоо юм. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн үүнд гацдаг.

Шинэ суурь руу шилжих томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

log25 64 = log5 8 - зүгээр л логарифмын суурь ба аргументаас квадратыг авсан гэдгийг анхаарна уу. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.

Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ нь Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан :)

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Эцэст нь хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй байдлыг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд гарч ирдэг бөгөөд гайхмаар нь "дэвшилтэт" оюутнуудад хүртэл асуудал үүсгэдэг.

1. logaa = 1 байна. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
2. лога 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна! Учир нь a0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.