0.2 гэх мэт аравтын тоо; 1.05; 3.017 гэх мэт. Тэд сонсогдохын хэрээр бичигдсэн байдаг. Тэг цэг хоёр, бид бутархайг авна. Нэг цэгийн таван зуу, бид бутархайг авдаг. Гурван цэгийн арван долоон мянга, бид бутархайг авна. Аравтын бутархайн өмнөх тоо нь бутархайн бүхэл хэсэг юм. Аравтын бутархайн дараах тоо нь ирээдүйн бутархайн тоо юм. Аравтын бутархайн араас нэг оронтой тоо байвал хуваагч нь 10, хоёр оронтой бол 100, гурван оронтой тоо бол 1000 гэх мэт болно. Зарим үр дүнгийн фракцуудыг багасгаж болно. Бидний жишээн дээр

Бутархайг аравтын бутархай руу хөрвүүлэх

Энэ нь өмнөх өөрчлөлтийн эсрэг тал юм. Аравтын бутархайн шинж чанар юу вэ? Түүний хуваагч нь үргэлж 10, 100, 1000, 10000 гэх мэт. Хэрэв таны энгийн бутархай ийм хуваарьтай бол ямар ч асуудал байхгүй. Жишээлбэл, эсвэл

Хэрэв бутархай бол жишээ нь . Энэ тохиолдолд бутархайн үндсэн шинж чанарыг ашиглаж, хуваагчийг 10 эсвэл 100, эсвэл 1000 болгон хувиргах шаардлагатай ... Бидний жишээн дээр бид хуваагч болон хуваагчийг 4-ээр үржүүлбэл бид дараахь байж болох бутархай болно. 0.12 аравтын тоогоор бичигдсэн.

Зарим бутархайг хуваах нь хуваагчийг хөрвүүлэхээс илүү хялбар байдаг. Жишээ нь,

Зарим бутархайг аравтын бутархай руу хөрвүүлэх боломжгүй!
Жишээ нь,

Холимог бутархайг буруу бутархай болгон хувиргах

Жишээлбэл, холимог бутархайг буруу бутархай руу амархан хувиргаж болно. Үүнийг хийхийн тулд та бүхэл хэсгийг хуваагч (доод) -аар үржүүлж, хуваагч (доод) -ийг өөрчлөхгүй байх ёстой. Тэр нь

Холимог бутархайг буруу бутархай болгон хувиргахдаа та бутархай нэмэхийг ашиглаж болно гэдгийг санаж болно

Бутархай бутархайг холимог бутархай болгон хувиргах (бүхэл хэсгийг нь тодруулах)

Буруу бутархай хэсгийг бүхэлд нь тодруулснаар холимог бутархай болж хувирна. Нэг жишээ авч үзье. Бид "3" нь "23"-д хэдэн бүхэл тоо багтахыг тодорхойлдог. Эсвэл тооцоолуур дээр 23-ыг 3-т хуваавал аравтын бутархай хүртэлх бүхэл тоо нь хүссэн тоо юм. Энэ бол "7". Дараа нь бид ирээдүйн бутархайн тоог тодорхойлно: бид "7" -ийг хуваагч "3"-аар үржүүлж, үр дүнг "23" тоологчоос хасна. Хэрэв бид "3"-ын дээд хэмжээг хасвал "23" тоологчоос үлдсэн нэмэлтийг олох юм шиг байна. Бид хуваагчийг өөрчлөхгүйгээр үлдээдэг. Бүх зүйл хийгдсэн, үр дүнг бич

Сургуулийн алгебрийн хичээлээс бид тодорхой зүйл рүү шилждэг. Энэ нийтлэлд бид оновчтой илэрхийллийн тусгай төрлийг нарийвчлан судлах болно. рационал бутархай, мөн ямар шинж чанар ижил болохыг анхаарч үзээрэй рационал бутархайн хувиргалтявагдана.

Бидний доор тодорхойлсон утгаараа рационал бутархайг зарим алгебрийн сурах бичигт алгебрийн бутархай гэж нэрлэдэгийг нэн даруй тэмдэглэе. Өөрөөр хэлбэл, энэ нийтлэлд бид рационал ба алгебрийн бутархайг ижил утгатай гэж ойлгох болно.

Ердийнх шигээ тодорхойлолт, жишээнүүдээс эхэлцгээе. Дараа нь бид рационал бутархайг шинэ хуваагч руу авчирч, бутархайн гишүүдийн тэмдгийг өөрчлөх талаар ярих болно. Үүний дараа бид бутархайг хэрхэн багасгах талаар авч үзэх болно. Эцэст нь, рационал бутархайг хэд хэдэн бутархайн нийлбэрээр илэрхийлэхийг үзье. Бид бүх мэдээллийг жишээ, шийдлийн нарийвчилсан тайлбараар өгөх болно.

Хуудасны навигаци.

Рационал бутархайн тодорхойлолт ба жишээ

Рационал бутархайг 8-р ангийн алгебрийн хичээлээр судалдаг. Ю.Н.Макарычев нарын 8-р ангийн алгебрийн сурах бичигт өгсөн рационал бутархайн тодорхойлолтыг ашиглана.

Рационал бутархайн хуваагч ба хуваагч дахь олон гишүүнт нь стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт байх ёстой эсэхийг энэ тодорхойлолтод заагаагүй болно. Тиймээс рационал бутархайн тэмдэглэгээ нь стандарт болон стандарт бус олон гишүүнт аль алиныг агуулж болно гэж бид таамаглах болно.

Энд цөөн хэдэн байна рационал бутархайн жишээ. Тэгэхээр, x/8 ба - рационал бутархай. Мөн бутархай мөн рационал бутархайн тодорхойлсон тодорхойлолтод тохирохгүй, учир нь тэдгээрийн эхнийх нь тоологч нь олон гишүүнтийг агуулаагүй, хоёрдугаарт, тоо болон хуваагч хоёулаа олон гишүүнт биш илэрхийллийг агуулдаг.

Рационал бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг хөрвүүлэх

Аливаа бутархайн тоо ба хуваагч нь рационал бутархайн хувьд бие даасан математик илэрхийллүүд, эдгээр нь тодорхой тохиолдолд олон гишүүнтүүд, тоонууд; Тиймээс аливаа илэрхийллийн нэгэн адил рационал бутархайн хуваагч ба хуваагчтай ижил хувиргалтыг хийж болно. Өөрөөр хэлбэл, рационал бутархайн хуваагч дахь илэрхийлэлийг хуваагчтай адил тэнцүү илэрхийллээр сольж болно.

Рационал бутархайн хуваагч ба хуваарьт ижил хувиргалтыг хийж болно. Жишээлбэл, тоологч дээр та ижил төстэй нэр томъёог бүлэглэж, багасгаж, хуваагч дээр хэд хэдэн тооны үржвэрийг утгаараа сольж болно. Рационал бутархайн тоологч ба хуваагч нь олон гишүүнт байдаг тул тэдгээрийн тусламжтайгаар олон гишүүнтийн шинж чанарыг хувиргах, жишээлбэл, стандарт хэлбэрт оруулах эсвэл бүтээгдэхүүн хэлбэрээр дүрслэх боломжтой.

Тодорхой болгохын тулд хэд хэдэн жишээнүүдийн шийдлийг авч үзье.

Жишээ.

Рационал бутархайг хөрвүүлэх Ингэснээр тоологч нь стандарт хэлбэрийн олон гишүүнтийг, хуваагч нь олон гишүүнтүүдийн үржвэрийг агуулна.

Шийдэл.

Рационал бутархайг шинэ хуваагч болгон багасгах нь рационал бутархайг нэмэх, хасахад голчлон хэрэглэгддэг.

Бутархайн урд, түүнчлэн түүний тоо, хуваагч дахь тэмдгийг өөрчлөх

Бутархайн үндсэн шинж чанарыг бутархайн гишүүдийн тэмдгийг өөрчлөхөд ашиглаж болно. Үнэн хэрэгтээ рационал бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг -1-ээр үржүүлэх нь тэдгээрийн тэмдгийг өөрчилсөнтэй тэнцэх бөгөөд үр дүн нь өгөгдсөнтэй ижил тэнцүү бутархай болно. Рационал бутархайтай ажиллахдаа энэ хувиргалтыг нэлээд олон удаа ашиглах ёстой.

Тиймээс, хэрэв та бутархайн тоо ба хувагчийн тэмдгийг нэгэн зэрэг солих юм бол та анхныхтай тэнцэх бутархай авах болно. Энэ мэдэгдэлд тэгш эрхээр хариулдаг.

Нэг жишээ хэлье. Рационал бутархайг хэлбэрийн тоологч ба хуваагчийн тэмдэг өөрчлөгдсөн ижил тэнцүү бутархайгаар сольж болно.

Бутархайн тусламжтайгаар та тоологч эсвэл хуваагчийн тэмдэг өөрчлөгддөг өөр нэг ижил хувиргалтыг хийж болно. Холбогдох дүрмийг хэлцгээе. Хэрэв та бутархайн тэмдгийг тоологч эсвэл хуваагчийн тэмдэгтэй хамт орлуулбал анхныхтай яг адилхан бутархай болно. Бичсэн мэдэгдэл нь тэнцүү ба .

Эдгээр тэгш байдлыг батлах нь тийм ч хэцүү биш юм. Баталгаа нь тоог үржүүлэх шинж чанарууд дээр суурилдаг. Тэдний эхнийхийг баталъя: . Үүнтэй төстэй хувиргалтыг ашиглан тэгш байдлыг нотолсон болно.

Жишээлбэл, бутархайг эсвэл илэрхийллээр сольж болно.

Энэ цэгийг дүгнэхийн тулд бид өөр хоёр ашигтай тэгшитгэлийг танилцуулж байна. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв та зөвхөн тоологч эсвэл зөвхөн хуваагчийн тэмдгийг өөрчилвөл бутархай тэмдэг нь өөрчлөгдөнө. Жишээ нь, Тэгээд .

Бутархайн нэр томъёоны тэмдгийг өөрчлөх боломжийг олгодог авч үзсэн хувиргалтыг бутархай рационал илэрхийллийг хувиргахдаа ихэвчлэн ашигладаг.

Рационал бутархайг багасгах

Рационал бутархайн бууралт гэж нэрлэгддэг рационал бутархайн дараах хувиргалт нь бутархайн ижил үндсэн шинж чанарт суурилдаг. Энэ хувиргалт нь тэгшитгэлтэй тохирч, a, b ба c нь зарим олон гишүүнт, b ба c нь тэг биш байна.

Дээрх тэгшитгэлээс харахад рационал бутархайг багасгах нь түүний хүртэгч ба хуваагч дахь нийтлэг хүчин зүйлээс салах гэсэн үг юм.

Жишээ.

Рационал бутархайг хүчингүй болго.

Шийдэл.

Нийтлэг хүчин зүйл 2 шууд харагдана, түүгээр нь бууруулъя (бичих үед буурч байгаа нийтлэг хүчин зүйлсийг хасах нь тохиромжтой). Бидэнд байна . x 2 =x x ба y 7 =y 3 y 4 (шаардлагатай бол харна уу) учир х нь y 3-ын нэгэн адил үүссэн бутархайн хуваагч ба хуваагчийн нийтлэг хүчин зүйл болох нь тодорхой байна. Эдгээр хүчин зүйлсээр бууруулъя: . Энэ нь бууралтыг дуусгана.

Дээрээс нь бид рационал бутархайн бууралтыг дараалан гүйцэтгэсэн. Эсвэл нэг алхамаар бууралтыг хийж, тэр даруй бутархайг 2 x y 3-аар бууруулах боломжтой байсан. Энэ тохиолдолд шийдэл нь дараах байдлаар харагдах болно. .

Хариулт:

Рационал бутархайг багасгахад гол асуудал бол тоологч ба хуваагчийн нийтлэг хүчин зүйл үргэлж харагдахгүй байх явдал юм. Түүнээс гадна энэ нь үргэлж байдаггүй. Нийтлэг хүчин зүйлийг олох эсвэл байхгүй эсэхийг шалгахын тулд рационал бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг хүчинжүүлэх хэрэгтэй. Хэрэв нийтлэг хүчин зүйл байхгүй бол анхны оновчтой бутархайг багасгах шаардлагагүй, эс тэгвээс бууралтыг хийнэ.

Рационал бутархайг багасгах явцад янз бүрийн нюансууд үүсч болно. Гол нарийн ширийн зүйлийг жишээн дээр ашиглан алгебрийн бутархайг багасгах нийтлэлд дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно.

Рационал бутархайг багасгах тухай яриаг дуусгахад энэхүү хувиргалт нь адилхан бөгөөд түүнийг хэрэгжүүлэхэд тулгардаг гол бэрхшээл нь тоологч ба хуваагч дахь олон гишүүнтүүдийг хүчин зүйл болгоход оршдог гэдгийг бид тэмдэглэж байна.

Рационал бутархайг бутархайн нийлбэрээр дүрслэх

Хэд хэдэн бутархайн нийлбэр эсвэл бүхэл илэрхийлэл ба бутархайн нийлбэрээр дүрслэгдэх оновчтой бутархайг хувиргах нь нэлээд өвөрмөц боловч зарим тохиолдолд маш ашигтай байдаг.

Хэд хэдэн мономиалуудын нийлбэрийг илэрхийлэх олон гишүүнтийг агуулсан рационал бутархайг үргэлж ижил хуваагчтай бутархайн нийлбэр хэлбэрээр бичиж болно, тэдгээрийн тоологч нь харгалзах мономиалуудыг агуулдаг. Жишээ нь, . Энэ дүрслэлийг ижил хуваарьтай алгебрийн бутархайг нэмэх, хасах дүрмээр тайлбарладаг.

Ерөнхийдөө аливаа рационал бутархайг бутархайн нийлбэрээр олон янзаар илэрхийлж болно. Жишээлбэл, a/b бутархайг хоёр бутархайн нийлбэрээр дүрсэлж болно - дурын бутархай c/d ба a/b ба c/d бутархайн хоорондох зөрүүтэй тэнцүү бутархай. Энэ мэдэгдэл үнэн, учир нь тэгш байдал хадгалагдана . Жишээлбэл, рационал бутархайг бутархайн нийлбэр хэлбэрээр янз бүрийн аргаар илэрхийлж болно. Анхны бутархайг бүхэл тооны илэрхийлэл ба бутархайн нийлбэр гэж төсөөлье. Тоолуурыг баганагаар хуваах замаар бид тэгш байдлыг олж авна . Аливаа n бүхэл тооны n 3 +4 илэрхийллийн утга нь бүхэл тоо юм. Мөн бутархайн хуваагч нь 1, −1, 3, −3 байвал бүхэл тоо болно. Эдгээр утгууд нь n=3, n=1, n=5 ба n=−1 гэсэн утгатай тохирч байна.

Хариулт:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Лавлагаа.

Алгебр:сурах бичиг 8-р ангийн хувьд. ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордкович А.Г.Алгебр. 7-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich. - 13 дахь хэвлэл, Илч. - М.: Mnemosyne, 2009. - 160 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01198-9.
Мордкович А.Г.Алгебр. 8-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich. - 11-р хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2009. - 215 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01155-2.
Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага): Proc. тэтгэмж.- М.; Илүү өндөр сургууль, 1984.-351 х., өвчтэй.

Илэрхийллийн утгыг тооцоолохдоо хамгийн сүүлд хийгддэг арифметик үйлдэл нь “мастер” үйлдэл юм.

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв та үсгийн оронд зарим (ямар ч) тоог орлуулж, илэрхийллийн утгыг тооцоолохыг оролдвол, хэрэв сүүлчийн үйлдэл нь үржүүлэх юм бол бид үржвэртэй болно (илэрхийлэл нь үржвэрлэгдсэн).

Хэрэв сүүлчийн үйлдэл нь нэмэх эсвэл хасах үйлдэл бол илэрхийлэл нь хүчин зүйл ангилагдаагүй (тиймээс багасгах боломжгүй) гэсэн үг юм.

Үүнийг бататгахын тулд хэд хэдэн жишээг өөрөө шийд:

Жишээ нь:

Шийдэл:

1. Та тэр даруй огтлох гэж яараагүй гэж найдаж байна? Ийм нэгжүүдийг "багасгах" нь хангалтгүй хэвээр байсан:

Эхний алхам нь хүчин зүйлчлэл байх ёстой:

4. Бутархай тоог нэмэх, хасах. Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгах.

Энгийн бутархайг нэмэх, хасах нь танил үйлдэл юм: бид нийтлэг хуваагчийг хайж, бутархай бүрийг алга болсон хүчин зүйлээр үржүүлж, тоог нэмэх/хасах.

Санаж үзье:

Хариултууд:

1. Хуваагч ба харьцангуй анхдагч, өөрөөр хэлбэл тэдгээрт нийтлэг хүчин зүйл байхгүй. Тиймээс эдгээр тоонуудын LCM нь тэдгээрийн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна. Энэ нь нийтлэг хуваагч байх болно:

2. Энд нийтлэг хуваагч нь:

3. Энд эхлээд бид холимог бутархайг зохисгүй болгон хувиргаж, дараа нь ердийн схемийн дагуу:

Хэрэв бутархай нь үсэг агуулсан байвал энэ нь огт өөр асуудал юм, жишээлбэл:

Энгийн зүйлээс эхэлцгээе:

a) Хугацаа нь үсэг агуулаагүй

Энд бүх зүйл энгийн тоон бутархайтай адил байна: бид нийтлэг хуваагчийг олж, бутархай бүрийг алга болсон хүчин зүйлээр үржүүлж, тоог нэмэх/хасах:

Одоо тоологч дээр та ижил төстэй, хэрэв байгаа бол тэдгээрийг өгч, үржүүлж болно:

Та өөрөө туршаад үзээрэй:

Хариултууд:

б) Хугацаа нь үсэг агуулдаг

Үсэггүй нийтлэг хуваагчийг олох зарчмыг санацгаая.

· юуны түрүүнд нийтлэг хүчин зүйлсийг тодорхойлох;

· дараа нь бид бүх нийтлэг хүчин зүйлсийг нэг нэгээр нь бичдэг;

· бусад нийтлэг бус бүх хүчин зүйлээр үржүүлнэ.

Хуваарийн нийтлэг хүчин зүйлсийг тодорхойлохын тулд бид эхлээд тэдгээрийг үндсэн хүчин зүйл болгон хуваана.

Нийтлэг хүчин зүйлсийг онцолж үзье:

Одоо нийтлэг хүчин зүйлсийг нэг нэгээр нь бичиж, тэдгээрт нийтлэг бус (доор зураагүй) бүх хүчин зүйлийг нэмье.

Энэ бол нийтлэг зүйл юм.

Захидалдаа буцаж орцгооё. Хуваагчдыг яг ижил аргаар өгсөн болно.

· хуваагчийг хүчин зүйл болгох;

· нийтлэг (ижил) хүчин зүйлсийг тодорхойлох;

· Бүх нийтлэг хүчин зүйлсийг нэг удаа бичих;

· тэдгээрийг бусад бүх нийтлэг бус хүчин зүйлээр үржүүлнэ.

Тиймээс, дарааллаар нь:

1) хуваагчийг хүчин зүйлээр тооцох:

2) нийтлэг (ижил) хүчин зүйлсийг тодорхойлох:

3) бүх нийтлэг хүчин зүйлсийг нэг удаа бичиж, бусад бүх (доор зураагүй) хүчин зүйлүүдээр үржүүлнэ.

Тэгэхээр энд нэг нийтлэг зүйл байна. Эхний бутархайг үржүүлж, хоёр дахь нь:

Дашрамд хэлэхэд нэг заль мэх бий:

Жишээ нь: .

Бид хуваагчдад ижил хүчин зүйлсийг хардаг, зөвхөн бүгд өөр өөр үзүүлэлттэй байдаг. Нийтлэг хуваагч нь:

тодорхой хэмжээгээр

тодорхой хэмжээгээр.

Даалгаврыг хүндрүүлье:

Бутархайг хэрхэн ижил хуваагчтай болгох вэ?

Бутархайн үндсэн шинж чанарыг санацгаая.

Бутархайн хуваагч болон хуваагчаас ижил тоог хасч (эсвэл нэмж) болно гэж хаана ч байхгүй. Учир нь энэ нь үнэн биш юм!

Өөрийгөө хараарай: жишээ нь дурын бутархайг авч, тоо болон хуваагч дээр хэдэн тоог нэмнэ, жишээлбэл, . Та юу сурсан бэ?

Тиймээс өөр нэг хөдлөшгүй дүрэм:

Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгахдаа зөвхөн үржүүлэх үйлдлийг ашиглана уу!

Гэхдээ авахын тулд юугаар үржүүлэх хэрэгтэй вэ?

Тиймээс үржүүлээрэй. Тэгээд үржүүлнэ:

Хүчин зүйлд ангилагдах боломжгүй хэллэгийг бид "элементар хүчин зүйл" гэж нэрлэх болно.

Жишээлбэл, энэ бол үндсэн хүчин зүйл юм. - Адилхан. Гэхдээ үгүй: үүнийг хүчин зүйлээр ангилж болно.

Илэрхийллийн талаар юу хэлэх вэ? Энэ нь анхан шатны хичээл үү?

Үгүй, учир нь үүнийг хүчин зүйлээр ангилж болно:

("" гэсэн сэдвээр хүчин зүйл ангилах талаар та аль хэдийн уншсан).

Тиймээс үсэг бүхий илэрхийлэлийг задлах энгийн хүчин зүйлүүд нь тоонуудыг задалдаг энгийн хүчин зүйлүүдийн аналог юм. Мөн бид тэдэнтэй ижил аргаар харьцах болно.

Бид хуваагч хоёулаа үржүүлэгчтэй болохыг харж байна. Энэ нь нийтлэг хуваагч руу градус хүртэл явах болно (яагаадыг санаж байна уу?).

Хүчин зүйл нь энгийн бөгөөд тэдгээрт нийтлэг хүчин зүйл байдаггүй бөгөөд энэ нь эхний бутархайг зүгээр л үржүүлэх шаардлагатай болно гэсэн үг юм.

Өөр нэг жишээ:

Шийдэл:

Эдгээр хуваагчдыг сандаргаж үржүүлэхээсээ өмнө тэдгээрийг хэрхэн хүчин зүйл болгох талаар бодох хэрэгтэй юу? Тэд хоёулаа дараахь зүйлийг төлөөлдөг.

Гайхалтай! Дараа нь:

Өөр нэг жишээ:

Шийдэл:

Ердийнх шигээ хуваагчийг хүчин зүйлээр ангилъя. Эхний хуваарьт бид зүгээр л хаалтанд оруулав; хоёр дахь нь - квадратуудын ялгаа:

Нийтлэг хүчин зүйл байхгүй юм шиг санагдаж байна. Гэхдээ хэрэв та анхааралтай ажиглавал тэд ижил төстэй байна ... Мөн энэ нь үнэн:

Ингээд бичье:

Өөрөөр хэлбэл, ийм болсон: хаалт дотор бид нэр томъёог сольж, тэр үед бутархайн урд талын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдсөн. Анхаарна уу, та үүнийг байнга хийх хэрэгтэй болно.

Одоо үүнийг нийтлэг хуваагч руу аваачъя:

Ойлгосон уу? Одоо шалгаж үзье.

Бие даасан шийдлийн даалгавар:

Хариултууд:

Энд бид өөр нэг зүйлийг санах хэрэгтэй - шоо дөрвөлжингийн ялгаа:

Хоёрдахь бутархайн хуваагч нь "нийлбэрийн квадрат" томъёог агуулаагүй болохыг анхаарна уу! Нийлбэрийн квадрат нь дараах байдалтай байна: .

A нь нийлбэрийн бүрэн бус квадрат гэж нэрлэгддэг: хоёр дахь гишүүн нь эхний ба сүүлчийнх нь үржвэр бөгөөд тэдгээрийн давхар үржвэр биш юм. Нийлбэрийн хэсэгчилсэн квадрат нь кубын зөрүүг тэлэх хүчин зүйлүүдийн нэг юм.

Хэрэв аль хэдийн гурван бутархай байвал яах вэ?

Тийм ээ, ижил зүйл! Юуны өмнө, хуваагч дахь хүчин зүйлийн хамгийн их тоо ижил байгаа эсэхийг шалгацгаая.

Анхаарна уу: хэрэв та нэг хаалт доторх тэмдгийг өөрчилвөл бутархайн урд талын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдөнө. Хоёрдахь хаалтанд байгаа тэмдгүүдийг өөрчлөхөд бутархайн өмнөх тэмдэг дахин эсрэгээр өөрчлөгдөнө. Үүний үр дүнд энэ нь (бутархайн урд талын тэмдэг) өөрчлөгдөөгүй.

Бид эхний хуваагчийг бүхэлд нь нийтлэг хуваагч руу бичээд дараа нь хоёр дахь, дараа нь гуравдахь (хэрэв илүү олон бутархай байвал гэх мэт) бичигдээгүй байгаа бүх хүчин зүйлийг нэмнэ. Энэ нь дараах байдлаар харагдаж байна.

Хмм... Бутархайгаар юу хийх нь ойлгомжтой. Гэхдээ энэ хоёр яах вэ?

Энэ нь энгийн: та бутархайг хэрхэн нэмэхээ мэддэг, тийм үү? Тиймээс бид хоёрыг бутархай болгох хэрэгтэй! Санаж үзье: бутархай нь хуваах үйлдэл юм (хэрэв та мартсан бол тоологч нь хуваагчаар хуваагдана). Мөн тоог хуваах шиг амархан зүйл байхгүй. Энэ тохиолдолд тоо нь өөрөө өөрчлөгдөхгүй, харин бутархай болж хувирна.

Зөвхөн танд хэрэгтэй зүйл!

5. Бутархайг үржүүлэх, хуваах.

За одоо хамгийн хэцүү хэсэг нь дууслаа. Бидний өмнө хамгийн энгийн, гэхдээ нэгэн зэрэг хамгийн чухал нь байна.

Процедур

Тоон илэрхийллийг тооцоолох журам юу вэ? Энэ илэрхийллийн утгыг тооцоолохдоо санаарай:

Тоолсон уу?

Энэ нь ажиллах ёстой.

Тиймээс би танд сануулъя.

Эхний алхам бол зэрэглэлийг тооцоолох явдал юм.

Хоёр дахь нь үржүүлэх, хуваах явдал юм. Хэд хэдэн үржүүлэх, хуваах үйлдлүүд нэгэн зэрэг байгаа бол тэдгээрийг ямар ч дарааллаар хийж болно.

Эцэст нь бид нэмэх, хасах үйлдлийг гүйцэтгэдэг. Дахин хэлэхэд ямар ч дарааллаар.

Гэхдээ: хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь ээлжлэн үнэлэгдсэн!

Хэд хэдэн хаалтуудыг үржүүлж эсвэл өөр хоорондоо хуваавал бид эхлээд хаалт тус бүрийн илэрхийлэлийг тооцоолж, дараа нь үржүүлж эсвэл хуваана.

Хэрвээ хаалт дотор илүү олон хаалт байвал яах вэ? За, бодъё: хаалт дотор зарим илэрхийлэл бичигдсэн байна. Илэрхийлэлийг тооцоолохдоо эхлээд юу хийх ёстой вэ? Энэ нь зөв, хаалтуудыг тооцоол. За, бид үүнийг олж мэдэв: эхлээд дотоод хаалтуудыг тооцоолж, дараа нь бусад бүх зүйлийг тооцоолно.

Тиймээс дээрх илэрхийлэлийн процедур дараах байдалтай байна (одоогийн үйлдлийг улаанаар тодруулсан, өөрөөр хэлбэл миний яг одоо хийж буй үйлдэл):

За, бүх зүйл энгийн.

Гэхдээ энэ нь үсэгтэй илэрхийлэлтэй адил биш гэж үү?

Үгүй ээ, адилхан! Зөвхөн арифметик үйлдлүүдийн оронд та алгебрийн үйлдлүүдийг, өөрөөр хэлбэл өмнөх хэсэгт тайлбарласан үйлдлүүдийг хийх хэрэгтэй. ижил төстэй авчрах, бутархай нэмэх, бутархайг багасгах гэх мэт. Цорын ганц ялгаа нь олон гишүүнтийг факторинг хийх үйлдэл байх болно (бид үүнийг бутархайтай ажиллахдаа ихэвчлэн ашигладаг). Ихэнх тохиолдолд хүчин зүйл ангилахын тулд та I-г ашиглах эсвэл нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтанд оруулах хэрэгтэй.

Ихэнхдээ бидний зорилго бол илэрхийлэлийг бүтээгдэхүүн эсвэл quotient хэлбэрээр илэрхийлэх явдал юм.

Жишээ нь:

Илэрхийлэлийг хялбаршуулж үзье.

1) Эхлээд бид хаалт доторх илэрхийллийг хялбаршуулдаг. Тэнд бид бутархайн ялгаа байдаг бөгөөд бидний зорилго бол үүнийг бүтээгдэхүүн эсвэл quotient хэлбэрээр танилцуулах явдал юм. Тиймээс бид бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчирч, нэмнэ:

Энэ илэрхийлэлийг цаашид хялбарчлах боломжгүй; энд байгаа бүх хүчин зүйл нь энгийн зүйл юм (энэ нь юу гэсэн үг болохыг та санаж байна уу?).

2) Бид дараахь зүйлийг авна.

Бутархайг үржүүлэх: юу илүү хялбар байж болох вэ.

3) Одоо та богиносгож болно:

За тэгээд л болоо. Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, тийм үү?

Өөр нэг жишээ:

Илэрхийлэлийг хялбарчлах.

Эхлээд үүнийг өөрөө шийдэхийг хичээ, зөвхөн дараа нь шийдлийг хар.

Шийдэл:

Юуны өмнө үйл ажиллагааны дарааллыг тодорхойлъё.

Эхлээд хаалтанд бутархайг нэмье, тэгэхээр хоёр бутархайн оронд нэгийг авна.

Дараа нь бид бутархайг хуваах болно. За тэгээд үр дүнг сүүлийн бутархайгаар нэмье.

Би алхамуудыг схемийн дагуу дугаарлах болно:

Одоо би танд үйл явцыг харуулж, одоогийн үйлдлийг улаанаар будах болно:

1. Ижил төстэй зүйл байвал яаралтай авчрах ёстой. Манайд үүнтэй ижил төстэй зүйл гарч ирсэн ямар ч үед яаралтай гаргаж ирэхийг зөвлөж байна.

2. Бутархайг багасгахад мөн адил хамаарна: багасгах боломж гарч ирмэгц үүнийг ашиглах ёстой. Үл хамаарах зүйл нь таны нэмэх эсвэл хасах бутархай хэсгүүдэд хамаарна: хэрэв тэдгээр нь одоо ижил хуваагчтай бол бууралтыг дараа нь үлдээх хэрэгтэй.

Таны бие даан шийдвэрлэх зарим ажлууд энд байна:

Тэгээд хамгийн эхэнд юу амласан:

Хариултууд:

Шийдэл (товч):

Хэрэв та дор хаяж эхний гурван жишээг даван туулсан бол энэ сэдвийг бүрэн эзэмшсэн гэж бодоорой.

Одоо сурах гэж байна!

ИЛЭРХИЙЛЭЛИЙГ ХӨРВҮҮЛЭХ. ХУРААНГУЙ БА ҮНДСЭН Формулууд

Хялбаршуулах үндсэн үйлдлүүд:

Үүнтэй төстэй зүйлийг авчрах: ижил төстэй нэр томъёог нэмэх (багасгах) бол тэдгээрийн коэффициентийг нэмж, үсгийн хэсгийг оноох хэрэгтэй.
Факторжуулалт:нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргах, хэрэглэх гэх мэт.
Бутархай хэсгийг багасгах: Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг тэгээс бусад ижил тоогоор үржүүлж эсвэл хувааж болох бөгөөд энэ нь бутархайн утгыг өөрчлөхгүй.
1) тоологч ба хуваагч хүчин зүйлчлэх
2) хэрэв тоологч ба хуваагч нь нийтлэг хүчин зүйлүүдтэй бол тэдгээрийг зурж болно.
ЧУХАЛ: зөвхөн үржүүлэгчийг багасгаж болно!
Бутархайг нэмэх, хасах:
;
Бутархайг үржүүлэх, хуваах:
;

Алгебрийн илэрхийллүүдийг хялбарчлах нь алгебр сурах түлхүүрүүдийн нэг бөгөөд бүх математикчдад маш хэрэгтэй чадвар юм. Хялбарчлал нь нарийн төвөгтэй эсвэл урт илэрхийлэлийг ажиллахад хялбар энгийн илэрхийлэл болгон багасгах боломжийг олгодог. Хялбаршуулах үндсэн ур чадвар нь математикт сонирхолгүй хүмүүст ч сайн байдаг. Хэд хэдэн энгийн дүрмийг дагаснаар та математикийн тусгай мэдлэггүйгээр хамгийн түгээмэл олон төрлийн алгебр илэрхийллийг хялбарчилж чадна.

Алхам

Чухал тодорхойлолтууд

Ижил төстэй гишүүд . Эдгээр нь ижил эрэмбийн хувьсагчтай гишүүд, ижил хувьсагчтай гишүүд эсвэл чөлөөт гишүүд (хувьсагч агуулаагүй гишүүд) юм. Өөрөөр хэлбэл, ижил төстэй нэр томьёо нь ижил хувьсагчийг ижил хэмжээгээр багтаасан, хэд хэдэн ижил хувьсагчийг багтаасан эсвэл хувьсагчийг огт оруулдаггүй. Илэрхийлэл дэх нэр томъёоны дараалал хамаагүй.
- Жишээлбэл, 3х 2 ба 4х 2 нь хоёрдахь эрэмбийн (хоёр дахь зэрэглэлд) "x" хувьсагчийг агуулдаг тул ижил төстэй нэр томъёо юм. Гэсэн хэдий ч, x ба x2 нь ижил төстэй нэр томъёо биш, учир нь тэдгээр нь өөр өөр эрэмбийн (эхний болон хоёр дахь) "x" хувьсагчийг агуулдаг. Үүний нэгэн адил, -3yx болон 5xz нь өөр өөр хувьсагчийг агуулдаг тул ижил төстэй нэр томъёо биш юм.
Factorization . Энэ нь бүтээгдэхүүн нь анхны дугаар руу хөтлөх тоог олох явдал юм. Аливаа анхны тоо нь хэд хэдэн хүчин зүйлтэй байж болно. Жишээлбэл, 12-ын тоог 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4 гэсэн цуврал хүчин зүйлүүдэд хувааж болох тул 1, 2, 3, 4, 6, 12 тоонууд нь 1, 2, 3, 4, 6, 12 гэсэн хүчин зүйлүүд гэж хэлж болно. тоо 12. Хүчин зүйлүүд нь хүчин зүйлүүдтэй ижил байна, өөрөөр хэлбэл анхны тоог хуваах тоонууд.
- Жишээлбэл, хэрэв та 20-ийн тоог нэмэхийг хүсвэл дараах байдлаар бичнэ үү. 4×5.
- Факторинг хийхдээ хувьсагчийг харгалзан үздэгийг анхаарна уу. Жишээлбэл, 20x = 4(5x).
- Анхны тоо нь зөвхөн өөртөө болон 1-д хуваагддаг тул хүчин зүйлээр ялгах боломжгүй.
Алдаа гаргахгүйн тулд үйлдлийн дарааллыг санаж, дагаж мөрдөөрэй.
- Хаалт
- Зэрэг
- Үржүүлэх
- Хэлтэс
- Нэмэлт
- Хасах
Ижил төстэй гишүүдийг авчрах
1. Илэрхийлэлийг бичнэ үү.Энгийн алгебрийн илэрхийллүүдийг (бутархай, үндэс гэх мэтийг агуулаагүй) хэдхэн алхамаар шийдэж болно (хялбаршуулсан).
  - Жишээлбэл, илэрхийллийг хялбарчлах 1 + 2x - 3 + 4x.
2. Ижил нэр томьёо (ижил эрэмбийн хувьсагчтай нэр томьёо, ижил хувьсагчтай нэр томьёо, эсвэл чөлөөт нэр томъёо) -ийг тодорхойлох.
  - Энэ илэрхийлэлд ижил төстэй нэр томъёог ол. 2x ба 4x нэр томъёо нь ижил эрэмбийн (эхний) хувьсагчийг агуулна. Мөн 1 ба -3 нь чөлөөт нөхцөл (хувьсагч агуулаагүй). Тиймээс, энэ илэрхийлэлд нэр томъёо 2х ба 4хижил төстэй бөгөөд гишүүд 1 ба -3мөн адил төстэй.
3. Үүнтэй төстэй нэр томъёог өг.Энэ нь тэдгээрийг нэмэх, хасах, илэрхийллийг хялбарчлах гэсэн үг юм.
  - 2х + 4х = 6x
  - 1 - 3 = -2
4. Өгөгдсөн нэр томъёог харгалзан илэрхийллийг дахин бичнэ үү.Та цөөн нэр томъёо бүхий энгийн илэрхийлэл авах болно. Шинэ илэрхийлэл нь анхныхтай тэнцүү байна.
  - Бидний жишээнд: 1 + 2x - 3 + 4x = 6х - 2, өөрөөр хэлбэл, анхны илэрхийлэл нь хялбаршуулсан бөгөөд ажиллахад хялбар байдаг.
5. Ижил төстэй гишүүдийг авчрахдаа үйл ажиллагааны дарааллыг баримтал.Бидний жишээн дээр ижил төстэй нэр томъёог өгөхөд хялбар байсан. Харин нэр томьёо хаалтанд хийгээд бутархай, язгуур орсон нийлмэл хэллэгийн хувьд тийм нэр томьёог авчрах нь тийм ч амар биш. Эдгээр тохиолдолд үйлдлийн дарааллыг дагаж мөрдөнө.
  - Жишээлбэл, 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x илэрхийллийг авч үзье. Энд 3х, 2х хоёрыг нэн даруй ижил төстэй нэр томъёо гэж тодорхойлж, тэдгээрийг танилцуулах нь алдаа болно, учир нь эхлээд хаалт нээх шаардлагатай. Тиймээс тэдгээрийн дарааллын дагуу үйлдлүүдийг хийнэ.
    - 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
    - 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
    - 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Одоо, илэрхийлэлд зөвхөн нэмэх, хасах үйлдлүүд багтсан бол та ижил төстэй нэр томъёог авчирч болно.
    - x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
    - x 2 + 12x + 3
Үржүүлэгчийг хаалтнаас гаргаж байна
1. Хай хамгийн том нийтлэг хуваагчИлэрхийллийн бүх коэффициентүүдийн (GCD). GCD нь илэрхийллийн бүх коэффициентийг хуваах хамгийн том тоо юм.
  - Жишээлбэл, 9x 2 + 27x - 3 тэгшитгэлийг авч үзье. Энэ тохиолдолд GCD = 3, учир нь энэ илэрхийллийн аливаа коэффициент нь 3-т хуваагддаг.
2. Илэрхийллийн гишүүн бүрийг gcd-д хуваа.Үүссэн нэр томъёо нь анхны илэрхийллээс бага коэффициентийг агуулна.
  - Бидний жишээн дээр илэрхийлэл дэх нэр томъёо бүрийг 3-т хуваа.
    - 9х 2 /3 = 3х 2
    - 27x/3 = 9x
    - -3/3 = -1
    - Үр дүн нь илэрхийлэл байв 3х 2 + 9х - 1. Энэ нь анхны илэрхийлэлтэй тэнцүү биш юм.
3. Анхны илэрхийлэлийг gcd-ийн үржвэр болон үүссэн илэрхийлэлтэй тэнцүү гэж бич.Өөрөөр хэлбэл, үүссэн илэрхийлэлийг хаалтанд хийж, gcd-г хаалтнаас гарга.
  - Бидний жишээнд: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3х 2 + 9х - 1)
4. Хүчин зүйлийг хаалтанд оруулах замаар бутархай илэрхийллийг хялбарчлах.Өмнө нь хийсэн шиг яагаад үржүүлэгчийг хаалтанд оруулав? Дараа нь бутархай илэрхийлэл гэх мэт нарийн төвөгтэй илэрхийллийг хэрхэн хялбарчилж сурах. Энэ тохиолдолд коэффициентийг хаалтанд оруулах нь бутархай хэсгийг (хүлээгчээс) арилгахад тусална.
  - Жишээлбэл, бутархай илэрхийлэл (9x 2 + 27x - 3)/3-ийг авч үзье. Энэ илэрхийлэлийг хялбарчлахын тулд хүчин зүйлээр ялгах аргыг ашиглана уу.
    - 3-ын хүчин зүйлийг хаалтанд гарга (өмнө нь хийсэн шиг): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
    - Тоолуур болон хуваарьт хоёуланд нь 3 байгааг анхаарна уу: (3x 2 + 9x – 1)/1
    - Хуваарьт 1-ийн тоотой аливаа бутархай нь тоологчтой тэнцүү байдаг тул анхны бутархай илэрхийлэл нь дараах байдлаар хялбарчлагдана. 3х 2 + 9х - 1.
Нэмэлт хялбаршуулах аргууд
1. Бутархай илэрхийллийг хялбарчлах.Дээр дурдсанчлан, хэрэв тоологч ба хуваагч хоёулаа ижил нэр томъёо (эсвэл бүр ижил илэрхийлэл) агуулж байвал тэдгээрийг багасгаж болно. Үүнийг хийхийн тулд та хуваагч эсвэл хуваагчийн нийтлэг хүчин зүйл эсвэл хуваагч ба хуваагчийг хоёуланг нь хасах хэрэгтэй. Эсвэл та тоологч дахь нэр томъёо бүрийг хуваагчаар хувааж, илэрхийллийг хялбаршуулж болно.
  - Жишээлбэл, бутархай илэрхийлэл (5x 2 + 10x + 20)/10-ийг авч үзье. Энд тоологч гишүүн бүрийг хуваарьт (10) хуваана. Гэхдээ 5х 2 гэсэн нэр томъёо нь 10-д жигд хуваагддаггүй (5 нь 10-аас бага учраас) гэдгийг анхаарна уу.
    - Иймд хялбаршуулсан илэрхийлэл бичнэ үү: ((5х 2)/10) + x + 2 = (1/2)x 2 + x + 2.
2. Радикал илэрхийллийг хялбарчлах.Үндэс тэмдгийн доорх илэрхийлэлийг радикал илэрхийлэл гэнэ. Тэдгээрийг зохих хүчин зүйл болгон задалж, дараа нь нэг хүчин зүйлийг үндэснээс нь салгах замаар хялбаршуулж болно.
  - Энгийн жишээг харцгаая: √(90). 90-ийн тоог дараах хүчин зүйлүүдэд хувааж болно: 9 ба 10, 9-ээс бид квадрат язгуурыг (3) авч, язгуураас 3-ыг гаргаж болно.
    - √(90)
    - √(9×10)
    - √(9)×√(10)
    - 3×√(10)
    - 3√(10)
3. Хүчтэй илэрхийллийг хялбарчлах.Зарим илэрхийлэл нь нэр томьёог үржүүлэх, хуваах үйлдлүүдийг агуулдаг. Нэр томъёог ижил суурьтай үржүүлэхэд тэдгээрийн хүчийг нэмнэ; ижил суурьтай нэр томъёог хуваах тохиолдолд тэдгээрийн градусыг хасна.
  - Жишээлбэл, 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15) илэрхийллийг авч үзье. Үржүүлэх тохиолдолд хүчийг нэмж, хуваах тохиолдолд хасна.
    - 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
    - (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
    - 48x 7 + x 2
  - Доорх нь экспонент гишүүнийг үржүүлэх, хуваах дүрмийн тайлбар юм.
    - Нэр томьёог хүчин чадалтай үржүүлэх нь нэр томъёог өөрөө үржүүлэхтэй тэнцэнэ. Жишээлбэл, x 3 = x × x × x ба x 5 = x × x × x × x × x байх тул x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x ×) болно. x), эсвэл x 8 .
    - Үүний нэгэн адил нэр томъёог градусаар хуваах нь нэр томьёог өөрт нь хуваахтай адил юм. x 5 /x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Тоолуур ба хуваарьт хоёуланд нь байгаа ижил төстэй нэр томъёог багасгаж болох тул хоёр "x" буюу x 2-ын үржвэр нь тоологчд үлдэнэ.

Бутархай

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
Тусгай хэсгийн 555 дахь материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Ахлах сургуульд бутархай тоо тийм ч их төвөг учруулдаггүй. Одоохондоо. Рационал илтгэгч болон логарифм бүхий хүчнүүдтэй таарах хүртэл. Тэгээд тэнд ... Та тооцоолуур дээр дарж, дарахад зарим тооны бүрэн дэлгэц гарч ирнэ. Гуравдугаар анги шиг толгойгоо бодох хэрэгтэй.

Эцэст нь бутархайг олж мэдье! За, чи тэдэнтэй хэр зэрэг андуурч чадах вэ!? Түүнээс гадна энэ бүхэн энгийн бөгөөд логик юм. Тэгэхээр, бутархайн төрлүүд юу вэ?

Бутархайн төрлүүд. Өөрчлөлтүүд.

Гурван төрлийн бутархай байдаг.

1. Энгийн бутархай , Жишээ нь:

Заримдаа хэвтээ шугамын оронд ташуу зураас тавьдаг: 1/2, 3/4, 19/5, худаг гэх мэт. Энд бид ихэвчлэн энэ зөв бичгийн дүрмийг ашиглах болно. Дээд дугаарыг дуудаж байна тоологч, доод - хуваагч.Хэрэв та эдгээр нэрийг байнга андуурч байвал (энэ нь тохиолддог ...) өөртөө хэлээрэй: " Zzzzzсанаж байна уу! Zzzzzхуваагч - харах zzzzӨө!" Хараач, бүх зүйл санаж байх болно.)

Зураас нь хэвтээ эсвэл налуу гэсэн утгатай хэлтэсдээд тоо (тоо) доод тал руу (хуваагч). Ингээд л болоо! Зураасны оронд хуваах тэмдэг тавих бүрэн боломжтой - хоёр цэг.

Бүрэн хуваах боломжтой бол үүнийг хийх ёстой. Тиймээс "32/8" бутархайн оронд "4" тоог бичих нь илүү таатай байна. Тэдгээр. 32-ыг 8-д хуваана.

32/8 = 32: 8 = 4

Би "4/1" фракцын тухай ч ярихгүй байна. Энэ нь бас зүгээр л "4" юм. Хэрэв энэ нь бүрэн хуваагдахгүй бол бид үүнийг бутархай хэлбэрээр үлдээнэ. Заримдаа та эсрэг үйлдэл хийх хэрэгтэй. Бүхэл тоог бутархай болгон хувирга. Гэхдээ энэ талаар дараа дэлгэрэнгүй.

2. Аравтын тоо , Жишээ нь:

Энэ маягт дээр та "B" даалгаврын хариултыг бичих хэрэгтэй болно.

3. Холимог тоо , Жишээ нь:

Ахлах сургуульд холимог тоог бараг ашигладаггүй. Тэдэнтэй ажиллахын тулд тэдгээрийг энгийн бутархай болгон хувиргах ёстой. Гэхдээ та үүнийг хийх чадвартай байх нь гарцаагүй! Тэгэхгүй бол асуудалд ийм дугаартай тааралдаад хөлдчихнө... Хаанаас ч юм. Гэхдээ бид энэ журмыг санах болно! Жаахан доогуур.

Хамгийн уян хатан энгийн бутархай. Тэднээс эхэлцгээе. Дашрамд хэлэхэд, хэрэв бутархай нь бүх төрлийн логарифм, синус болон бусад үсгүүдийг агуулж байвал энэ нь юу ч өөрчлөгдөхгүй. Бүх зүйл гэсэн утгаараа бутархай илэрхийлэлтэй үйлдэл нь энгийн бутархайтай үйлдлээс ялгаатай биш юм!

Бутархайн үндсэн шинж чанар.

За, явцгаая! Эхлээд би чамайг гайхшруулах болно. Бүх төрлийн бутархай хувиргалтыг нэг өмчөөр хангадаг! Үүнийг ингэж нэрлэдэг бутархайн үндсэн шинж чанар. Санаж байна уу: Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг ижил тоогоор үржүүлэх (хуваах) тохиолдолд бутархай өөрчлөгдөхгүй.Эдгээр нь:

Та нүүрээ хөхрөх хүртэл бичсээр байх нь ойлгомжтой. Синус болон логарифмууд таныг төөрөгдүүлэхийг бүү зөвшөөр, бид тэдгээрийг цаашид авч үзэх болно. Хамгийн гол нь эдгээр бүх янз бүрийн илэрхийлэл гэдгийг ойлгох явдал юм ижил бутархай . 2/3.

Энэ бүх өөрчлөлтүүд бидэнд хэрэгтэй юу? Тийм ээ! Одоо та өөрөө харах болно. Эхлэхийн тулд бутархайн үндсэн шинж чанарыг ашиглая бутархай хэсгүүдийг багасгах. Энэ нь энгийн зүйл мэт санагдах болно. Тоолуур ба хуваагчийг ижил тоогоор хуваавал ингээд л болоо! Алдаа гаргах боломжгүй! Гэхдээ... хүн бол бүтээлч амьтан. Та хаана ч алдаа гаргаж болно! Ялангуяа 5/10 гэх мэт бутархай биш, харин бүх төрлийн үсэг бүхий бутархай илэрхийллийг багасгах шаардлагатай бол.

Нэмэлт ажил хийлгүйгээр бутархайг хэрхэн зөв, хурдан багасгах талаар 555-р тусгай хэсгээс уншиж болно.

Жирийн оюутан тоологч болон хуваагчийг ижил тоогоор (эсвэл илэрхийлэл) хуваахад төвөг учруулдаггүй! Тэр зүгээр л дээр доор байгаа бүх зүйлийг зурж хаядаг! Энд ердийн алдаа, бүдүүлэг алдаа нуугдаж байдаг.

Жишээлбэл, та илэрхийллийг хялбарчлах хэрэгтэй:

Энд бодох зүйл алга, дээр нь "а" үсгийг, доод талд байгаа хоёрыг нь хай! Бид авах:

Бүх зүйл зөв. Гэхдээ та үнэхээр хуваагдсан бүгд тоологч ба бүгд хуваагч нь "a". Хэрэв та зүгээр л зурж зурж байсан бол яаран сандран дээрх "а" тэмдгийг зурж болно

тэгээд дахиад аваарай

Энэ нь огт худал байх болно. Учир нь энд бүгд"a" дээрх тоологч аль хэдийн байна хуваалцдаггүй! Энэ хэсгийг багасгах боломжгүй. Дашрамд хэлэхэд, ийм бууралт нь ... багшийн хувьд ноцтой сорилт юм. Үүнийг өршөөхгүй! Чи санаж байна уу? Бууруулахдаа хуваах хэрэгтэй бүгд тоологч ба бүгд хуваагч!

Бутархай тоог багасгах нь амьдралыг илүү хялбар болгодог. Та хаа нэгтээ бутархай авах болно, жишээ нь 375/1000. Би одоо яаж түүнтэй үргэлжлүүлэн ажиллах вэ? Тооны машингүй юу? Үржүүлэх, хэлэх, нэмэх, квадрат!? Хэрэв та хэтэрхий залхуу биш бол болгоомжтойгоор таваар, дахин таваар, бүр ... богиносгож байхад нь багасга. 3/8-ыг авцгаая! Илүү сайхан, тийм үү?

Бутархайн үндсэн шинж чанар нь энгийн бутархайг аравтын бутархай болгон хувиргах боломжийг олгодог тооцоолуургүйгээр! Улсын нэгдсэн шалгалтад энэ чухал шүү дээ?

Бутархайг нэг төрлөөс нөгөөд хэрхэн хөрвүүлэх вэ.

Аравтын бутархайн хувьд бүх зүйл энгийн байдаг. Сонссон шигээ л бичигддэг! 0.25 гэж бодъё. Энэ нь тэг цэгийн хорин таван зуу. Тиймээс бид бичнэ: 25/100. Бид багасгадаг (бид тоологч ба хуваагчийг 25-аар хуваадаг), бид ердийн бутархайг авдаг: 1/4. Бүгд. Энэ нь тохиолддог, юу ч багасдаггүй. 0.3 шиг. Энэ нь аравны гурав, өөрөөр хэлбэл. 3/10.

Хэрэв бүхэл тоо нь тэг биш бол яах вэ? Зүгээр дээ. Бид бүхэл бутархайг бичнэ ямар ч таслалгүйтоологч, хуваарьт - юу сонсогдож байна. Жишээ нь: 3.17. Энэ нь гурван цэг арван долоон зуу. Бид тоологч хэсэгт 317, хуваагч дээр 100 гэж бичвэл 317/100 болно. Юу ч буураагүй, энэ нь бүх зүйл гэсэн үг юм. Энэ бол хариулт юм. Бага анги, Ватсон! Хэлсэн бүх зүйлээс ашигтай дүгнэлт: ямар ч аравтын бутархайг энгийн бутархай болгон хувиргаж болно .

Гэхдээ зарим хүмүүс энгийнээс аравтын бутархай руу урвуу хувиргалтыг тооцоолуургүйгээр хийж чадахгүй. Мөн энэ нь зайлшгүй шаардлагатай! Улсын нэгдсэн шалгалтын хариуг яаж бичих вэ!? Үүнийг анхааралтай уншиж, энэ үйл явцыг эзэмшээрэй.

Аравтын бутархайн шинж чанар юу вэ? Түүний хуваагч нь Үргэлжзардал 10, эсвэл 100, эсвэл 1000, эсвэл 10000 гэх мэт. Хэрэв таны энгийн бутархай ийм хуваарьтай бол ямар ч асуудал байхгүй. Жишээлбэл, 4/10 = 0.4. Эсвэл 7/100 = 0.07. Эсвэл 12/10 = 1.2. Хэрэв "В" хэсгийн даалгаврын хариулт 1/2 болвол яах вэ? Хариуд нь бид юу бичих вэ? Аравтын тоо шаардлагатай...

Санаж үзье бутархайн үндсэн шинж чанар ! Математик нь тоологч ба хуваагчийг ижил тоогоор үржүүлэх боломжийг танд олгоно. Дашрамд хэлэхэд юу ч байсан! Тэгээс бусад нь мэдээж. Тиймээс энэ өмчийг өөрт ашигтайгаар ашиглацгаая! Хуваагчийг юугаар үржүүлж болох вэ, i.e. 2, тэгвэл 10, 100, 1000 болно (мэдээж бага байх нь дээр...)? 5-тай нь ойлгомжтой. Хугацагчийг үржүүлж болно (энэ нь бидшаардлагатай) 5. Гэхдээ дараа нь тоологчийг мөн 5-аар үржүүлэх ёстой. Энэ нь аль хэдийн байна математикшаардлага! Бид 1/2 = 1x5 / 2x5 = 5/10 = 0.5 авна. Ингээд л болоо.

Гэсэн хэдий ч, бүх төрлийн хуваагч тааралддаг. Та жишээ нь 3/16 гэсэн бутархайтай таарах болно. 16-г юугаар үржүүлбэл 100, 1000 болохоо бодож үзээрэй... Энэ нь болохгүй байна уу? Дараа нь та 3-ыг 16-д хувааж болно. Тооны машин байхгүй тохиолдолд бага сургуульд заадаг шиг цаасан дээр булангаар хуваах хэрэгтэй болно. Бид 0.1875 авдаг.

Мөн маш муу хуваагч байдаг. Жишээлбэл, 1/3 бутархайг сайн аравтын бутархай болгох арга байхгүй. Тооны машин дээр ч, цаасан дээр ч 0.3333333 гарна... Энэ нь 1/3 нь яг аравтын бутархай гэсэн үг юм. орчуулаагүй. 1/7, 5/6 гэх мэт. Тэдгээр нь маш олон, орчуулагдах боломжгүй. Энэ нь биднийг өөр нэг ашигтай дүгнэлтэд хүргэж байна. Бутархай бүрийг аравтын бутархай болгон хувиргах боломжгүй !

Дашрамд хэлэхэд энэ нь өөрийгөө шалгахад хэрэгтэй мэдээлэл юм. "B" хэсэгт та хариултдаа аравтын бутархай бичих ёстой. Жишээлбэл, та 4/3 авсан. Энэ бутархай нь аравтын бутархай руу хувирдаггүй. Энэ нь та замдаа хаа нэгтээ алдаа гаргасан гэсэн үг! Буцаж, шийдлийг шалгана уу.

Тиймээс бид энгийн ба аравтын бутархайг олж мэдсэн. Холимог тоонуудтай харьцах л үлдлээ. Тэдэнтэй ажиллахын тулд тэдгээрийг энгийн бутархай болгон хувиргах ёстой. Үүнийг яаж хийх вэ? Та зургадугаар ангийн хүүхдийг барьж аваад асууж болно. Гэхдээ зургадугаар ангийн хүүхэд үргэлж дэргэд байдаггүй ... Та үүнийг өөрөө хийх хэрэгтэй. Энэ хэцүү биш. Бутархай хэсгийн хуваагчийг бүхэлд нь үржүүлж, бутархай хэсгийн хуваагчийг нэмэх хэрэгтэй. Энэ нь энгийн бутархайн тоо байх болно. Хуваарийн талаар юу хэлэх вэ? Хуваарилагч нь хэвээр үлдэнэ. Энэ нь төвөгтэй сонсогдож байгаа ч бодит байдал дээр бүх зүйл энгийн байдаг. Нэг жишээ авч үзье.

Асуудлын дугаарыг хараад айсан гэж бодъё:

Тайван, сандрахгүйгээр бид боддог. Бүхэл хэсэг нь 1. Нэгж. Бутархай хэсэг нь 3/7 байна. Иймд бутархай хэсгийн хуваагч нь 7. Энэ хуваагч нь энгийн бутархайн хуваагч болно. Бид тоологчийг тоолдог. Бид 7-г 1-ээр (бүхэл хэсэг) үржүүлж, 3-ыг (бутархай хэсгийн тоо) нэмнэ. Бид 10-ыг авна. Энэ нь энгийн бутархайн тоо байх болно. Ингээд л болоо. Энэ нь математикийн тэмдэглэгээнд илүү энгийн харагддаг:

Тодорхой байна уу? Тэгвэл амжилтаа баталгаажуулаарай! Энгийн бутархай руу хөрвүүлэх. Та 10/7, 7/2, 23/10, 21/4 авах ёстой.

Урвуу үйлдэл - буруу бутархайг холимог тоо болгон хувиргах нь ахлах сургуульд ховор тохиолддог. Хэрэв тийм бол ... Хэрэв та ахлах сургуульд сурдаггүй бол 555-р тусгай хэсгийг үзэж болно. Дашрамд хэлэхэд, та тэнд буруу бутархайн талаар сурах болно.

За, энэ бол бараг бүх зүйл юм. Та бутархайн төрлийг санаж, ойлгосон Яаж тэдгээрийг нэг төрлөөс нөгөөд шилжүүлэх. Гэсэн асуулт хэвээр байна: Юуны төлөө үүнийг хийх үү? Энэхүү гүн гүнзгий мэдлэгийг хаана, хэзээ хэрэглэх вэ?

Би хариулдаг. Аливаа жишээ нь өөрөө шаардлагатай үйлдлүүдийг санал болгодог. Хэрэв жишээнд энгийн бутархай, аравтын бутархай, тэр ч байтугай холимог тоо холилдсон бол бид бүгдийг энгийн бутархай болгон хувиргадаг. Үүнийг үргэлж хийж болно. За тэгээд 0.8 + 0.3 гэх мэт зүйл бичсэн бол бид үүнийг ямар ч орчуулгагүйгээр ингэж тоолдог. Бидэнд яагаад нэмэлт ажил хэрэгтэй байна вэ? Бид тохиромжтой шийдлийг сонгодог бид !

Хэрэв даалгавар бол бүх аравтын бутархай, гэхдээ аан ... ямар нэг муу зүйл бол энгийн зүйл рүү очоод үзээрэй! Хараач, бүх зүйл бүтнэ. Жишээлбэл, та 0.125 тоог квадрат болгох хэрэгтэй болно. Хэрэв та тооцоолуур ашиглаж дасаагүй бол энэ нь тийм ч хялбар биш юм! Та зөвхөн багана дахь тоог үржүүлэхээс гадна таслалыг хаана оруулахаа бодох хэрэгтэй! Энэ нь таны толгойд ажиллахгүй нь гарцаагүй! Хэрэв бид энгийн бутархай руу шилжвэл яах вэ?

0.125 = 125/1000. Бид үүнийг 5-аар бууруулдаг (энэ нь эхлэгчдэд зориулагдсан). Бид 25/200 авдаг. Дахин нэг удаа 5. Бид 5/40 авдаг. Өө, энэ нь багассаар л байна! 5 руу буцах! Бид 1/8-ийг авдаг. Бид үүнийг хялбархан квадрат болгож (бидний оюун ухаанд!) 1/64-ийг авах боломжтой. Бүгд!

Энэ хичээлийг тоймлон хүргэе.

1. Гурван төрлийн бутархай байдаг. Энгийн, аравтын бутархай, холимог тоо.

2. Аравтын болон холимог тоо Үргэлжэнгийн бутархай болгон хувиргаж болно. Урвуу шилжүүлэг үргэлж бишболомжтой

3. Даалгавартай ажиллах бутархайн төрлийг сонгох нь тухайн даалгавараас хамаарна. Нэг даалгаварт янз бүрийн төрлийн бутархай байгаа бол хамгийн найдвартай нь энгийн бутархай руу шилжих явдал юм.

Одоо та дасгал хийж болно. Эхлээд эдгээр аравтын бутархайг энгийн бутархай болгон хөрвүүлээрэй.

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Та ийм хариулт авах ёстой (замбараагүй байдалд!):

Үүнийг дуусгая. Энэ хичээлээр бид бутархайн тухай гол санаануудыг санах ойгоо сэргээсэн. Гэсэн хэдий ч сэргээхэд онцгой зүйл байхгүй байх нь тохиолддог ...) Хэрэв хэн нэгэн үүнийг бүрэн мартсан эсвэл хараахан эзэмшээгүй байгаа бол ... Дараа нь та тусгай 555-р хэсэг рүү очиж болно. Бүх үндсэн мэдээллийг тэнд нарийвчлан тусгасан болно. Олон гэнэт бүгдийг ойлгохэхэлж байна. Мөн тэд бутархайг шууд шийддэг).