Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын жигд тархалт. Нэг төрлийн хуваарилалт

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалт X, сегментээс бүх утгыг авна , дуудсан дүрэмт хувцас, хэрэв түүний магадлалын нягт нь энэ сегмент дээр тогтмол бөгөөд гадна талд тэгтэй тэнцүү бол. Ийнхүү тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягт X, сегмент дээр жигд тархсан , дараах хэлбэртэй байна:

Тодорхойлъё математикийн хүлээлт, тархалтжигд тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнд.

, , .

Жишээ.Нэг жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх утгууд интервал дээр оршдог . Санамсаргүй хэмжигдэхүүн интервалд орох магадлалыг ол (3;5) .

a=2, b=8, .

Бином тархалт

Үүнийг үйлдвэрлэе nтуршилтууд, мөн тохиолдох үйл явдлын магадлал Атуршилт бүрт тэнцүү байна хбөгөөд бусад туршилтуудын үр дүнгээс (бие даасан туршилт) хамааралгүй байдаг. Үйл явдал болох магадлалаас хойш Анэг туршилтанд тэнцүү байна х, тэгвэл түүний үүсэхгүй байх магадлал тэнцүү байна q=1-х.

Үйл явдал болъё Аорж ирлээ nтуршилтууд мнэг удаа. Энэхүү нарийн төвөгтэй үйл явдлыг бүтээгдэхүүн болгон бичиж болно:

.

Дараа нь магадлал nтуршилтын үйл явдал Аирнэ мудаа, томъёогоор тооцоолно:

эсвэл (1)

Формула (1) гэж нэрлэдэг Бернуллигийн томъёо.

Болъё X– үйл явдлын тохиолдлын тоотой тэнцүү санамсаргүй хэмжигдэхүүн АВ nмагадлал бүхий утгыг авдаг тестүүд:

Үүссэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг нэрлэнэ бином тархалтын хууль.

Хүлээлт, тархалтТэгээд стандарт хазайлтбином хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

, , .

Жишээ.Зорилтот руу 3 удаа буудах ба сум болгонд онох магадлал 0.8 байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзэх X- зорилтот цохилтын тоо. Түүний тархалтын хууль, математик хүлээлт, дисперс ба стандарт хазайлтыг ол.

p=0.8, q=0.2, n=3, , , .

- 0 цохилтын магадлал;

Нэг цохилт өгөх боломж;

Хоёр цохилт хийх боломж;

- гурван цохилтын магадлал.

Бид түгээлтийн хуулийг олж авдаг:

Даалгаврууд

1. Зоосыг 7 удаа шиддэг. Сүлд 4 удаа дээшээ харуулан буух магадлалыг ол.

2. Зоосыг 8 удаа шиддэг. Төрийн сүлд гурваас илүүгүй гарч ирэх магадлалыг ол.

3. Буунаас буудах үед бай онох магадлал p=0.6. 10 удаа буудсан тохиолдолд нийт цохилтын тооны математик хүлээлтийг ол.

4. 20 тасалбар авсан тохиолдолд хожих сугалааны тасалбарын тооны математик хүлээлтийг олоорой, нэг тасалбараар хожих магадлал 0.3 байна.

Энэ асуудлыг эртнээс нарийвчлан судалж ирсэн бөгөөд хамгийн өргөн хэрэглэгддэг арга бол 1958 онд Жорж Бокс, Мервин Мюллер, Жорж Марсаглиа нарын санал болгосон туйлын координатын арга юм. Энэ арга нь математикийн хүлээлт 0, дисперс 1 бүхий бие даасан хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дараах байдлаар олж авах боломжийг танд олгоно.

Энд Z 0 ба Z 1 нь хүссэн утгууд, s = u 2 + v 2, u ба v нь 0 нөхцөл хангагдсан байхаар сонгосон (-1, 1) интервалд жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд юм.< s < 1.
Олон хүмүүс эдгээр томъёог ямар ч бодолгүйгээр ашигладаг бөгөөд бэлэн хэрэгжүүлэлтийг ашигладаг тул тэдний оршин тогтнохыг сэжиглэдэггүй. Гэвч “Энэ томъёо хаанаас ирсэн бэ? Тэгээд яагаад нэг дор хэд хэд авдаг юм бэ?" Дараа нь би эдгээр асуултуудад тодорхой хариулт өгөхийг хичээх болно.

Эхлэхийн тулд магадлалын нягтрал, санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц, урвуу функц гэж юу болохыг сануулъя. Тархалтыг f(x) нягтын функцээр тодорхойлсон тодорхой санамсаргүй хэмжигдэхүүн байна гэж бодъё, энэ нь дараах хэлбэртэй байна.

Энэ нь өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга (A, B) интервалд байх магадлал нь сүүдэрлэсэн талбайн талбайтай тэнцүү гэсэн үг юм. Үүний үр дүнд бүхэл бүтэн сүүдэрлэсэн талбайн талбай нэгтэй тэнцүү байх ёстой, учир нь ямар ч тохиолдолд санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга f функцийг тодорхойлох мужид орох болно.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь нягтын функцийн интеграл юм. Мөн энэ тохиолдолд түүний ойролцоо харагдах байдал дараах байдалтай байна.

Энд байгаа утга нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга нь B магадлал бүхий А-аас бага байх болно. Үүний үр дүнд функц хэзээ ч буурахгүй бөгөөд түүний утгууд нь интервалд оршдог.

Урвуу функц нь анхны функцийн утгыг шилжүүлсэн тохиолдолд анхны функцэд аргумент буцаадаг функц юм. Жишээлбэл, x 2 функцийн хувьд урвуу нь үндсийг задлах функц, sin(x)-ийн хувьд arcsin(x) гэх мэт.

Ихэнх псевдор санамсаргүй тоо үүсгэгчид гаралт болгон зөвхөн жигд тархалтыг гаргадаг тул үүнийг өөр нэг рүү хөрвүүлэх шаардлага байнга гардаг. Энэ тохиолдолд хэвийн Гауссын хувьд:

Нэг жигд тархалтыг бусад болгон хувиргах бүх аргын үндэс нь урвуу хувиргах арга юм. Энэ нь дараах байдлаар ажилладаг. Шаардлагатай тархалтын функцтэй урвуу функц олдож, (0, 1) интервалд жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг аргумент болгон түүнд шилжүүлнэ. Гаралтын үед бид шаардлагатай хуваарилалт бүхий утгыг олж авдаг. Тодорхой болгохын тулд би дараах зургийг өгч байна.

Ийнхүү нэгэн төрлийн сегментийг шинэ тархалтын дагуу түрхэж, урвуу функцээр дамжуулан өөр тэнхлэгт тусгасан болно. Гэхдээ асуудал бол Гауссын тархалтын нягтын интегралыг тооцоолоход амаргүй тул дээрх эрдэмтэд хуурах хэрэгтэй болсон.

K бие даасан хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний квадратуудын нийлбэрийн тархалт болох хи-квадрат тархалт (Пирсоны тархалт) байдаг. Мөн k = 2 тохиолдолд энэ тархалт экспоненциал болно.

Энэ нь тэгш өнцөгт координатын систем дэх цэг санамсаргүй X ба Y координатуудыг хэвийн хуваарилсан бол эдгээр координатуудыг туйлын системд (r, θ) хөрвүүлсний дараа радиусын квадрат (эх цэгээс цэг хүртэлх зай) гэсэн үг юм. радиусын квадрат нь координатын квадратуудын нийлбэр учраас (Пифагорын хуулийн дагуу) экспоненциал хуулийн дагуу хуваарилагдах болно. Онгоц дээрх ийм цэгүүдийн тархалтын нягт дараах байдалтай байна.

Энэ нь бүх чиглэлд тэнцүү тул θ өнцөг нь 0-ээс 2π хүртэлх мужид жигд тархалттай байх болно. Үүний эсрэгээр мөн адил: хэрэв та туйлын координатын систем дэх цэгийг хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн (өнцөг жигд тархсан өнцөг ба экспоненциалаар тархсан радиус) ашиглан тодорхойлох юм бол энэ цэгийн тэгш өнцөгт координатууд нь бие даасан хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд байх болно. Мөн урвуу хувиргах ижил аргыг ашиглан жигд тархалтаас экспоненциал тархалтыг олж авах нь илүү хялбар байдаг. Энэ бол туйлын Бокс-Мюллер аргын мөн чанар юм.
Одоо томъёонуудыг гаргаж авцгаая.

(1)

r ба θ-ийг олж авахын тулд бид (0, 1) интервал дээр жигд тархсан хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг үүсгэх хэрэгтэй (тэдгээрийг u ба v гэж нэрлэе), тэдгээрийн аль нэгнийх нь тархалтыг (v гэж үзье) экспоненциал руу хөрвүүлэх шаардлагатай. радиусыг олж авна. Экспоненциал тархалтын функц дараах байдалтай байна.

Үүний урвуу функц нь:

Нэг төрлийн тархалт нь тэгш хэмтэй байдаг тул хувиргалт нь функцтэй ижилхэн ажиллана

Хи квадратын тархалтын томъёоноос λ = 0.5 байна. Энэ функцэд λ, v-г орлуулаад радиусын квадратыг, дараа нь радиусыг өөрөө авна.

Нэгж сегментийг 2π хүртэл сунгах замаар бид өнцгийг олж авна.

Одоо бид (1) томъёонд r ба θ-г орлуулж дараахийг авна.

(2)

Эдгээр томъёог ашиглахад аль хэдийн бэлэн болсон байна. X ба Y нь бие даасан байх бөгөөд дисперс нь 1, математикийн хүлээлт нь 0 байна. Бусад шинж чанартай тархалтыг олж авахын тулд функцийн үр дүнг стандарт хазайлтаар үржүүлж, математик хүлээлтийг нэмэхэд хангалттай.
Гэхдээ тойргийн санамсаргүй цэгийн тэгш өнцөгт координатаар шууд бус шууд бусаар өнцгийг зааж өгснөөр тригонометрийн функцээс ангижрах боломжтой. Дараа нь эдгээр координатуудаар дамжуулан радиус векторын уртыг тооцоолж, дараа нь х, у-г тус тус хувааж косинус ба синусыг олох боломжтой болно. Энэ нь яаж, яагаад ажилладаг вэ?
Нэгж радиустай тойрогт жигд тархсан цэгүүдээс санамсаргүй цэгийг сонгож, энэ цэгийн радиус векторын уртын квадратыг s үсгээр тэмдэглэе.

Сонголтыг (-1, 1) интервалд жигд тархсан санамсаргүй тэгш өнцөгт х, у координатыг зааж, тойрогт хамааралгүй цэгүүдийг, мөн радиус векторын өнцөг байх төв цэгийг хаяна. тодорхойлогдоогүй байна. Өөрөөр хэлбэл 0 нөхцөлийг хангасан байх ёстой< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:

Бид өгүүллийн эхэнд байгаа томъёог авдаг. Энэ аргын сул тал нь тойрогт ороогүй цэгүүдийг хаядаг явдал юм. Энэ нь үүсгэсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний зөвхөн 78.5% -ийг ашигладаг гэсэн үг юм. Хуучин компьютер дээр тригонометрийн функц байхгүй байсан нь том давуу тал хэвээр байв. Одоо нэг процессорын команд синус болон косинусыг аль алиныг нь хормын дотор тооцоолоход эдгээр аргууд өрсөлдөж чадна гэж би бодож байна.

Би хувьдаа хоёр асуулт хэвээр байна:

• s-ийн утга яагаад жигд тархсан бэ?
• Хоёр хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний квадратуудын нийлбэр яагаад экспоненциалаар тархсан бэ?

Хэрэв ердийн санамсаргүй хэмжигдэхүүнд ижил төстэй хувиргалт хийвэл түүний квадратын нягтын функц нь гиперболатай төстэй болно. Ердийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний хоёр квадратыг нэмэх нь давхар интегралтай холбоотой илүү төвөгтэй процесс юм. Үр дүн нь экспоненциал тархалт байх болно гэдгийг би хувьдаа зөвхөн практик арга ашиглан шалгах эсвэл аксиом болгон хүлээн зөвшөөрөх ёстой. Сонирхсон хүмүүст би эдгээр номнуудаас мэдлэг олж авах сэдвийг сайтар судалж үзэхийг зөвлөж байна.

• Ventzel E.S. Магадлалын онол
• Кнут Д.Э. Програмчлалын урлаг, 2-р боть

Дүгнэж хэлэхэд, JavaScript дээр ердийн тархсан санамсаргүй тоо үүсгэгчийг хэрэгжүүлэх жишээ энд байна.

Функц Gauss() ( var бэлэн = худал; var second = 0.0; this.next = функц(дундаж, dev) ( дундаж = дундаж == тодорхойгүй ? 0.0: дундаж; dev = dev == тодорхойгүй ? 1.0: dev; хэрэв ( this.ready) ( this.ready = худал; буцаах this.second * dev + mean; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. random() - s = u * u + v * v while (s > 1.0 || s == 0.0).ready = return r * v * dev +; дундаж ) ) g = new Gauss(); // объект үүсгэх a = g.next(); // хос утгыг үүсгээд эхнийхийг нь авна b = g.next(); // хоёр дахь утгыг авах c = g.next(); // хос утгыг дахин үүсгэж эхнийхийг нь аваарай
Дундаж (математикийн хүлээлт) болон dev (стандарт хазайлт) параметрүүд нь сонголттой. Логарифм нь байгалийн шинж чанартай гэдэгт би таны анхаарлыг хандуулж байна.

Нэг жигд тасралтгүй тархалтыг авч үзье. Математикийн хүлээлт ба дисперсийг тооцоолъё. MS EXCEL функцийг ашиглан санамсаргүй утгыг үүсгэцгээеRAND() болон Шинжилгээний багц нэмэлтүүдийн хувьд бид дундаж утга болон стандарт хазайлтыг тооцоолох болно.

Нэг жигд тархсансегмент дээр санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь:

Мужаас 50 тооны массив үүсгэцгээе)