Вэбсайтад математикийн томъёог хэрхэн оруулах вэ?
Хэрэв та хэзээ нэгэн цагт вэб хуудсанд нэг юмуу хоёр математикийн томьёо нэмэх шаардлагатай бол үүнийг хийх хамгийн хялбар арга бол нийтлэлд дурдсанчлан: математикийн томъёог Wolfram Alpha-ийн автоматаар үүсгэсэн зураг хэлбэрээр сайтад хялбархан оруулдаг. . Энгийн байдлаас гадна энэ бүх нийтийн арга нь хайлтын системд сайтын харагдах байдлыг сайжруулахад тусална. Энэ нь удаан хугацаанд ажиллаж байгаа (мөн үүрд ажиллах болно гэж бодож байна), гэхдээ аль хэдийн ёс суртахууны хувьд хоцрогдсон.
Хэрэв та өөрийн сайт дээр математикийн томъёог тогтмол ашигладаг бол MathML, LaTeX эсвэл ASCIIMathML тэмдэглэгээг ашиглан вэб хөтчүүдэд математик тэмдэглэгээг харуулдаг тусгай JavaScript номын сан болох MathJax-г ашиглахыг зөвлөж байна.
MathJax-г ашиглаж эхлэх хоёр арга бий: (1) энгийн код ашиглан та MathJax скриптийг өөрийн вэбсайт руу хурдан холбох боломжтой бөгөөд энэ нь зөв цагт алсын серверээс автоматаар ачаалагдах болно (серверүүдийн жагсаалт); (2) MathJax скриптийг алсын серверээс сервертээ татаж аваад сайтынхаа бүх хуудсанд холбоно уу. Хоёрдахь арга нь илүү төвөгтэй бөгөөд цаг хугацаа их шаарддаг - таны сайтын хуудсуудыг ачааллыг хурдасгах бөгөөд хэрэв эх MathJax сервер ямар нэг шалтгаанаар түр ажиллахгүй бол энэ нь таны сайтад ямар ч байдлаар нөлөөлөхгүй. Эдгээр давуу талуудыг үл харгалзан би илүү хялбар, хурдан бөгөөд техникийн ур чадвар шаарддаггүй тул эхний аргыг сонгосон. Миний жишээг дагаж, ердөө 5 минутын дотор та MathJax-ийн бүх боломжуудыг сайт дээрээ ашиглах боломжтой болно.
Та MathJax номын сангийн скриптийг алсын серверээс MathJax-ийн үндсэн вэбсайтаас эсвэл баримт бичгийн хуудаснаас авсан хоёр кодын сонголтыг ашиглан холбож болно.
Эдгээр кодын сонголтуудын аль нэгийг таны вэб хуудасны код руу хуулж, шошгоны хооронд болон шошгоны дараа шууд буулгах шаардлагатай. Эхний хувилбарын дагуу MathJax илүү хурдан ачаалж, хуудсыг бага удаашруулдаг. Гэхдээ хоёр дахь сонголт нь MathJax-ийн хамгийн сүүлийн хувилбаруудыг автоматаар хянаж, ачаалдаг. Хэрэв та эхний кодыг оруулбал үүнийг үе үе шинэчлэх шаардлагатай болно. Хэрэв та хоёр дахь кодыг оруулбал хуудаснууд илүү удаан ачаалах боловч MathJax-ийн шинэчлэлтийг байнга хянах шаардлагагүй болно.
MathJax-г холбох хамгийн хялбар арга бол Blogger эсвэл WordPress дээр: сайтын хяналтын самбарт гуравдагч этгээдийн JavaScript код оруулах зориулалттай виджет нэмж, дээр дурдсан татаж авах кодын эхний эсвэл хоёр дахь хувилбарыг хуулж, виджетийг ойртуулна уу. Загварын эхэнд (дашрамд хэлэхэд, энэ нь огт шаардлагагүй, учир нь MathJax скрипт асинхроноор ачаалагдсан байдаг). Ингээд л болоо. Одоо MathML, LaTeX, ASCIIMathML-ийн тэмдэглэгээний синтаксийг сурснаар та сайтынхаа вэб хуудсанд математикийн томьёо оруулахад бэлэн боллоо.
Аливаа фрактал нь тодорхой дүрмийн дагуу бүтээгдсэн бөгөөд үүнийг хязгааргүй олон удаа тогтмол хэрэглэдэг. Ийм цаг бүрийг давталт гэж нэрлэдэг.
Менгер хөвөнг бүтээх давталтын алгоритм нь маш энгийн: 1-р талтай анхны шоо нь нүүртэйгээ параллель хавтгайгаар хуваагдаж 27 тэнцүү шоо болж хуваагдана. Үүнээс нэг төв шоо, түүнтэй зэргэлдээх 6 кубыг нүүрний дагуу гаргаж авдаг. Үр дүн нь үлдсэн 20 жижиг шооноос бүрдсэн багц юм. Эдгээр шоо тус бүртэй ижил зүйлийг хийснээр бид 400 жижиг шооноос бүрдэх багцыг авна. Энэ үйл явцыг эцэс төгсгөлгүй үргэлжлүүлснээр бид Menger хөвөн авдаг.
"f(x) функцийн Маклаурины цуврал өргөтгөлийг ол" - Дээд математикийн даалгавар яг ийм сонсогдож байгаа бөгөөд зарим оюутнууд үүнийг хийж чаддаг бол зарим нь жишээнүүдийг даван туулж чаддаггүй. Эрх мэдлийн цувралыг өргөжүүлэх хэд хэдэн арга байдаг; энд бид функцийг Маклаурин цуврал болгон өргөжүүлэх арга техникийг өгөх болно. Цуврал функцийг боловсруулахдаа деривативыг сайн тооцоолох хэрэгтэй.
Жишээ 4.7 Функцийг х-ийн зэрэглэлээр өргөжүүл
Тооцоолол: Бид Маклаурины томъёоны дагуу функцийн өргөтгөлийг гүйцэтгэдэг. Эхлээд функцийн хуваагчийг цуврал болгон өргөжүүлье 
Эцэст нь тэлэлтийг тоологчоор үржүүлнэ.
Эхний гишүүн нь тэг дэх функцийн утга f (0) = 1/3.
Нэгдүгээр ба дээд зэрэглэлийн f (x) функцын деривативууд ба эдгээр деривативуудын x=0 цэг дээрх утгыг олъё. 
Дараа нь 0 дахь деривативын утгын өөрчлөлтийн загвар дээр үндэслэн бид n-р деривативын томъёог бичнэ. 
Тиймээс бид хуваагчийг Маклаурины цувралын өргөтгөлийн хэлбэрээр төлөөлдөг 
Бид тоологчоор үржүүлж, х-ийн зэрэглэлийн цувралд функцийн хүссэн өргөтгөлийг олж авна. 
Таны харж байгаагаар энд ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй.
Бүх гол цэгүүд нь деривативыг тооцоолох, дээд эрэмбийн деривативын утгыг тэгээр хурдан нэгтгэх чадвар дээр суурилдаг. Дараах жишээнүүд нь функцийг цувралаар хэрхэн хурдан зохион байгуулах талаар сурахад тусална.
Жишээ 4.10 Функцийн Маклаурин цуврал өргөтгөлийг ол
Тооцоолол: Таны таамаглаж байсанчлан бид косинусыг тоологч дахь цуваагаар оруулах болно. Үүнийг хийхийн тулд та хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнүүдийн томъёог ашиглаж эсвэл деривативаар косинусын тэлэлтийг гаргаж болно. Үүний үр дүнд бид x-ийн зэрэглэлийн дараах цувралд хүрнэ 
Таны харж байгаагаар бид хамгийн бага тооцоолол, цувралын өргөтгөлийн авсаархан төлөөлөлтэй байна.
Жишээ 4.16 Функцийг х-ийн зэрэглэлээр өргөжүүлнэ үү:
7/(12-x-x^2)
Тооцоолол: Ийм жишээн дээр энгийн бутархайн нийлбэрээр бутархайг өргөжүүлэх шаардлагатай.
Үүнийг хэрхэн хийхийг бид одоо харуулахгүй, гэхдээ тодорхойгүй коэффициентүүдийн тусламжтайгаар бид бутархайн нийлбэрт хүрэх болно.
Дараа нь бид хуваагчийг экспоненциал хэлбэрээр бичнэ 
Маклаурины томъёог ашиглан нэр томъёог өргөжүүлэх хэвээр байна. "x"-ийн ижил түвшний нөхцөлүүдийг нэгтгэн дүгнэж, бид функцийг цувралын өргөтгөлийн ерөнхий гишүүний томъёог бичнэ. 
Цуврал руу шилжих шилжилтийн сүүлчийн хэсгийг эхэнд нь хэрэгжүүлэхэд хэцүү байдаг, учир нь хосолсон ба хосгүй индексийн (зэрэг) томъёог нэгтгэхэд хэцүү байдаг, гэхдээ дадлага хийснээр та үүнийг илүү сайн хийх болно.
Жишээ 4.18 Функцийн Маклаурин цувралын өргөтгөлийг ол
Тооцоолол: Энэ функцийн деривативыг олъё: 
McLaren-ийн томъёоны аль нэгийг ашиглан функцийг цуврал болгон өргөжүүлье. 
Бид аль аль нь туйлын ижил байна гэсэн үндсэн дээр цуврал нэр томъёог нэгтгэн дүгнэдэг. Бүхэл бүтэн цувралын гишүүнчлэлийг гишүүнээр нэгтгэсний дараа бид функцийг x-ийн зэрэглэлийн цуврал болгон өргөтгөхийг олж авна. 
Өргөтгөлийн сүүлийн хоёр мөрийн хооронд шилжилт байгаа бөгөөд энэ нь эхэндээ таны цагийг их хэмжээгээр авах болно. Цуврал томьёог ерөнхийд нь гаргах нь хүн болгонд тийм ч амар биш тул аятайхан, авсаархан томьёо олж чадахгүй гэж санаа зовох хэрэггүй.
Жишээ 4.28 Функцийн Маклаурин цуврал өргөтгөлийг ол.
Логарифмыг дараах байдлаар бичье 
Маклаурины томьёог ашиглан бид логарифмын функцийг х-ийн зэрэглэлээр өргөжүүлнэ 
Эцсийн эргэлт нь эхлээд харахад төвөгтэй боловч тэмдгүүдийг ээлжлэн солих үед та үргэлж ижил төстэй зүйлийг олж авах болно. Функцуудыг дараалан төлөвлөх сэдвийн оролтын хичээл дууслаа. Бусад ижил сонирхолтой задралын схемүүдийг дараах материалуудад дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.
Дээд математикийн оюутнууд бидэнд өгөгдсөн цувааг нэгтгэх интервалд хамаарах тодорхой чадлын цувааны нийлбэр нь тасралтгүй, хязгааргүй тооны удаа ялгаатай функц болж хувирдаг гэдгийг мэдэж байх ёстой. Асуулт гарч ирнэ: өгөгдсөн дурын функц f(x) нь тодорхой чадлын цувааны нийлбэр гэж хэлж болох уу? Өөрөөр хэлбэл, ямар нөхцөлд f(x) функцийг зэрэглэлийн цуваагаар илэрхийлж болох вэ? Энэ асуултын ач холбогдол нь f(x) функцийг зэрэглэлийн цувралын эхний хэдэн гишүүний нийлбэрээр, өөрөөр хэлбэл олон гишүүнтээр орлуулах боломжтойд оршино. Функцийг нэлээд энгийн илэрхийлэл буюу олон гишүүнтээр солих нь тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд тохиромжтой, тухайлбал: интегралыг шийдвэрлэх, тооцоолох гэх мэт.
Тодорхой f(x) функцийн хувьд (α - R; x 0 + R) ойролцоох (n+1)-р дараалал, түүний дотор сүүлчийнх нь үүсмэлийг тооцоолох боломжтой болох нь батлагдсан. ) зарим цэг x = α бол томъёо нь үнэн юм:
Энэ томъёог нэрт эрдэмтэн Брук Тэйлорын нэрээр нэрлэсэн. Өмнөх цувралаас олж авсан цувралыг Маклаурин цуврал гэж нэрлэдэг.
Маклаурин цувралд өргөтгөл хийх боломжтой болгодог дүрэм:
R n (x) -> 0 at n -> хязгааргүй. Хэрэв нэг нь байгаа бол түүний доторх f(x) функц нь Маклаурины цувралын нийлбэртэй давхцах ёстой.
Одоо бие даасан функцүүдийн хувьд Маклаурин цувралыг авч үзье.
1. Тэгэхээр эхнийх нь f(x) = e x болно. Мэдээжийн хэрэг, шинж чанараараа ийм функц нь маш өөр эрэмбийн деривативуудтай бөгөөд f (k) (x) = e x , энд k нь бүгдийг орлуулах болно. Бид f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Дээрхээс үндэслэн e x цуврал дараах байдалтай байна.
2. f(x) = sin x функцийн Маклаурины цуваа. Бүх үл мэдэгдэх функц нь деривативтай байх ба үүнээс гадна f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x +) гэдгийг нэн даруй тодруулцгаая. 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), энд k нь ямар ч натурал тоотой тэнцүү, өөрөөр хэлбэл энгийн тооцоолол хийсний дараа бид хүрч болно f(x) = sin x-ийн цуваа дараах байдлаар харагдах болно.
3. Одоо f(x) = cos x функцийг авч үзье. Бүх үл мэдэгдэхийн хувьд энэ нь дурын дарааллын деривативтай ба |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|
