Рационал ба иррациональ илтгэгчтэй хүчнүүдийн жишээ. Тооны хүч: тодорхойлолт, тэмдэглэгээ, жишээ

Рационал үзүүлэлттэй хүч

Хасянова Т.Г.,

математикийн багш

Үзүүлсэн материал нь математикийн багш нарт "Рациональ илтгэгчтэй илтгэгч" сэдвийг судлахад хэрэг болно.

Танилцуулсан материалын зорилго: "Математик" хичээлийн ажлын хөтөлбөрийн "Рациональ илтгэгчтэй зэрэг" сэдвээр хичээл хийсэн туршлагаа илчлэх.

Хичээл явуулах арга зүй нь түүний төрөлд нийцдэг - шинэ мэдлэгийг судлах, эхлээд нэгтгэх хичээл. Өмнө нь олж авсан туршлага дээр үндэслэн суурь мэдлэг, ур чадварыг шинэчилсэн; шинэ мэдээллийг анхан шатны цээжлэх, нэгтгэх, хэрэглэх. Шинэ материалыг нэгтгэх, хэрэглэх нь миний туршиж үзсэн янз бүрийн нарийн төвөгтэй асуудлуудыг шийдвэрлэх хэлбэрээр явагдсан бөгөөд энэ нь сэдвийг эзэмшихэд эерэг үр дүнг өгсөн.

Хичээлийн эхэнд би оюутнуудад дараахь зорилтуудыг тавьсан: боловсролын, хөгжүүлэх, хүмүүжүүлэх. Хичээлийн үеэр би үйл ажиллагааны янз бүрийн аргыг ашигласан: урд, ганцаарчилсан, хос, бие даасан, тест. Даалгавруудыг ялгаж, хичээлийн үе шат бүрт мэдлэг эзэмшсэн түвшинг тодорхойлох боломжтой болгосон. Даалгаврын хэмжээ, нарийн төвөгтэй байдал нь оюутнуудын насны онцлогт тохирсон байдаг. Миний туршлагаас харахад ангид шийдсэн асуудлуудтай адил гэрийн даалгавар нь олж авсан мэдлэг, ур чадвараа найдвартай нэгтгэх боломжийг олгодог. Хичээлийн төгсгөлд эргэцүүлэн бодох ажлыг хийж, бие даасан оюутнуудын ажлыг үнэлэв.

Зорилгодоо хүрсэн. Оюутнууд рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн тухай ойлголт, шинж чанарыг судалж, практик асуудлыг шийдвэрлэхдээ эдгээр шинж чанаруудыг ашиглаж сурсан. Бие даасан ажлын хувьд үнэлгээг дараагийн хичээл дээр зарладаг.

Математикийн хичээл заахдаа ашигладаг арга зүйг математикийн багш нар ашиглаж болно гэдэгт би итгэдэг.

Хичээлийн сэдэв: Рационал үзүүлэлттэй хүч

Хичээлийн зорилго:

Оюутнуудын мэдлэг, ур чадварын цогц мэдлэгийн түвшинг тодорхойлох, түүний үндсэн дээр боловсролын үйл явцыг сайжруулах тодорхой шийдлүүдийг ашиглах.

Хичээлийн зорилго:

Боловсролын:Оюутнуудын дунд оновчтой үзүүлэлт бүхий зэрэг тогтоох үндсэн ойлголт, дүрэм, хууль тогтоомжийн талаархи шинэ мэдлэгийг бий болгох, мэдлэгийг стандарт нөхцөл, өөрчлөгдсөн болон стандарт бус нөхцөлд бие даан ашиглах чадвар;

хөгжиж буй:логикоор сэтгэж, бүтээлч чадварыг ухамсарлах;

өсгөх:Математикийн сонирхлыг хөгжүүлэх, үгсийн сангаа шинэ нэр томьёогоор дүүргэх, эргэн тойрныхоо ертөнцийн талаар нэмэлт мэдээлэл авах. Тэвчээр, тэсвэр тэвчээр, бэрхшээлийг даван туулах чадварыг төлөвшүүлэх.

Зохион байгуулалтын мөч

Лавлах мэдлэгийг шинэчлэх

Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэхэд илтгэгчийг нэмэх боловч суурь нь ижил хэвээр байна.

Жишээлбэл,

2. Ижил сууриудтай градусыг хуваахад градусын илтгэгчийг хасах боловч суурь нь ижил хэвээр байна.

Жишээлбэл,

3. Зэрэгийг зэрэгт хүргэх үед илтгэгчийг үржүүлэх боловч суурь нь хэвээр байна:

Жишээлбэл,

4. Бүтээгдэхүүний зэрэг нь дараах хүчин зүйлсийн зэрэгийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Жишээлбэл,

5. Хуваагчийн зэрэг нь ногдол ашиг ба хуваагчийн зэрэгтэй тэнцүү байна.

Жишээлбэл,

Шийдэл бүхий дасгалууд

Илэрхийллийн утгыг ол:

Шийдэл:

Энэ тохиолдолд бүх градус өөр өөр суурьтай байдаг тул байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанаруудын аль нь ч тодорхой хэрэглэгдэх боломжгүй. Зарим хүчийг өөр хэлбэрээр бичье:

(бүтээгдэхүүний зэрэг нь хүчин зүйлийн градусын бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү);

(ижил суурьтай хүчийг үржүүлэхэд илтгэгчүүд нэмэгдэх боловч суурь нь ижил хэвээр байна; зэрэглэлийг зэрэгтэй болгоход илтгэгчийг үржүүлдэг боловч суурь нь ижил хэвээр байна).

Дараа нь бид авна:

Энэ жишээнд байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлийн эхний дөрвөн шинж чанарыг ашигласан.

Арифметик квадрат язгуур
квадрат нь тэнцүү сөрөг бус тоо юма,
. At
- илэрхийлэл
тодорхойлогдоогүй, учир нь квадрат нь сөрөг тоотой тэнцүү бодит тоо байхгүйа.

Математикийн диктант(8-10 мин.)

Сонголт

II. Сонголт

1.Илэрхийллийн утгыг ол

A)

б)

1.Илэрхийллийн утгыг ол

A)

б)

2. Тооцоолох

A)

б)

IN)

2. Тооцоолох

A)

б)

V)

Өөрийгөө шалгах(өвчний самбар дээр):

Хариултын матриц:

№ сонголт/даалгавар

Асуудал 1

Асуудал 2

Сонголт 1

а) 2

б) 2

a) 0.5

б)

V)

Сонголт 2

a) 1.5

б)

A)

б)

в) 4

II. Шинэ мэдлэгийг бий болгох

Энэ илэрхийлэл хаана, ямар утгатай болохыг авч үзье - эерэг тоо– бутархай тоо ба m-бүхэл тоо, n-натурал (n›1)

Тодорхойлолт: рационал илтгэгчтэй a›0-ийн чадалr = , м-бүхэл, n- байгалийн ( n›1) дугаарыг дуудаж байна.

Тэгэхээр:

Жишээ нь:

Тэмдэглэл:

1. Аливаа эерэг a ба дурын рационал r тооны хувьд эерэгээр.

2. Хэзээ
тооны оновчтой хүчатодорхойгүй байна.

гэх мэт илэрхийллүүд
утгагүй.

3.Хэрэв бутархай эерэг тоо байна
.

Хэрэв бутархай сөрөг тоо, тэгвэл -утгагүй.

Жишээ нь: - утгагүй байна.

Рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарыг авч үзье.

a >0, b>0; r, s - дурын рационал тоо. Тэгвэл дурын рационал илтгэгчтэй зэрэг нь дараах шинж чанартай байна.

1.
2.
3.
4.
5.

III. Нэгтгэх. Шинэ ур чадвар, чадварыг бий болгох.

Даалгаврын картууд нь тест хэлбэрээр жижиг бүлгүүдэд ажилладаг.

a тооны бүхэл илтгэгчээс рациональ илтгэгч рүү шилжих нь тодорхой болно. Доор бид рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийг тодорхойлох бөгөөд бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэглэлийн бүх шинж чанар хадгалагдах байдлаар үүнийг хийх болно. Бүхэл тоо нь рационал тоонуудын нэг хэсэг учраас энэ нь зайлшгүй шаардлагатай.

Рационал тоонуудын багц нь бүхэл ба бутархай тооноос бүрдэх бөгөөд бутархай бүрийг эерэг эсвэл сөрөг энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно гэдгийг мэддэг. Бид өмнөх догол мөрөнд бүхэл тоон илтгэгчтэй зэрэг тодорхойлсон тул рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн тодорхойлолтыг дуусгахын тулд тооны зэрэгт утгыг өгөх хэрэгтэй. абутархай үзүүлэлттэй м/н, Хаана мнь бүхэл тоо бөгөөд n- байгалийн. Үүнийг хийцгээе.

Маягтын бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийг авч үзье. Эрх мэдэл хүчинтэй байхын тулд эрх тэгш байх ёстой . Хэрэв бид үүссэн тэгш байдлыг харгалзан үзэж, n-р зэргийн язгуурыг хэрхэн тодорхойлсон бол өгөгдсөн тохиолдолд хүлээн зөвшөөрөх нь логик юм. м, nТэгээд аилэрхийлэл нь утга учиртай.

Бүхэл илтгэгчтэй зэрэглэлийн бүх шинж чанарууд хүчинтэй эсэхийг шалгахад хялбар байдаг (үүнийг рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарууд хэсэгт хийсэн).

Дээрх үндэслэл нь дараахь зүйлийг хийх боломжийг бидэнд олгоно дүгнэлт: өгөгдөл өгсөн бол м, nТэгээд аилэрхийлэл нь утга учиртай, дараа нь тооны хүч абутархай үзүүлэлттэй м/нүндэс гэж нэрлэдэг n-ийн зэрэг атодорхой хэмжээгээр м.

Энэ мэдэгдэл нь бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийн тодорхойлолтод ойртуулж байна. Үлдсэн зүйл бол юу болохыг тайлбарлах явдал юм м, nТэгээд аилэрхийлэл нь утга учиртай. Хязгаарлалтаас хамаарч м, nТэгээд аХоёр үндсэн хандлага байдаг.

1. Хамгийн хялбар арга бол хязгаарлалт тавих а, хүлээн зөвшөөрсөн a≥0эерэг хувьд мТэгээд a>0сөрөг хувьд м(хэдэн үеэс m≤0зэрэг 0 мтодорхойлогдоогүй). Дараа нь бид бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийн дараах тодорхойлолтыг авна.

Тодорхойлолт.

Эерэг тооны хүч абутархай үзүүлэлттэй м/н , Хаана м- бүхэлд нь, ба n– язгуур гэж нэрлэгддэг натурал тоо n- тоон дахь атодорхой хэмжээгээр м, өөрөөр хэлбэл, .

Тэгийн бутархай хүчийг мөн индикатор эерэг байх ёстой гэсэн цорын ганц анхааруулгатайгаар тодорхойлно.

Тодорхойлолт.

Бутархай эерэг илтгэгчтэй тэгийн чадал м/н , Хаана мэерэг бүхэл тоо бөгөөд n– натурал тоо, гэж тодорхойлсон .
Зэрэг нь тодорхойлогдоогүй үед, өөрөөр хэлбэл бутархай сөрөг илтгэгчтэй тэг тооны зэрэг нь утгагүй болно.

Бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийн энэхүү тодорхойлолтод нэг анхааруулга байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй: зарим сөрөг аболон зарим нь мТэгээд nилэрхийлэл нь утга учиртай, гэхдээ бид нөхцөлийг оруулснаар эдгээр тохиолдлыг хассан a≥0. Жишээлбэл, оруулгууд нь утга учиртай эсвэл , мөн дээр өгөгдсөн тодорхойлолт нь хэлбэрийн бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийг хэлэхээс аргагүйд хүргэж байна суурь нь сөрөг байх ёсгүй тул утгагүй.

2. Бутархай илтгэгчээр зэрэг тодорхойлох өөр нэг арга м/нязгуурын тэгш, сондгой илтгэгчийг тусад нь авч үзэхээс бүрдэнэ. Энэ арга нь нэмэлт нөхцөл шаарддаг: тооны хүч а, илтгэгч нь буурдаг жирийн бутархай бол тооны зэрэглэлд тооцогддог а, үзүүлэлт нь харгалзах бууруулж болохгүй бутархай (энэ нөхцлийн ач холбогдлыг доор тайлбарлах болно). Өөрөөр хэлбэл, хэрэв м/ннь бууруулж болшгүй бутархай бол дурын натурал тооны хувьд кзэрэг нь урьдчилсан байдлаар солигдоно.

Нэг ч гэсэн nба эерэг милэрхийлэл ямар ч сөрөг бус утга учиртай а(сөрөг тооны тэгш үндэс нь ямар ч утгагүй), сөрөг мтоо атэгээс ялгаатай хэвээр байх ёстой (эсвэл тэгээр хуваагдах болно). Мөн хачирхалтай нь nба эерэг мтоо аямар ч байж болно (сондгой язгуур нь ямар ч бодит тоогоор тодорхойлогддог), сөрөг байна мтоо атэгээс өөр байх ёстой (ингэснээр тэгээр хуваагдахгүй).

Дээрх үндэслэл нь биднийг бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийн энэхүү тодорхойлолтод хүргэж байна.

Тодорхойлолт.

Болъё м/н- бууруулж болохгүй бутархай, м- бүхэлд нь, ба n- натурал тоо. Аливаа бууруулж болох бутархайн хувьд зэрэг нь -ээр солигдоно. Тооны хүч аБутаршгүй бутархай илтгэгчтэй м/н- энэ нь зориулагдсан

o дурын бодит тоо а, бүхэлдээ эерэг ммөн хачин байгалийн n, Жишээ нь, ;

o тэгээс бусад бодит тоо а, сөрөг бүхэл тоо мбас хачин n, жишээ нь, ;

o аливаа сөрөг бус тоо а, бүхэлдээ эерэг мтэр ч байтугай n, Жишээ нь, ;

o аливаа эерэг а, сөрөг бүхэл тоо мтэр ч байтугай n, жишээ нь, ;

o бусад тохиолдолд бутархай үзүүлэлттэй зэрэг нь тодорхойлогддоггүй, жишээ нь зэрэг нь тодорхойлогдоогүй байдаг .a бид оруулгад ямар ч утга агуулаагүй, эерэг бутархай илтгэгчийн хувьд тэг тооны хүчийг тодорхойлдог м/нЯаж , сөрөг бутархай илтгэгчийн хувьд тэг тооны хүчийг тодорхойлдоггүй.

Энэ догол мөрийн төгсгөлд бутархай илтгэгчийг аравтын бутархай эсвэл холимог тоо хэлбэрээр бичиж болно гэдгийг анхаарч үзье, жишээлбэл, . Энэ төрлийн илэрхийллийн утгыг тооцоолохын тулд та экспонентийг энгийн бутархай хэлбэрээр бичиж, дараа нь бутархай илтгэгч бүхий илтгэгчийн тодорхойлолтыг ашиглах хэрэгтэй. Дээрх жишээнүүдийн хувьд бидэнд байна Тэгээд

"Рациональ илтгэгчтэй илтгэгч" видео хичээл нь энэ сэдвээр хичээл заахад зориулсан харааны боловсролын материалыг агуулдаг. Видео хичээл нь оновчтой илтгэгчтэй зэрэглэлийн тухай ойлголт, эдгээр зэрэглэлийн шинж чанарууд, түүнчлэн практик асуудлыг шийдвэрлэхэд боловсролын материалыг ашиглахыг тайлбарласан жишээг агуулсан болно. Энэхүү видео хичээлийн зорилго нь сургалтын материалыг тодорхой, ойлгомжтойгоор илэрхийлэх, түүнийг хөгжүүлэх, сурагчдад цээжлэх, сурсан ойлголтыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх явдал юм.

Видео хичээлийн гол давуу тал нь хувиргалт, тооцооллыг нүдээр хийх чадвар, сургалтын үр ашгийг дээшлүүлэхийн тулд хөдөлгөөнт эффект ашиглах чадвар юм. Дууны дагалдах хэрэгсэл нь математикийн зөв яриаг хөгжүүлэхэд тусалдаг ба багшийн тайлбарыг солих, бие даасан ажил хийх боломжийг олгодог.

Видео хичээл нь сэдвийг танилцуулж эхэлдэг. Шинэ сэдвийг судлах ажлыг өмнө нь судалсан материалтай холбохдоо n √a-г байгалийн n ба эерэг a-ийн хувьд 1/n гэж тэмдэглэдэг гэдгийг санах нь зүйтэй. Энэхүү n-язгуур дүрслэл дэлгэц дээр гарч ирнэ. Дараа нь, a нь эерэг тоо, m/n нь бутархай гэсэн m/n илэрхийлэл нь ямар утгатай болохыг авч үзэхийг санал болгож байна. Рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн тодорхойлолтыг m/n = n √a m гэж хүрээн дээр тодруулсан болно. n нь натурал тоо, m нь бүхэл тоо байж болохыг тэмдэглэв.

Рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийг тодорхойлсны дараа түүний утгыг жишээн дээр харуулав: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Мөн аравтын бутархайгаар илэрхийлэгдсэн хүчийг бутархай болгон хувиргаж язгуур болгон илэрхийлдэг жишээг харуулав: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 ба сөрөг хүчин чадалтай жишээ: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

Зэрэглэлийн суурь нь тэг байх онцгой тохиолдлын онцлогийг тусад нь зааж өгсөн болно. Энэ зэрэг нь зөвхөн эерэг бутархай илтгэгчийн хувьд утга учиртай болохыг тэмдэглэв. Энэ тохиолдолд түүний утга тэг болно: 0 м/н =0.

Рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн өөр нэг онцлогийг тэмдэглэв - бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийг бутархай илтгэгчтэй авч үзэх боломжгүй юм. Зэрэг буруу тэмдэглэсэн жишээг үзүүлэв: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Дараагийн видео хичээл дээр бид рационал үзүүлэлт бүхий зэрэглэлийн шинж чанаруудын талаар ярилцах болно. Бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэглэлийн шинж чанарууд нь рационал илтгэгчтэй зэрэгт ч хүчинтэй байх болно гэж тэмдэглэсэн. Энэ тохиолдолд хүчинтэй байгаа эд хөрөнгийн жагсаалтыг эргэн санахыг санал болгож байна.

1. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэхэд тэдгээрийн илтгэгч нь нийлбэр болно: a p a q =a p+q.
2. Ижил сууриудтай градусын хуваагдал нь өгөгдсөн суурь ба илтгэгчийн зөрүүтэй зэрэг хүртэл буурна: a p:a q =a p-q.
3. Хэрэв бид градусыг тодорхой хэмжээнд өсгөвөл өгөгдсөн суурь ба илтгэгчийн үржвэртэй зэрэгтэй болно: (a p) q =a pq.

Эдгээр бүх шинж чанарууд нь рационал илтгэгч p, q, эерэг суурь a>0 зэрэгт хүчинтэй байна. Мөн хаалт нээх үед градусын хувиргалт үнэн хэвээр байна:

1. (ab) p =a p b p - рациональ илтгэгчээр тодорхой хэмжээнд өсгөхөд хоёр тооны үржвэрийг тоонуудын үржвэр болгон бууруулж, тус бүр нь өгөгдсөн зэрэгт нэмэгдэнэ.
2. (a/b) p =a p /b p - бутархайг рационал илтгэгчтэй зэрэглэлд хүргэх нь хуваагч болон хуваагч нь өгөгдсөн зэрэгт өссөн бутархай болж буурна.

Видео заавар нь рационал экспонент бүхий хүч чадлын шинж чанарыг ашигладаг жишээнүүдийг шийдвэрлэх талаар авч үздэг. Эхний жишээнд бутархай зэрэгт x хувьсагчийг агуулсан илэрхийллийн утгыг олохыг санал болгож байна: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Илэрхийлэл нь нарийн төвөгтэй хэдий ч хүч чадлын шинж чанарыг ашиглан үүнийг маш энгийнээр шийдэж болно. Асуудлыг шийдвэрлэх нь илэрхийлэлийг хялбарчлахаас эхэлдэг бөгөөд энэ нь рационал илтгэгчтэй хүчийг хүчирхэг болгон өсгөх, түүнчлэн ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг ашигладаг. Өгөгдсөн x=8 утгыг х 1/3 +48 хялбаршуулсан илэрхийлэлд орлуулсны дараа - 50 утгыг авахад хялбар болно.

Хоёрдахь жишээнд та хуваагч болон хуваагч нь рационал илтгэгчтэй зэрэглэл агуулсан бутархайг багасгах хэрэгтэй. Зэрэглэлийн шинж чанаруудыг ашиглан бид ялгавараас х 1/3 коэффициентийг гаргаж, дараа нь хуваагч ба хуваагчийг багасгаж, квадратуудын зөрүүний томъёог ашиглан тоологчийг хүчин зүйл болгон хуваасан бөгөөд энэ нь ижил төстэй байдлын цаашдын бууралтыг өгдөг. тоологч ба хуваагч дахь хүчин зүйлүүд. Ийм хувиргалтын үр дүн нь x 1/4 +3 богино фракц юм.

Багш шинэ хичээлийн сэдвийг тайлбарлахын оронд “Рациональ илтгэгчтэй илтгэгч” видео хичээлийг ашиглаж болно. Энэхүү гарын авлагад оюутан бие даан суралцахад хангалттай бүрэн мэдээллийг багтаасан болно. Энэ материал нь зайн сургалтанд бас хэрэг болно.

Энэ нийтлэлд бид юу болохыг олж мэдэх болно тооны хүч. Энд бид тооны чадлын тодорхойлолтыг өгөх бөгөөд байгалийн илтгэгчээс эхлээд иррациональ хүртэл бүх боломжит илтгэгчийг нарийвчлан авч үзэх болно. Материалаас та үүссэн бүх нарийн ширийн зүйлийг хамарсан зэрэглэлийн олон жишээг олох болно.

Хуудасны навигаци.

Натурал илтгэгчтэй хүч, тооны квадрат, тооны шоо

-ээс эхэлье. Урагшаа харахад n натурал илтгэгчтэй a тооны чадлын тодорхойлолтыг a-д өгсөн гэж үзье. зэрэглэлийн суурь, ба n, бид үүнийг дуудах болно илтгэгч. Байгалийн илтгэгчтэй зэрэг нь бүтээгдэхүүнээр тодорхойлогддог тул доорх материалыг ойлгохын тулд та тоог үржүүлэх тухай ойлголттой байх хэрэгтэй гэдгийг бид бас тэмдэглэж байна.

Тодорхойлолт.

Натурал илтгэгч n-тэй тооны чадварнь a n хэлбэрийн илэрхийлэл бөгөөд утга нь n хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү, тус бүр нь a-тай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, .
Ялангуяа 1-р илтгэгчтэй а тооны хүчин чадал нь өөрөө а тоо, өөрөөр хэлбэл a 1 =a байна.

Эрдмийн зэрэг унших дүрмийн талаар нэн даруй дурдах нь зүйтэй. a n тэмдэглэгээг унших бүх нийтийн арга нь: "a-аас n-ийн зэрэглэлд". Зарим тохиолдолд "a-аас n-р зэрэглэл" ба "a-ийн n-р зэрэг" гэсэн сонголтуудыг бас хүлээн зөвшөөрдөг. Жишээлбэл, 8 12 хүчийг авъя, энэ нь "наймаас арван хоёрын хүч", эсвэл "наймаас арван хоёр дахь хүч", эсвэл "наймын арван хоёр дахь хүч" юм.

Тооны хоёр дахь зэрэг, мөн тооны гурав дахь зэрэг нь өөрийн гэсэн нэртэй байдаг. Тооны хоёр дахь хүчийг дуудна тооны квадратжишээлбэл, 7 2-ыг "долоон квадрат" эсвэл "долооны тооны квадрат" гэж уншина. Тооны гурав дахь хүчийг дуудна куб тоонууджишээлбэл, 5 3-ыг "таван шоо" гэж уншиж болно, эсвэл "5-ын тооны шоо" гэж хэлж болно.

Авах цаг боллоо Байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлийн жишээ. 5 7 зэрэгтэй эхэлье, энд 5 нь градусын суурь, 7 нь илтгэгч юм. Өөр нэг жишээ хэлье: 4.32 нь суурь, натурал тоо 9 нь илтгэгч (4.32) 9 юм.

Сүүлчийн жишээнд 4.32-ын хүчийг хаалтанд бичсэнийг анхаарна уу: зөрүү гарахаас зайлсхийхийн тулд натурал тооноос ялгаатай бүх чадлын суурьуудыг хаалтанд хийнэ. Жишээ болгон бид байгалийн илтгэгчтэй дараах зэрэглэлүүдийг өгдөг , тэдгээрийн суурь нь натурал тоо биш тул хаалтанд бичнэ. Бүрэн тодорхой болгохын тулд энэ үед бид (−2) 3 ба −2 3 хэлбэрийн бичлэгт агуулагдах ялгааг харуулах болно. (−2) 3 илэрхийлэл нь натурал илтгэгч нь 3-тай −2-ын хүч бөгөөд −2 3 (үүнийг −(2 3) гэж бичиж болно) илэрхийлэл нь 2 3 зэрэглэлийн утгатай тоотой тохирч байна. .

a^n хэлбэрийн n илтгэгчтэй a тооны хүчийг илэрхийлэх тэмдэглэгээ байдгийг анхаарна уу. Түүнчлэн, хэрэв n нь олон утгатай натурал тоо бол илтгэгчийг хаалтанд авна. Жишээлбэл, 4^9 нь 49-ийн хүчийг илэрхийлэх өөр нэг тэмдэглэгээ юм. “^” тэмдгийг ашиглан зэрэг бичих өөр хэдэн жишээ энд байна: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Дараах зүйлд бид үндсэндээ a n хэлбэрийн зэргийн тэмдэглэгээг ашиглана.

Байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлийг өсгөхтэй урвуу асуудлуудын нэг бол чадлын мэдэгдэж буй утга ба мэдэгдэж буй илтгэгчээс чадлын суурийг олох асуудал юм. Энэ даалгавар нь хүргэдэг.

Рационал тоонуудын багц нь бүхэл ба бутархай тооноос бүрдэх бөгөөд бутархай бүрийг эерэг эсвэл сөрөг энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно гэдгийг мэддэг. Бид өмнөх догол мөрөнд бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэг тодорхойлсон тул рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн тодорхойлолтыг дуусгахын тулд m/n бутархай илтгэгчтэй a тооны зэрэгт утгыг өгөх шаардлагатай. m нь бүхэл тоо, n нь натурал тоо юм. Үүнийг хийцгээе.

Маягтын бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийг авч үзье. Эрх мэдэл хүчинтэй байхын тулд эрх тэгш байх ёстой . Хэрэв бид үүссэн тэгш байдлыг харгалзан үзээд бид үүнийг хэрхэн тодорхойлсон бол өгөгдсөн m, n, a илэрхийлэл нь утга учиртай байвал үүнийг хүлээн зөвшөөрөх нь логик юм.

Бүхэл илтгэгчтэй зэрэглэлийн бүх шинж чанарууд хүчинтэй эсэхийг шалгахад хялбар байдаг (үүнийг рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарууд хэсэгт хийсэн).

Дээрх үндэслэл нь дараахь зүйлийг хийх боломжийг бидэнд олгоно дүгнэлт: хэрэв m, n өгөгдсөн бөгөөд a илэрхийлэл нь утга учиртай бол m/n бутархай илтгэгчтэй а-ын хүчийг m-ийн n-р язгуур гэж нэрлэнэ.

Энэ мэдэгдэл нь бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийн тодорхойлолтод ойртуулж байна. Үлдсэн зүйл бол m, n болон a илэрхийлэл ямар утгатай болохыг тайлбарлах явдал юм. m, n, a дээр тавигдсан хязгаарлалтаас хамааран хоёр үндсэн арга байдаг.

Хамгийн хялбар арга бол эерэг m-ийн хувьд a≥0, сөрөг m-ийн хувьд a>0-ийг авах замаар a-д хязгаарлалт тавих явдал юм (m≤0-ийн хувьд m-ийн 0 градус тодорхойлогдоогүй тул). Дараа нь бид бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийн дараах тодорхойлолтыг авна.

Тодорхойлолт.

Бутархай илтгэгч m/n эерэг тооны a-ийн чадал, энд m нь бүхэл тоо, n нь натурал тоо бол m-ийн зэрэгтэй a тооны n-р үндэс гэж нэрлэгддэг, өөрөөр хэлбэл, .

Тэгийн бутархай хүчийг мөн индикатор эерэг байх ёстой гэсэн цорын ганц анхааруулгатайгаар тодорхойлно.

Тодорхойлолт.

Бутархай эерэг илтгэгч m/n-ийн хүчин чадал, энд m нь эерэг бүхэл тоо, n нь натурал тоо гэж тодорхойлогддог .
Зэрэг нь тодорхойлогдоогүй үед, өөрөөр хэлбэл бутархай сөрөг илтгэгчтэй тэг тооны зэрэг нь утгагүй болно.

Бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийн энэхүү тодорхойлолтод нэг анхааруулга байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй: зарим сөрөг а, зарим m ба n-ийн хувьд илэрхийлэл нь утга учиртай бөгөөд a≥0 нөхцөлийг оруулан бид эдгээр тохиолдлыг хассан. Жишээлбэл, оруулгууд нь утга учиртай эсвэл , мөн дээр өгөгдсөн тодорхойлолт нь хэлбэрийн бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийг хэлэхээс аргагүйд хүргэж байна суурь нь сөрөг байх ёсгүй тул утгагүй.

Бутархай илтгэгч m/n-тэй зэрэг тодорхойлох өөр нэг арга бол язгуурын тэгш, сондгой илтгэгчийг тусад нь авч үзэх явдал юм. Энэ арга нь нэмэлт нөхцөлийг шаарддаг: илтгэгч нь a тооны хүчийг a тооны хүч гэж үздэг ба илтгэгч нь харгалзах бууруулж болохгүй бутархай (бид энэ нөхцлийн ач холбогдлыг доор тайлбарлах болно) ). Өөрөөр хэлбэл, хэрэв m/n нь бууруулж болохгүй бутархай бол аль ч натурал k тооны хувьд градусыг эхлээд -ээр солино.

Тэр ч байтугай n ба эерэг m-ийн хувьд илэрхийлэл нь ямар ч сөрөг бус а-д утга учиртай (сөрөг тооны тэгш үндэс нь сөрөг m-ийн хувьд утгагүй, a тоо тэгээс өөр байх ёстой (эсвэл хуваагдах болно); тэгээр). Мөн сондгой n ба эерэг m-ийн хувьд а тоо дурын байж болно (сондгой зэрэглэлийн үндэс нь ямар ч бодит тоогоор тодорхойлогддог), сөрөг m-ийн хувьд а тоо тэгээс өөр байх ёстой (тэгэхээр хуваагдахгүй байх ёстой. тэг).

Дээрх үндэслэл нь биднийг бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийн энэхүү тодорхойлолтод хүргэж байна.

Тодорхойлолт.

m/n нь бууруулж болохгүй бутархай, m нь бүхэл тоо, n нь натурал тоо байг. Аливаа бууруулж болох бутархайн хувьд зэрэг нь -ээр солигдоно. Бутаршгүй бутархай илтгэгч m/n тооны хүчин чадал нь



Бутаршгүй илтгэгчтэй градусыг яагаад бууруулж болдоггүй илтгэгчтэй зэрэгтэй сольдогийг тайлбарлая. Хэрэв бид градусыг зүгээр л гэж тодорхойлж, m/n бутархайн бууралтгүй байдлын талаар тайлбар хийгээгүй бол бид дараахтай төстэй нөхцөл байдалтай тулгарах болно: 6/10 = 3/5 тул тэгш байдал дагах ёстой. , Гэхдээ , А.