(2.1)-тэй адилтгах замаар (5.1) системийг дараахь ижил төстэй хэлбэрээр илэрхийлж болно.
Энд g(x) нь вектор аргументын давтагдах вектор функц юм. Шугаман бус тэгшитгэлийн системүүд нь ихэвчлэн (5.2) хэлбэрээр шууд үүсдэг (жишээлбэл, дифференциал тэгшитгэлийн тоон схемд энэ тохиолдолд (5.1) тэгшитгэлийг (5.2) болгон хувиргахад нэмэлт хүчин чармайлт шаардагдахгүй); Хэрэв бид нэг тэгшитгэлийн энгийн давталтын аргын аналогийг үргэлжлүүлбэл тэгшитгэл (5.2) дээр суурилсан давталтын процессыг дараах байдлаар зохион байгуулж болно.
- 1) зарим анхны вектор x ((,) e 5 o (x 0, A)(х* e 5„(x 0, A));
- 2) дараагийн ойролцоо тооцоог томъёогоор тооцоолно
дараа нь давталтын процесс дууссан ба
Өмнөх шигээ ямар нөхцөлд байгааг олж тогтоох хэрэгтэй
Энгийн дүн шинжилгээ хийх замаар энэ асуудлыг ярилцъя. Эхлээд бид i-р ойролцооллын алдааг e(^ = x(i) - x* гэж оруулаад бичнэ.
Эдгээр илэрхийллийг (5.3) гэж орлуулж, g(x* + e (/i))-г томруулъя. e(k>вектор аргументын функцээр x*-ийн ойролцоо (g(x) функцийн бүх хэсэгчилсэн деривативууд тасралтгүй байна гэж үзвэл). x* = g(x*) гэдгийг харгалзан үзвэл бид олж авна
эсвэл матриц хэлбэрээр
B = (бнм)= I (x*)1 - давталтын матриц.
Хэрэв алдааны түвшин ||e®|| хангалттай бага бол илэрхийллийн баруун талд байгаа хоёр дахь гишүүн (5.4)-ийг үл тоомсорлож болох бөгөөд дараа нь илэрхийлэл (2.16)-тай давхцаж болно. Улмаар яг шийдлийн ойролцоо давтагдах процесс (5.3) нийлэх нөхцөлийг теорем 3.1-д тайлбарлав.
Энгийн давталтын аргын нэгдэл. Давталтын үйл явцыг нэгтгэх шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл (5.3): 
болон хангалттай нөхцөл:
Эдгээр нөхцлүүд нь бид x'-г мэдэхгүй тул практик гэхээсээ илүү онолын ач холбогдолтой юм. (1.11)-тэй адилтгах замаар бид ашигтай байж болох нөхцөлийг олж авдаг. x* e 5 o (x 0, A)болон g(x) функцийн Якобын матриц.
бүх x-д байдаг e S n (x 0, a) (C(x*) = B гэдгийг анхаарна уу). Хэрэв C(x) матрицын элементүүд тэгш бус байдлыг хангаж байвал
бүх x e 5„(x 0, A),тэгвэл аль ч матрицын нормын хувьд хангалттай нөхцөл (5.5) бас хангагдана.
Жишээ 5.1 (энгийн давталтын арга) Дараах тэгшитгэлийн системийг авч үзье.
Энэ системийг ижил хэлбэрээр (5.2) төлөөлөх нэг боломж бол илэрхийлэх явдал юм Xэхний тэгшитгэлээс ба x 2хоёр дахь тэгшитгэлээс: 
Дараа нь давталтын схем нь хэлбэртэй байна
Яг шийдэл нь x* e 5„((2, 2), 1). Анхны векторыг сонгоё x (0) = (2,2) ба ? p = CT 5. Тооцооллын үр дүнг хүснэгтэд үзүүлэв. 5.1.
Хүснэгт 5.1
|
||X - X (i_1 > | 2 / X (A) 2 |
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
Эдгээр үр дүн нь нийлэх явц нэлээд удаан байгааг харуулж байна. Конвергенцийн тоон шинж чанарыг олж авахын тулд бид x (1/) -ийг яг шийдэл гэж үзэн энгийн шинжилгээ хийдэг. Бидний давтагдах функцийн Якобын матриц C(x) нь хэлбэртэй байна
тэгвэл В матрицыг ойролцоогоор гэж тооцно
Нөхцөл (5.5) ч, (5.6) ч нөхцөл хангагдаагүй байгаа эсэхийг шалгахад хялбар боловч 5(B) ~ 0.8-аас хойш нэгдэл явагдана.
Тооцооллын процессыг бага зэрэг өөрчилснөөр энгийн давталтын аргын нэгдлийг хурдасгах боломжтой байдаг. Энэхүү өөрчлөлтийн санаа нь маш энгийн: тооцоолох n th вектор бүрэлдэхүүн хэсгүүд x (A+1)зөвхөн хэрэглэж болохгүй (t = n,..., Н), мөн дараагийн ойртсон векторын аль хэдийн тооцоолсон бүрэлдэхүүн хэсгүүд х к^ (/= 1,p - 1). Тиймээс өөрчлөгдсөн энгийн давталтын аргыг дараах давталтын схемээр илэрхийлж болно.
Хэрэв давтагдах үйл явц (5.3) -аар үүсгэгдсэн ойролцоо тоонууд нийлдэг бол мэдээллийг илүү бүрэн ашигласан тул давтагдах процесс (5.8) илүү хурдан нийлэх хандлагатай байдаг.
Жишээ 5.2 (өөрчлөгдсөн энгийн давталтын арга) Системийн (5.7) өөрчлөгдсөн энгийн давталт нь дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ.
Өмнөхтэй адил бид анхны векторыг сонгоно x (0) = (2, 2) ба g r = = 10 -5. Тооцооллын үр дүнг хүснэгтэд үзүүлэв. 5.2.
Хүснэгт 5.2
|
|||
|
|||
|
|||
|
I Тооцооллын дарааллын томоохон өөрчлөлт нь давталтын тоог хоёр дахин, улмаар үйлдлүүдийн тоог хоёр дахин багасгахад хүргэсэн.
Анхны тэгшитгэлийг ижил тэгшитгэлээр сольж, дүрмийн дагуу давталтуудыг байгуулъя 
. Тиймээс энгийн давталтын арга нь нэг алхамтай давтагдах процесс юм. Энэ үйл явцыг эхлүүлэхийн тулд та анхны ойролцооллыг мэдэх хэрэгтэй. Аргын нийлэх нөхцөл, анхны ойролцооллыг сонгох нөхцөлийг олж мэдье.
Тасалбар №29
Зайделийн арга
Зайделийн арга (заримдаа Гаусс-Зайделийн арга гэж нэрлэдэг) нь энгийн давталтын аргын өөрчлөлт бөгөөд дараагийн ойролцоолсон x (k+1) (томъёо (1.13), (1.14)-ийг үзнэ үү) тооцоолоход оршино. аль хэдийн олж авсан бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг x 1 ( k+1) , ...,x i - 1 (k+1) шууд x i (k+1) -ийг тооцоолоход ашигладаг.
Координатын тэмдэглэгээний хэлбэрээр Зайделийн арга нь дараах хэлбэртэй байна.
X 1 (k+1) = c 11 x 1 (k) + c 12 x 2 (k) + ... + c 1n-1 x n-1 (k) + c 1n x n (k) + d 1
x 2 (k+1) = c 21 x 1 (k+1) + c 22 x 2 (k) + ... + c 2n-1 x n-1 (k) + c 2n x n (k) + d 2
...
x n (k+1) = c n1 x 1 (k+1) + c n2 x 2 (k+1) + ... + c nn-1 x n-1 (k+1) + c nn x n (k) ) + dn
Энд x (0) нь уусмалын анхны ойролцоолсон үзүүлэлт юм.
Иймд (k+1)-р ойролцоо тооцооллын i-р бүрэлдэхүүнийг томъёогоор тооцоолно.
| x i (k+1) = ∑ j=1 i-1 c ij x j (k+1) + ∑ n j=i c ij x j (k) + d i , i = 1, ..., n | (1.20) |
Хялбаршуулсан хэлбэрээр ε нарийвчлалд хүрэх үед Зайделийн давталтын процесс дуусах нөхцөл нь дараах хэлбэртэй байна.
|| x (k+1) - x (k) || ≤ ε.
Тасалбар №30
Дамжуулах арга
Гурвалсан матрицтай A x = b системийг шийдэхийн тулд шүүрдэх аргыг ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд энэ нь Гауссын аргыг энэ тохиолдолд тохируулсан байдаг.
Тэгшитгэлийн системийг бичье
d 1 x 1 + e 1 x 2 = b 1
c 2 x 1 + d 2 x 2 + e 2 x 3 = b 2
c 3 x 2 + d 3 x 3 + e 3 x 4 = b 3
... ... ...
c n-1 x n-2 + d n-1 x n-1 + e n-1 x n = b n-1
c n x n-1 + d n x n = b n
матриц хэлбэрээр: A x = b энд
A= 
Шүүрдэх аргын томъёог хэрэглэх дарааллаар нь бичье.
1. Шүүрдэх аргын шууд харвалт (туслах хэмжигдэхүүнийг тооцоолох):
| a 2 = -e 1 / d 1 b 2 = b 1 / d 1 a i+1 = -e i / , i=2, ..., n-1 b i+1 = [-c i b i + b i ] / , i=2, ..., n-1 | (1.9) |
2. Шүүрдэх аргыг буцаах (шийдэл олох):
| x n = [-c n b n + b n ] / x i = a i+1 x i+1 + b i+1 , i = n-1, ..., 1 |
Тасалбар №31
Энгийн давталтын арга
Энгийн давталтын аргын мөн чанар нь тэгшитгэлээс шилжих явдал юм
f(x)= 0 (*)
эквивалент тэгшитгэлд
x=φ(x). (**)
Энэ шилжилтийг төрлөөс хамааран өөр өөр аргаар хийж болно f(x). Жишээлбэл, та тавьж болно
φ(x) = x+bf(x),(***)
Хаана б= const, харин анхны тэгшитгэлийн үндэс өөрчлөгдөхгүй.
Хэрэв язгуурын анхны ойролцооллыг мэддэг бол x 0, дараа нь шинэ ойролцоогоор
x 1=φx(0),
тэдгээр. Давталтын үйл явцын ерөнхий схем:
x k+1=φ(x к).(****)
Үйл явцыг дуусгах хамгийн энгийн шалгуур
|x k +1 -x k |<ε.
Конвергенцийн шалгуурэнгийн давталтын арга:
язгуурын ойролцоо байвал | φ/(x)| < 1, то итерации сходятся. Если указанное условие справедливо для любого x, дараа нь давталтууд нь аливаа анхны ойролцоолсон утгыг нэгтгэнэ.
Тогтмолын сонголтыг авч үзье бнийлэх хурдыг дээд зэргээр хангах үүднээс. Конвергенцийн шалгуурын дагуу нэгдэх хамгийн дээд хурдыг тухайн үед хангана |φ / (x)| = 0. Үүний зэрэгцээ, (***) дээр үндэслэн b = –1/f / (x),мөн давталтын томъёо (****) орно x i =x i-1 -f(x i-1)/f/ (x i-1).-тэдгээр. Ньютоны аргын томъёонд оруулав. Тиймээс Ньютоны арга нь функцийг сонгох бүх боломжит хувилбаруудыг нэгтгэх хамгийн дээд хурдыг өгдөг энгийн давталтын аргын онцгой тохиолдол юм. φ(x).
Тасалбар №32
Ньютоны арга
Аргын гол санаа нь дараах байдалтай байна: таамаглалын язгуурын ойролцоо анхны ойролцооллыг зааж өгсөн бөгөөд үүний дараа абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэг дээр судалж буй функцийн шүргэгчийг байгуулдаг. Энэ цэгийг дараагийн ойролцоо тооцоолол болгон авна. Шаардлагатай нарийвчлалд хүрэх хүртэл үргэлжилнэ.
Интервал дээр тодорхойлогдсон, түүн дээр дифференциалагдах бодит утгатай функц байг. Дараа нь давталтын ойролцоо тооцооллын томъёог дараах байдлаар гаргаж болно.
Энд α нь цэг дээрх шүргэгчийн хазайлтын өнцөг юм.
Тиймээс шаардлагатай илэрхийлэл нь дараах хэлбэртэй байна.
Тасалбар №33
Алтан харьцааны арга
Алтан харьцааны арга нь давталт бүрт зөвхөн нэг функцийн утгыг тооцоолох замаар интервалыг арилгах боломжийг олгодог. Функцийн авч үзсэн хоёр утгын үр дүнд цаашид ашиглах ёстой интервалыг тодорхойлно. Энэ интервал нь өмнөх цэгүүдийн аль нэгийг агуулж, түүнд тэгш хэмтэй байрлуулсан дараагийн цэгийг агуулна. Цэг нь интервалыг хоёр хэсэгт хуваадаг бөгөөд ингэснээр бүхэл ба том хэсгийн харьцаа нь том хэсэг нь жижиг хэсгийн харьцаатай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл "алтан харьцаа" гэж нэрлэгддэг.
Интервалыг тэгш бус хэсгүүдэд хуваах нь илүү үр дүнтэй аргыг олох боломжийг танд олгоно. Сегментийн төгсгөлд байгаа функцийг тооцоолъё. а,б] болон тавь а=x 1 , б=x 2. Мөн функцийг дотоод хоёр цэг дээр тооцоолъё x 3 , x 4. Функцийн бүх дөрвөн утгыг харьцуулж, тэдгээрийн хамгийн багыг сонгоцгооё. Жишээлбэл, хамгийн жижиг нь болж хувирцгаая е(x 3). Мэдээжийн хэрэг, хамгийн бага нь зэргэлдээх сегментүүдийн аль нэгэнд байх ёстой. Тиймээс сегмент [ x 4 ,б]-г хаяж, сегментийг орхиж болно. 
Эхний алхам хийгдсэн. Сегмент дээр та хоёр дотоод цэгийг дахин сонгож, тэдгээрийн болон төгсгөлийн функцүүдийн утгыг тооцоолж, дараагийн алхамыг хийх хэрэгтэй. Гэхдээ тооцооллын өмнөх алхамд бид шинэ сегментийн төгсгөл ба түүний дотоод цэгүүдийн аль нэгэнд функцийг олсон. x 4. Тиймээс дотор нь нэг цэгийг сонгоход хангалттай x 5доторх функцийн утгыг тодорхойлж, шаардлагатай харьцуулалтыг хийнэ. Энэ нь үйл явцын алхам тутамд шаардагдах тооцооллын хэмжээг дөрөв дахин нэмэгдүүлдэг. Оноо байрлуулах хамгийн сайн арга юу вэ? Үлдсэн сегментийг гурван хэсэгт хувааж, дараа нь гаднах сегментүүдийн аль нэгийг нь хаядаг.
Анхны тодорхойгүй байдлын интервалыг гэж тэмдэглэе Д.
Учир нь ерөнхий тохиолдолд аль ч сегментийг хаяж болно X 1, X 3эсвэл X 4, X 2дараа нь цэгүүдийг сонгоно уу X 3Тэгээд X 4Ингэснээр эдгээр сегментүүдийн урт ижил байна:
x 3 -x 1 =x 4 -x 2.
Хаясаны дараа бид шинэ уртын тодорхойгүй интервалыг авдаг D'.
Харилцааг тэмдэглэе Д/D'φ үсэг:
өөрөөр хэлбэл, дараагийн тодорхойгүй байдлын интервал хаана байгааг тохируулъя. Гэхдээ
өмнөх үе шатанд хаясан сегменттэй тэнцүү урттай, өөрөөр хэлбэл
Тиймээс бид дараахь зүйлийг авна.
.
Энэ нь тэгшитгэлд хүргэдэг, эсвэл тэнцүү 
.
Энэ тэгшитгэлийн эерэг язгуурыг өгнө
.
Тасалбар №34
функцүүдийн интерполяци, өөрөөр хэлбэл. Өгөгдсөн функцийг ашиглан утгууд нь тодорхой тооны цэг дээр өгөгдсөн функцийн утгатай давхцдаг өөр (ихэвчлэн энгийн) функцийг байгуулна. Түүнээс гадна интерполяци нь практик болон онолын ач холбогдолтой.
Тэгшитгэлийн тоон шийдэлба тэдгээрийн системүүд нь тэгшитгэл эсвэл тэгшитгэлийн системийн үндсийг ойролцоогоор тодорхойлохоос бүрдэх бөгөөд шийдлийн арга нь тодорхойгүй эсвэл хөдөлмөр их шаарддаг тохиолдолд ашиглагддаг.
Асуудлын талаархи мэдэгдэл[ | ]
Тэгшитгэл ба тэгшитгэлийн системийг тоон аргаар шийдвэрлэх аргуудыг авч үзье.
f (x 1 , x 2 , … , x n) = 0 (\displaystyle f(x_(1),x_(2),\ldots,x_(n))=0)( f 1 (x 1 , x 2 , … , x n) = 0 … f n (x 1 , x 2 , … , x n) = 0 (\displaystyle \left\((\begin(array)(lcr)f_(1) )(x_(1),x_(2),\ldots,x_(n))&=&0\\\ldots &&\\f_(n)(x_(1),x_(2),\ldots,x_( n))&=&0\төгсгөл(массив))\баруун.)
Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тоон аргууд[ | ]
Оновчлолын аргыг ашиглахгүйгээр анхны тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэж болохыг харцгаая. Хэрэв манай систем SLAE бол Гауссын арга эсвэл Ричардсоны арга гэх мэт аргуудыг ашиглахыг зөвлөж байна. Гэсэн хэдий ч бид функцийн хэлбэр нь бидэнд мэдэгддэггүй гэсэн таамаглалыг үргэлжлүүлж, тоон шийдлийн давталтын аргуудын аль нэгийг ашиглах болно. Эдгээрээс бид хамгийн алдартай аргуудын нэг болох Ньютоны аргыг сонгох болно. Энэ арга нь эргээд шахалтын зураглалын зарчим дээр суурилдаг. Тиймээс сүүлчийнх нь мөн чанарыг эхлээд тайлбарлах болно.
Шахалтын зураглал[ | ]
Нэр томъёог тодорхойлъё:
Функцийг гүйцэтгэдэг гэж хэлдэг шахалтын зураглал дээр бол
Тэгвэл дараах үндсэн теорем хүчинтэй байна.
| Баначийн теорем (агшилтын зураглалын зарчим). Хэрэв φ (\displaystyle \varphi)- шахалтын дэлгэц асаалттай [ a , b ] (\displaystyle), Тэр нь: |
Теоремын сүүлчийн цэгээс харахад агшилтын зураглалд суурилсан аливаа аргын нийлэх хурд нь шугаманаас багагүй байна.
Параметрийн утгыг тайлбарлая α (\displaystyle \alpha)нэг хувьсагчийн хувьд. Лагранжийн теоремын дагуу бид дараах байдалтай байна.
φ (x) ∈ C 1 [ a , b ] .< x 2 ∃ ξ ∈ (x 1 , x 2) : φ ′ (ξ) (x 2 − x 1) = φ (x 2) − φ (x 1) {\displaystyle \varphi (x)\in C^{1}.\quad \forall x_{1},x_{2}\in (a,\;b),\quad x_{1}∀ x 1 , x 2 ∈ (a , b) , x 1 Үүнийг дагадагα ≈ | φ ′ (ξ) |
(\displaystyle \alpha \ойролцоогоор |\varphi "(\xi)|)[ | ]
. Тиймээс, аргыг нэгтгэхийн тулд энэ нь хангалттай юм ∀ x ∈ [ a , b ] |эсвэл φ ′ (x) |≤ 1. (\displaystyle \forall x\in \quad |\varphi "(x)|\leq 1.)
Дараалсан ойролцоо тооцооллын ерөнхий алгоритм[ | ]
Операторын тэгшитгэлийн ерөнхий тохиолдолд энэ аргыг нэрлэнэ
дараалсан ойртуулах арга
энгийн давталтын аргаар
. Гэсэн хэдий ч тэгшитгэлийг өөр өөр аргаар ижил үндэстэй агшилтын зураг болгон хувиргаж болно. Энэ нь шугаман болон илүү өндөр нийлэх хувьтай хэд хэдэн тодорхой аргуудыг бий болгодог.
SLAU-тай холбоотой Системийг авч үзье:< 1 {\displaystyle \left\|{\begin{array}{ccc}a_{11}+1&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}+1\end{array}}\right\|<1}
( a 11 x 1 + … + a 1 n x n = b 1 … a n 1 x 1 + … + a n n x n = b n (\displaystyle \left\((\begin(array)(ccc)a_(11)x_(1)+) \ldots +a_(1n)x_(n)&=&b_(1)\\\ldots &&\\a_(n1)x_(1)+\ldots +a_(nn)x_(n)&=&b_(n) \төгсгөл(массив))\баруун.)
Үүний тулд давталтын тооцоо дараах байдалтай байна.
(x 1 x 2 ⋮ x n) i + 1 = (a 11 + 1 a 12 … a 1 n a 21 a 22 + 1 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n + 1 x 1) (x) ⋮ x n) i − (b 1 b 2 ⋮ b n) (\displaystyle \left((\begin(array)(c)x_(1)\\x_(2)\\\vdots \\x_(n)\end) (массив))\баруун)^(i+1)=\зүүн((\эхлэх(массив)(cccc)a_(11)+1&a_(12)&\ldots &a_(1n)\\a_(21)&a_( 22)+1&\ldots &a_(2n)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_(n1)&a_(n2)&\ldots &a_(nn)+1\end(массив))\баруун )\left((\begin(массив)(c)x_(1)\\x_(2)\\\vdots \\x_(n)\end(массив))\баруун)^(i)-\left( (\begin(массив)(c)b_(1)\\b_(2)\\\vdots \\b_(n)\end(массив))\баруун))[ | ]
Хэрэв арга нь шугаман хурдтай нийлнэ[ | ]
‖ a 11 + 1 … a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 … a n n + 1 ‖ Давхар босоо баар нь матрицын зарим нормыг заана. f(x)=0 тэгшитгэлийг Ньютоны аргаар шийдэх, анхны ойролцоололт: x 1 =a. Ньютоны арга (шүргэх арга)Нэг хэмжээст хэрэг
Анхны тэгшитгэлийн хувиргалтыг оновчтой болгох f (x) = 0 (\displaystyle f(x)=0)шахалтын дэлгэц рүү оруулна x = φ (x) (\displaystyle x=\varphi (x))нийлэх квадрат хурдтай аргыг олж авах боломжийг бидэнд олгодог. φ (x) = x + α (x) f (x) (\displaystyle \varphi (x)=x+\alpha (x)f(x)), Дараа нь:
φ ′ (x ∗) = 1 + α ′ (x ∗) f (x ∗) + α (x ∗) f ′ (x ∗) = 0 (\displaystyle \varphi "(x^(*))=1+ \alpha "(x^(*))f(x^(*))+\альфа (x^(*))f"(x^(*))=0)Үүнийг ашиглая Давхар босоо баар нь матрицын зарим нормыг заана., мөн бид эцсийн томъёог авдаг α (x) (\displaystyle \alpha (x)):
α (x) = − 1 f ′ (x) (\displaystyle \alpha (x)=-(\frac (1)(f"(x))))Үүнийг харгалзан шахалтын функц нь дараах хэлбэртэй болно.
φ (x) = x − f (x) f ′ (x) (\displaystyle \varphi (x)=x-(\frac (f(x))(f"(x))))Дараа нь тэгшитгэлийн тоон шийдлийг олох алгоритм Давхар босоо баар нь матрицын зарим нормыг заана.давталттай тооцооны процедур болгон бууруулна:
x i + 1 = x i − f (x i) f ′ (x i) (\displaystyle x_(i+1)=x_(i)-(\frac (f(x_(i))))(f"(x_(i)) )))1. f(x) = 0 тэгшитгэлийн нэг язгуурыг агуулсан хэрчмийг мэдэгдэж байг. f функц нь энэ сегмент дээрх тасралтгүй дифференциалагдах функц (f(x)ОC 1 ). Эдгээр нөхцөл хангагдсан тохиолдолд энгийн давталтын аргыг ашиглаж болно.
2. f(x) функцийг ашиглан j(x) гэсэн гурван нөхцөлийг хангасан функцийг байгуулав: энэ нь тасралтгүй дифференциалагдах (j(x)ОC 1 ) байх ёстой, тэгснээр x тэгшитгэл үүснэ. = j(x) нь f(x)=0 тэгшитгэлтэй тэнцүү; бас байх ёстой сегментийг орчуулах өөртөө.
j функц гэж бид хэлэх болно ( x ) сегментийг орчуулдаг [а , б ] өөртөө, хэрэв хэн нэгний хувьд x Î [ а , б ], y = j ( x ) мөн харьяалагддаг[ а , б ] ( y Î [ а , б ]).
Гурав дахь нөхцөл нь j(x) функцэд тавигдсан:
Аргын томъёо: x n +1 = j(xn).
3. Хэрэв эдгээр гурван нөхцөл хангагдсан бол аливаа анхны ойролцоолсон х 0 О давталтын дараалал x n +1 = j(x n) тэгшитгэлийн язгуурт нийлдэг: x = j(x) () сегмент дээр.
Дүрмээр бол x 0 байна төгсгөлүүдийн аль нэгийг сонгосон.
,
Энд e нь заасан нарийвчлал
x n +1 тоо давтагдах үйл явцыг зогсоох нөхцөл хангагдсан үед энэ нь тэгшитгэлийн язгуурын ойролцоо утгасегмент дээр f(x) = 0, энгийн давталтын аргаар нарийвчлалтайгаар олсонд .
Тэгшитгэлийн язгуурыг тодруулах алгоритмыг байгуулна: x 3 + 5x – 1 = 0 сегмент дээр энгийн давталтын аргыг нарийвчлалтайгаар e. .
1. f(x) = функц x 3 +5x-1 тэгшитгэлийн нэг үндэс агуулсан интервал дээр тасралтгүй дифференциал болно.
2. Энгийн давталтын аргын хамгийн том бэрхшээл бол бүх нөхцөлийг хангасан j(x) функцийг бүтээх явдал юм.
Үүнд: 
.
Тэгшитгэл x = j 1 (x) f(x) = 0 тэгшитгэлтэй тэнцүү боловч j 1 (x) функц интервал дээр тасралтгүй дифференциалагдах боломжгүй.
Цагаан будаа. 2.4. j 2 функцийн график (x)
Нөгөөтэйгүүр, тиймээс . Эндээс: тасралтгүй дифференциалагдах функц юм. Тэгшитгэл: x = j 2 (x) нь f(x) = 0 тэгшитгэлтэй тэнцүү гэдгийг анхаарна уу. . Графикаас (Зураг 2.4) j 2 (x) функц нь хэрчмийг өөртөө хувиргах нь тодорхой байна.
j(x) функц нь сегментийг өөртөө авах нөхцөлийг дараах байдлаар дахин томъёолж болно: j(x) функцийн тодорхойлолтын муж, j(x) функцийн өөрчлөлтийн муж гэж үзье.
Хэрэв сегмент нь сегментэд хамаарах бол j(x) функц нь сегментийг өөртөө авдаг.
, 
.
j(x) функцийн бүх нөхцөл хангагдсан.
Давтагдах процессын томъёо: x n +1 = j 2(xn).
3. Анхны ойролцоо тооцоолол: x 0 = 0.
4. Давтагдах үйл явцыг зогсоох нөхцөл:
Цагаан будаа. 2.5. Энгийн давталтын аргын геометрийн утга
.
Хэрэв энэ нөхцөл хангагдсан бол x n +1 - сегмент дээрх язгуурын ойролцоо утга, нарийвчлалтай энгийн давталтаар олно д. Зураг дээр. 2.5. Энгийн давталтын аргын хэрэглээг зурагт үзүүлэв.
Конвергенцийн теорем ба алдааны тооцоо
Сегментийг зөвшөөр тэгшитгэлийн нэг язгуурыг агуулна x = j(x), функц j(x ) интервал дээр тасралтгүй дифференциал болно , сегментийг орчуулдаг өөртөө орж, нөхцөл хангагдсан байна:
.
Дараа нь ямар ч анхны ойролцоо тооцоолол x 0 О дэд дараалал тэгшитгэлийн язгуурт нийлдэг y = j(x ) сегмент дээр мөн алдааны тооцоо нь шударга байна:
.
Энгийн давталтын аргын тогтвортой байдал. Нэгдэх теоремын нөхцөл хангагдсан тохиолдолд энгийн давталтын аргын алгоритм тогтвортой байна.
Энгийн давталтын аргын нарийн төвөгтэй байдал. Энгийн давталтын аргыг хэрэгжүүлэхэд шаардагдах компьютерийн санах ойн хэмжээ бага байна. Алхам бүрт та x n-ийг хадгалах хэрэгтэй , x n +1 , q Тэгээд д.
Энгийн давталтын аргыг хэрэгжүүлэхэд шаардагдах арифметик үйлдлийн тоог тооцоолъё. n 0 = n 0 (e) тоонуудын тооцооллыг бүх n ³ n 0 хувьд тэгш бус байдал хангана гэж бичье. 
Энэ тооцооноос үзэхэд q нь нэгд ойртох тусам арга нь удаан нийлдэг.
Сэтгэгдэл. Нэгдэх теоремын бүх нөхцөл хангагдахаар f(x)-аас j(x)-ийг байгуулах ерөнхий дүрэм байхгүй. Дараах аргыг ихэвчлэн ашигладаг: j(x) = x + k× f(x) функцийг j функцээр сонгоно, энд k – тогтмол.
Энгийн давталтын аргыг програмчлахдаа давтагдах үйл явцыг зогсоох нь ихэвчлэн хоёр нөхцлийг нэгэн зэрэг биелүүлэхийг шаарддаг.
Мөн .
Бидний авч үзэх бусад бүх давталтын аргууд нь энгийн давталтын аргын онцгой тохиолдлууд юм. Жишээлбэл, хэзээ 
Ньютоны арга нь энгийн давталтын аргын онцгой тохиолдол юм.
