Урок из серии «Геометрические алгоритмы»

Здравствуйте, дорогой читатель!

Сегодня мы начнем изучать алгоритмы, связанные с геометрией. Дело в том, что олимпиадных задач по информатике, связанных с вычислительной геометрией, достаточно много и решение таких задач часто вызывают затруднения.

За несколько уроков мы рассмотрим ряд элементарных подзадач, на которые опирается решение большинства задач вычислительной геометрии.

На этом уроке мы составим программу для нахождения уравнения прямой , проходящей через заданные две точки . Для решения геометрических задач нам понадобятся некоторые знания из вычислительной геометрии. Часть урока мы посвятим знакомству с ними.

Сведения из вычислительной геометрии

Вычислительная геометрия – это раздел информатики, изучающий алгоритмы решения геометрических задач.

Исходными данными для таких задач могут быть множество точек на плоскости, набор отрезков, многоугольник (заданный например, списком своих вершин в порядке движения по часовой стрелке) и т.п.

Результатом может быть либо ответ на какой то вопрос (типа принадлежит ли точка отрезку, пересекаются ли два отрезка, …), либо какой-то геометрический объект (например, наименьший выпуклый многоугольник, соединяющий заданные точки, площадь многоугольника, и т.п.).

Мы будем рассматривать задачи вычислительной геометрии только на плоскости и только в декартовой системе координат.

Векторы и координаты

Чтобы применять методы вычислительной геометрии, необходимо геометрические образы перевести на язык чисел. Будем считать, что на плоскости задана декартова система координат, в которой направление поворота против часовой стрелки называется положительным.

Теперь геометрические объекты получают аналитическое выражение. Так, чтобы задать точку, достаточно указать её координаты: пару чисел (x; y). Отрезок можно задать, указав координаты его концов, прямую можно задать, указав координаты пары ее точек.

Но основным инструментом при решении задач у нас будут векторы. Напомню поэтому некоторые сведения о них.

Отрезок АВ , у которого точку А считают началом (точкой приложения), а точку В – концом, называют вектором АВ и обозначают либо , либо жирной строчной буквой, например а .

Для обозначения длины вектора (то есть длины соответствующего отрезка) будем пользоваться символом модуля (например, ).

Произвольный вектор будет иметь координаты, равные разности соответствующих координат его конца и начала:

,

здесь точки A и B имеют координаты соответственно.

Для вычислений мы будем использовать понятие ориентированного угла , то есть угла, учитывающего взаимное расположение векторов.

Ориентированный угол между векторами a и b положительный, если поворот от вектора a к вектору b совершается в положительном направлении (против часовой стрелки) и отрицательный – в другом случае. См рис.1а, рис.1б. Говорят также, что пара векторов a и b положительно (отрицательно) ориентирована.

Таким образом, величина ориентированного угла зависит от порядка перечисления векторов и может принимать значения в интервале .

Многие задачи вычислительной геометрии используют понятие векторного (косого или псевдоскалярного) произведений векторов.

Векторным произведением векторов a и b будем называть произведение длин этих векторов на синус угла между ними:

.

Векторное произведение векторов в координатах:

Выражение справа – определитель второго порядка:

В отличии от определения, которое дается в аналитической геометрии, это скаляр.

Знак векторного произведения определяет положение векторов друг относительно друга:

a и b положительно ориентирована.

Если величина , то пара векторов a и b отрицательно ориентирована.

Векторное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они коллинеарны (). Это значит, что они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Рассмотрим несколько простейших задач, необходимых при решении более сложных.

Определим уравнение прямой по координатам двух точек.

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки, заданные своими координатами.

Пусть на прямой заданы две не совпадающие точки: с координатами (x1;y1) и с координатами (x2; y2). Соответственно вектор с началом в точке и концом в точке имеет координаты (x2-x1, y2-y1). Если P(x, y) – произвольная точка на нашей прямой, то координаты вектора равны (x-x1, y – y1).

С помощью векторного произведения условие коллинеарности векторов и можно записать так:

Т.е. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Последнее уравнение перепишем следующим образом:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Итак, прямую можно задать уравнением вида (1).

Задача 1. Заданы координаты двух точек. Найти её представление в виде ax + by + c = 0.

На этом уроке мы познакомились с некоторыми сведениями из вычислительной геометрии. Решили задачу по нахождению уравнения линии по координатам двух точек.

На следующем уроке составим программу для нахождения точки пересечения двух линий, заданных своими уравнениями.

Общее уравнение прямой:

Частные случаи общего уравнения прямой:

а) Если C = 0, уравнение (2) будет иметь вид

Ax + By = 0,

и прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат, так как координаты начала координат x = 0, y = 0 удовлетворяют этому уравнению.

б) Если в общем уравнении прямой (2) B = 0, то уравнение примет вид

Ax + С = 0, или .

Уравнение не содержит переменной y , а определяемая этим уравнением прямая параллельна оси Oy .

в) Если в общем уравнении прямой (2) A = 0, то это уравнение примет вид

By + С = 0, или ;

уравнение не содержит переменной x , а определяемая им прямая параллельна оси Ox .

Следует запомнить: если прямая параллельна какой-нибудь координатной оси, то в ее уравнении отсутствует член, содержащий координату, одноименную с этой осью.

г) При C = 0 и A = 0 уравнение (2) принимает вид By = 0, или y = 0.

Это уравнение оси Ox .

д) При C = 0 и B = 0 уравнение (2) запишется в виде Ax = 0 или x = 0.

Это уравнение оси Oy .

Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми на плоскости. Условие параллельности прямых. Условие перпендикулярности прямых.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Вектора S 1 и S 2 называются направляющими для своих прямых.

Угол между прямыми l 1 и l 2 определяется углом между направляющими векторами.
Теорема 1: cos угла между l 1 и l 2 = cos(l 1 ; l 2) =

Теорема 2: Для того, чтобы 2 прямые были равны необходимо и достаточно:

Теорема 3: чтобы 2 прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Общее уравнение плоскости и его частные случаи. Уравнение плоскости в отрезках.

Общее уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0

Частные случаи:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – плоскость проходит через начало координат

2. С=0 Ax+By+D = 0 – плоскость || OZ

3. В=0 Ax+Cz+d = 0 – плоскость || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – плоскость || OX

5. A=0 и D=0 By+Cz = 0 – плоскость проходит через OX

6. В=0 и D=0 Ax+Cz = 0 – плоскость проходит через OY

7. C=0 и D=0 Ax+By = 0 – плоскость проходит через OZ

Взаимное расположение плоскостей и прямых линий в пространстве:

1. Углом между прямыми в пространстве называется угол между их направляющими векторами.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. Углом между плоскостями определяется через угол между их нормальными векторами.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. Косинус угла между прямой и плоскостью можно найти через sin угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.

4. 2 прямые || в пространстве, когда их || направляющие вектора

5. 2 плоскости || когда || нормальные вектора

6. Аналогично вводятся понятия перпендикулярности прямых и плоскостей.

Вопрос №14

Различные виды уравнения прямой линии на плоскости(уравнение прямой в отрезках, с угловым коэффициентом и др.)

Уравнение прямой в отрезках:
Допустим, что в общем уравнении прямой:

1. С = 0 Ах + Ву = 0 – прямая проходит через начало координат.

2. а = 0 Ву + С = 0 у =

3. в = 0 Ах + С = 0 х =

4. в=С=0 Ах = 0 х = 0

5. а=С=0 Ву = 0 у = 0

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Любая прямая, не равная оси ОУ (В не=0), может быть записана в след. виде:

k = tgα α – угол между прямой и положительно направленной линией ОХ

b – точка пересечения прямой с осью ОУ

Док-во:

Ах+Ву+С = 0

Ву= -Ах-С |:В

Уравнение прямой по двум точкам:

Вопрос №16

Конечный предел функции в точке и при x→∞

Конечный предел в точке х 0:

Число А называется пределом функции y = f(x) при x→х­ 0­ , если для любого Е > 0 существует б > 0 такое, что при х ≠x 0 , удовлетворяющее неравенству |х – х 0 | < б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Предел обозначается: = A

Конечный предел в точке +∞:

Число А называется пределом функции y = f(x) при x→ + ∞ , если для любого Е > 0 существует С > 0, такое что при x > C выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Предел обозначается: = A

Конечный предел в точке -∞:

Число А называется пределом функции y = f(x) при x→-∞, если для любого Е < 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Определение точки пересечения двух прямых

1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A (x 1 , y 1) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k ,

y - y 1 = k (x - x 1). (1)

Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку A (x 1 , y 1), которая называется центром пучка.

2. Уравнение прямой, проходящей через две точки: A (x 1 , y 1) и B (x 2 , y 2), записывается так:

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле

3. Углом между прямыми A и B называется угол, на который надо повернуть первую прямую A вокруг точки пересечения этих прямых против движения часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой B . Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом

y = k 1 x + B 1 ,

Пусть прямая проходит через точки М 1 (х 1 ; у 1) и М 2 (х 2 ; у 2). Уравнение прямой, проходящей через точку М 1 , имеет вид у- у 1 = k (х - х 1), (10.6)

где k - пока неизвестный коэффициент.

Так как прямая проходит через точку М 2 (х 2 у 2), то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (10.6): у 2 -у 1 = k (х 2 -х 1).

Отсюда находим Подставляя найденное значениеk в уравнение (10.6), получим уравнение прямой, проходящей через точки М 1 и М 2:

Предполагается, что в этом уравнении х 1 ≠ х 2 , у 1 ≠ у 2

Если х 1 = х 2 , то прямая, проходящая через точки М 1 (х 1 ,у I) и М 2 (х 2 ,у 2) параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид х = х 1 .

Если у 2 = у I , то уравнение прямой может быть записано в виде у = у 1 , прямая М 1 М 2 параллельна оси абсцисс.

Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая пересекает ось Ох в точке М 1 (а;0), а ось Оу – в точке М 2 (0;b). Уравнение примет вид:
т.е.
. Это уравнение называетсяуравнением прямой в отрезках, т.к. числа а и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку Мо (х О; у о) перпендикулярно данному ненулевому вектор n = (А; В).

Возьмем на прямой произвольную точку М(х; у) и рассмотрим вектор М 0 М (х - х 0 ; у - у о) (см. рис.1). Поскольку векторы n и М о М перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: то есть

А(х - хо) + В(у - уо) = 0. (10.8)

Уравнение (10.8) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору .

Вектор n= (А; В), перпендикулярный прямой, называется нормальным нормальным вектором этой прямой .

Уравнение (10.8) можно переписать в виде Ах + Ву + С =0 , (10.9)

где А и В координаты нормального вектора, С = -Ах о - Ву о - свободный член. Уравнение (10.9) есть общее уравнение прямой (см. рис.2).

Рис.1 Рис.2

Канонические уравнения прямой

,

Где
- координаты точки, через которую проходит прямая, а
- направляющий вектор.

Кривые второго порядка Окружность

Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноотстоящих от данной точки, которая называется центром.

Каноническое уравнение круга радиуса R с центром в точке
:

В частности, если центр кола совпадает с началом координат, то уравнение будет иметь вид:

Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек и, которые называются фокусами, есть величина постоянная
, большая чем расстояние между фокусами
.

Каноническое уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Ох, а начало координат посредине между фокусами имеет вид
где a длина большой полуоси; b– длина малой полуоси (рис. 2).

Уравнение прямой на плоскости.
Направляющий вектор прямой. Вектор нормали

Прямая линия на плоскости – это одна из простейших геометрических фигур, знакомая вам ещё с младших классов, и сегодня мы узнаем, как с ней справляться методами аналитической геометрии. Для освоения материала необходимо уметь строить прямую; знать, каким уравнением задаётся прямая, в частности, прямая, проходящая через начало координат и прямые, параллельные координатным осям. Данную информацию можно найти в методичке Графики и свойства элементарных функций , я её создавал для матана, но раздел про линейную функцию получился очень удачным и подробным. Поэтому, уважаемые чайники, сначала разогрейтесь там. Кроме того, нужно обладать базовыми знаниями о векторах , иначе понимание материала будет неполным.

На данном уроке мы рассмотрим способы, с помощью которых можно составить уравнение прямой на плоскости. Рекомендую не пренебрегать практическими примерами (даже если кажется очень просто), так как я буду снабжать их элементарными и важными фактами, техническими приёмами, которые потребуются в дальнейшем, в том числе и в других разделах высшей математики.

• Как составить уравнение прямой с угловым коэффициентом?
• Как ?
• Как найти направляющий вектор по общему уравнению прямой?
• Как составить уравнение прямой по точке и вектору нормали?

и мы начинаем:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Всем известный «школьный» вид уравнения прямой называется уравнением прямой с угловым коэффициентом . Например, если прямая задана уравнением , то её угловой коэффициент: . Рассмотрим геометрический смысл данного коэффициента и то, как его значение влияет на расположение прямой:

В курсе геометрии доказывается, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла между положительным направлением оси и данной прямой : , причём угол «откручивается» против часовой стрелки.

Чтобы не загромождать чертёж, я нарисовал углы только для двух прямых. Рассмотрим «красную» прямую и её угловой коэффициент . Согласно вышесказанному: (угол «альфа» обозначен зелёной дугой). Для «синей» прямой с угловым коэффициентом справедливо равенство (угол «бета» обозначен коричневой дугой). А если известен тангенс угла, то при необходимости легко найти и сам угол с помощью обратной функции – арктангенса. Как говорится, тригонометрическая таблица или микрокалькулятор в руки. Таким образом, угловой коэффициент характеризует степень наклона прямой к оси абсцисс .

При этом возможны следующие случаи:

1) Если угловой коэффициент отрицателен: , то линия, грубо говоря, идёт сверху вниз. Примеры – «синяя» и «малиновая» прямые на чертеже.

2) Если угловой коэффициент положителен: , то линия идёт снизу вверх. Примеры – «чёрная» и «красная» прямые на чертеже.

3) Если угловой коэффициент равен нулю: , то уравнение принимает вид , и соответствующая прямая параллельна оси . Пример – «жёлтая» прямая.

4) Для семейства прямых , параллельных оси (на чертеже нет примера, кроме самой оси ), углового коэффициента не существует (тангенс 90 градусов не определён) .

Чем больше угловой коэффициент по модулю, тем круче идёт график прямой .

Например, рассмотрим две прямые . Здесь , поэтому прямая имеет более крутой наклон. Напоминаю, что модуль позволяет не учитывать знак, нас интересуют только абсолютные значения угловых коэффициентов.

В свою очередь, прямая более крутА, чем прямые .

Обратно: чем меньше угловой коэффициент по модулю, тем прямая является более пологой .

Для прямых справедливо неравенство , таким образом, прямая более полога. Детская горка, чтобы не насадить себе синяков и шишек.

Зачем это нужно?

Продлить ваши мучения Знания вышеперечисленных фактов позволяет немедленно увидеть свои ошибки, в частности, ошибки при построении графиков – если на чертеже получилось «явно что-то не то». Желательно, чтобы вам сразу было понятно, что, например, прямая весьма крутА и идёт снизу вверх, а прямая – очень полога, близко прижата к оси и идёт сверху вниз.

В геометрических задачах часто фигурируют несколько прямых, поэтому их удобно как-нибудь обозначать.

Обозначения : прямые обозначаются маленькими латинскими буквами: . Популярный вариант – обозначение одной и той же буквой с натуральными подстрочными индексами. Например, те пять прямых, которые мы только что рассмотрели, можно обозначить через .

Поскольку любая прямая однозначно определяется двумя точками, то её можно обозначать данными точками: и т.д. Обозначение совершенно очевидно подразумевает, что точки принадлежат прямой .

Пора немного размяться:

Как составить уравнение прямой с угловым коэффициентом?

Если известна точка , принадлежащая некоторой прямой, и угловой коэффициент этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой :

Пример 1

Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом , если известно, что точка принадлежит данной прямой.

Решение : Уравнение прямой составим по формуле . В данном случае:

Ответ :

Проверка выполняется элементарно. Во-первых, смотрим на полученное уравнение и убеждаемся, что наш угловой коэффициент на своём месте. Во-вторых, координаты точки должны удовлетворять данному уравнению. Подставим их в уравнение:

Получено верное равенство, значит, точка удовлетворяет полученному уравнению.

Вывод : уравнение найдено правильно.

Более хитрый пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Составить уравнение прямой, если известно, что её угол наклона к положительному направлению оси составляет , и точка принадлежит данной прямой.

Если возникли затруднения, перечитайте теоретический материал. Точнее больше практический, многие доказательства я пропускаю.

Прозвенел последний звонок, отгремел выпускной бал, и за воротами родной школы нас поджидает, собственно, аналитическая геометрия. Шутки закончились…. А может быть только начинаются =)

Ностальгически машем ручкой привычному и знакомимся с общим уравнением прямой. Поскольку в аналитической геометрии в ходу именно оно:

Общее уравнение прямой имеет вид : , где – некоторые числа. При этом коэффициенты одновременно не равны нулю, так как уравнение теряет смысл.

Оденем в костюм и галстук уравнение с угловым коэффициентом . Сначала перенесём все слагаемые в левую часть:

Слагаемое с «иксом» нужно поставить на первое место:

В принципе, уравнение уже имеет вид , но по правилам математического этикета коэффициент первого слагаемого (в данном случае ) должен быть положительным. Меняем знаки:

Запомните эту техническую особенность! Первый коэффициент (чаще всего ) делаем положительным!

В аналитической геометрии уравнение прямой почти всегда будет задано в общей форме. Ну, а при необходимости его легко привести к «школьному» виду с угловым коэффициентом (за исключением прямых, параллельных оси ординат).

Зададимся вопросом, что достаточно знать, чтобы построить прямую? Две точки. Но об этом детском случае позже, сейчас властвуют палочки со стрелочками. У каждой прямой есть вполне определённый наклон, к которому легко «приспособить» вектор .

Вектор, который параллелен прямой, называется направляющим вектором данной прямой . Очевидно, что у любой прямой бесконечно много направляющих векторов, причём все они будут коллинеарны (сонаправлены или нет – не важно).

Направляющий вектор я буду обозначать следующим образом: .

Но одного вектора недостаточно для построения прямой, вектор является свободным и не привязан к какой-либо точке плоскости. Поэтому дополнительно необходимо знать некоторую точку , которая принадлежит прямой.

Как составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору?

Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой, то уравнение данной прямой можно составить по формуле :

Иногда его называют каноническим уравнением прямой .

Что делать, когда одна из координат равна нулю, мы разберёмся в практических примерах ниже. Кстати, заметьте – сразу обе координаты не могут равняться нулю, так как нулевой вектор не задаёт конкретного направления.

Пример 3

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Решение : Уравнение прямой составим по формуле . В данном случае:

С помощью свойств пропорции избавляемся от дробей:

И приводим уравнение к общему виду:

Ответ :

Чертежа в таких примерах, как правило, делать не нужно, но понимания ради:

На чертеже мы видим исходную точку , исходный направляющий вектор (его можно отложить от любой точки плоскости) и построенную прямую . Кстати, во многих случаях построение прямой удобнее всего осуществлять как раз с помощью уравнения с угловым коэффициентом. Наше уравнение легко преобразовать к виду и без проблем подобрать ещё одну точку для построения прямой.

Как отмечалось в начале параграфа, у прямой бесконечно много направляющих векторов, и все они коллинеарны. Для примера я нарисовал три таких вектора: . Какой бы направляющий вектор мы не выбрали, в результате всегда получится одно и то же уравнение прямой .

Составим уравнение прямой по точке и направляющему вектору :

Разруливаем пропорцию:

Делим обе части на –2 и получаем знакомое уравнение:

Желающие могут аналогичным образом протестировать векторы или любой другой коллинеарный вектор.

Теперь решим обратную задачу:

Как найти направляющий вектор по общему уравнению прямой?

Очень просто:

Если прямая задана общим уравнением в прямоугольной системе координат, то вектор является направляющим вектором данной прямой.

Примеры нахождения направляющих векторов прямых:

Утверждение позволяет найти лишь один направляющий вектор из бесчисленного множества, но нам больше и не нужно. Хотя в ряде случаев координаты направляющих векторов целесообразно сократить:

Так, уравнение задаёт прямую, которая параллельна оси и координаты полученного направляющего вектора удобно разделить на –2, получая в точности базисный вектор в качестве направляющего вектора. Логично.

Аналогично, уравнение задаёт прямую, параллельную оси , и, разделив координаты вектора на 5, получаем в качестве направляющего вектора орт .

Теперь выполним проверку Примера 3 . Пример уехал вверх, поэтому напоминаю, что в нём мы составили уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Во-первых , по уравнению прямой восстанавливаем её направляющий вектор: – всё нормально, получили исходный вектор (в ряде случаев может получиться коллинеарный исходному вектор, и это обычно несложно заметить по пропорциональности соответствующих координат).

Во-вторых , координаты точки должны удовлетворять уравнению . Подставляем их в уравнение:

Получено верное равенство, чему мы очень рады.

Вывод : задание выполнено правильно.

Пример 4

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Это пример для самостоятельного решения. Решение и ответ в конце урока. Крайне желательно сделать проверку по только что рассмотренному алгоритму. Старайтесь всегда (если это возможно) выполнять проверку на черновике. Глупо допускать ошибки там, где их 100%-но можно избежать.

В том случае, если одна из координат направляющего вектора нулевая, поступают очень просто:

Пример 5

Решение : Формула не годится, так как знаменатель правой части равен нулю. Выход есть! Используя свойства пропорции, перепишем формулу в виде , и дальнейшее покатилось по глубокой колее:

Ответ :

Проверка :

1) Восстановим направляющий вектор прямой :
– полученный вектор коллинеарен исходному направляющему вектору.

2) Подставим координаты точки в уравнение :

Получено верное равенство

Вывод : задание выполнено правильно

Возникает вопрос, зачем маяться с формулой , если существует универсальная версия , которая сработает в любом случае? Причин две. Во-первых, формула в виде дроби гораздо лучше запоминается . А во-вторых, недостаток универсальной формулы состоит в том, что заметно повышается риск запутаться при подстановке координат.

Пример 6

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору .

Это пример для самостоятельного решения.

Вернёмся к вездесущим двум точкам:

Как составить уравнение прямой по двум точкам?

Если известны две точки , то уравнение прямой, проходящей через данные точки, можно составить по формуле:

На самом деле это разновидность формулы и вот почему: если известны две точки , то вектор будет направляющим вектором данной прямой. На уроке Векторы для чайников мы рассматривали простейшую задачу – как найти координаты вектора по двум точкам. Согласно данной задаче, координаты направляющего вектора:

Примечание : точки можно «поменять ролями» и использовать формулу . Такое решение будет равноценным.

Пример 7

Составить уравнение прямой по двум точкам .

Решение : Используем формулу:

Причёсываем знаменатели:

И перетасовываем колоду:

Именно сейчас удобно избавиться от дробных чисел. В данном случае нужно умножить обе части на 6:

Раскрываем скобки и доводим уравнение до ума:

Ответ :

Проверка очевидна – координаты исходных точек должны удовлетворять полученному уравнению:

1) Подставим координаты точки :

Верное равенство.

2) Подставим координаты точки :

Верное равенство.

Вывод : уравнение прямой составлено правильно.

Если хотя бы одна из точек не удовлетворяет уравнению, ищите ошибку.

Стоит отметить, что графическая проверка в данном случае затруднительна, поскольку построить прямую и посмотреть, принадлежат ли ей точки , не так-то просто.

Отмечу ещё пару технических моментов решения. Возможно, в данной задаче выгоднее воспользоваться зеркальной формулой и, по тем же точкам составить уравнение:

Таки дробей поменьше. Если хотите, можете довести решение до конца, в результате должно получиться то же самое уравнение.

Второй момент состоит в том, чтобы посмотреть на итоговый ответ и прикинуть, нельзя ли его ещё упростить? Например, если получилось уравнение , то здесь целесообразно сократить на двойку: – уравнение будет задавать ту же самую прямую. Впрочем, это уже тема разговора о взаимном расположении прямых .

Получив ответ в Примере 7, я на всякий случай, проверил, не делятся ли ВСЕ коэффициенты уравнения на 2, 3 или 7. Хотя, чаще всего подобные сокращения осуществляются ещё по ходу решения.

Пример 8

Составить уравнение прямой, проходящей через точки .

Это пример для самостоятельного решения, который как раз позволит лучше понять и отработать технику вычислений.

Аналогично предыдущему параграфу: если в формуле один из знаменателей (координата направляющего вектора) обращается в ноль, то переписываем её в виде . И снова заметьте, как неуклюже и запутанно она стала выглядеть. Не вижу особого смысла приводить практические примеры, поскольку такую задачу мы уже фактически прорешали (см. № 5, 6).

Вектор нормали прямой (нормальный вектор)

Что такое нормаль? Простыми словами, нормаль – это перпендикуляр. То есть, вектор нормали прямой перпендикулярен данной прямой. Очевидно, что у любой прямой их бесконечно много (так же, как и направляющих векторов), причём все векторы нормали прямой будут коллинеарными (сонаправленными или нет – без разницы).

Разборки с ними будут даже проще, чем с направляющими векторами:

Если прямая задана общим уравнением в прямоугольной системе координат, то вектор является вектором нормали данной прямой.

Если координаты направляющего вектора приходится аккуратно «вытаскивать» из уравнения, то координаты вектора нормали достаточно просто «снять».

Вектор нормали всегда ортогонален направляющему вектору прямой. Убедимся в ортогональности данных векторов с помощью скалярного произведения :

Приведу примеры с теми же уравнениями, что и для направляющего вектора:

Можно ли составить уравнение прямой, зная одну точку и вектор нормали? Нутром чувствуется, можно. Если известен вектор нормали, то однозначно определено и направление самой прямой – это «жёсткая конструкция» с углом в 90 градусов.

Как составить уравнение прямой по точке и вектору нормали?

Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и вектор нормали этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой :

Тут всё обошлось без дробей и прочих нежданчиков. Такой вот у нас нормальный вектор. Любите его. И уважайте =)

Пример 9

Составить уравнение прямой по точке и вектору нормали . Найти направляющий вектор прямой.

Решение : Используем формулу:

Общее уравнение прямой получено, выполним проверку:

1) «Снимаем» координаты вектора нормали с уравнения : – да, действительно, получен исходный вектор из условия (либо должен получиться коллинеарный исходному вектор).

2) Проверим, удовлетворяет ли точка уравнению :

Верное равенство.

После того, как мы убедились в том, что уравнение составлено правильно, выполним вторую, более лёгкую часть задания. Вытаскиваем направляющий вектор прямой:

Ответ :

На чертеже ситуация выглядит следующим образом:

В целях тренировки аналогичная задача для самостоятельного решения:

Пример 10

Составить уравнение прямой по точке и нормальному вектору . Найти направляющий вектор прямой.

Заключительный раздел урока будет посвящен менее распространённым, но тоже важным видам уравнений прямой на плоскости

Уравнение прямой в отрезках.
Уравнение прямой в параметрической форме

Уравнение прямой в отрезках имеет вид , где – ненулевые константы. Некоторые типы уравнений нельзя представить в таком виде, например, прямую пропорциональность (так как свободный член равен нулю и единицу в правой части никак не получить).

Это, образно говоря, «технический» тип уравнения. Обыденная задача состоит в том, чтобы общее уравнение прямой представить в виде уравнения прямой в отрезках . Чем оно удобно? Уравнение прямой в отрезках позволяет быстронайти точки пересечения прямой с координатными осями, что бывает очень важным в некоторых задачах высшей математики.

Найдём точку пересечения прямой с осью . Обнуляем «игрек», и уравнение принимает вид . Нужная точка получается автоматически: .

Аналогично с осью – точка, в которой прямая пересекает ось ординат.