Нестандартные способы решения неравенств. Курсовая работа: Нестандартные методы решения уравнений и неравенств

Михайлов Александр, Петухова Анастасия, Жагурина Ксения, Котов Александр

Данная работа - исследовательский реферат, который учащиеся представляли на научной практической конференции, а также материалы этой работы представляли на уроке - семинаре в 11-м классе по теме " Решение логарифмических и показательных уравнений нестандартными методами". Данную рароту можно использовать учителям как методическое пособие на факультативных занятиях, при подготовке к ЕГЭ заданий С1, С3 и для работы в профильных классах. Преимущество этой работы в том, что здесь выведены и подробно описаны алгоритмы решений уравнений и неравенств, что не наблюдается в обычных источниках.

Скачать:

Предварительный просмотр:

План.

Введение.

1. Метод ограниченности функций:

1.1. Решение уравнений

1.2.Решение неравенств

2. Метод неотрицательности функций:

2.1.Решение уравнений

2.2.Решение неравенств

3. Метод использования области допустимых значений:

3.1.Решение уравнений

3.2.Решение неравенств

4. Метод использования свойств синуса и косинуса:

4.1.Решение уравнений

4.2.Решение неравенств

5. Метод использования числовых неравенств:

5.1.Решение уравнений

5.2. решение неравенств

6. Метод использования производной:

6.1.Решение уравнений

6.2. решение неравенств

7. Решение неравенств методом замены функций.

8. Заключение.

9. Литература.

Введение.

« Уж лучше совсем не помышлять об отыскании каких бы то ни было истин, чем делать это без всякого метода…»

Рене Декарт.

В математике, как известно, выше всего ценится не просто верное решение, но и наиболее короткое из возможных, как говорят сами математики, более рациональное.

Как найти такое решение? Что для этого необходимо знать? Чем владеть? Что это даёт ученику? Или это только удел одарённых учеников? На эти вопросы мы попробуем найти ответы. Учимся мы в физико – математическом классе и увлечены математикой.

Хотим иметь прочные и высокие знания по данному предмету, которые понадобятся нам при дальнейшем обучении в вузах. Почему мы выбрали именно эту тему?

Данная тема актуальна, она соответствует нашему профилю, потому что её изучение помогает расширить и углубить знания по теме: «Методы решения уравнений и неравенств». Эта работа поможет нам успешно сдать ЕГЭ и приобрести опыт выполнения научной работы.

1. Метод ограниченности функций.

1.1. Решение уравнений.

Данный метод основан на применении следующей теоремы:

Теорема: Если на промежутке Х наибольшее значение одной из функции y=f(x), y=g(x) равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений:

Графическое представление.

E(f(x))E(g(x))= A

Пример 1. Решите уравнение: .

Решение:

1. Рассмотрим функции g() = и f()=
2. E(g()) =, т.к.
3. E(f()) =, т.к, то.
4. g()=1 для функции g() = и f()=1 для функции f()= , значит можно воспользоваться теоремой о ограниченности функции.

5. Составляем систему уравнений и решаем её:

Достаточно решить одно, более простое уравнение, и сделать проверку корней в другом уравнение.

Lg(-2)=0,

Проверка: если, то, -1 = -1, верно, значит является решением исходного уравнения.

Ответ: 3.

Пример 2 . Решите уравнение:

Решение:

Преобразуем данное уравнение:

Рассмотрим функции и

1. Е, т.к,
2. Е, т.к
3. Составляем систему уравнений и решаем её:

Ответ: .

1.2. Решение неравенств.

Пусть множество есть общая часть (пересечение) областей существования функций и и пусть для любого справедливы неравенства и где - некоторое число. Тогда неравенство

равносильно системе уравнений

Пример 1.

Обе части неравенства определены для всех действительных чисел. Для любого, поэтому Следовательно, неравенство равносильно системе

которая, в свою очередь, равносильна системе

Единственное решение второго уравнения системы есть Это число удовлетворяет первому уравнению системы. Следовательно, система и неравенство имеют одно решение

Ответ: -1.

Пример 2.

Обе части неравенства определены на множестве Для любого имеем

Поэтому неравенство равносильно системе уравнений

Первое уравнение системы имеет единственное решение, которое удовлетворяет второму уравнению системы. Следовательно, система и неравенство имеют одно решение.

Ответ: 3.

1. Метод неотрицательности функций.

2.1. Решение уравнений.

Данный метод основан на следующей теореме:

Теорема:

Пусть левая часть уравнения F(х)=0 (1), есть сумма нескольких функций F(x)=f(x)+f(x)+…+f(x) каждая из которых неотрицательна для любого х из области её существования.

Тогда уравнение (1) равносильно системе уравнений:

Пример 1.

Решите уравнение:

Так как и 0, то данное уравнение равносильно системе из двух уравнений:

Проверка:
если х=3, то 0 = 0, верно. Так как х = 3 является решением системы равносильной исходному уравнению, то оно является корнем первоначального уравнения.

Ответ: 3.

Пример 2.

Решите уравнение:

преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты двух выражений

(х+22)+(2-1)=0.

Так как данные функции f(x)=(x+22) и g(x)=(2-1) неотрицательны, то данное уравнение равносильно системе двух уравнений:

Проверка: если x = 0, то 2 = 0, неверно.

Так как уравнение имеет единственное решение

x = 0, которое не является решением второго уравнения, то система не имеет решений, следовательно первоначальное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2.2. Решение неравенств .

Данный метод для решения неравенств основан на следующей теореме:

Пусть левая часть неравенства есть сумма нескольких неотрицательных функций, каждая из которых неотрицательна для любого из области определения ее существования, тогда данное неравенство равносильно системе уравнений

Пример 1.

Так как для любого справедливы неравенства

И, то

данное неравенство равносильно системе уравнений

Второе уравнение системы имеет два решения: и. Из этих чисел только удовлетворяет первому уравнению системы. Следовательно, система и неравенство имеют единственное решение

Ответ: 2.

Пример 2.

Каждая функция и неотрицательна для любого из области ее существования. Поэтому неравенство равносильно системе уравнений

Первое уравнение системы имеет два решения: и. Из этих чисел только 4 удовлетворяет второму уравнению системы. Следовательно, система и неравенство имеет одно решение.

Ответ: 4.

1. Метод использования области допустимых значений.

3.1. Решение уравнений.

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения подстановкой чисел из ОДЗ.

Пример 1 . Решите уравнение:

Решение:

ОДЗ этого уравнения состоит из всех, одновременно удовлетворяющих условиям и, т.е ОДЗ есть пустое множество, значит ни одно из чисел не может являться решением, т.е.это означает, что уравнение корней не имеет.

Ответ: нет корней.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример2 . Решите уравнение:

Решение:

ОДЗ этого уравнения состоит из чисел, удовлетворяющих условиям т.е. ОДЗ есть Сделаем проверку, подставив эти значения в уравнение, получим верное равенство.

Ответ:

3.2. Решение неравенств.

Суть этого метода в следующем: если при рассмотрении неравенства выясняется, что обе его части определены на множестве М , состоящем из одного или нескольких чисел, то нет необходимости проводить какие-либо преобразования неравенства, достаточно проверить, является или нет каждое из этих чисел решением данного неравенства.

Рассмотрим этот метод на следующих неравенства х :

Пример 1 .

1.Найдем область допустимых значений неравенства и объединим их в систему:

2.Решим эту систему:

3. Решением этой системы являются два числа: и.

4.Сделав проверку в первоначальное неравенство, x = 1 не удовлетворяет ему. Следовательно, решением неравенства является x = 5.

Ответ: 5.

Пример 2 .

1. Найдем область допустимых значений неравенства и объединим их в систему:

2.Эта система не имеет решений, а значит и данное неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.

1. Метод использования свойств синуса и косинуса.

4.1. Решение уравнений.

Решение некоторых тригонометрических уравнении может быть сведено к решению систем уравнений. Примерами таких уравнений могут быть следующие:

где, А и В – данные отличные от нуля числа, m и n – данные натуральные числа. При этом используются следующие свойства: если для некоторого числа справедливо строгое неравенство или, то такое число не может быть корнем ни одного из уравнений данного вида.

Пример 1. Решите уравнение : (1)

Решение:

1. Если число - решение уравнения (1), то sin=1 или sin=-1.
2. Если, то из уравнения (1) следует, что, а это невозможно.
3. Если sin=1, то cos4=1.
4. Eсли sin=-1, то cos4= - 1.
5. Следовательно, любое решение уравнения (1) является решением совокупности двух систем уравнений

(2)

(3)

1. Первое уравнение системы (2) имеет решения.

Все они удовлетворяют второму уравнению системы (2), т.е. являются её решением.

1. Первое уравнение системы (3) имеет решения. Ни одно из этих чисел не удовлетворяет второму уравнению системы (3). Поэтому система (3) не имеет решений.
2. Значит, все решения уравнения (1) совпадают со всеми решениями системы (2).

Ответ:

4.2. Решение неравенств.

Аналогичные рассуждения могут применяться и при решении неравенств.

Рассмотрим следующий пример:

Пример 1.

Решение.

1.Допустим -решение данного неравенства, тогда так как в противном случае было бы справедливо неравенство что невозможно. Следовательно, решением неравенства является решение системы:

2. Решая первое уравнение, получается Это решение удовлетворяет второму уравнению. Значит, это решение является решением неравенства.

Ответ:

1. Метод использования числовых неравенств.

5.1. Решение уравнений.

Применяя то или иное числовое неравенство к одной из его частей уравнения, его можно заменить равносильной ему системой уравнений. Примером такого неравенства является неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, где a и b – неотрицательные числа, причём равенство здесь возможно лишь при a=b.

Можно использовать следствие из этих неравенств, например, при, причём тогда и только тогда, когда, или при, причём

Тогда и только тогда, когда

Пример 1. Решите уравнение:

Решение.

1. ОДЗ=R.
2. Преобразуем левую часть:

причём она равна четырём, если x=0.

3. Правая часть при х=0 также равна четырём, а для всех меньше четырёх

4. Следовательно, х=0 , единственное решение

Ответ: х = 0.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение.

1. Введём новые переменные: , где a>0 и b>0.
2. Перепишем левую часть уравнения и докажем, что
3. Применим неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:

И,откуда

Т.е.

4. ОДЗ :

5. Так как, а

то данное уравнение равносильно системе из двух уравнений

6. Из второго уравнения системы находим его решения и. Подставим эти значения в первое уравнение системы, получим верное равенств, следовательно, они являются его решением. Значит, и являются решением исходного уравнения.

Ответ: и.

5.2. Решение неравенств.

Пример.

1. Преобразуем левую часть неравенства, получаем:

Применяя формулу этого метода, получаем, что для любого x справедливо неравенство:

Так же для любого x справедливо неравенство:

Равенство здесь справедливо, когда x=0.

2.Следовательно, неравенство имеет одно решение x=0.

3. Из последних двух неравенств следует, что исходное неравенство справедливо лишь тогда, когда обе части исходного неравенства равны 4, а это возможно лишь при х = 0.

Ответ: 0.

1. Метод использования производной.

6.1. Решение уравнений.

Использование монотонности функции .

Пример 1. Решите уравнение:

Решение:

1. Рассмотрим функцию
2. Эта производная принимает только положительные значения на всей области определения, значит функция возрастает. Следовательно, она принимает каждое своё значение только в одной точке. Это означает, что данное уравнение имеет не более одного корня.
3. Подбором находим, что.

Ответ:

Использование наибольшего и наименьшего значений функции

Пример 2. Решите уравнение: .

Решение:

1. ОДЗ уравнения есть интервал.
2. Рассмотрим функцию на отрезке

1. Так как функция непрерывна на своей области определения, то её наибольшее и наименьшее значения находятся среди чисел,
2. Наибольшее значение есть, следовательно уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 3.

Применение теоремы Лангранжа.

Теорема: Если функция непрерывна на отрезке и имеет производную на интервале, то найдется такая точка с интервала, что.

Пример 3. Решите уравнение:

Решение.

1. Подбором находим, что и. Докажем, что других корней уравнение не имеет.
2. Предположим, что уравнение имеет три корня
3. Рассмотрим функцию. Она непрерывна на всей числовой прямой.
4. Найдем её производную: . Данная функция тоже непрерывна на всей числовой прямой.
5. По теореме Лагранжа имеем

1. Значит, существует хотя бы две точки и, в которых производная функции f(x) равна нулю.
2. Уравнение имеет только один корень.
3. Значит, заданное уравнение имеет два корня: -2 и 1.

Ответ: -2, 1.

1. 6.2. Решение неравенств.

Пример1. Решить неравенство

Решение.

1. Рассмотрим функцию

D(f ) = ().

2. D() = (). на области определения, значит функция f(x) возрастает на своей области определения и принимает каждое своё значение ровно в одной точке.

3. Тогда уравнение f(x) = 0 может иметь не более одного корня и таким корнем является х = 0.

4. Определим знаки функции: так как функция f(x) определена и непрерывна на всей числовой прямой, то для x f(x) а для x >0 имеем f(x)>0.

5. Значит, решением исходного неравенства являются все х из промежутка (0;).

Ответ: (0;).

1. Решение неравенств методом замены функций.

Данный метод основан на следующем утверждении:

Если область определения, нули и промежутки знакопостоянства функции соответственно совпадают с областью определения, нулями и промежутками знакопостоянства функции, то неравенства

равносильны.

Это утверждение означает то, что если одна из функций или имеет более простой вид, то при решении этих неравенств ее можно заменить на другую. Рассмотрим основные примеры таких пар функций.

Функции

Пример 1. Решите неравенство

Приведем числитель дроби к основанию 2, а знаменатель к основанию 5.

Последнее неравенство решается методом интервалов, его решением является объединение промежутков

Ответ:

Функции

И .

Области определения функций и совпадают. Кроме того,

Следовательно, для функций и условия утверждения выполнены.

Пример 1.

Последнее неравенство решаем методом интервалов.

Ответ:

Пример 2.

Данное неравенство равносильно неравенству

Множество - решение последнего неравенства.

Ответ: .

Функции

Где при четном.

При нечетном утверждение справедливо. Кроме того, при четном области определения функций совпадают, и

Следовательно, при четном для функций и также выполнены условия утверждения.

Пример 1.

Так как и, то

Ответ:

Пример 2.

Так как и, то

Решив последнюю систему методом интервалов, получаем

Ответ:

Функции

При и

Области определения функций и совпадают. Кроме того, при:

Следовательно, для функций и при выполнены условия первоначального утверждения.

Пример 1.

Ответ:

Пример 2.

Это неравенство равносильно следующему:

Ответ:

Изложенные методы решения эффективны при решении неравенств, левая часть которых представляет собой произведение или частное двух функций указанных выше видов, а правая часть равна нулю.

Для того, чтобы успешно решать такие уравнения и неравенства, предлагаем придерживаться общего алгоритма:

1. Визуально проанализировать уравнение(неравенство)

(определить тип, не спешить раскрывать знак модуля, скобки, возводить в степень)

1. Преобразовать, если необходимо
2. Определить способ решения и учитывать его особенности при выполнении
3. В процессе преобразований необходимо постоянно следить за областью допустимых значений и равносильностью преобразований
4. Уравнение – проверка!

Заключение.

Работа над данной темой была интересной и познавательной. Изучив новые методы решения уравнений и неравенств, мы обогатили свой опыт:

1. Новыми научными понятиями
2. Научились работать со справочной литературой
3. Узнали методы, которые выходят за рамки школьной программы
4. Углубили и расширили свои знания

Самыми трудными оказались методы: применение производной: использование теоремы Лагранжа(ещё требует дополнительного изучения), использование свойств синуса и косинуса, использование числовых неравенств.

Также мы приобрели навыки пользователя компьютера:

1. Форматирование и редактирование текста
2. Работа с редактором формул в Microsoft Word
3. Работа с мастером функций в Microsoft Excel

Данные методы позволяют рационально решать сложные уравнения и неравенства, а порой являются и единственными способами. Для того, чтобы овладеть этими методами, необходимо иметь прочные навыки по стандартным методам, преобразованиям, знать много теоретического материала и дополнительно решать.

Литература.

1. Никольский С.М. « Алгебра и начала анализа. 11 класс», Москва, « Просвещение» - 2004.
2. С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко « Уравнения и неравенства», Москва, «Экзамен» - 1998.
3. Журнал « Математика для школьников», № 4 – 2005.
4. С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко «Уравнения и неравенства. Нестандартные методы», Москва, « Дрофа» - 2002.
5. Школьная энциклопедия « Математика», Москва, « Дрофа» - 1997.
6. Мордкович А.Г. « Алгебра и начала анализаю 10-11 класс. Учебник и задачник», Москва, « Мнемозина» - 2002.
7. Медиаресурсы: «Вся математика», « Повторяем весь школьный курс», « Алгебра 7 – 11».

Теория уравнений в школьном курсе алгебры занимает ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Это связано с тем, что большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений.

В учебнике алгебры для 8 класса мы знакомимся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатываем их решение по формулам. Существуют ли другие методы решения квадратных уравнений? Насколько сложны данные методы и можно ли ими пользоваться на практике?

Этим вопросам посвящена исследовательская работа «Нестандартные способы решения квадратных уравнений».

Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе и в 9 классе при сдаче экзаменов.

Цель исследовательской работы: выявить способы решения квадратных уравнений, узнать можно ли решить любое квадратное уравнение данными способами и выделить особенности и недостатки этих способов.

Задачи исследовательской работы: проанализировать источники литературы для выявления способов решения квадратных уравнений, показать различные способы решения квадратных уравнений; выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений; научиться решать квадратные уравнения различными способами.

Методы исследования: анализ литературы, социологический опрос, наблюдение, сравнение и обобщение результатов.

Просмотр содержимого презентации
«Нестандартные способы решения квадратных уравнений»

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Богучарская средняя общеобразовательная школа №1»

Научно-исследовательская работа по теме: «Нестандартные способы решения квадратных уравнений»

Прядкова Екатерина Сергеевна

Руководитель: Алабина Галина Юрьевна

Выявить способы решения квадратных уравнений

Узнать можно ли решить любое квадратное уравнение данными способами и выделить особенности и недостатки этих способов

• Анализировать источники литературы для выявления способов решения квадратных уравнений
• Показать различные способы решения квадратных уравнений
• Выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений
• Научиться решать квадратные уравнения различными способами

Способы решения квадратных уравнений

Разложение левой части на множители

По формуле

Основные

С использованием теоремы Виета (прямой и обратной)

Графический способ

По свойствам коэффициентов

Способом «переброски»

Дополнительные

С помощью циркуля и линейки

С помощью номограммы

Геометрический способ

Свойства коэффициентов

Свойства:

Способ «переброски»

Умножив обе части уравнения на а, получим

Пусть

, откуда

Тогда получим уравнение с новой переменной

Его корни у 1 и у 2 . Окончательно

С помощью циркуля и линейки

Радиус окружности больше ординаты центра

, окружность пересекает ось Ох в двух точках, где корни исходного уравнения.

Радиус окружности равен ординате центра

, окружность пересекает ось Ох в одной точке где корень исходного уравнения.

Радиус окружности меньше ординаты центра

, окружность не имеет общих точек с осью Ох. В этом случае исходное уравнение не имеет корней.

С помощью номограммы

х 2 -9х+8=0

Х 1 =8; х 2 =1

Геометрический способ

Рассмотрим, как древние греки решали уравнение

Решение представлено на рисунке, где

или

Выражения

и 16 + 9

геометрически представляют собой один и тот же квадрат со стороной 5.

Поэтому

Обработка данных

Метод выделения

полного квадрата

Разложение левой части

уравнения на множители

Ответ: -4,5; 1.

Обработка данных

С использованием

формул Виета

По формуле

имеет два разных

по знаку корня

больший по модулю

корень отрицательный

Ответ: -4,5; 1.

Обработка данных

По свойству коэффициентов

Способом «переброски»

Перебросим коэффициент а = 2 к свободному члену и получим уравнение:

Так как

из которого по формулам Виета

Корнями исходного уравнения будут

Ответ: -4,5; 1.

Обработка данных

Графический метод

С помощью циркуля и линейки

Запишем уравнение в виде

Определим координаты центра окружности по формулам:

Построим в одной системе координат графики функций

Проведем окружность радиуса SA, где А (0;1).

Ответ: -4,5; 1.

Обработка данных

Геометрический способ

С помощью номограммы

Представим уравнение в виде:

Представим уравнение в виде:

Площадь полученного квадрата:

Так как

Номограмма дает положительный корень

Таким образом, получили уравнение:

отрицательный корень

Ответ: -4,5; 1.

Положительные стороны и недостатки

Положительные стороны

Разложение левой части уравнения на множители

Недостатки

Дает возможность сразу увидеть корни уравнения.

Метод выделения полного квадрата

Нужно правильно расчленить слагаемые для

группировки.

По формуле

За минимальное количество действий можно найти корни уравнений

Нужно правильно найти все слагаемые для выделения полного квадрата.

Можно применить ко всем квадратным уравнениям.

С использованием формул Виета

Нужно выучить формулы.

Достаточно легкий способ, дает возможность сразу увидеть корни уравнения.

Легко находятся только целые корни.

Название способа решения квадратных уравнений

Положительные стороны

Недостатки

Способом «переброски»

За минимальное количество действий можно найти корни уравнения, применяется совместно со способом теоремы Виета.

По свойствам коэффициентов

Графический способ

Легко найти только целые корни.

Не требует особых усилий

Наглядный способ

Подходит только к некоторым уравнениям

С помощью циркуля и линейки

Могут быть неточности при составлении графиков

Наглядный способ

С помощью номограммы

Наглядный способ, прост в применении.

Могут быть неточности

Геометрический способ

Наглядный способ.

Не всегда под рукой имеется номограмма.

Похож на способ выделения полного квадрата

Для того, чтобы хорошо решать любое квадратные уравнения необходимо

знать:

 формулу нахождения дискриминанта;

 формулу нахождения корней квадратного уравнения;

 алгоритмы решения уравнений данного вида.

уметь:

 решать неполные квадратные уравнения;

 решать полные квадратные уравнения;

 решать приведенные квадратные уравнения;

 находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их;

 делать проверку.

Тема: «Нестандартные методы решения уравнений»

Цель: рассмотреть некоторые методы решения уравнений, позволяющие учащимся подготовиться к решению задач выпускных экзаменов.

Ход урока.

1. Изучение теоретического материала.

МЕТОД ПОДБОРА КОРНЕЙ .

Уравнения вида https://pandia.ru/text/78/386/images/image002_13.png" width="47" height="29 src=">.png" width="143" height="29 src=">рациональным уравнением n-ой степени.

1) Если целое число N является корнем.png" width="22" height="29 src=">.png" width="22" height="29 src=">.png" width="10" height="40 src=">.png" width="52" height="29 src=">.png" width="23" height="29 src=">.png" width="260" height="30 src=">.

Решение. В рассматриваемом случае https://pandia.ru/text/78/386/images/image015_5.png" width="252" height="29 src=">

Таким образом, несократимая дробь https://pandia.ru/text/78/386/images/image017_5.png" width="69" height="40 src=">; https://pandia.ru/text/78/386/images/image019_4.png" height="40 src="> является рациональным решением исходного уравнения.

Пример 2. Найти целые корни многочлена f (x )= https://pandia.ru/text/78/386/images/image021_1.png" width="143" height="29 src="> Подставляя полученные числа в исход ный многочлен можно убедиться, что числа1, 2,-2 являются корнями многочлена.

5) Многочлен является непрерывной функцией, поэтому если на концах https://pandia.ru/text/78/386/images/image023_1.png" width="51" height="29 src="> существует хотя бы один корень этого многочлена.

Пример 3. Найти хотя бы один целый корень многочлена f (x )= https://pandia.ru/text/78/386/images/image025_2.png" width="336" height="29 src="> Следовательно, хотя бы один корень лежит в интервале https://pandia.ru/text/78/386/images/image027_0.png" width="358" height="241 src=">

Таким образом, исходный многочлен можно записать в виде: 2https://pandia.ru/text/78/386/images/image029_1.png" width="214" height="29 src=">

Решение. Старший коэффициент равен 1, а свободный член имеет делители 1,2,8,16, следовательно, это уравнение имеет рациональный корень, то этот корень непременно целый и находится среди чисел если https://pandia.ru/text/78/386/images/image031_0.png" width="16" height="29 src=">16..png" width="324" height="243 src=">

Следовательно, https://pandia.ru/text/78/386/images/image035_1.png" width="569" height="64 src=">

Задачи для самостоятельного решения.

1..png" width="265" height="29 src=">

3..png" width="89" height="29 src=">+10х+24=0;

5..png" width="109" height="29 src=">.png" width="83" height="29 src=">.png" width="72" height="29 src=">.png" width="22" height="29 src=">.png" width="212" height="29 src=">.png" width="154" height="29 src=">.png" width="288" height="29 src=">+-https://pandia.ru/text/78/386/images/image055_1.png" width="624" height="58">

Данный многочлен должен быть тождественно равным исходному многочлену, что возможно при равенстве коэффициентов при соответствующих степенях.

2https://pandia.ru/text/78/386/images/image057_1.png" width="302" height="29 src=">.png" width="570" height="130 src=">=1.

Таким образом, исходный многочлен можно записать в виде:

2https://pandia.ru/text/78/386/images/image061_1.png" width="159" height="29 src=">

Пример1..png" width="286" height="25 src=">.png" width="146" height="25 src=">.png" width="149" height="103 src=">.png" width="82" height="29 src=">.png" width="165" height="50 src=">.png" width="61" height="29 src=">.

Нестандартные способы решения квадратных уравнений

учащаяся 9 а класса

Руководитель работы:

Фирсова Дарья Евгеньевна

учитель математики

Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт.

У.У. Сойер (английский математик XX века)

Цель работы

Изучить все существующие способы решения квадратного уравнения. Научиться использовать эти способы.

Задачи

• Понять, что называется квадратным уравнением.
• Узнать какие виды квадратных уравнений существуют.
• Найти информацию о способах решения квадратного уравнения и изучить её .

Актуальность темы: Изучением квадратных уравнений люди занимались еще с древних веков. Мне захотелось узнать историю развития квадратных уравнений.

В школьных учебниках дана не полная информация о квадратных уравнениях и способах их решения.

Объект: Квадратные уравнения.

Предмет: Способы решения данных уравнений.

Методы исследования: аналитический.

Гипотеза – если я при исследовании данной темы смогу реализовать постановленные мною цель и задачи, то соответственно выйду и на реализацию предпрофильной подготовки в области математического образования.

Методы исследования:

• Работа с учебной и научно-популярной литературой.
• Наблюдение, сравнение, анализ.
• Решение задач.

Ожидаемые результаты: В ходе изучения данной работы, я реально смогу оценить свой интеллектуальный потенциал и соответственно в будущем определиться с профилем обучения, создать проектный продукт по исследуемой теме в форме компьютерной презентации, изучение данного вопроса позволит мне компенсировать недостаточность в знаниях по обозначенной теме.

Считаю свою работу перспективной, так как в дальнейшем этим материалом могут воспользоваться и ученики, для повышения математической грамотности, и учителя на факультативных занятиях

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ёщё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера , а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводя только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Как составлял и решал Диофант

квадратные уравнения

УРАВНЕНИЕ:

«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, т.к. если бы они равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10+X , другое же меньше, т.е. 10-X .

Разность между ними 2 Х

Отсюда Х=2 . Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение Х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются и в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта, изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax ² +bx=c, a0

Одна из задач знаменитого индийского математика XІІ века Бхаскары

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам…

Стали прыгать повисая…

Сколько было обезьянок

Ты скажи мне, в этой стае?.

Соответствующее задачи уравнение:

Баскара пишет под видом:

Дополнил левую часть до квадрата,

Квадратные уравнения в Древней Азии

х 2 +10 х = 39

Вот как решал это уравнение среднеазиатский ученый ал-Хорезми:

Он писал: "Правило таково:

раздвои число корней, х=2х ·5

получите в этой задаче пять, 5

умножь на это равное ему, будет двадцать пять, 5·5=25

прибавь это к тридцати девяти, 25+39

будет шестьдесят четыре, 64

извлеки из этого корень, будет восемь, 8

и вычти из этого половину числа корней, т.е.пять, 8-5

останется 3

это будет корень квадрата, который ты искал."

А второй корень? Второй корень не находили, так как отрицательные числа не были известны.

Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2+вх+с=0 , было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. Штифелем.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. итальянским математиком

Леонардом Фибоначчи.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Лишь в 17 в. благодаря трудам Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид

О теореме Виета

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. Следующим образом: «Если B+D, умноженное на А-А, равно BD, то А равно В и равно D».

Чтобы понять Виета, следует помнить, что А, как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х), гласные же B,D- кэффициенты при неизвестном.

На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает :

Если приведенное квадратное уравнение x 2 +px+q=0 имеет действительные корни, то их сумма равна -p , а произведение равно q , то есть x 1 + x 2 = -p , x 1 x 2 = q

(сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

• Разложение левой части уравнения на множители
• Теорема Виета
• Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения
• Решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента
• Метод выделения полного квадрата
• Графический способ решения квадратных уравнений
• Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки
• Решение квадратных уравнений с помощью номограммы
• Геометрический способ решения квадратных уравнений

Метод разложения на множители

привести квадратное уравнение общего вида к виду:

А(х)·В(х)=0,

где А(х) и В(х) – многочлены относительно х.

Цель:

Способы:

• Вынесение общего множителя за скобки;
• Использование формул сокращенного умножения;
• Способ группировки.

Пример:

: х 2 + 10х – 24 = 0

Разложим левую часть уравнения на множители:

х 2 + 10х – 24 = х 2 + 12х – 2х – 24 = х(х + 12) – 2(х + 12) = = (х + 12)(х – 2);

(х + 12)(х – 2) = 0;

х + 12 = 0 или х – 2 = 0;

х 1 = -12 х 2 = 2 ;

Числа – 12 и 2 являются корнями данного уравнения.

Ответ: х 1 = -12 ; х 2 = 2.

Решение уравнений с помощью теоремы Виета

x 1 и х 2 – корни уравнения

Например :

Х 2 + 3Х – 10 = 0

Х 1 ·Х 2 = – 10, значит корни имеют разные

знаки

Х 1 + Х 2 = – 3, значит больший по модулю

корень - отрицательный

Подбором находим корни: Х 1 = – 5, Х 2 = 2

Свойства коэффициентов квадратного уравнения

Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0

Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов

уравнения равна нулю), то х 1 = 1 , х 2 = c/а

Если а - b + с = 0 , или b = а + с , то х 1 = – 1 , х 2 = – с/а .

Пример :

137х 2 + 20х – 157 = 0.

a = 137, b = 20, c = -157.

a + b+ c = 137 + 20 – 157 =0.

x 1 = 1,

Ответ: 1;

Решение уравнений способом «переброски»

Корни квадратных уравнений ax 2 + bx + c = 0 и y 2 + by + ac = 0 связаны соотношением : х = y/а .

Рассмотрим квадратное уравнение ax ² + bx + c = 0 , где a ≠ 0. Умножая обе его части на а , получаем уравнение а²х² + аbх + ас = 0. Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению у² + bу + ас = 0 , равносильного данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х 1 = y 1 /a и х 2 = y 2 /a .

Решите уравнение: 2х 2 - 11х +15 = 0.

Перебросим коэффициент 2 к свободному члену

у 2 - 11у +30= 0. D0, по теореме, обратной теореме Виета, получаем корни: 5;6, далее возвращаемся к корням исходного уравнения: 2,5; 3.

Метод выделения полного квадрата

х 2 + 6х – 7 = 0

Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде:

х 2 + 6х = х 2 + 2· х ·3

В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х , а второе – удвоенное произведение х на 3 , поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как

х 2 + 2· х ·3 + 3 2 = (х + 3) 2

Преобразуем теперь левую часть уравнения х 2 + 6х – 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 3 2 , имеем:

х 2 + 6х – 7 = х 2 + 2· х ·3 + 3 2 – 3 2 – 7 =

= (х + 3) 2 – 9 – 7 = (х + 3) 2 – 16

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3) 2 –16 = 0 , т.е. (х + 3) 2 = 16 .

Следовательно, х + 3 - 4 = 0 или х + 3 + 4 = 0

х 1 = 1 х 2 = -7

Ответ: -7; 1.

Графический способ решения квадратного уравнения

Не используя формул квадратное уравнение можно решить графическим

способом. Решим уравнение

Для этого построим два графика:

Абсциссы точек пересечения графиков и будет корнями уравнения.

Если графики пересекаются в двух точках, то уравнение имеет два корня.

Если графики пересекаются в одной точке, то уравнение имеет один корень.

Если графики не пересекаются, то уравнение корней не имеет.

Ответ:

Решение квадратных уравнений с помощью

циркуля и линейки

1. Выберем систему координат.

2. Построим точки S (-b/ 2 а; а+с/ 2 а) – центр окружности и А( 0; 1 ) .

3. Проведем окружность с радиусом SA .

Абсциссы точек пересечения окружности с осью Ох являются корнями данного квадратного уравнения.

x 1

x 2

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 «Четырехзначные математические таблицы» Брадис В.М.

Для уравнения

номограмма дает корни

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения

Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Геометрический способ решения квадратных уравнений

Пример, ставший знаменитым, из «Алгебры» ал - Хорезми: х 2 + 10х = 39 . В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».

S = x 2 + 10 x + 25 (х 2 + 10 х = 39 )

S = 39 + 25 = 64 , откуда следует,

что сторона квадрата АВСD ,

т.е. отрезок АВ = 8 .

х = 8 - 2,5 - 2,5 = 3

На основании опроса установлено, что:

• Наиболее сложными оказались следующие способы:

Разложение левой части уравнения на множители,

Метод выделения полного квадрата.

• Рациональные методы решения:

Решение квадратных уравнений по формуле;

Решение уравнений с использованием теоремы Виета

• Практического применения не имеет

Геометрический способ решения квадратных уравнений.

• Никогда раньше не слышали о способах:

Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения;

С помощью номограммы;

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки;

Способ «переброски» (этот способ вызвал интерес у учеников).

Заключение

• данные приёмы решения заслуживают внимания, поскольку они не все отражены в школьных учебниках математики;

• овладение данными приёмами поможет учащимся экономить время и эффективно решать уравнения;

• потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы вступительных экзаменов;

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Математическое образование, получаемое в школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека - это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям.

Актуальность темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе в 9 классе, а также 10 и 11 и при сдаче экзаменов.

Цель: Изучить стандартные и нестандартные способы решения квадратных уравнений

Задачи

1. Изложить наиболее известные способы решения уравнений
2. Изложить нестандартные способы решения уравнений
3. Сделать вывод

Объект исследования: квадратные уравнения

Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений

Методы исследования:

• Теоретические: изучение литературы по теме исследования;
• Анализ: информации полученной при изучении литературы; результатов полученных при решении квадратных уравнений различными способами.
• Сравнение способов на рациональность их использования при решении квадратных уравнений.

Глава 1.Квадратные уравнения и стандартные способы решения

1.1.Определение квадратного уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где х - переменная, а, b и с - некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Числа а, b и с - коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число b - вторым коэффициентом и число c - свободным членом.

Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых т.е. коэффициенты в и с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или, с равен нулю.

Определение 3. Корнем квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах 2 + b х + с обращается в нуль.

Определение 4 . Решить квадратное уравнение — значит найти все его

корни или установить, что корней нет.

Пример: - 7x + 3 =0

В каждом из уравнений вида a + bx + c = 0, где а ≠ 0, наибольшая степень переменной x - квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х 2 равен 1, называют приведенным квадратным уравнением .

Пример

х 2 - 11х+ 30=0, х 2 -8х= 0.

1.2.Стандартные способы решения квадратных уравнений

Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена

Решение квадратного уравнения, в котором оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля. Такой способ решения квадратного уравнения называют выделением квадрата двучлена.

Разложение левой части уравнения на множители .

Решим уравнение х 2 + 10х - 24 = 0 . Разложим левую часть на множители:

х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:(х + 12)(х - 2) = 0

Произведение множителей равно нулю, если по крайней мере, один из его множителей равен нулю.

Ответ: -12; 2.

Решение квадратного уравнения по формуле.

Дискриминант квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 выражение b 2 - 4ас = D - по знаку которого судят о наличии у этого уравнения действительных корней.

Возможные случаи в зависимости от значения D:

1. Если D >0, то уравнение имеет два корня.
2. Если D= 0, то уравнение имеет один корень: х =
3. Если D < 0, то уравнение не имеет корней.

Решение уравнений с помощью теоремы Виета.

Теорема: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Приведенное квадратное уравнение имеет вид:

х 2 + bx + c = 0.

Обозначим второй коэффициент буквой р, а свободный член буквой q:

х 2 + px + q = 0, тогда

x 1 + x 2 = - p; x 1 · x 2 = q

Глава 2.Нестандартные способы решения квадратных уравнений

2.1.Решение с помощью свойств коэффициентов квадратного уравнения

Свойства коэффициентов квадратного уравнения - это такой способ решения квадратных уравнений, который поможет быстро и устно найти корни уравнения:

ax 2 + bx + c = 0

1. Если а+ b+c= 0, то x 1 = 1, x 2 =

Пример. Рассмотрим уравнение х 2 +3х - 4= 0.

a + b + c = 0, то x 1 = 1, x 2 =

1+3+(-4) = 0, тогда x 1 = 1, x 2 = = - 4

Проверим полученные корни с помощью нахождения дискриминанта:

D= b 2 - 4ас= 3 2 - 4·1·(-4) = 9+16= 25

x 1 = = = = = - 4

Следовательно, если + b +c= 0, то x 1 = 1, x 2 =

1. Если b = a + c , то x 1 = -1, x 2 =

х 2 + 4х +1 = 0, a=3, b=4, c=1

Если b= a + c , то x 1 = -1, x 2 = , то 4 = 3 + 1

Корни уравнения: x 1 = -1, x 2 =

Значит корнями этого уравнения являются -1 и. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

D= b 2 - 4ас= 4 2 - 4·3·1 = 16 - 12 = 4

x 1 = = = = = - 1

Следовательно, b= a + c , то x 1 = -1, x 2 =

2.2.Способ «переброски»

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски» . Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а ±b+c ≠0, то используется прием переброски:

3х 2 +4х+ 1=0; 3+4+1 ≠ 0

Применяя способ «переброски» получаем:

х 2 + 4х+3 = 0

Таким образом, с помощью теоремы Виета получаем корни уравнения:

x 1 = - 3, x 2 = -1.

Однако корни уравнения необходимо поделить на 3 (то число, которое «перебрасывали»):

Значит, получаем корни: x 1 = -1, x 2 = .

Ответ: ; - 1

2.3.Решение с помощью закономерности коэффициентов

1. Если уравнение ax 2 + bx + c = 0, коэффициент b = (a 2 +1), и коэффициент c = a , то его корни равны x 1 = - a , x 2 =

ax 2 + (а 2 + 1)∙ х + а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 3х 2 +10х +3 = 0.

Таким образом, корни уравнения: x 1 = -3, x 2 =

D= b 2 - 4ас= 10 2 - 4·3·3 = 100 - 36 = 64

x 1 = = = = = - 3

x 2 = = = = = ; Следовательно, x 1 = - a , x 2 =

1. Если уравнение ax 2 - bx + c = 0, коэффициент b = (a 2 +1), и коэффициент c = a , то его корни равны x 1 = a , x 2 =

Таким образом, решаемое уравнение должно иметь вид

ax 2 - (а 2 + 1)∙ х+ а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 3х 2 - 10х +3 = 0.

, x 2 =

Проверим данное решение с помощью дискриминанта:

D= b 2 - 4ас= 10 2 - 4·3·3 = 100 - 36 = 64

a , x 2 =

1. Если уравнение ax 2 + bx - c = 0, коэффициент b = (a 2 -1), и коэффициент c = a , то его корни равны x 1 = -a , x 2 =

Таким образом, решаемое уравнение должно иметь вид

ax 2 + (а 2 - 1)∙ х - а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 3х 2 + 8х - 3 = 0..

Таким образом, корни уравнения: x 1 = - 3, x 2 =

Проверим данное решение с помощью дискриминанта:

D= b 2 - 4ас= 8 2 + 4·3·3 = 64 + 36 = 100

x 1 = = = = = - 3

x 2 = = = = = ;Следовательно, x 1 = - a , x 2 =

1. Если уравнение ax 2 - bx - c = 0, коэффициент b = (a 2 -1), и коэффициент c = a , то его корни равны x 1 = a , x 2 =

Таким образом, решаемое уравнение должно иметь вид

ax 2 - (а 2 - 1)∙ х - а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 3х 2 - 8х - 3 = 0..

Таким образом, корни уравнения: x 1 = 3, x 2 = -

Проверим данное решение с помощью дискриминанта:

D= b 2 - 4ас= 8 2 + 4·3·3 = 64 + 36 = 100

x 2 = = = = = 3; Следовательно, x 1 = a , x 2 = -

2.4.Решение с помощью циркуля и линейки

Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис.6).

Допустим, что искомая окружность пересекает ось

абсцисс в точках В(х 1 ; 0) и D (х 2 ; 0), где х 1 и х 2 - корни уравнения ах 2 + b х + с = 0 , и проходит через точки

А(0; 1) и С(0; c / a ) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB . OD = OA . OC , откуда OC = = =

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK , восстановленных в серединах хорд AC и BD , поэтому

1) построим точки S (центр окружности) и A (0; 1) ;

2) проведем окружность с радиусом SA ;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK , или R > a + c /2 a ) , окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 7а) В(х 1 ; 0) и D (х 2 ; 0) , где х 1 и х 2 - корни квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 .

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB , или R = a + c /2 a ) , окружность касается оси Ох (рис.8б) в точке В(х 1 ; 0) , где х 1 - корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра AS < S , R <

окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис 7в), в этом случае уравнение не имеет решения.

а )AS>SB, R> б ) AS=SB, R= в ) AS