Показать что данное уравнение определяет неявную функцию. Производная функции, заданной неявно

Неявные функции, заданные системой уравнений

Дана система уравнений

или кратко F (x,y )= 0. (6.7)

Определение. Система (6.7) определяет неявно заданную функцию y=f (x ) на DÌR n

если " xÎD : F (x , f (x )) = 0.

Теорема (существование и единственность отображения, неявно заданного системой уравнений). Пусть

1) F i (x,y ) из (6.4) определены и имеют непрерывные частные производные первого порядка, (i= 1,…,p, k= 1,…,n, j= 1,…,p) в окрестности U (M 0) точки M 0 (x 0 ,y 0), x 0 = , y 0 =

2) F (M 0)=0,

3) det .

Тогда в некоторой окрестности U (x 0) существует единственная функция (отображение), определенная в этой окрестности y = f (x ), такая, что

" xÎ U (x 0) : F (x, f (x ))=0 и y 0 = f (x 0).

Эта функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки x 0 .

Дана система

Будем предполагать, что выполнены условия теоремы существования и единственности неявной функции, заданной этой системой уравнений. Обозначим эту функцию y=f (x ) . Тогда в некоторой окрестности точки x 0 справедливы тождества

Дифференцируя эти тождества по x j получим

= 0.(6.9)

Эти равенства можно записать в матричном виде

или в развернутом виде

Отметим, что переход от равенства F (x, f (x ))=0к , соответствует правилам дифференцирования для случая, когда x и y являются точками одномерного пространства. Матрица по условию не вырождена, поэтому матричное уравнение имеет решение. Таким образом, можно найти частные производные первого порядка неявных функций. Для нахождения дифференциалов обозначим

dy = , dx = , дифференцируя равенства (6.8),получим

или в матричном виде

В развернутом виде

Так же как и в случае частных производных, формула (6.10) имеем такой же вид, как и для случая одномерных пространств n= 1, p= 1. Решение этого матричного уравнения запишется в виде. Для нахождения частных производных второго порядка нужно будет дифференцировать тождества (6.9)(для вычисления дифференциалов второго порядка дифференцировать нужно тождества (6.10)). Таким образом, получим

где через A обозначены слагаемые, не содержащие искомые.

Матрицей коэффициентов этой системы для определения производных служит матрица Якоби.

Аналогичную формулу можно получить для дифференциалов. В каждом из этих случаев будет получаться матричное уравнение с той же матрицей коэффициентов в системе уравнений для определения искомых производных или дифференциалов. То же самое будет происходить и при следующих дифференцированиях.

Пример 1. Найти, в точке u= 1,v= 1.

Решение. Дифференцируем заданные равенства

Отметим, что из условия задачи следует, что независимыми переменными мы должны считать x, y. Тогда функциями будут z, u, v. Таким образом, систему (6.11)следует решать относительно неизвестных du, dv, dz . В матричном виде это выглядит следующим образом

Решим эту систему, используя правило Крамера. Определитель матрицы коэффициентов

Третий «замещенный» определитель для dz будет равен (его вычисляем разложением по последнему столбцу)

dz = , и, .

Дифференцируем (6.11)еще раз (x, y – независимые переменные)

Матрица коэффициентов системы та же самая, третий определитель

Решая эту систему, получим выражение для d 2 z откуда можно будет найти нужную производную.

6.3. Дифференцируемые отображения

Производные отображения. Регулярные отображения. Необходимые и достаточные условия функциональной зависимости.

Будем учиться находить производные функций, заданных неявно, то есть заданных некоторыми уравнениями, связывающими между собой переменные x и y . Примеры функций, заданных неявно:

Производные функций, заданных неявно, или производные неявных функций, находятся довольно просто. Сейчас же разберём соответствующее правило и пример, а затем выясним, для чего вообще это нужно.

Для того, чтобы найти производную функции, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения по иксу. Те слагаемые, в которых присутствует только икс, обратятся в обычную производную функции от икса. А слагаемые с игреком нужно дифференцировать, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, так как игрек - это функция от икса. Если совсем просто, то в полученной производной слагаемого с иксом должно получиться: производная функции от игрека, умноженная на производную от игрека. Например, производная слагаемого запишется как , производная слагаемого запишется как . Далее из всего этого нужно выразить этот "игрек штрих" и будет получена искомая производная функции, заданной неявно. Разберём это на примере.

Пример 1.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу, считая, что игрек - функция от икса:

Отсюда получаем производную, которая требуется в задании:

Теперь кое-что о неоднозначном свойстве функций, заданных неявно, и почему нужны особенные правила их дифференцирования. В части случаев можно убедиться, что подстановка в заданное уравнение (см. примеры выше) вместо игрека его выражения через икс приводит к тому, что это уравнение обращается в тождество. Так. приведённое выше уравнение неявно определяет следующие функции:

После подстановки выражения игрека в квадрате через икс в первоначальное уравнение получаем тождество:

Выражения, которые мы подставляли, получились путём решения уравнения относительно игрека.

Если бы мы стали дифференцировать соответствующую явную функцию

то получили бы ответ как в примере 1 - от функции, заданной неявно:

Но не всякую функцию, заданную неявно, можно представить в виде y = f (x ) . Так, например, заданные неявно функции

не выражаются через элементарные функции, то есть эти уравнения нельзя разрешить относительно игрека. Поэтому и существует правило дифференцирования функции, заданной неявно, которое мы уже изучили и далее будем последовательно применять в других примерах.

Пример 2. Найти производную функции, заданной неявно:

Выражаем игрек штрих и - на выходе - производная функции, заданной неявно:

Пример 3. Найти производную функции, заданной неявно:

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

Пример 4. Найти производную функции, заданной неявно:

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

Выражаем и получаем производную:

Пример 5. Найти производную функции, заданной неявно:

Решение. Переносим слагаемые в правой части уравнение в левую часть и справа оставляем ноль. Дифференцируем обе части уравнения по иксу.

Производные высших порядков находятся последовательным дифференцированием формулы (1).

Пример. Найти и , если (x ²+y ²)³-3(x ²+y ²)+1=0.

Решение. Обозначая левую часть данного уравнения через f (х,y) найдем частные производные

f"x(x,y)=3(x²+y²)²∙2x-3∙2x=6x[(x²+y²)-1],

f"y(x,y)=3(x²+y²)²∙2y-3∙2y=6y[(x²+y²)-1].

Отсюда, применяя формулу (1), получим:

Чтобы найти вторую производную, продифференцируем по х найденную первую производную, учитывай при этом, что у есть функция х:

2°. Случай нескольких независимых переменных . Аналогично, если уравнение F(х, у, z)=0 , где F(х, у, z ) - дифференцируемая функция переменных х, у и z , определяет z как функцию независимых переменных х и у и Fz(x, у, z)≠ 0, то частные производные этой неявно заданной функции, вообще говоря, могут быть найдены по формулам

Другой способ нахождения производных функции z следующий: дифференцируя уравнение F(х, у, z) = 0 , получим:

Отсюда можно определить dz, а следовательно, и .

Пример. Найти и , если x ² - 2 y ²+3 z ² - yz + y =0.

1-й способ. Обозначая левую часть данного уравнения через F(х, у, z) , найдем частные производные F"x(x,y,z)=2x, F"y(x,y,z)=-4y-z+1, F"z(x,y,z)=6z-y .

Применив формулы (2), получим:

2-й способ. Дифференцируя данное уравнение, получим:

2х dx -4 y dy +6 z dz - y dz - z dy + dy =0

Отсюда определяем dz , т. е. полный дифференциал неявной функции:

Сравнивая с формулой , видим, что

3°. Система неявных функций . Если система двух уравнений

определяет u и v как функции переменных х и у и якобиан

то дифференциалы этих функций (а следовательно, и их частные производные) могут быть найдены из системы уравнений

Пример: Уравнения u+v=x+y, xu+yv=1 определяют u и v как функции х и у ; найти .

Решение. 1-й способ. Дифференцируя оба уравнения по х, получим:

Аналогичным образом найдем:

2-й способ. Дифференцированием находим два уравнения, связывающие дифференциалы всех четырех переменных: du + dv = dx + dy , x du + u dx + y dv + v dy =0.

Решив эту систему относительно дифференциалов du и dv , получим:

4°. Параметрическое задание функции . Если функция г переменных х и у задана параметрически уравнениями x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) и

то дифференциал этой функции может быть найден из системы уравнений

Зная дифференциал dz=p dx+q dy , находим частные производные и .

Пример. Функция z аргументов х и у задана уравнениями x=u+v, y=u²+v², z=u²+v² (u≠v ).

Найти и .

Решение. 1-й способ. Дифференцированием находим три уравнения, связывающие дифференциалы всех пяти переменных:

Из первых двух уравнений определим du и dv :

Подставим в третье уравнение найденные значения du и dv :

2-й способ. Из третьего данного уравнения можно найти:

Продифференцируем первые два уравнения сначала по х, затем по у :

Из первой системы найдем: .

Из второй системы найдем: .

Подставляя выражения и в формулу (5), получим:

Замена переменных

При замене переменных в дифференциальных выражениях входящие в них производные следует выразить через другие производные по правилам дифференцирования сложной функции.

1°. Замена переменных в выражениях, содержащих обыкновенные производные.

полагая .

у по х через производные от у по t . Имеем:

Подставляя найденные выражения производных в данное уравнение и заменяя х через , получим:

Пример. Преобразовать уравнение

приняв за аргумент у , а за функцию х.

Решение. Выразим производные от у по х через производные от х по у.

Подставив эти выражения производных в данное уравнение, будем иметь:

или, окончательно,

Пример . Преобразовать уравнение

перейдя к полярным координатам

x=r cos φ, y=r cos φ.

Решение. Рассматривая r как функцию φ , из формул (1) получим:

dх = соsφ dr – r sinφ d φ, dy=sinφ+r cosφ dφ,

Дана система уравнений

или кратко F (x , y )=0 (1)

Определение. Система (1) определяет неявно заданную функцию y = f (x ) на D  R n

если  x  D : F (x , f (x )) = 0.

Теорема (существование и единственность отображения, неявно заданного системой уравнений). Пусть

Тогда в некоторой окрестности U (x 0 ) существует единственная функция (отображение), определенная в этой окрестности y = f (x ), такая, что

 x  U (x 0 ) : F (x , f (x ))=0 и y 0 = f (x 0 ).

Эта функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки x 0 .

5.Вычисление производных неявных функций, заданных системой уравнений

Дана система

(1)

Будем предполагать, что выполнены условия теоремы существования и единственности неявной функции, заданной этой системой уравнений. Обозначим эту функцию y = f (x ) . Тогда в некоторой окрестности точки x 0 справедливы тождества

(F(x, f(x))=0) (2)

Дифференцируя эти тождества по x j получим

=0 (3)

Эти равенства можно записать в матричном виде

, (3)

или в развернутом виде

Отметим, что переход от равенства F (x , f (x ))=0 к
, соответствует правилам дифференцирования для случая, когда x и y являются точками одномерного пространства. Матрица по условию не вырождена, поэтому матричное уравнение
имеет решение
. Таким образом можно найти частные производные первого порядка неявных функций. Для нахождения дифференциалов обозначим

dy = ,dx = , дифференцируя равенства(2) получим

=0 ,

или в матричном виде

. (4)

В развернутом виде

Также как и в случае частных производных, формула (4) имеем такой же вид, как и для случая одномерных пространств n =1, p =1. Решение этого матричного уравнения запишется в виде
. Для нахождения частных производных второго порядка нужно будет дифференцировать тождества(3) (для вычисления дифференциалов второго порядка дифференцировать нужно тождества (4) ). Таким образом, получим

где через A обозначены слагаемые, не содержащие искомые
.

Матрицей коэффициентов этой системы для определения производных
служит матрица Якоби.

Пример 1. Найти ,,в точкеu =1, v =1.

Решение. Дифференцируем заданные равенства

(5)

Отметим, что по постановке задачи, независимыми переменными мы должны считать x , y . Тогда функциями будут z , u , v . Таким образом, систему (5) следует решать относительно неизвестных du , dv , dz . В матричном виде это выглядит следующим образом