Lekcie algebry nás zoznámia s rôznymi typmi výrazov. Keď je k dispozícii nový materiál, výrazy sa stávajú zložitejšími. Keď sa zoznámite so stupňami, postupne sa k výrazu pridávajú, čím sa to komplikuje. To sa deje aj so zlomkami a inými výrazmi.

Aby bolo štúdium materiálu čo najpohodlnejšie, robí sa to pomocou určitých mien, aby sa dali zvýrazniť. Tento článok poskytne úplný prehľad všetkých základných školských algebraických výrazov.

Monómy a polynómy

Výrazy jednočlenné a mnohočlenné sa preberajú v školských osnovách od 7. ročníka. Definície tohto typu boli uvedené v učebniciach.

Definícia 1

Monomiály– sú to čísla, premenné, ich mocniny s prirodzeným exponentom, akékoľvek produkty vyrobené s ich pomocou.

Definícia 2

Polynómy nazývaný súčet monomilov.

Ak vezmeme napríklad číslo 5, premennú x, stupeň z 7, potom súčin tvaru 5 x A 7 x 2 7 z 7 sú považované za monomiály. Pri preberaní súčtu monomálov formy 5+x alebo z 7 + 7 + 7 x 2 7 z 7, potom dostaneme polynóm.

Aby ste odlíšili monomický od polynómu, venujte pozornosť mocninám a ich definíciám. Dôležitý je pojem koeficient. Pri redukcii podobných členov sa delia voľným členom polynómu alebo vodiacim koeficientom.

Najčastejšie sa niektoré akcie vykonávajú na monomiáliách a polynómoch, po ktorých sa výraz redukuje na formu monomiálu. Vykonáva sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie, pričom sa spolieha na algoritmus na vykonávanie operácií s polynómami.

Keď existuje jedna premenná, je možné rozdeliť polynóm na polynómy, ktoré sú reprezentované ako súčin. Táto akcia sa nazýva faktorizácia polynómu.

Racionálne (algebraické) zlomky

Pojem racionálne zlomky sa študuje v 8. ročníku strednej školy. Niektorí autori ich nazývajú algebraické zlomky.

Definícia 3

Racionálny algebraický zlomok nazývaný zlomok, v ktorom sa namiesto čitateľa a menovateľa objavujú mnohočleny alebo monočleny alebo čísla.

Zoberme si príklad zápisu racionálnych zlomkov typu 3 x + 2, 2 · a + 3 · b 4, x 2 + 1 x 2 - 2 a 2 2 · x + - 5 1 5 · y 3 · x x 2 + 4. Na základe definície môžeme povedať, že každý zlomok sa považuje za racionálny zlomok.

Algebraické zlomky možno sčítať, odčítať, násobiť, deliť a umocňovať. Podrobnejšie o tom hovoríme v časti o operáciách s algebraickými zlomkami. Ak je potrebné zlomok previesť, často využívajú vlastnosť redukcie a redukcie na spoločného menovateľa.

Racionálne výrazy

V školskom kurze sa študuje koncept iracionálnych zlomkov, pretože je potrebná práca s racionálnymi výrazmi.

Definícia 4

Racionálne výrazy sa považujú za numerické a písmenové výrazy, kde sa používajú racionálne čísla a písmená so sčítaním, odčítaním, násobením, delením a umocnením celého čísla.

Racionálne výrazy nemusia mať znaky patriace k funkcii, čo vedie k iracionalite. Racionálne výrazy neobsahujú odmocniny, mocniny so zlomkovými iracionálnymi exponentmi, mocniny s premennými v exponente, logaritmické výrazy, goniometrické funkcie a pod.

Na základe vyššie uvedeného pravidla uvedieme príklady racionálnych vyjadrení. Z vyššie uvedenej definície vyplýva, že číselné vyjadrenie v tvare 1 2 + 3 4 a 5, 2 + (- 0, 1) 2 2 - 3 5 - 4 3 4 + 2: 12 7 - 1 + 7 - 2 2 3 3 - 2 1 + 0, 3 sa považujú za racionálne. Výrazy obsahujúce písmenové označenia sa tiež klasifikujú ako racionálne a 2 + b 2 3 · a - 0, 5 · b, s premennými v tvare a · x 2 + b · x + c a x2+xy-y2i2x-1.

Všetky racionálne výrazy sú rozdelené na celé čísla a zlomky.

Celé racionálne prejavy

Celé racionálne prejavy– ide o výrazy, ktoré neobsahujú delenie na výrazy s premennými záporného stupňa.

Z definície vyplýva, že celý racionálny výraz je aj výraz obsahujúci písmená, napríklad a + 1, výraz obsahujúci viacero premenných, napríklad x 2 · y 3 − z + 3 2 a a + b 3.

Vyjadrenia formulára x: (y − 1) a 2 x + 1 x 2 - 2 x + 7 - 4 nemôžu byť racionálne celé čísla, pretože majú rozdelenie na výraz s premennými.

Zlomkové racionálne výrazy

Zlomkové racionálne vyjadrenie je výraz, ktorý obsahuje delenie výrazom s premennými záporného stupňa.

Z definície vyplýva, že zlomkové racionálne výrazy môžu byť 1: x, 5 x 3 - y 3 + x + x 2 a 3 5 7 - a - 1 + a 2 - (a + 1) (a - 2) 2.

Ak uvažujeme výrazy tohto typu (2 x − x 2): 4 a a 2 2 - b 3 3 + c 4 + 1 4, 2, potom sa nepovažujú za zlomkové racionality, keďže nemajú výrazy s premennými v menovateľ.

Výrazy s mocnosťami

Výrazy, ktoré obsahujú mocniny v ľubovoľnej časti zápisu, sa nazývajú výrazy s mocnosťami alebo mocenské výrazy.

Pre koncept uvádzame príklad takéhoto výrazu. Nesmú obsahovať premenné, napríklad 2 3, 32 – 1 5 + 1, 5 3, 5 5 – 2 5 – 1, 5. Typické sú aj mocninné výrazy v tvare 3 · x 3 · x - 1 + 3 x , x · y 2 1 3 . Na ich vyriešenie je potrebné vykonať niekoľko transformácií.

Iracionálne výrazy, výrazy s koreňmi

Koreň, ktorý sa vyskytuje vo výraze, mu dáva iný názov. Nazývajú sa iracionálne.

Definícia 8

Iracionálne výrazy sú výrazy, ktoré majú vo svojom písaní koreňové znaky.

Z definície je zrejmé, že ide o vyjadrenia tvaru 64, x - 1 4 3 + 3 3, 2 + 1 2 - 1 - 2 + 3 2, a + 1 a 1 2 + 2, x y, 3 x + 1 + 6 x 2 + 5 x a x + 6 + x - 2 3 + 1 4 x 2 3 + 3 - 1 1 3 . Každý z nich má aspoň jednu koreňovú ikonu. Odmocniny a mocniny spolu súvisia, takže môžete vidieť výrazy ako x 7 3 - 2 5, n 4 8 · m 3 5: 4 · m 2 n + 3.

Goniometrické výrazy

Trigonometrické vyjadrenie- sú to výrazy obsahujúce sin, cos, tg a ctg a ich prevrátené - arcsin, arccos, arctg a arcctg.

Príklady goniometrických funkcií sú zrejmé: sin π 4 · cos π 6 cos 6 x - 1 a 2 sin x · t g 2 x + 3, 4 3 · t g π - arcsin - 3 5.

Pre prácu s takýmito funkciami je potrebné využívať vlastnosti a základné vzorce priamych a inverzných funkcií. Podrobnejšie túto problematiku odhalí článok transformácia goniometrických funkcií.

Logaritmické výrazy

Po oboznámení sa s logaritmami môžete hovoriť o zložitých logaritmických výrazoch.

Definícia 10

Výrazy, ktoré majú logaritmy, sa nazývajú logaritmický.

Príkladom takýchto funkcií môže byť log 3 9 + ln e, log 2 (4 a b), log 7 2 (x 7 3) log 3 2 x - 3 5 + log x 2 + 1 (x 4 + 2) .

Môžete nájsť výrazy, kde sú mocniny a logaritmy. Je to pochopiteľné, keďže z definície logaritmu vyplýva, že ide o exponent. Potom dostaneme výrazy v tvare x l g x - 10, log 3 3 x 2 + 2 x - 3, log x + 1 (x 2 + 2 x + 1) 5 x - 2.

Ak chcete prehĺbiť svoje štúdium materiálu, mali by ste si prečítať materiál o prevode logaritmických výrazov.

Zlomky

Existujú výrazy špeciálneho typu, ktoré sa nazývajú zlomky. Keďže majú čitateľa a menovateľa, môžu obsahovať nielen číselné hodnoty, ale aj výrazy akéhokoľvek typu. Pozrime sa na definíciu zlomku.

Definícia 11

Zlomok je výraz, ktorý má čitateľa a menovateľa, v ktorom sú číselné aj abecedné označenia alebo výrazy.

Príklady zlomkov, ktoré majú v čitateli a menovateli čísla, vyzerajú takto: 1 4, 2, 2 - 6 2 7, π 2, - e π, (− 15) (− 2) . Čitateľ aj menovateľ môže obsahovať číselné aj abecedné vyjadrenia tvaru (a + 1) 3, (a + b + c) (a 2 + b 2) , 1 3 + 1 - 1 3 - 1 1 1 + 1 1 + 1 5, cos 2 α - sin 2 α 1 + 3 t g α, 2 + ln 5 ln x.

Hoci výrazy ako 2 5 − 3 7 , x x 2 + 1: 5 nie sú zlomky, majú zlomok vo svojom zápise.

Všeobecný výraz

Vyššie ročníky považujú problémy so zvýšenou náročnosťou, ktoré obsahujú všetky kombinované úlohy skupiny C pre jednotnú štátnu skúšku. Tieto výrazy sú obzvlášť zložité a obsahujú rôzne kombinácie koreňov, logaritmy, mocniny a goniometrické funkcie. Sú to úlohy ako x 2 - 1 · sin x + π 3 alebo sin a r c t g x - a · x 1 + x 2 .

Ich vzhľad naznačuje, že môžu byť klasifikované ako ktorýkoľvek z vyššie uvedených typov. Najčastejšie nie sú klasifikované ako žiadne, pretože majú špecifické kombinované riešenie. Považujú sa za všeobecné výrazy a pre popis sa nepoužívajú žiadne ďalšie špecifikácie alebo výrazy.

Pri riešení takéhoto algebraického výrazu je vždy potrebné dbať na jeho zápis, prítomnosť zlomkov, mocnín či doplnkových výrazov. Je to potrebné na presné určenie spôsobu riešenia. Ak si nie ste istí jeho názvom, potom sa odporúča nazvať ho výrazom všeobecného typu a vyriešiť ho podľa vyššie napísaného algoritmu.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Numerické a algebraické výrazy. Konverzia výrazov.

Čo je výraz v matematike? Prečo potrebujeme výrazové konverzie?

Otázka, ako sa hovorí, je zaujímavá... Faktom je, že tieto pojmy sú základom celej matematiky. Celá matematika pozostáva z výrazov a ich transformácií. Nie je to veľmi jasné? Nechaj ma vysvetliť.

Povedzme, že máte pred sebou zlý príklad. Veľmi veľké a veľmi zložité. Povedzme, že ste dobrí v matematike a ničoho sa nebojíte! Môžete dať odpoveď hneď?

Budeš musieť rozhodnúť tento príklad. Dôsledne, krok za krokom, tento príklad zjednodušiť. Podľa určitých pravidiel, samozrejme. Tie. robiť konverzia výrazu. Čím úspešnejšie tieto premeny vykonávate, tým ste silnejší v matematike. Ak neviete, ako robiť správne premeny, v matematike ich nezvládnete. Nič...

Aby ste sa vyhli takejto nepríjemnej budúcnosti (alebo prítomnosti...), nezaškodí pochopiť túto tému.)

Po prvé, poďme to zistiť čo je výraz v matematike. Čo sa stalo číselný výraz a čo je algebraický výraz.

Čo je výraz v matematike?

Vyjadrenie v matematike- toto je veľmi široký pojem. Takmer všetko, čím sa v matematike zaoberáme, je súbor matematických výrazov. Akékoľvek príklady, vzorce, zlomky, rovnice a tak ďalej - to všetko pozostáva z matematické výrazy.

3+2 je matematický výraz. s 2 - d 2- to je tiež matematický výraz. Zdravý zlomok aj párne číslo sú všetko matematické výrazy. Napríklad rovnica je:

5x + 2 = 12

pozostáva z dvoch matematických výrazov spojených znamienkom rovnosti. Jeden výraz je vľavo, druhý vpravo.

Vo všeobecnosti pojem „ matematický výraz"Používa sa najčastejšie, aby sa vyhli bučaniu. Budú sa vás pýtať, čo je napríklad obyčajný zlomok? A ako odpovedať?!

Prvá odpoveď: „Toto je... mmmmmm... taká vec... v ktorej... Môžem napísať zlomok lepšie? Ktorý chceš?"

Druhá odpoveď: „Obyčajný zlomok je (veselo a radostne!) matematický výraz , ktorá sa skladá z čitateľa a menovateľa!"

Druhá možnosť bude o niečo pôsobivejšia, však?)

Toto je účel vety „ matematický výraz „veľmi dobré. Správne aj pevné. Ale pre praktické použitie musíte dobre rozumieť špecifické typy výrazov v matematike .

Konkrétny typ je iná vec. Toto úplne iná vec! Každý typ matematického výrazu má môj súbor pravidiel a techník, ktoré je potrebné použiť pri rozhodovaní. Pre prácu so zlomkami - jedna sada. Pre prácu s goniometrickými výrazmi - druhý. Pre prácu s logaritmami - tretí. A tak ďalej. Niekde sa tieto pravidlá zhodujú, niekde sa výrazne líšia. Nebojte sa však týchto strašidelných slov. V príslušných častiach si osvojíme logaritmy, trigonometriu a ďalšie záhadné veci.

Tu si osvojíme (alebo - zopakujeme, podľa toho kto...) dva hlavné typy matematických výrazov. Číselné výrazy a algebraické výrazy.

Číselné výrazy.

Čo sa stalo číselný výraz? Ide o veľmi jednoduchý koncept. Už samotný názov napovedá, že ide o výraz s číslami. je to tak. Matematický výraz zložený z čísel, zátvoriek a aritmetických symbolov sa nazýva číselný výraz.

7-3 je číselné vyjadrenie.

(8+3,2) 5,4 je tiež číselné vyjadrenie.

A toto monštrum:

aj číselné vyjadrenie, áno...

Obyčajné číslo, zlomok, akýkoľvek príklad výpočtu bez X a iných písmen - to všetko sú číselné výrazy.

Hlavné znamenie číselné výrazy - v ňom žiadne písmená. žiadne. Iba čísla a matematické symboly (ak sú potrebné). Je to jednoduché, však?

A čo môžete robiť s číselnými výrazmi? Číselné výrazy sa zvyčajne dajú spočítať. K tomu sa stáva, že musíte otvárať zátvorky, meniť znamienka, skracovať, prehadzovať pojmy – t.j. robiť konverzie výrazov. Ale o tom viac nižšie.

Tu sa budeme zaoberať takým vtipným prípadom, keď s číselným vyjadrením nemusíte robiť nič. No vôbec nič! Táto príjemná operácia - Nerobiť nič)- sa vykoná, keď výraz nedáva zmysel.

Kedy nemá číselný výraz zmysel?

Je jasné, že ak pred sebou uvidíme nejaký druh abrakadabra, napr

potom neurobíme nič. Pretože nie je jasné, čo s tým robiť. Nejaký nezmysel. Možno spočítajte plusy...

Ale sú tam navonok celkom slušné prejavy. Napríklad toto:

(2+3) : (16 - 2 8)

Avšak, tento výraz tiež nedáva zmysel! Z jednoduchého dôvodu, že v druhej zátvorke - ak počítate - dostanete nulu. Ale nemôžete deliť nulou! Toto je v matematike zakázaná operácia. Preto ani s týmto výrazom netreba nič robiť. Pre každú úlohu s takýmto výrazom bude odpoveď vždy rovnaká: "Výraz nemá žiadny význam!"

Aby som dal takúto odpoveď, musel som, samozrejme, vypočítať, čo bude v zátvorkách. A niekedy je v zátvorkách veľa vecí... No, s tým sa nedá nič robiť.

V matematike nie je toľko zakázaných operácií. V tejto téme je len jeden. Delenie nulou. Ďalšie obmedzenia vyplývajúce z koreňov a logaritmov sú diskutované v príslušných témach.

Takže predstava o tom, čo to je číselný výraz- dostal. koncepcia číselný výraz nedáva zmysel- uvedomil si. Poďme ďalej.

Algebraické výrazy.

Ak sa v číselnom výraze objavia písmená, tento výraz sa zmení na... Výraz sa zmení na... Áno! Sa stane algebraický výraz. Napríklad:

5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x 2 + 4 x - 4; (a+b) 2; ...

Takéto výrazy sa nazývajú aj doslovné výrazy. Alebo výrazy s premennými. Je to prakticky to isté. Výraz 5a + c, napríklad - doslovný aj algebraický a výraz s premennými.

koncepcia algebraický výraz -širšie ako číselné. to zahŕňa a všetky číselné výrazy. Tie. číselný výraz je tiež algebraický výraz, len bez písmen. Každý sleď je ryba, ale nie každá ryba je sleď...)

Prečo? abecedný- To je jasné. No, keďže tam sú písmená... Fráza výraz s premennými Tiež to nie je veľmi záhadné. Ak chápete, že pod písmenami sú skryté čísla. Pod písmenami sa môžu skrývať najrôznejšie čísla... A 5, a -18 a čokoľvek chcete. To znamená, že list môže byť nahradiť pre rôzne čísla. Preto sa písmená volajú premenné.

Vo výraze y+5, Napríklad, pri- premenlivá hodnota. Alebo len povedia " premenná", bez slova „veľkosť“. Na rozdiel od päťky, čo je konštantná hodnota. Alebo jednoducho - konštantný.

Termín algebraický výraz znamená, že na prácu s týmto výrazom musíte použiť zákony a pravidlá algebra. Ak aritmetika pracuje s konkrétnymi číslami algebra- so všetkými číslami naraz. Jednoduchý príklad na vysvetlenie.

V aritmetike to môžeme napísať

Ale ak napíšeme takúto rovnosť prostredníctvom algebraických výrazov:

a + b = b + a

rozhodneme sa hned Všetky otázky. Pre všetky čísla mŕtvica. Pre všetko nekonečné. Pretože pod písmenami A A b implicitne Všetkyčísla. A nielen čísla, ale dokonca aj iné matematické výrazy. Takto funguje algebra.

Kedy algebraický výraz nedáva zmysel?

Všetko o číselnom vyjadrení je jasné. Nedá sa tam deliť nulou. A s písmenami sa dá zistiť, podľa čoho sa delíme?!

Vezmime si napríklad tento výraz s premennými:

2: (A - 5)

Dáva to zmysel? Kto vie? A- ľubovoľné číslo...

Akýkoľvek, akýkoľvek... Ale má to jeden význam A, pre ktorý tento výraz presne tak nedáva zmysel! A aké je toto číslo? Áno! Toto je 5! Ak premenná A nahraďte (hovoria „náhrada“) číslom 5, v zátvorkách dostanete nulu. Ktoré sa nedajú rozdeliť. Tak sa ukazuje, že náš výraz nedáva zmysel, Ak a = 5. Ale pre iné hodnoty A dáva to zmysel? Môžete nahradiť iné čísla?

určite. V takýchto prípadoch jednoducho hovoria, že výraz

2: (A - 5)

dáva zmysel pre akékoľvek hodnoty A, okrem a = 5 .

Celá množina čísel, ktorá Môcť dosadzovanie do daného výrazu sa nazýva rozsah prijateľných hodnôt tento výraz.

Ako vidíte, nie je nič zložité. Pozrieme sa na výraz s premennými a zistíme: pri akej hodnote premennej sa získa zakázaná operácia (delenie nulou)?

A potom sa určite pozrite na otázku úlohy. Čo sa pýtajú?

nedáva zmysel, odpoveďou bude náš zakázaný význam.

Ak sa spýtate, pri akej hodnote premennej je výraz má význam(cíťte rozdiel!), odpoveď bude všetky ostatné čísla okrem toho, čo je zakázané.

Prečo potrebujeme význam výrazu? Je tam, nie je... Aký je rozdiel?! Ide o to, že tento pojem sa na strednej škole stáva veľmi dôležitým. Extrémne dôležité! Toto je základ pre také pevné koncepty, ako je doména prijateľných hodnôt alebo doména funkcie. Bez toho nebudete môcť riešiť vážne rovnice alebo nerovnice vôbec. Páči sa ti to.

Konverzia výrazov. Transformácie identity.

Zoznámili sme sa s číselnými a algebraickými výrazmi. Pochopili sme, čo znamená fráza „výraz nemá žiadny význam“. Teraz musíme zistiť, čo to je konverzia výrazu. Odpoveď je jednoduchá, až hanba.) Ide o akúkoľvek akciu s výrazom. To je všetko. Tieto premeny robíte už od prvej triedy.

Vezmime si cool číselné vyjadrenie 3+5. Ako sa dá previesť? Áno, veľmi jednoduché! Vypočítať:

Tento výpočet bude transformáciou výrazu. Rovnaký výraz môžete napísať inak:

Tu sme nepočítali vôbec nič. Stačí si zapísať výraz v inej podobe. Toto bude tiež transformácia výrazu. Môžete to napísať takto:

A aj toto je premena výrazu. Takýchto premien môžete urobiť toľko, koľko chcete.

akýkoľvek pôsobenie na výraz akýkoľvek napísanie v inej forme sa nazýva transformácia výrazu. A to je všetko. Všetko je veľmi jednoduché. Ale je tu jedna vec veľmi dôležité pravidlo. Tak dôležité, že sa dá bezpečne zavolať hlavné pravidlo celá matematika. Porušenie tohto pravidla nevyhnutne vedie k chybám. Ideme do toho?)

Povedzme, že sme svoj výraz náhodne zmenili takto:

Transformácia? určite. Napísali sme výraz v inej forme, čo je tu zlé?

Nie je to tak.) Ide o to, že premeny "náhodne" matematika ich vôbec nezaujíma.) Celá matematika je postavená na transformáciách, pri ktorých sa mení vzhľad, ale podstata výrazu sa nemení. Tri plus päť môže byť napísané v akomkoľvek tvare, ale musí to byť osem.

premeny, výrazy, ktoré nemenia podstatu sa volajú identické.

presne tak transformácie identity a dovoľte nám krok za krokom transformovať zložitý príklad do jednoduchého vyjadrenia pri zachovaní podstata príkladu. Ak urobíme chybu v reťazci transformácií, urobíme NIE identickú transformáciu, potom sa rozhodneme ďalší príklad. S ďalšími odpoveďami, ktoré nesúvisia so správnymi.)

Toto je hlavné pravidlo pre riešenie akýchkoľvek úloh: zachovanie identity transformácií.

Pre názornosť som uviedol príklad s číselným vyjadrením 3+5. V algebraických výrazoch sú transformácie identity dané vzorcami a pravidlami. Povedzme, že v algebre existuje vzorec:

a(b+c) = ab + ac

To znamená, že v akomkoľvek príklade môžeme namiesto výrazu a(b+c) kľudne napíš výraz ab + ac. A naopak. Toto identická transformácia. Matematika nám dáva na výber medzi týmito dvoma výrazmi. A ktorý napísať závisí od konkrétneho príkladu.

Ďalší príklad. Jednou z najdôležitejších a nevyhnutných transformácií je základná vlastnosť zlomku. Viac podrobností si môžete pozrieť na odkaze, ale tu vám len pripomeniem pravidlo: Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobí (vydelí) rovnakým číslom alebo výrazom, ktorý sa nerovná nule, zlomok sa nezmení. Tu je príklad transformácií identity pomocou tejto vlastnosti:

Ako iste tušíte, v tomto reťazci sa dá pokračovať donekonečna...) Veľmi dôležitá vlastnosť. Práve to vám umožňuje premeniť všetky druhy príkladov príšer na biele a nadýchané.)

Existuje mnoho vzorcov definujúcich identické transformácie. Ale tých najdôležitejších je celkom rozumný počet. Jednou zo základných transformácií je faktorizácia. Používa sa vo všetkej matematike – od základnej až po pokročilú. Začnime ním. V ďalšej lekcii.)

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Články o vede a matematike

Čo je to numerický a algebraický výraz?

Číselný výraz- ide o akýkoľvek záznam zložený z čísel a znakov aritmetických operácií a napísaný podľa známych pravidiel, v dôsledku čoho má určitý význam. Napríklad nasledujúce položky sú číselné výrazy: 4 + 5; -1,05 × 22,5 - 34. Na druhej strane, zápis × 16 - × 0,5 nie je číselný, keďže sa síce skladá z čísel a znamienok aritmetických operácií, ale nepíše sa podľa pravidiel na skladanie číselných výrazov.

Ak sú v číselnom výraze namiesto číslic písmená (všetky alebo len niektoré), potom tento výraz už je algebraické.

Význam použitia písmen je približne nasledovný. Písmená môžu byť nahradené rôznymi číslami, čo znamená, že výraz môže mať rôzne významy. Algebra ako veda študuje princípy zjednodušovania výrazov, hľadania a používania rôznych pravidiel, zákonov a vzorcov. Algebra študuje najracionálnejšie spôsoby vykonávania výpočtov a práve na to slúžia zovšeobecnenia, teda použitie premenných (písmen) namiesto konkrétnych čísel.

Algebraické fakty zahŕňajú zákony sčítania a násobenia, pojmy záporných čísel, obyčajných a desatinných zlomkov a pravidlá aritmetických operácií s nimi a vlastnosti obyčajných zlomkov. Algebra je navrhnutá tak, aby porozumela celej tejto rozmanitosti faktov, naučila ich používať a videla použiteľnosť zákonov v konkrétnych číselných a algebraických výrazoch.

Keď sa vyhodnotí číselný výraz, výsledkom je jeho hodnota. Hodnotu algebraického výrazu možno vypočítať iba vtedy, ak sú písmená nahradené určitými číselnými hodnotami. Napríklad výraz a ÷ b s a = 3 a b = 5 má hodnotu 3 ÷ 5 alebo 0,6. Algebraický výraz však môže byť taký, že pre niektoré hodnoty premenných (písmená) nemusí mať vôbec žiadny význam. V tom istom príklade (a ÷ b) výraz nedáva zmysel, keď b = 0, pretože nemôžete deliť nulou.

Preto hovoria o prijateľných a neprijateľných hodnotách premenných pre konkrétny algebraický výraz.

scienceland.info

Algebraické výrazy

1. Definícia pojmu
2. Hodnota výrazu
3. Prejavy identity
4. Riešenie problémov
5. Čo sme sa naučili?

Definícia pojmu

Aké výrazy sa nazývajú algebraické? Ide o matematický zápis pozostávajúci z čísel, písmen a aritmetických symbolov. Prítomnosť písmen je hlavným rozdielom medzi numerickými a algebraickými výrazmi. Príklady:

Písmeno v algebraických výrazoch označuje číslo. Preto sa to volá premenná – v prvom príklade je to písmeno a, v druhom b a v treťom c. Samotný algebraický výraz sa tiež nazýva výraz s premennou.

Hodnota výrazu

Význam algebraického výrazu je číslo získané ako výsledok vykonania všetkých aritmetických operácií uvedených v tomto výraze. Aby ste to však dostali, musia byť písmená nahradené číslami. Preto v príkladoch vždy uvádzajú, ktoré číslo zodpovedá písmenu. Pozrime sa, ako nájsť hodnotu výrazu 8a-14*(5-a), ak a=3.

Za písmeno a dosadíme číslo 3. Dostaneme nasledujúci zápis: 8*3-14*(5-3).

Rovnako ako v numerických výrazoch, riešenie algebraického výrazu sa vykonáva podľa pravidiel na vykonávanie aritmetických operácií. Vyriešme všetko po poriadku.

Hodnota výrazu 8a-14*(5-a) pri a=3 sa teda rovná -4.

Hodnota premennej sa nazýva platná, ak s ňou výraz dáva zmysel, to znamená, že je možné nájsť jej riešenie.

Príkladom platnej premennej pre výraz 5:2a je číslo 1. Dosadením do výrazu dostaneme 5:2*1=2,5. Neplatná premenná pre tento výraz je 0. Ak do výrazu dosadíme nulu, dostaneme 5:2*0, teda 5:0. Nemôžete deliť nulou, čo znamená, že výraz nedáva zmysel.

Prejavy identity

Ak sú dva výrazy rovnaké pre akékoľvek hodnoty ich základných premenných, nazývajú sa identické.
Príklad identických výrazov :
4(a+c) a 4a+4c.
Nech už majú písmená a a c akékoľvek hodnoty, výrazy budú vždy rovnaké. Akýkoľvek výraz môže byť nahradený iným, ktorý je s ním identický. Tento proces sa nazýva transformácia identity.

Príklad transformácie identity .
4*(5a+14c) – tento výraz možno nahradiť identickým použitím matematického zákona násobenia. Ak chcete vynásobiť číslo súčtom dvoch čísel, musíte toto číslo vynásobiť každým výrazom a pridať výsledky.

Teda výraz 4*(5a+14c) je identický s výrazom 20a+64c.

Číslo nachádzajúce sa pred písmenovou premennou v algebraickom výraze sa nazýva koeficient. Koeficient a premenná sú multiplikátory.

Riešenie problémov

Algebraické výrazy sa používajú na riešenie problémov a rovníc.
Uvažujme o probléme. Peťo vymyslel číslo. Aby to jeho spolužiak Saša uhádol, Peťo mu povedal: najprv som k číslu pridal 7, potom som od neho odčítal 5 a vynásobil 2. Vo výsledku mi vyšlo číslo 28. Aké číslo som uhádol?

Ak chcete problém vyriešiť, musíte skryté číslo označiť písmenom a a potom s ním vykonať všetky uvedené akcie.

Teraz poďme vyriešiť výslednú rovnicu.

Peťa si priala číslo 12.

Čo sme sa naučili?

Algebraický výraz je záznam pozostávajúci z písmen, číslic a aritmetických symbolov. Každý výraz má hodnotu, ktorá sa zistí vykonaním všetkých aritmetických operácií vo výraze. Písmeno v algebraickom výraze sa nazýva premenná a číslo pred ňou sa nazýva koeficient. Algebraické výrazy sa používajú na riešenie problémov.

6.4.1. Algebraický výraz

ja Výrazy, v ktorých možno spolu s písmenami použiť čísla, aritmetické symboly a zátvorky, sa nazývajú algebraické výrazy.

Príklady algebraických výrazov:

2 m - n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

Keďže písmeno v algebraickom výraze môže byť nahradené rôznymi číslami, písmeno sa nazýva premenná a samotný algebraický výraz sa nazýva výraz s premennou.

II. Ak sa v algebraickom výraze písmená (premenné) nahradia ich hodnotami a vykonajú sa zadané akcie, výsledné číslo sa nazýva hodnota algebraického výrazu.

Príklady. Nájdite význam výrazu:

1) a + 2b-c s a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| pri x = -8; y = -5; z = 6.

1) a + 2b-c s a = -2; b = 10; c = -3,5. Namiesto premenných dosadíme ich hodnoty. Dostaneme:

2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| pri x = -8; y = -5; z = 6. Dosaďte uvedené hodnoty. Pamätáme si, že modul záporného čísla sa rovná jeho opačnému číslu a modul kladného čísla sa rovná tomuto samotnému číslu. Dostaneme:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Hodnoty písmena (premennej), pre ktoré má algebraický výraz zmysel, sa nazývajú prípustné hodnoty písmena (premenná).

Príklady. Pre aké hodnoty premennej nemá výraz zmysel?

Riešenie. Vieme, že nulou sa deliť nedá, preto každý z týchto výrazov nebude dávať zmysel vzhľadom na hodnotu písmena (premennej), ktorá mení menovateľa zlomku na nulu!

V príklade 1) je táto hodnota a = 0. V skutočnosti, ak namiesto a nahradíte 0, potom budete musieť vydeliť číslo 6 0, ale to sa nedá. Odpoveď: výraz 1) nedáva zmysel, keď a = 0.

V príklade 2) menovateľ x - 4 = 0 pri x = 4, preto túto hodnotu x = 4 nemožno vziať. Odpoveď: výraz 2) nedáva zmysel, keď x = 4.

V príklade 3) je menovateľ x + 2 = 0, keď x = -2. Odpoveď: výraz 3) nedáva zmysel, keď x = -2.

V príklade 4) je menovateľ 5 -|x| = 0 pre |x| = 5. A keďže |5| = 5 a |-5| = 5, potom nemôžete vziať x = 5 a x = -5. Odpoveď: výraz 4) nedáva zmysel pri x = -5 a pri x = 5.
IV. Dva výrazy sa považujú za zhodné, ak sú pre akékoľvek prípustné hodnoty premenných zodpovedajúce hodnoty týchto výrazov rovnaké.

Príklad: 5 (a – b) a 5a – 5b sú tiež rovnaké, pretože rovnosť 5 (a – b) = 5a – 5b bude platiť pre všetky hodnoty a a b. Rovnosť 5 (a – b) = 5a – 5b je identita.

Identita je rovnosť, ktorá platí pre všetky prípustné hodnoty premenných v nej zahrnutých. Príkladmi už známych identít sú napríklad vlastnosti sčítania a násobenia a distributívna vlastnosť.

Nahradenie jedného výrazu iným identicky rovnakým výrazom sa nazýva transformácia identity alebo jednoducho transformácia výrazu. Identické transformácie výrazov s premennými sa vykonávajú na základe vlastností operácií s číslami.

a) preveďte výraz na identicky rovný pomocou distribučnej vlastnosti násobenia:

1) 10·(1,2x + 2,3y); 2) 1,5.(a-2b + 4c); 3) a·(6m-2n + k).

Riešenie. Pripomeňme si distribučnú vlastnosť (zákon) násobenia:

(a+b)c=ac+bc(distributívny zákon násobenia vzhľadom na sčítanie: ak chcete vynásobiť súčet dvoch čísel tretím číslom, môžete vynásobiť každý člen týmto číslom a výsledné výsledky sčítať).
(a-b) c=a c-b c(distributívny zákon násobenia vo vzťahu k odčítaniu: ak chcete vynásobiť rozdiel dvoch čísel tretím číslom, môžete vynásobiť minuend a odpočítať od tohto čísla oddelene a odpočítať druhé od prvého výsledku).

1) 10·(1,2x + 2,3r) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3r = 12x + 23r.

2) 1,5.(a-2b + 4c) = 1,5a-3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) transformovať výraz na identicky rovnaký pomocou komutatívnych a asociatívnych vlastností (zákonov) sčítania:

4) x + 4,5 + 2 x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s.

Riešenie. Aplikujme zákony (vlastnosti) sčítania:

a+b=b+a(komutatívne: preskupenie pojmov nezmení súčet).
(a+b)+c=a+(b+c)(kombinatívne: ak chcete k súčtu dvoch výrazov pridať tretie číslo, môžete k prvému číslu pridať súčet druhého a tretieho).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

V) Preveďte výraz na identicky rovný pomocou komutatívnych a asociatívnych vlastností (zákonov) násobenia:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.

Riešenie. Aplikujme zákony (vlastnosti) násobenia:

a·b=b·a(komutatívne: preskupenie faktorov nemení súčin).
(a b) c=a (b c)(kombinačný: ak chcete vynásobiť súčin dvoch čísel tretím číslom, môžete prvé číslo vynásobiť súčinom druhého a tretieho).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2у · (-1) = 7u.

9) 3a · (-3) · 2c = -18ac.

Ak je algebraický výraz uvedený vo forme redukovateľného zlomku, potom pomocou pravidla na zmenšovanie zlomku ho možno zjednodušiť, t.j. nahraďte ho identickým, jednoduchším výrazom.

Príklady. Zjednodušte pomocou redukcie frakcií.

Riešenie. Zmenšiť zlomok znamená vydeliť jeho čitateľa a menovateľa rovnakým číslom (výrazom), iným ako nula. Frakcia 10) sa zníži o 3b; zlomok 11) znížiť o A a zlomok 12) sa zníži o 7n. Dostaneme:

Algebraické výrazy sa používajú na vytváranie vzorcov.

Vzorec je algebraický výraz napísaný ako rovnosť a vyjadrujúci vzťah medzi dvoma alebo viacerými premennými. Príklad: vzorec cesty, ktorý poznáte s=v t(s - prejdená vzdialenosť, v - rýchlosť, t - čas). Pamätajte si, aké ďalšie vzorce poznáte.

www.mathematics-repetition.com

Význam pravidla algebraického výrazu

Numerické a algebraické výrazy

Na základnej škole ste sa naučili počítať celé a zlomkové čísla, riešil rovnice, zoznámil sa s geometrickými útvarmi a súradnicovou rovinou. Toto všetko tvorilo obsah jedného školský predmet "matematika". V skutočnosti je taká dôležitá oblasť vedy, akou je matematika, rozdelená na obrovské množstvo nezávislých disciplín: algebra, geometria, teória pravdepodobnosti, matematická analýza, matematická logika, matematická štatistika, teória hier atď. Každá disciplína má svoje vlastné predmety štúdia, svoje metódy chápania reality.

Algebra, ktorú sa chystáme študovať, dáva človeku príležitosť nielen na rôzne výkony výpočty, ale zároveň ho učí robiť to čo najrýchlejšie a racionálne. Človek ovládajúci algebraické metódy má oproti tým, ktorí tieto metódy neovládajú, výhodu: rýchlejšie počíta, úspešnejšie sa orientuje v životných situáciách, jasnejšie sa rozhoduje a lepšie premýšľa. Našou úlohou je pomôcť vám zvládnuť algebraické metódy, vašou úlohou nie je brániť sa učeniu, byť ochotný nás nasledovať, prekonávať ťažkosti.

V podstate už na základnej škole sa ti otvorilo okno do magického sveta algebry, pretože algebra študuje predovšetkým číselné a algebraické výrazy.

Pripomeňme, že číselný výraz je každý záznam zložený z čísel a znakov počtových operácií (samozrejme zložený s významom: napr. 3 + 57 je číselný výraz, kým 3 + : nie je číselný výraz, ale nezmyselný súbor symbolov). Z určitých dôvodov (o nich si povieme neskôr) sa namiesto konkrétnych čísel často používajú písmená (hlavne z latinskej abecedy); potom sa získa algebraický výraz. Tieto výrazy môžu byť veľmi ťažkopádne. Algebra vás naučí zjednodušiť ich pomocou rôznych pravidiel, zákonov, vlastností, algoritmov, vzorcov, teorémov.

Príklad 1. Zjednodušte číselný výraz:

Riešenie. Teraz si spolu niečo pripomenieme a uvidíte, koľko algebraických faktov už poznáte. Najprv musíte vypracovať plán na vykonávanie výpočtov. Aby ste to dosiahli, budete musieť použiť konvencie prijaté v matematike o poradí operácií. Postup v tomto príklade by bol nasledujúci:

1) nájdite hodnotu A výrazu v prvých zátvorkách:
A = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81;

2) nájdite hodnotu B výrazu v druhej zátvorke:

3) vydeľte A B - potom budeme vedieť, aké číslo C je obsiahnuté v čitateli (t. j. nad vodorovnou čiarou);

4) nájdite hodnotu D menovateľa (t. j. výraz obsiahnutý pod vodorovnou čiarou):
D = 25 - 37 - 0,4;

5) rozdeľte C na D - to bude požadovaný výsledok. Existuje teda plán výpočtu (a mať plán je polovica
úspech!), začnime to implementovať.

1) Nájdeme A = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81. Samozrejme, môžete počítať v rade alebo, ako sa hovorí, „hlava na hlavu“: 2,73 + 4,81, potom k tomuto číslu pridajte
3,27, potom odpočítajte 2,81. Ale kultivovaný človek takto kalkulovať nebude. Bude si pamätať komutatívne a asociatívne zákony sčítania (nemusí si ich však pamätať, vždy ich má v hlave) a bude počítať takto:

(2,73 + 3,27) + 4,81 — 2,81) = 6 + 2 = 8.

Teraz si ešte raz spoločne rozoberieme, aké matematické fakty sme si pri riešení príkladu museli zapamätať (a nielen zapamätať, ale aj použiť).

1. Poradie aritmetických operácií.

2. Komutatívny zákon sčítania: a + b = b + a.

4. Kombinačný zákon sčítania:
a+b + c = (a + b) + c = a + (b + c).

5. Kombinačný zákon násobenia: abc = (ab)c = a(bc).

6. Bežné pojmy zlomkov, desiatkový, záporné číslo.

7. Aritmetické operácie s desatinnými zlomkami.

8. Aritmetické operácie s obyčajnými zlomkami.

10. Pravidlá pre akcie s pozitívnym a negatívnym čísla. Toto všetko viete, ale toto všetko sú algebraické fakty. Takže ste už na základnej škole mali nejaké skúsenosti s algebrou. Hlavným problémom, ako je vidieť z príkladu 1, je, že takýchto faktov je pomerne veľa a človek ich musí nielen poznať, ale aj vedieť ich použiť, ako sa hovorí, „v správnom čase a v správne miesto.” Toto sa naučíme.

Keďže písmenám, ktoré tvoria algebraický výraz, môžu byť pridelené rôzne číselné hodnoty (to znamená, že význam písmen sa môže meniť), tieto písmená sa nazývajú premenné.

b) Podobne, podľa poradia akcií, dôsledne zisťujeme:

Ale nemôžete deliť nulou! Čo to znamená v tomto prípade (a v iných podobných prípadoch)? To znamená, že keď : daný algebraický výraz nedáva zmysel.

Používa sa nasledujúca terminológia: ak má algebraický výraz pre konkrétne hodnoty písmen (premenných) číselnú hodnotu, potom sa špecifikované hodnoty premenných nazývajú prípustné; ak pre konkrétne hodnoty písmen (premenných) algebraický výraz nedáva zmysel, potom sa uvedené hodnoty premenných nazývajú neplatné.

Takže v príklade 2 sú prijateľné hodnoty a = 1 a b = 2, a = 3,7 a b = -1,7, zatiaľ čo hodnoty
neplatné (presnejšie: prvé dva páry hodnôt sú platné a tretí pár hodnôt je neplatný).

Vo všeobecnosti budú v príklade 2 neprijateľné také hodnoty premenných a, b, pre ktoré buď a + b = 0, alebo a - b = 0. Napríklad a = 7, b = - 7 alebo a = 28,3, b = 28 ,3 - neplatné dvojice hodnôt; v prvom prípade a + b = 0 a v druhom prípade a - b = 0. V oboch prípadoch sa menovateľ výrazu uvedeného v tomto príklade stane nulou a, zopakujeme, nemožno ho deliť nulou. . Teraz budete pravdepodobne sami schopní prísť s platnými pármi hodnôt pre premenné a, b a neplatnými pármi hodnôt pre tieto premenné v príklade 2. Vyskúšajte to!

Online matematické materiály, problémy a odpovede podľa ročníkov, plány hodín matematiky na stiahnutie

A. V. Pogorelov, Geometria pre ročníky 7-11, Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie

Ak máte opravy alebo návrhy k tejto lekcii, napíšte nám.

Ak chcete vidieť ďalšie úpravy a návrhy na hodiny, pozrite sa sem - Vzdelávacie fórum.

Na hodinách algebry sa v škole stretávame s výrazmi rôzneho typu. Ako sa učíte nový materiál, nahrávacie výrazy sa stávajú rozmanitejšími a komplexnejšími. Napríklad sme sa zoznamovali s mocninami - mocniny sa objavovali vo výrazoch, študovali sme zlomky - objavovali sa zlomkové výrazy atď.

Pre uľahčenie popisu materiálu dostali výrazy pozostávajúce z podobných prvkov špecifické názvy, aby sa odlíšili od celej škály výrazov. V tomto článku sa s nimi zoznámime, to znamená, že poskytneme prehľad základných výrazov študovaných na hodinách algebry v škole.

Navigácia na stránke.

Monómy a polynómy

Začnime s výrazmi tzv monočleny a polynómy. V čase písania tohto článku sa rozhovor o monomoch a polynómoch začína na hodinách algebry v 7. ročníku. Sú tam uvedené nasledujúce definície.

Definícia.

Monomiály nazývajú sa čísla, premenné, ich mocniny s prirodzenými exponentmi, ako aj ľubovoľné súčiny z nich zložené.

Definícia.

Polynómy je súčet monomilov.

Napríklad číslo 5, premenná x, mocnina z 7, súčin 5 x a 7 x x 2 7 z 7 sú jednočlenné. Ak vezmeme súčet monočlenov, napríklad 5+x alebo z 7 +7+7·x·2·7·z 7, dostaneme polynóm.

Práca s monomickými a polynómami často zahŕňa robenie vecí s nimi. Na množine jednočlenov je teda definované násobenie jednočlenov a povýšenie jednočlenu na mocninu v tom zmysle, že ako výsledok ich vykonania sa získa jednočlen.

Sčítanie, odčítanie, násobenie a umocňovanie sú definované na množine polynómov. Ako sa tieto akcie určujú a podľa akých pravidiel sa vykonávajú, si povieme v článku Akcie s polynómami.

Ak hovoríme o polynómoch s jednou premennou, potom pri práci s nimi má delenie polynómu polynómom značný praktický význam a často sa takéto polynómy musia reprezentovať ako súčin.

Racionálne (algebraické) zlomky

V 8. ročníku sa začína štúdium výrazov obsahujúcich delenie výrazom s premennými. A prvé takéto výrazy sú racionálne zlomky, ktorý niektorí autori nazývajú algebraické zlomky.

Definícia.

Racionálny (algebraický) zlomok je zlomok, ktorého čitateľom a menovateľom sú mnohočleny, najmä jednočleny a čísla.

Tu je niekoľko príkladov racionálnych zlomkov: a . Mimochodom, každý obyčajný zlomok je racionálny (algebraický) zlomok.

Sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie a umocňovanie sú zavedené na rôznych algebraických zlomkoch. Ako sa to robí, je vysvetlené v článku Akcie s algebraickými zlomkami.

Často je potrebné transformovať algebraické zlomky, z ktorých najbežnejšie sú redukcia a redukcia na nového menovateľa.

Racionálne výrazy

Definícia.

Výrazy s mocninami (silové výrazy) sú výrazy obsahujúce vo svojom zápise stupne.

Tu je niekoľko príkladov výrazov s mocnosťami. Nesmú obsahovať premenné, napríklad 2 3 , . Mocninné výrazy s premennými sa tiež uskutočňujú: a tak ďalej.

Nebolo by na škodu oboznámiť sa s tým, ako sa to robí. konvertovanie výrazov s mocninami.

Iracionálne výrazy, výrazy s koreňmi

Definícia.

Výrazy obsahujúce logaritmy sa nazývajú logaritmické výrazy.

Príklady logaritmických výrazov sú log 3 9+lne , log 2 (4 a b), .

Výrazy veľmi často obsahujú mocniny aj logaritmy, čo je pochopiteľné, keďže logaritmus je podľa definície exponent. Výsledkom je, že takéto výrazy vyzerajú prirodzene: .

Ak chcete pokračovať v téme, pozrite si materiál prevod logaritmických výrazov.

Zlomky

V tejto časti sa pozrieme na výrazy špeciálneho typu – zlomky.

Zlomok rozširuje koncept. Zlomky majú tiež čitateľa a menovateľa umiestneného nad a pod horizontálnou zlomkovou čiarou (vľavo a vpravo od šikmej zlomkovej čiary). Len na rozdiel od obyčajných zlomkov môže čitateľ a menovateľ obsahovať nielen prirodzené čísla, ale aj akékoľvek iné čísla, ako aj akékoľvek výrazy.

Poďme teda definovať zlomok.

Definícia.

Zlomok je výraz pozostávajúci z čitateľa a menovateľa oddelených zlomkovou čiarou, ktoré predstavujú niektoré číselné alebo abecedné výrazy alebo čísla.

Táto definícia vám umožňuje uviesť príklady zlomkov.

Začnime príkladmi zlomkov, ktorých čitateľmi a menovateľmi sú čísla: 1/4, , (-15)/(-2) . Čitateľ a menovateľ zlomku môže obsahovať výrazy, číselné aj abecedné. Tu sú príklady takýchto zlomkov: (a+1)/3, (a+b+c)/(a 2 +b 2), .

Ale výrazy 2/5−3/7 nie sú zlomky, hoci zlomky vo svojom zápise obsahujú.

Všeobecné výrazy

Na strednej škole, najmä v úlohách zvýšenej náročnosti a úlohách skupiny C na Jednotnej štátnej skúške z matematiky, sa stretnete s výrazmi zložitého tvaru, ktoré obsahujú vo svojom zápise súčasne odmocniny, mocniny, logaritmy, goniometrické funkcie atď. Napríklad, alebo . Zdá sa, že vyhovujú niekoľkým typom výrazov uvedených vyššie. Ale zvyčajne nie sú klasifikované ako jeden z nich. Sú zvažovaní všeobecné výrazy a pri opise jednoducho povedia výraz bez pridania ďalších vysvetlení.

Na záver článku by som chcel povedať, že ak je daný výraz ťažkopádny a ak si nie ste úplne istý, do akého typu patrí, je lepšie ho nazvať jednoducho výrazom, ako ho nazvať výrazom, ktorý nie je .

Bibliografia.

• Matematika: učebnica pre 5. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / N. Ya Vilenkin, V. I. Žochov, A. S. Česnokov, S. I. Shvartburd. - 21. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. 6. ročník: výchovný. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [N. Ya. Vilenkin a ďalší]. - 22. vydanie, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: chor. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: učebnica pre 7. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 17. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 240 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: učebnica pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9. ročník: výchovný. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2009. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 ročníkov. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn a ďalší; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2004. - 384 s.: ill.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre študentov technických škôl): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.

Algebraické výrazy sa začínajú učiť v 7. ročníku. Majú množstvo vlastností a používajú sa pri riešení problémov. Pozrime sa na túto tému podrobnejšie a zvážime príklad riešenia problému.

Definícia pojmu

Aké výrazy sa nazývajú algebraické? Ide o matematický zápis pozostávajúci z čísel, písmen a aritmetických symbolov. Prítomnosť písmen je hlavným rozdielom medzi numerickými a algebraickými výrazmi. Príklady:

• 4a+5;
• 6b-8;
• 5s:6*(8+5).

Písmeno v algebraických výrazoch označuje číslo. Preto sa to volá premenná – v prvom príklade je to písmeno a, v druhom b a v treťom c. Samotný algebraický výraz sa tiež nazýva výraz s premennou.

Hodnota výrazu

Význam algebraického výrazu je číslo získané ako výsledok vykonania všetkých aritmetických operácií uvedených v tomto výraze. Aby ste to však dostali, musia byť písmená nahradené číslami. Preto v príkladoch vždy uvádzajú, ktoré číslo zodpovedá písmenu. Pozrime sa, ako nájsť hodnotu výrazu 8a-14*(5-a), ak a=3.

Za písmeno a dosadíme číslo 3. Dostaneme nasledujúci zápis: 8*3-14*(5-3).

Rovnako ako v numerických výrazoch, riešenie algebraického výrazu sa vykonáva podľa pravidiel na vykonávanie aritmetických operácií. Vyriešme všetko po poriadku.

• 5-3=2.
• 8*3=24.
• 14*2=28.
• 24-28=-4.

Hodnota výrazu 8a-14*(5-a) pri a=3 sa teda rovná -4.

Hodnota premennej sa nazýva platná, ak s ňou výraz dáva zmysel, to znamená, že je možné nájsť jej riešenie.

Príkladom platnej premennej pre výraz 5:2a je číslo 1.

Ak ho dosadíme do výrazu, dostaneme 5:2*1=2,5. Neplatná premenná pre tento výraz je 0. Ak do výrazu dosadíme nulu, dostaneme 5:2*0, teda 5:0. Nemôžete deliť nulou, čo znamená, že výraz nedáva zmysel.

Prejavy identity

Ak sú dva výrazy rovnaké pre akékoľvek hodnoty ich základných premenných, nazývajú sa identické.
Príklad identických výrazov :
4(a+c) a 4a+4c.
Nech už majú písmená a a c akékoľvek hodnoty, výrazy budú vždy rovnaké. Akýkoľvek výraz môže byť nahradený iným, ktorý je s ním identický. Tento proces sa nazýva transformácia identity.

Príklad transformácie identity .
4*(5a+14c) – tento výraz možno nahradiť identickým použitím matematického zákona násobenia. Ak chcete vynásobiť číslo súčtom dvoch čísel, musíte toto číslo vynásobiť každým výrazom a pridať výsledky.

• 4*5a=20a.
• 4*14s=64s.
• 20a+64s.

Teda výraz 4*(5a+14c) je identický s výrazom 20a+64c.

Číslo nachádzajúce sa pred písmenovou premennou v algebraickom výraze sa nazýva koeficient. Koeficient a premenná sú multiplikátory.

Riešenie problémov

Algebraické výrazy sa používajú na riešenie problémov a rovníc.
Uvažujme o probléme. Peťo vymyslel číslo. Aby to jeho spolužiak Saša uhádol, Peťo mu povedal: najprv som k číslu pridal 7, potom som od neho odčítal 5 a vynásobil 2. Vo výsledku mi vyšlo číslo 28. Aké číslo som uhádol?

Ak chcete problém vyriešiť, musíte skryté číslo označiť písmenom a a potom s ním vykonať všetky uvedené akcie.

• (a+7)-5.
• ((a+7)-5)*2=28.

Teraz poďme vyriešiť výslednú rovnicu.

Peťa si priala číslo 12.

Čo sme sa naučili?

Algebraický výraz je záznam pozostávajúci z písmen, číslic a aritmetických symbolov. Každý výraz má hodnotu, ktorá sa zistí vykonaním všetkých aritmetických operácií vo výraze. Písmeno v algebraickom výraze sa nazýva premenná a číslo pred ňou sa nazýva koeficient. Algebraické výrazy sa používajú na riešenie problémov.

Test na danú tému

Hodnotenie článku

Priemerné hodnotenie: 4.4. Celkový počet získaných hodnotení: 529.