Životný audit. Nulový bod NT Stav človeka v bode nula

Bod x 0 sa nazýva maximálny bod funkcie f(x), ak je v niektorom okolí bodu x 0 splnená nerovnosť ()(0 xfxf).

Bod x 1 sa nazýva minimálny bod funkcie f(x), ak v niektorom okolí bodu x 1 je nerovnosť ()(1 xfxf) Hodnoty funkcie v bodoch x 0 a x 1 sa nazývajú maximum a minimum funkcie Maximum a minimum funkcie sa nazýva extrém funkcie.

Na jednom intervale môže mať funkcia niekoľko extrémov a môže sa stať, že minimum v jednom bode je väčšie ako maximum v inom. Maximum alebo minimum funkcie na určitom intervale nie je vo všeobecnosti najväčšou a najmenšou hodnotou funkcie. Ak má v určitom bode xx 00 diferencovateľná funkcia f(xf(x)) extrém, potom v nejakom okolí tohto bodu platí Fermatova veta a derivácia funkcie sa v tomto bode rovná nule: 0)(0 xf

Funkcia však môže mať extrém v bode, v ktorom nie je diferencovateľná. Napríklad funkcia xy má minimum v bode 0 x, ale v tomto bode nie je diferencovateľná.

Aby funkcia y=f(x) mala v bode x 0 extrém, je potrebné, aby jej derivácia v tomto bode bola rovná nule alebo neexistovala.

Body, v ktorých je splnená nevyhnutná extrémna podmienka, sa nazývajú kritické alebo stacionárne. T. zv. , ak je v ktoromkoľvek bode extrém, potom je tento bod kritický. Kritický bod však nemusí byť nevyhnutne extrémnym bodom.

Aplikujme nevyhnutnú extrémnu podmienku: xxy 2)(2 002 xprixy 0 0 y x - kritický bod

Aplikujme nevyhnutnú extrémnu podmienku: 23 3)1(xxy 003 2 xprixy 1 0 y x - kritický bod

Ak pri prechode bodom x 0 derivácia diferencovateľnej funkcie y=f(x) zmení znamienko z plus na mínus, potom x 0 je maximálny bod a ak z mínus na plus, potom x 0 je minimum bod.

Nech derivácia zmení znamienko z plus na mínus, t.j. na určitom intervale 0; xa 0)(xf a na nejakom intervale bx; 0 0)(xf Potom funkcia y=f(x) vzrastie o 0; xa

a zníži sa o bx; 0 Podľa definície rastúcej funkcie 00 ;)()(xaxallforxfxf Pre klesajúcu funkciu bxxallforxfxf;)()(00 0 x je maximálny bod. Podobne sa dokazuje aj pre minimum.

1 Nájdite deriváciu funkcie)(xfy 2 Nájdite kritické body funkcie, v ktorých je derivácia nulová alebo neexistuje.

3 Preskúmajte znamienko derivácie vľavo a vpravo od každého kritického bodu. 4 Nájdite extrém funkcie.

Aplikujme schému na štúdium funkcie na extrém: 1 Nájdite deriváciu funkcie: 233)1(3)1())1((xxxxxy)14()1()31()1(22 xxxxx

3 Skúmame znamienko derivácie vľavo a vpravo od každého kritického bodu: x 4 1 1 y y V bode x=1 x=1 nie je extrém.

Ak je prvá derivácia diferencovateľnej funkcie y=f(x) v bode x 0 rovná nule a druhá derivácia v tomto bode je kladná, potom x 0 je minimálny bod, a ak je druhá derivácia záporná, potom x 0 je maximálny bod.

Nech 0)(0 xf teda 0)(0 xf a v nejakom okolí bodu x 00, teda 0)()(xfxf

functionba; sa zvýši na)(xf obsahujúce bod x 00. Ale Ho 0)(0 xf na intervale 0; xa 0)(xf a na intervale bx; 0 0)(xf

Pri prechode bodom x 00 teda funkcia zmení znamienko z mínusu na plus, preto je tento bod minimálnym bodom.)(xf Prípad maxima funkcie je dokázaný podobným spôsobom.

Schéma na štúdium funkcie v extréme je v tomto prípade podobná predchádzajúcej, ale tretí bod by sa mal nahradiť takto: 3 Nájdite druhú deriváciu a určte jej znamienko v každom kritickom bode.

Z druhej postačujúcej podmienky vyplýva, že ak sa v kritickom bode druhá derivácia funkcie nerovná nule, potom je tento bod extrémnym bodom. Opačné tvrdenie nie je pravdivé: ak je v kritickom bode druhá derivácia funkcie rovná nule, potom tento bod môže byť aj extrémnym bodom. V tomto prípade je na štúdium funkcie potrebné použiť prvú dostatočnú podmienku pre extrém.

Svojou kožou cítim, že pozemská evolúcia sa dnes priblížila k bodu NULA. Nachádza sa v nulovom bode.

Všetky sociálne inštitúcie sú kriticky sprofanované.
Skolabujte, tento rok sa môže stať...

Hory sa vzďaľujú
oceány stúpajú

Zem sa trasie
Nebesá sa otvárajú -
Veľký kozmický rok sa končí.
Len ľudská hlúposť
Zostáva stáť na mieste.
Ľudská prirodzenosť sa zdá byť nemenná vo svojej nehybnosti.

Malé veci si predstavuje ako veľké,
Veľký - bezvýznamný.
tam...

Človek, ktorý sa chce stať kanálom univerzálnej moci, sa musí naučiť prijať a spoľahnúť sa sám na seba. Potrebuje sa zbaviť všetkých vnútorných konfliktov a sebadeštruktívnych sklonov. Je vyzvaný, aby dal svojej osobnosti lásku a výživu, ktorú potrebuje.

Viera v seba neznamená izoláciu od sveta. Každému rozumnému človeku je jasné, že úspech a tvorivá realizácia sú možné len v podmienkach aktívnej interakcie so svetom. K svetu i k sebe však môžeme pristupovať inak – v...

Takže ľudské Svetelné telo sa mení pod vplyvom určitých faktorov. Po prvé, človek môže vedome pracovať so Svetelným telom prostredníctvom vizualizácie. Čistota Svetelného tela sa získa tak, že sa vaše telá spoja okolo Stredového bodu.

Čo je centrovací bod? Toto je harmonické usporiadanie ľudského Svetelného tela v bunke priestorovej mriežky. Každý z vás má len niekoľko bodov v časopriestorovom kontinuu, v ktorom vaše multidimenzionálne...

Cesta bola dlhá. Dlhšie ako zvyčajne. A hoci miesto už bolo známe, cesta bola náročná. Ramienka zarezané do pliec nedovolili zabudnúť na telo a len vôľa a prítomnosť a pol vreca nedovolili prevalcovať emócie.

A tu je východiskový bod.
Tábor, palivové drevo, oheň a úzkosť, ktorá z času na čas vyvstáva zo snahy pochopiť priestor okolo. Záhada je hraničná, respektíve prechádza do zvieracieho strachu. Obraz, ktorý sa otvára pod nohami, vzbudzoval rešpekt s rešpektom svojou mnohorozmernosťou...

Chceme vás upozorniť na veľmi múdre, no zároveň úplne zrejmé tvrdenie: pred sebou sa nedá utiecť. Čo si si myslel predtým a myslíš aj teraz? Tu je výsledok! Váš súčasný život v celej svojej kráse.

Ale, ako sa hovorí: čo ide okolo, príde okolo (alebo čo ide okolo, príde okolo)! Teraz chceme upriamiť vašu najväčšiu pozornosť na vibračnú relatívnosť medzi tým, kde ste teraz, a tým, kde naozaj chcete byť – pretože toto je miesto...

Na ceste nahor sú dva kroky a prvým je získať túžbu (hisaron)!

V našom hmotnom svete sa už rodíme s túžbou odhaliť ho a ovládnuť ho, využiť ho, kontaktovať ho.

Ale v duchovnom svete to tak nie je! Túto túžbu si musíme zaslúžiť sami.

A k tomu nám pomáha aj svetlo – pomocou neho budujeme svoju túžbu v obrátenej, egoistickej podobe, ktorá nám pomáha prijímať túžbu obdarovať, duchovné Kli (duchovná nádoba je túžba obdarovať).

Stále sa opakuje tá istá otázka: prečo by svetlo od samého začiatku nemohlo vytvoriť hotové stvorenie už podobné Stvoriteľovi?

Ale to je nemožné! Nie je možné priamo preniesť vlastnosť darovania zo Stvoriteľa na stvorenie.

Preto musíme prejsť rozdelením svetov (vo svete Nikudim) a duše (pád od hriechu so Stromom poznania).

Inak je nemožné zjednotiť sa, vniesť do seba vlastnosti odovzdávania a prijímania, Bina a Malchut, okrem zlomenia, hriechu (zlomenia) Adama alebo rozbitia chrámu.

„Bod návratu“ je dočasný a energetický stav, po prekonaní ktorého už vedomie človeka nemôže zomrieť – anihilovať. Nastáva vtedy, keď duša človeka nahromadí dostatočné množstvo energie, to znamená, že nadobudne určitú energetickú intenzitu vedomia, ktorá vyrovnáva jej karmické dlhy.

Karmický dlh sa okrem morálnych, etických a energetických väzieb medzi ľuďmi, prírodou a inými predmetmi a subjektmi vždy prejavuje aj v účte času, ktorý...

Niet svetla bez nádoby, niet naplnenia bez túžby. Horné Svetlo je v absolútnom pokoji, napĺňa a obklopuje celý vesmír. Všetko závisí len od našej túžby, našich nádob vnímania.

Ak sa naša túžba usiluje presne o túto náplň, potom túto náplň pocítime.

A ak túžba presne nezodpovedá frekvencii alebo vlastnosti náplne, to znamená, že neexistuje žiadna podobnosť vlastností medzi túžbou a náplňou, potom necítime náplň, ako v mnohých prípadoch v našom svete.

Všetko je na tomto svete obrátené hore nohami! Čiastočne z naivity, čiastočne preto, aby odstránil ilúziu ťažkého bremena existencie, sa autor pokúsil napísať „Kvintesenciu iluzórie“ pre svojich priateľov. Napriek tomu autor stále prijíma zaslúžené výčitky a sťažnosti na náročnosť chápania existencie ako faktu. Aj keď podľa jeho názoru je vzorec „Point Zero“ ohromujúci svojou jednoduchosťou a vedie k úplnej bezstarostnosti.

Toto dielo je ďalším pokusom o vyjadrenie nevysloviteľného slovami. Myšlienka napísať tento text bola autorovi navrhnutá v rozhovoroch o nedokonalosti tohto sveta a strate moderného človeka v hromadách, ktoré

stavia si ho sám.

O človeku vieme málo, no mnohých z nás prenasleduje myšlienka, že človek by mal niečo dosiahnuť. Tu začína zmätok. Zmätok s úspechom, ziskom, majetkom, stratou a strachom. Človek sa musí neustále učiť pozeraním okolo seba. Keď sa žiarlivo rozhliadneme, chceme získať podmienené dobro, podmienené šťastie, podmienenú slobodu. Túžime mať to, čo si myslíme, že majú ostatní. Navonok nepostrehnuteľná úzkosť zo šťastia, ktoré nás obišlo, v nás vyvoláva nešťastie. Zrazu sa objaví túžba zmeniť svet tak, aby konečne prišla realizácia našich túžob. A ak sa nám podarí niečo získať, nevyhnutne si to chceme udržať a pripísať si zásluhy za úspech. Nie vždy nám je jasné, že sa so sebou a s plánmi do budúcnosti hráme na mačku a myš. A ako viete, akékoľvek pokusy o zmenu alebo vytvorenie „správnej“ budúcnosti vedú k premýšľaniu o minulosti, porovnávaniu, výberu, úzkosti a boju v prítomnosti. Obavy a strach sa stali pre ľudí normou, ale s prirodzeným stavom človeka to nemá veľa spoločného. Úzkosť bude pokračovať, pokiaľ to falošné nebude vnímané ako falošné v jeho tvorcovi.

V podstate nevinné pokusy zmeniť svet okolo nás už vedú k úzkosti a väčšina z nás, keď začíname „profesionálne“ zlepšovať svoju budúcnosť, strácame sa v snoch. Strácame zo zreteľa skutočnosť, že budúcnosť je len výplodom fantázie a že budúcnosť sa dokáže postarať sama o seba. Pokusy ovplyvniť budúcnosť sú podobné magickým rituálom a menia sa na túžbu zmeniť a ovládať osud, ktorý nepoznáme. Málokto si v procese hľadania toho najlepšieho všimne, že sa zrazu odniekiaľ objavili kategórie Šťastie, Utrpenie, Osud atď. Ale v procese akéhokoľvek hľadania a akcie vždy niečo zostáva nezmenené a najčastejšie nepovšimnuté. A presne o tom je tento diel.

Funkcia f(x)±g(x) súvislý v bode X 0 , ak funkcie f(x\g(x) súvislý v bode X 0 .

Funkcia f(x)-g(x) súvislý v bode X 0 , ak funkcie f(x\g(x) súvislý v bode X 0 .

Funkcia - súvislý v bode X 0 , ak funkcie f(x), g(x) súvislý v bode Xq A g(x 0 ) f 0.

Funkcia f(g(x)) súvislý v bode X 0 ak funkcia f(z) súvislý v bode z 0 = g(x 0 ) a funkciu g(x) súvislý v bode X 0 .

Definícia. Funkcia sa volá priebežne na intervale(A; b\ ak je spojitý v každom bode tohto intervalu. Funkcia Dx ) volal kontinuálne na segmente , ak je na intervale súvislá (a; b), a je tiež priamo súvislý v bode A a je ponechaná súvislá v bode Kommersant (t.j. lim opraviť)= f(a\ lim opraviť)= fib))

Definícia. Funkcia sa volá bod zlomuX q, ak je v tomto bode porušená aspoň jedna z podmienok kritéria spojitosti funkcie v bode. V tomto prípade ide o bod X 0 sa volá bod zlomu funkcie.

Klasifikácia bodov diskontinuity funkcií

1) Bod X 0 volal odnímateľný bod zlomu, ak v tomto bode existujú limity vpravo a vľavo, sú konečné a sú si navzájom rovné, t.j.

tona /O) = tona /O). Ale zároveň hodnotu funkcie v bode X 0 alebo nie sú definované

delené alebo nerovnajúce sa špecifikovaným jednostranným limitom.

2) Bod X 0 sa volá bod diskontinuity 1. druhu, ak v tomto bode existujú limity vpravo a vľavo, sú konečné a nie sú si navzájom rovné, t.j.

tona /(jc)* tona /00

x^>x 0 +0 x^>x 0 -0

3) Bod X 0 sa volá bod diskontinuity 2. druhu, ak v tomto bode aspoň jedna z limitov vpravo a vľavo neexistuje alebo je nekonečná.

PRÍKLAD. Preskúmať funkcie/(x) , / 2 (jc) , / 3 (jc) pre spojitosť určiť body diskontinuity, ak existujú, a určiť povahu diskontinuity. RIEŠENIE.

1) f1(x) = . Funkcia nie je v bode definovaná x = 0, takže tento bod

ka je bod zlomu. Poďme určiť typ diskontinuity. Pomocou prvého pozoruhodného limitu (pozri vzorec (1)) dostaneme

hriech X. hriech X hriech X Hm = Hm = lim = 1 teda, x = 0 je bod nastavenia

x^0 x X^0-0 X X^0+0 X

zraniteľný rozchod.

2) / 2 (jc) = 3 X . Funkcia nie je v bode definovaná x = 0, čo znamená, že funkcia sa v tomto bode zlomí. Ukážme, že ide o diskontinuitu 2. druhu. Nájdite hranice vpravo a vľavo v bode x = 0. Pripomeňme si obmedzujúce vlastnosti exponenciálnej funkcie d (a > 1), známe zo školských osnov: Hm a 1 = +oo, Hmm A 1 = 0.

//->+áno f-»-oo

Odtiaľto dostaneme:

lim 3 X = lim3* =

X->0+0 *->0

pri x-» 0, x> 0

lim 3 f = +oo,

£- » -00

lim 3 X =ShpZ*

I/7I X^O,X<0

Pretože limit na pravej strane sa rovná nekonečnu x = 0 je bod nespojitosti 2. druhu. Schematický graf skúmanej funkcie je uvedený na obrázku 1.

Ryža. 2 1. Schematický graf funkcie f

(X) 3 ,jc +< 0

jc< x 3 + 3, 0< X

Funkcia f 3 1. Schematický graf funkcie f 1 3-jv: , jc > 1je daný rôznymi analytickými výrazmi na intervaloch (-oo;0), " =

f"-v"-u".

Tabuľka derivácií elementárnych funkcií

(x"Y = n-x"-\ X (A X )" = a X \pa, (napr X .

3) )" = e

A (log jcV =^, (ln*)" = -. ) X

1. ) haaa X

(sin*)"= cos 2

9) (arccos*y = X(kap X

)" = sh

(S hjc)" = chjc. (thjc)"

ch 2 X hyperbolický kosínus ch X

V tabuľke derivácií sú pomocou vzorcov 12 - 15 určené derivácie pre hyperbolické funkcie, ktoré súvisia s exponenciálou nasledujúcimi vzťahmi: X e X

+e~ V tabuľke derivácií sú pomocou vzorcov 12 - 15 určené derivácie pre hyperbolické funkcie, ktoré súvisia s exponenciálou nasledujúcimi vzťahmi: X shjc X

-e~ chjc X e X+e~ V tabuľke derivácií sú pomocou vzorcov 12 - 15 určené derivácie pre hyperbolické funkcie, ktoré súvisia s exponenciálou nasledujúcimi vzťahmi: X e X

hyperbolická dotyčnica th

hyperbolický kotangens cth* = Ak skombinujeme vlastnosť 7 na nájdenie derivácie komplexnej funkcie s tabuľkou derivácií elementárnych funkcií, dostaneme nasledujúce vzorce, ktoré je vhodné použiť pri výpočte derivácií komplexných funkcií, ak(a = a

X): (A )" = p-i (A - 1 -A".

(x"Y = n-x"-\ A (A A \pa-i\ (napr A )" = V tabuľke derivácií sú pomocou vzorcov 12 - 15 určené derivácie pre hyperbolické funkcie, ktoré súvisia s exponenciálou nasledujúcimi vzťahmi: A -A".

3) (log i)" =, (1rm)" = -.

A iLpa A

(cosu)" =-smu-u".

(hriech a)"=cos a -a“.

A a"

^/G^ 2 ~

a"

(arcsinw)" =

a"

a"

(arctgw)" =

\+ a 2

(chw)" = shww".

(shw)" = chww". a"

ch 2 w -A"

PRÍKLAD. Nájdite derivácie daných funkcií:= 4 1) r X\= ^5,

2) r

3)_y = 7 x 2 "8 x,

4)^ = 1n(x 4 -2x 3 + 6),

5)>> = čos 3x.

1) / = 4-(jc 2)" = 4-2jc = 8jc,

(P1^-i1-21 5)

-0-5) 3 .(jc-5)" = -(jc-5) 3 -l =

, 3) U = (7 l2 - 8 l)" = 7 x2 - 8x -1p7-(x 2 -8xU = 7 l2 - 8l -1p7-(2x-8), n 4 z™ 4 (X 3 +6)" 4X 3 -6X 2 +0 2X 2 (2X-3)

-2x 4) v =(\n(x - 2x + = = =

6U) 6U) ) } U 4-2X 3+6 X 4-2X 3+6 X 4-2X 3+6"

5) X y" = (cos 3jc)" = - hriech 3x■ (cos 3jc)" = - hriech(3 jc)" = - hriech

3 = -3 hriech 3 jc.

1) 20 PRÍKLAD. Nájdite derivácie funkcií= r 2) 20 PRÍKLAD. Nájdite derivácie funkcií= x-mctgx, arccos^,3) = pri + 5" X).

X

1 log^(3 2

+ x Y = O jc +)" = arctg Y = O Xx" ■ + x ■ jc +)" = Y = O X+

20 PRÍKLAD. Nájdite derivácie funkcií= (arctg = - . (arccos^y X * -Á =- .

G(Vi-) 2 V^ ; v(^ ) 2 2Vi-

3) 20 PRÍKLAD. Nájdite derivácie funkcií= v* + 5- X))" = (záznamník 3 2 (3 + 5- X 31 g 2 2 (3 + 5- X))" =

= )-(log 2 (3 + 5-X)- " = )-(log 2 (3 + 5-X) (thjc)" 31 g 2 (3

(3 + 5" X j

- )-ln2 + 5"* )

5"Mn5 (3 PRÍKLAD. 1- 4Nájdite derivácie funkcií1) 2 , 2) arccos^,3) 2 ^=-l/

=\ь RIEŠENIE. , 1) Vypočítajte deriváciu

(- 8X)- Xy[ 4X 2 pomocou vlastností 6 a 7, ako aj tabuľkovej derivácie 1:

-Vl- X 2

-l

X

4X 2 -(1-4X 2)

2 U 2 -1-4X 2

X 2 -1-4X Wow

6U) 2

( Y 2 2) Pomocou vlastností logaritmov a 2. vlastnosti derivácií získame: X l l + Vl-4 2 l

2 X

ja n 4(ln(l 2)+Vl- 2:c

)-(1p X 2) -0 - =

(1 + 1-4X)"-(1 hs)"

-(1W1-4 4 X

(1 + 1-4X 2) 2-1-4X 2 * (1 + 1-4X 2)-1-4X 2 *

2) v " * X 1.(-8jc)--

4x2-(1 + 1G4 2)-11G47 -4

2-^1Г47-(^1::47)2

4J 2 + ^1G47 + 1-4J 2 1 + l1G47 -1 x-(1+l1G47)-1G47 x(1+l1G47)-l1G47 *-l1G47 PRÍKLAD.<У*) в точ­ке с абсциссой X 0 = 1.

Napíšte rovnicu normály ku krivke arccos^,3) 0 y = 0 ) A / 3(3Jc - 2

arccos^,3) 0 = 3(1 - 2) = - 3;

RIEŠENIE. Aby sme vytvorili normálnu rovnicu, nájdeme

32 3 = y(x

(jc 0): /"(jc) = (3-(3*-2V*)) = 3-(- -jc 3 -2 - jc 2) 0 = - [x2 J*"

/"(jc 0) = /"(1) = 1-3 = -2. Dosadíme x 0 = 1

, r

3, / / ​​​​(x 0) = - 2 do normálnej rovnice (pozri vzorec (4)): j/-(-3) = (1-1). Po transformácii dostaneme požadovanú normálnu rovnicu: x - 2 r - 7 = 0.

22 ODPOVEĎ: x - 2 roky - 7 = 0 - normálna rovnica. Derivácia mocninnej exponenciálnej funkcie

20 PRÍKLAD. Nájdite derivácie funkcií= y = (F)U V^ , (X)(zistené pomocou metódy logaritmickej diferenciácie. Táto metóda pozostáva najprv z logaritmického prebratia pôvodnej funkcie; potom previesť na súčin pomocou vlastností logaritmov a nájsť deriváciu ľavej a pravej strany rovnice, ktorá obsahuje danú funkciu; Nakoniec sa z výslednej rovnice vyjadrí požadovaná derivácia. Ukážme odvodenie vzorca pre deriváciu mocninnej exponenciálnej funkcie pomocou metódy logaritmickej diferenciácie: arccos^,3)), u= 1p>" = 1pm

\ny

6U) A

v-\nu, 20 PRÍKLAD. Nájdite derivácie funkcií" = 20 PRÍKLAD. Nájdite derivácie funkcií. ( (\ny)"=v"-\nu + v(\nu)\ "-\ 3) U = (7 l2 - 8 l)" = 7 x2 - 8x -1p7-(x 2 -8xU = 7 l2 - 8l -1p7-(2x-8),£ = v"-1nu + v- -, + ),

A

A V 1J

(\ny)"=v"-\nu + v(\nu)\£ = v"-1nu + v- -,

V). (5)

PRÍKLAD. Nájdite deriváciu funkcie y =(hriech X)cos X . RIEŠENIE. V našom prípade a = hriech X, v = cosx, teda, a" = cos x, v" = - hriech X Zo vzorca (5) teda vyplýva

((sin*)00 ")" = (smx)""* .(-smx.\nsmx + C0SX - C ° SX \ V^ 7 hriech X

y" =(hriech X)cos X (ctg x■ cos X- hriech x■ V hriechu X). ODPOVEĎ: y" = (hriech X)cos X (ctg X■ cos X- hriech X■ l + Vl-4 n hriech X).

Vyhlásenie.Derivát y" (X ) podľa premennej X z danej funkcie

(x = X(t),

V parametrická forma i , sa určuje podľa vzorca [ y = Y(t)

X:

Definícia.Derivát n-tého rádu f (n) 1. Schematický graf funkcie f z funkcie j/= f(x) sa nazýva prvá derivácia (a - 1) derivát, t.j.

/ (A) (*) = (/ (And_ 1) (* ))"

Z definície vyplýva, že druhá derivácia danej funkcie je prvou deriváciou prvej derivácie tejto funkcie a výpočet derivácií rádu väčších ako je prvá je redukovaný na výpočet prvej derivácie nových funkcií.

Zoberme si vzorec na výpočet druhej derivácie y" podľa zmeny -

\x = X(t\ Noah X z funkcie zadanej v parametrickom tvare 31 g 2 (3= y(t):

arccos^,3) " =(arccos^,3)" 6U)

U XX \UGH

Je potrebné vypočítať prvú deriváciu novej funkcie, špecifikovanú v parametrickom tvare, použitím vzorca (6) na funkciu

\x = X(t),

\>Yt

V-

Vx x\

teda

6U)

( arccos^,3) 6U)

X[

24 PRÍKLAD. Nájdite prvú a druhú deriváciu funkcie zadanej v parametrickom tvare

f X= lncos?, [.у = V hriechu?.

RIEŠENIE. Nájsť prvú deriváciu arccos^,3), vypočítajme prvé derivácie vzhľadom na premennú? od X A y:

X t -

cos t

Potom podľa vzorca (6) máme

. COS?COS? 2

Y\ = -, =-ctg2?. hriech? hriech?

Druhú deriváciu nájdeme pomocou vzorca (7):

(y"J t (- ctg 2 p; g K S m 2 ?

V = =

U XX

hriecht

Uhh sm4?

25 I.4. DIFERENCIÁL FUNKCIE JEDNEJ PREMENNEJ

Definícia.Diferenciál funkcie arccos^,3) = (*) je súčin derivácie funkcie a diferenciálu premennej a označuje sa D Y= f(x)-dx. Diferenciál nezávislej premennej je prírastok tejto premennej: dx= Ax.

Z definície diferenciálu vyplýva ďalšie znázornenie prvej derivácie prostredníctvom diferenciálov:

S“ 20 PRÍKLAD. Nájdite derivácie funkcií

1 = 0 - normálna rovnica.= -

dx.Geometrický význam diferenciálu : diferenciál funkcie v určitom bode sa rovná prírastku súradnice dotyčnice nakreslenej v tomto bode: D arccos^,3) prípad = D Y(pozri obrázok 3). Vyplýva to priamo z rovnice dotyčnice v bode (pozri vzorec (3)). Ak určíme y~y 0 = Áno Komu ac. , X- X 0 = A X= dx, potom možno tangensovú rovnicu zapísať ako: Ach prípad = f"(x 0 ) ■ Aha , alebo Du cas = D Y

Ryža. 3. Geometrický význam diferenciálu

26 Z geometrického významu diferenciálu vyplýva vzorec na približný výpočet funkcie cez diferenciál. Pri malých prírastkoch premennej možno prírastok funkcie nahradiť prírastkom dotyčnice (pozri obr. 3), t.j. pri malom AX približná rovnosť

Au~Au ka s = f"(x 0 )-Sekera.

Pretože A20 PRÍKLAD. Nájdite derivácie funkcií= f(x 0 + Oh ) - f(x 0 ), potom dostaneme vzorec na približný výpočet funkcie v určitom bode blízko X 0 :

f(x 0 + Oh ) "Dh 0) + f(x 0 ) Oh. (8)