Metódy matematický dôkaz

IN každodenný životČasto, keď hovoria o dôkaze, majú na mysli jednoducho kontrolu vykonaného vyhlásenia. V matematike sú overovanie a dokazovanie rozdielne veci, hoci spolu súvisia. Napríklad, chcete dokázať, že ak má štvoruholník tri pravé uhly, potom je to obdĺžnik.

Ak vezmeme akýkoľvek štvoruholník, ktorého tri uhly sú správne, a zmeraním štvrtého sa presvedčíme, že je skutočne správny, potom táto kontrola urobí toto tvrdenie hodnovernejším, ale ešte nie dokázaným.

Na dôkaz tohto tvrdenia uvažujme ľubovoľný štvoruholník, v ktorom sú tri uhly pravé. Keďže v akomkoľvek konvexnom štvoruholníku je súčet uhlov 360⁰, potom v tomto je 360⁰. Súčet troch pravých uhlov je 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰), a preto štvrtý má hodnotu 90⁰ (360⁰ - 270⁰). Ak sú všetky uhly štvoruholníka pravé, potom ide o obdĺžnik. Preto bude tento štvoruholník obdĺžnikom. Q.E.D.

Všimnite si, že podstatou dôkazu je zostrojiť takúto postupnosť pravdivé tvrdenia(vety, axiómy, definície), z ktorých logicky vyplýva tvrdenie, ktoré sa má dokázať.

Vôbec dokázať tvrdenie znamená ukázať, že toto tvrdenie logicky vyplýva zo systému pravdivých a súvisiacich tvrdení.

V logike sa verí, že ak predmetné tvrdenie logicky vyplýva z už preukázaných tvrdení, potom je oprávnené a rovnako pravdivé ako to druhé.

Základom matematického dôkazu je teda deduktívna inferencia. A samotný dôkaz je reťazou záverov a záver každého z nich (okrem posledného) je premisou v jednej z nasledujúcich záverov.

Napríklad vo vyššie uvedenom dôkaze možno rozlíšiť tieto závery:

1. V akomkoľvek konvexnom štvoruholníku je súčet uhlov 360⁰; tento údaj – konvexný štvoruholník, teda súčet uhlov v ňom je 360⁰.

2. Ak je známy súčet všetkých uhlov štvoruholníka a súčet troch z nich, potom odčítaním môžete nájsť hodnotu štvrtého; súčet všetkých uhlov daného štvoruholníka je 360⁰, súčet troch je 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰), potom hodnota štvrtého je 360⁰ - 270⁰ = 90⁰.

3. Ak sú všetky uhly v štvoruholníku pravé, potom tento štvoruholník je obdĺžnik; V danom štvoruholníku sú všetky uhly pravé, preto ide o obdĺžnik.

Všetky vyššie uvedené závery sa robia podľa pravidla vyvodzovania, a preto sú deduktívne.

Najjednoduchší dôkaz pozostáva z jediného záveru. Toto je napríklad dôkazom tvrdenia, že 6< 8.

Keď už hovoríme o štruktúre matematického dôkazu, musíme pochopiť, že v prvom rade zahŕňa tvrdenie, ktoré sa dokazuje, a systém pravdivých tvrdení, pomocou ktorého sa dôkaz vykonáva.

Treba tiež poznamenať, že matematický dôkaz nie je len súbor záverov, sú to závery usporiadané v určitom poradí.

Podľa spôsobu podania (formy) rozlišujú priame a nepriame dôkaz. Dôkaz zvažovaný skôr bol priamy - v ňom, na základe nejakej pravdivej vety a pri zohľadnení podmienok vety, bol vybudovaný reťazec deduktívnych záverov, ktoré viedli k pravdivému záveru.

Príkladom nepriameho dôkazu sú dôkazy protirečením . Jeho podstata je nasledovná. Nech je potrebné dokázať vetu

A ⇒ B. Pri dokazovaní kontradikciou sa predpokladá, že záver vety (B) je nepravdivý, a preto je jej negácia pravdivá. Pripojením vety „nie B“ k súboru skutočných premís použitých v procese dokazovania (medzi ktorými je podmienka A) budujú reťazec deduktívnych záverov, až kým sa nedosiahne tvrdenie, ktoré je v rozpore s jednou z premís, a najmä, podmienka A. Ako sa zistí iba takýto rozpor, proces dokazovania je ukončený a hovorí sa, že výsledný rozpor dokazuje pravdivosť vety

Úloha 1. Dokážte, že ak a + 3 > 10, potom a ≠ 7. Metóda kontradikcie.

Úloha 2. Dokážte, že ak x² je párne číslo, potom je x párne. Opačná metóda.

Úloha 3. Sú dané štyri po sebe idúce prirodzené čísla. Je pravda, že súčin priemerných čísel tejto postupnosti viac práce extrémnych o 2? Metóda neúplnej indukcie.

Plná indukcia - ide o spôsob dokazovania, pri ktorom pravdivosť tvrdenia vyplýva z jeho pravdivosti vo všetkých konkrétnych prípadoch.

Úloha 4. Dokážte, že každý komponent prirodzené číslo, väčší ako 4, ale menší ako 20, môže byť reprezentovaný ako súčet dvoch prvočísel.

Úloha 5. Je pravda, že ak prirodzené číslo n nie je násobkom 3, potom hodnota výrazu n² + 2 je násobkom 3? Plná indukčná metóda.

Hlavné závery

V tomto bode sme sa zoznámili s pojmami: inferencia, premisa a záver, deduktívne (správne) inferencie, neúplná indukcia, analógia, priamy dôkaz, nepriamy dôkaz, úplná indukcia.

Zistili sme, že neúplná indukcia a analógia úzko súvisia s dedukciou: závery získané pomocou neúplnej indukcie a analógie musia byť buď dokázané, alebo vyvrátené. Na druhej strane odpočet nevzniká na prázdne miesto, ale je výsledkom predbežného indukčného štúdia materiálu.

Deduktívne uvažovanie umožňuje získavať nové pravdy z existujúcich poznatkov a navyše pomocou uvažovania, bez uchyľovania sa k skúsenostiam, intuícii atď.

Zistili sme, že matematický dôkaz je reťazec deduktívnych záverov vykonaných podľa určité pravidlá. Zoznámili sme sa s najjednoduchším z nich: pravidlom záveru, pravidlom negácie, pravidlom sylogizmu. Dozvedeli sme sa, že správnosť svojich záverov môžete skontrolovať pomocou Eulerových kruhov.

Odoslanie dobrej práce do databázy znalostí je jednoduché. Použite nižšie uvedený formulár

Študenti, postgraduálni študenti, mladí vedci, ktorí pri štúdiu a práci využívajú vedomostnú základňu, vám budú veľmi vďační.

Uverejnené na http://www.allbest.ru/

Práca na kurze

na tému: Dôkaz ako prostriedok matematické myslenie. Predstavy o dôkazoch a vývoji konceptu dôkazov

Úvod

1.2 Druhy dôkazov

Záver

Bibliografia

Úvod

Človek získava väčšinu svojich vedomostí o okolitej realite prostredníctvom uvažovania. Závery v nich budú pravdivé, ak budú výsledkom správneho uvažovania a za také sa považuje uvažovanie postavené podľa pravidiel logiky. Úvaha je základom dôkazu. matematická logika axiomatická

Pojem dôkaz je celkom bežný v mnohých oblastiach poznania, napríklad v práve, filológii, histórii, ale pojem dôkaz je najviac spojený s matematikou. Je to dokázateľnosť matematické výroky, prítomnosť dôkazov v matematických textoch najjasnejšie odlišuje matematiku od iných oblastí poznania.

V roku 1939 Nicolas Bourbaki otvoril svoje pojednanie „Princípy matematiky“ týmito slovami: „Od čias Grékov povedať „matematika“ znamená povedať „dôkaz“. Tieto dve slová sú teda takmer synonymá.

Rozdiel medzi matematickým dôkazom a dôkazom v iných oblastiach poznania je v tom, že v matematike je prah presvedčivosti oveľa vyšší. Matematický dôkaz, na rozdiel od dôkazu v iných oblastiach poznania, sa uznáva ako štandard nespochybniteľnosti. Presvedčivosť matematických dôkazov je podporená jasnosťou a jednoznačnosťou matematických tvrdení. Vzhľadom na to, že dôkazom je toto dôležité miesto v matematike, táto téma je veľmi dôležitá, zaujímavá a relevantná.

Cieľ kurzová práca: pouvažujte nad konceptom dôkazov a históriou jeho vývoja.

1. Teoretické informácie súvisí s pojmom dôkaz

1.1 Základné pojmy matematická logika súvisí s pojmom dôkaz

Aby sme mohli hovoriť o základných pojmoch matematickej logiky, je potrebné tento pojem definovať.

Tak ako schopnosť hovoriť existovala pred príchodom vedy o gramatike, tak aj umenie správneho myslenia existovalo dávno pred príchodom vedy o logike.

Matematická logika je odvetvie matematiky, ktoré sa venuje štúdiu metód matematických dôkazov, matematických tvrdení a otázok základov matematiky. Matematická logika vznikla v podstate na styku dvoch takých rôzne vedy, ako filozofia, alebo presnejšie - filozofická logika a matematika. A predsa sa vzťah medzi novou logikou a filozofiou nielenže nepretrhol, ale naopak, paradoxne dokonca upevnil. Odvolanie k filozofii je nevyhnutnou podmienkou objasnenie logiky jeho základov. Na druhej strane používanie pojmov, metód a aparátov modernej logiky vo filozofii nepochybne prispieva k jasnejšiemu pochopeniu filozofické koncepty, princípy a problémy.

Hlavnou otázkou matematickej logiky je, nakoľko platné je uvažovanie odvodené z vytvorených premis.

Hlavnou úlohou logiky je oddeľovať správnymi spôsobmi zdôvodnenie (závery, závery) z nesprávnych.

Slovo „logika“ pochádza z gréckeho „logos“, čo na jednej strane znamená „slovo“ alebo „reč“ a na druhej strane to, čo je vyjadrené v reči, t.j. myslenie. Vznik matematickej logiky novým spôsobom objasnil a osvetlil tradičné pojmy a metódy formálna logika, výrazne rozšírila svoje možnosti a rozsah pôsobnosti. Dnes sa matematická logika používa v biológii, medicíne, lingvistike, pedagogike, psychológii, ekonómii a technike.

Logika je názov špeciálnej vedy o myslení, nazývanej aj formálna logika.

Je ťažké nájsť mnohostrannejší a komplexnejší fenomén ako ľudské myslenie. Študuje sa v mnohých vedách a logika je jednou z nich. Jej predmetom sú logické zákony a logické operácie myslenie. Princípy stanovené logikou sú nevyhnutné, ako všetky vedecké zákony. Možno si ich neuvedomujeme, ale sme nútení ich nasledovať.

Formálna logika je veda o zákonoch a operáciách správneho myslenia.

Teraz odhalíme základné pojmy matematickej logiky súvisiace s pojmom dôkaz.

Definícia dôkazov zahŕňa dva ústredné pojmy logika: pojem pravdy a pojem logického dôsledku. Obidva tieto pojmy nie sú dostatočne jasné, a preto ani nimi vymedzený pojem dôkaz nemožno klasifikovať ako jasný.

Pochopenie toho, čo je matematická pravda, spôsobuje vážne ťažkosti. Koniec koncov, matematické objekty, na rozdiel od fyzických objektov, nie sú prítomné v prírode, existujú iba v mysliach ľudí. Preto tvrdenie, že pravda je to, čo zodpovedá skutočnému stavu vecí, sa dá na matematické pravdy aplikovať len okrajovo.

Okrem toho neexistuje jediný koncept logických následkov. Logické systémy V zásade existuje nekonečné množstvo ľudí, ktorí tvrdia, že definujú tento pojem, napríklad: „Logický dôsledok je vzťah, ktorý existuje medzi premisami a závermi, ktoré sú z nich odôvodnene odvodené.“ Ale žiadna z dostupných moderná logika definície logického zákona a logickej implikácie nie sú bez kritiky a od toho, čo sa bežne nazýva „paradoxy logickej implikácie“.

Inferencia je spôsob získavania nových poznatkov na základe niektorých existujúcich poznatkov. Zároveň sa neobraciame k štúdiu predmetov a javov samotnej reality, ale objavujeme súvislosti a vzťahy medzi nimi, ktoré sa nedajú priamo vidieť.

Inferencia pozostáva z premis a záveru.

Premisy sú vyhlásenia obsahujúce počiatočné poznatky.

Záver je konštatovanie obsahujúce nové poznatky získané z pôvodného.

Závery sú rôzne. V prípade, že záver logicky vyplýva z premís a nepochybujeme o jeho pravdivosti, potom je takýto záver deduktívny.

Okrem deduktívneho uvažovania v matematike existuje pojem neúplná indukcia.

Neúplná indukcia je inferencia, v ktorej na základe skutočnosti, že niektoré objekty triedy majú určitú vlastnosť, dochádza k záveru, že túto vlastnosť majú všetky objekty tejto triedy. Závery získané pomocou neúplnej indukcie majú povahu predpokladov, preto potrebujú dôkaz alebo vyvrátenie.

Analógia je inferencia, v ktorej sa na základe podobnosti dvoch objektov v niektorých charakteristikách a prítomnosti ďalšej charakteristiky v jednej z nich vyvodzuje záver o prítomnosti rovnakej charakteristiky v druhom objekte.

Analogický záver má tiež povahu hypotézy a potrebuje dôkaz alebo vyvrátenie.

Výpovede a výrazové formy.

Výrok - gramaticky správna veta, spolu s významom (obsahom), ktorý vyjadruje, a či je pravdivý alebo nepravdivý.

Vyhlásenie sa považuje za pravdivé, ak sa zhoduje s popisom, ktorý poskytuje reálna situácia, a nepravdivý, ak mu nezodpovedá. „Pravda“ a „nepravda“ sa nazývajú pravdivostné hodnoty výroku.

Ale nie každá veta je výrok. Výpovede nezahŕňajú výsluchy a zvolacie vety, keďže o ich pravde či nepravde nemá zmysel hovoriť. Vety, ktoré obsahujú hodnotenie, napríklad „Matematika je nudný predmet“, nie sú výrokmi, pretože neexistuje konsenzus o tom, či tento návrh alebo falošné.

Expresívna forma je veta, ktorá obsahuje aspoň jednu premennú a stáva sa výrokom, keď sú všetky premenné nahradené svojimi hodnotami. Napríklad veta „Číslo je deliteľné 2“ explicitne neobsahuje premennú, ale je predsa výrokovou formou. Stane sa výrokom, ak namiesto slova „číslo“ dosadíme celé čísla. V opačnom prípade možno túto vetu napísať ako „Číslo x je deliteľné 2“.

Výkazy sa delia na elementárne a zložené.

Zložené výroky sa získavajú z elementárnych pomocou spojok a fráz.

Hľadanie presvedčivejších matematických dôkazov viedlo k vzniku takzvanej axiomatickej metódy. Stručne je to nasledovné. Hlavné ustanovenia uvažovaného matematická teória, ktoré sú prijaté bez dôkazu, a z nich všetky ostatné ustanovenia uvažovanej matematickej teórie, ktoré sú prijaté bez dôkazu, a z nich sú všetky ostatné ustanovenia odvodené čisto logickým uvažovaním. Tieto základné ustanovenia sa nazývajú axiómy a tie, ktoré sú z nich odvodené, sa nazývajú vety. Je jasné, že každá axióma je tiež odvodená zo zoznamu axióm, takže je vhodné považovať axiómy za špeciálny prípad teorémy (inak by slovo „teorém“ muselo dostať toto dlhá definícia: Veta je niečo, čo je odvodené zo zoznamu axióm, ale nie je zahrnuté v tomto zozname. V axiómach sa namiesto definícií základných pojmov formulujú ich hlavné, počiatočné vlastnosti – neformálne axiomatická metóda.

Formálna axiomatická metóda sa od neformálnej líši tým, že prehľadne uvádza nielen východiskové pojmy, ale aj povolené spôsoby usudzovania. Logické prechody, ktoré je dovolené robiť, sú presne označené. Navyše: axiómy aj povolené logické prechody musia byť navrhnuté tak, aby sa prvé dali použiť a druhé sa dali robiť čisto mechanicky. Aby ste to dosiahli, musíte byť schopní pracovať s tvrdeniami zahrnutými do dôkazu a spoliehať sa iba na ne vzhľad, nie podľa obsahu.

Najjednoduchšie pravidlá vyvodzovania. S ich pomocou vzniká závislosť logická štruktúra závery z logickej štruktúry priestorov.

Pravidlo záveru (Modus ponens) je prvý sylogizmus stoickej logiky, ktorý nemožno dokázať: ak sú A a A>B odvoditeľné formuly, potom je odvoditeľné aj B. Záznamový formulár: , kde A, B sú ľubovoľné vzorce.

Pravidlo negácie Modus tollens je druhý sylogizmus, ktorý nemožno dokázať. "Ak existuje prvé, potom je druhé, ale neexistuje druhé, preto neexistuje prvé."

Vstupný formulár:

Predikát je funkcia s množinou hodnôt (alebo (nepravda, pravda)) definovaných na množine. Každá množina prvkov množiny M je teda charakterizovaná buď ako „pravda“ alebo „nepravda“. Predikát je podľa Avicennu len časťou obsahu podmetu.

Pojem kvantifikátor úzko súvisí s pojmom predikát.

Tvrdenie, že predikát P(x) nadobúda iba hodnotu pravdivosti na množine M, sa nazýva všeobecný kvantifikátor.

Tvrdenie, že existuje aspoň jeden prvok x (z oblasti definície M), na ktorom má predikát P (x) hodnotu „pravda“, sa nazýva existenciálny kvantifikátor a označuje sa

Vyjadrenia tvaru: aspoň n, aspoň n, n a len n sa nazývajú číselné kvantifikátory. Tieto kvantifikátory môžu byť vyjadrené kvantifikátormi všeobecnosti a existencie a logickými operáciami s predikátmi.

Pravidlo kontrapozície hovorí, že ak určitá premisa A má za následok určitý následok B, potom negácia tohto následku má za následok negáciu tejto premisy.

Pravidlo sylogizmu alebo reťazového záveru: ak vzorce P

sa ukáže byť odvoditeľný, potom aplikovaním pravidla záveru na posledný vzorec zistíme, že vzorec je tiež odvoditeľný.

Existujú aj pravidlá pre: zavedenie disjunkcie: ;

odstránenie disjunkcie: ;

uvedenie spojky: ;

odstránenie spojky: ;

preskupenie parciel: .

Keď poznáme základné pravidlá inferencie, môžeme hovoriť o typoch dôkazov.

1.2 Druhy dôkazov

Dokázať tvrdenie znamená ukázať, že toto tvrdenie logicky vyplýva zo systému pravdivých a súvisiacich tvrdení.

V logike sa verí, že ak predmetné tvrdenie logicky vyplýva z už preukázaných tvrdení, potom je oprávnené a rovnako pravdivé ako to druhé.

Základom matematického dôkazu je teda deduktívna inferencia. A samotný dôkaz je reťazec záverov a záver každého z nich (okrem posledného) je predpokladom z nasledujúcich záverov.

Najjednoduchší dôkaz pozostáva z jediného záveru. To je napríklad dôkazom záveru, že 6<8.

Dôkaz rozlišuje tézu - tvrdenie, ktoré je potrebné dokázať, základ (argumenty) - tie ustanovenia, pomocou ktorých sa téza dokazuje, a logickú súvislosť medzi argumentmi a tézou. Pojem dôkazu teda vždy predpokladá uvedenie premís, na ktorých je práca založená, a tých logických pravidiel, podľa ktorých sa pri dokazovaní uskutočňujú transformácie tvrdení. Úlohou dokazovania je komplexne preukázať platnosť dokazovanej tézy.

Treba poznamenať, že matematický dôkaz nie je len súbor záverov, sú to závery usporiadané v určitom poradí. Najprirodzenejším spôsobom, ako dokázať, že objekt s danými vlastnosťami existuje, je poukázať naň, pomenovať ho, skonštruovať ho (a, samozrejme, uistiť sa, že požadované vlastnosti skutočne má). Aby sme napríklad dokázali, že rovnica má riešenie, stačí uviesť niektoré z jej riešení. Takýto dôkaz existencie niečoho sa nazýva priamy alebo konštruktívny. V nich sa na základe určitej pravdivej vety a pri zohľadnení podmienok vety vybuduje reťaz deduktívnych inferencií, ktoré vedú k pravdivému záveru. Existujú však aj nepriame dôkazy, keď k podloženiu skutočnosti, že požadovaný predmet existuje, dochádza bez priameho označenia takéhoto predmetu. S priamymi dôkazmi je úlohou nájsť presvedčivé argumenty, z ktorých tézy logicky vyplývajú. Nepriame dôkazy potvrdzujú platnosť tézy odhalením omylu opačného predpokladu, protikladu.

Pri konštrukcii priameho dôkazu možno rozlíšiť dve vzájomne prepojené etapy: nájdenie tých uznávaných tvrdení, ktoré môžu byť presvedčivými argumentmi pre dokazovanú pozíciu; vytvorenie logického spojenia medzi nájdenými argumentmi a tézou. Prvá fáza sa často považuje za prípravnú a dôkazom sa rozumie dedukcia spájajúca vybrané argumenty a dokazovanú tézu.

Pri nepriamom dôkaze ide uvažovanie okružným spôsobom. Namiesto priameho hľadania argumentov, ktorými by sa z nich vyvodil dokazovaný postoj, sa formuluje antitéza, negácia tohto postoja. Ďalej sa tak či onak ukazuje nekonzistentnosť protikladu. Podľa zákona vylúčeného stredu, ak je jedno z protichodných tvrdení nepravdivé, druhé musí byť pravdivé. Antitéza je nepravdivá, čo znamená, že téza je pravdivá.

Príkladom nepriameho dôkazu je metóda protirečenia.

Táto metóda je založená na zákone kontrapozície, to znamená, že namiesto priamej vety sa dokazuje opak inverznej vety: .

Aby sme to dokázali, predpokladáme, že tvrdenie opačné k záveru vety je pravdivé. Dostávame sa k záveru, že toto tvrdenie je v rozpore s podmienkou, teda je pravdivé. Dostávame sa do rozporu s podmienkou.

Nepriame dôkazy teda prechádzajú nasledujúcimi štádiami: predloží sa protiklad a vyvodia sa z neho dôsledky s úmyslom nájsť medzi nimi aspoň jeden nepravdivý; je preukázané, že medzi dôsledkami je skutočne jeden nepravdivý; dospelo sa k záveru, že protiklad je nesprávny; z nepravdivosti antitézy sa vyvodzuje záver, že téza je pravdivá.

Ďalšou variáciou tejto metódy je redukcia až absurdita – logický zákon protirečenia hovorí o neprípustnosti súčasného utvrdzovania a popierania. Absurdný výrok je priamym porušením tohto zákona.

Dirichletov princíp.

Táto technika je pomenovaná po slávnom nemeckom matematikovi 19. storočia.

Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Tu je všeobecná formulácia tohto princípu:

Ak existuje n políčok obsahujúcich celkovo aspoň n+1 položiek, potom musí existovať krabica obsahujúca aspoň dve položky.

Dôkaz pomocou sylogizmu.

Nech existuje veta P, môžeme si zvoliť tvrdenie R také, že je možné dokázať tieto dve vety:

Potom, podľa pravidiel sylogizmu, je veta pravdivá.

Princíp úplnej disjunkcie.

Nech sú pravdivé nasledujúce vety: , ... a z premís

, ..., aspoň jedna je splnená, dôsledky, ..., sa v pároch navzájom vylučujú, potom sú pravdivé všetky opačné vety.

Indukčná metóda.

Indukcia je metóda dokazovania, pri ktorej pravdivosť tvrdenia vyplýva z jeho pravdivosti vo všetkých konkrétnych prípadoch. Pri úplnej indukcii záver nevyhnutne a nie s určitou pravdepodobnosťou vyplýva z premis. Táto „indukcia“ je teda typom deduktívneho uvažovania. Sada A pozostáva z prvkov, ..., . má atribút B, má atribút B, čo znamená, že všetky prvky od do majú atribút B, teda všetky prvky množiny A majú atribút B.

Metódy dokazovania viet v predikátovej logike.

Najčastejšie používané techniky logického uvažovania vyvinul Aristoteles a nazývajú sa Aristotelove sylogizmy.

1. Všetky M sú K, všetky K sú N, preto všetky M sú N.

2. Žiadne P je M, niektoré S je M, čo znamená, že niektoré S nie je P.

Preskúmali sme teda základné pojmy matematickej logiky súvisiace s definíciou dôkazu a typmi dôkazov. Ako vidíme, koncept dôkazu prešiel vo svojom vývoji dlhú cestu. Zaoberali sa: Aristoteles – zakladateľ logiky ako vedy (rozvinul Aristotelove sylogizmy), v 3. storočí pred Kr. Euclid sa pokúsil rozvinúť axiómovú vetu; v roku 1939 Nicolas Bourbaki (v skutočnosti taký matematik neexistoval, toto je kolektívny pseudonym skupiny matematikov) vo svojom pojednaní, podobne ako Gréci, prakticky identifikoval pojmy „matematika“. “ a „dôkaz“. Preto by bolo logické hovoriť podrobnejšie o histórii vývoja tohto konceptu.

2. Pojem dôkazu v matematike

2.1 História vývoja konceptu dôkazu

Dejiny vývoja konceptu dôkazu nemožno sledovať bez rozvoja logiky ako vedy.

Logika je jednou z najstarších vied. Jeho rušná história sa začala v starovekom Grécku a siaha až dva a pol tisíc rokov dozadu. Koncom minulého - začiatku tohto storočia nastala vedecká revolúcia v logike, v dôsledku ktorej sa radikálne zmenil štýl uvažovania, metódy a veda akoby nabrala druhý dych. Logika je dnes jednou z najdynamickejších vied, modelom prísnosti a presnosti aj pre matematické teórie.

Rozprávanie o logike je jednoduché a ťažké zároveň. Je to jednoduché, pretože jeho zákony sú základom nášho myslenia. Intuitívne ich pozná každý. Každý myšlienkový pohyb, ktorý chápe pravdu a dobro, je založený na týchto zákonoch a je bez nich nemožný. V tomto zmysle je logika dobre známa.

História logiky trvá asi dva a pol tisícročia. „Staršie“ ako formálna logika sú možno len filozofia a matematika.

V dlhej a bohatej histórii vývoja logiky sa jasne rozlišujú dve hlavné etapy. Prvá je od starogréckej logiky po vznik modernej logiky v druhej polovici minulého storočia. Druhá je od tých čias až po súčasnosť.

V prvej fáze, zvyčajne nazývanej tradičná logika, sa formálna logika rozvíjala veľmi pomaly. Problémy, o ktorých sa v ňom hovorilo, sa príliš nelíšili od problémov, ktoré nastolil Aristoteles. To viedlo k tomu, že nemecký filozof I. Kant svojho času dospel k záveru, že formálna logika je úplná veda, ktorá od čias Aristotela nepokročila ani o krok. To si Kant od 17. storočia nevšimol. Predpoklady pre vedeckú revolúciu v logike začali dozrievať. V tom čase sa jasne vyjadrila myšlienka reprezentovať dôkaz ako výpočet, podobný výpočtu v matematike.

Táto myšlienka sa spája najmä s menom nemeckého filozofa a matematika G. Leibniza. Podľa Leibniza sa výpočet súčtu alebo rozdielu čísel vykonáva na základe jednoduchých pravidiel, ktoré berú do úvahy iba formu čísel, a nie ich význam. Výsledok výpočtu je jasne vopred určený týmito jednoznačnými pravidlami a nemožno ho spochybniť. Leibniz sníval o čase, keď sa inferencia zmení na kalkuláciu. Leibnizove myšlienky však nemali na jeho súčasníkov badateľný vplyv. Rázny rozvoj logiky sa začal neskôr, v 19. storočí.

Nemecký matematik a logik G. Frege začal vo svojich prácach využívať formálnu logiku na štúdium základov matematiky. Frege bol presvedčený, že „aritmetika je súčasťou logiky a nemala by si požičiavať žiadne ospravedlnenie zo skúsenosti alebo kontemplácie“. V snahe zredukovať matematiku na logiku zrekonštruoval tú druhú. Fregeho logická teória je predchodcom všetkých súčasných teórií správneho uvažovania.

Medzi ruskými vedcami prispeli k rozvoju logiky: P.S. Poretsky, N.A. Vasiliev, A.N. Kolmogorov, V.A. Glivenko, A.A. Makarov a ďalší.

Veľký francúzsky matematik Henri Poincaré napísal: „Ak čítame knihu napísanú pred päťdesiatimi rokmi, potom sa nám zdá, že úvahy, ktoré v nej nachádzame, sú z väčšej časti bez logickej prísnosti.

S vedcom nemožno len súhlasiť, pretože chápanie toho, čo je a čo nie je dôkaz, sa časom mení. Ak sa nad tým zamyslíte, nie je na tom nič prekvapivé. Koniec koncov, koncept dôkazov je založený na myšlienke presvedčivosti a táto myšlienka je historicky podmienená. V krajinách starovekého východu (Babylon, staroveký Egypt, staroveká Čína) bolo riešenie matematických problémov spravidla neopodstatnené a dogmatické. Prvé matematické dôkazy sa v ich modernom chápaní pripisujú starogréckym mysliteľom Thalesovi a Pytagorasovi. Predpokladá sa, že to bolo v starovekom Grécku v 7. - 6. storočí pred Kristom. vznikol zvyk sprevádzať matematický fakt s jeho odôvodnením. Túto skutočnosť je potrebné nielen oznámiť, ale aj presvedčiť poslucháča o jej pravdivosti, teda poskytnúť dôkaz. Samotná myšlienka potreby presvedčiť poslucháčov sa zrejme objavila v diskusiách, na verejných zhromaždeniach a na súdoch. Logický dôkaz sa tak stáva hlavnou metódou stanovenia pravdy. V tejto dobe boli postavené prvé matematické teórie a matematické modely sveta, ktoré mali úplne moderný vzhľad, to znamená, že boli postavené z konečného počtu premís pomocou logických záverov.

Dá sa povedať, že staroveké grécke dôkazy boli z moderného hľadiska dokonalé. Stav vecí sa začal meniť v 17. storočí, keď premenné vstúpili do matematiky a s nimi aj myšlienka prejsť na limit. Z dnešného pohľadu neboli tieto pojmy a predstavy dostatočne jasné, a preto sa dôkazy, ktoré s nimi súvisia zo 17. a 18. storočia, dnes javia ako nepreniknuteľné. Je však pozoruhodné, že tieto nerigorózne dôkazy viedli k rigoróznym výsledkom, ktoré sa pevne usadili v arzenáli modernej matematiky. Je pozoruhodné, že dôkazy obsiahnuté v dielach Euklida a Aristotela nestratili svoju presvedčivosť ani za posledné tisíce rokov.

2.2 Pojem matematického myslenia, dôkaz ako prostriedok matematického myslenia

Myslenie vo všeobecnom zmysle je proces zovšeobecneného a nepriameho odrazu reality v jej podstatných súvislostiach a vzťahoch.

Existujú tri typy myslenia:

Vizuálne efektívne;

Vizuálne-figuratívne;

Verbálne - logické, matematické myslenie patrí k tomuto typu.

Formy myslenia zahŕňajú:

Pojem je forma myslenia, ktorá odráža podstatné vlastnosti, súvislosti a vzťahy predmetov a javov, vyjadrené slovom alebo skupinou slov.

Úsudok je forma myslenia, ktorá odráža súvislosti medzi predmetmi a javmi; potvrdenie alebo popretie niečoho.

Inferencia je forma myslenia, pri ktorej sa na základe niekoľkých úsudkov vyvodzuje určitý záver.

Analógia je forma myslenia, v ktorej sa na základe podobnosti dvoch objektov v niektorých charakteristikách a prítomnosti ďalšej charakteristiky v jednej z nich robí záver o prítomnosti rovnakej charakteristiky v druhom objekte.

Mentálne operácie zahŕňajú:

Analýza je mentálna operácia rozdelenia komplexného objektu na jeho základné časti alebo charakteristiky.

Syntéza je mentálna operácia, ktorá umožňuje prejsť od častí k celku v jedinom analyticko-syntetickom procese myslenia.

Porovnávanie je mentálna operácia založená na zisťovaní podobností a rozdielov medzi objektmi.

Abstrakcia je mentálna operácia založená na zvýraznení podstatných vlastností a súvislostí objektu a abstrahovaní od iných, nepodstatných vlastností.

Zovšeobecnenie je mentálne zjednotenie predmetov a javov podľa ich spoločných a podstatných vlastností.

Konkretizácia je proces obnovy objektívnej celistvosti v myslení, existujúcej prostredníctvom súvislostí jednotlivých vecí.

Žiaľ, v psychologickej, pedagogickej a metodologickej literatúre neexistuje konsenzus v otázke definovania pojmu matematické myslenie.

Pri jej charakterizácii vyvstávajú zložité otázky o vzťahu tohto pojmu s pojmami myslenia všeobecne a špecifickými typmi myslenia.

Niektorí vedci sa domnievajú, že neexistuje matematické myslenie ako také, ktoré má svoje vlastné špecifické formy mentálneho konania; originalita takéhoto myslenia je podľa ich názoru spojená len s povahou samotného matematického materiálu. Inými slovami, predstavitelia prvého prístupu popierajú špecifickosť matematického myslenia (L.S. Tregub, G. Freideptal atď.).

Takže, L.S. Tregub verí, že demonštrácia jednotných princípov ľudského poznania znamená, že neexistujú žiadne špeciálne metódy matematického myslenia, ktoré by boli jedinečné svojou metódou a spôsobom, akým fungujú. Z.I. Slepkan považuje pokusy o zavedenie tohto pojmu vyzdvihovaním jeho čŕt a komponentov a jeho stotožňovaním sa s logickým myslením za nezákonné a G. Freideptal píše, že zatiaľ nie je možné presvedčivo odhaliť podstatu matematického myslenia.

O tomto termíne povedal G. Weil: „Pod matematickým spôsobom myslenia rozumiem v prvom rade osobitnú formu uvažovania, prostredníctvom ktorej matematika preniká do vied vonkajšieho sveta – fyziky, chémie, biológie, ekonómie atď. a dokonca aj do našich úvah o každodenných záležitostiach a starostiach a po druhé v tej forme uvažovania, ku ktorej sa matematik uchyľuje vo svojom odbore, keď je ponechaný sám na seba.“

Druhý prístup predstavuje výskum J. Piageta a jeho podporovateľov. Podľa týchto vedcov sa matematické myslenie chápe ako samotné logicko-matematické myslenie, ktoré má takzvané „abstrakcie akcie“.

L.K. Maksimov sa domnieva, že hoci metódy matematického myslenia sú dnes široko používané v iných vedách a majú štatút všeobecných metód poznávania, stále má svoje vlastné charakteristiky, ktoré ho odlišujú od myslenia v iných vedných oblastiach. Špecifickosť matematického myslenia by sa nemala hľadať v jeho metódach, ale v objektoch, keďže tie prvé sú generované tými druhými, ako aj v jedinečnosti obsahu predmetu.

Môžeme tiež povedať, že matematické myslenie sa chápe predovšetkým ako forma, v ktorej sa myslenie prejavuje v procese poznávania konkrétnej vedy - matematiky.

Matematické myslenie sa vyznačuje tými vlastnosťami, ktoré sú vlastné vedeckému mysleniu, t.j. flexibilita, aktivita, zameranie, pripravenosť pamäte reprodukovať naučené, šírka, hĺbka, kritickosť a sebakritika, jasnosť, presnosť, stručnosť, originalita, dôkazy.

Možno rozlíšiť tieto znaky matematického myslenia:

Dominancia logického uvažovania;

Lakonizmus myslenia: extrémna šetrnosť, prísnosť myslenia a jeho prezentácie;

Jasná pitva priebehu uvažovania;

Precíznosť symboliky.

Za hlavný určujúci znak kultúry matematického myslenia sa považuje užitočnosť argumentácie, ktorá predpokladá:

Zvládnutie myšlienky dôkazu;

Schopnosť používať definície pojmov (porozumieť ich logickej štruktúre, vedieť zhrnúť pojem a vyvodiť dôsledky);

Schopnosť pracovať s teorémami (pochopiť ich logickú štruktúru, podstatu priamych a inverzných viet a pod.);

Znalosť všeobecných logických metód dokazovania: analytická, syntetická, metóda kontradikcie, úplná indukcia, matematická indukcia;

Ovládanie súkromných metód a techník špecifických pre konkrétnu tému.

Je celkom zrejmé, že logika, a teda aj dôkaz, úzko súvisí s pojmom matematické myslenie. Spomeňme si na výrok Johna Locka: „Logika je anatómia myslenia. Základom myslenia, logiky prostredníctvom dôkazov, uvažovania a záverov prispieva k rozvoju matematického myslenia.

2.3 Vyvrátenie a chyby v dokazovaní

Je dôležité vedieť nielen dokázať správny postoj, ale aj vyvrátiť chybný postoj. Operácia vyvrátenia je taká bežná ako operácia dôkazu a je akoby zrkadlovým obrazom dôkazu.

Vyvrátenie je argument namierený proti predloženej téze a zameraný na preukázanie jej nepravdivosti alebo nedostatku dôkazov.

Najbežnejšou metódou vyvrátenia je vyvodenie dôsledkov z vyvráteného tvrdenia, ktoré odporujú pravde. Je dobre známe, že ak je čo i len jeden logický dôsledok určitého výroku nepravdivý, potom je nepravdivý aj samotný výrok.

Ďalším spôsobom, ako zistiť nepravdivosť tézy, je dokázať pravdivosť jej negácie. Výrok a jeho negácia nemôžu byť súčasne pravdivé. Len čo sa ukáže, že negácia tézy je pravdivá, automaticky zaniká aj otázka pravdivosti samotnej tézy.

Ak je téza predložená s nejakým odôvodnením, operácia vyvrátenia môže byť namierená aj proti odôvodneniu. V tomto prípade je potrebné preukázať, že predložené argumenty sú nepravdivé alebo neudržateľné.

Omyl argumentov sa odhaľuje rovnakým spôsobom ako klam tézy: vyvodzovaním dôsledkov z nich, ktoré sa nakoniec ukážu ako neudržateľné, alebo dokazovaním tvrdení, ktoré sú v rozpore s argumentmi.

Treba mať na pamäti, že diskreditácia argumentov uvádzaných na podporu stanoviska neznamená, že toto ustanovenie samo osebe je nesprávne. Tvrdenie, ktoré je v podstate pravdivé, možno obhájiť pomocou náhodných alebo chabých argumentov. Odhalením tohto ukazujeme práve nedôveryhodnosť domnelého odôvodnenia, a nie klamnosť tvrdenia na ňom založeného.

Vyvrátenie možno napokon nasmerovať na samotné spojenie medzi argumentmi a tézou. V tomto prípade je potrebné preukázať, že práca nevyplýva z argumentov uvedených na jej podporu. Ak medzi argumentmi a tézou neexistuje žiadna logická súvislosť, potom neexistuje dôkaz tézy pomocou uvedených argumentov. Z toho samozrejme nevyplýva, že argumenty sú chybné, ani to, že tézy sú nepravdivé.

Logická kultúra predpokladá nielen schopnosť dôsledne a preukázateľne uvažovať v súlade s požiadavkami logiky, ale aj schopnosť odhaliť logické chyby v uvažovaní a podrobiť ich kvalifikovanej analýze.

Takéto chyby majú rôzny charakter. Pozrime sa na tie najtypickejšie a najbežnejšie.

Dôkaz je logicky nevyhnutné spojenie medzi argumentmi a tézami z nich odvodenými. Chyby v dôkazoch sa delia na tie, ktoré súvisia s argumentmi, tézami a ich súvislosťou.

Chyby týkajúce sa argumentov. Najčastejšou vecnou chybou je pokus o podloženie tézy pomocou nepravdivých argumentov (premis). Zákony logiky zaručujú pravdivý záver len vtedy, keď sú pravdivé všetky prijaté predpoklady. Ak je aspoň jeden z nich nesprávny, neexistuje žiadna dôvera v pravdivosť vyvodenej tézy, čo znamená, že neexistuje žiadny dôkaz. Nesprávny návrh znehodnotí akýkoľvek dôkaz, v ktorom je použitý. Používanie nepravdivých, neoverených alebo nevyskúšaných argumentov je často sprevádzané výrazmi: „ako je známe“, „už dávno preukázané“, „celkom zrejmé“, „nikto nepopiera“ atď.

Pomerne častou chybou je krúžok v dôkaze: platnosť dokazovanej vety sa zdôvodňuje pomocou tej istej vety, vyjadrenej možno v trochu inej forme. Ak sa za predpoklad dôkazu berie niečo, čo ešte treba dokázať, dokazovaná myšlienka sa vydedukuje sama od seba a výsledkom nie je dôkaz, ale prázdne chodenie v kruhu. Táto chyba sa niekedy nazýva začarovaný kruh.

Nasledujúce tri jednoduché požiadavky pomáhajú vyhnúť sa chybám spojeným s argumentmi dôkazu:

* ako argumenty by sa mali používať iba pravdivé tvrdenia;

* ich pravda musí byť stanovená bez ohľadu na tézu;

* argumenty musia byť ako celok dostatočné na to, aby z nich s logickou nevyhnutnosťou vyplývala téza.

Posledná požiadavka ukazuje, že zásada „čím viac argumentov, tým lepšie“ nie je vždy opodstatnená. Nejde o množstvo argumentov, ale o ich silu a spojitosť s obhajovanou tézou. Ak to druhé vyplýva z jediného pravdivého tvrdenia, potom to úplne stačí dokázať. Ako hovorí latinské príslovie: „Dôkaz sa cení podľa kvality, nie kvantity.

Typickou chybou je zámena diplomovej práce, jej nahradenie pri dokazovaní nejakou inou propozíciou, najčastejšie jej formou alebo obsahom podobnou. Táto chyba vedie k tomu, že výslovne uvedená téza zostáva bez dôkazu, no zároveň vytvára dojem, že je spoľahlivo podložená.

Stratené logické spojenie. Ak je aspoň jedna z premís dôkazu nesprávna, stráca svoju platnosť, v podstate neexistuje. Nemusí sa uskutočniť z dôvodu formálnej chyby. Vyskytuje sa vtedy, keď dedukcia nie je založená na logickom zákone a záver nevyplýva z prijatých premís.

Najlepším spôsobom, ako predchádzať formálnym chybám, je študovať teóriu inferencie, poznať zákony logiky a zlepšiť praktické zručnosti pri ich aplikácii.

2.4 Príklady rôznych druhov dôkazov

V tomto odseku uvádzame príklady dôkazov opísaných v odseku 1.2 našej práce.

1. Metóda protirečenia.

Tento príklad sa nachádza v Euklidových Prvkoch a v moderných školských učebniciach. Nech je daný trojuholník a jeho dva nerovnaké uhly. Potrebujeme dokázať tvrdenie A: väčšia strana leží oproti väčšiemu uhlu. Urobíme opačný predpoklad B: strana ležiaca v trojuholníku oproti väčšiemu uhlu je menšia alebo rovná strane ležiacej oproti menšiemu uhlu. Predpoklad B je v rozpore s predtým preukázanou teorémou, že v akomkoľvek trojuholníku ležia rovnaké uhly oproti rovnakým stranám, a ak sú strany nerovnaké, potom väčší uhol leží oproti väčšej strane. To znamená, že predpoklad B je nepravdivý, ale pravdivé je tvrdenie A. Je zaujímavé, že priamy (teda nie „protirečením“) dôkaz vety A je oveľa komplikovanejší.

2. Redukcia do absurdity. Predstavme si, že na nejakom ostrove žijú len rytieri a darebáci. Navyše, klamári vždy len klamú a rytieri vždy hovoria len pravdu. Muž, ktorý prichádza na ostrov, stretne dvoch miestnych obyvateľov a pýta sa, kto sú. Na čo jeden z nich odpovie: „Aspoň jeden z nás je klamár. Je potrebné zistiť, kto je respondent.

Predpokladajme, že je klamár. Výrok „Ten, kto odpovedal, je klamár“ označujeme ako A. Potom však klamal, preto ani jeden z nich nie je klamár a obaja sú rytieri. Dostali sme rozpor: ten, kto odpovedal súčasne, bol rytier (B) a nie rytier (). To znamená, že náš predpoklad je nesprávny a ten, kto odpovedal, v skutočnosti nie je klamár, ale rytier.

3. Dirichletov princíp.

V lietadle je 380 pasažierov. Dokážte, že ktorýkoľvek dvaja z nich oslavujú narodeniny v rovnaký deň v roku. Uvažujme takto. Celkovo existuje 366 (vrátane 29. februára) možných termínov narodeninových osláv. A cestujúcich je viac; To znamená, že sa nemôže stať, že všetci budú mať narodeniny na iný dátum a určite sa stane, že nejaký dátum je spoločný aspoň pre dvoch ľudí. Je jasné, že tento efekt bude určite pozorovaný od 367 cestujúcich. Ale pri 366 pasažieroch je možné, že dátumy (dni a mesiace) ich narodenín budú pre každého iné, aj keď je to krajne nepravdepodobné. (Mimochodom, teória pravdepodobnosti učí, že ak náhodne vybranú skupinu ľudí tvorí viac ako 22 ľudí, je pravdepodobnejšie, že niektorí z nich budú mať rovnaké narodeniny, než že budú mať všetci narodeniny v iné dni v roku. )

Ako je známe, vo všeobecnosti možno tento princíp napísať nasledovne: ak existuje n políčok obsahujúcich celkovo aspoň n+1 predmetov, potom určite bude schránka obsahujúca aspoň dva predmety. Aby ste videli, ako sa vyššie uvedená formulácia používa v tomto príklade, musíte si v duchu predstaviť 366 políčok a na každú napísať jeden z 366 dátumov v roku a potom v duchu umiestniť 380 cestujúcich do políčok a umiestniť každého cestujúceho do krabice. s jeho dátumom narodenia. Potom bude v jednom z boxov viac ako jeden cestujúci a títo cestujúci budú mať spoločné narodeniny.

4. Dôkaz pomocou sylogizmu.

Ak je trojuholník rovnostranný, potom sú všetky jeho uhly rovnaké. Ak sú všetky uhly rovnaké, potom sa každý z nich rovná 60, čo znamená, že ak je trojuholník rovnostranný, všetky jeho uhly sa rovnajú 60.

5. Princíp úplnej disjunkcie.

V kurze školskej geometrie sú dokázané tieto teorémy: „Druhá dĺžka strany ležiacej oproti ostrému uhlu trojuholníka je menšia ako súčet štvorcových dĺžok ostatných dvoch strán tohto trojuholníka“; strany ležiacej oproti pravému uhlu trojuholníka sa rovná súčtu štvorcových dĺžok ostatných dvoch strán tohto trojuholníka“ (Pytagorova veta); „Štvorcová dĺžka strany protiľahlej k tupému uhlu trojuholníka je väčšia ako súčet druhých mocnín dĺžok ostatných dvoch strán tohto trojuholníka.“ Analyzujme tieto tvrdenia z hľadiska použiteľnosti tohto princípu na ne Zaveďme nasledujúci zápis pre tvrdenia:

"Trojuholník má ostrý uhol";

"V trojuholníku je uhol pravý";

"Trojuholník má tupý uhol";

kde sú dĺžky strán trojuholníka; - jeho uhol ležiaci oproti strane dĺžky a. Potom možno tri formulované vety napísať symbolicky:

Je jasné, že z troch premis týchto tvrdení je aspoň jedna pravdivá (uhol v trojuholníku musí byť nevyhnutne ostrý, pravý alebo tupý) a dôsledky sa navzájom vylučujú. Preto sme dospeli k záveru, že všetky tri opačné dôsledky sú pravdivé:

Napríklad opak Pytagorovej vety znie takto: „Ak v trojuholníku je štvorec dĺžky jednej strany rovný súčtu štvorcov dĺžok jeho dvoch ďalších strán, potom je tento trojuholník pravouhlý. a pravý uhol je uhol oproti prvej strane.“

6. Spôsob indukcie.

Pre n = 1 bude mať rovnosť tvar 1=1, preto platí P(1). Predpokladajme, že táto rovnosť je pravdivá, teda platí

Je potrebné skontrolovať (dokázať), že P(n + 1), tzn

pravda. Keďže (pomocou indukčnej hypotézy)

to znamená, že P(n + 1) je pravdivé tvrdenie.

Pôvodná rovnosť teda podľa metódy matematickej indukcie platí pre ľubovoľné prirodzené číslo n.

7. Metódy dokazovania viet v predikátovej logike.

A) Všetky kosoštvorce sú rovnobežníky, všetky rovnobežníky majú rovnaké opačné uhly, čo znamená, že všetky kosoštvorce majú opačné uhly vinutia.

B) Žiadny štvorec nie je kruh. Obrázok F je štvorec, preto obrázok F nie je kruh.

Záver

Prišli sme na to, že tendencia zaraďovať matematickú logiku medzi matematické disciplíny a vidieť v nej len teóriu matematického dôkazu je chybná. V skutočnosti sú úlohy logiky oveľa širšie. Skúma základy každého správneho uvažovania, nielen striktného matematického dokazovania, a zaujíma sa o súvislosti medzi premisami a dôsledkami vo všetkých oblastiach uvažovania a poznania.

Zhodnotili sme hlavné typy matematických dôkazov a ich príklady. Študoval sa vývoj konceptu dôkazov.

Dozvedeli sme sa tiež, že v dôkazoch môžu byť chyby a preto je možné niektoré dôkazy vyvrátiť.

Aby sme zhrnuli prácu, môžeme povedať, že také pojmy ako logika a dôkaz sú pomerne zložité a objemné. Majú spojenie s filozofiou. Zároveň tvoria základ matematického myslenia, ako súčasti myslenia vôbec. Nedá sa len súhlasiť s tým, že tieto pojmy nie sú len vedeckými pojmami, keďže sa s nimi stretávame nielen v našej intelektuálnej činnosti, ale aj v každodennom živote: uvažujeme; prichádzame k niektorým záverom; Keď sa s niekým dohadujeme, argumentujeme svojim názorom, čiže poskytujeme dôkazy.

Bibliografia

1. Weil G. Matematické myslenie: Prel. z angličtiny A hlúpy. / Ed. B.V. Biryukova a A. N. Parshin. - M.: Nauka, 1989. - 400 rokov.

2. Ivin A.A. Logika / A.A. Ivin. - M.: Vyššie. škola, 2004. - 304 s.

3.Ivin A.A. Slovník logiky / A.A. Ivin, A.L. Nikiforov. - M.: VLADOS, 1997. - 384 s.

4. Kondakov N.I. Úvod do logiky / N.I. Kondakov - M.: Nauka, 1967. - 467 s.

5. Maksimov L.K. Závislosť rozvoja matematického myslenia školákov od charakteru učenia / L.K. Maksimov // Otázky psychológie. - 2002. -Č.2.

6. Markov A.A. Prvky matematickej logiky / A.A. Markov. - Vydavateľstvo Moskovskej štátnej univerzity, 1984. - 80. roky.

7. Mendelson E. Úvod do matematickej logiky / E. Mendelson. - M.: Nauka, 1971. - 320 s.

8. Nikolskaja I.L. Matematická logika: Učebnica / I.L. Nikolskaja. -M.: Vyššie. škola, 1981. -127s., chor.

9. Novikov P.S. Prvky matematickej logiky / P.S. Novikov. -M.: Nauka, 1973. - 400 str., ill.

10. Stoilová L.P. Matematika: Učebnica pre žiakov. vyššie ped. učebnica prevádzkarne / L.P. Stoilová. - M.: Edičné stredisko "Akadémia", 2002. - 424 s.

11. Styazhkin N.I. Formovanie matematickej logiky / N.I. Stjazhkin. -M.: Nauka, 1967. - 508 s.

12. Popov P.S. História logiky modernej doby / P.S. Popov. -M.: Vydavateľstvo Moskovskej štátnej univerzity, 1960. -265 s.

13. Uspensky V.A. Najjednoduchšie príklady matematických dôkazov / V.A. Uspensky.- M.: Vydavateľstvo MTsNMO, 2009. -56 s.

14. Shen A. Matematická indukcia / A. Shen. - M.: Vydavateľstvo MTsNMO, 2004. - 36 s.

15. Dejiny matematiky V 3 zväzkoch Zväzok 1. Od staroveku po súčasnosť / Ed. A.P. Juškevič. - M.: Nauka, 1970. - 353 s.

16. Dejiny matematiky V 3 zväzkoch Zväzok 2. Od staroveku po súčasnosť / Ed. A.P. Juškevič. - M.: Nauka, 1970. - 303 s.

Uverejnené na Allbest.ru

Podobné dokumenty

grécka matematika. Stredovek a renesancia. Začiatok modernej matematiky. Moderná matematika. Matematika nie je založená na logike, ale na zvukovej intuícii. Problémy základov matematiky sú filozofické.

abstrakt, pridaný 09.06.2006

Matematická logika (logika bez významu), logika „zdravého rozumu“ a moderná logika. Matematické úsudky a závery, ich smerovanie. Matematická logika a „zdravý rozum“ v 21. storočí. Neprirodzená logika v základoch matematiky.

abstrakt, pridaný 21.12.2008

Grafická interpretácia množín a operácií na nich. Matematická logika, Booleova algebra. Dokonalá konjunktívna normálna forma. Ekvivalentné vzorce a ich dôkaz. Úplnosť systému booleovských funkcií. Predikátová logika, teória grafov.

prednáška, pridané 12.1.2009

Význam matematiky v našom živote. História účtu. Súčasný vývoj metód výpočtovej matematiky. Využitie matematiky v iných vedách, úloha matematického modelovania. Stav matematického vzdelávania v Rusku.

článok, pridaný 01.05.2010

Euklidova geometria ako prvá teória prírodných vied. Štruktúra modernej matematiky. Základné znaky matematického myslenia. Axiomatická metóda. Princípy axiomatickej konštrukcie vedeckých teórií. Matematické dôkazy.

abstrakt, pridaný 05.10.2011

Ponúknuté na diskusiu úradníkom z inštitútu. V.A. Steklov a milovníci matematiky z internetu, kompaktná, takmer 2-stranová metóda na elementárny dôkaz Fermatovej vety vo všeobecnej forme.

abstrakt, pridaný 07.05.2006

Historický proces vývoja názorov na podstatu matematiky ako vedy, hlavné etapy formovania axiomatickej metódy. Teórie grúp, množín, zobrazení a kongruencie (rovnosti) segmentov. Základné axiomatické vety a ich dôkazy.

kurzová práca, pridané 24.05.2009

Aplikácia metód matematickej logiky a iných odvetví vyššej matematiky v problémoch teoretickej lingvistiky pri analýze písaného prejavu v ruštine a angličtine. Výskum a rozpoznávanie rečových jednotiek. Metódy matematickej logiky.

abstrakt, pridaný 11.1.2012

História vývoja matematiky ako vedy. Obdobie elementárnej matematiky. Obdobie vzniku matematiky premenných veličín. Tvorba analytickej geometrie, diferenciálneho a integrálneho počtu. Rozvoj matematiky v Rusku v 18.-19.

abstrakt, pridaný 10.09.2008

Zavedenie pojmu premenná veličina. Vývoj integrálnych a diferenciálnych metód. Matematické zdôvodnenie pohybu planét. Newtonov zákon univerzálnej gravitácie. Leibnizova vedecká škola. Teória prílivu a odlivu. Tvorba matematickej analýzy.

Hlavnou metódou v matematickom výskume je matematický dôkaz – prísne logické uvažovanie. Kvôli objektívnej nevyhnutnosti, hovorí člen korešpondent Ruskej akadémie vied L.D. Kudryavtsev L.D. Kudryavtsev - Moderná matematika a jej vyučovanie, Moskva, Nauka, 1985, logické uvažovanie (ktoré svojou povahou, ak je správne, je rigorózne) predstavuje metódu matematiky, bez ktorej je matematika nemysliteľná. Treba si uvedomiť, že matematické myslenie sa neobmedzuje len na logické uvažovanie. Na správnu formuláciu problému, vyhodnotenie jeho údajov, identifikáciu podstatných a výber metódy na jeho riešenie je potrebná aj matematická intuícia, ktorá umožňuje predvídať požadovaný výsledok ešte pred jeho dosiahnutím a načrtnúť cestu výskum s použitím hodnoverných úvah. Platnosť uvažovaného faktu sa však nepreukazuje jeho testovaním na množstve príkladov, nie vykonaním množstva experimentov (čo samo osebe zohráva veľkú úlohu v matematickom výskume), ale čisto logickou metódou, podľa zákony formálnej logiky.

Verí sa, že matematický dôkaz je konečná pravda. Rozhodnutie, ktoré je založené na čistej logike, jednoducho nemôže byť nesprávne. Ale s rozvojom vedy sú úlohy, pred ktorými stoja matematici, čoraz zložitejšie.

„Vstúpili sme do éry, keď sa matematický aparát stal tak zložitým a ťažkopádnym, že na prvý pohľad už nie je možné povedať, či je problém, s ktorým sa stretávame, pravdivý alebo nie,“ verí Kate Devlin zo Stanfordskej univerzity v Kalifornii. Ako príklad uvádza „klasifikáciu jednoduchých konečných grúp“, ktorá bola sformulovaná už v roku 1980, ale úplný presný dôkaz ešte nebol podaný. S najväčšou pravdepodobnosťou je teorém pravdivý, ale nedá sa povedať úplne s istotou.

Počítačové riešenie tiež nemožno nazvať presným, pretože takéto výpočty majú vždy chybu. V roku 1998 Hayles navrhol počítačové riešenie Keplerovho teorému, ktorý bol sformulovaný už v roku 1611. Táto veta popisuje najhustejšie usporiadanie guľôčok v priestore. Dôkaz bol prezentovaný na 300 stranách a obsahoval 40 000 riadkov strojového kódu. 12 posudzovateľov kontrolovalo riešenie rok, no nedosiahli 100% dôveru v správnosť dôkazov a štúdia bola zaslaná na prepracovanie. V dôsledku toho bol publikovaný až po štyroch rokoch a bez úplnej certifikácie recenzentov.

Všetky nedávne výpočty aplikovaných problémov sa vykonávajú na počítači, ale vedci sa domnievajú, že pre väčšiu spoľahlivosť by matematické výpočty mali byť prezentované bez chýb.

Teória dôkazu bola vyvinutá v logike a zahŕňa tri štrukturálne zložky: tézu (to, čo sa má dokázať), argumenty (súbor faktov, všeobecne uznávané pojmy, zákony, atď. príslušnej vedy) a demonštráciu (postup pri vývoj samotného dôkazu, sekvenčný reťazec záverov, kedy n-tý záver sa stáva jednou z premis n+1- záver). Pravidlá dokazovania sú zvýraznené a sú označené možné logické chyby.

Matematický dôkaz má veľa spoločného s princípmi stanovenými formálnou logikou. Okrem toho matematické pravidlá uvažovania a operácií očividne slúžili ako jeden zo základov pri vývoji dôkazovej procedúry v logike. Najmä výskumníci histórie formovania formálnej logiky veria, že v jednom čase, keď Aristoteles urobil prvé kroky na vytvorenie zákonov a pravidiel logiky, sa obrátil k matematike a praxi právnej činnosti. V týchto prameňoch našiel materiál na logickú konštrukciu svojej plánovanej teórie.

V 20. storočí stratil pojem dôkaz svoj striktný význam, čo sa stalo v súvislosti s objavovaním logických paradoxov skrytých v teórii množín a najmä v súvislosti s výsledkami, ktoré priniesli teorémy K. Gödela o neúplnosti formalizácie.

Predovšetkým sa to dotklo samotnej matematiky, v súvislosti s ktorou zaznelo presvedčenie, že pojem „dôkaz“ nemá presnú definíciu. Ale ak takýto názor (ktorý existuje dodnes) ovplyvňuje samotnú matematiku, potom dospejú k záveru, že dôkaz treba akceptovať nie v zmysle logicko-matematickom, ale v zmysle psychologickom. Navyše, podobný názor nachádza aj samotný Aristoteles, ktorý veril, že dokazovať znamená uskutočňovať úvahy, ktoré nás presvedčia do takej miery, že pomocou nich presvedčíme ostatných o správnosti niečoho. Určitý odtieň psychologického prístupu nachádzame u A.E. Yesenina-Volpina. Ostro sa stavia proti prijatiu pravdy bez dôkazu, spája to s aktom viery a ďalej píše: „Dôkaz súdu nazývam čestným prijatím, vďaka ktorému je tento súd nepopierateľný.“ Yesenin-Volpin uvádza, že jeho definícia ešte potrebuje objasnenie. Neprezrádza zároveň samotná charakteristika dôkazov ako „čestné prijatie“ apel na morálne a psychologické posúdenie?

Objav množinových paradoxov a objavenie sa Gödelových teorém zároveň prispeli k rozvoju teórie matematického dôkazu intuicionistov, najmä konštruktivistického smeru, a D. Hilberta.

Niekedy sa verí, že matematický dôkaz má univerzálny charakter a predstavuje ideálnu verziu vedeckého dôkazu. Nie je to však jediná metóda, existujú aj iné metódy postupov a operácií založených na dôkazoch. Je len pravda, že matematický dôkaz má veľa podobností s formálno-logickým dôkazom implementovaným v prírodných vedách a že matematický dôkaz má určité špecifiká, ako aj súbor techník a operácií. Tu sa zastavíme a vynecháme spoločné črty, vďaka ktorým je podobný iným formám dôkazu, teda bez rozšírenia algoritmu, pravidiel, chýb atď. vo všetkých krokoch (aj v tých hlavných). dôkazový proces.

Matematický dôkaz je úvaha, ktorej úlohou je podložiť pravdivosť (samozrejme v matematickom, teda odvoditeľnom zmysle) akéhokoľvek tvrdenia.

Súbor pravidiel používaných pri dokazovaní sa vytvoril spolu s príchodom axiomatických konštrukcií matematickej teórie. Najjasnejšie a úplne sa to prejavilo v geometrii Euklida. Jeho „Principia“ sa stala akýmsi vzorovým štandardom pre axiomatickú organizáciu matematického poznania a pre matematikov ňou zostala dlho.

Vyhlásenia prezentované vo forme určitej postupnosti musia zaručovať záver, ktorý sa pri dodržaní pravidiel logického fungovania považuje za preukázaný. Je potrebné zdôrazniť, že určitá úvaha je dôkazom len o určitom axiomatickom systéme.

Pri charakterizácii matematického dôkazu sa rozlišujú dva hlavné znaky. Po prvé, matematický dôkaz vylučuje akýkoľvek odkaz na empirické dôkazy. Celý postup zdôvodňovania pravdivosti záveru sa uskutočňuje v rámci akceptovanej axiomatiky. V tejto súvislosti zdôrazňuje akademik A.D. Aleksandrov. Uhly trojuholníka môžete zmerať tisíckrát a uistiť sa, že sú rovné 2d. Ale matematikou nemôžete nič dokázať. Dokážete mu to, ak vyššie uvedené tvrdenie odvodíte z axióm. Zopakujme si. Tu má matematika blízko k metódam scholastiky, ktorá tiež zásadne odmieta argumentáciu založenú na experimentálne daných faktoch.

Napríklad, keď sa zistila nesúmerateľnosť segmentov, pri dokazovaní tejto vety bolo použitie fyzikálneho experimentu vylúčené, pretože po prvé, samotný pojem „nesúmerateľnosť“ nemá fyzikálny význam, a po druhé, matematici nemohli, keď sa zaoberali s abstrakciou, prilákať pomocou materiálovo konkrétnych rozšírení, meraných senzorickými a vizuálnymi metódami. Nesúmernosť najmä strán a uhlopriečok štvorca je dokázaná na základe vlastnosti celých čísel pomocou Pytagorovej vety o rovnosti druhej mocniny prepony (resp. uhlopriečky) so súčtom druhých mocnín nôh. (dve strany pravouhlého trojuholníka). Alebo keď Lobačevskij hľadal potvrdenie svojej geometrie a obrátil sa na výsledky astronomických pozorovaní, toto potvrdenie vykonal prostredníctvom čisto špekulatívneho charakteru. Interpretácie neeuklidovskej geometrie, ktoré vykonali Cayley-Klein a Beltrami, tiež obsahovali skôr matematické ako fyzické objekty.

Druhou črtou matematického dôkazu je jeho najvyššia abstraktnosť, v ktorej sa odlišuje od dôkazných postupov v iných vedách. A opäť, ako v prípade pojmu matematický objekt, nehovoríme len o stupni abstrakcie, ale o jeho povahe. Faktom je, že dôkazy dosahujú vysokú úroveň abstrakcie aj v mnohých iných vedách, napríklad vo fyzike, kozmológii a, samozrejme, vo filozofii, keďže jej predmetom sú posledné problémy bytia a myslenia. Matematika sa vyznačuje tým, že tu fungujú premenné, ktorých význam je v abstrakcii od akýchkoľvek špecifických vlastností. Pripomeňme si, že podľa definície sú premenné znaky, ktoré samy osebe nemajú význam a nadobúdajú ho iba vtedy, keď ich nahradia názvami určitých objektov (jednotlivých premenných) alebo keď označujú konkrétne vlastnosti a vzťahy (predikátové premenné), resp. napokon v prípadoch nahradenia premennej zmysluplným výrokom (výroková premenná).

Táto vlastnosť určuje povahu extrémnej abstrakcie znakov používaných v matematickom dokazovaní, ako aj výrokov, ktoré sa vďaka zahrnutiu premenných do svojej štruktúry menia na funkcie výrokov.

Samotný dokazovací postup, v logike definovaný ako demonštrácia, prebieha na základe pravidiel vyvodzovania, na základe ktorých sa uskutočňuje prechod od jedného dokázaného tvrdenia k druhému, čím sa tvorí sekvenčný reťazec vyvodzovania. Najbežnejšie sú dve pravidlá (substitúcia a inferencia) a veta o dedukcii.

Substitučné pravidlo. V matematike je substitúcia definovaná ako nahradenie každého z prvkov a daná množinou nejakým iným prvkom F ( a) z tej istej sady. V matematickej logike je substitučné pravidlo formulované nasledovne. Ak je pravdivý vzorec M vo výrokovom kalkule obsahuje písmeno, povedzme A, potom ho všade tam, kde sa vyskytuje, nahradí ľubovoľným písmenom D, dostaneme vzorec, ktorý je rovnako pravdivý ako ten pôvodný. Je to možné a prijateľné práve preto, že v kalkule výrokov sa abstrahuje od významu výrokov (vzorcov)... Do úvahy sa berú len významy „pravda“ alebo „nepravda“. Napríklad vo vzorci M: A -->(B U A) na mieste A nahradiť výraz ( A U B), výsledkom je nový vzorec ( A U B) -->[(B U( A U B) ].

Pravidlo pre vyvodzovanie záverov zodpovedá štruktúre podmieňujúceho kategorického sylogizmu modus ponens (afirmatívny modus) vo formálnej logike. Vyzerá to takto:

a --> b

a .

Podané vyhlásenie ( a->b) a tiež dané a. Preto b.

Napríklad: Ak prší, potom je chodník vlhký, prší ( a), preto je dlažba mokrá ( b). V matematickej logike je tento sylogizmus napísaný takto ( a->b) a->b.

Inferencia je spravidla určená delením pre implikáciu. Ak to vyplýva z toho ( a->b) a jeho predchodca ( a), potom máme právo pridať k odôvodneniu (dôkazu) aj dôsledok tejto implikácie ( b). Sylogizmus je povinný, predstavuje arzenál deduktívnych dôkazných prostriedkov, to znamená, že absolútne spĺňa požiadavky matematického uvažovania.

Veľkú úlohu v matematickom dokazovaní zohráva dedukčná veta - všeobecný názov pre množstvo viet, ktorých postup umožňuje stanoviť dokázateľnosť implikácie: A->B, keď existuje logický záver vzorca B z vzorca A. V najbežnejšej verzii výrokového počtu (v klasickej, intuicionistickej a iných typoch matematiky) dedukčná veta uvádza nasledovné. Ak je daný systém priestorov G a predpoklad A, z ktorých podľa pravidiel môžeme odvodiť B G, A B(- znak odvoditeľnosti), vyplýva, že iba z premís G možno získať vetu A --> B.

Pozreli sme sa na typ, ktorý je priamym dôkazom. Zároveň sa v logike používajú aj takzvané nepriame dôkazy, existujú nepriame dôkazy, ktoré sa odvíjajú podľa nasledujúcej schémy. Nemajú z viacerých dôvodov (neprístupnosť predmetu výskumu, strata reálnosti jeho existencie a pod.) možnosť vykonať priamy dôkaz pravdivosti akéhokoľvek tvrdenia alebo tézy, budujú si protiklad. Sú presvedčení, že protiklad vedie k rozporom, a preto je nepravdivý. Potom sa z faktu nepravdy vytvorí protiklad - na základe zákona vylúčeného stredu ( a v ) - záver o pravdivosti tézy.

V matematike sa široko používa jedna forma nepriameho dôkazu – dôkaz protirečením. Je obzvlášť cenná a v podstate nevyhnutná pri akceptovaní základných pojmov a ustanovení matematiky, napríklad konceptu skutočného nekonečna, ktorý nemožno zaviesť iným spôsobom.

Operácia dôkazu protirečením je prezentovaná v matematickej logike nasledovne. Daná postupnosť vzorcov G a negácia A(G, A). Ak z toho vyplýva B a jeho negácia (G, A B, nie B), potom môžeme konštatovať, že postupnosť vzorcov G implikuje pravdu A. Inými slovami, z nepravdivosti protikladu vyplýva pravdivosť tézy.

Formálnymi dôkazmi sa zaoberá špeciálny odbor matematiky – teória dôkazov. Formálne dôkazy samotnej matematiky sa takmer nikdy nepoužívajú, pretože sú pre ľudské vnímanie veľmi zložité a často zaberajú veľa miesta. Dôkaz má zvyčajne formu textu, v ktorom autor, opierajúc sa o axiómy a predtým overené vety, používa logické prostriedky na preukázanie pravdivosti určitého tvrdenia. Na rozdiel od iných vied nie sú v matematike povolené empirické dôkazy: všetky tvrdenia sa dokazujú výlučne logickými metódami. V matematike hrá dôležitú úlohu matematická intuícia a analógie medzi rôznymi objektmi a teorémami; všetky tieto prostriedky však vedci využívajú len pri hľadaní dôkazov, na takýchto prostriedkoch samotný dôkaz nemôže byť založený. Dôkazy napísané v prirodzených jazykoch nemusia byť veľmi podrobné v nádeji, že trénovaný čitateľ bude schopný detaily zrekonštruovať sám. Prísnosť dôkazu je zaručená tým, že ho možno predložiť vo forme záznamu vo formálnom jazyku (to sa deje pri počítačovom overovaní dôkazov).

Chybný dôkaz je text obsahujúci logické chyby, teda taký, z ktorého nemožno zrekonštruovať formálny dôkaz. V dejinách matematiky sa vyskytli prípady, keď vynikajúci vedci publikovali nesprávne „dôkazy“, ale zvyčajne ich kolegovia alebo oni sami rýchlo našli chyby (jednou z najčastejšie nesprávne dokázaných teorém je Fermatova posledná veta. Stále existujú ľudia, ktorí nie vedieť, že to bolo dokázané, a ponúknuť nové nesprávne „dôkazy“). Iba uznanie „dôkazu“ v prirodzenom alebo formálnom jazyku ako dôkazu môže byť chybné; formálny dôkaz nemôže byť z definície chybný.

V matematike sú nevyriešené problémy, na ktoré by vedci naozaj radi našli riešenie. Niektoré z nich nájdete v článku „Hypotéza“. Matematické spoločnosti udeľujú ceny za dôkaz obzvlášť zaujímavých a dôležitých výrokov.

Teória je tzv plný, ak je pre ktorýkoľvek výrok preukázateľný alebo jeho negácia, a konzistentné, ak v ňom nie sú žiadne preukázateľné tvrdenia spolu s ich negáciami (alebo ekvivalentne, ak je v ňom aspoň jeden nepreukázateľný výrok). Väčšina „dostatočne bohatých“ matematických teórií, ako ukazuje prvá Gödelova veta o neúplnosti, je neúplná alebo protichodná. Najbežnejším súborom axióm v našej dobe je Zermelo-Frenkelova axióma s axiómou výberu (hoci niektorí matematici sú proti použitiu druhej). Teória založená na tomto systéme axióm nie je úplná (napríklad hypotézu kontinua v nej nemožno dokázať ani vyvrátiť – za predpokladu, že táto teória je konzistentná). Napriek širokému používaniu tejto teórie v matematike nemožno jej konzistenciu dokázať vlastnými metódami. Napriek tomu drvivá väčšina matematikov verí v jeho konzistentnosť a veria, že inak by boli rozpory už dávno objavené.

Historický náčrt

Prvé dôkazy používali najjednoduchšie logické konštrukcie. Najmä Thales z Milétu, ktorý dokázal, že priemer rozdeľuje kruh na polovicu, uhly v základni rovnoramenného trojuholníka sú rovnaké a dve pretínajúce sa priamky zvierajú rovnaké uhly, zjavne použil metódy ohýbania a prekrývania obrazcov vo svojich dôkazy. Podľa gréckeho filozofa Prokla (5. storočie n. l.) „Niekedy zvažoval otázku trochu všeobecne, niekedy sa spoliehal na jasnosť. Už za Pytagorasa dokazovanie prechádza od konkrétnych myšlienok k čisto logickým záverom. Je známe, že dôkaz o nesúmerateľnosti strany a uhlopriečky štvorca, ktorý je základom konceptu iracionality, patrí s najväčšou pravdepodobnosťou pytagorejcom, hoci bol prvýkrát uvedený v Euklidových Prvkoch (X), pochádza z r. opak a vychádza z teórie deliteľnosti čísel dvomi. Je možné, že rozdiely v názoroch na úlohu matematického dôkazu boli jedným z dôvodov konfliktu medzi Eudoxom a Platónom.