Preto existuje prirodzená túžba zredukovať rovnicu vyššieho rádu ako je prvá na rovnicu nižšieho rádu. V niektorých prípadoch sa to dá urobiť. Pozrime sa na ne.
1. Rovnice tvaru y (n) =f(x) riešime sekvenčnou integráciou n krát
, 
,… .
Príklad. Vyriešte rovnicu xy""=1. Môžeme teda napísať y"=ln|x| + C 1 a opätovným integrovaním nakoniec dostaneme y=∫ln|x| + C 1 x + C 2
2. V rovniciach tvaru F(x,y (k) ,y (k +1) ,..,y (n))=0 (teda explicitne neobsahujúcich neznámu funkciu a niektoré jej derivácie), poradie sa zníži zmenou premennej y (k) = z(x). Potom y (k +1) =z"(x),...,y (n) = z (n - k) (x) a dostaneme rovnicu F(x,z,z",..,z (n – k)) poradie n-k. Jej riešením je funkcia z = φ(x,C 1 ,C 2 ,…,C n) alebo keď si pamätáme, čo je z, dostaneme rovnicu y (n-k) = φ(x,C 1 ,C 2 ,…, C n - k) uvažuje v prípade 1. typu.
Príklad 1 Vyriešte rovnicu x 2 y"" = (y") 2. Vykonajte náhradu y"=z(x) . Potom y""=z"(x). Dosadením do pôvodnej rovnice dostaneme x 2 z"=z 2. Oddelením premenných dostaneme . Integrácia, máme 
, alebo, čo je to isté, . Posledný vzťah je zapísaný v tvare , odkiaľ . Integrácia, konečne sme sa dočkali 
Príklad 2 Riešte rovnicu x 3 y"" +x 2 y"=1. Urobíme zmenu premenných: y"=z; y""=z"
x 3 z"+x 2 z=1. Urobíme zmenu premenných: z=u/x; z"=(u"x-u)/x 2
x 3 (u"x-u)/x 2 +x 2 u/x=1 alebo u"x 2 -xu+xu=1 alebo u"x^2=1. Od: u"=1/x 2 alebo du/ dx=1/x2 alebo u = int(dx/x2) = -1/x+c 1
Pretože z=u/x, potom z = -1/x2 +c1/x. Pretože y"=z, potom dy/dx=-1/x2+c1/x
y = int(c1dx/x-dx/x2) =c1ln(x) + 1/x + c2. Odpoveď: y = c 1 ln(x) + 1/x + c 2
3. Nasledujúca rovnica, ktorá umožňuje redukciu poradia, je rovnica v tvare F(y,y",y"",…,y (n))=0, ktorá explicitne neobsahuje nezávislú premennú. Poradie rovnice je znížená nahradením premennej y"=p(y) , kde p je nová požadovaná funkcia v závislosti od y. Potom 
= a tak ďalej. Indukciou máme y (n) =φ(p,p",..,p (n-1)). Dosadením do pôvodnej rovnice jej poradie znížime o jednotku.
Príklad. Vyriešte rovnicu (y") 2 +2yy""=0. Urobíme štandardnú náhradu y"=p(y), potom y″=p′·p. Dosadením do rovnice dostaneme 
Oddelením premenných pre p≠0 dostaneme 
alebo, čo je to isté, . Potom alebo. Integráciou poslednej rovnosti nakoniec získame 
Pri separácii premenných by sme mohli prísť o riešenie y=C, ktoré dostaneme pre p=0, alebo, čo je to isté, pre y"=0, ale je obsiahnuté v riešení získanom vyššie.
4. Niekedy je možné si všimnúť funkciu, ktorá vám umožňuje znížiť poradie rovnice spôsobmi odlišnými od tých, ktoré sú uvedené vyššie. Ukážme si to na príkladoch.
Príklady.
1. Ak sú obe strany rovnice yy"""=y′y″ delené yy″, dostaneme rovnicu, ktorú možno prepísať ako (lny″)′=(lny)′. Z posledného vzťahu vyplýva, že lny″=lny +lnC, alebo, čo je to isté, y″=Cy Výsledkom je rovnica o rádovo nižšia a typu, o ktorom sme hovorili vyššie.
2. Podobne pre rovnicu yy″=y′(y′+1) máme, alebo (ln(y"+1))" = (lny)". Z posledného vzťahu vyplýva, že ln(y"+ 1) = lny + lnC 1 alebo y"=C 1 y-1. Oddelením premenných a integrovaním dostaneme ln(C 1 y-1) = C 1 x+C 2
Rozhodnite sa rovnice, ktoré je možné postupne redukovať možné pomocou špeciálnej služby
Jednou z metód integrácie DE vyššieho rádu je metóda redukcie rádu. Podstata metódy spočíva v tom, že nahradením premennej (substitúciou) sa daný DE redukuje na rovnicu nižšieho rádu.
Uvažujme tri typy rovníc, ktoré umožňujú zníženie poradia.
I. Nech je daná rovnica
Objednávku je možné znížiť zadaním Nová funkcia p(x), pričom y " =p(x). Potom y "" =p " (x) a dostaneme prvý rád DE: p " =ƒ(x). Vyriešením, t.j. nájdením funkcie p= p (x), vyriešte rovnicu y " =р(x). Dostaneme spoločné rozhodnutie daná rovnica (3.6).
V praxi pôsobia inak: poradie sa znižuje priamo sekvenčnou integráciou rovnice.
Pretože 
rovnicu (3.6) môžeme zapísať v tvare dy " =ƒ(x) dx. Potom integráciou rovnice y "" =ƒ(x) dostaneme: y " = alebo y " =j1 (x) + с 1 Ďalej, integrovaním výslednej rovnice pre x nájdeme: - všeobecné riešenie tejto rovnice. 
potom, keď ju integrujeme n-krát za sebou, nájdeme všeobecné riešenie rovnice:
Príklad 3.1. Vyriešte rovnicu 
Riešenie: Postupná integrácia štyrikrát daná rovnica, dostaneme
Nech je daná rovnica
Označme y " =р, kde р=р(х) je nová neznáma funkcia. Potom y "" =p " a rovnica (3.7) má tvar p " =ƒ(х;р). Nech р=j (х;с 1) je všeobecné riešenie výslednej diferenciálnej rovnice prvého rádu Ak funkciu p nahradíme y ", dostaneme diferenciálnu rovnicu: y " = j(х;с 1). stačí integrovať posledná rovnica (. 3.7) bude mať tvar
Špeciálnym prípadom rovnice (3.7) je rovnica
ktorá tiež explicitne neobsahuje požadovanú funkciu, potom jej poradie možno znížiť o k jednotiek nastavením y (k) = p (x). Potom y (k+1) =p " ; ...; y (n) = p (n-k) a rovnica (3.9) má tvar F(x;p;p" ;... ;p (n-K) )) = 0. Špeciálnym prípadom rovnice (3.9) je rovnica
Použitím náhrady y (n-1) =p(x), y (n) =p " sa táto rovnica zredukuje na DE prvého poriadku.
Príklad 3.2. Vyriešte rovnicu 
Riešenie: Predpokladáme y"=p, kde 
Potom 
Toto je oddeliteľná rovnica: 
Integráciou dostaneme Ak sa vrátime k pôvodnej premennej, dostaneme y"=c 1 x,
- všeobecné riešenie rovnice.
III. Zvážte rovnicu
ktorá explicitne neobsahuje nezávislú premennú x.
Aby sme zmenšili poradie rovnice, zavedieme novú funkciu p=p(y), v závislosti od premennej y, pričom nastavíme y"=p. Túto rovnosť diferencujeme vzhľadom na x, berúc do úvahy, že p =p(y) (X)):
t.j. 
Teraz bude rovnica (3.10) napísaná v tvare 
Nech p=j(y;c 1) je všeobecné riešenie tohto prvého rádu DE. Nahradením funkcie p(y) y dostaneme y"=j(y;с 1) - DE so separovateľnými premennými. Jeho integráciou nájdeme všeobecný integrál rovnice (3.10): 
Špeciálnym prípadom rovnice (3.10) je diferenciálna rovnica
Túto rovnicu je možné vyriešiť pomocou podobnej substitúcie: y " =p(y),
To isté robíme pri riešení rovnice F(y; y " ; y";...; y (n)) = 0. Jej poradie možno znížiť o jednotku nastavením y"=p, kde p=p(y ). Podľa pravidla diferenciácie komplexná funkcia nájdeme Potom nájdeme
p=uv=((-1+y)e-y+e-y+c1)e+y, alebo p=c1ey+y. Ak nahradíme p y ", dostaneme: y"=c 1 -e y +y. Dosadením y"=2 a y=2 do tejto rovnosti nájdeme s 1:
2=c1e2+2, c1=0.
Máme y"=y. Preto y=c 2 e x. Nájdeme c 2 z počiatočných podmienok: 2=c 2 e°, c 2 =2. Teda y=2e x je partikulárnym riešením tohto
Diferenciálna rovnica 2. rádu má tvar:
Všeobecné riešenie rovnice je skupina funkcií závislých od dvoch ľubovoľných konštánt a: (alebo - všeobecný integrál Diferenciálnej rovnice 2. poradie). Cauchyho problém pre diferenciálnu rovnicu 2. rádu (1.1) pozostáva z nájdenia konkrétneho riešenia rovnice, ktoré vyhovuje počiatočné podmienky: na: , . Treba si uvedomiť, že grafy riešení rovnice 2. rádu sa môžu pretínať, na rozdiel od grafov riešení rovnice 1. rádu. Avšak riešenie Cauchyho úlohy pre rovnice druhého rádu (1.1) za dosť širokých predpokladov pre funkcie zahrnuté v rovnici je jedinečné, t.j. akékoľvek dve riešenia so spoločnou počiatočnou podmienkou sa zhodujú v priesečníku definičných intervalov.
Nie vždy je možné získať všeobecné riešenie alebo vyriešiť Cauchyho úlohu pre diferenciálnu rovnicu 2. rádu analyticky. V niektorých prípadoch je však možné znížiť poradie rovnice zavedením rôznych substitúcií. Pozrime sa na tieto prípady.
1. Rovnice, ktoré explicitne neobsahujú nezávislú premennú.
Diferenciálna rovnica 2. rádu nech má tvar: , t.j. v rovnici (1.1) zjavne nie je žiadna nezávislá premenná. To nám umožňuje brať to ako nový argument a brať deriváciu 1. rádu ako novú funkciu. Potom.
Teda rovnica 2. rádu pre funkciu, ktorá nie je explicitne obsiahnutá, bola zredukovaná na rovnicu 1. rádu pre funkciu. Integráciou tejto rovnice dostaneme všeobecný integrál alebo, a to je diferenciálna rovnica 1. rádu pre funkciu. Jeho vyriešením dostaneme všeobecný integrál pôvodnej diferenciálnej rovnice v závislosti od dvoch ľubovoľných konštánt: .
Príklad 1. Riešte diferenciálnu rovnicu pre dané počiatočné podmienky: , .
Keďže v r pôvodná rovnica neexistuje žiadny explicitný argument, potom to budeme brať ako novú nezávislú premennú a - pre. Potom má rovnica pre funkciu nasledujúci tvar: .
Toto je diferenciálna rovnica s oddeliteľnými premennými: . Odkiaľ nasleduje, t.j. .
Keďže pre a potom dosadením počiatočných podmienok do poslednej rovnosti dostaneme to a, ktoré je ekvivalentné. Výsledkom je, že pre funkciu máme rovnicu so separovateľnými premennými, ktorej riešením dostaneme. Pomocou počiatočných podmienok to získame. Čiastočný integrál rovnice, ktorý spĺňa počiatočné podmienky, má teda tvar: .
2. Rovnice, ktoré explicitne neobsahujú požadovanú funkciu.
Diferenciálna rovnica 2. rádu nech má tvar: , t.j. rovnica zjavne neobsahuje požadovanú funkciu. V tomto prípade sa uvádza vyhlásenie. Potom sa rovnica 2. rádu pre funkciu zmení na rovnicu 1. rádu pre funkciu. Po jej integrácii dostaneme diferenciálnu rovnicu 1. rádu pre funkciu: . Vyriešením poslednej rovnice získame všeobecný integrál danej diferenciálnej rovnice v závislosti od dvoch ľubovoľných konštánt: .
