Linearizácia (modelovanie) transformačných funkcií meracieho prístroja

Úvod

Rozvoj vedy a techniky, zvyšujúce sa požiadavky na kvalitu výrobkov a efektivitu výroby viedli k radikálnej zmene požiadaviek na meranie. Jedným z hlavných aspektov týchto požiadaviek je zabezpečenie možnosti dostatočne spoľahlivého posúdenia chyby merania. Nedostatok údajov o presnosti merania alebo nedostatočne spoľahlivé odhady úplne alebo výrazne znehodnocujú informácie o vlastnostiach objektov a procesov, kvalite produktov a efektívnosti technologických procesov, o množstve surovín, produktov a pod., získaných ako výsledok meraní. Nesprávne posúdenie chyby merania je spojené s veľkými ekonomickými stratami a niekedy technické dôsledky. Podcenenie chyby merania vedie k nárastu chybovosti výrobkov, nehospodárnemu alebo nesprávnemu účtovaniu spotreby materiálových zdrojov a nesprávnym záverom pri vedecký výskum, chybné rozhodnutia pri vývoji a testovaní vzoriek Nová technológia. Precenenie chyby merania, ktoré spravidla vedie k chybnému záveru o potrebe použitia presnejších meracích prístrojov (MI), spôsobuje neproduktívne náklady na vývoj, priemyselnú výrobu a prevádzku MI. Túžba priblížiť odhad chyby merania čo najbližšie k jeho skutočná hodnota tak, aby zostal v pravdepodobnostnom zmysle „odhadom zhora“ – jedným z charakteristických trendov vo vývoji modernej praktickej metrológie. Tento trend sa stáva obzvlášť dôležitým praktický význam kde sa požadovaná presnosť merania približuje presnosti, ktorú dokážu poskytnúť štandardné meracie prístroje a kde zvyšovanie správnosti odhadov presnosti merania je v podstate jednou z rezerv zvyšovania presnosti merania. Chyba merania je spôsobená všeobecný prípad, množstvo faktorov. Závisí to od vlastností použitých meradiel, spôsobov použitia meradiel (metód merania), správnosti kalibrácie a overenia meradiel, podmienok, za ktorých sa merania vykonávajú, rýchlosti (frekvencie) merania. zmeny meraných veličín, výpočtové algoritmy a chyby zavedené operátorom. Následne je úlohou odhadnúť chybu merania v moderné podmienky, najmä technické merania sú zložitá, komplexná úloha.

Umanskaya A.K. Linearizácia (simulácia)

funkcie prevodu meracieho prístroja. -

Čeľabinsk: SUSU, PS; 2012.18 s. 4ill.,

bibliogr. zoznam - 1 meno

Na základe počiatočných údajov bola linearizovaná (modelovaná) transformačná funkcia meracieho prístroja a vypočítané chyby.

Úlohy

ÚLOHA 1.

Citlivosť SI a extrémna nestabilita citlivosti. Citlivosť SI:

Maximálna nestabilita citlivosti:

ÚLOHA 2.

Obmedzte relatívne chyby znížené na výstup a vstup SI

Poďme nájsť chybu výstupného signálu.

A-priorita:

Nájdite chybu výstupného signálu redukovanú na výstup SI.

A-priorita:

Definujme hodnoty relatívna chyba pri hodnotách vstupnej nameranej hodnoty:

ÚLOHA 3.

Určte absolútne, relatívne a redukované chyby nelinearity pri aproximácii SI transformačnej funkcie vo forme dotyčnice v počiatočnom bode.

Určte najväčšiu chybu nelinearity. Dotyková rovnica je:

Bod, ktorým prechádza dotyčnica

Tangentový uhol:

Poďme určiť chyby linearizácie:

Absolútna chyba:

Relatívna chyba:

Znížená hodnota chyby (v bode x=x n):

Graf aproximácie transformačnej funkcie v tvare dotyčnice v počiatočnom bode:

ÚLOHA 4

Určte relatívnu a absolútnu chybu nelinearity pri aproximácii transformačnej funkcie SI vo forme tetivy prechádzajúcej počiatočným a koncový bod rozsah merania. Určte najväčšiu chybu nelinearity.

Akordová rovnica je:

Body, cez ktoré akord prechádza:

Linearizačná funkcia má tvar:

Poďme určiť chyby linearizácie.

Absolútna chyba:

Relatívna chyba:

Maximálna chyba nelinearity pri X uh :

Poďme nájsť chybu:

Graf aproximácie transformačnej funkcie vo forme tetivy prechádzajúcej počiatočným a koncovým bodom nášho rozsahu.

ÚLOHA 5.

Aproximujte transformačnú funkciu SI na intervale: lineárna funkcia tvaru: , aby najväčšia chyba linearizácie bola minimálna: . Určte maximálne relatívne a znížené chyby linearizácie. aproximačná funkcia.

Absolútna chyba linearizácie.

chyba meracieho prístroja nelinearita

Zapíšme si podmienku optimalizácie systému:

chyba na konci meracieho rozsahu:

chyba v extrémnom bode:

Rozviňme moduly a napíšme rovnicu:

Poďme určiť chybu v

ÚLOHA 6.

Aproximujte transformačnú funkciu SI na intervale: lineárnou funkciou tvaru: tak, aby najväčšia chyba linearizácie bola minimálna:.

Určte maximálne relatívne a znížené chyby linearizácie.

aproximačná funkcia.

Absolútna chyba linearizácie.

Chyba akceptuje najmenšia hodnota v bode, kde:

Podmienka optimalizácie systému:

Vytvorme si systém:

Z riešenia systému získame:

Aproximačná funkcia má tvar:

Poďme určiť chyby.

Maximálna znížená chyba linearizácie je:

Graf aproximácie transformačnej funkcie lineárnou funkciou tvaru s minimálnou maximálnou chybou.

Záver

Konštrukciou lineárnych modelov transformačných funkcií meracích prístrojov rôzne cesty, sme presvedčení, že najefektívnejšia je metóda modelovania transformačnej funkcie lineárnou funkciou tvaru: , takže najväčšia chyba linearizácie je minimálna, pretože mala najmenšiu chybu a stálu citlivosť.

Bibliografia

1. Aksenová, E.N. Elementárne metódy odhady chýb vo výsledkoch priamych a nepriame merania / tutoriál pre univerzity. - M.: Vydavateľstvo Logos; Univerzitná kniha, 2007.

Automatické systémy sa zvyčajne označujú ako nelineárne diferenciálne rovnice. Ale v mnohých prípadoch je možné ich linearizovať, teda nahradiť pôvodné nelineárne rovnice lineárnymi, ktoré približne opisujú procesy v systéme. Proces konverzie nelineárna rovnica lineárne sa nazýva linearizácia.

V automatických systémoch musí byť zachovaný určitý špecifikovaný režim. V tomto režime sa vstupné a výstupné veličiny systémových väzieb menia podľa určitého zákona. Najmä v stabilizačných systémoch berú isté konštantné hodnoty. Ale v dôsledku rôznych rušivých faktorov sa skutočný režim líši od požadovaného (špecifikovaného). aktuálne hodnoty vstupné a výstupné hodnoty sa nerovnajú hodnotám zodpovedajúcim zadanému režimu. V normálne fungujúcom automatický systém skutočný režim sa mierne líši od požadovaného režimu a odchýlky vstupných a výstupných hodnôt prepojení v ňom zahrnutých od požadovaných hodnôt sú malé. To umožňuje linearizáciu rozšírením nelineárne funkcie, zahrnuté v rovniciach, v Taylorovom rade. Linearizáciu je možné vykonať pomocou odkazov.

Príklad 2.1. Vyššie uvedené ilustrujme na príklade spojenia opísaného rovnicou (2.1). Nech daný režim zodpovedá

Označme odchýlky skutočných hodnôt u a y od požadovaných hodnôt pomocou . Potom a Dovoľme tieto výrazy dosadiť do (2.1) a vzhľadom na funkciu nezávislých premenných to rozvinúť do Taylorovho radu v bode (2.3) a vypustiť malé členy viac vysoký poriadok než odchýlky. Potom (2.1) získa formulár

Tu to znamená hviezdička vyššie príslušné funkcie a deriváty sa vypočítajú pre hodnoty argumentu určené vzťahmi (2.3). Keď je v systéme stanovený daný režim, rovnica (2.1) nadobúda tvar . Odčítaním tejto rovnice od (2.4) získame požadovanú rovnicu spojenia v odchýlkach:

Ak čas t nie je výslovne zahrnutý pôvodná rovnica(2.1) a navyše daný režim je statický - veličiny nezávisia od času, potom sú koeficienty linearizovanej rovnice (2.5) konštantné.

Popísané prepojenia a systémy lineárne rovnice, sa nazývajú lineárne väzby a lineárne systémy.

Rovnica (2.5) bola získaná za nasledujúcich predpokladov: 1) odchýlky výstupných a vstupných veličín sú pomerne malé; 2) funkcia má spojité parciálne derivácie vzhľadom na všetky jej argumenty v blízkosti bodov zodpovedajúcich danému módu. Ak nie je splnená aspoň jedna z týchto podmienok, linearizáciu nemožno vykonať. Pokiaľ ide o prvú podmienku, je potrebné poznamenať nasledovné: nie je možné raz a navždy určiť, ktoré odchýlky sa považujú za malé. Závisí to od typu nelinearity.

Často je nelineárny vzťah medzi jednotlivými premennými zahrnutými v rovnici väzby špecifikovaný vo forme krivky. V týchto prípadoch je možné linearizáciu vykonať graficky.

Geometricky znamená linearizácia nelineárneho vzťahu medzi dvoma premennými (obr. 2.2) nahradenie pôvodnej krivky A B segmentom jej dotyčnice v bode O, zodpovedajúcim danému módu a paralelný prenos pôvodu do tohto bodu.

V závislosti od toho, či je čas v rovnici výslovne zahrnutý alebo nie, sa systémy delia na stacionárne a nestacionárne.

Automatické riadiace systémy (linky) sa nazývajú stacionárne, ak sú konštantné vonkajšie vplyvy sú opísané rovnicami, ktoré nie sú explicitne závislé od času. To znamená, že vlastnosti systému sa časom nemenia. V opačnom prípade sa systém nazýva nestacionárny. Pre lineárne systémy môžeme tiež dať nasledujúca definícia: stacionárne lineárne systémy (linky) sú systémy (linky), ktoré sú opísané lineárnymi rovnicami s konštantné koeficienty; nestacionárne lineárne systémy (linky) alebo systémy s premenlivými parametrami - systémy (linky), ktoré sú opísané lineárnymi rovnicami s premenlivými koeficientmi.

chx = (e x + e - x)/2

shx=(ex-e-x)/2

chx 2 +shx 2 = ch2x

c
thx=chx/shx

Prednáška č.12

Téma: "Linearizácia"

Geometrický význam diferenciálu funkcie a tangentovej rovnice.

rovnica priamky: Y=kx+b

yo = f(x 0) = kx 0 + b

k-sklon priamky

k=tg=f’(x 0)

Y=f(x0)+f(x0)-f'(x0)x 0

Y=f(x)+f'(x 0) (x-x 0)

∆f(x 0)=f’(x 0)∆x+(∆x)∆x pre ∆х0  v niektorých

O(x 0) f(x 0)=f’(x 0)+f’(x 0)∆x+(∆x)∆x pri ∆х0

Y 1 = f(x 0)+f’(x 0)(x-x 0) a =f’(x 0)+f’(x 0)∆x

df(x 0)=f'(x 0)∆x

Geometrický význam diferenciálu:

df(x 0) je prírastok ordináty pri pohybe pozdĺž dotyčnice k funkcii nakreslenej do grafu v bodoch (x 0 ;f(x 0).

Komentujte: Často hovoria o dotyčnici nakreslenej v bode x 0.

Linearizácia funkcie.

Definícia: Náhrada funkcie v okolí daného bodu lineárnej funkcie sa nazýva linearizácia funkcie, presnejšie v O(x 0) je nahradená dotyčnicovým segmentom v bode x 0.

(
*)f(x)-Y=(∆x)∆x-o(∆x)

Ak v rovnosti (*) zahodíme pravú stranu, potom my

dostaneme približnú rovnosť:

f(x)f(x 0)+f’(x 0)(x-x 0), xx 0

Y=f(x 0)+f’(x 0)(x-x 0) – rovnica dotyčnice v bode x 0

Vzorec sa získa z definície diferenciálu v bode x 0 funkcie

f(x)=f(x 0)+f(x 0)∆x+o∆x v ∆х0 – sa nazýva kritérium pre diferenciálnu funkciu v bode x 0.

Približné výpočty a odhad chyby výpočtu.

Môžete približne vypočítať hodnotu funkcie v bodoch blízko daného bodu.

Linearizujeme vybraný koreň.

f’(x) x=8 =(3x)’ x =8 =1/3x -2/3  x =8 =1/12

3 x2+1/12 (x-8), x8

3 x2 + 0,001/12

Y cas = 2+1/12 (x-8)

3 x=2+1/12(x-8)+o(x-8) pri x8

Chyby vo výpočte.

f(x)-f(x 0)=df(x 0)+o(x-x 0) pri xx 0

∆f(x 0)df(x 0), xx 0

∆ 1 =∆f(x 0)df(x 0)

f(x)=10 x v bode x 0 =4, ak ∆x=0,001 x=40,001

10 4 ∆=10 4 23

f'(x) = 10 x ln10; f'(4) = 104 ln10 = 23 000; ln102.2

∆23000•0,001=23

Štúdium správania funkcie pomocou prvej derivácie.

Naľavo od M 0 tg >0; Napravo od M 0 tg <0

tg f’(x)>0 naľavo od M 0

tg f’(x)<0 справа от М 0

Veta: Nech y=f(x) je diferencovateľné  x(a,b) a f’(x)>0 (f’(x)<0), тогда f(x) возрастает (убывает) на (а,b)

A(|x1|x2)b

x 1 ,x 2 (a,b) x 1

Musíme dokázať: f(x 1)

Aplikujme Langrangeovu vetu na segment (x 1 ,x 2) T vetu.

f(x 2)-f(x 1)=f’(c)(x 2 -x 1), kde c(x 1 ,x 2)

f(x 2)-f(x 1)>0  f(x 2)>f(x 1)

Extrém funkcie.

M Môžete zadať O(x 1), v ktorom sú všetky hodnoty funkcie

f(x)

f(x)>f(x 1) b a О  2 (x 1). Významné funkcie v bode M 1, M 3 a M 5 –

max; M 2 a M 4 – min – takéto body sa nazývajú bodky

extrém alebo miestne maximálne a minimálne body.

Definícia: (extrémne body)

Nech je funkcia f(x) definovaná v nejakom O(x 0) a f(x)>f(x 0) v

O(x 0) alebo f(x)

Z Poznámka:

f(x)f(x 1) v O  1 (x 1)

f(x)f(x 2) v O  2 (x 2)

hovoria, že body x 1 a x 2 sú body, ktoré nie sú striktne lokálne

extrém.

Veta: (Fermat) (o potrebe extrémnej podmienky pre diferencovateľnú funkciu)

Nech y=f(x) je diferencovateľné v bode x 0 a bod x 0 je extrémny bod, potom f(x 0)=0

Dôkaz: Všimnite si, že x 0 je extrémny bod, potom si v jeho blízkosti f(x) – f(x 0) zachováva znamienko. Napíšme podmienku ∆f(x 0)=f(x)-f(x 0)(x-x 0)+o(x-x 0)

f(x)-f(x 0)=(x-x 0) potom pre x – dostatočne blízko k x 0 sa znamienko výrazu v hranatých zátvorkách zhoduje so znamienkom f'(x 0)0 (x-x 0) – mení znamienko pri prechode cez bod x 0  f'(x 0)=0

Prednáška č.13

Moderátorka: Golubeva Zoya Nikolaevna

Téma: "extrémy"

komentár:

O výrok brata je nesprávny. Len preto, že súčin v danom bode je nula, neznamená to, že ide o extrém.

xO -  (1)f(x)<0

xO +  (1)f(x)<0

x=1 nie je extrémny bod.

Veta (Rolle):

Nech je funkcia y=f(x) spojitá na intervale a diferencovateľná na (a,b). Okrem toho na koncoch intervalu nadobúda rovnaké hodnoty f(a)=f(b), potom  с(a,b): f(c)=0

dôkaz: Keďže funkcia je spojitá na segmente , potom podľa druhej Weistrassovej vety existuje najväčšia a najmenšia hodnota (m,M), ak m=M, potom f(x)const (x) (const)' =0.

Nechajte m

komentár: podmienku diferencovateľnosti nemožno zahodiť.

kontinuálne na segmente

Geometrický význam.

f’(x)=0, potom dotyčnica  osi x. Veta netvrdí, že ide o jeden bod.

Langrangeova veta:

Nech je funkcia y=f(x) spojitá na intervale a diferencovateľná na intervale (a,b), potomс(a,b): f(b)-f(a)=f(c)( b-a)

Dôkaz :

F(x)=f(x)+xkde  je zatiaľ neznáme číslo.

F(x) – spojitý na intervale ako súčet spojitej funkcie

f(x) je diferencovateľná na intervale ako súčet diferencovateľnej funkcie.

Zvoľme číslo  tak, aby na segmente F(x) nadobudlo rovnakú hodnotu.

F(a)=F(b)  f(a)-f(b)=(a-b)  =/

F(x) – spĺňa podmienky Rollerovej vety na segmente c(a,b):F’(c)=0, teda F’(x)=f’(x)+

0=f’(c)+  f’(c)=-=/

Teda na zákrute, ktorá je naklonená

k osi x v rovnakom uhle ako sečna

/=tg=f(x)  c(a,b)

komentár:

Často môže byť bod c reprezentovaný v

požadovaný formulár:

с=х 0 +∆х

0<(c-x 0)/(x-x 0)=<1

c-x 0 =(x-x 0)

c=x 0 +(x-x 0) 1

f(x)-f(x 0)=f’(x 0 +∆x)(x-x 0)

∆f(x 0)=f’(x 0 +∆x)∆x

Veta: (o nevyhnutných a postačujúcich podmienkach pre extrém v prvej derivácii)

Nech y=f(x) je spojité na intervale a diferencovateľné v O(x 0). Ak f'(x) zmení znamienko pri prechode bodom x 0, potom bod x 0 je extrémny bod. Ak sa znamienko zmení:

od + do – potom je to maximálny bod

od – do +, potom je to minimálny bod

Dôkaz :х 1 О - (x 0) na ;c 1 (x 1 ,x 0)f(x 0)-f(x 1)=f'(c 1)(x 0 -x 1) f(x 0)>f(x 1)x 1 O - (x 0)

 x 2 О + (x 0) na ;c 2 (x 0 ,x 2)f(x 2)-f(x 0)=f'(c 2)(x 2 -x 0) f(x 2)

f(x 0)>f(x)xO(x 0)bod x maximálny bod.

Ak v bode x 0 existuje derivácia, potom sa nevyhnutne rovná 0 podľa Fermatovej vety. Ale môžu existovať body, v ktorých existuje f(x), ale f'(x) neexistuje.

Princíp riešenia takýchto problémov:

Podmienka: nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie na segmente.

Priebeh riešenia:

Nájdeme body, v ktorých sa derivácia rovná 0 alebo neexistuje f’(x)=0 orf’(x)  x 1 ,x n

Vypočítame znamienko funkcie na koncoch segmentu a v týchto bodoch f(a),f(b),f(x 1)….f(x n)

Vyberte najväčší a najmenší mf(x)

Definícia: Body, v ktorých je funkcia definovaná a derivácia je buď nulová, alebo neexistuje, sa nazývajú kritické body.

1. Všetky premenné sú vyjadrené pomocou x 1 , x 2
2. Všetky matematické operácie sú vyjadrené prostredníctvom všeobecne akceptovaných symbolov (+,-,*,/,^). Napríklad x 1 2 +x 1 x 2 napíšte ako x1^2+x1*x2.

Kde – vyradený termín druhého rádu maličkosti.
Funkcia f(x) je teda aproximovaná v bode x 0 lineárnou funkciou:
,
kde x 0 je bod linearizácie.
Komentujte. Linearizácia by sa mala používať veľmi opatrne, pretože niekedy poskytuje veľmi hrubú aproximáciu.

Všeobecný problém nelineárneho programovania

Príklad č.1.

Zostrojme prípustnú oblasť S (pozri obrázok).


Realizovateľná oblasť S pozostáva z bodov na krivke h(x)=0 ležiacich medzi bodom (2;0), definovaným obmedzením x 2 ≥0, a bodom (1;1), definovaným obmedzením g( x) ≥0.
V dôsledku linearizácie úlohy v bode x 0 =(2;1) dostaneme ZLP:

Tu ide o priamku ohraničenú bodmi (2,5; 0,25) a (11/9; 8/9). Úrovňové čiary linearizovanej účelovej funkcie sú priame čiary so sklonom -2, zatiaľ čo čiary úrovne pôvodnej účelovej funkcie sú kruhy so stredom v bode (0;0). Je jasné, že riešením linearizovanej úlohy je bod x 1 = (11/9; 8/9). V tomto bode máme:

tak je porušené obmedzenie rovnosti. Po vykonaní novej linearizácie v bode x 1 dostaneme nový problém:


Nové riešenie leží na križovatke liniek a má súradnice x2 = (1,0187; 0,9965). Obmedzenie – rovnosť ( ) sa stále porušuje, ale v menšej miere. Ak vykonáme ďalšie dve iterácie, dostaneme veľmi dobrú aproximáciu k riešeniu x * =(1;1), f(x *)=2

Tabuľka - Hodnoty objektívnej funkcie pre niektoré iterácie:

Linearizácia

S cieľom odhadnúť neznáme parametre β0, …, βn nelineárny regresný model, je potrebné ho doviesť do lineárnej podoby. Podstatou linearizácia Regresné modely, ktoré sú v nezávislých premenných nelineárne, spočívajú v nahradení nelineárnych faktorových premenných lineárnymi. Vo všeobecnom prípade polynomiálnej regresie ide o proces nahradenia nelineárnych premenných funkcie n-tý Objednávka vyzerá takto: x = с 1,; x2 = c2; x Z = s3; ... ; x p = c p.

Potom možno rovnicu viacnásobnej nelineárnej regresie zapísať ako rovnicu lineárnej mnohonásobnej regresie

y i = β 0 + β 1 x i + β 2 x 2 i + … +β n x n i + ε i =>

=> y i = β 0 + β 1 c 1i + β 2 c 2i + … +β n c ni + ε i

Hyperbolická funkcia môže byť tiež redukovaná na lineárnu formu nahradením nelineárnej faktorovej premennej lineárnou. Nechajte 1/ X= s. Potom možno pôvodnú rovnicu hyperbolickej funkcie zapísať v transformovanej forme:

y i = β 0 + β 1 / x i + ε i => y i = β 0 + β 1 s i + ε i

Polynomickú funkciu ľubovoľného stupňa aj hyperboloid tak možno redukovať na lineárny regresný model, ktorý umožňuje aplikovať tradičné metódy na hľadanie neznámych parametrov regresnej rovnice (napríklad klasické OLS) a štandardné metódy na testovanie rôznych hypotéz k transformovanému modelu.

Co. druhý stupeň nelineárne modely zahŕňajú regresné modely, v ktorých je výsledná premenná y i nelineárne súvisí s parametrami rovnice β0,…, βn. Tento typ regresných modelov zahŕňa:

1) funkcia napájania

y i = β 0 · x i β 1 · ε i

2) exponenciálna funkcia

y i = β 0 · β 1 x i · ε i

3) logaritmická parabola

y i = β 0 · β 1 x i · β 2 x i · ε i 2

4) exponenciálna funkcia

y i = e β 0 + β 1 x i · ε i

5) inverzná funkcia

a ďalšie.

Regresné modely nelineárne v parametroch sa zase delia na modely podlieha linearizácii (vlastne lineárne funkcie) a nepodlieha linearizácii (vnútorne nelineárne funkcie). Príkladom modelov, ktoré je možné zredukovať na lineárnu formu, je exponenciálna funkcia formy y i = β 0 · β 1 x i · ε i, kde je náhodná chyba εi multiplikatívne súvisí s faktorovou charakteristikou x i . D Tento model je v parametri nelineárny β 1. Aby sme to linearizovali, najprv vykonáme logaritmický proces:

ln y i = ln β 0 + x i ln β 1 + ln ε i

Potom použijeme substitučnú metódu. Nechaj V y i= Y i; ln β 0= A; V β 1 =IN; ln ε i =E i.

Potom má transformovaná exponenciálna funkcia nasledujúci tvar:

Y i = A+ V x i+ E i.

Preto exponenciálna funkcia y i = β 0 · β 1 x i · ε i je vnútorne lineárny a odhady jeho parametrov možno nájsť pomocou tradičnej metódy najmenších štvorcov.

Ak vezmeme exponenciálnu funkciu, ktorá obsahuje náhodnú chybu εi aditívne, t.j. y i = β 0 · β 1 x i + ε i, potom tento model už nemožno previesť do lineárnej formy pomocou logaritmu. Je vnútorne nelineárny.

Nech je daná mocninná funkcia tvaru y i = β 0 · x i β 1 · ε i. Zoberme si logaritmy oboch strán rovnice:

ln y i = ln β 0 + β 1 ln x i + ln ε i

Teraz použijeme metódu výmeny: V y i= Y i; ln β 0= A; ln x i =Xi; ln ε i = E i.