Vzorce na riešenie jednoduchých goniometrických rovníc. Ako riešiť trigonometrické rovnice

Úloha č.1

Logika je jednoduchá: urobíme to ako predtým, bez ohľadu na to, že teraz majú goniometrické funkcie zložitejší argument!

Ak by sme riešili rovnicu v tvare:

Potom by sme si zapísali nasledujúcu odpoveď:

Alebo (odkedy)

Ale teraz našu úlohu hrá tento výraz:

Potom môžeme napísať:

Naším cieľom s vami je zabezpečiť, aby ľavá strana stála jednoducho, bez akýchkoľvek „nečistôt“!

Poďme sa ich postupne zbaviť!

Najprv odstránime menovateľa na: aby ste to urobili, vynásobte našu rovnosť takto:

Teraz sa toho zbavme rozdelením oboch častí:

Teraz sa zbavme ôsmich:

Výsledný výraz možno zapísať ako 2 série riešení (analogicky s kvadratickou rovnicou, kde diskriminant buď sčítame alebo odčítame)

Musíme nájsť najväčší negatívny koreň! Je jasné, že sa musíme pretriediť.

Najprv sa pozrime na prvú epizódu:

Je jasné, že ak vezmeme, tak vo výsledku dostaneme kladné čísla, ale tie nás nezaujímajú.

Takže to musíte brať negatívne. Nechať byť.

Keď bude koreň užší:

A musíme nájsť najväčšie negatívum!! To znamená, že ísť negatívnym smerom tu už nemá zmysel. A najväčší negatívny koreň pre túto sériu sa bude rovnať.

Teraz sa pozrime na druhú sériu:

A opäť nahradíme: , potom:

Nezaujíma!

Potom už nemá zmysel zvyšovať! Poďme to znížiť! Potom nech:

Pasuje!

Nechať byť. Potom

Potom - najväčší negatívny koreň!

odpoveď:

Úloha č.2

Riešime znova, bez ohľadu na zložitý kosínusový argument:

Teraz vyjadríme opäť vľavo:

Vynásobte obe strany

Rozdeľte obe strany

Zostáva len posunúť ho doprava a zmeniť jeho znamienko z mínus na plus.

Opäť dostaneme 2 série koreňov, jeden s a druhý s.

Musíme nájsť najväčší negatívny koreň. Pozrime sa na prvú epizódu:

Je jasné, že dostaneme prvú zápornú odmocninu v, bude sa rovnať a bude najväčšou zápornou odmocninou v 1 sérii.

Pre druhú sériu

Prvý záporný koreň bude tiež získaný na a bude rovný. Pretože potom je najväčší záporný koreň rovnice.

odpoveď: .

Úloha č.3

Riešime bez ohľadu na zložitý argument dotyčnice.

Teraz sa to nezdá zložité, však?

Ako predtým, na ľavej strane vyjadrujeme:

No, to je skvelé, je tu len jedna séria koreňov! Opäť nájdime najväčšie negatívum.

Je jasné, že to dopadne, ak to položíte. A tento koreň je rovný.

odpoveď:

Teraz sa pokúste sami vyriešiť nasledujúce problémy.

Domáca úloha alebo 3 úlohy na samostatné riešenie.

1. Vyriešte rovnicu.
   
2. Vyriešte rovnicu.
   V odpovedi na pi-shi-th-najmenší-možný koreň.
3. Vyriešte rovnicu.
   V odpovedi na pi-shi-th-najmenší-možný koreň.

pripravený? Skontrolujme to. Nebudem podrobne popisovať celý algoritmus riešenia, zdá sa mi, že mu bolo už venované dostatočná pozornosť.

Je všetko v poriadku? Ach, tie škaredé dutiny, vždy je s nimi nejaký problém!

Teraz môžete vyriešiť jednoduché goniometrické rovnice!

Pozrite si riešenia a odpovede:

Úloha č.1

Vyjadrime sa

Najmenší kladný koreň získame, ak dáme, since, then

odpoveď:

Úloha č.2

Najmenší kladný koreň sa získa pri.

Bude to rovné.

odpoveď: .

Úloha č.3

Keď dostaneme, keď budeme mať.

odpoveď: .

Tieto znalosti vám pomôžu vyriešiť mnoho problémov, s ktorými sa na skúške stretnete.

Ak žiadate o hodnotenie „5“, potom stačí pokračovať v čítaní článku stredná úroveň ktorý bude venovaný riešeniu zložitejších goniometrických rovníc (úloha C1).

PRIEMERNÁ ÚROVEŇ

V tomto článku popíšem riešenie zložitejších goniometrických rovníc a ako si vybrať ich korene. Tu budem čerpať z nasledujúcich tém:

1. Goniometrické rovnice pre začiatočníkov (pozri vyššie).

Zložitejšie goniometrické rovnice sú základom pre pokročilé úlohy. Vyžadujú tak riešenie samotnej rovnice vo všeobecnej forme, ako aj nájdenie koreňov tejto rovnice patriacich do určitého daného intervalu.

Riešenie goniometrických rovníc pozostáva z dvoch čiastkových úloh:

1. Riešenie rovnice
2. Výber koreňa

Treba poznamenať, že druhý nie je vždy potrebný, ale vo väčšine príkladov sa výber stále vyžaduje. Ale ak to nie je potrebné, môžeme s vami súcitiť - to znamená, že rovnica je sama o sebe dosť zložitá.

Moje skúsenosti s analýzou problémov C1 ukazujú, že sú zvyčajne rozdelené do nasledujúcich kategórií.

Štyri kategórie úloh so zvýšenou zložitosťou (predtým C1)

1. Rovnice, ktoré sa redukujú na faktorizáciu.
2. Rovnice zredukované do tvaru.
3. Rovnice riešené zmenou premennej.
4. Rovnice, ktoré vyžadujú dodatočný výber koreňov z dôvodu iracionality alebo menovateľa.

Zjednodušene povedané: ak vás chytia jedna z rovníc prvých troch typov, potom sa považujte za šťastného. Pre nich spravidla musíte navyše vybrať korene patriace do určitého intervalu.

Ak narazíte na rovnicu typu 4, máte menej šťastia: musíte sa s ňou pohrávať dlhšie a opatrnejšie, ale často si to nevyžaduje dodatočný výber koreňov. Napriek tomu tento typ rovníc rozoberiem v ďalšom článku a tento sa budem venovať riešeniu rovníc prvých troch typov.

Rovnice, ktoré sa redukujú na faktorizáciu

Najdôležitejšia vec, ktorú si musíte zapamätať pri riešení tohto typu rovnice, je

Ako ukazuje prax, tieto znalosti sú spravidla dostatočné. Pozrime sa na niekoľko príkladov:

Príklad 1. Rovnica zredukovaná na faktorizáciu použitím vzorca redukcie a dvojitého uhla sínusu

• Vyriešte rovnicu
• Nájdite všetky korene tejto rovnice, ktoré ležia nad rezom

Tu, ako som sľúbil, fungujú redukčné vzorce:

Potom bude moja rovnica vyzerať takto:

Potom bude moja rovnica mať nasledujúci tvar:

Krátkozraký študent by mohol povedať: teraz znížim obe strany, získam najjednoduchšiu rovnicu a budem si užívať život! A bude sa trpko mýliť!

Čo teda robiť? Áno, je to jednoduché, posuňte všetko na jednu stranu a odstráňte spoločný faktor:

Dobre, započítali sme to do faktorov, hurá! Teraz sa rozhodneme:

Prvá rovnica má korene:

A druhý:

Tým je prvá časť problému hotová. Teraz musíte vybrať korene:

Medzera je takáto:

Alebo sa to dá napísať aj takto:

No, vezmime korene:

Najprv poďme pracovať s prvou epizódou (a je to prinajmenšom jednoduchšie!)

Keďže náš interval je úplne záporný, nie je potrebné brať nezáporné, stále budú dávať nezáporné korene.

Vezmime si to teda – je toho priveľa, netrafí.

Nechaj to tak - znova som to netrafil.

Ešte jeden pokus - potom - áno, mám to! Prvý koreň bol nájdený!

Znovu vystrelím: potom znova zasiahnem!

No ešte raz: : - to už je úlet.

Takže z prvého radu sú 2 korene patriace do intervalu: .

Pracujeme s druhou sériou (staviame k moci podľa pravidla):

Podstreliť!

Znova to chýba!

Znova to chýba!

Mám to!

Let!

Môj interval má teda tieto korene:

Toto je algoritmus, ktorý použijeme na riešenie všetkých ostatných príkladov. Poďme si spolu precvičiť ešte jeden príklad.

Príklad 2. Rovnica redukovaná na faktorizáciu použitím redukčných vzorcov

• Vyriešte rovnicu

Riešenie:

Opäť notoricky známe redukčné vzorce:

Nepokúšajte sa znova znížiť!

Prvá rovnica má korene:

A druhý:

Teraz opäť hľadanie koreňov.

Začnem druhou epizódou, už o nej viem všetko z predchádzajúceho príkladu! Pozrite sa a uistite sa, že korene patriace do intervalu sú nasledovné:

Teraz prvá epizóda a je to jednoduchšie:

Ak - vhodné

Ak je to tiež v poriadku

Ak je to už let.

Potom budú korene nasledovné:

Samostatná práca. 3 rovnice.

Je vám jasná technika? Nezdá sa vám už riešenie goniometrických rovníc také ťažké? Potom sami rýchlo vyriešte nasledujúce problémy a potom vyriešime ďalšie príklady:

1. Vyriešte rovnicu
   Nájdite všetky korene tejto rovnice, ktoré ležia nad intervalom.
2. Vyriešte rovnicu
   Označte korene rovnice, ktoré ležia nad rezom
3. Vyriešte rovnicu
   Nájdite všetky korene tejto rovnice, ktoré ležia medzi nimi.

Rovnica 1.

A opäť redukčný vzorec:

Prvá séria koreňov:

Druhá séria koreňov:

Začneme výberom medzery

Odpoveď: ,.

2. rovnica Kontrola samostatnej práce.

Dosť zložité zoskupenie do faktorov (použijem vzorec sínusu s dvojitým uhlom):

potom alebo

Toto je všeobecné riešenie. Teraz musíme vybrať korene. Problém je v tom, že nevieme povedať presnú hodnotu uhla, ktorého kosínus sa rovná jednej štvrtine. Preto sa nemôžem len tak zbaviť kosínusu oblúka - taká škoda!

Čo môžem urobiť, je zistiť, že tak, tak, tak.

Vytvorme tabuľku: interval:

No, bolestivým hľadaním sme dospeli k sklamaniu, že naša rovnica má jeden koreň v uvedenom intervale: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

Rovnica 3: Nezávislý pracovný test.

Hrôzostrašne vyzerajúca rovnica. Dá sa to však vyriešiť celkom jednoducho použitím sínusového vzorca dvojitého uhla:

Znížime to o 2:

Zoskupme prvý výraz s druhým a tretí so štvrtým a vyberieme spoločné faktory:

Je jasné, že prvá rovnica nemá korene a teraz sa pozrime na druhú:

Vo všeobecnosti som sa pri riešení takýchto rovníc chystal trochu neskôr, ale keďže sa to ukázalo, nedá sa nič robiť, musím to vyriešiť...

Rovnice formulára:

Táto rovnica je vyriešená delením oboch strán:

Naša rovnica má teda jeden rad koreňov:

Musíme nájsť tie, ktoré patria do intervalu: .

Znova zostavíme tabuľku, ako som to urobil predtým:

Odpoveď: .

Rovnice zredukované do tvaru:

No, teraz je čas prejsť k druhej časti rovníc, najmä preto, že som už vysypal fazuľu o tom, z čoho pozostáva riešenie goniometrických rovníc nového typu. Ale stojí za to zopakovať, že rovnica má tvar

Vyriešené vydelením oboch strán kosínusom:

1. Vyriešte rovnicu
   Označte korene rovnice, ktoré ležia nad rezom.
2. Vyriešte rovnicu
   Označte korene rovnice, ktoré ležia medzi nimi.

Príklad 1

Prvý je celkom jednoduchý. Presuňte sa doprava a použite kosínusový vzorec s dvojitým uhlom:

Áno! Rovnica tvaru: . Obe časti delím podľa

Vykonávame skríning koreňov:

Medzera:

odpoveď:

Príklad 2

Všetko je tiež celkom triviálne: otvorme zátvorky vpravo:

Základná trigonometrická identita:

Sínus dvojitého uhla:

Nakoniec dostaneme:

Skríning koreňov: interval.

Odpoveď: .

Ako sa vám páči technika, nie je príliš komplikovaná? Dúfam, že nie. Okamžite môžeme urobiť rezerváciu: vo svojej čistej forme sú rovnice, ktoré sa okamžite redukujú na rovnicu pre dotyčnicu, pomerne zriedkavé. Tento prechod (delenie kosínusom) je zvyčajne len časťou zložitejšieho problému. Tu je príklad na precvičenie:

• Vyriešte rovnicu
• Nájdite všetky korene tejto rovnice, ktoré ležia nad rezom.

Skontrolujme to:

Rovnicu je možné vyriešiť okamžite, stačí rozdeliť obe strany:

Skríning koreňov:

Odpoveď: .

Tak či onak, ešte sme sa nestretli s rovnicami typu, ktorý sme práve skúmali. Je však príliš skoro na to, aby sme to nazvali dňom: ešte stále zostáva jedna „vrstva“ rovníc, ktoré sme nevyriešili. Takže:

Riešenie goniometrických rovníc zmenou premenných

Všetko je tu transparentné: pozorne sa pozrieme na rovnicu, čo najviac ju zjednodušíme, urobíme substitúciu, vyriešime ju, urobíme spätnú substitúciu! Slovami je všetko veľmi jednoduché. Pozrime sa v akcii:

Príklad.

• Vyriešte rovnicu: .
• Nájdite všetky korene tejto rovnice, ktoré ležia nad rezom.

No a tu sa nám navrhuje samotná náhrada!

Potom sa naša rovnica zmení na toto:

Prvá rovnica má korene:

A ten druhý je takýto:

Teraz nájdime korene patriace do intervalu

Odpoveď: .

Pozrime sa spolu na trochu zložitejší príklad:

• Vyriešte rovnicu
• Označte korene danej rovnice, ležiace nad nimi.

Tu výmena nie je okamžite viditeľná, navyše nie je príliš viditeľná. Najprv sa zamyslime: čo môžeme urobiť?

Môžeme si predstaviť napr

A zároveň

Potom bude mať moja rovnica tvar:

A teraz pozornosť, sústreďte sa:

Vydeľme obe strany rovnice takto:

Zrazu vy a ja máme relatívnu kvadratickú rovnicu! Urobme náhradu, potom dostaneme:

Rovnica má tieto korene:

Nepríjemná druhá séria koreňov, ale nič sa nedá robiť! Korene vyberieme v intervale.

Musíme to tiež zvážiť

Odvtedy a potom

odpoveď:

Aby ste to upevnili skôr, ako vyriešite problémy sami, je tu pre vás ďalšie cvičenie:

• Vyriešte rovnicu
• Nájdite všetky korene tejto rovnice, ktoré ležia medzi nimi.

Tu musíte mať oči otvorené: teraz máme menovateľov, ktorí môžu byť nula! Preto musíte byť obzvlášť pozorní ku koreňom!

V prvom rade potrebujem preusporiadať rovnicu, aby som vedel urobiť vhodnú substitúciu. Teraz ma nenapadá nič lepšie, ako prepísať tangentu na sínus a kosínus:

Teraz sa presuniem z kosínu na sínus pomocou základnej trigonometrickej identity:

A nakoniec všetko privediem k spoločnému menovateľovi:

Teraz môžem prejsť k rovnici:

Ale pri (teda pri).

Teraz je všetko pripravené na výmenu:

Potom alebo

Všimnite si však, že ak, tak zároveň!

Kto týmto trpí? Problém s dotyčnicou je, že nie je definovaná, keď je kosínus rovný nule (nastáva delenie nulou).

Korene rovnice sú teda:

Teraz preosejeme korene v intervale:

Naša rovnica má teda jeden koreň na intervale a ten sa rovná.

Vidíte: vzhľad menovateľa (rovnako ako dotyčnica vedie k určitým ťažkostiam s koreňmi! Tu musíte byť opatrnejší!).

No, vy a ja sme už takmer dokončili analýzu goniometrických rovníc, zostáva už len veľmi málo - vyriešiť dva problémy sami. Tu sú.

1. Vyriešte rovnicu
   Nájdite všetky korene tejto rovnice, ktoré ležia nad rezom.
2. Vyriešte rovnicu
   Označte korene tejto rovnice, ktoré sa nachádzajú nad rezom.

Rozhodnuté? Nie je to veľmi ťažké? Skontrolujme to:

1. Pracujeme podľa redukčných vzorcov:

   Dosaďte do rovnice:

   Prepíšme všetko cez kosínusy, aby sme uľahčili výmenu:

   Teraz je ľahké vykonať náhradu:

   Je jasné, že ide o cudzí koreň, pretože rovnica nemá žiadne riešenia. potom:

   V intervale hľadáme korene, ktoré potrebujeme

   Odpoveď: .

2. 
   Tu je náhrada okamžite viditeľná:

   Potom alebo

   	- pasuje!	- pasuje!
   	- pasuje!	- pasuje!
   	- veľa!	- tiež veľa!

   odpoveď:

Tak a teraz je to! Riešením goniometrických rovníc to však nekončí v tých najťažších prípadoch: keď rovnice obsahujú iracionalitu alebo rôzne druhy „komplexných menovateľov“. Na to, ako takéto úlohy riešiť, sa pozrieme v článku pre pokročilých.

POKROČILÁ ÚROVEŇ

Okrem goniometrických rovníc diskutovaných v predchádzajúcich dvoch článkoch zvážime ďalšiu triedu rovníc, ktoré si vyžadujú ešte starostlivejšiu analýzu. Tieto trigonometrické príklady obsahujú buď iracionalitu alebo menovateľa, čo sťažuje ich analýzu. S týmito rovnicami sa však môžete stretnúť v časti C skúšobnej práce. Každý oblak má však striebornú vôľu: pri takýchto rovniciach sa už spravidla nekladie otázka, ktorý z jeho koreňov patrí do daného intervalu. Nebijme sa, ale poďme rovno na trigonometrické príklady.

Príklad 1

Vyriešte rovnicu a nájdite korene, ktoré patria do segmentu.

Riešenie:

Máme menovateľa, ktorý by sa nemal rovnať nule! Potom riešenie tejto rovnice je rovnaké ako riešenie systému

Poďme vyriešiť každú z rovníc:

A teraz to druhé:

Teraz sa pozrime na sériu:

Je jasné, že táto možnosť nám nevyhovuje, pretože v tomto prípade je náš menovateľ vynulovaný (pozri vzorec pre korene druhej rovnice)

Ak, potom je všetko v poriadku a menovateľ nie je nula! Potom korene rovnice sú nasledovné: , .

Teraz vyberieme korene patriace do intervalu.

Potom sú korene nasledovné:

Vidíte, dokonca aj objavenie sa malej poruchy v podobe menovateľa výrazne ovplyvnilo riešenie rovnice: zahodili sme sériu koreňov, ktoré menovateľa vynulovali. Veci sa môžu ešte viac skomplikovať, ak narazíte na trigonometrické príklady, ktoré sú iracionálne.

Príklad 2

Vyriešte rovnicu:

Riešenie:

No, aspoň nemusíte odoberať korienky, a to je dobre! Najprv vyriešme rovnicu bez ohľadu na iracionalitu:

Takže, to je všetko? Nie, bohužiaľ, bolo by to príliš jednoduché! Musíme si uvedomiť, že pod koreňom sa môžu objaviť iba nezáporné čísla. potom:

Riešením tejto nerovnosti je:

Teraz zostáva zistiť, či časť koreňov prvej rovnice nedopatrením neskončila tam, kde nerovnosť neplatí.

Na tento účel môžete znova použiť tabuľku:

Takže jeden z mojich koreňov „vypadol“! Ukáže sa, ak to položíte. Potom môže byť odpoveď napísaná takto:

odpoveď:

Vidíte, koreň vyžaduje ešte viac pozornosti! Skúsme to skomplikovať: teraz mám pod koreňom goniometrickú funkciu.

Príklad 3

Ako predtým: najprv vyriešime každú zvlášť, a potom sa zamyslíme nad tým, čo sme urobili.

Teraz druhá rovnica:

Teraz je najťažšie zistiť, či sa pod aritmetickým koreňom získajú záporné hodnoty, ak tam dosadíme korene z prvej rovnice:

Číslo treba chápať ako radiány. Keďže radián je približne stupňov, radiány sú rádovo v stupňoch. Toto je roh druhej štvrtiny. Aké je znamenie kosínusu druhého štvrťroka? Mínus. A čo sínus? Plus. Čo teda môžeme povedať o výraze:

Je to menej ako nula!

To znamená, že to nie je koreň rovnice.

Teraz je čas.

Porovnajme toto číslo s nulou.

Kotangens je funkcia klesajúca o 1 štvrtinu (čím menší argument, tým väčší kotangens). radiány sú približne stupňov. V rovnakom čase

odvtedy, potom a preto
,

Odpoveď: .

Môže sa to ešte skomplikovať? Prosím! Bude to ťažšie, ak bude koreňom stále goniometrická funkcia a druhá časť rovnice bude opäť goniometrická funkcia.

Čím viac trigonometrických príkladov, tým lepšie, pozri nižšie:

Príklad 4.

Koreň nie je vhodný kvôli obmedzenému kosínusu

Teraz ten druhý:

Zároveň podľa definície koreňa:

Musíme si zapamätať jednotkový kruh: konkrétne tie štvrtiny, kde je sínus menší ako nula. Čo sú to za štvrte? Tretí a štvrtý. Potom nás budú zaujímať tie riešenia prvej rovnice, ktoré ležia v tretej alebo štvrtej štvrtine.

Prvá séria dáva korene ležiace na priesečníku tretej a štvrtej štvrtiny. Druhá séria - diametrálne proti nej - dáva vznik koreňom ležiacim na hranici prvej a druhej štvrtiny. Preto táto séria nie je pre nás vhodná.

odpoveď: ,

A znova trigonometrické príklady s „ťažkou iracionalitou“. Nielenže máme goniometrickú funkciu opäť pod koreňom, ale teraz je aj v menovateli!

Príklad 5.

No nedá sa nič robiť – robíme ako predtým.

Teraz pracujeme s menovateľom:

Nechcem riešiť trigonometrickú nerovnosť, takže urobím niečo prefíkané: vezmem a dosadím svoj rad koreňov do nerovnosti:

Ak - je párne, potom máme:

keďže všetky uhly pohľadu ležia v štvrtej štvrtine. A opäť posvätná otázka: aké je znamenie sínusu vo štvrtej štvrtine? Negatívne. Potom nerovnosť

Ak -nepárne, potom:

V ktorej štvrtine leží uhol? Toto je roh druhej štvrtiny. Potom sú všetky rohy opäť rohmi druhej štvrtiny. Sínus je tam kladný. Presne to, čo potrebujete! Takže séria:

Pasuje!

S druhou sériou koreňov sa zaoberáme rovnakým spôsobom:

Do našej nerovnosti dosadíme:

Ak - dokonca, potom

Rohy prvej štvrtiny. Sínus je tam kladný, čo znamená, že séria je vhodná. Ak teraz - nepárne, potom:

hodí sa tiež!

No a teraz si zapíšeme odpoveď!

odpoveď:

No, toto bol možno najnáročnejší prípad. Teraz vám ponúkam problémy, ktoré musíte vyriešiť sami.

Školenie

1. Vyriešte a nájdite všetky korene rovnice, ktoré patria do segmentu.

Riešenia:

1. 
   Prvá rovnica:
   alebo
   ODZ koreňa:

   Druhá rovnica:

   Výber koreňov, ktoré patria do intervalu

   odpoveď:

Alebo
alebo
ale

Uvažujme: . Ak - dokonca, potom
- nehodí sa!
Ak - nepárne, : - vhodné!
To znamená, že naša rovnica má nasledujúci rad koreňov:
alebo
Výber koreňov v intervale:

	- nevhodný	- pasuje
	- pasuje	- veľa
	- pasuje	veľa

Odpoveď: ,.

Alebo
Pretože potom dotyčnica nie je definovaná. Túto sériu koreňov okamžite zavrhujeme!

Druhá časť:

Zároveň sa podľa DZ vyžaduje, aby

Skontrolujeme korene nájdené v prvej rovnici:

Ak znamenie:

Prvá štvrtina uhlov, kde je dotyčnica kladná. Nepasuje!
Ak znamenie:

Roh štvrtej štvrtiny. Tam je dotyčnica záporná. Pasuje. Zapíšeme odpoveď:

Odpoveď: ,.

V tomto článku sme sa spoločne pozreli na zložité trigonometrické príklady, ale rovnice by ste si mali vyriešiť sami.

SÚHRN A ZÁKLADNÉ VZORCE

Goniometrická rovnica je rovnica, v ktorej je neznáma striktne pod znamienkom goniometrickej funkcie.

Existujú dva spôsoby riešenia goniometrických rovníc:

Prvým spôsobom je použitie vzorcov.

Druhý spôsob je cez trigonometrický kruh.

Umožňuje merať uhly, nájsť ich sínusy, kosínusy atď.

Riešenie goniometrickej rovnice pozostáva z dvoch fáz: transformácia rovnice aby to bolo čo najjednoduchšie typu (pozri vyššie) a Riešenievýsledný najjednoduchší goniometrická rovnica. Je ich sedem základné metódy riešenia goniometrických rovníc.

1. Algebraická metóda.

(variabilná náhrada a substitučná metóda).

2. Faktorizácia.

Príklad 1. Vyriešte rovnicu: hriech X+ cos X = 1 .

Riešenie Presuňme všetky členy rovnice doľava:

Sin X+ cos X – 1 = 0 ,

Transformujme a faktorizujme výraz v

Ľavá strana rovnice:

Príklad 2. Vyriešte rovnicu: cos 2 X+ hriech X cos X = 1.

Riešenie: pretože 2 X+ hriech X cos X– hriech 2 X– pretože 2 X = 0 ,

Sin X cos X– hriech 2 X = 0 ,

Sin X· (cos X– hriech X ) = 0 ,

Príklad 3. Vyriešte rovnicu: pretože 2 X– pretože 8 X+ pretože 6 X = 1.

Riešenie: pretože 2 X+ pretože 6 X= 1 + cos 8 X,

2 ako 4 X pretože 2 X= 2 cos² 4 X ,

Pretože 4 X · (pretože 2 X– pretože 4 X) = 0 ,

Pretože 4 X · 2 hriech 3 X hriech X = 0 ,

1). pretože 4 X= 0,2). hriech 3 X= 0,3). hriech X = 0 ,

4. Prechod do polovičného uhla.

Pozrime sa na túto metódu na príklade:

PRÍKLAD Riešte rovnicu: 3 hriech X– 5 kos X = 7.

Riešenie: 6 hriechov ( X/ 2) cos ( X/ 2) – 5 cos² ( X/ 2) + 5 sin² ( X/ 2) =

7 sin² ( X/ 2) + 7 cos² ( X/ 2) ,

2 sin² ( X/ 2) – 6 hriechov ( X/ 2) cos ( X/ 2) + 12 cos² ( X/ 2) = 0 ,

tan²( X/ 2) – 3 opálenie ( X/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Zavedenie pomocného uhla.

Zvážte rovnicu tvaru:

a hriech X + b cos X = c ,

Kde a, b, c– koeficienty;X– neznámy.

Teraz majú koeficienty rovnice vlastnosti sínus a kosínus, menovite: modul (absolútna hodnota) každého z toho nie viac ako 1, a súčet ich štvorcov je 1. Potom môžeme označiť ich podľa toho Ako cos a hriech (tu - tzv pomocný uhol), Azober našu rovnicu

Lekcia a prezentácia na tému: "Riešenie jednoduchých goniometrických rovníc"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.

Návody a simulátory v internetovom obchode Integral pre ročník 10 od 1C
Riešime úlohy v geometrii. Interaktívne úlohy pre budovanie vo vesmíre
Softvérové ​​prostredie "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Čo budeme študovať:
1. Čo sú to goniometrické rovnice?

3. Dve hlavné metódy riešenia goniometrických rovníc.
4. Homogénne goniometrické rovnice.
5. Príklady.

Čo sú to goniometrické rovnice?

Chlapci, už sme študovali arkzín, arkkozín, arktangens a arkkotangens. Teraz sa pozrime na trigonometrické rovnice všeobecne.

Goniometrické rovnice sú rovnice, v ktorých je premenná obsiahnutá pod znamienkom goniometrickej funkcie.

Zopakujme si formu riešenia najjednoduchších goniometrických rovníc:

1) Ak |a|≤ 1, potom rovnica cos(x) = a má riešenie:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ak |a|≤ 1, potom rovnica sin(x) = a má riešenie:

3) Ak |a| > 1, potom rovnica sin(x) = a a cos(x) = a nemajú riešenia 4) Rovnica tg(x)=a má riešenie: x=arctg(a)+ πk

5) Rovnica ctg(x)=a má riešenie: x=arcctg(a)+ πk

Pre všetky vzorce je k celé číslo

Najjednoduchšie goniometrické rovnice majú tvar: T(kx+m)=a, T je nejaká goniometrická funkcia.

Riešte rovnice: a) sin(3x)= √3/2

Riešenie:

A) Označme 3x=t, potom našu rovnicu prepíšeme do tvaru:

Riešenie tejto rovnice bude: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Z tabuľky hodnôt dostaneme: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vráťme sa k našej premennej: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Potom x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Odpoveď: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kde n je celé číslo. (-1)^n – mínus jedna na mocninu n.

Ďalšie príklady goniometrických rovníc.

Riešenie:

A) Tentoraz prejdime priamo k výpočtu koreňov rovnice:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Potom x/5= πk => x=5πk

Odpoveď: x=5πk, kde k je celé číslo.

B) Zapíšeme ho v tvare: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Vieme, že: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Odpoveď: x=2π/9 + πk/3, kde k je celé číslo.

Riešte rovnice: cos(4x)= √2/2. A nájdite všetky korene na segmente.

Riešenie:

Riešime našu rovnicu vo všeobecnom tvare: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Teraz sa pozrime, aké korene padajú do nášho segmentu. Pri k Pri k=0, x= π/16 sme v danom segmente.
Pri k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 sme narazili znova.
Pre k=2, x= π/16+ π=17π/16, ale tu sme netrafili, čo znamená, že pre veľké k samozrejme tiež netrafíme.

Odpoveď: x= π/16, x= 9π/16

Dve hlavné metódy riešenia.

Poďme vyriešiť rovnicu:

Riešenie:
Na vyriešenie našej rovnice použijeme metódu zavedenia novej premennej, ktorá označuje: t=tg(x).

V dôsledku nahradenia dostaneme: t 2 + 2t -1 = 0

Nájdite korene kvadratickej rovnice: t=-1 a t=1/3

Potom tg(x)=-1 a tg(x)=1/3, dostaneme najjednoduchšiu goniometrickú rovnicu, nájdime jej korene.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Odpoveď: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Príklad riešenia rovnice

Riešte rovnice: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Riešenie:

Použime identitu: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Naša rovnica bude mať tvar: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Zavedme náhradu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Riešením našej kvadratickej rovnice sú korene: t=2 a t=-1/2

Potom cos(x)=2 a cos(x)=-1/2.

Pretože kosínus nemôže nadobúdať hodnoty väčšie ako jedna, potom cos(x)=2 nemá korene.

Pre cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Odpoveď: x= ±2π/3 + 2πk

Homogénne goniometrické rovnice.

Rovnice formulára

homogénne goniometrické rovnice druhého stupňa.

Ak chcete vyriešiť homogénnu goniometrickú rovnicu prvého stupňa, vydeľte ju cos(x): Nemôžete deliť kosínusom, ak sa rovná nule, uistite sa, že to tak nie je:
Nech cos(x)=0, potom asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ale sínus a kosínus sa nerovnajú nule súčasne, dostaneme rozpor, takže môžeme pokojne deliť o nulu.

Vyriešte rovnicu:
Príklad: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Riešenie:

Zoberme si spoločný faktor: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Potom musíme vyriešiť dve rovnice:

Cos(x)=0 a cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 pri x= π/2 + πk;

Zvážte rovnicu cos(x)+sin(x)=0 Vydeľte našu rovnicu cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Odpoveď: x= π/2 + πk a x= -π/4+πk

Ako riešiť homogénne goniometrické rovnice druhého stupňa?
Chlapci, vždy dodržiavajte tieto pravidlá!

1. Pozri, čomu sa rovná koeficient a, ak a=0, tak naša rovnica bude mať tvar cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), ktorého príklad riešenia je na predchádzajúcej snímke

2. Ak a≠0, potom musíte obe strany rovnice vydeliť kosínusovou druhou mocninou, dostaneme:

Zmeníme premennú t=tg(x) a dostaneme rovnicu:

Riešte príklad č.:3

Vydeľme obe strany rovnice kosínusovou druhou mocninou:

Zmeníme premennú t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Nájdime korene kvadratickej rovnice: t=-3 a t=1

Potom: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Odpoveď: x=-arctg(3) + πk a x= π/4+ πk

Riešte príklad č.:4

Riešenie:
Transformujme náš výraz:

Môžeme riešiť také rovnice: x= - π/4 + 2πk a x=5π/4 + 2πk

Odpoveď: x= - π/4 + 2πk a x=5π/4 + 2πk

Riešte príklad č.:5

Riešenie:
Transformujme náš výraz:

Zavedme náhradu tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Riešením našej kvadratickej rovnice budú korene: t=-2 a t=1/2

Potom dostaneme: tg(2x)=-2 a tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Odpoveď: x=-arctg(2)/2 + πk/2 a x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problémy na samostatné riešenie.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Riešte rovnice: sin(3x)= √3/2. A nájdite všetky korene na segmente [π/2; π].

3) Vyriešte rovnicu: detská postieľka 2 (x) + 2 detská postieľka (x) + 1 =0

4) Vyriešte rovnicu: 3 sin 2 (x) + √3 sin (x) cos(x) = 0

5) Vyriešte rovnicu: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Vyriešte rovnicu: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Ako vyriešiť goniometrické rovnice:

Každá trigonometrická rovnica by sa mala zredukovať na jeden z nasledujúcich typov:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

kde \(t\) je výraz s x, \(a\) je číslo. Takéto goniometrické rovnice sa nazývajú najjednoduchšie. Možno ich ľahko vyriešiť pomocou () alebo špeciálnych vzorcov:

Pozrite si infografiku o riešení jednoduchých goniometrických rovníc tu: a.

odpoveď: \(\vľavo[ ​​\začiatok(zhromaždené)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \koniec (zhromaždené)\vpravo.\) \(k,n∈Z\)

Čo znamenajú jednotlivé symboly vo vzorci pre korene goniometrických rovníc, pozri.

Pozor! Rovnice \(\sin⁡x=a\) a \(\cos⁡x=a\) nemajú riešenia, ak \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Pretože sínus a kosínus pre ľubovoľné x sú väčšie alebo rovné \(-1\) a menšie alebo rovné \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Príklad . Vyriešte rovnicu \(\cos⁡x=-1,1\).
Riešenie: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Odpoveď : žiadne riešenia.

Príklad . Vyriešte goniometrickú rovnicu \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Riešenie:

Redukcia goniometrických rovníc na najjednoduchšie je kreatívna úloha, tu musíte použiť obe a špeciálne metódy na riešenie rovníc:
- Metóda (najpopulárnejšia v Jednotnej štátnej skúške).
- Metóda.
- Metóda pomocných argumentov.

Zoberme si príklad riešenia kvadratickej trigonometrickej rovnice

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Urobme náhradu \(t=\cos⁡x\).
	Naša rovnica sa stala typickou. Môžete to vyriešiť pomocou .
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Vykonávame spätnú výmenu.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Prvú rovnicu riešime pomocou číselného kruhu. Druhá rovnica nemá riešenia, pretože \(\cos⁡x∈[-1;1]\) a nemôže sa rovnať dvom pre žiadne x.
	Zapíšme si všetky čísla ležiace na týchto bodoch.

Príklad riešenia goniometrickej rovnice so štúdiom ODZ:

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Existuje zlomok a kotangens - to znamená, že to musíme zapísať. Dovoľte mi pripomenúť, že kotangens je vlastne zlomok: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Preto ODZ pre ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Označme „neriešenia“ v kruhu s číslami.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Zbavme sa menovateľa v rovnici tak, že ho vynásobíme ctg\(x\). Môžeme to urobiť, keďže sme vyššie napísali, že ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Použime vzorec dvojitého uhla pre sínus: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Ak sa vaše ruky načiahnu, aby ste ich rozdelili kosínusom, potiahnite ich späť! Môžete deliť výrazom s premennou, ak sa určite nerovná nule (napríklad tieto: \(x^2+1,5^x\)). Namiesto toho dajme \(\cos⁡x\) z hranatých zátvoriek.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	„Rozdeľme“ rovnicu na dve časti.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Vyriešme prvú rovnicu pomocou číselného kruhu. Rozdeľme druhú rovnicu \(2\) a presuňte \(\sin⁡x\) na pravú stranu.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Výsledné korene nie sú zahrnuté v ODZ. Preto ich nebudeme v odpovedi zapisovať. Druhá rovnica je typická. Vydelme to \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) nemôže byť riešením rovnice, pretože v tomto prípade \(\cos⁡x=1\) alebo \(\cos⁡ x=-1\)).
	Opäť používame kruh.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Tieto korene ODZ nevylučuje, preto ich môžete napísať do odpovede.

Trieda: 10

"Rovnice budú trvať večne."

A. Einstein

Ciele lekcie:

• Vzdelávacie:
  • prehĺbenie pochopenia metód riešenia goniometrických rovníc;
  • rozvíjať schopnosti rozlišovať a správne vyberať metódy riešenia goniometrických rovníc.
• Vzdelávacie:
  • pestovanie kognitívneho záujmu o vzdelávací proces;
  • rozvíjanie schopnosti analyzovať danú úlohu;
  • prispieť k zlepšeniu psychickej klímy v triede.
• Vývojový:
  • podporovať rozvoj zručnosti samostatného získavania vedomostí;
  • podporovať schopnosť študentov argumentovať svojim názorom;

Vybavenie: plagát so základnými goniometrickými vzorcami, počítač, projektor, plátno.

1 lekcia

I. Aktualizácia referenčných znalostí

Riešte rovnice ústne:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x = ± + 2k;
4) x = k;
5) x = (–1) + k;
6) x = (–1) + 2k;
7) x = + k;
8) x = + k; na Z.

II. Učenie sa nového materiálu

– Dnes sa pozrieme na zložitejšie goniometrické rovnice. Pozrime sa na 10 spôsobov, ako ich vyriešiť. Ďalej budú dve lekcie na upevňovanie a na ďalšiu lekciu bude test. V stánku „For Lesson“ sú zverejnené úlohy, ktoré sú podobné tým, ktoré budú v teste, musíte ich vyriešiť pred testom. (Deň pred testom vyveste riešenia týchto úloh na stojan).

Prejdime teda k úvahám o spôsoboch riešenia goniometrických rovníc. Niektoré z týchto metód sa vám pravdepodobne budú zdať ťažké, zatiaľ čo iné sa vám budú zdať ľahké, pretože... Niektoré techniky riešenia rovníc už poznáte.

Štyria žiaci v triede dostali individuálnu úlohu: pochopiť a ukázať vám 4 spôsoby riešenia goniometrických rovníc.

(Hovoriaci žiaci si vopred pripravili snímky. Zvyšok triedy si hlavné kroky riešenia rovníc zapíše do zošita.)

1 študent: 1 spôsob. Riešenie rovníc faktoringom

hriech 4x = 3 ako 2x

Na vyriešenie rovnice použijeme sínusový vzorec dvojitého uhla sin 2 = 2 sin cos
2 hriechy 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Súčin týchto faktorov sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule.

2x = + k, k Z alebo sin 2x = 1,5 – riešenia neexistujú, pretože | hriech| 1
x = + k; na Z.
Odpoveď: x = + k, k Z.

2 študent. Metóda 2. Riešenie rovníc prevodom súčtu alebo rozdielu goniometrických funkcií na súčin

cos 3x + hriech 2x – hriech 4x = 0.

Na vyriešenie rovnice použijeme vzorec sin– sin = 2 sin сos

cos 3x + 2 sin cos = 0,

сos 3x – 2 hriechy x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Výsledná rovnica je ekvivalentná množine dvoch rovníc:

Množina riešení druhej rovnice je úplne zahrnutá v množine riešení prvej rovnice. Prostriedky

odpoveď:

3 študent. 3 spôsob. Riešenie rovníc prevodom súčinu goniometrických funkcií na súčet

hriech 5x cos 3x = hriech 6x cos2x.

Na vyriešenie rovnice použijeme vzorec

odpoveď:

4 študent. 4 spôsob. Riešenie rovníc, ktoré sa redukujú na kvadratické rovnice

3 hriechy x – 2 čos 2 x = 0,
3 hriechy x – 2 (1 – hriech 2 x) = 0,
2 hriechy 2 x + 3 hriechy x – 2 = 0,

Nech sin x = t, kde | t |. Získame kvadratickú rovnicu 2t 2 + 3t – 2 = 0,

D = 9 + 16 = 25.

Teda . nespĺňa podmienku | t |.

Takže hriech x = . Preto .

odpoveď:

III. Upevnenie toho, čo sa naučilo z učebnice A. N. Kolmogorova

1. č. 164 (a), 167 (a) (kvadratická rovnica)
2. č. 168 (a) (faktorizácia)
3. č. 174 (a) (premena sumy na súčin)
4. (previesť produkt na súčet)

(Na konci lekcie ukážte riešenie týchto rovníc na obrazovke na overenie)

№ 164 (A)

2 hriech 2 x + hriech x – 1 = 0.
Nech sin x = t, | t | 1. Potom
2 t2 + t – 1 = 0, t = – 1, t=. Kde

odpoveď: - .

№ 167 (A)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Nech tg x = 1, potom dostaneme rovnicu 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

odpoveď:

№ 168 (A)

odpoveď:

№ 174 (A)

Vyriešte rovnicu:

odpoveď:

Lekcia 2 (lekcia-prednáška)

IV. Učenie sa nového materiálu(pokračovanie)

– Pokračujme teda v štúdiu spôsobov riešenia goniometrických rovníc.

5 spôsobom. Riešenie homogénnych goniometrických rovníc

Rovnice formulára a sin x + b cos x = 0, kde a a b sú nejaké čísla, sa nazývajú homogénne rovnice prvého stupňa vzhľadom na sin x alebo cos x.

Zvážte rovnicu

sin x – cos x = 0. Vydeľme obe strany rovnice cos x. K strate koreňov nedôjde, pretože; , Ak cos x = 0, To hriech x = 0. To však odporuje základnej trigonometrickej identite hriech 2 x + cos 2 x = 1.

Dostaneme tan x – 1 = 0.

tan x = 1,

Rovnice formulára ako v 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , Kde a, b, c - niektoré čísla sa nazývajú homogénne rovnice druhého stupňa vzhľadom na sin x alebo cos x.

Zvážte rovnicu

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Vydeľme obe strany rovnice cos x a koreň sa nestratí, pretože cos x = 0 nie je koreň tejto rovnice.

tg 2 x – 3 tg x + 2 = 0.

Nech tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

Potom teda tg x = 2 alebo tg x = 1.

Výsledkom je, že x = arctan 2 +, x =

Odpoveď: arctg 2 + ,

Zvážte inú rovnicu: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Transformujme pravú stranu rovnice do tvaru 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Potom dostaneme:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 (sin 2 x + cos 2 x),
3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 sin 2 x – 2 sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Dostali sme 2. rovnicu, ktorú sme už analyzovali).

Odpoveď: arctan 2 + k,

6 spôsobom. Riešenie lineárnych goniometrických rovníc

Lineárna goniometrická rovnica je rovnica tvaru a sin x + b cos x = c, kde a, b, c sú nejaké čísla.

Zvážte rovnicu hriech x + cos x= – 1.
Prepíšme rovnicu takto:

Vzhľadom na to a dostaneme:

odpoveď:

7 spôsobom. Uvedenie dodatočného argumentu

Výraz a cos x + b sin x možno previesť:

(túto transformáciu sme už použili pri zjednodušovaní goniometrických výrazov)

Uveďme ďalší argument - uhol je taký, že

Potom

Uvažujme rovnicu: 3 sinx + 4 cosx = 1. =

Domáca úloha:Č. 164 - 170 (c, d).