Existujú tieto formy komplexných čísel: algebraické(x+iy), trigonometrické(r(cos+isin 
)),
orientačné(re i 
).
Akékoľvek komplexné číslo z=x+iy môže byť reprezentované v rovine XOU ako bod A(x,y).
Rovina, na ktorej sú zobrazené komplexné čísla, sa nazýva rovina komplexnej premennej z (na rovinu umiestnime symbol z).
Os OX je skutočná os, t.j. obsahuje reálne čísla. OU je imaginárna os s imaginárnymi číslami.
x+iy- algebraická forma zápisu komplexného čísla.
Odvoďme trigonometrickú formu zápisu komplexného čísla.
Získané hodnoty dosadíme do počiatočného tvaru: , t.j.
r(kos
+ isin
)
- trigonometrický tvar zápisu komplexného čísla.
Exponenciálna forma zápisu komplexného čísla vyplýva z Eulerovho vzorca: 
,Potom 
z= re i 
- exponenciálny tvar zápisu komplexného čísla.
Operácie s komplexnými číslami.
1. prídavok. zi + z2 = (x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);
2 . odčítanie. zi-z2=(x1+iyl)-(x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2);
3. násobenie. ziz2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);
4
. divízie. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]= 
Dve komplexné čísla, ktoré sa líšia iba znamienkom imaginárnej jednotky, t.j. z=x+iy (z=x-iy) sa nazývajú konjugované.
Práca.
z1=r(cos 
+ isin 
); z2=r(cos 
+ isin 
).
Že súčin z1*z2 komplexných čísel sa nájde: , t.j. modul súčinu sa rovná súčinu modulov a argument súčinu sa rovná súčtu argumentov faktorov.
;
;
Súkromné.
Ak sú komplexné čísla uvedené v trigonometrickom tvare.
Ak sú komplexné čísla uvedené v exponenciálnom tvare.
Umocňovanie.
1. Komplexné číslo uvedené v algebraické formulár.
z=x+iy, potom z n sa nájde podľa Newtonov binomický vzorec:
- počet kombinácií n prvkov z m (počet spôsobov, ktorými možno vziať n prvkov z m).
; n!=1*2*...*n; 0! = 1; 
.
Požiadajte o komplexné čísla.
Vo výslednom výraze musíte nahradiť mocniny i ich hodnotami:
i 0 =1 Vo všeobecnom prípade teda dostaneme: i 4k =1
i 1 = i i 4k+1 =i
i2 = -1 i4k+2 = -1
i3 = -i i 4k+3 = -i
Príklad.
i 31 = i 28 i 3 = -i
i 1063 = i 1062 i=i
2. trigonometrické formulár.
z=r(kos 
+ isin 
), To
- Moivreov vzorec.
Tu n môže byť buď „+“ alebo „-“ (celé číslo).
3. Ak je uvedené komplexné číslo orientačné forma:
Extrakcia koreňov.
Zvážte rovnicu: 
.
Jeho riešením bude n-tá odmocnina komplexného čísla z: 
.
N-tá odmocnina komplexného čísla z má práve n riešení (hodnôt). N-tá odmocnina reálneho čísla má len jedno riešenie. V zložitých existuje n riešení.
Ak je uvedené komplexné číslo trigonometrické forma:
z=r(kos 
+ isin 
), potom sa n-tá odmocnina z nájde podľa vzorca:
kde k=0,1…n-1.
Riadky. Číselný rad.
Nech premenná a nadobudne postupne hodnoty a 1, a 2, a 3,…, a n. Takáto prečíslovaná množina čísel sa nazýva postupnosť. Je to nekonečné.
Číselný rad je výraz a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= 
. Čísla a 1, a 2, a 3,... a n sú členmi radu.
Napríklad.
a 1 je prvý termín série.
a n je n-tý alebo bežný člen radu.
Rad sa považuje za daný, ak je známy n-tý (spoločný člen radu).
Číselný rad má nekonečný počet členov.
Čitatelia – aritmetická progresia (1,3,5,7…).
N-tý člen nájdeme podľa vzorca a n =a 1 +d(n-1); d=a n-a n-1.
Menovateľ - geometrická progresia. bn=b1qn-1; 
.
Uvažujme súčet prvých n členov radu a označme ho Sn.
Sn=a1+a2+…+a n.
Sn je n-tý čiastočný súčet radu.
Zvážte limit: 
S je súčet radu.
riadok konvergentné , ak je táto limita konečná (existuje konečná limita S).
riadok divergentný , ak je táto hranica nekonečná.
V budúcnosti je našou úlohou určiť, ktorý riadok.
Jednou z najjednoduchších, ale najbežnejších sérií je geometrická postupnosť.
, C=konšt.
Geometrická progresia jekonvergentné
blízko, Ak 
, a divergentné, ak 
.
Tiež nájdené harmonický rad(riadok 
). Táto séria divergentný
.
VSTUPENKA 1
Racionálnečísla – čísla písané v tvare p/q, kde q je prirodzené číslo. číslo a p je celé číslo.
Dve čísla a=p1/q1 a b=p2/q2 sa nazývajú rovnaké, ak p1q2=p2q1 a p2q1 a a>b ak p1q2
VSTUPENKA 2
Komplexné čísla. Komplexné čísla
Algebraická rovnica je rovnica v tvare: P n ( X) = 0, kde P n ( X) - polynóm n- oh stupeň. Pár reálnych čísel X A pri Nazvime to usporiadané, ak je uvedené, ktorý z nich sa považuje za prvý a ktorý sa považuje za druhý. Zápis objednaného páru: ( X, r). Komplexné číslo je ľubovoľná usporiadaná dvojica reálnych čísel. z = (X, r)-komplexné číslo.
X- skutočná časť z, r- imaginárna časť z. Ak X= 0 a r= 0 teda z= 0. Uvažujme z 1 = (x 1, y 1) a z 2 = (x 2, y 2).
Definícia 1. z 1 = z 2, ak x 1 = x 2 a y1 = y2.
Pojmy > a< для комплексных чисел не вводятся.
Geometrická reprezentácia a trigonometrický tvar komplexných čísel.
M( X, r) « z = X + iy.
1/2 OM/2 = r = 1/2 z½ = .(obrázok)
r sa nazýva modul komplexného čísla z.
j sa nazýva argument komplexného čísla z. Stanovuje sa s presnosťou ± 2p n.
X= rcosj, r= rsinj.
z= X+ iy= r(cosj + i sinj) je trigonometrická forma komplexných čísel.
Vyhlásenie 3.
= (cos + i hriech),
= (cos + i hriech), teda
= (cos( +) + i hriech ( + )),
= (cos( - )+ i sin( - )) pri ¹0.
Vyhlásenie 4.
Ak z=r(cosj+ i sinj), potom „prirodzený n:
= (cos nj + i hriech nj),
VSTUPENKA 3
Nechaj X- číselná množina obsahujúca aspoň jedno číslo (neprázdna množina).
XÎ X- X obsiahnuté v X. ; XÏ X- X nepatrí X.
Definícia: Kopa X sa nazýva ohraničený nad (dole), ak existuje číslo M(m) tak, že pre akékoľvek X Î X nerovnosť platí X £ M (X ³ m), zatiaľ čo číslo M nazývaná horná (dolná) hranica množiny X. Kopa X sa hovorí, že je ohraničené vyššie, ak $ M, " X Î X: X £ M. Definícia neobmedzená sada zhora. Kopa X hovorí sa, že je zhora neobmedzený, ak " M $ X Î X: X> M. Definícia kopa X sa nazýva ohraničený, ak je ohraničený nad a pod, teda $ M, m taký, že " X Î X: m £ X £ M. Ekvivalentná definícia zlobra mn-va: Set X sa nazýva ohraničený, ak $ A > 0, " X Î X: ½ X½£ A. Definícia: Najmenšia horná hranica množiny ohraničenej vyššie X sa nazýva jeho supremum a označuje sa Sup X
(najvyššia). =Sup X. Podobne je možné určiť presné
spodný okraj. Ekvivalent definícia presná horná hranica:
Číslo sa nazýva supremum množiny X, Ak: 1) " X Î X: X£ (táto podmienka ukazuje, že ide o jednu z horných hraníc). 2) " < $ x Î X: X> (táto podmienka ukazuje, že -
najmenšia z horných plôch).
Súp X= :
1. " XÎ X: X £ .
2. " < $ XÎ X: X> .
inf X(infimum) je presné infimum. Položme si otázku: má každá ohraničená množina presné hrany?
Príklad: X= {X: X>0) nemá najmenšie číslo.
Veta o existencii presnej hornej (spodnej) plochy. Akýkoľvek neprázdny horný (dolný) limit xÎR má presnú hornú (spodnú) plochu.
Veta o separovateľnosti číselných čísel:▀▀▄
VSTUPENKA 4
Ak je každému prirodzenému číslu n (n=1,2,3..) priradené zodpovedajúce číslo Xn, potom hovoria, že je definované a dané podsekvencia x1, x2..., napíšte (Xn), (Xn) Príklad: Xn=(-1)^n: -1,1,-1,1,...Názov limity. zhora (zdola), ak je množina bodov x=x1,x2,...xn ležiacich na číselnej osi ohraničená zhora (zdola), t.j. $С:Xn£C" Limit sekvencie:číslo a sa nazýva limita postupnosti, ak pre ľubovoľné ε>0 $ : N (N=N/(ε)). "n>N nerovnosť |Xn-a|<ε. Т.е. – ε
pri n>N.
Jedinečnosť limitu ohraničená a konvergentná postupnosť
Vlastnosť 1: Konvergentná postupnosť má iba jednu limitu.
Dôkaz: protirečením nech A A b limity konvergentnej postupnosti (x n) a a sa nerovná b. uvažujme nekonečne malé postupnosti (α n )=(x n -a) a (β n )=(x n -b). Pretože všetky prvky b.m. sekvencie (α n -β n ) majú rovnakú hodnotu b-a, potom vlastnosťou b.m. sekvencie b-a=0 t.j. b=a a dostali sme sa k rozporu.
Vlastnosť2: Konvergentná postupnosť je ohraničená.
Dôkaz: Nech a je limita konvergentnej postupnosti (x n), potom α n =x n -a je prvkom b.m. sekvencie. Zoberme si ľubovoľné ε>0 a pomocou neho nájdeme N ε: / x n -a/< ε при n>Nε. Označme b najväčšie z čísel ε+/а/, /х1/, /х2/,…,/х N ε-1 /,х N ε. Je zrejmé, že / x n /
Poznámka: ohraničená postupnosť nemusí byť konvergentná.
VSTUPENKA 6
Postupnosť a n sa nazýva infinitezimálna, čo znamená, že limita tejto postupnosti po je 0.
a n – infinitezimálne Û lim(n ® + ¥)a n =0, to znamená, že pre ľubovoľné ε>0 existuje N takých, že pre ľubovoľné n>N |a n |<ε
Veta. Súčet nekonečna je nekonečne malý.
a n b n ®nekonečne malý Þ a n +b n – nekonečne malý.
Dôkaz.
a n - nekonečne malé Û "ε>0 $ N 1:" n >N 1 Þ |a n |<ε
b n - nekonečne malé Û "ε>0 $ N 2:" n >N 2 Þ |b n |<ε
Stanovme N=max(N 1 ,N 2 ), potom pre ľubovoľné n>N Þ sú súčasne splnené obe nerovnosti:
|a n |<ε |a n +b n |£|a n |+|b n |<ε+ε=2ε=ε 1 "n>N
Stanovme "ε 1 >0, nastavte ε=ε 1 /2. Potom pre ľubovoľné ε 1 >0 $N=maxN 1 N 2: " n>N Þ |a n +b n |<ε 1 Û lim(n ® ¥)(a n +b n)=0, то
je a n + b n – nekonečne malé.
Veta Súčin nekonečna je nekonečno.
a n ,b n – nekonečne malý Þ a n b n – nekonečne malý.
dôkaz:
Stanovme "ε 1 >0, položme ε=Öε 1, keďže a n a b n sú pre toto ε>0 nekonečne malé, potom existuje N 1: " n>N Þ |a n |<ε
$N 2: " n>N 2 Þ |b n |<ε
Zoberme si N=max (N 1 ;N 2 ), potom "n>N = |a n |<ε
|a n b n |=|a n ||b n |<ε 2 =ε 1
" ε 1 >0 $N:"n>N |a n b n |<ε 2 =ε 1
lim a n b n =0 Û a n b n – nekonečne malé, čo bolo potrebné dokázať.
Veta Súčinom ohraničenej postupnosti a infinitezimálnej postupnosti je nekonečná postupnosť
a n je ohraničená postupnosť
a n – infinitezimálna postupnosť Þ a n a n – nekonečná postupnosť.
Dôkaz: Keďže a n je ohraničené Û $С>0: "nО NÞ |a n |£C
Nastavme "ε 1 >0; dajme ε=ε 1 /C; keďže a n je nekonečne malé, potom ε>0 $N:"n>NÞ |a n |<εÞ |a n a n |=|a n ||a n | "ε 1 >0 $N: "n>N Þ |a n a n |=Cε=ε 1 Þ lim(n ® ¥) a n a n =0Û a n a n – nekonečne malé Sekvencia je tzv BBP(v poradí), ak píšu. Je zrejmé, že BBP nie je obmedzený. Opačné tvrdenie je vo všeobecnosti nepravdivé (príklad). Ak pre veľkých nčlenov, potom napíšte to znamená, že akonáhle. Význam zápisu je určený podobne Nekonečne veľké sekvencie a n = 2 n ;
bn = (-1) n2n; cn = -2 n Definícia(nekonečne veľké sekvencie) 1) lim(n ® ¥)a n =+¥, ak "ε>0$N:"n>N Þ a n >ε kde ε je ľubovoľne malé. 2) lim(n ® ¥)a n =-¥, ak "ε>0 $N:"n>N Þ a n<-ε 3) lim(n ® ¥)a n =¥ Û "ε>0 $N:"n>N Þ |a n |>ε VSTUPENKA 7 Veta „O konvergencii monotónnosti. posledný" Akákoľvek monotónna postupnosť je konvergentná, t.j. má limity. Dokument Nech je postupnosť (xn) monotónne rastúca. a je obmedzená zhora. X – celá množina čísel, ktorá prijíma prvok tejto postupnosti podľa konvencie. Počet teorém je obmedzený, preto podľa Veta má konečnú presnú hornú hranicu. tvár supX xn®supX (supX označujeme x*). Pretože x* presný vrchol. tvár, potom xn£x* " n." e >0 nerv je mimo $ xm (nech je m n s vekom): xm>x*-e s " n>m => z uvedených 2 nerovností získame druhá nerovnosť x*-e£xn£x*+e pre n>m je ekvivalentná ½xn-x*1 VSTUPENKA 8 Exponent alebo číslo e R-rímske číslo postupnosť so spoločným členom xn=(1+1/n)^n (na mocninu n)(1) . Ukazuje sa, že postupnosť (1) rastie monotónne, je zhora ohraničená a je konvergentná limita tejto postupnosti sa nazýva exponenciála a označuje sa symbolom e»2,7128... Číslo e VSTUPENKA 9 Princíp vnorených segmentov Nech je číselná os daná sekvenciou segmentov ,,...,,... Okrem toho tieto segmenty spĺňajú nasledujúce. podmienka: 1) každý nasledujúci je vnorený do predchádzajúceho, t.j. M, "n=1,2,...; 2) Dĺžky segmentov ®0 pri zväčšovaní n, t.j. lim(n®¥)(bn-an)=0. Sekvencie so zadanými reťazcami sa nazývajú vnorené. Veta Akákoľvek sekvencia vnorených segmentov obsahuje jeden bod c, ktorý patrí všetkým segmentom sekvencie súčasne, so spoločným bodom všetkých segmentov, ku ktorým sú kontrahované. Dokument(an) - postupnosť ľavých koncov segmentov javov. monotónne neklesajúci a hore ohraničený číslom b1. (bn) - postupnosť pravých koncov nie je monotónne narastajúca, preto tieto postupnosti javov. konvergentné, t.j. existujú čísla c1=lim(n®¥)an a c2=lim(n®¥)bn => c1=c2 => c - ich spoločná hodnota. V skutočnosti má limit lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)(bn)- lim(n®¥)(an) v dôsledku podmienky 2) o= lim(n®¥) (bn- an)=с2-с1=> с1=с2=с Je jasné, že t.c je spoločné pre všetky segmenty, keďže „n an£c£bn. Teraz dokážeme, že je to jeden. Predpokladajme, že $ je ďalšie c', na ktoré sú kontrahované všetky segmenty. Ak vezmeme akékoľvek nepretínajúce sa segmenty c a c', potom by sa na jednej strane celý „chvost“ sekvencií (an), (bn) mal nachádzať v blízkosti bodu c'' (pretože an a bn sa zbiehajú k c a c' súčasne). Rozpor je pravdivý. VSTUPENKA 10 Bolzanova-Weierstrassova veta
Z akéhokoľvek strihu. Potom si môžete vybrať zhromaždenie. nasl. 1. Keďže postupnosť je obmedzená, potom $ m a M tak, že " m£xn£M, " n. D1= – segment, v ktorom ležia všetky t-ki sekvencie. Rozdelíme na polovicu. Aspoň jedna z polovíc bude obsahovať nekonečný počet t-k sekvencií. D2 je polovica, kde leží nekonečný počet t-k sekvencií. Rozdelíme na polovicu. Aspoň v jednej z polovíc neg. D2 má nekonečný počet sekvencií. Táto polovica je D3. Rozdeľte segment D3... atď. získame postupnosť vnorených segmentov, ktorých dĺžky majú tendenciu k 0. Podľa pravidla o vnorených segmentoch, $ jednotiek. t-ka S, kat. prináležať všetky segmenty D1, ľubovoľné t-tu Dn1. V segmente D2 zvolím bod xn2, takže n2>n1. V segmente D3... atď. Výsledkom je, že posledné slovo je xnkÎDk. VSTUPENKA 11 VSTUPENKA 12 zásadný Na záver zvážime otázku kritéria konvergencie číselnej postupnosti. Nech t.j.: Dostali sme nasledujúce vyhlásenie: Ak postupnosť konverguje, podmienka je splnená Cauchy: Zavolá sa postupnosť čísel, ktorá spĺňa Cauchyho podmienku zásadný. Dá sa dokázať, že to platí aj naopak. Máme teda kritérium (nevyhnutnú a postačujúcu podmienku) pre konvergenciu postupnosti. Cauchyho kritérium. Na to, aby postupnosť mala limit, je potrebné a postačujúce, aby bola základná. Druhý význam Cauchyho kritéria.Členovia poradia a kde n A m– akékoľvek priblíženie bez obmedzenia na . VSTUPENKA 13 Jednostranné limity. Definícia 13.11.číslo A nazývaná limita funkcie y = f(x) pri X, snaha o x 0 vľavo (vpravo), ak také, že | f(x)-A|<ε при x 0 – x< δ
(x - x 0< δ
). Označenia: Veta 13.1 (druhá definícia limity). Funkcia y=f(x) má pri X, usilovať sa o X 0, limit sa rovná A, vtedy a len vtedy, ak obe jeho jednostranné limity v tomto bode existujú a sú rovnaké A. Dôkaz. 1) Ak , potom a pre x 0 – x< δ, и для x - x 0< δ
|f(x) - A|<ε, то есть 1) Ak , potom existuje δ 1: | f(x) - A| < ε при x 0 – x< δ 1 и δ 2: |f(x) - A| < ε при x - x 0<
δ2. Ak vyberieme menšie z čísel δ 1 a δ 2 a vezmeme ho ako δ, dostaneme pre | x - x 0| < δ |f(x) - A| < ε, то есть . Теорема доказана. Komentujte. Keďže bola preukázaná rovnocennosť požiadaviek obsiahnutých v definícii limitu 13.7 a podmienok existencie a rovnosti jednostranných limitov, možno túto podmienku považovať za druhú definíciu limitu. Definícia 4 (podľa Heineho) číslo A sa nazýva limita funkcie, ak sa k nejakej BBP hodnoty argumentu približuje postupnosť zodpovedajúcich funkčných hodnôt A. Definícia 4 (podľa Cauchyho). číslo A volal ak . Je dokázané, že tieto definície sú ekvivalentné. VSTUPENKA 14 a 15 Vlastnosti limity funkcie v bode 1) Ak existuje limit, potom je jediný 2) Ak je v oblasti x0 limita funkcie f(x) lim(x®x0)f(x)=A lim(x®x0)g(x)£B=> potom v tomto prípade $ je hranica súčtu, rozdielu, súčinu a kvocientu. Oddelenie týchto 2 funkcií. a) lim(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B b) lim(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B c) lim(x®x0)(f(x):g(x))=A/B d) lim(x®x0)C=C e) lim(x®x0)C*f(x)=C*A Veta 3. Ak ( resp. A ) potom $ okolie, v ktorom nerovnosť platí >B (resp Predpokladajme vo vete 3 B = 0, dostaneme: ak ( resp), potom $ , vo všetkých bodoch, ktoré budú >0 (resp<0),
tie. funkcia zachováva znamienko svojej limity. Veta 4(pri prechode na limit v nerovnosti). Ak v niektorom okolí bodu (možno okrem tohto bodu samotného) je podmienka splnená a tieto funkcie majú v bode limity, potom . V jazyku a. Predstavme si funkciu. Je zrejmé, že v okolí t. Potom podľa vety o zachovaní funkcie máme hodnotu jej limity, ale Veta 5.(na hranici medziľahlej funkcie). (1) Ak VSTUPENKA 16 Definícia 14.1. Funkcia y=α(x) sa nazýva infinitezimálny at x→x 0, Ak Vlastnosti infinitezimál. 1. Súčet dvoch infinitezimálov je nekonečne malý. Dôkaz. Ak α(x) A β(x) – nekonečne malý pri x→x 0, potom existujú δ 1 a δ 2 také, že | α(x)|<ε/2 и |β(X)|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда |α(x)+β(x)|≤|α(x)|+|β(x)|<ε, то есть |(α(x)+β(x))-0|<ε. Следовательно, Komentujte. Z toho vyplýva, že súčet akéhokoľvek konečného počtu infinitezimálov je nekonečne malý. 2. Ak α( X) – nekonečne malý pri x→x 0, A f(x) – funkcia ohraničená v určitom okolí x 0, To α(x)f(x) – nekonečne malý pri x→x 0. Dôkaz. Vyberme si číslo M také, že | f(x)| Dôsledok 1. Súčin nekonečna konečným číslom je nekonečno. Dôsledok 2. Súčin dvoch alebo viacerých infinitezimál je nekonečno. Dôsledok 3. Lineárna kombinácia infinitezimálov je nekonečne malá. 3. (Tretia definícia limitu). Ak , tak nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou na to je, že funkcia f(x) môžu byť zastúpené vo forme f(x)=A+α(x), Kde α(x) – nekonečne malý pri x→x 0. Dôkaz. 1)
Nechajte Potom | f(x)-A|<ε при x→x 0, teda a(x)=f(x)-A– nekonečne malý pri x→x 0. Preto f(x)=A+a(x). 2) Nechajte f(x)=A+α(x). Potom Komentujte. Takto sa získa iná definícia limitu, ekvivalentná predchádzajúcim dvom. Nekonečne veľké funkcie. Definícia 15.1. O funkcii f(x) sa hovorí, že je nekonečne veľká pre x x 0 if Pre nekonečne veľké môžete zaviesť rovnaký klasifikačný systém ako pre nekonečne malé, a to: 1. Nekonečne veľké f(x) a g(x) sa považujú za veličiny rovnakého rádu, ak 2. Ak , potom sa f(x) považuje za nekonečne veľké vyššieho rádu ako g(x). 3. Nekonečne veľké f(x) sa nazýva množstvo k-tého rádu relatívne k nekonečne veľkému g(x), ak . Komentujte. Všimnite si, že a x je nekonečne veľké (pre a>1 a x) vyššieho rádu ako x k pre ľubovoľné k a log a x je nekonečne veľké nižšieho rádu ako akákoľvek mocnina x k. Veta 15.1. Ak je α(x) nekonečne malé ako x→x 0, potom 1/α(x) je nekonečne veľké ako x→x 0. Dôkaz. Dokážme, že pre |x - x 0 |< δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x 0 | < δ |α(x)|<1/M, следовательно, |1/α(x)|>M. To znamená, že 1/α(x) je nekonečne veľké ako x→x 0. VSTUPENKA 17 Veta 14.7 (prvá pozoruhodná limita). . Dôkaz. Uvažujme kružnicu s jednotkovým polomerom so stredom v počiatku a predpokladajme, že uhol AOB sa rovná x (radiánom). Porovnajme obsahy trojuholníka AOB, sektora AOB a trojuholníka AOC, kde priamka OS je dotyčnicou kružnice prechádzajúcej bodom (1;0). Je zrejmé, že. Pomocou zodpovedajúcich geometrických vzorcov pre oblasti obrázkov z toho získame to Z obrovskej rozmanitosti všetkého druhu súpravy Zvlášť zaujímavé sú tzv číselné sady, teda množiny, ktorých prvkami sú čísla. Je jasné, že na pohodlnú prácu s nimi je potrebné vedieť si ich zapisovať. Tento článok začneme zápisom a princípmi zápisu číselných množín. Ďalej sa pozrime na to, ako sú číselné množiny zobrazené na súradnicovej čiare. Navigácia na stránke. Začnime s akceptovanou notáciou. Ako viete, veľké písmená latinskej abecedy sa používajú na označenie množín. Označujú sa aj číselné množiny ako osobitný prípad množín. Napríklad môžeme hovoriť o množinách čísel A, H, W atď. Osobitný význam majú množiny prirodzených, celých, racionálnych, reálnych, komplexných čísel atď. Odtiaľ je jasné, že množinu pozostávajúcu napríklad z dvoch čísel 5 a −7 by ste nemali označovať ako Q, toto označenie bude zavádzajúce, keďže písmeno Q zvyčajne označuje množinu všetkých racionálnych čísel. Na označenie špecifikovanej číselnej sady je lepšie použiť nejaké iné „neutrálne“ písmeno, napríklad A. Keďže hovoríme o zápise, pripomeňme si tu aj zápis prázdnej množiny, teda množiny, ktorá neobsahuje prvky. Označuje sa znamienkom ∅. Pripomeňme si aj označenie, či prvok patrí alebo nepatrí do množiny. Na to použite znaky ∈ - patrí a ∉ - nepatrí. Napríklad zápis 5∈N znamená, že číslo 5 patrí do množiny prirodzených čísel a 5,7∉Z - desatinný zlomok 5,7 nepatrí do množiny celých čísel. A pripomeňme si aj notáciu prijatú na začlenenie jednej množiny do druhej. Je jasné, že všetky prvky množiny N sú zahrnuté v množine Z, teda množina čísel N je obsiahnutá v Z, to sa označuje ako N⊂Z. Môžete použiť aj označenie Z⊃N, čo znamená, že množina všetkých celých čísel Z obsahuje množinu N. Vzťahy, ktoré nie sú zahrnuté a ktoré nie sú zahrnuté, sú označené ⊄ a . Používajú sa aj neprísne inklúzne znaky tvaru ⊆ a ⊇, čo znamená zahrnuté alebo sa zhoduje a zahŕňa alebo sa zhoduje. O zápise sme si povedali, prejdime k popisu číselných množín. V tomto prípade sa dotkneme len hlavných prípadov, ktoré sa v praxi najčastejšie používajú. Začnime s číselnými množinami obsahujúcimi konečný a malý počet prvkov. Číselné množiny pozostávajúce z konečného počtu prvkov je vhodné opísať uvedením všetkých ich prvkov. Všetky číselné prvky sú napísané oddelené čiarkami a uzavreté v , čo je v súlade so všeobecným pravidlá pre popis množín. Napríklad množinu pozostávajúcu z troch čísel 0, -0,25 a 4/7 možno opísať ako (0, -0,25, 4/7). Niekedy, keď je počet prvkov číselnej množiny dosť veľký, ale prvky sa riadia určitým vzorom, na popis sa používa elipsa. Napríklad množinu všetkých nepárnych čísel od 3 do 99 vrátane možno zapísať ako (3, 5, 7, ..., 99). Plynule sme teda pristúpili k popisu číselných množín, ktorých počet prvkov je nekonečný. Niekedy ich možno opísať pomocou všetkých rovnakých elips. Popíšme si napríklad množinu všetkých prirodzených čísel: N=(1, 2. 3, ...) . Používajú aj popis číselných množín uvedením vlastností jej prvkov. V tomto prípade sa používa zápis (x| vlastnosti). Napríklad zápis (n| 8·n+3, n∈N) špecifikuje množinu prirodzených čísel, ktoré po delení 8 zostanú 3. Túto istú množinu možno opísať ako (11,19, 27, ...). V špeciálnych prípadoch sú číselnými množinami s nekonečným počtom prvkov známe množiny N, Z, R atď. alebo číselné intervaly. V zásade sú číselné množiny reprezentované ako únie ich jednotlivé číselné intervaly a číselné množiny s konečným počtom prvkov (o ktorých sme hovorili vyššie). Ukážme si príklad. Nech sa číselná množina skladá z čísel −10, −9, −8.56, 0, všetkých čísel segmentu [−5, −1,3] a čísel otvorenej číselnej osy (7, +∞). Vzhľadom na definíciu spojenia množín možno zadanú číselnú množinu zapísať ako {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞)
. Tento zápis vlastne znamená množinu obsahujúcu všetky prvky množín (−10, −9, −8.56, 0), [−5, −1.3] a (7, +∞). Podobne kombináciou rôznych číselných intervalov a množín jednotlivých čísel možno opísať ľubovoľnú číselnú množinu (pozostávajúcu z reálnych čísel). Tu je zrejmé, prečo boli zavedené také typy číselných intervalov, ako je interval, polovičný interval, segment, otvorený číselný lúč a číselný lúč: všetky spolu so zápismi množín jednotlivých čísel umožňujú opísať akékoľvek číselné množiny prostredníctvom ich zväzok. Upozorňujeme, že pri písaní číselnej sady sú jej jednotlivé čísla a číselné intervaly zoradené vzostupne. Toto nie je nevyhnutná, ale žiaduca podmienka, pretože usporiadanú číselnú množinu si možno ľahšie predstaviť a zobraziť na súradnicovej čiare. Upozorňujeme tiež, že takéto záznamy nepoužívajú číselné intervaly so spoločnými prvkami, pretože takéto záznamy možno nahradiť kombináciou číselných intervalov bez spoločných prvkov. Napríklad spojenie číselných množín so spoločnými prvkami [−10, 0] a (−5, 3) je polovičný interval [−10, 3) . To isté platí pre zjednotenie číselných intervalov s rovnakými hraničnými číslami, napríklad zjednotenie (3, 5]∪(5, 7] je množina (3, 7] , tomu sa budeme venovať osobitne, keď sa naučíme nájsť prienik a spojenie číselných množín V praxi je vhodné použiť geometrické obrázky číselných množín - ich obrázky na. Napríklad kedy riešenie nerovností, v ktorom je potrebné brať do úvahy ODZ, je potrebné znázorniť číselné množiny, aby sa našiel ich prienik a/alebo spojenie. Preto bude užitočné dobre pochopiť všetky nuansy zobrazovania číselných množín na súradnicovej čiare. Je známe, že medzi bodmi súradnicovej čiary a reálnymi číslami existuje korešpondencia jedna k jednej, čo znamená, že samotná súradnicová čiara je geometrickým modelom množiny všetkých reálnych čísel R. Ak chcete zobraziť množinu všetkých reálnych čísel, musíte nakresliť súradnicovú čiaru s tieňovaním po celej jej dĺžke: A často ani neuvádzajú pôvod a segment jednotky: Teraz si povedzme o obraze číselných množín, ktoré predstavujú určitý konečný počet jednotlivých čísel. Ukážme si napríklad množinu čísel (−2, −0,5, 1,2) . Geometrickým obrazom tejto množiny, pozostávajúcej z troch čísel −2, −0.5 a 1.2, budú tri body súradnicovej čiary s príslušnými súradnicami: Všimnite si, že zvyčajne na praktické účely nie je potrebné presne kresliť. Často postačuje schematický nákres, z čoho vyplýva, že v tomto prípade nie je potrebné zachovať mierku, dôležité je len zachovať vzájomnú vzájomnú polohu bodov: každý bod s menšou súradnicou musí byť k sebe; vľavo od bodu s väčšou súradnicou. Predchádzajúci výkres bude schematicky vyzerať takto: Samostatne zo všetkých druhov číselných množín sa rozlišujú číselné intervaly (intervaly, polintervaly, lúče atď.), ktoré predstavujú ich geometrické obrazy, ktoré sme podrobne preskúmali v časti. Nebudeme sa tu opakovať. A zostáva len zostať pri obraze číselných množín, ktoré sú spojením niekoľkých číselných intervalov a množín pozostávajúcich z jednotlivých čísel. Nie je tu nič zložité: podľa významu zjednotenia v týchto prípadoch je potrebné na súradnicovej čiare zobraziť všetky zložky množiny danej číselnej množiny. Ako príklad si ukážme obrázok množiny čísel (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪
(log 2 5, 5)∪(17, +∞) : A zastavme sa pri pomerne bežných prípadoch, keď zobrazená číselná množina predstavuje celú množinu reálnych čísel s výnimkou jedného alebo viacerých bodov. Takéto množiny sú často špecifikované podmienkami ako x≠5 alebo x≠−1, x≠2, x≠3,7 atď. V týchto prípadoch geometricky predstavujú celú súradnicovú čiaru s výnimkou zodpovedajúcich bodov. Inými slovami, tieto body je potrebné „vytrhnúť“ zo súradnicovej čiary. Sú znázornené ako kruhy s prázdnym stredom. Pre názornosť si znázornime číselnú množinu zodpovedajúcu podmienkam Zhrnúť. V ideálnom prípade by informácie z predchádzajúcich odsekov mali tvoriť rovnaký pohľad na záznam a zobrazenie číselných množín ako pohľad na jednotlivé číselné intervaly: záznam číselnej množiny by mal okamžite dať svoj obraz na súradnicovej čiare a z obrázka na súradnicovej čiary by sme mali byť pripravení jednoducho popísať príslušnú číselnú množinu spojením jednotlivých intervalov a množín pozostávajúcich z jednotlivých čísel. Bibliografia. Expresívne geometrické znázornenie systému racionálnych čísel možno získať nasledovne. Ryža. 8. Číselná os Na určitej priamke, „číselnej osi“, označíme segment od 0 do 1 (obr. 8). Toto určuje dĺžku segmentu jednotky, ktorá sa vo všeobecnosti môže zvoliť ľubovoľne. Kladné a záporné celé čísla sú potom znázornené množinou rovnako rozmiestnených bodov na číselnej osi, konkrétne kladné čísla sú označené vpravo a záporné čísla vľavo od bodu 0. Na zobrazenie čísel s menovateľom rozdelíme každé z výsledné segmenty jednotkovej dĺžky na rovnaké časti; deliace body budú predstavovať zlomky s menovateľom Ak to urobíme pre hodnoty zodpovedajúce všetkým prirodzeným číslam, potom každé racionálne číslo bude znázornené nejakým bodom na číselnej osi. Budeme súhlasiť s tým, že tieto body budeme nazývať „racionálne“; Vo všeobecnosti budeme pojmy „racionálne číslo“ a „racionálny bod“ používať ako synonymá. V I. kapitole § 1 bol definovaný vzťah nerovnosti pre prirodzené čísla. Na číselnej osi sa tento vzťah prejavuje nasledovne: ak je prirodzené číslo A menšie ako prirodzené číslo B, potom bod A leží naľavo od bodu B. Keďže naznačený geometrický vzťah je stanovený pre ľubovoľnú dvojicu racionálnych bodov, je prirodzené pokúsiť sa zovšeobecniť vzťah aritmetickej nerovnosti týmto spôsobom, zachovať toto geometrické poradie pre príslušné body. Je to možné, ak prijmeme nasledujúcu definíciu: povieme, že racionálne číslo A je menšie ako racionálne číslo alebo že číslo B je väčšie ako číslo, ak je rozdiel kladný. Z toho vyplýva (zavináč), že body (čísla) medzi sú tie, ktoré súčasne Každá takáto dvojica bodov spolu so všetkými bodmi medzi nimi sa nazýva segment (alebo segment) a označuje sa (a samotná množina medziľahlých bodov sa nazýva interval (alebo interval), Vzdialenosť ľubovoľného bodu A od začiatku 0, považovaná za kladné číslo, sa nazýva absolútna hodnota A a označuje sa symbolom Pojem „absolútna hodnota“ je definovaný takto: ak , potom ak potom Je jasné, že ak čísla majú rovnaké znamienko, potom je rovnosť pravdivá, ak majú rôzne znamienka, potom . Po spojení týchto dvoch výsledkov dospejeme k všeobecnej nerovnosti čo je pravda bez ohľadu na znamenia Fakt zásadný význam vyjadruje nasledujúca veta: racionálne body sa na číselnej osi nachádzajú husto všade. Význam tohto tvrdenia je, že každý interval, bez ohľadu na to, aký je malý, obsahuje racionálne body. Na overenie platnosti uvedeného tvrdenia stačí zobrať číslo také veľké, že interval ( bude menší ako daný interval; potom aspoň jeden z bodov tvaru bude vnútri daného intervalu. nie je taký interval na číselnej osi (ani ten najmenší, čo si možno predstaviť), v ktorom by neboli žiadne racionálne body. Z toho vyplýva ďalší dôsledok: každý interval obsahuje nekonečné množstvo racionálnych bodov, ak by určitý interval obsahoval iba a konečný počet racionálnych bodov, potom vo vnútri intervalu tvoreného dvoma susednými bodmi by už racionálne body neexistovali, a to je v rozpore s práve dokázaným. §1.1. Reálne čísla Reálne čísla sú rozdelené do dvoch tried: trieda racionálnych čísel a trieda iracionálnych čísel. Racionálne sú čísla, ktoré majú tvar , kde m A n sú celé čísla s druhým číslom, ale Napríklad číslo Reálne čísla možno rozdeliť aj na algebraické - korene polynómu s racionálnymi koeficientmi (patria sem najmä všetky racionálne čísla - korene rovnice Množiny všetkých prirodzených, celých a reálnych čísel sú označené takto: NZ, R §1.2. Obrázok reálnych čísel na číselnej osi. Intervaly Geometricky (pre prehľadnosť) sú reálne čísla reprezentované bodmi na nekonečnej (v oboch smeroch) priamke tzv. číselné
os. Na tento účel sa na uvažovanej čiare vyberie bod (začiatok je bod 0), označí sa kladný smer znázornený šípkou (zvyčajne doprava) a vyberie sa jednotka mierky, ktorá sa odloží na neurčito. na oboch stranách bodu 0. Takto sú zobrazené celé čísla. Ak chcete reprezentovať číslo s jedným desatinným miestom, musíte rozdeliť každý segment na desať častí atď. Každé reálne číslo je teda reprezentované bodkou na číselnej osi. Späť ku každému bodu Symbol Ryža. 1.1. Číselná os. Ryža. 1.2. Interval Ryža. 1.3. Uzavretý interval Vynechaním slov „množina všetkých čísel (bodov) X taký, že“ atď., ďalej poznamenávame: §1.3. Absolútna hodnota (alebo modul) reálneho čísla Napríklad, Geometricky znamená bodová vzdialenosť a k pôvodu. Ak máme dva body a , potom vzdialenosť medzi nimi môže byť reprezentovaná ako Vlastnosti absolútnych veličín. 1. Z definície vyplýva, že 2. Absolútna hodnota súčtu a rozdielu nepresahuje súčet absolútnych hodnôt: 3. 4. 5. 6. Nerovnosť 7. Nerovnosť 8. §1.4. Niektoré pojmy a zápisy 1
. koncepcia súpravy je jedným zo základných v matematike, počiatočný, univerzálny - a preto ho nemožno definovať. Dá sa len opísať (nahradiť synonymami): je to zbierka, súbor nejakých predmetov, vecí, spojených nejakými vlastnosťami. Tieto objekty sú tzv prvkov zástupy. Príklady: veľa zrniek piesku na brehu, hviezdy vo vesmíre, žiaci v triede, korene rovnice, body úsečky. Volajú sa množiny, ktorých prvkami sú čísla číselné sady. Pre niektoré štandardné množiny sa zavádza špeciálna notácia, napr. N,Z,R- pozri § 1.1. Nechaj A– veľa a X je jeho prvkom, potom píšu: Ak X je všeobecné označenie prvkov súboru A, potom píšu Súprava je tzv Konečný, ak pozostáva z konečného počtu prvkov. Ak bez ohľadu na to, aké prirodzené číslo N sa vezme v množine A existuje teda viac prvkov ako N A volal nekonečné súbor: je v ňom nekonečne veľa prvkov. Ak každý prvok zostavy ^A patrí mnohým B, To Súbor prvkov oboch súborov A A B volal zjednotenie nastavuje a označuje sa Ak sa medzi prvkami množín dá vytvoriť korešpondencia jedna k jednej, potom hovoria, že tieto množiny sú ekvivalentné a píšu 2
. Nech sú dve tvrdenia, dve skutočnosti: a Vstup: 
Spolu s prirodzeným číslom môžete do poslednej nerovnosti dosadiť ďalšie prirodzené číslo 
,Potom
a v nejakom okolí bodu (možno okrem bodu samotného) je splnená podmienka (2), potom má funkcia v bode limitu a táto limita sa rovná A. podľa podmienky (1) $ for (tu je najmenšie okolie bodu ). Ale potom, kvôli podmienke (2), bude hodnota tiež umiestnená v blízkosti bodu A, tie. .
, teda α(x)+β(x) – nekonečne malé.
znamená | f(x)-A|<ε при |x - x 0| < δ(ε). Cледовательно, .
alebo sinx Zápis číselných množín
Znázornenie množín čísel na súradnicovej čiare
(táto sada v podstate existuje): 
K prvému zoznámeniu sa s reálnymi číslami dochádza na školskom kurze matematiky. Každé reálne číslo je reprezentované konečným alebo nekonečným desatinným zlomkom.
. (Súbor racionálnych čísel je označený písmenom Q). Zvyšné reálne čísla sa volajú iracionálne. Racionálne čísla sú reprezentované konečným alebo nekonečným periodickým zlomkom (rovnako ako obyčajné zlomky), potom tie a len tie reálne čísla, ktoré môžu byť reprezentované nekonečnými neperiodickými zlomkami, budú iracionálne.
- racionálne a 
, 
, 
a tak ďalej. - iracionálne čísla.
) – a transcendentálnym – všetko ostatné (napríklad čísla 
a ďalšie).
(začiatočné písmená slov Naturel, Zahl, Reel).
zodpovedá reálnemu číslu rovnému dĺžke segmentu 
a označené znamienkom „+“ alebo „–“ v závislosti od toho, či bod leží vpravo alebo vľavo od začiatku. Týmto spôsobom sa vytvorí korešpondencia jedna ku jednej medzi množinou všetkých reálnych čísel a množinou všetkých bodov na číselnej osi. Pojmy „skutočné číslo“ a „bod číselnej osi“ sa používajú ako synonymá. 
Označíme tak reálne číslo, ako aj bod, ktorý mu zodpovedá. Kladné čísla sú umiestnené vpravo od bodu 0, záporné čísla sú umiestnené vľavo. Ak 
, potom na číselnej osi bod 
leží naľavo od bodu 
. Nechajte bod 
zodpovedá číslu, potom sa číslo nazýva súradnica bodu, napíšte 
; Častejšie je samotný bod označený rovnakým písmenom ako číslo. Bod 0 je počiatkom súradníc. Os je tiež označená písmenom 
(obr. 1.1).
Množina všetkých ležiacich čísel medzi dané čísla a nazýva sa interval alebo medzera; konce mu môžu a nemusia patriť. Poďme si to ujasniť. Nechaj 
. Súbor čísel, ktoré spĺňajú podmienku 
, nazývaný interval (v užšom zmysle) alebo otvorený interval, označovaný symbolom 
(obr. 1.2).
Množina čísel taká, že 
sa nazýva uzavretý interval (segment, segment) a označuje sa 
; na číselnej osi je označená takto:
Od otvorenej medzery sa líši iba dvoma bodmi (koncami) a . Tento rozdiel je ale zásadný, významný, ako uvidíme neskôr napríklad pri štúdiu vlastností funkcií.
A 
, označené 
A 
polootvorené alebo polouzavreté intervaly (niekedy: polovičné intervaly);
alebo 
znamená: 
alebo 
a je určený 
alebo 
;
alebo 
znamená 
alebo 
a je určený 
alebo 
;
, označené 
množina všetkých reálnych čísel. Odznaky 
symboly "nekonečna"; nazývajú sa nesprávne alebo ideálne čísla. 
Definícia. Absolútna hodnota (alebo modul)číslo sa nazýva samotné číslo, ak 
alebo 
Ak 
. Absolútna hodnota je označená symbolom 
. takže, 
, 
, 
.
(alebo 
). Napríklad, 
potom vzdialenosť 
.
, 
, teda 
.
. 
1) Ak 
, To 
. 2) Ak 
, To . ▲
.
, potom podľa vlastnosti 2: 
, t.j. 
. Rovnako tak, ak si predstavíte 
, potom sa dostaneme k nerovnosti 
▲ 
– vyplýva z definície: zvážiť prípady 
A 
. 
, za predpokladu, že 
To isté vyplýva z definície.
,
, znamená 
. Táto nerovnosť je uspokojená bodmi, ktoré ležia medzi nimi 
A 
.
rovná nerovnosti 
, t.j. . Toto je interval so stredom v bode dĺžky 
. To sa nazýva 
okolie bodu (čísla). Ak 
, potom sa susedstvo nazýva prepichnuté: toto je alebo 
. (Obr.1.4).
z čoho vyplýva, že nerovnosť 
(
) sa rovná nerovnosti 
alebo 
; a nerovnosť 
definuje množinu bodov, pre ktoré 
, t.j. sú to body ležiace mimo segmentu 
, presne: 
A 
.
Uveďme niektoré široko používané pojmy a zápisy z teórie množín, matematickej logiky a iných odvetví modernej matematiky.
; číta " X patrí A» ( 
inklúzny znak pre prvky). Ak je objekt X nie sú zahrnuté v A, potom píšu 
; znie: " X nepatrí A" Napríklad, 
N; 8,51
N; ale 8.51 
R.
. Ak je možné zapísať označenie všetkých prvkov, potom napíšte 
, 
Množina, ktorá neobsahuje jediný prvok, sa nazýva prázdna množina a označuje sa symbolom ; napríklad množina koreňov (reálnych) rovnice 
je tam prázdno.
nazývaná časť alebo podmnožina množiny B a písať 
; číta " A obsiahnuté v B» ( 
pre množiny existuje inklúzny znak). Napríklad, NZR. Ak 
, potom hovoria, že súpravy A A B sú si rovní a píšu 
. Inak píšu 
. Napríklad, ak 
, A 
množina koreňov rovnice 
, To .
(Niekedy 
). Súbor prvkov patriacich do a A A B, volal križovatka nastavuje a označuje sa 
. Súbor všetkých prvkov súpravy ^A, ktoré nie sú obsiahnuté v B, volal rozdiel nastavuje a označuje sa 
. Tieto operácie možno schematicky znázorniť takto:
. Akákoľvek sada A, ekvivalentné množine prirodzených čísel N= volaný spočítateľné alebo spočítateľné. Inými slovami, množina sa nazýva spočítateľná, ak sa jej prvky dajú očíslovať a usporiadať do nekonečna podsekvencia 
, ktorého všetci členovia sú odlišní: 
pri 
, a môže byť napísaný v tvare . Ďalšie nekonečné množiny sú tzv nespočetné množstvo. Počitateľné, okrem samotnej sady N, budú napríklad súpravy 
, Z. Ukazuje sa, že množiny všetkých racionálnych a algebraických čísel sú spočítateľné a ekvivalentné množiny všetkých iracionálnych, transcendentálnych, reálnych čísel a bodov akéhokoľvek intervalu sú nespočítateľné. Hovorí sa, že tieto majú silu kontinua (mocnosť je zovšeobecnením pojmu počet (počet) prvkov pre nekonečnú množinu).
. Symbol 
znamená: „ak je pravda, potom pravda“ alebo „z toho vyplýva“, „znamená, že koreň rovnice má vlastnosť z angličtiny Existovať- existovať.
, alebo 
, znamená: existuje (aspoň jeden) objekt, ktorý má danú vlastnosť 
. A záznam 
, alebo 
, znamená: každý má majetok. Konkrétne môžeme napísať: 
A .
