Zostrojovanie grafov funkcií obsahujúcich moduly zvyčajne spôsobuje školákom značné ťažkosti. Všetko však nie je také zlé. Stačí si zapamätať niekoľko algoritmov na riešenie takýchto problémov a môžete ľahko zostaviť graf aj pre tie najzdanlivejšie komplexná funkcia. Poďme zistiť, aké sú to algoritmy.
1. Zostrojenie grafu funkcie y = |f(x)|
Všimnite si, že množina funkčných hodnôt y = |f(x)| : y ≥ 0. Grafy takýchto funkcií sú teda vždy umiestnené celé v hornej polrovine.
Vykreslenie grafu funkcie y = |f(x)| pozostáva z nasledujúcich jednoduchých štyroch krokov.
1) Opatrne a starostlivo zostrojte graf funkcie y = f(x).
2) Ponechajte nezmenené všetky body na grafe, ktoré sú nad alebo na osi 0x.
3) Zobrazte časť grafu, ktorá leží pod osou 0x symetricky vzhľadom na os 0x.
Príklad 1. Nakreslite graf funkcie y = |x 2 – 4x + 3|
1) Zostrojíme graf funkcie y = x 2 – 4x + 3. Je zrejmé, že grafom tejto funkcie je parabola. Nájdite súradnice všetkých priesečníkov paraboly so súradnicovými osami a súradnicami vrcholu paraboly.
x 2 – 4 x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Preto parabola pretína os 0x v bodoch (3, 0) a (1, 0).
y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.
Preto parabola pretína os 0y v bode (0, 3).
Súradnice vrcholov paraboly:
x v = -(-4/2) = 2, y v = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
Preto bod (2, -1) je vrcholom tejto paraboly.
Nakreslite parabolu pomocou získaných údajov (obr. 1)
2) Časť grafu ležiaca pod osou 0x je zobrazená symetricky vzhľadom na os 0x.
3) Získame graf pôvodnej funkcie ( ryža. 2, zobrazené bodkovanou čiarou).
2. Vykreslenie funkcie y = f(|x|)
Všimnite si, že funkcie tvaru y = f(|x|) sú párne:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). To znamená, že grafy takýchto funkcií sú symetrické okolo osi 0y.
Vykreslenie grafu funkcie y = f(|x|) pozostáva z nasledujúceho jednoduchého reťazca akcií.
1) Nakreslite graf funkcie y = f(x).
2) Ponechajte tú časť grafu, pre ktorú x ≥ 0, teda tú časť grafu, ktorá sa nachádza v pravej polrovine.
3) Zobrazte časť grafu špecifikovanú v bode (2) symetricky k osi 0y.
4) Ako konečný graf vyberte spojenie kriviek získaných v bodoch (2) a (3).
Príklad 2. Nakreslite graf funkcie y = x 2 – 4 · |x| + 3
Pretože x 2 = |x| 2, potom môže byť pôvodná funkcia prepísaná v nasledujúcom tvare: y = |x| 2 – 4 |x| + 3. Teraz môžeme použiť algoritmus navrhnutý vyššie.
1) Starostlivo a starostlivo zostavíme graf funkcie y = x 2 – 4 x + 3 (pozri aj ryža. 1).
2) Ponecháme tú časť grafu, pre ktorú x ≥ 0, teda tú časť grafu, ktorá sa nachádza v pravej polrovine.
3) Displej pravá strana grafika je symetrická k osi 0y.
(obr. 3).
Príklad 3. Nakreslite graf funkcie y = log 2 |x|
Aplikujeme schému uvedenú vyššie.
1) Zostrojte graf funkcie y = log 2 x (obr. 4).
3. Vykreslenie funkcie y = |f(|x|)|
Všimnite si, že funkcie tvaru y = |f(|x|)| sú tiež párne. Skutočne, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), a preto sú ich grafy symetrické okolo osi 0y. Súbor hodnôt takýchto funkcií: y ≥ 0. To znamená, že grafy takýchto funkcií sú umiestnené úplne v hornej polrovine.
Ak chcete vykresliť funkciu y = |f(|x|)|, musíte:
1) Opatrne zostrojte graf funkcie y = f(|x|).
2) Ponechajte nezmenenú časť grafu, ktorá je nad alebo na osi 0x.
3) Zobrazte časť grafu umiestnenú pod osou 0x symetricky vzhľadom na os 0x.
4) Ako konečný graf vyberte spojenie kriviek získaných v bodoch (2) a (3).
Príklad 4. Nakreslite graf funkcie y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Všimnite si, že x 2 = |x| 2. To znamená, že namiesto pôvodnej funkcie y = -x 2 + 2|x| - 1
môžete použiť funkciu y = -|x| 2 + 2|x| – 1, keďže ich grafy sa zhodujú.
Zostavíme graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Používame na to algoritmus 2.
a) Nakreslite graf funkcie y = -x 2 + 2x – 1 (obr. 6).
b) Necháme tú časť grafu, ktorá sa nachádza v pravej polrovine.
c) Výslednú časť grafu zobrazíme symetricky k osi 0y.
d) Výsledný graf je na obrázku znázornený bodkovanou čiarou (obr. 7).
2) Nad osou 0x nie sú žiadne body, body na osi 0x necháme nezmenené.
3) Časť grafu umiestnená pod osou 0x je zobrazená symetricky vzhľadom na 0x.
4) Výsledný graf je na obrázku znázornený bodkovanou čiarou (obr. 8).
Príklad 5. Nakreslite graf funkcie y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Najprv musíte nakresliť funkciu y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Aby sme to urobili, vrátime sa k algoritmu 2.
a) Opatrne nakreslite funkciu y = (2x – 4) / (x + 3) (obr. 9).
Všimni si túto funkciu je zlomková lineárna a jej graf je hyperbola. Ak chcete nakresliť krivku, musíte najprv nájsť asymptoty grafu. Horizontálne – y = 2/1 (pomer koeficientov x v čitateli a menovateli zlomku), vertikálne – x = -3.
2) Časť grafu, ktorá je nad osou 0x alebo na nej, ponecháme nezmenenú.
3) Časť grafu umiestnená pod osou 0x sa zobrazí symetricky vzhľadom na 0x.
4) Výsledný graf je znázornený na obrázku (Obr. 11).
webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.
"Prirodzený logaritmus" - 0,1. Prirodzené logaritmy. 4. Logaritmické šípky. 0,04. 7.121.
"Stupeň výkonovej funkcie 9" - U. Kubická parabola. Y = x3. Učiteľka 9. ročníka Ladoshkina I.A. Y = x2. Hyperbola. 0. Y = xn, y = x-n, kde n je dané prirodzené číslo. X. Exponent je párne prirodzené číslo (2n).
"Kvadratická funkcia" - 1 Definícia kvadratickej funkcie 2 Vlastnosti funkcií 3 Grafy funkcií 4 Kvadratické nerovnosti 5. Záver. Vlastnosti: Nerovnosti: Pripravil žiak 8.A triedy Andrey Gerlitz. Plán: Graf: -Intervaly monotónnosti pre a > 0 pre a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.
“Kvadratická funkcia a jej graf” - Riešenie.y=4x A(0,5:1) 1=1 A-patrí. Keď a=1, vzorec y=ax nadobúda tvar.
„Kvadratická funkcia ôsmeho stupňa“ - 1) Zostrojte vrchol paraboly. Vykreslenie grafu kvadratickej funkcie. X. -7. Zostrojte graf funkcie. Algebra 8. ročník Učiteľ 496 Bovina škola T.V.-1. Stavebný plán. 2) Zostrojte os súmernosti x=-1. r.
Predtým sme študovali iné funkcie, napríklad lineárne, pripomeňme si jeho štandardnú formu:
teda zrejmé zásadný rozdiel- V lineárna funkcia X stojí na prvom stupni a v tom Nová funkcia ktoré začíname študovať, X stojí na druhej moci.
Pripomeňme si, že grafom lineárnej funkcie je priamka a grafom funkcie, ako uvidíme, je krivka nazývaná parabola.
Začnime tým, že zistíme, odkiaľ vzorec pochádza. Vysvetlenie je toto: ak dostaneme štvorec so stranou A, potom môžeme vypočítať jeho plochu takto:
Ak zmeníme dĺžku strany štvorca, zmení sa jeho plocha.
Toto je jeden z dôvodov, prečo sa funkcia študuje
Pripomeňme, že premenná X- ide o nezávislú premennú, alebo argument vo fyzikálnej interpretácii, môže to byť napríklad čas; Vzdialenosť je, naopak, závislá premenná, závisí od času. Závislá premenná alebo funkcia je premenná pri.
Toto je zákon korešpondencie, podľa ktorého každá hodnota X je priradená jedna hodnota pri.
Každý korešpondenčný zákon musí spĺňať požiadavku jedinečnosti od argumentu po funkciu. Vo fyzikálnej interpretácii to vyzerá celkom jasne na príklade závislosti vzdialenosti od času: v každom časovom okamihu sme v určitej vzdialenosti od východiskového bodu a nie je možné byť 10 aj 20 kilometrov od začiatku. cesty v rovnakom čase v čase t.
Zároveň je možné každú funkčnú hodnotu dosiahnuť niekoľkými hodnotami argumentov.
Musíme teda zostaviť graf funkcie, na to musíme vytvoriť tabuľku. Potom študujte funkciu a jej vlastnosti pomocou grafu. Ale ešte pred zostrojením grafu na základe typu funkcie si môžeme povedať niečo o jeho vlastnostiach: to je zrejmé pri nemôže nadobúdať záporné hodnoty, pretože
Urobme si teda tabuľku:
Ryža. 1
Z grafu je ľahké si všimnúť nasledujúce vlastnosti:
Os pri- toto je os symetrie grafu;
Vrchol paraboly je bod (0; 0);
Vidíme, že funkcia iba akceptuje záporné hodnoty;
V intervale kde 
funkcia klesá a na intervale, kde sa funkcia zvyšuje;
Funkcia nadobúda najmenšiu hodnotu vo vrchole, 
;
Neexistuje žiadna najväčšia hodnota funkcie;
Príklad 1
podmienka:
Riešenie:
Pretože X zmenami podmienok na konkrétnom intervale môžeme o funkcii povedať, že sa zvyšuje a mení na intervale . Funkcia má na tomto intervale minimálna hodnota a maximálnu hodnotu
Ryža. 2. Graf funkcie y = x 2 , x ∈
Príklad 2
podmienka: Nájdite najväčšie a najmenšia hodnota Vlastnosti:
Riešenie:
X sa mení počas intervalu, čo znamená pri klesá na intervale while a zvyšuje sa na intervale while .
Takže hranice zmeny X a hranice zmeny pri, a preto na danom intervale existuje minimálna aj maximálna hodnota funkcie
Ryža. 3. Graf funkcie y = x 2 , x ∈ [-3; 2]
Ukážme si skutočnosť, že rovnakú funkčnú hodnotu možno dosiahnuť viacerými hodnotami argumentov.
Vyberme si v lietadle pravouhlý systém súradnice a vykreslíme hodnoty argumentu na osi x X a na zvislej osi - hodnoty funkcie y = f(x).
Funkčný graf y = f(x) je množina všetkých bodov, ktorých úsečky patria do oblasti definície funkcie a ktorých súradnice sa rovnajú zodpovedajúcim hodnotám funkcie.
Inými slovami, graf funkcie y = f (x) je množinou všetkých bodov roviny, súradníc X, pri ktoré uspokojujú vzťah y = f(x).
Na obr. 45 a 46 sú znázornené grafy funkcií y = 2x + 1 A y = x 2 - 2x.
Presne povedané, treba rozlišovať medzi grafom funkcie (presne matematická definícia ktorá bola uvedená vyššie) a nakreslená krivka, ktorá vždy poskytuje len viac-menej presný náčrt grafu (a aj to spravidla nie celý graf, ale len jeho časť umiestnenú v konečnej časti grafu). lietadlo). V nasledujúcom texte však vo všeobecnosti povieme „graf“ a nie „náčrt grafu“.
Pomocou grafu môžete nájsť hodnotu funkcie v bode. Totiž, ak bod x = a patrí do oblasti definície funkcie y = f(x) a potom vyhľadajte číslo f(a)(t.j. funkčné hodnoty v bode x = a), mali by ste to urobiť. Je potrebné cez úsečku x = a nakreslite priamku rovnobežnú s osou ordinátov; táto čiara bude pretínať graf funkcie y = f(x) v jednom bode; ordináta tohto bodu bude na základe definície grafu rovná f(a)(obr. 47).
Napríklad pre funkciu f(x) = x 2 - 2x pomocou grafu (obr. 46) zistíme f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 atď.
Funkčný graf jasne ilustruje správanie a vlastnosti funkcie. Napríklad z posúdenia obr. 46 je zrejmé, že funkcia y = x 2 - 2x prijíma kladné hodnoty pri X< 0 a pri x > 2, záporné - na 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2x prijíma na x = 1.
Graf funkcie f(x) musíte nájsť všetky body roviny, súradnice X,pri ktoré spĺňajú rovnicu y = f(x). Vo väčšine prípadov to nie je možné, pretože takýchto bodov je nekonečné množstvo. Preto je graf funkcie znázornený približne - s väčšou či menšou presnosťou. Najjednoduchší je spôsob vykreslenia grafu pomocou niekoľkých bodov. Spočíva v tom, že argument X dať konečné číslo hodnoty - povedzme x 1, x 2, x 3,..., x k a vytvorte tabuľku, ktorá obsahuje hodnoty vybraných funkcií.
Tabuľka vyzerá takto:
Po zostavení takejto tabuľky môžeme na grafe funkcie načrtnúť niekoľko bodov y = f(x). Potom spojením týchto bodov hladkou čiarou získame približný pohľad na graf funkcie y = f(x).
Treba však poznamenať, že metóda viacbodového vykresľovania je veľmi nespoľahlivá. V skutočnosti správanie grafu medzi zamýšľanými bodmi a jeho správanie mimo segmentu medzi prijatými extrémnymi bodmi zostáva neznáme.
Príklad 1. Graf funkcie y = f(x) niekto zostavil tabuľku hodnôt argumentov a funkcií:
Zodpovedajúcich päť bodov je znázornených na obr. 48.
Na základe umiestnenia týchto bodov usúdil, že graf funkcie je priamka (na obr. 48 je znázornená bodkovaná čiara). Dá sa tento záver považovať za spoľahlivý? Pokiaľ neexistujú ďalšie úvahy na podporu tohto záveru, ťažko ho možno považovať za spoľahlivý. spoľahlivý.
Na podloženie nášho tvrdenia zvážte funkciu
.
Výpočty ukazujú, že hodnoty tejto funkcie v bodoch -2, -1, 0, 1, 2 sú presne opísané v tabuľke vyššie. Graf tejto funkcie však vôbec nie je priamka (je znázornená na obr. 49). Ďalším príkladom môže byť funkcia y = x + l + sinπx; jeho významy sú tiež opísané v tabuľke vyššie.
Tieto príklady ukazujú, že vo svojej „čistej“ forme je metóda vykresľovania grafu pomocou niekoľkých bodov nespoľahlivá. Preto pri vykreslení grafu danej funkcie sa zvyčajne postupuje nasledovne. Najprv si preštudujeme vlastnosti tejto funkcie, pomocou ktorej môžeme zostaviť náčrt grafu. Potom výpočtom hodnôt funkcie v niekoľkých bodoch (ktorých výber závisí od stanovených vlastností funkcie) sa nájdu zodpovedajúce body grafu. A nakoniec sa cez zostrojené body nakreslí krivka pomocou vlastností tejto funkcie.
Na niektoré (najjednoduchšie a najčastejšie používané) vlastnosti funkcií slúžiacich na nájdenie náčrtu grafu sa pozrieme neskôr, ale teraz sa pozrieme na niektoré bežne používané metódy na zostavovanie grafov.
Graf funkcie y = |f(x)|.
Často je potrebné vykresliť funkciu y = |f(x)|, kde f(x) - danú funkciu. Pripomeňme si, ako sa to robí. A-priorstvo absolútna hodnotačísla sa dajú písať
To znamená, že graf funkcie y =|f(x)| možno získať z grafu, funkcie y = f(x) takto: všetky body na grafe funkcie y = f(x), ktorého súradnice nie sú záporné, by sa malo ponechať nezmenené; ďalej, namiesto bodov grafu funkcie y = f(x) so zápornými súradnicami by ste mali zostrojiť zodpovedajúce body na grafe funkcie y = -f(x)(t.j. časť grafu funkcie
y = f(x), ktorá leží pod osou X, by sa mali odrážať symetricky okolo osi X).
Príklad 2 Graf funkcie y = |x|.
Zoberme si graf funkcie y = x(obr. 50, a) a časť tohto grafu pri X< 0 (ležiace pod osou X) symetricky odrážané vzhľadom na os X. V dôsledku toho dostaneme graf funkcie y = |x|(obr. 50, b).
Príklad 3. Graf funkcie y = |x 2 - 2x|.
Najprv nakreslíme funkciu y = x 2 - 2x. Grafom tejto funkcie je parabola, ktorej vetvy smerujú nahor, vrchol paraboly má súradnice (1; -1), jej graf pretína os x v bodoch 0 a 2. V intervale (0; 2) funkcia nadobúda záporné hodnoty, preto sa táto časť grafu symetricky odráža vzhľadom na os x. Obrázok 51 ukazuje graf funkcie y = |x 2 -2x| na základe grafu funkcie y = x 2 - 2x
Graf funkcie y = f(x) + g(x)
Zvážte problém konštrukcie grafu funkcie y = f(x) + g(x). ak sú uvedené funkčné grafy y = f(x) A y = g(x).
Všimnite si, že definičný obor funkcie y = |f(x) + g(x)| je množina všetkých tých hodnôt x, pre ktoré sú definované obe funkcie y = f(x) a y = g(x), t.j. táto definičná oblasť je priesečníkom definičných oblastí, funkcií f(x) a g(x).
Nechajte body (x 0, y 1) A (x 0, y 2) patria medzi grafy funkcií y = f(x) A y = g(x), t.j 1 = f(x 0), y2 = g(x 0). Potom bod (x0;. y1 + y2) patrí do grafu funkcie y = f(x) + g(x)(pre f(x 0) + g(x 0) = y 1 + y2),. a ľubovoľný bod na grafe funkcie y = f(x) + g(x) možno získať týmto spôsobom. Preto graf funkcie y = f(x) + g(x) možno získať z funkčných grafov y = f(x). A y = g(x) nahradenie každého bodu ( x n, y 1) funkčná grafika y = f(x) bodka (x n, y 1 + y 2), Kde y2 = g(x n), t.j. posunutím každého bodu ( x n, y 1) funkčný graf y = f(x) pozdĺž osi pri podľa sumy yi = g(x n). V tomto prípade sa berú do úvahy iba také body X n, pre ktoré sú definované obe funkcie y = f(x) A y = g(x).
Tento spôsob vykresľovania funkcie y = f(x) + g(x) sa nazýva sčítanie grafov funkcií y = f(x) A y = g(x)
Príklad 4. Na obrázku bol zostrojený graf funkcie metódou pridávania grafov
y = x + sinx.
Pri vykresľovaní funkcie y = x + sinx mysleli sme si to f(x) = x, A g(x) = sinx. Na vykreslenie grafu funkcie vyberieme body s úsečkami -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Hodnoty f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Počítajme vo vybraných bodoch a výsledky umiestnime do tabuľky.
