Materiál prezentovaný v tejto téme vychádza z informácií uvedených v téme "Racionálne zlomky. Rozklad racionálnych zlomkov na elementárne (jednoduché) zlomky". Dôrazne vám odporúčam, aby ste si túto tému aspoň prelistovali, kým prejdete k čítaniu tohto materiálu. Okrem toho budeme potrebovať tabuľku neurčitých integrálov.
Dovoľte mi pripomenúť vám pár pojmov. Boli prediskutované v príslušnej téme, takže sa tu obmedzím na stručnú formuláciu.
Pomer dvoch polynómov $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ sa nazýva racionálna funkcia alebo racionálny zlomok. Racionálny zlomok sa nazýva správne, ak $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется nesprávne.
Elementárne (najjednoduchšie) racionálne zlomky sú racionálne zlomky štyri typy:
- $\frac(A)(x-a)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Poznámka (potrebná pre lepšie pochopenie textu): zobraziť\skryť
Prečo je potrebná podmienka $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим kvadratická rovnica$x^2+px+q=0$. Diskriminant tejto rovnice je $D=p^2-4q$. V podstate podmienka $p^2-4q< 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Napríklad pre výraz $x^2+5x+10$ dostaneme: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Keďže $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
Mimochodom, pre túto kontrolu nie je vôbec potrebné, aby sa koeficient pred $x^2$ rovnal 1. Napríklad pre $5x^2+7x-3=0$ dostaneme: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=$109. Keďže $D > 0$, výraz $5x^2+7x-3$ je faktorizovateľný.
Dajú sa nájsť príklady racionálnych zlomkov (vlastných a nevlastných), ako aj príklady rozkladu racionálneho zlomku na elementárne. Tu nás budú zaujímať len otázky ich integrácie. Začnime s integráciou elementárnych zlomkov. Takže každý zo štyroch vyššie uvedených typov elementárnych zlomkov sa dá ľahko integrovať pomocou nižšie uvedených vzorcov. Pripomínam, že pri integrácii zlomkov typov (2) a (4) sa predpokladá $n=2,3,4,\ldots$. Vzorce (3) a (4) vyžadujú splnenie podmienky $p^2-4q< 0$.
\begin(rovnica) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(rovnica) \begin(rovnica) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \koniec(rovnica) \začiatok(rovnica) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(rovnica)
Pre $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ sa vykoná substitúcia $t=x+\frac(p)(2)$, po ktorej bude výsledný interval rozdelená na dve časti. Prvý sa vypočíta zadaním pod znamienko rozdielu a druhý bude mať tvar $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Tento integrál sa vezme pomocou rekurentného vzťahu
\begin(rovnica) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\end (rovnica)
Výpočet takéhoto integrálu je diskutovaný v príklade č. 7 (pozri tretiu časť).
Schéma na výpočet integrálov racionálnych funkcií (racionálnych zlomkov):
- Ak je integrand elementárny, potom použite vzorce (1)-(4).
- Ak integrand nie je elementárny, reprezentujte ho ako súčet elementárnych zlomkov a potom integrujte pomocou vzorcov (1)-(4).
Vyššie uvedený algoritmus na integráciu racionálnych zlomkov má nepopierateľnú výhodu - je univerzálny. Tie. pomocou tohto algoritmu sa môžete integrovať akýkoľvek racionálny zlomok. Preto takmer všetky zmeny premenných v neurčitom integráli (Eulerove, Čebyševove substitúcie, univerzálne trigonometrická substitúcia) sú vyrobené tak, že po tomto nahradení dostaneme racionálny zlomok pod intervalom. A potom naň aplikujte algoritmus. Po malej poznámke analyzujeme priamu aplikáciu tohto algoritmu na príkladoch.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
V zásade je tento integrál ľahko dosiahnuteľný bez mechanického použitia vzorca. Ak zo znamienka integrálu vyberieme konštantu $7$ a vezmeme do úvahy, že $dx=d(x+9)$, dostaneme:
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
Pre podrobné informácie odporúčam pozrieť si tému. Podrobne vysvetľuje, ako sa takéto integrály riešia. Mimochodom, vzorec je dokázaný rovnakými transformáciami, ktoré boli použité v tomto odseku pri jeho „ručnom riešení“.
2) Opäť existujú dva spôsoby: použite hotový vzorec alebo sa zaobíďte bez neho. Ak použijete vzorec, mali by ste vziať do úvahy, že koeficient pred $x$ (číslo 4) bude musieť byť odstránený. Aby sme to dosiahli, jednoducho vyňme tieto štyri zo zátvoriek:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\vľavo(4\vľavo(x+\frac(19)(4)\vpravo)\vpravo)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$
Teraz je čas použiť vzorec:
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\vľavo(x+\frac(19)(4) \vpravo)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$
Môžete to urobiť bez použitia vzorca. A to aj bez toho, aby ste zo zátvoriek vybrali konštantné 4 doláre. Ak vezmeme do úvahy, že $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, dostaneme:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
Podrobné vysvetlenia na nájdenie takýchto integrálov sú uvedené v téme „Integrácia substitúciou (substitúcia pod diferenciálnym znamienkom)“.
3) Potrebujeme integrovať zlomok $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Tento zlomok má štruktúru $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, kde $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Aby ste sa však uistili, že ide skutočne o elementárny zlomok tretieho typu, musíte skontrolovať, či je splnená podmienka $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Riešime rovnaký príklad, ale bez použitia hotového vzorca. Pokúsme sa izolovať deriváciu menovateľa v čitateli. Čo to znamená? Vieme, že $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Je to výraz $2x+10$, ktorý musíme izolovať v čitateli. Čitateľ zatiaľ obsahuje iba $4x+7$, ale to nebude trvať dlho, aplikujme nasledujúcu transformáciu na čitateľa:
$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$
Teraz sa v čitateli objaví požadovaný výraz $2x+10$. A náš integrál možno prepísať takto:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
Rozdeľme integrand na dva. Nuž, a teda aj samotný integrál je „rozdvojený“:
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \vpravo)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
Povedzme si najskôr o prvom integráli, t.j. približne $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Keďže $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, potom čitateľ integrandu obsahuje diferenciál menovateľa. Skrátka, namiesto toho výrazu $( 2x+10)dx$ napíšeme $d(x^2+10x+34)$.
Teraz si povedzme pár slov o druhom integráli. Vyberme celý štvorec v menovateli: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Okrem toho berieme do úvahy $dx=d(x+5)$. Teraz možno súčet integrálov, ktoré sme získali predtým, prepísať do trochu inej formy:
$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$
Ak urobíme substitúciu $u=x^2+10x+34$ v prvom integráli, potom bude mať tvar $\int\frac(du)(u)$ a bude mať jednoduché použitie druhý vzorec z . Pokiaľ ide o druhý integrál, je preň realizovateľná zmena $u=x+5$, po ktorej nadobudne tvar $\int\frac(du)(u^2+9)$. Toto čistá voda jedenásty vzorec z tabuľky neurčitých integrálov. Takže, keď sa vrátime k súčtu integrálov, máme:
$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Dostali sme rovnakú odpoveď ako pri aplikácii vzorca, čo, prísne vzaté, nie je prekvapujúce. Vo všeobecnosti sa vzorec dokazuje rovnakými metódami, ktoré sme použili na nájdenie tohto integrálu. Verím, že pozornému čitateľovi tu možno napadne jedna otázka, preto ju sformulujem:
Otázka č.1
Ak použijeme druhý vzorec z tabuľky neurčitých integrálov na integrál $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, dostaneme nasledovné:
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
Prečo v riešení nebol žiadny modul?
Odpoveď na otázku č.1
Otázka je úplne prirodzená. Modul chýbal len preto, že výraz $x^2+10x+34$ pre ľubovoľné $x\in R$ Nad nulou. Je to celkom jednoduché ukázať niekoľkými spôsobmi. Napríklad, pretože $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ a $(x+5)^2 ≥ 0$, potom $(x+5)^2+9 > 0$ . Môžete myslieť inak, bez použitia dôrazu plné námestie. Od $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ za akékoľvek $x\in R$ (ak je tento logický reťazec prekvapivý, odporúčam vám pozrieť sa grafická metóda riešenia kvadratické nerovnosti). V každom prípade, keďže $x^2+10x+34 > 0$, potom $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, t.j. Namiesto modulu môžete použiť bežné zátvorky.
Všetky body príkladu č.1 sú vyriešené, ostáva už len zapísať odpoveď.
Odpoveď:
- $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
- $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
- $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.
Príklad č.2
Nájdite integrál $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.
Na prvý pohľad je integrandový zlomok $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ veľmi podobný elementárnemu zlomku tretieho typu, t.j. podľa $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Zdá sa, že jediným rozdielom je koeficient $ 3 $ pred $ x ^ 2 $, ale odstránenie koeficientu netrvá dlho (vysuňte ho zo zátvoriek). Táto podobnosť je však zjavná. Pre zlomok $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ je podmienka $p^2-4q povinná< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
Náš koeficient pred $x^2$ nie je rovný jednej, preto skontrolujte podmienku $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант menej ako nula, potom výraz $x^2+px+q$ nemôže byť faktorizovaný. Vypočítajme diskriminant polynómu $3x^2-5x-2$ nachádzajúceho sa v menovateli nášho zlomku: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Takže $D > 0$, preto výraz $3x^2-5x-2$ možno faktorizovať. To znamená, že zlomok $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ nie je elementárnym zlomkom tretieho typu a použite $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) do integrálneho vzorca 5x-2)dx$ nie je možné.
No, ak daný racionálny zlomok nie je elementárny zlomok, potom ho treba reprezentovať ako súčet elementárnych zlomkov a potom integrovať. Stručne povedané, využite cestu. Podrobne je napísané, ako rozložiť racionálny zlomok na elementárne. Začnime rozdelením menovateľa:
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(zarovnané) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\koniec (zarovnané)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$
Subinterkálny zlomok uvádzame v tejto forme:
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\vľavo(x+\frac(1)(3)\vpravo)(x-2)). $$
Teraz rozložme zlomok $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ na elementárne:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\vľavo(x+\frac(1)(3)\vpravo)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\vľavo(x+\frac(1)(3)\vpravo))(\vľavo(x+ \frac(1)(3)\vpravo)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\vľavo(x+\frac(1)( 3)\vpravo). $$
Na nájdenie koeficientov $A$ a $B$ existujú dva štandardné spôsoby: metóda neurčitých koeficientov a metóda substitúcie parciálnych hodnôt. Použime metódu substitúcie čiastočnej hodnoty, pričom dosadíme $x=2$ a potom $x=-\frac(1)(3)$:
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\vľavo(x+\frac(1)(3)\vpravo).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\vľavo(2+\frac(1)(3)\vpravo); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\vpravo); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
Keďže koeficienty boli nájdené, zostáva už len zapísať hotovú expanziu:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\vľavo(x+\frac(1)(3)\vpravo)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$
V zásade môžete zanechať tento záznam, ale páči sa mi presnejšia možnosť:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\vľavo(x+\frac(1)(3)\vpravo)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$
Ak sa vrátime k pôvodnému integrálu, dosadíme do neho výsledné rozšírenie. Potom rozdelíme integrál na dva a na každý použijeme vzorec. Radšej okamžite umiestnim konštanty mimo znamienka integrálu:
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$
Odpoveď: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.
Príklad č.3
Nájdite integrál $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.
Potrebujeme integrovať zlomok $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Čitateľ obsahuje polynóm druhého stupňa a menovateľ obsahuje polynóm tretieho stupňa. Keďže stupeň polynómu v čitateli je menší ako stupeň polynómu v menovateli, t.j. 2 doláre< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$
Stačí, keď daný integrál rozdelíme na tri a na každý použijeme vzorec. Radšej okamžite umiestnim konštanty mimo znamienka integrálu:
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$
Odpoveď: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.
Pokračovanie analýzy príkladov tejto témy sa nachádza v druhej časti.
Test z integrácie funkcií vrátane racionálnych zlomkov majú žiaci 1. a 2. ročníka. Príklady integrálov budú zaujímavé najmä pre matematikov, ekonómov a štatistikov. Tieto príklady boli požiadané o skúšobná práca na LNU pomenovaný po. I. Frank. Podmienky nasledujúcich príkladov sú „Nájsť integrál“ alebo „Vypočítať integrál“, takže kvôli šetreniu miesta a času neboli vypísané.
Príklad 15. Prišli sme k integrácii zlomkovo-racionálnych funkcií. Okupujú špeciálne miesto medzi integrály, pretože si vyžadujú veľa času na výpočet a pomáhajú učiteľom otestovať si vaše znalosti nielen z integrácie. Pre zjednodušenie funkcie pod integrálom pridáme a odčítame výraz v čitateli, ktorý nám umožní rozdeliť funkciu pod integrálom na dve jednoduché.
Výsledkom je, že jeden integrál nájdeme pomerne rýchlo, v druhom musíme zlomok rozšíriť na súčet elementárnych zlomkov 
Po zredukovaní na spoločného menovateľa dostaneme nasledujúce číslovky
Ďalej otvorte zátvorky a zoskupte
Prirovnávame hodnotu pri rovnaké stupne"X" vpravo a vľavo. V dôsledku toho sa dostávame k systému troch lineárne rovnice(SLAU) s tromi neznámymi. 
Ako riešiť sústavy rovníc je popísané v iných článkoch na stránke. Nakoniec dostanete ďalšie riešenie SLAU
A = 4; B = -9/2; C = -7/2.
Konštanty dosadíme do rozšírenia zlomkov na najjednoduchšie a vykonáme integráciu
Týmto sa príklad končí.
Príklad 16. Opäť potrebujeme nájsť integrál zlomkovej racionálnej funkcie. Začať kubická rovnica, ktorý je obsiahnutý v menovateli zlomku, rozložíme na jednoduché faktory 
Ďalej zlomok rozložíme na najjednoduchšie formy 
Poďme to dať dokopy pravá strana na spoločného menovateľa a otvorte zátvorky v čitateli. 
Koeficienty pre rovnaké stupne premennej zrovnáme. Poďme opäť na SLAE s tromi neznámymi 
Poďme nahradiť hodnoty A, B, C do expanzie a vypočítajte integrál 
Prvé dva členy udávajú logaritmus, posledný sa dá tiež ľahko nájsť.
Príklad 17. V menovateli zlomkovej racionálnej funkcie máme rozdiel kociek. Pomocou skrátených vzorcov na násobenie ho rozložíme na dva hlavné faktory
Ďalej prijaté zlomková funkcia napíšte sumu jednoduché zlomky a spojiť ich do spoločného menovateľa 
V čitateli dostaneme nasledujúci výraz.
Z nej vytvoríme sústavu lineárnych rovníc na výpočet 3 neznámych 
A = 1/3; B = -1/3; C = 1/3.
Do vzorca dosadíme A, B, C a vykonáme integráciu. V dôsledku toho dospejeme k nasledujúcej odpovedi: 
Tu bol čitateľ druhého integrálu prevedený na logaritmus a zvyšok pod integrálom dáva arkustangens.
Podobné príklady O integrovaní racionálnych zlomkov je na internete veľa. Podobné príklady nájdete z nižšie uvedených materiálov.
Racionálna funkcia je zlomok tvaru , ktorého čitateľom a menovateľom sú polynómy alebo súčin polynómov.
Príklad 1 Krok 2.
.
Neurčené koeficienty vynásobíme polynómami, ktoré nie sú v tomto jednotlivom zlomku, ale sú v iných výsledných zlomkoch:
Otvoríme zátvorky a prirovnáme čitateľa pôvodného integrandu k výslednému výrazu:
Na oboch stranách rovnosti hľadáme členy s rovnakými mocninami x a skladáme z nich sústavu rovníc:
.
Zrušíme všetky X a dostaneme ekvivalentný systém rovnice:
.
Takže konečné rozšírenie integrandu do súčtu jednoduchých zlomkov je:
.
Príklad 2 Krok 2. V kroku 1 sme získali nasledujúci rozklad pôvodného zlomku na súčet jednoduchých zlomkov s neurčenými koeficientmi v čitateloch:
.
Teraz začneme hľadať neisté koeficienty. Aby sme to dosiahli, prirovnáme čitateľa pôvodného zlomku vo výraze funkcie k čitateľovi výrazu získaného po znížení súčtu zlomkov na spoločného menovateľa:
Teraz musíte vytvoriť a vyriešiť systém rovníc. Aby sme to dosiahli, priradíme koeficienty premennej k zodpovedajúcemu stupňu v čitateli pôvodného výrazu funkcie a podobné koeficienty vo výraze získanom v predchádzajúcom kroku:
Vyriešime výsledný systém:
Takže odtiaľto
.
Príklad 3 Krok 2. V kroku 1 sme získali nasledujúci rozklad pôvodného zlomku na súčet jednoduchých zlomkov s neurčenými koeficientmi v čitateloch:
Začneme hľadať neisté koeficienty. Aby sme to dosiahli, prirovnáme čitateľa pôvodného zlomku vo výraze funkcie k čitateľovi výrazu získaného po znížení súčtu zlomkov na spoločného menovateľa:
Rovnako ako v predchádzajúcich príkladoch zostavíme sústavu rovníc:
Zmenšíme x a získame ekvivalentný systém rovníc:
Vyriešením systému dostaneme nasledujúce hodnoty neisté koeficienty:
Získame konečný rozklad integrandu na súčet jednoduchých zlomkov:
.
Príklad 4. Krok 2. V kroku 1 sme získali nasledujúci rozklad pôvodného zlomku na súčet jednoduchých zlomkov s neurčenými koeficientmi v čitateloch:
.
Z predchádzajúcich príkladov už vieme, ako prirovnať čitateľa pôvodného zlomku k výrazu v čitateli získanom po rozložení zlomku na súčet jednoduchých zlomkov a privedení tohto súčtu na spoločného menovateľa. Preto len pre účely kontroly uvádzame výsledný systém rovníc:
Pri riešení systému získame nasledujúce hodnoty neistých koeficientov:
Získame konečný rozklad integrandu na súčet jednoduchých zlomkov:
Príklad 5. Krok 2. V kroku 1 sme získali nasledujúci rozklad pôvodného zlomku na súčet jednoduchých zlomkov s neurčenými koeficientmi v čitateloch:
.
Tento súčet nezávisle znížime na spoločného menovateľa, pričom čitateľa tohto výrazu prirovnáme k čitateľovi pôvodného zlomku. Výsledok by mal byť ďalší systém rovnice:
Pri riešení systému získame nasledujúce hodnoty neistých koeficientov:
.
Získame konečný rozklad integrandu na súčet jednoduchých zlomkov:
.
Príklad 6. Krok 2. V kroku 1 sme získali nasledujúci rozklad pôvodného zlomku na súčet jednoduchých zlomkov s neurčenými koeficientmi v čitateloch:
S týmto množstvom vykonáme rovnaké akcie ako v predchádzajúcich príkladoch. Výsledkom by mal byť nasledujúci systém rovníc:
Pri riešení systému získame nasledujúce hodnoty neistých koeficientov:
.
Získame konečný rozklad integrandu na súčet jednoduchých zlomkov:
.
Príklad 7. Krok 2. V kroku 1 sme získali nasledujúci rozklad pôvodného zlomku na súčet jednoduchých zlomkov s neurčenými koeficientmi v čitateloch:
.
Po určitých akciách s výsledným množstvom by sa mal získať nasledujúci systém rovníc:
Pri riešení systému získame nasledujúce hodnoty neistých koeficientov:
Získame konečný rozklad integrandu na súčet jednoduchých zlomkov:
.
Príklad 8. Krok 2. V kroku 1 sme získali nasledujúci rozklad pôvodného zlomku na súčet jednoduchých zlomkov s neurčenými koeficientmi v čitateloch:
.
Urobme niekoľko zmien v akciách, ktoré už boli privedené do automatizácie, aby sme získali systém rovníc. Existuje umelá technika, ktorá v niektorých prípadoch pomáha vyhnúť sa zbytočným výpočtom. Privedením súčtu zlomkov do spoločného menovateľa dostaneme a prirovnaním čitateľa tohto výrazu k čitateľovi pôvodného zlomku dostaneme.
Integrácia racionálnych funkcií Zlomok - racionálna funkcia Najjednoduchšie racionálne zlomky Rozklad racionálneho zlomku na jednoduché zlomky Integrácia jednoduchých zlomkov Všeobecné pravidlo integrácia racionálnych zlomkov
polynóm stupňa n. Zlomkovo-racionálna funkcia Zlomkovo-racionálna funkcia je funkcia rovný pomeru dva polynómy: Racionálny zlomok sa nazýva vlastný, ak je stupeň čitateľa menší ako stupeň menovateľa, teda m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P
Zlomková – racionálna funkcia Redukovať nesprávny zlomok Komu správny druh: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x 2x3 x 34
Najjednoduchšie racionálne zlomky Vlastné racionálne zlomky tvaru: Nazývajú sa najjednoduchšie racionálne zlomky typov. sekera A); 2(Nkk ax Ak)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,
Rozklad racionálneho zlomku na jednoduché zlomky Veta: Akýkoľvek vlastný racionálny zlomok, ktorého menovateľ je rozkladaný na faktor:, môže byť navyše reprezentovaný jedinečným spôsobom vo forme súčtu jednoduchých zlomkov: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11) (qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)
Rozklad racionálneho zlomku na jednoduché zlomky Vysvetlíme si formuláciu vety v nasledujúce príklady: Na zistenie neistých koeficientov A, B, C, D... sa používajú dve metódy: metóda porovnávania koeficientov a metóda parciálnych hodnôt premenných. Pozrime sa na prvý spôsob pomocou príkladu. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x
Rozklad racionálneho zlomku na jednoduché zlomky Zlomok prezentujte ako súčet jednoduchých zlomkov: Najjednoduchšie zlomky priveďte k spoločnému menovateľovi Vyrovnajte čitateľov výsledného a pôvodného zlomku Vyrovnajte koeficienty pri rovnakých mocninách x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x
Integrácia najjednoduchších zlomkov Nájdite integrály najjednoduchších racionálnych zlomkov: Pozrime sa na integráciu zlomkov typu 3 na príklade. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. Ak
Integrácia jednoduchých zlomkovdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1 (3 2 dt t t 9 23 2 9 23 2 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln.
Integrácia jednoduchých zlomkov Integrál tohto typu pomocou substitúcie: zredukované na súčet dvoch integrálov: Prvý integrál sa vypočíta zavedením t pod diferenciálne znamienko. Druhý integrál sa vypočíta pomocou rekurentného vzorca: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk pri dt N pri dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt
Integrácia jednoduchých zlomkov a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t t tarctg 2223)1)(13(2 2232 t2 3) Ctg (4)1(
Všeobecné pravidlo pre integrovanie racionálnych zlomkov Ak je zlomok nevlastný, reprezentujte ho ako súčet polynómu a správny zlomok. Po rozklade menovateľa správneho racionálneho zlomku ho reprezentujte ako súčet jednoduchých zlomkov s neurčitými koeficientmi Nájdite neisté šance metóda porovnávania koeficientov alebo metóda parciálnych hodnôt premennej. Integrujte polynóm a výsledný súčet jednoduchých zlomkov.
Príklad Dajme zlomok v správnom tvare. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 x 48 x 2 x 5 105 23 48 2 x x
Príklad Rozložme menovateľ vlastného zlomku na faktor Zlomok predstavme ako súčet jednoduchých zlomkov Nájdite neurčené koeficienty metódou parciálnych hodnôt premennej xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2 )1(1 x C x Š x A 2 2)1 ()1 (xx Cxx. Bxx. A 48)1()1 (22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx
Príklad dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln
Tu uvádzame podrobné riešenia tri príklady integrácie nasledujúcich racionálnych zlomkov:
,
,
.
Príklad 1
Vypočítajte integrál:
.
Riešenie
Tu sa pod integrálnou značkou nachádza racionálna funkcia, keďže integrand je zlomok polynómov. Stupeň polynómu menovateľa ( 3 ) je menší ako stupeň polynómu čitateľa ( 4 ). Preto najprv musíte vybrať celú časť zlomku.
1.
Vyberieme celú časť zlomku. Deliť x 4
od x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:
Odtiaľ
.
2.
Rozložme menovateľa zlomku na faktor. Aby ste to dosiahli, musíte vyriešiť kubickú rovnicu:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6
.
Nahradíme x = 1
:
.
1
. Deliť x - 1
:
Odtiaľ
.
Riešenie kvadratickej rovnice.
.
Korene rovnice sú: , .
Potom
.
3.
Rozložme zlomok na najjednoduchšiu formu.
.
Tak sme našli:
.
Poďme sa integrovať.
Odpoveď
Príklad 2
Vypočítajte integrál:
.
Riešenie
Tu je čitateľom zlomku polynóm nultého stupňa ( 1 = x 0). Menovateľ je polynóm tretieho stupňa. Pretože 0 < 3 , potom je zlomok správny. Poďme si to rozložiť na jednoduché zlomky.
1.
Rozložme menovateľa zlomku na faktor. Aby ste to dosiahli, musíte vyriešiť rovnicu tretieho stupňa:
.
Predpokladajme, že má aspoň jednu celý koreň. Potom je to deliteľ čísla 3
(člen bez x). To znamená, že celý koreň môže byť jedným z čísel:
1, 3, -1, -3
.
Nahradíme x = 1
:
.
Takže sme našli jeden koreň x = 1
. Deliť x 3 + 2 x - 3 na x - 1
:
takže,
.
Riešenie kvadratickej rovnice:
X 2 + x + 3 = 0.
Nájdite diskriminant: D = 1 2 - 4 3 = -11. Keďže D< 0
, potom rovnica nemá skutočné korene. Takto sme získali faktorizáciu menovateľa:
.
2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1)
.
Nahradíme x = 1
. Potom x- 1 = 0
,
.
Poďme nahradiť (2.1)
x = 0
:
1 = 3 A - C;
.
Prirovnajme sa (2.1)
koeficienty pre x 2
:
;
0 = A + B;
.
.
3.
Poďme sa integrovať.
(2.2)
.
Na výpočet druhého integrálu izolujeme deriváciu menovateľa v čitateli a menovateľa zredukujeme na súčet druhých mocnín.
;
;
.
Vypočítajte I 2
.
.
Keďže rovnica x 2 + x + 3 = 0 nemá skutočné korene, potom x 2 + x + 3 > 0. Znak modulu preto možno vynechať.
Dodávame do (2.2)
:
.
Odpoveď
Príklad 3
Vypočítajte integrál:
.
Riešenie
Tu pod znamienkom integrálu je zlomok polynómov. Preto je integrand racionálna funkcia. Stupeň polynómu v čitateli sa rovná 3 . Stupeň polynómu menovateľa zlomku sa rovná 4 . Pretože 3 < 4 , potom je zlomok správny. Preto sa dá rozložiť na jednoduché zlomky. Ale aby ste to urobili, musíte rozdeliť menovateľ na faktor.
1.
Rozložme menovateľa zlomku na faktor. Aby ste to dosiahli, musíte vyriešiť rovnicu štvrtého stupňa:
.
Predpokladajme, že má aspoň jeden celý koreň. Potom je to deliteľ čísla 2
(člen bez x). To znamená, že celý koreň môže byť jedným z čísel:
1, 2, -1, -2
.
Nahradíme x = -1
:
.
Takže sme našli jeden koreň x = -1
. Deliť x - (-1) = x + 1:
takže,
.
Teraz musíme vyriešiť rovnicu tretieho stupňa:
.
Ak predpokladáme, že táto rovnica má celočíselný koreň, potom je deliteľom čísla 2
(člen bez x). To znamená, že celý koreň môže byť jedným z čísel:
1, 2, -1, -2
.
Nahradíme x = -1
:
.
Takže sme našli ďalší koreň x = -1
. Bolo by možné, ako v predchádzajúcom prípade, rozdeliť polynóm číslom , ale zoskupíme členy:
.
Keďže rovnica x 2 + 2 = 0
nemá žiadne skutočné korene, potom dostaneme faktorizáciu menovateľa:
.
2.
Rozložme zlomok na najjednoduchšiu formu. Hľadáme rozšírenie vo forme:
.
Zbavíme sa menovateľa zlomku, vynásobíme (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1)
.
Nahradíme x = -1
. Potom x + 1 = 0
,
.
Poďme rozlišovať (3.1)
:
;
.
Nahradíme x = -1
a vziať do úvahy, že x + 1 = 0
:
;
;
.
Poďme nahradiť (3.1)
x = 0
:
0 = 2 A + 2 B + D;
.
Prirovnajme sa (3.1)
koeficienty pre x 3
:
;
1 = B + C;
.
Zistili sme teda rozklad na jednoduché zlomky:
.
3.
Poďme sa integrovať.
.
