Ako dokázať zvláštnosť funkcie. Funkčný výskum

Skryť reláciu

Spôsoby nastavenia funkcie

Nech je funkcia daná vzorcom: y=2x^(2)-3 . Priradením ľubovoľnej hodnoty nezávislej premennej x môžete tento vzorec použiť na výpočet zodpovedajúcich hodnôt závislej premennej y. Napríklad, ak x=-0,5 , potom pomocou vzorca dostaneme, že zodpovedajúca hodnota y je y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 .

Vzhľadom na akúkoľvek hodnotu získanú argumentom x vo vzorci y=2x^(2)-3 možno vypočítať iba jednu funkčnú hodnotu, ktorá jej zodpovedá. Funkcia môže byť reprezentovaná ako tabuľka:

X	−2	−1	0	1	2	3
r	−4	−3	−2	−1	0	1

Pomocou tejto tabuľky môžete zistiť, že pre hodnotu argumentu -1 bude zodpovedať hodnota funkcie -3; a hodnota x=2 bude zodpovedať y=0 atď. Je tiež dôležité vedieť, že každá hodnota argumentu v tabuľke zodpovedá iba jednej funkčnej hodnote.

Viac funkcií je možné nastaviť pomocou grafov. Pomocou grafu sa zistí, ktorá hodnota funkcie koreluje s určitou hodnotou x. Najčastejšie to bude približná hodnota funkcie.

Párna a nepárna funkcia

Funkcia je dokonca funkciu, keď f(-x)=f(x) pre ľubovoľné x z domény. Takáto funkcia bude symetrická okolo osi Oy.

Funkcia je nepárna funkcia keď f(-x)=-f(x) pre ľubovoľné x v doméne. Takáto funkcia bude symetrická okolo začiatku O (0;0) .

Funkcia je ani, ani nepárne a volal funkciu všeobecný pohľad keď nemá symetriu okolo osi alebo pôvodu.

Skúmame nasledujúcu funkciu pre paritu:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) so symetrickou doménou definície pôvodu. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Preto je funkcia f(x)=3x^(3)-7x^(7) nepárna.

Periodická funkcia

Funkcia y=f(x) , v ktorej obore f(x+T)=f(x-T)=f(x) platí pre ľubovoľné x, sa nazýva periodická funkcia s periódou T \neq 0 .

Opakovanie grafu funkcie na ľubovoľnom segmente osi x, ktorý má dĺžku T .

Intervaly, kde je funkcia kladná, to znamená f (x) > 0 - segmenty osi x, ktoré zodpovedajú bodom grafu funkcie, ktoré ležia nad osou x.

f(x) > 0 zapnuté (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Medzery, kde je funkcia záporná, t.j. f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \pohár (x_(2); x_(3))

Obmedzenie funkcie

ohraničené zdola je zvykom volať funkciu y=f(x), x \in X, keď existuje číslo A, pre ktoré platí nerovnosť f(x) \geq A pre ľubovoľné x \in X .

Príklad funkcie ohraničenej nižšie: y=\sqrt(1+x^(2)) keďže y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 pre ľubovoľné x .

ohraničené zhora funkcia y=f(x), x \in X sa volá, ak existuje číslo B, pre ktoré platí nerovnosť f(x) \neq B pre ľubovoľné x \in X .

Príklad funkcie ohraničenej nižšie: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] keďže y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 pre ľubovoľné x \in [-1;1] .

Obmedzené je zvykom volať funkciu y=f(x), x \in X, keď existuje číslo K > 0, pre ktoré platí nerovnosť \left | f(x) \vpravo | \neq K pre ľubovoľné x \in X .

Príklad obmedzená funkcia: y=\sin x je celé obmedzené číselná os, pretože \left | \sin x \right | \neq 1.

Zvyšovanie a znižovanie funkcie

Je zvykom hovoriť o funkcii, ktorá narastá na uvažovanom intervale ako zvýšenie funkcie potom, keď väčšiu hodnotu x bude zodpovedať väčšej hodnote funkcie y=f(x) . Odtiaľ sa ukazuje, že ak vezmeme z uvažovaného intervalu dve ľubovoľné hodnoty argumentu x_(1) a x_(2) a x_(1) > x_(2) , bude to y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Volá sa funkcia, ktorá klesá v uvažovanom intervale klesajúca funkcia potom, keď bude väčšia hodnota x zodpovedať nižšia hodnota funkcie y(x) . Odtiaľ sa ukazuje, že ak vezmeme z uvažovaného intervalu dve ľubovoľné hodnoty argumentu x_(1) a x_(2) a x_(1) > x_(2) , bude to y(x_(1))< y(x_{2}) .

Korene funkcie je zvykom pomenovať body, v ktorých funkcia F=y(x) pretína os x (získame ich ako výsledok riešenia rovnice y(x)=0 ).

a) Ak je pre x > 0 dokonca funkciu sa zväčšuje, potom klesá pri x< 0

b) Keď párna funkcia klesá pre x > 0, potom sa zvyšuje pre x< 0

c) Keď je x > 0 nepárna funkcia zvyšuje, potom sa zvyšuje aj pre x< 0

d) Keď sa nepárna funkcia zníži pre x > 0, potom sa zníži aj pre x< 0

Funkčné extrémy

Minimálny bod funkcie y=f(x) je zvykom nazývať taký bod x=x_(0) , v ktorom jeho okolie bude mať ďalšie body (okrem bodu x=x_(0) ), a pre ne potom nerovnosť f( x) > f (x_(0)) . y_(min) - označenie funkcie v bode min.

Maximálny bod funkcie y=f(x) je zvykom nazývať taký bod x=x_(0) , v ktorom jeho okolie bude mať ďalšie body (okrem bodu x=x_(0) ), a potom nerovnosť f(x) bude pre nich spokojný< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Nevyhnutná podmienka

Podľa Fermatovej vety: f"(x)=0, potom keď funkcia f(x) , ktorá je diferencovateľná v bode x_(0) , objaví sa v tomto bode extrém.

Dostatočný stav

Keď sa znamienko derivácie zmení z plus na mínus, potom x_(0) bude minimálny bod;
x_(0) - bude maximálnym bodom iba vtedy, keď derivácia pri prechode zmení znamienko z mínus na plus stacionárny bod x_(0) .

Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie na intervale

Kroky výpočtu:

Hľadá sa derivácia f"(x) ;
Nájdu sa stacionárne a kritické body funkcie a vyberú sa tie, ktoré patria do intervalu;
Hodnoty funkcie f(x) sa nachádzajú v stacionárnych a kritických bodov a konce segmentu. Najmenší z výsledkov bude najmenšia hodnota funkcie, a viac - najväčší.

dokonca, ak pre všetky \(x\) z jeho domény platí: \(f(-x)=f(x)\) .

Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi \(y\):

Príklad: funkcia \(f(x)=x^2+\cos x\) je párna, pretože \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Zavolá sa funkcia \(f(x)\). zvláštny, ak pre všetky \(x\) z jeho domény platí: \(f(-x)=-f(x)\) .

Graf nepárnej funkcie je symetrický vzhľadom na počiatok:

Príklad: funkcia \(f(x)=x^3+x\) je nepárna, pretože \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Funkcie, ktoré nie sú párne ani nepárne, sa nazývajú generické funkcie. Takáto funkcia môže byť vždy jednoznačne reprezentovaná ako súčet párnej a nepárnej funkcie.

Napríklad funkcia \(f(x)=x^2-x\) je súčtom párnej funkcie \(f_1=x^2\) a nepárnej funkcie \(f_2=-x\) .

\(\blacktriangleright\) Niektoré vlastnosti:

1) Súčin a podiel dvoch funkcií rovnakej parity je párna funkcia.

2) Súčin a kvocient dvoch funkcií rôznej parity je nepárna funkcia.

3) Súčet a rozdiel párnych funkcií je párna funkcia.

4) Súčet a rozdiel nepárnych funkcií je nepárna funkcia.

5) Ak \(f(x)\) je párna funkcia, potom rovnica \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) má jedinečný koreň vtedy a len vtedy, keď \(x =0\) .

6) Ak \(f(x)\) je párna alebo nepárna funkcia a rovnica \(f(x)=0\) má koreň \(x=b\) , potom táto rovnica bude mať nevyhnutne druhý koreň \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) Funkcia \(f(x)\) sa nazýva periodická na \(X\), ak pre nejaké číslo \(T\ne 0\) máme \(f(x)=f(x+ T) \), kde \(x, x+T\v X\) . Najmenšia \(T\) , pre ktorú táto rovnosť platí, sa nazýva hlavná (základná) perióda funkcie.

O periodická funkciaľubovoľné číslo v tvare \(nT\) , kde \(n\in \mathbb(Z)\) bude tiež bodka.

Príklad: akýkoľvek goniometrická funkcia je periodický;
funkcie \(f(x)=\sin x\) a \(f(x)=\cos x\) hlavné obdobie sa rovná \(2\pi\) , hlavná perióda funkcií \(f(x)=\mathrm(tg)\,x\) a \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x \) je \ (\pi\) .

Ak chcete vykresliť periodickú funkciu, môžete vykresliť jej graf na ľubovoľný segment dĺžky \(T\) (hlavná perióda); potom sa graf celej funkcie dokončí posunutím zostrojenej časti o celý počet období doprava a doľava:

\(\blacktriangleright\) Oblasť \(D(f)\) funkcie \(f(x)\) je množina pozostávajúca zo všetkých hodnôt argumentu \(x\), pre ktoré má funkcia zmysel (je definovaný).

Príklad: funkcia \(f(x)=\sqrt x+1\) má doménu definície: \(x\in

Úloha 1 #6364

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Pre aké hodnoty parametra \(a\) platí rovnica

Má jediné rozhodnutie?

Všimnite si, že keďže \(x^2\) a \(\cos x\) sú párne funkcie, ak má rovnica koreň \(x_0\) , bude mať aj koreň \(-x_0\) .
Nech je \(x_0\) koreň, teda rovnosť \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) správny. Nahradiť \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Ak teda \(x_0\ne 0\) , rovnica už bude mať aspoň dva korene. Preto \(x_0=0\) . potom:

Získali sme dve hodnoty parametrov \(a\) . Všimnite si, že sme použili skutočnosť, že \(x=0\) je presne koreňom pôvodnej rovnice. Ale nikdy sme nevyužili to, že je jediný. Preto je potrebné dosadiť výsledné hodnoty parametra \(a\). pôvodná rovnica a skontrolujte, pre ktorý presne \(a\) bude koreň \(x=0\) skutočne jedinečný.

1) Ak \(a=0\) , potom rovnica bude mať tvar \(2x^2=0\) . Je zrejmé, že táto rovnica má iba jeden koreň \(x=0\) . Preto nám vyhovuje hodnota \(a=0\).

2) Ak \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , potom rovnica nadobudne tvar \ Rovnicu prepíšeme do tvaru \ Pretože \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), potom \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Preto hodnoty na pravej strane rovnice (*) patria do segmentu \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Keďže \(x^2\geqslant 0\) , potom ľavá strana rovnica (*) je väčšia alebo rovná \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Rovnosť (*) teda môže platiť iba vtedy, keď sa obe strany rovnice rovnajú \(\mathrm(tg)^2\,1\) . A to znamená, že \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Preto nám vyhovuje hodnota \(a=-\mathrm(tg)\,1\).

odpoveď:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Úloha 2 #3923

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Nájdite všetky hodnoty parametra \(a\) , pre každú z nich graf funkcie \

symetrické podľa pôvodu.

Ak je graf funkcie symetrický vzhľadom na počiatok, potom je takáto funkcia nepárna, to znamená, že \(f(-x)=-f(x)\) je splnené pre ľubovoľné \(x\) z doména funkcie. Preto je potrebné nájsť tie hodnoty parametrov, pre ktoré \(f(-x)=-f(x).\)

\[\začiatok(zarovnané) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(zarovnané)\]

Posledná rovnica musí platiť pre všetky \(x\) z domény \(f(x)\), teda \(\sin(2\pi a)=0 \šípka doprava a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

odpoveď:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Úloha 3 #3069

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Nájdite všetky hodnoty parametra \(a\) , pre každé z nich má rovnica \ 4 riešenia, kde \(f\) je párna periodická funkcia s periódou \(T=\dfrac(16)3\) definované na celej skutočnej čiare a \(f(x)=ax^2\) pre \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Úloha od predplatiteľov)

Keďže \(f(x)\) je párna funkcia, jej graf je symetrický vzhľadom na os y, teda keď \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Teda pri \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) a toto je segment dĺžky \(\dfrac(16)3\) , funkcia \(f(x)=ax^2\) .

1) Nech \(a>0\) . Potom bude graf funkcie \(f(x)\) vyzerať takto:

Potom, aby rovnica mala 4 riešenia, je potrebné, aby graf \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) prechádzal bodom \(A\) :

v dôsledku toho \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(zhromaždené)\begin(zarovnané) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a \end(zarovnané) \end(zhromaždené)\vpravo. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(zhromaždené)\begin(zarovnané) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(zarovnané) \end( zhromaždené)\vpravo.\] Keďže \(a>0\) , potom \(a=\dfrac(18)(23)\) je v poriadku.

2) Nechajte \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:

Potrebujeme, aby graf \(g(x)\) prešiel bodom \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(zhromaždené)\begin(zarovnané) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(zarovnané) \end(zhromaždené)\vpravo.\] Keďže \(a<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Prípad, keď \(a=0\) nie je vhodný, pretože potom \(f(x)=0\) pre všetky \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) a The rovnica bude mať iba 1 koreň.

odpoveď:

\(a\v \vľavo\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\vpravo\)\)

Úloha 4 #3072

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Nájdite všetky hodnoty \(a\) , pre každú z nich rovnicu \

má aspoň jeden koreň.

(Úloha od predplatiteľov)

Rovnicu prepíšeme do tvaru \ a zvážte dve funkcie: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) a \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
Funkcia \(g(x)\) je párna, má minimálny bod \(x=0\) (a \(g(0)=49\) ).
Funkcia \(f(x)\) pre \(x>0\) je klesajúca a pre \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
V skutočnosti sa pre \(x>0\) druhý modul rozšíri kladne (\(|x|=x\) ), preto bez ohľadu na to, ako sa rozšíri prvý modul, \(f(x)\) sa bude rovnať \ ( kx+A\) , kde \(A\) je výraz z \(a\) a \(k\) sa rovná buď \(-9\) alebo \(-3\) . Pre \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Nájdite hodnotu \(f\) v maximálnom bode: \

Aby rovnica mala aspoň jedno riešenie, je potrebné, aby grafy funkcií \(f\) a \(g\) mali aspoň jeden priesečník. Preto potrebujete: \ \\]

odpoveď:

\(a\v \(-7\)\poháre\)

Úloha 5 #3912

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Nájdite všetky hodnoty parametra \(a\) , pre každú z nich rovnicu \

má šesť rôznych riešení.

Urobme substitúciu \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Potom bude mať rovnica tvar \ Postupne vypíšeme podmienky, za ktorých bude mať pôvodná rovnica šesť riešení.
Všimnite si, že kvadratická rovnica \((*)\) môže mať najviac dve riešenia. Každá kubická rovnica \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) nemôže mať viac ako tri riešenia. Preto, ak rovnica \((*)\) má dve rôzne riešenia (kladné!, pretože \(t\) musí byť väčšie ako nula) \(t_1\) a \(t_2\) , potom, keď urobíte opak substitúciou, dostaneme: \[\left[\begin(zhromaždené)\begin(zarovnané) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\koniec (zarovnané)\koniec (zhromaždené)\vpravo.\] Pretože každé kladné číslo môže byť do určitej miery reprezentované ako \(\sqrt2\), napr. \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), potom sa prvá rovnica množiny prepíše do tvaru \ Ako sme už povedali, žiadna kubická rovnica nemá viac ako tri riešenia, preto každá rovnica z množiny nebude mať viac ako tri riešenia. To znamená, že celý súbor nebude mať viac ako šesť riešení.
To znamená, že na to, aby mala pôvodná rovnica šesť riešení, kvadratická rovnica \((*)\) musí mať dve rôzne riešenia a každá výsledná kubická rovnica (z množiny) musí mať tri rôzne riešenia (a nie jediné riešenie jednej rovnice by sa malo zhodovať s ktorou - alebo rozhodnutím druhej!)
Je zrejmé, že ak má kvadratická rovnica \((*)\) jedno riešenie, potom nedostaneme šesť riešení pre pôvodnú rovnicu.

Plán riešenia je teda jasný. Bod po bode si vypíšme podmienky, ktoré musia byť splnené.

1) Aby rovnica \((*)\) mala dve rôzne riešenia, jej diskriminant musí byť kladný: \

2) Potrebujeme tiež, aby oba korene boli kladné (pretože \(t>0\) ). Ak je súčin dvoch koreňov kladný a ich súčet kladný, potom samotné korene budú kladné. Preto potrebujete: \[\začiatok(prípady) 12-a>0\\-(a-10)>0\koniec (prípady)\štvorica\šípka vľavo\štvorica a<10\]

Takto sme si už poskytli dva odlišné kladné korene \(t_1\) a \(t_2\) .

3) Pozrime sa na túto rovnicu \ Na čo \(t\) bude mať tri rôzne riešenia?
Zvážte funkciu \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Dá sa znásobiť: \ Preto sú jeho nuly: \(x=-1;2\) .
Ak nájdeme deriváciu \(f"(x)=3x^2-6x\) , dostaneme dva krajné body \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Graf teda vyzerá takto:

Vidíme, že akákoľvek vodorovná čiara \(y=k\) , kde \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) má tri rôzne riešenia, je potrebné, aby \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Potrebujete teda: \[\begin(cases) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Hneď si tiež všimnime, že ak sa čísla \(t_1\) a \(t_2\) líšia, potom čísla \(\log_(\sqrt2)t_1\) a \(\log_(\sqrt2)t_2\) budú byť odlišné, takže rovnice \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) a \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) bude mať iné korene.
Systém \((**)\) je možné prepísať takto: \[\začiatok(prípady) 1

Takto sme určili, že oba korene rovnice \((*)\) musia ležať v intervale \((1;4)\) . Ako napísať túto podmienku?
Korene nebudeme výslovne vypisovať.
Uvažujme funkciu \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Jeho grafom je parabola s vetvami nahor, ktorá má dva priesečníky s osou x (túto podmienku sme napísali v odseku 1)). Ako by mal vyzerať jeho graf, aby priesečníky s osou x boli v intervale \((1;4)\) ? Takže:

Po prvé, hodnoty \(g(1)\) a \(g(4)\) funkcie v bodoch \(1\) a \(4\) musia byť kladné, a po druhé, vrchol funkcie parabola \(t_0\ ) musí byť tiež v intervale \((1;4)\) . Preto môže byť systém napísaný: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) má vždy aspoň jeden koreň \(x=0\) . Takže na splnenie podmienky problému je potrebné, aby rovnica \

mal štyri odlišné nenulové korene, ktoré spolu s \(x=0\) predstavujú aritmetickú progresiu.

Všimnite si, že funkcia \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) je párna, takže ak \(x_0\) je koreňom rovnice \((* )\ ), potom \(-x_0\) bude tiež jeho koreňovým adresárom. Potom je potrebné, aby korene tejto rovnice boli čísla zoradené vzostupne: \(-2d, -d, d, 2d\) (potom \(d>0\) ). Potom týchto päť čísel vytvorí aritmetickú postupnosť (s rozdielom \(d\) ).

Aby tieto korene boli číslami \(-2d, -d, d, 2d\) , je potrebné, aby čísla \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) boli koreňmi rovnica \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Potom podľa Vietovej vety:

Rovnicu prepíšeme do tvaru \ a zvážte dve funkcie: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) a \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
Funkcia \(g(x)\) má maximálny bod \(x=0\) (a \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Nulová derivácia: \(x=0\) . Pre \(x<0\) имеем: \(g">0\), pre \(x>0\) : \(g"<0\) .
Funkcia \(f(x)\) pre \(x>0\) je rastúca a pre \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
V skutočnosti sa pre \(x>0\) prvý modul rozšíri kladne (\(|x|=x\) ), preto bez ohľadu na to, ako sa rozšíri druhý modul, \(f(x)\) sa bude rovnať \ ( kx+A\) , kde \(A\) je výraz z \(a\) a \(k\) je buď \(13-10=3\) alebo \(13+10=23\) . Pre \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Nájdite hodnotu \(f\) v minimálnom bode: \

Aby rovnica mala aspoň jedno riešenie, je potrebné, aby grafy funkcií \(f\) a \(g\) mali aspoň jeden priesečník. Preto potrebujete: \ Vyriešením tejto sady systémov dostaneme odpoveď: \\]

odpoveď:

\(a\v \(-2\)\poháre\)

Funkčný výskum.

1) D(y) - Definičná oblasť: množina všetkých týchto hodnôt premennej x. podľa ktorých dávajú zmysel algebraické výrazy f(x) a g(x).

Ak je funkcia daná vzorcom, potom oblasť definície pozostáva zo všetkých hodnôt nezávislej premennej, pre ktoré má vzorec zmysel.

2) Vlastnosti funkcie: párne/nepárne, periodicita:

zvláštny a dokonca sa nazývajú funkcie, ktorých grafy sú symetrické vzhľadom na zmenu znamienka argumentu.

nepárna funkcia- funkcia, ktorá pri zmene znamienka nezávislej premennej mení hodnotu na opačnú (symetrickú podľa stredu súradníc).

Dokonca aj funkcia- funkcia, ktorá nemení svoju hodnotu pri zmene znamienka nezávisle premennej (symetrická podľa osi y).

Ani párna, ani nepárna funkcia (všeobecná funkcia) je funkcia, ktorá nemá symetriu. Táto kategória obsahuje funkcie, ktoré nespadajú pod predchádzajúce 2 kategórie.

Volajú sa funkcie, ktoré nepatria do žiadnej z vyššie uvedených kategórií ani párne, ani nepárne(alebo generické funkcie).

Nepárne funkcie

Nepárna mocnina kde je ľubovoľné celé číslo.

Dokonca aj funkcie

Párna mocnina kde je ľubovoľné celé číslo.

Periodická funkcia je funkcia, ktorá opakuje svoje hodnoty v určitom pravidelnom intervale argumentu, t.j. nemení svoju hodnotu, keď sa do argumentu pridá nejaké pevné nenulové číslo ( obdobie funkcie) v celej oblasti definície.

3) Nuly (korene) funkcie sú body, v ktorých zaniká.

Nájdenie priesečníka grafu s osou Oj. Aby ste to dosiahli, musíte vypočítať hodnotu f(0). Nájdite tiež priesečníky grafu s osou Vôl, prečo nájsť korene rovnice f(X) = 0 (alebo sa uistite, že neexistujú žiadne korene).

Body, v ktorých graf pretína os, sa nazývajú funkčné nuly. Ak chcete nájsť nuly funkcie, musíte vyriešiť rovnicu, teda nájsť tie hodnoty x, pre ktoré funkcia zaniká.

4) Intervaly stálosti znakov, znaky v nich.

Intervaly, kde si funkcia f(x) zachováva svoje znamienko.

Interval stálosti je interval v každom bode, v ktorom funkcia je pozitívna alebo negatívna.

NAD osou x.

POD osou.

5) Spojitosť (body diskontinuity, charakter diskontinuity, asymptoty).

nepretržitá funkcia- funkcia bez "skokov", teda taká, pri ktorej malé zmeny v argumente vedú k malým zmenám v hodnote funkcie.

Odnímateľné prerušovacie body

Ak je limita funkcie existuje, ale funkcia nie je v tomto bode definovaná alebo limit nezodpovedá hodnote funkcie v tomto bode:

potom sa bod nazýva bod zlomu funkcie (v komplexnej analýze odnímateľný singulárny bod).

Ak funkciu "opravíme" v mieste odnímateľnej diskontinuity a položíme , potom dostaneme funkciu, ktorá je v tomto bode spojitá. Takáto operácia s funkciou sa nazýva rozšírenie funkcie na nepretržitú alebo rozšírenie funkcie o spojitosť, ktorý odôvodňuje názov bodu, ako body jednorazové medzera.

Body diskontinuity prvého a druhého druhu

Ak má funkcia v danom bode diskontinuitu (to znamená, že limita funkcie v danom bode chýba alebo sa nezhoduje s hodnotou funkcie v danom bode), potom pre numerické funkcie existujú dve možné možnosti: súvisí s existenciou numerických funkcií jednostranné limity:

ak obe jednostranné limity existujú a sú konečné, potom sa takýto bod nazýva bod zlomu prvého druhu. Odnímateľné body diskontinuity sú body diskontinuity prvého druhu;

ak aspoň jedna z jednostranných limitov neexistuje alebo nie je konečnou hodnotou, potom sa takýto bod nazýva bod zlomu druhého druhu.

Asymptota - rovno, ktorá má vlastnosť, že vzdialenosť od bodu krivky k tomuto rovno má tendenciu k nule, keď sa bod pohybuje pozdĺž vetvy do nekonečna.

vertikálne

Vertikálna asymptota - limitná čiara .

Spravidla pri určovaní vertikálnej asymptoty nehľadajú jednu limitu, ale dve jednostranné (ľavú a pravú). Toto sa robí s cieľom určiť, ako sa funkcia správa, keď sa približuje k vertikálnej asymptote z rôznych smerov. Napríklad:

Horizontálne

Horizontálna asymptota - rovno druhov, ktoré podliehajú existencii limit

šikmé

Šikmá asymptota - rovno druhov, ktoré podliehajú existencii limity

Poznámka: Funkcia nemôže mať viac ako dve šikmé (horizontálne) asymptoty.

Poznámka: ak aspoň jedna z dvoch limitov uvedených vyššie neexistuje (alebo sa rovná ), potom šikmá asymptota v (alebo ) neexistuje.

ak v položke 2.), potom , a limita sa nájde podľa vzorca horizontálnej asymptoty, .

6) Hľadanie intervalov monotónnosti. Nájdite intervaly monotónnosti funkcie f(X) (teda intervaly zvyšovania a znižovania). Robí sa to skúmaním znamienka derivácie f(X). Ak to chcete urobiť, nájdite derivát f(X) a vyriešte nerovnosť f(X)0. Na intervaloch, kde je táto nerovnosť splnená, funkcia f(X) zvyšuje. Kde platí obrátená nerovnosť f(X)0, funkcia f(X) klesá.

Nájdenie lokálneho extrému. Po nájdení intervalov monotónnosti môžeme okamžite určiť body lokálneho extrému, kde je nárast nahradený poklesom, existujú lokálne maximá a kde je pokles nahradený nárastom, lokálne minimá. Vypočítajte hodnotu funkcie v týchto bodoch. Ak má funkcia kritické body, ktoré nie sú lokálnymi extrémnymi bodmi, potom je užitočné vypočítať hodnotu funkcie aj v týchto bodoch.

Nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie y = f(x) na segmente(pokračovanie)

1. Nájdite deriváciu funkcie: f(X).

2. Nájdite body, kde je derivácia nula: f(X)=0X 1, X 2 ,...

3. Určite vlastníctvo bodov X 1 ,X 2 , … segment [ a; b]: nech X 1a;b, a X 2a;b .

Funkcia sa nazýva párna (nepárna), ak je akákoľvek a rovnosť

Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi
.

Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu.

Príklad 6.2. Preskúmajte párne alebo nepárne funkcie

1)
; 2)
; 3)
.

Riešenie.

1) Funkcia je definovaná pomocou
. Poďme nájsť
.

Tie.
. Táto funkcia je teda párna.

2) Funkcia je definovaná pre

Tie.
. Táto funkcia je teda zvláštna.

3) funkcia je definovaná pre , t.j. pre

,
. Preto funkcia nie je ani párna, ani nepárna. Nazvime to všeobecná funkcia.

3. Skúmanie funkcie pre monotónnosť.

Funkcia
sa nazýva zvyšovanie (klesanie) v určitom intervale, ak v tomto intervale každá väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej (menšej) hodnote funkcie.

Funkcie rastúce (klesajúce) v určitom intervale sa nazývajú monotónne.

Ak je funkcia
diferencovateľné na intervale
a má kladnú (negatívnu) deriváciu
, potom funkciu
v tomto intervale stúpa (klesá).

Príklad 6.3. Nájdite intervaly monotónnosti funkcií

1)
; 3)
.

Riešenie.

1) Táto funkcia je definovaná na celej číselnej osi. Poďme nájsť derivát.

Derivácia je nula, ak
a
. Oblasť definície - číselná os, delená bodmi
,
pre intervaly. Určme znamienko derivácie v každom intervale.

V intervale
derivácia je záporná, funkcia na tomto intervale klesá.

V intervale
derivácia je kladná, preto funkcia na tomto intervale rastie.

2) Táto funkcia je definovaná, ak
alebo

V každom intervale určíme znamienko štvorcovej trojčlenky.

Teda rozsah funkcie

Poďme nájsť derivát
,
, ak
, t.j.
, ale
. Určme znamienko derivácie v intervaloch
.

V intervale
derivácia je záporná, preto funkcia na intervale klesá
. V intervale
derivácia je kladná, funkcia na intervale rastie
.

4. Skúmanie funkcie pre extrém.

Bodka
sa nazýva maximálny (minimálny) bod funkcie
, ak existuje takéto okolie bodu že pre všetkých
toto okolie spĺňa nerovnosť

.

Maximálne a minimálne body funkcie sa nazývajú extrémne body.

Ak je funkcia
v bode má extrém, potom sa derivácia funkcie v tomto bode rovná nule alebo neexistuje (nevyhnutná podmienka existencie extrému).

Body, v ktorých sa derivácia rovná nule alebo neexistuje, sa nazývajú kritické.

5. Dostatočné podmienky pre existenciu extrému.

Pravidlo 1. Ak pri prechode (zľava doprava) cez kritický bod derivát
zmení znamienko z "+" na "-", potom na bod funkciu
má maximum; ak od "-" po "+", potom minimum; ak
nezmení znamienko, potom neexistuje extrém.

Pravidlo 2. Nech v bode
prvá derivácia funkcie
nula
a druhá derivácia existuje a je nenulová. Ak
, potom je maximálny bod, ak
, potom je minimálny bod funkcie.

Príklad 6.4 . Preskúmajte maximálne a minimálne funkcie:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Riešenie.

1) Funkcia je definovaná a spojitá na intervale
.

Poďme nájsť derivát
a vyriešiť rovnicu
, t.j.
.odtiaľ
sú kritické body.

Určme znamienko derivácie v intervaloch ,
.

Pri prechode cez body
a
derivácia mení znamienko z „-“ na „+“, preto podľa pravidla 1
sú minimálne body.

Pri prechode cez bod
derivácia mení znamienko z "+" na "-", takže
je maximálny bod.

,
.

2) Funkcia je definovaná a spojitá v intervale
. Poďme nájsť derivát
.

Riešením rovnice
, Nájsť
a
sú kritické body. Ak je menovateľ
, t.j.
, potom derivát neexistuje. takže,
je tretí kritický bod. Určme znamienko derivácie v intervaloch.