Od 5. ročníka sa žiaci začínajú oboznamovať s pojmom plochy rôznych tvarov. Osobitná úloha sa venuje oblasti obdĺžnika, pretože tento obrázok je jedným z najjednoduchších na štúdium.
Oblastné koncepty
Každá figúrka má svoju vlastnú plochu a výpočet plochy je založený na jednotkovom štvorci, teda štvorci s dlhou stranou 1 mm alebo 1 cm, 1 dm atď. Plocha takéhoto čísla sa rovná $1*1 = 1mm^2$ alebo $1cm^2$ atď. Plocha sa spravidla označuje písmenom – S.
Oblasť ukazuje veľkosť časti roviny, ktorú zaberá obrazec načrtnutý segmentmi.
Obdĺžnik je štvoruholník, v ktorom sú všetky uhly rovnakej miery a rovnajú sa 90 stupňom a protiľahlé strany sú rovnobežné a rovnaké v pároch.
Osobitná pozornosť by sa mala venovať jednotkám merania dĺžky a šírky. Musia sa zhodovať. Ak sa jednotky nezhodujú, prevedú sa. Spravidla prevedú väčšiu jednotku na menšiu, napríklad ak je dĺžka uvedená v dm a šírka v cm, potom sa dm prepočíta na cm a výsledkom bude $cm^2$.
Vzorec oblasti obdĺžnika
Ak chcete nájsť oblasť obdĺžnika bez vzorca, musíte spočítať počet jednotkových štvorcov, na ktoré je obrázok rozdelený.
Ryža. 1. Obdĺžnik rozdelený na jednotkové štvorce
Obdĺžnik je rozdelený na 15 štvorcov, to znamená, že jeho plocha je 15 cm2. Stojí za zmienku, že obrázok zaberá 3 štvorce na šírku a 5 na dĺžku, takže na výpočet počtu jednotkových štvorcov je potrebné vynásobiť dĺžku šírkou. Menšia strana štvoruholníka je šírka, tým dlhšia je dĺžka. Môžeme teda odvodiť vzorec pre oblasť obdĺžnika:
S = a · b, kde a,b sú šírka a dĺžka obrázku.
Napríklad, ak je dĺžka obdĺžnika 5 cm a šírka 4 cm, potom sa plocha bude rovnať 4 * 5 = 20 cm2.
Výpočet plochy obdĺžnika pomocou jeho uhlopriečky
Ak chcete vypočítať plochu obdĺžnika cez uhlopriečku, musíte použiť vzorec:
$$S = (1\over(2)) ⋅ d^2 ⋅ sin(α)$$
Ak úloha udáva hodnoty uhla medzi uhlopriečkami, ako aj hodnotu samotnej uhlopriečky, potom môžete vypočítať plochu obdĺžnika pomocou všeobecného vzorca pre ľubovoľné konvexné štvoruholníky.
Uhlopriečka je úsečka, ktorá spája opačné body obrazca. Uhlopriečky obdĺžnika sú rovnaké a priesečník je rozdelený na polovicu.
Ryža. 2. Obdĺžnik s nakreslenými uhlopriečkami
Príklady
Na posilnenie témy zvážte príklady úloh:
č. 1. Nájdite plochu záhradného pozemku rovnakého tvaru ako na obrázku.
Ryža. 3. Kreslenie problému
Riešenie:
Ak chcete odčítať plochu, musíte obrázok rozdeliť na dva obdĺžniky. Jeden z nich bude mať rozmery 10 m a 3 m, druhý 5 m a 7 m Samostatne nájdeme ich plochy:
$S_1 = 3*10=30 m^2$;
Bude to plocha záhradného pozemku $S = 65 m^2 $.
č. 2. Odčítajte plochu obdĺžnika, ak je daná jeho uhlopriečka d = 6 cm a uhol medzi uhlopriečkami α = 30 0.
Riešenie:
Hodnota $sin 30 =(1\over(2)) $,
$ S =(1\over(2))⋅ d^2 ⋅ sinα$
$S =(1\nad(2)) * 6^2 * (1\nad(2)) =9 cm^2$
Teda $S=9 cm^2$.
Uhlopriečky rozdeľujú obdĺžnik na 4 tvary - 4 trojuholníky. V tomto prípade sú trojuholníky v pároch rovnaké. Ak nakreslíte uhlopriečku v obdĺžniku, rozdelí obrázok na dva rovnaké pravouhlé trojuholníky. Priemerné hodnotenie: 4.4. Celkový počet získaných hodnotení: 214.
Inštrukcie
Napríklad viete, že dĺžka jednej zo strán (a) je 7 cm a obvod obdĺžnik(P) sa rovná 20 cm obvodľubovoľného útvaru sa rovná súčtu dĺžok jeho strán a obdĺžnik opačné strany sú rovnaké, potom jeho obvod a bude vyzerať takto: P = 2 x (a + b), alebo P = 2a + 2b. Z tohto vzorca vyplýva, že dĺžku druhej strany (b) zistíte jednoduchou operáciou: b = (P – 2a) : 2. Takže v našom prípade bude strana b rovná (20 – 2 x 7): 2 = 3 cm.
Teraz, keď poznáte dĺžky oboch susedných strán (a a b), môžete ich dosadiť do plošného vzorca S = ab. V tomto prípade obdĺžnik sa bude rovnať 7x3 = 21. Upozorňujeme, že mernými jednotkami už nebudú , ale centimetre štvorcové, keďže ste navzájom vynásobili aj dĺžky dvoch strán ich merných jednotiek (centimetrov).
Zdroje:
- Aký je obvod obdĺžnika?
Plochá postava pozostávajúca zo štyroch strán a štyroch pravých uhlov. Zo všetkých postáv námestie obdĺžnik sa musia počítať častejšie ako ostatné. Toto a námestie byty, a námestie záhradný pozemok a námestie plochy stola alebo police. Napríklad, aby jednoducho vytapetovali miestnosť, vypočítajú námestie jeho pravouhlé steny.
Inštrukcie
Mimochodom, od obdĺžnik sa dá ľahko vypočítať námestie. Stačí doplniť ten obdĺžnikový obdĺžnik takže prepona sa stane diagonálou obdĺžnik. Potom to bude zrejmé námestie taký obdĺžnik sa rovná súčinu nôh trojuholníka a námestie samotného trojuholníka sa teda rovná polovici súčinu nôh.
Video k téme
Špeciálny prípad rovnobežníka – obdĺžnika – je známy len v euklidovskej geometrii. U obdĺžnik Všetky uhly sú rovnaké a každý z nich samostatne tvorí 90 stupňov. Na základe súkromných nehnuteľností obdĺžnik, a tiež z vlastností rovnobežníka možno zistiť rovnobežnosť protiľahlých strán strany obrazce pozdĺž daných uhlopriečok a uhol od ich priesečníka. Počítanie strán obdĺžnik je založená na dodatočných konštrukciách a aplikácii vlastností výsledných obrazcov.
Inštrukcie
Na označenie priesečníka uhlopriečok použite písmeno A. Zvážte EFA tvorené konštruktmi. Podľa majetku obdĺžnik jeho uhlopriečky sú rovnaké a rozpoltené priesečníkom A. Vypočítajte hodnoty FA a EA. Keďže trojuholník EFA je rovnoramenný a jeho strany EA a FA sú si navzájom rovné a zodpovedajú polovici uhlopriečky EG.
Ďalej vypočítajte prvý EF obdĺžnik. Táto strana je treťou neznámou stranou posudzovaného trojuholníka EFA. Podľa kosínusovej vety použite príslušný vzorec na nájdenie strany EF. Za týmto účelom nahraďte predtým získané hodnoty strán FA EA a kosínus známeho uhla medzi nimi α do kosínusového vzorca. Vypočítajte a zaznamenajte výslednú hodnotu EF.
Nájdite druhú stranu obdĺžnik F.G. Ak to chcete urobiť, zvážte ďalší trojuholník EFG. Je pravouhlá, kde je známa prepona EG a noha EF. Podľa Pytagorovej vety nájdite druhú vetvu FG pomocou príslušného vzorca.
Vzťahuje sa na najjednoduchšie ploché geometrické útvary a je jedným zo špeciálnych prípadov rovnobežníka. Charakteristickým znakom takéhoto rovnobežníka sú pravé uhly vo všetkých štyroch vrcholoch. Obmedzené stranami obdĺžnik námestie možno vypočítať niekoľkými spôsobmi, pomocou rozmerov jeho strán, uhlopriečok a uhlov medzi nimi, polomeru vpísanej kružnice atď.
Inštrukcie
Ak je známa veľkosť uhla (α), ktorý tvorí uhlopriečku obdĺžnik na jednej z jeho strán, ako aj dĺžku (C) tejto uhlopriečky, potom na výpočet plochy môžete použiť definície trigonometra v obdĺžniku. Pravý trojuholník tu tvoria dve strany štvoruholníka a jeho uhlopriečka. Z definície kosínusu vyplýva, že dĺžka jednej zo strán sa bude rovnať súčinu dĺžky uhlopriečky a uhla, hodnota je známa. Z definície sínusu môžeme odvodiť vzorec pre dĺžku druhej strany – rovná sa súčinu dĺžky uhlopriečky a sínusu toho istého uhla. Nahraďte tieto identity do vzorca z predchádzajúceho kroku a ukáže sa, že na nájdenie oblasti potrebujete vynásobiť sínus a kosínus známeho uhla, ako aj dĺžku uhlopriečky. obdĺžnik: S=sin(α)*cos(α)*С².
Ak okrem dĺžky uhlopriečky (C) obdĺžnik Ak je známa veľkosť uhla (β) vytvoreného uhlopriečkami, potom na výpočet plochy obrázku môžete použiť aj jednu z trigonometrických funkcií - sínus. Umocnite dĺžku uhlopriečky a výsledok vynásobte polovicou sínusu známeho uhla: S=С²*sin(β)/2.
Ak je známe (r) kruhu vpísaného do obdĺžnika, potom na výpočet plochy zvýšte túto hodnotu na druhú mocninu a zoštvornásobte výsledok: S=4*r². Štvoruholník, do ktorého je to možné, bude štvorec a dĺžka jeho strany sa rovná priemeru vpísanej kružnice, teda dvojnásobku polomeru. Vzorec sa získa dosadením dĺžok strán vyjadrených v polomere do identity z prvého kroku.
Ak sú známe dĺžky (P) a jedna zo strán (A). obdĺžnik, potom na zistenie plochy vo vnútri tohto obvodu vypočítajte polovicu súčinu dĺžky strany a rozdielu medzi dĺžkou obvodu a dvomi dĺžkami tejto strany: S=A*(P-2*A)/2.
Video k téme
Nielen študenti na hodinách geometrie stoja pred úlohou nájsť obvod alebo plochu mnohouholníka. Občas sa stane, že to vyrieši aj dospelý. Museli ste niekedy vypočítať potrebné množstvo tapety na izbu? Alebo ste možno zmerali dĺžku svojej letnej chaty, aby ste ju ohradili plotom? Znalosť základov geometrie je teda niekedy nevyhnutná pre realizáciu dôležitých projektov.
S konceptom sme sa už zoznámili oblasť postavy, naučil sa jednu z jednotiek merania plochy - štvorcový centimeter. V tejto lekcii odvodíme pravidlo, ako vypočítať plochu obdĺžnika.
Už vieme, ako nájsť oblasť čísel, ktoré sú rozdelené na centimetre štvorcové.
Napríklad:
Môžeme určiť, že plocha prvého obrázku je 8 cm 2, plocha druhého obrázku je 7 cm 2.
Ako nájsť oblasť obdĺžnika, ktorého strany sú dlhé 3 cm a 4 cm?
Aby sme problém vyriešili, rozdelíme obdĺžnik na 4 pásy po 3 cm 2 .
Potom sa plocha obdĺžnika bude rovnať 3 * 4 = 12 cm 2.
Rovnaký obdĺžnik je možné rozdeliť na 3 pásy po 4 cm 2 .
Potom sa plocha obdĺžnika bude rovnať 4 * 3 = 12 cm 2.
V oboch prípadoch Na nájdenie plochy obdĺžnika sa vynásobia čísla vyjadrujúce dĺžky strán obdĺžnika.
Nájdite oblasť každého obdĺžnika.
Zvážte obdĺžnik AKMO.
V jednom prúžku je 6 cm 2 a v tomto obdĺžniku sú 2 také prúžky, čo znamená, že môžeme vykonať nasledujúcu akciu:
Číslo 6 predstavuje dĺžku obdĺžnika a 2 predstavuje šírku obdĺžnika. Takže sme vynásobili strany obdĺžnika, aby sme našli oblasť obdĺžnika.
Zvážte obdĺžnik KDCO.
V obdĺžniku KDCO sú v jednom páse 2 cm 2 a sú tam 3 také pásy, takže môžeme vykonať akciu
Číslo 3 označuje dĺžku obdĺžnika a 2 šírku obdĺžnika. Vynásobili sme ich a zistili sme plochu obdĺžnika.
Môžeme skonštatovať: Ak chcete nájsť oblasť obdĺžnika, nemusíte obrázok zakaždým rozdeliť na centimetre štvorcové.
Ak chcete vypočítať plochu obdĺžnika, musíte nájsť jeho dĺžku a šírku (dĺžky strán obdĺžnika musia byť vyjadrené v rovnakých meracích jednotkách) a potom vypočítať súčin výsledných čísel (plocha budú vyjadrené v zodpovedajúcich jednotkách plochy)
Poďme si to zhrnúť: Plocha obdĺžnika sa rovná súčinu jeho dĺžky a šírky.
Vyrieš ten problém.
Vypočítajte plochu obdĺžnika, ak je dĺžka obdĺžnika 9 cm a šírka 2 cm.
Uvažujme takto. V tomto probléme je známa dĺžka aj šírka obdĺžnika. Preto sa riadime pravidlom: plocha obdĺžnika sa rovná súčinu jeho dĺžky a šírky.
Zapíšme si riešenie.
odpoveď: plocha obdĺžnika 18 cm 2
Aké ďalšie dĺžky strán obdĺžnika s takouto plochou si myslíte?
Môžete uvažovať takto. Keďže plocha je súčinom dĺžok strán obdĺžnika, musíte si zapamätať tabuľku násobenia. Aké čísla vynásobíme, aby sme dostali odpoveď 18?
Presne tak, keď vynásobíte 6 a 3, dostanete aj 18. To znamená, že obdĺžnik môže mať strany 6 cm a 3 cm a jeho plocha sa bude rovnať aj 18 cm 2.
Vyrieš ten problém.
Dĺžka obdĺžnika je 8 cm a šírka je 2 cm. Nájdite jeho plochu a obvod.
Poznáme dĺžku a šírku obdĺžnika. Je potrebné si zapamätať, že na nájdenie plochy je potrebné nájsť súčin jej dĺžky a šírky a na nájdenie obvodu je potrebné vynásobiť súčet dĺžky a šírky dvomi.
Zapíšme si riešenie.
odpoveď: Plocha obdĺžnika je 16 cm2 a obvod obdĺžnika je 20 cm.
Vyrieš ten problém.
Dĺžka obdĺžnika je 4 cm a šírka je 3 cm. Aká je plocha trojuholníka? (pozri obrázok)
Ak chcete odpovedať na otázku v probléme, musíte najprv nájsť oblasť obdĺžnika. Vieme, že na to potrebujeme vynásobiť dĺžku šírkou.
Pozrite sa na výkres. Všimli ste si, ako uhlopriečka rozdelila obdĺžnik na dva rovnaké trojuholníky? Preto je plocha jedného trojuholníka 2-krát menšia ako plocha obdĺžnika. Takže musíme znížiť 12 o 2 krát.
odpoveď: Plocha trojuholníka je 6 cm2.
Dnes sme sa v triede dozvedeli o pravidle na výpočet plochy obdĺžnika a naučili sme sa toto pravidlo aplikovať pri riešení problémov pri hľadaní plochy obdĺžnika.
1. M.I.Moro, M.A.Bantova a iní: Učebnica. 3. ročník: v 2 častiach, 1. časť. M., “Osveta”, 2012.
2. M.I.Moro, M.A.Bantova a iní: Učebnica. 3. ročník: v 2 častiach, 2. časť. M., “Osveta”, 2012.
3. M.I.Moro. Hodiny matematiky: Metodické odporúčania pre učiteľov. 3. trieda. - M.: Vzdelávanie, 2012.
4. Regulačný dokument. Monitorovanie a hodnotenie výsledkov vzdelávania. M., „Osvietenie“, 2011.
5. „Ruská škola“: Programy pre základné školy. - M.: „Osvietenie“, 2011.
6. S.I.Volkova. Matematika: Testovacia práca. 3. trieda. - M.: Vzdelávanie, 2012.
7. V.N.Rudnitskaya. Testy. M., „Skúška“, 2012 (127 strán)
2. Vydavateľstvo "Prosveshcheniye" ()
1. Dĺžka obdĺžnika je 7 cm, šírka je 4 cm Nájdite plochu obdĺžnika.
2. Strana štvorca je 5 cm Nájdite plochu štvorca.
3. Nakreslite možné možnosti pre obdĺžniky s plochou 18 cm 2.
4. Vytvorte zadanie na tému hodiny pre svojich priateľov.
L * H = S, aby ste našli oblasť obdĺžnika, musíte vynásobiť šírku dĺžkou. Inými slovami, dá sa to vyjadriť takto: Plocha obdĺžnika sa rovná súčinu strán.
1. Uveďme príklad výpočtu ako nájsť oblasť obdĺžnika, strany sa rovnajú známym množstvám, napríklad šírka 4 cm, dĺžka 8 cm.
Ako nájsť oblasť obdĺžnika so stranami 4 a 8 cm: Riešenie je jednoduché! 4 x 8 = 32 cm2. Ak chcete vyriešiť taký jednoduchý problém, musíte vypočítať súčin strán obdĺžnika alebo jednoducho vynásobiť šírku dĺžkou, bude to plocha!
2. Špeciálnym prípadom obdĺžnika je štvorec, to je prípad, keď sú strany obdĺžnika rovnaké, v tomto prípade môžete nájsť plochu štvorca pomocou vyššie uvedeného vzorca.
Aká je plocha obdĺžnika?
Schopnosť vypočítať plochu obdĺžnika je základnou zručnosťou na riešenie veľkého množstva každodenných alebo technických problémov. Tieto poznatky sa uplatňujú takmer vo všetkých oblastiach života! Napríklad v prípadoch, keď sú v stavebníctve alebo nehnuteľnostiach potrebné plochy akýchkoľvek povrchov. Pri výpočte plôch pôdy, parciel, múrov domov, obytných priestorov... nie je možné pomenovať jedinú oblasť ľudskej činnosti, kde tieto znalosti nemôžu byť užitočné!
Ak výpočet plochy obdĺžnika spôsobuje vám ťažkosti - stačí použiť našu kalkulačku! O okamžite poskytne všetky potrebné výpočty a napíše text riešenia s podrobnými vysvetleniami.
S takýmto pojmom ako oblasťou sa musíme zaoberať v našom každodennom živote. Takže napríklad pri stavbe domu ho potrebujete poznať, aby ste mohli vypočítať množstvo potrebného materiálu. Veľkosť záhradného pozemku bude charakterizovaná aj jeho rozlohou. Bez tejto definície sa nezaobídu ani rekonštrukcie v byte. Preto sa otázka, ako nájsť oblasť obdĺžnika, objavuje veľmi často a je dôležitá nielen pre školákov.
Pre tých, ktorí nevedia, obdĺžnik je plochý obrazec, v ktorom sú protiľahlé strany rovnaké a uhly sú 90 stupňov. Na označenie plochy v matematike sa používa anglické písmeno S. Meria sa v štvorcových jednotkách: metre, centimetre atď.
Teraz sa pokúsime poskytnúť podrobnú odpoveď na otázku, ako nájsť oblasť obdĺžnika. Existuje niekoľko spôsobov, ako určiť túto hodnotu. Najčastejšie sa stretávame s metódou určenia plochy pomocou šírky a dĺžky.
Zoberme si obdĺžnik so šírkou b a dĺžkou k. Na výpočet plochy daného obdĺžnika je potrebné vynásobiť šírku dĺžkou. To všetko možno znázorniť vo forme vzorca, ktorý bude vyzerať takto: S = b * k.
Teraz sa pozrime na túto metódu na konkrétnom príklade. Je potrebné určiť plochu záhradného pozemku so šírkou 2 metre a dĺžkou 7 metrov.
S = 2 * 7 = 14 m2
V matematike, najmä v matematike, musíme plochu určiť iným spôsobom, keďže v mnohých prípadoch nepoznáme ani dĺžku, ani šírku obdĺžnika. Zároveň sú známe aj ďalšie veličiny. Ako v tomto prípade nájsť oblasť obdĺžnika?
- Ak poznáme dĺžku uhlopriečky a jeden z uhlov, ktoré tvoria uhlopriečku s ktoroukoľvek stranou obdĺžnika, potom si v tomto prípade budeme musieť zapamätať oblasť, ak sa na ňu pozriete, obdĺžnik pozostáva z dva rovnaké pravouhlé trojuholníky. Vráťme sa teda k hodnote, ktorá sa určuje. Najprv musíte určiť kosínus uhla. Výslednú hodnotu vynásobte dĺžkou uhlopriečky. V dôsledku toho dostaneme dĺžku jednej zo strán obdĺžnika. Podobne, ale pomocou definície sínusu, môžete určiť dĺžku druhej strany. Ako teraz nájsť oblasť obdĺžnika? Áno, je to veľmi jednoduché, výsledné hodnoty vynásobte.
Vo forme vzorca to bude vyzerať takto:
S = cos(a) * sin(a) * d2, kde d je dĺžka uhlopriečky
- Ďalším spôsobom, ako určiť plochu obdĺžnika, je kruh, ktorý je v ňom vpísaný. Používa sa, ak je obdĺžnik štvorec. Ak chcete použiť túto metódu, musíte vedieť Ako vypočítať plochu obdĺžnika týmto spôsobom? Samozrejme, podľa vzorca. Nebudeme to dokazovať. A vyzerá to takto: S = 4 * r2, kde r je polomer.
Stáva sa, že namiesto polomeru poznáme priemer vpísanej kružnice. Potom bude vzorec vyzerať takto:
S=d2, kde d je priemer.
- Ak je známa jedna zo strán a obvod, ako v tomto prípade zistiť oblasť obdĺžnika? Aby ste to dosiahli, musíte vykonať sériu jednoduchých výpočtov. Ako vieme, protiľahlé strany obdĺžnika sú rovnaké, takže známa dĺžka vynásobená dvoma sa musí odpočítať od hodnoty obvodu. Výsledok vydeľte dvoma a získajte dĺžku druhej strany. Potom je štandardnou technikou vynásobenie oboch strán a získanie plochy obdĺžnika. Vo forme vzorca to bude vyzerať takto:
S=b* (P - 2*b), kde b je dĺžka strany, P je obvod.
Ako vidíte, oblasť obdĺžnika sa dá určiť rôznymi spôsobmi. Všetko závisí od toho, aké množstvá poznáme pred zvážením tohto problému. Samozrejme, s najnovšími metódami výpočtu sa v živote prakticky nestretnete, ale môžu byť užitočné pri riešení mnohých problémov v škole. Možno bude tento článok užitočný pri riešení vašich problémov.
