Pri praktickej aplikácii teórie pravdepodobnosti sa často stretávame s problémami, pri ktorých sa opakovane opakuje rovnaký experiment alebo podobné experimenty. V dôsledku každého experimentu sa môže alebo nemusí objaviť nejaká udalosť a nás nezaujíma výsledok každého jednotlivého experimentu, ale celkový počet výskytov udalosti ako výsledok série experimentov. Ak je napríklad vypálená skupina výstrelov na rovnaký cieľ, väčšinou nás nezaujíma výsledok každého výstrelu, ale celkový počet zásahov. IN podobné úlohy vyžaduje schopnosť určiť pravdepodobnosť akéhokoľvek daného počtu výskytov udalosti ako výsledku série experimentov. Takéto úlohy budú zvážené v tejto kapitole. Dajú sa celkom jednoducho vyriešiť v prípade, keď sú experimenty nezávislé.
Niekoľko experimentov sa nazýva nezávislých, ak pravdepodobnosť jedného alebo druhého výsledku každého experimentu nezávisí od toho, aké výsledky mali ostatné experimenty. Napríklad niekoľko po sebe idúcich hodov mincou predstavuje nezávislé experimenty. Niekoľko po sebe nasledujúcich odstránení karty z balíčka predstavuje nezávislé experimenty za predpokladu, že odstránená karta sa zakaždým vráti do balíčka a karty sa zamiešajú; inak sú to závislé skúsenosti. Niekoľko výstrelov predstavuje nezávislé experimenty iba vtedy, ak sa pred každým výstrelom znova zameria; v prípade, keď sa mierenie vykonáva raz pred celou streľbou alebo sa vykonáva nepretržite počas procesu streľby (strelba dávkou, bombardovanie v sérii), predstavujú výstrely závislé experimenty. Nezávislé experimenty sa môžu uskutočňovať v rovnakom resp rozdielne podmienky. V prvom prípade sa pravdepodobnosť udalosti mení zo skúsenosti na skúsenosť. Konkrétna veta platí pre prvý prípad a pre druhý - všeobecná veta o opakovaní experimentov. Začneme konkrétnou vetou, pretože je elementárnejšia. Najprv sa pozrime na konkrétny príklad.
Príklad. Na cieľ sa strieľajú tri nezávislé výstrely, pravdepodobnosť zasiahnutia pri každom výstrele sa rovná . Nájdite pravdepodobnosť, že s týmito tromi ranami dostaneme presne dva zásahy.
Riešenie. Označme udalosť, že presne dve strely zasiahnu cieľ. Táto udalosť môže nastať tromi spôsobmi:
1) zásah na prvý výstrel, zásah na druhý, neúspech na tretí;
2) zásah na prvý výstrel, minul na druhý, zásah na tretí;
3) netrafiť na prvý výstrel, zasiahnuť druhý, zasiahnuť tretí.
Preto môže byť udalosť reprezentovaná ako súčet produktov udalostí:
kde - zásahy pri prvom, druhom a treťom výstrele, - netrafia pri prvom, druhom, treťom výstrele.
Ak vezmeme do úvahy, že tri uvedené varianty udalosti sú nekompatibilné a udalosti zahrnuté v produktoch sú nezávislé, pomocou teorémov sčítania a násobenia získame:
alebo, označujúc,
Rovnako tak zoznam všetkých možné možnosti, v ktorej sa môže objaviť pre nás zaujímavá udalosť dané číslo krát, môžeme vyriešiť nasledujúci všeobecný problém.
Uskutočňujú sa nezávislé experimenty, v ktorých sa môže alebo nemusí objaviť nejaká udalosť; pravdepodobnosť výskytu udalosti v každom experimente sa rovná , a pravdepodobnosť, že sa nevyskytne, je . Musíme nájsť pravdepodobnosť, že v týchto experimentoch sa udalosť objaví práve raz.
Uvažujme o udalosti, že udalosť sa v experimentoch objaví presne raz. Táto udalosť sa môže stať skutočnosťou rôzne cesty. Rozložme udalosť na súhrn produktov udalostí pozostávajúcich z objavenia sa alebo nezobrazenia sa udalosti v samostatnom zážitku. Budeme označovať výskyt udalosti v i-tom experimente; - nevyskytnutie sa udalosti v i-tom pokuse.
Je zrejmé, že každý variant výskytu udalosti (každý člen súčtu) musí pozostávať z m výskytov udalosti a nevýskytov, t.j. z udalostí a udalostí s rôznymi indexmi. teda
Navyše v každom diele sa udalosť musí objaviť raz, ale musí sa objaviť raz.
Počet všetkých kombinácií tohto druhu je rovnaký, t.j. počet spôsobov, ktorými si možno vybrať z experimentov, v ktorých k udalosti došlo. Pravdepodobnosť každej takejto kombinácie sa podľa vety o násobení pre nezávislé udalosti rovná . Keďže kombinácie sú navzájom nekompatibilné, potom podľa vety o sčítaní sa pravdepodobnosť udalosti rovná
Vzorec plná pravdepodobnosť umožňuje nájsť pravdepodobnosť udalosti A, ktorý sa môže vyskytnúť len pri každom z n vzájomne sa vylučujúce udalosti, ktoré tvoria ucelený systém, ak sú známe ich pravdepodobnosti a podmienené pravdepodobnosti diania A vzhľadom na každú zo systémových udalostí sú rovnaké.
Udalosti sa nazývajú aj hypotézy, navzájom sa vylučujú. Preto v literatúre nájdete aj ich označenie nie podľa písmen B a list H(hypotéza).
Na vyriešenie problémov s takýmito stavmi je potrebné zvážiť 3, 4, 5 resp všeobecný prípad n možnosť výskytu udalosti A- s každou udalosťou.
Pomocou viet o sčítaní a násobení pravdepodobností získame súčet súčinov pravdepodobnosti každej z udalostí systému podľa podmienená pravdepodobnosť diania A o každej udalosti systému. Teda pravdepodobnosť udalosti A možno vypočítať pomocou vzorca
alebo všeobecne
,
ktorá sa volá vzorec celkovej pravdepodobnosti .
Vzorec celkovej pravdepodobnosti: príklady riešenia problémov
Príklad 1 Existujú tri identicky vyzerajúce urny: prvá má 2 biele gule a 3 čierne, druhá má 4 biele a jednu čiernu, tretia má tri biele gule. Niekto sa náhodne priblíži k jednej z urien a vyberie z nej jednu loptičku. Využiť vzorec celkovej pravdepodobnosti, nájdite pravdepodobnosť, že táto guľa bude biela.
Riešenie. Udalosť A- vzhľad bielej gule. Predkladáme tri hypotézy:
Vyberie sa prvá urna;
Vyberie sa druhá urna;
Vyberie sa tretia urna.
Podmienené pravdepodobnosti udalosti A o každej z hypotéz:
,
,
.
Použijeme vzorec celkovej pravdepodobnosti, výsledkom čoho je požadovaná pravdepodobnosť:
.
Príklad 2 V prvom závode sa z každých 100 žiaroviek vyrobí v priemere 90 štandardných žiaroviek, v druhom - 95, v treťom - 85 a výrobky týchto závodov tvoria 50 %, 30 % resp. 20 % všetkých žiaroviek dodaných do obchodov v určitej oblasti. Zistite pravdepodobnosť nákupu štandardnej žiarovky.
Riešenie. Označme pravdepodobnosť nákupu štandardnej žiarovky podľa A, a udalosti, že zakúpená žiarovka bola vyrobená v prvej, druhej a tretej továrni, resp. Podľa podmienky sú známe pravdepodobnosti týchto udalostí: , , a podmienené pravdepodobnosti udalosti A o každom z nich: 
,
,
. Toto sú pravdepodobnosti nákupu štandardnej žiarovky za predpokladu, že bola vyrobená v prvom, druhom a treťom závode.
Udalosť A nastane, ak dôjde k udalosti K- žiarovka je vyrobená v prvom závode a je štandardná, alebo event L- žiarovka sa vyrába v druhom závode a je štandardná, alebo event M- žiarovka bola vyrobená v treťom závode a je štandardná. Ďalšie možnosti udalosti A Nie Preto udalosť A je súhrn udalostí K, L A M, ktoré sú nezlučiteľné. Pomocou vety o sčítaní pravdepodobnosti si predstavíme pravdepodobnosť udalosti A ako
a vetou o násobení pravdepodobnosti dostaneme
teda špeciálny prípad vzorce celkovej pravdepodobnosti.
Nahrádzanie v ľavá strana vzorcov pre hodnoty pravdepodobnosti, dostaneme pravdepodobnosť udalosti A :
Príklad 3 Lietadlo pristáva na letisku. Ak to počasie dovolí, pilot pristáva s lietadlom, pričom okrem prístrojov využíva aj vizuálne pozorovanie. V tomto prípade sa pravdepodobnosť bezpečného pristátia rovná . Ak je letisko pokryté nízkou oblačnosťou, potom pilot pristáva s lietadlom, vedený iba prístrojmi. V tomto prípade sa pravdepodobnosť bezpečného pristátia rovná; . Zariadenia, ktoré poskytujú slepé pristátie, sú spoľahlivé (pravdepodobnosť bezporuchovej prevádzky) P. V prítomnosti nízkej oblačnosti a neúspešných slepých pristávacích prístrojov je pravdepodobnosť úspešného pristátia rovná; . Štatistiky ukazujú, že v k% pristátí je letisko pokryté nízkou oblačnosťou. Nájsť celková pravdepodobnosť udalosti A- bezpečné pristátie lietadla.
Riešenie. hypotézy:
Nie je nízka oblačnosť;
Je nízka oblačnosť.
Pravdepodobnosť týchto hypotéz (udalostí):
;
Podmienená pravdepodobnosť.
Podmienenú pravdepodobnosť opäť nájdeme pomocou vzorca celkovej pravdepodobnosti s hypotézami
Slepé pristávacie zariadenia sú funkčné;
Slepé pristávacie prístroje zlyhali.
Pravdepodobnosť týchto hypotéz:
Podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti
Príklad 4. Zariadenie môže pracovať v dvoch režimoch: normálny a abnormálny. Normálny režim sa pozoruje v 80% všetkých prípadov prevádzky zariadenia a abnormálny režim - v 20% prípadov. Pravdepodobnosť zlyhania zariadenia v určitom čase t rovná 0,1; v abnormálnych 0,7. Nájsť plná pravdepodobnosť zlyhanie zariadenia v priebehu času t.
Riešenie. Opäť označujeme pravdepodobnosť zlyhania zariadenia prostredníctvom A. Takže pokiaľ ide o prevádzku zariadenia v každom režime (udalosti), pravdepodobnosti sú známe podľa podmienky: pre normálny režim je to 80% (), pre abnormálny režim - 20% (). Pravdepodobnosť udalosti A(to znamená zlyhanie zariadenia) v závislosti od prvej udalosti (normálny režim) sa rovná 0,1 (); v závislosti od druhej udalosti (abnormálny režim) - 0,7 ( 
). Tieto hodnoty dosadíme do vzorca celkovej pravdepodobnosti (t. j. súčtu súčinov pravdepodobnosti každej udalosti systému podmienenou pravdepodobnosťou udalosti A ohľadom každej udalosti systému) a pred nami je požadovaný výsledok.
Určenie pravdepodobnosti udalosti a štatistického rozdelenia
Cvičenie 1
Žiarovky zmiešané v krabici rovnaká veľkosť a tvary: 150 W - 8 kusov a 100 W - 13. Z krabice boli náhodne vybraté tri svietidlá. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi nimi:
a) iba jedna 150 W žiarovka; b) dve žiarovky s výkonom 150 W;
c) najmenej dve žiarovky po 150 W; d) aspoň jedna 150 W žiarovka;
f) všetky svietidlá majú rovnaký výkon.
a) udalosť F1 - z troch náhodne vybratých žiaroviek bude mať iba jedna 150 W:
b) udalosť F2 - z troch náhodne vybratých žiaroviek budú dve žiarovky s výkonom 150 W:
c) udalosť F3 - z troch náhodne vybratých žiaroviek budú aspoň 2 s výkonom 150 W:
d) udalosť F4 - z troch náhodne vybraných častí bude aspoň jedna 150 W žiarovka:
e) udalosť F5 - z troch náhodne vybraných svietidiel budú mať všetky tri rovnaký výkon
Úloha 2
Na lietadlo sú vypálené tri nezávislé výstrely. Pravdepodobnosť zásahu pri prvom výstrele je 0,4, pri druhom - 0,5, pri treťom - 0,6. Tri zásahy stačia na znefunkčnenie lietadla. Pri dvoch zásahoch zlyhá s pravdepodobnosťou 0,7, pri jednom zásahu - s pravdepodobnosťou 0,4.
1. Nájdite pravdepodobnosť, že lietadlo bude znefunkčnené v dôsledku troch výstrelov.
2. V dôsledku troch výstrelov nebolo lietadlo znefunkčnené. Koľko zásahov bolo s najväčšou pravdepodobnosťou v lietadle?
1) Zvážte hypotézy:
H1 - z troch výstrelov nebude žiadny zásah
H2 - z troch výstrelov bude presne jeden zásah
H3 - z troch výstrelov budú dva zásahy
H4 - z troch striel budú tri zásahy
a udalosť
F - lietadlo bude deaktivované.
Pretože lietadlo nebolo znefunkčnené, t.j. nastala udalosť F, potom sa pravdepodobnosti hypotéz stanovia pomocou Bayesovho vzorca
0,121+0,380,6+0,380,3+0,120=0,462
Lietadlo teda bolo s najväčšou pravdepodobnosťou zasiahnuté raz.
Úloha 3
Podľa štatistík v meste N v priemere 18 % nových podnikov, ktoré otvoria, ukončí svoju činnosť do jedného roka.
1. Aká je pravdepodobnosť, že zo 6 náhodne vybraných nových podnikov v meste N do konca roka činnosti zostanú:
a) presne 4; b) 4; c) menej ako 4; d) aspoň jeden podnik?
2. Vypočítajte pravdepodobnosť, že zo sto novootvorených podnikov v meste N prestane fungovať do konca roka:
a) 15; b) aspoň 15; c) nie viac ako 21; d) najmenej 13, najviac však 23 podnikov.
n=6q=0,18p=1-q=1-0,18=0,82
n hodnotu<10, поэтому для расчетов воспользуемся формулой Бернулли:
a) zostanú presne 4 podniky:
b) zostanú viac ako 4 podniky:
P(viac ako 4)=P6(5;6)=P6(5)+P6(6)
P(viac ako 4)=0,4004+0,304=0,7044
c) zostanú menej ako 4 podniky:
P(menej ako 4)=1-P(aspoň 4)=1-P6(4;6)=1-(0,2197+0,4004+0,304)=0,0759
d) zostane aspoň jeden podnik
P(aspoň 1)=1-P(žiadne)=1-P6(0)=1-0,186=0,999966
n=100p=0,18q=0,82
Hodnota n=100 je dosť veľká, takže na výpočty použijeme lokálne a integrálne Laplaceove vzorce:
a) presne 15 podnikov ukončí svoju činnosť:
kde a (x) je lokálna Laplaceova funkcia
Z tabuľky to zistíme
(-0,78)=(0,78)=0,2943,
b) najmenej 15 podnikov ukončí svoju činnosť, t.j. od 15 do 100:
Pn(k1;k2)Ф(x2)-Ф(x1),
kde u, a Ф(x) je Laplaceova integrálna funkcia
Z tabuľky funkčných hodnôt Ф(x) zistíme, že Ф(-0,78)=-Ф(0,78)=-0,2823 a Ф(21,34)=0,5, P100(15;100) 0,5+0,2823=0,7823
c) svoju činnosť ukončí najviac 21 podnikov: t.j. od 0 do 21:
Z tabuľky funkčných hodnôt Ф(x) zistíme, že Ф(-4,69)=-Ф(4,69)=-0,499999 a Ф(0,78)=0,2823, P100(0;21) 0,2823+0,499999=9,782
d) najmenej 13, najviac však 23 podnikov ukončí svoju činnosť:
Z tabuľky funkčných hodnôt Ф(x) zistíme, že Ф(1,3)=0,4032,
P100(13;23)0,4032+0,4032=0,8064
Úloha 4
Dvaja účtovníci nezávisle vypĺňajú rovnaké výkazy. Prvý účtovník robí chyby v priemere v 8%, druhý - v 12% všetkých dokumentov. Počet výkazov vyplnených prvým účtovníkom je 1, druhým - 2. Za náhodnú veličinu (r.v.) sa považuje počet výkazov vyplnených dvomi účtovníkmi bez chýb.
1. Zostavte sériu distribúcií r.v. a prezentovať to graficky.
3. Vypočítajte očakávaná hodnota(priemer) M, rozptyl
D a stredná štvorcová (štandardná) odchýlka ().
4. Určte pravdepodobnosti: a) P; b) P; c) P
1) Určme možné hodnoty náhodnej premennej X a ich pravdepodobnosti:
X = 0: 0,920,882 = 0,712448
X = 1: 0,080,882 + 0,92 (0,120,88 + 0,880,12) = 0,256256
X=2: 0,920,122 + 0,08 (0,120,88 + 0,880,12) = 0,030144
X = 3: 0,080,122 = 0,001152
Vyšetrenie:
0,712488+0,256256+0,030144+0,001152=1
Zapíšme si distribučnú sériu
Znázornime distribučný rad graficky vo forme mnohouholníka
2) Vytvorme distribučnú funkciu:
Nakreslíme distribučnú funkciu
3) Matematické očakávanie a rozptyl nájdeme podľa vzorca:
D(X)=0,3872-0,322=0,2848
4) Nájdite požadované pravdepodobnosti:
P(X Р(XMX+1)=1-Р(X<1,32)=1-F(1,32)=1-0,968704=0,031296 P(-0,2137 Úloha 5 Medzi dvoma osadami nachádzajúcimi sa vo vzdialenosti L = 9 km od seba premáva autobus so zastávkami na požiadanie kdekoľvek. Vzdialenosť (v km) prejdená určitým cestujúcim, ktorý nastúpi do autobusu na začiatku trasy, je náhodná s hustotou distribúcie 1. Nastavte neznámu konštantu C a nakreslite funkciu p(x). 2. Nájdite distribučnú funkciu r.v. a zostavte jeho graf. 3. Vypočítajte matematické očakávanie (priemernú hodnotu) M, rozptyl D a smerodajnú odchýlku (). 4. Koľkokrát je počet vystúpení od začiatku trasy do stredu cesty cestujúceho väčší ako počet vystúpení z tohto miesta po koniec autobusovej trasy? 1) Na nájdenie konštanty C použijeme vlastnosť hustoty rozloženia: Nakreslíme si hustotu distribúcie 2) Nájdite distribučnú funkciu a) ak x<0, то F(x)=0, т.к. значений, меньших 0, случайная величина не принимает. b) ak 0x<9, то c) ak x>3, potom kvôli vlastnosti hustoty distribúcie Nakoniec dostaneme: Nakreslíme F(x): 3) matematické očakávanie sa vypočíta pomocou vzorca Rozptyl sa vypočíta podľa vzorca: DX=24,3-4,52=4,05 Priemerná smerodajná odchýlka rovná sa: P(X P(XMX)=1-P(X Tie. počet vystúpení od začiatku trasy do stredného miesta cesty cestujúceho a počet vystúpení z tohto miesta po koniec trasy autobusu sú rovnaké. Úloha 6 Pri preprave nákladu vrtuľníkmi sa používajú káble, ktoré sú vyrobené zo syntetických materiálov na báze nových chemických technológií. Ako výsledok 25 ťahových skúšok kábla sa získali nasledujúce údaje (v tonách): 2.948 , 3.875, 5.526, 5.422, 4.409, 4.314, 5.150, 2.451, 5.226, 4.105, 3.280, 5.732, 3.249, 3.408, 7.204, 5.174, 6.222, 5.276, 5.853, 4.420, 6.525, 2.127, 5.264, 4.647, 5.591 Potrebné: 1. Určite študovanú charakteristiku a jej typ (diskrétna alebo spojitá). 2. V závislosti od typu objektu vytvorte mnohouholník alebo histogram relatívnych frekvencií. 3. Na základe vizuálnej analýzy mnohouholníka (histogramu) formulujte hypotézu o zákone rozloženia sledovanej charakteristiky. 4. Vypočítajte charakteristiky vzorky pre charakteristiku: priemer, disperziu a štandardnú odchýlku. 5. Pomocou Pearsonovho testu dobrej zhody chí-kvadrát skontrolujte súlad vzorových údajov s distribučným zákonom uvedeným v odseku 3 na hladine významnosti 0,01. 6. Pre všeobecný priemer a rozptyl zostrojte intervaly spoľahlivosti zodpovedajúce pravdepodobnosti spoľahlivosti 0,99. 7. So spoľahlivosťou 0,99 otestujte hypotézu rovnosti: a) všeobecná priemerná hodnota 5C; b) všeobecná hodnota disperzie C 2, kde C = 1,09. Vzorové hodnoty podľa možnosti práce 1. Typ atribútu je spojitý, pretože náhodná premenná môže nadobudnúť akúkoľvek hodnotu z určitého intervalu. 2. Zostavme histogram relatívnych frekvencií. Určíme počet intervalov: kde n je počet hodnôt a k je počet intervalov. IN v tomto prípade existuje 25 hodnôt, takže počet intervalov je: k=1+1,44ln 25 5.6. Vezmime si počet intervalov 5. Určme veľkosť jedného intervalu: Určme relatívne početnosti pre každý interval. Je vhodné vykonať výpočty v tabuľke Zostavme histogram 3. Na základe vizuálnej analýzy môžeme vysloviť hypotézu o rozložení charakteristiky podľa normálneho zákona. 4. Stanovme vzorové charakteristiky študovaného znaku. a) vzorový priemer: b) vzorový rozptyl: c) štandardná odchýlka vzorky 5. Overme si hypotézu, že údaje vzorky zodpovedajú normálnemu rozdeleniu Určme konce intervalov pomocou vzorca, pre ktorý vytvoríme tabuľku Nájdite teoretické pravdepodobnosti pi a teoretické frekvencie. Výsledky výpočtu zapíšeme do tabuľky Vypočítajme pozorovanú hodnotu Pearsonovho kritéria. Ak to chcete urobiť, vytvorte tabuľku: Na základe hladiny významnosti =0,01 a počtu stupňov voľnosti k=n-3=5-3=2 zistíme z tabuľky kritických bodov: =9,2 Pretože , potom nie je dôvod zamietnuť hypotézu o normálnom rozdelení kritickej hmoty pre prasknutie. 6. Zostrojte interval spoľahlivosti pre všeobecný priemer a všeobecný rozptyl Maximálna vzorkovacia chyba pre priemer sa vypočíta podľa vzorca: kde t je koeficient spoľahlivosti, ktorý závisí od pravdepodobnosti, s ktorou je daný výrok urobený. Koeficient spoľahlivosti sa zistí zo vzťahu 2Ф(t)=p, kde Ф(х) je Laplaceova integrálna funkcia. Podľa podmienky p=0,99, Hranice, do ktorých spadá všeobecný priemer, sú dané nerovnosťami: 5,1225 – 0,7034 a 5,1225 + 0,7034 Nájdite intervalový odhad rozptylu: Podľa tabuľky kritických bodov rozdelenia zistíme, že =42,98, a =10,86, potom interval spoľahlivosti pre rozptyl bude: a) Overme si hypotézu, že všeobecný priemer sa rovná 5,45. Predkladáme hypotézy: Pretože rozptyl populácie je neznámy, potom vypočítame výraz Pomocou tabuľky hodnôt kritických bodov študenta nájdeme kritickú hodnotu tcr(;n-1)=tcr(0,01;24)=2,8 Pretože 1.201<2,8, то нет оснований отклонить гипотезу о равенстве генеральной средней значению 5,45. b) Overme si hypotézu, že všeobecný rozptyl sa rovná 1,1881. Predkladáme hypotézy: Vypočítajte výraz Pomocou tabuľky hodnôt kritických bodov chí-kvadrátového rozdelenia nájdeme kritickú hodnotu (;n-1)=(0,01;24)=43 Pretože 37.5<43, то нет оснований отклонить гипотезу о равенстве генеральной дисперсии значению 1,1881. Bibliografia pravdepodobnosť štatistický rozptyl matematický 1. Gmurman V.E. Návod na riešenie problémov teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky: Učebnica pre vysokoškolákov. - M.: Vyššia škola, 2002. 2. Semenov A.T. Teória pravdepodobnosti a matematická štatistika: Vzdelávací a metodologický komplex. - Novosibirsk: NGAEiU, 2003.
