Kvadratický tvar f(x 1, x 2,...,x n) z n premenných je súčet, pričom každý člen je buď druhou mocninou jednej z premenných, alebo súčinom dvoch rôznych premenných, braný s určitým koeficientom: f (x 1, x 2, ..., x n) = (a ij = a ji).

Matica A zložená z týchto koeficientov sa nazýva matica kvadratickej formy. To je vždy symetrické matica (t. j. matica symetrická podľa hlavnej uhlopriečky, a ij =a ji).

IN maticový zápis kvadratická forma je f(X) = X T AX, kde

Naozaj

Napríklad napíšme matricový formulár kvadratická forma.

Aby sme to dosiahli, nájdeme maticu kvadratickej formy. Jeho diagonálne prvky sa rovnajú koeficientom druhej mocniny premenných a zvyšné prvky sa rovnajú poloviciam zodpovedajúcich koeficientov kvadratickej formy. Preto

Maticový stĺpec premenných X nech získame nedegenerovanou lineárnou transformáciou maticového stĺpca Y, t.j. X = CY, kde C je nesingulárna matica n-tého rádu. Potom kvadratická forma f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (CT AC)Y.

Pri nedegenerovanej lineárnej transformácii C má teda matica kvadratickej formy tvar: A * =CT AC.

Nájdime napríklad kvadratickú formu f(y 1, y 2), získanú z kvadratickej formy f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 lineárnou transformáciou.

Kvadratická forma je tzv kanonický(Má kanonický pohľad), ak všetky jeho koeficientya ij = 0 pre i≠j, t.j. f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Jeho matica je diagonálna.

Veta(tu nie je uvedený dôkaz). Akákoľvek kvadratická forma môže byť redukovaná na kanonickú formu pomocou nedegenerovanej lineárnej transformácie.

Napríklad poďme k kanonická forma kvadratický tvar f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Aby sme to urobili, najprv vyberieme dokonalý štvorec s premennou x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 x 2 2 - x 2 x 3.

Teraz vyberieme úplný štvorec s premennou x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 + x 2) 2 – 5 (x 2 2 – 2* x 2 *(1/10) x 3 + (1/100) x 3 2) - (5/100) x 3 2 = = 2 (x 1 + x 2) 2 – 5 (x 2 – (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Potom nedegenerované lineárna transformácia y 1 = x 1 + x 2 ,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 a y 3 = x 3 prináša túto kvadratickú formu do kanonickej formy f(y 1 ,y 2 ,y 3) = 2y 1 2 - 5 r. 2 2 - (1/20) r. 3 2 .

Všimnite si, že kanonická forma kvadratickej formy je určená nejednoznačne (rovnaká kvadratická forma môže byť redukovaná na kanonickú formu rôzne cesty 1). Avšak prijaté rôzne cesty kanonické formy majú množstvo všeobecných vlastností. Najmä počet členov s kladnými (zápornými) koeficientmi kvadratickej formy nezávisí od spôsobu redukcie formy na túto formu (napríklad v uvažovanom príklade budú vždy dva záporné a jeden kladný koeficient). Táto vlastnosť je tzv zákon zotrvačnosti kvadratických foriem.

Overme si to tak, že tú istú kvadratickú formu privedieme do kanonickej formy iným spôsobom. Začnime transformáciu s premennou x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3 (x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) +((1/6) x 3 + (2 /3) x 1) 2) – 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2 x 1 2 = = -3 (x 2 – (1/6) x 3 - (2) /3) x 1) 2 – 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2 x 1 2 =f(y1,y2,y3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2, kde y 1 = - (2/3) x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1/6) x 3 a y3 = x1. Tu je kladný koeficient 2 pre y 3 a dva záporné koeficienty (-3) pre y 1 a y 2 (a pomocou inej metódy sme dostali kladný koeficient 2 pre y 1 a dva negatívne - (-5) pre y2 a (-1/20) pre y3).

Treba si tiež uvedomiť, že hodnosť matice kvadratickej formy, tzv hodnosť kvadratickej formy, rovná sa číslu nenulové koeficienty kanonická forma a nemení sa pri lineárnych transformáciách.

Kvadratická forma f(X) sa nazýva pozitívne(negatívne)istý, ak je pre všetky hodnoty premenných, ktoré nie sú súčasne nulové, kladné, t.j. f(X) > 0 (záporné, t.j. f(X)< 0).

Napríklad kvadratická forma f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 je pozitívne definitná, pretože je súčet štvorcov a kvadratická forma f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 je záporne definitná, pretože predstavuje, môže byť vyjadrený v tvare 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Vo väčšine praktických situácií je o niečo ťažšie určiť jednoznačné znamienko kvadratickej formy, preto na to použijeme jednu z nasledujúcich viet (budeme ich formulovať bez dôkazu).

Veta. Kvadratická forma je pozitívne (negatívna) definitívna vtedy a len vtedy vlastné hodnoty jeho matice sú pozitívne (negatívne).

Veta (Sylvesterovo kritérium). Kvadratická forma je pozitívne definitívna vtedy a len vtedy, ak sú všetky vedúce minority matice tejto formy kladné.

Hlavná (rohová) vedľajšia Matice k-tého rádu An-tého rádu sa nazývajú determinant matice, zložený z prvých k riadkov a stĺpcov matice A ().

Všimnite si, že v prípade negatívnych určitých kvadratických foriem sa znamienka hlavných maloletých striedajú a vedľajší prvok prvého poriadku musí byť záporný.

Skúmajme napríklad kvadratickú formu f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 na určenie znamienka.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Preto je kvadratická forma pozitívne definitívna.

Metóda 2. Hlavná moll 1. rádu matice A  1 =a 11 = 2 > 0. Hlavná moll 2. rádu  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Preto podľa Sylvesterovho kritéria kvadratická forma je pozitívna definitívna.

Skúmame inú kvadratickú formu určenosti znamienka, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metóda 1. Zostrojme maticu kvadratickej formy A = . Charakteristická rovnica bude vyzerať = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . Preto je kvadratická forma negatívne definitívna.

Metóda 2. Hlavná moll 1. rádu matice A  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Podľa Sylvesterovho kritéria je teda kvadratická forma negatívne definitívna (znaky hlavných maloletých sa striedajú, začínajúc mínusom).

A ako ďalší príklad skúmame znamienkovo ​​určený kvadratický tvar f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metóda 1. Zostrojme maticu kvadratickej formy A = . Charakteristická rovnica bude mať tvar = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Jedno z týchto čísel je záporné a druhé kladné. Znaky vlastných hodnôt sú rôzne. V dôsledku toho kvadratická forma nemôže byť ani negatívne, ani pozitívne definitívna, t.j. táto kvadratická forma nie je znamienkovo ​​definovaná (môže nadobúdať hodnoty akéhokoľvek znamienka).

Metóda 2. Hlavná moll 1. rádu matice A  1 =a 11 = 2 > 0. Hlavná moll 2. rádu 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Uvažovaná metóda redukcie kvadratickej formy na kanonickú formu je vhodná na použitie, keď sa so štvorcami premenných stretávame s nenulovými koeficientmi. Ak tam nie sú, stále je možné vykonať konverziu, ale musíte použiť iné techniky. Napríklad nech f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – – (x 1 – x 2) 2 – 2 x 1 x 2; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2 ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, kde y 1 = x 1 + x 2, ay 2 = x 1 – x 2.

Homogénny polynóm 2. stupňa vo viacerých premenných sa nazýva kvadratická forma.

Kvadratická forma premenných pozostáva z členov dvoch typov: štvorcov premenných a ich párových súčinov s určitými koeficientmi. Kvadratická forma sa zvyčajne píše ako nasledujúci štvorcový diagram:

Páry podobní členovia sú zapísané s rovnakými koeficientmi, takže každý z nich tvorí polovicu koeficientu so zodpovedajúcim súčinom premenných. Každá kvadratická forma je teda prirodzene spojená s jej koeficientovou maticou, ktorá je symetrická.

Je vhodné reprezentovať kvadratickú formu v nasledujúcom maticovom zápise. Označme X stĺpec premenných cez X - riadok, t.j. maticu transponovanú s X. Potom

Kvadratické formy sa nachádzajú v mnohých odvetviach matematiky a jej aplikácií.

Teória čísel a kryštalografia uvažuje kvadratické formy za predpokladu, že premenné nadobúdajú iba celočíselné hodnoty. IN analytická geometria kvadratická forma je súčasťou rovnice rádovej krivky (alebo plochy). Zdá sa, že v mechanike a fyzike vyjadruje kvadratická forma Kinetická energia systémov cez zložky zovšeobecnených rýchlostí atď. Okrem toho je však štúdium kvadratických foriem potrebné aj pri analýze pri štúdiu funkcií mnohých premenných, pri ktorých je dôležité zistiť, ako túto funkciu v blízkosti daného bodu sa odchyľuje od toho, ktorý sa k nemu približuje lineárna funkcia. Príkladom problému tohto typu je štúdium funkcie pre jej maximum a minimum.

Uvažujme napríklad o probléme štúdia maxima a minima pre funkciu dvoch premenných, ktorá má spojité parciálne derivácie až do poriadku. Nevyhnutná podmienka Aby bod dal maximum alebo minimum funkcie, parciálne derivácie poriadku v bode sa rovnajú nule. Predpokladajme, že táto podmienka je splnená. Dajme premenným x a y malé prírastky a k a uvažujme zodpovedajúci prírastok funkcie Podľa Taylorovho vzorca sa tento prírastok až do malých vyšších rádov rovná kvadratickej forme, kde sú hodnoty druhých derivácií. vypočítané v bode Ak je táto kvadratická forma kladná pre všetky hodnoty a k (okrem ), potom má funkcia minimum v bode, ak je záporná, potom má maximum. Nakoniec, ak má forma pozitívne aj záporné hodnoty, potom nebude ani maximum, ani minimum. Funkcie viac premenné.

Štúdium kvadratických foriem pozostáva hlavne zo štúdia problému ekvivalencie foriem vzhľadom na jednu alebo druhú množinu lineárnych transformácií premenných. Dve kvadratické formy sa považujú za ekvivalentné, ak sa jedna z nich môže premeniť na druhú prostredníctvom jednej z transformácií danej množiny. S problémom ekvivalencie úzko súvisí problém redukcie formy, t.j. transformovať ho do nejakej možno najjednoduchšej formy.

IN rôzne problémy spojené s kvadratickými formami prichádzajú do úvahy aj rôzne množiny prípustných transformácií premenných.

V otázkach analýzy sa používajú akékoľvek nešpeciálne transformácie premenných; pre účely analytickej geometrie je najväčší záujem ortogonálne transformácie, teda tie, ktoré zodpovedajú prechodu z jedného systému premenných Kartézske súradnice inému. Nakoniec sa v teórii čísel a kryštalografii uvažuje o lineárnych transformáciách s celočíselnými koeficientmi a s determinantom rovným jednotke.

Budeme sa zaoberať dvoma z týchto problémov: otázkou redukcie kvadratickej formy na jej najjednoduchšiu formu pomocou akýchkoľvek nesingulárnych transformácií a rovnakou otázkou pre ortogonálne transformácie. Najprv si zistime, ako sa transformuje matica kvadratickej formy pri lineárnej transformácii premenných.

Nech , kde A je symetrická matica tvarových koeficientov, X je stĺpec premenných.

Urobme lineárnu transformáciu premenných a napíšme to skrátene ako . C tu označuje maticu koeficientov tejto transformácie, X je stĺpec nových premenných. Vtedy a preto, taká je matica transformovanej kvadratickej formy

Matica sa automaticky ukáže ako symetrická, čo sa dá ľahko skontrolovať. Problém redukcie kvadratickej formy na najjednoduchšiu formu je teda ekvivalentný problému redukcie symetrickej matice na najjednoduchšiu formu jej vynásobením vľavo a vpravo vzájomne transponovanými maticami.

Pravidlá pre zadávanie funkcií:

Dvakrát spojito diferencovateľná funkcia f(x) je konvexná (konkávna) vtedy a len vtedy Hessenská matica funkcia f(x) vzhľadom na x je kladná (záporná) semidefinitná pre všetky x (pozri body lokálnych extrémov funkcie viacerých premenných).

Kritické body funkcie:

• ak je Hessián kladne určitý, potom x 0 je bod miestne minimum funkcie f(x),
• ak je Hessián záporne určitý, potom x 0 je lokálny maximálny bod funkcie f(x),
• ak Hessián nie je znamienkovo ​​určitý (nadobúda kladné aj záporné hodnoty) a je nedegenerovaný (det G(f) ≠ 0), potom x 0 je sedlový bod funkcie f(x).

Kritériá jednoznačnosti matice (Sylvesterova veta)

• všetky diagonálne prvky matice musia byť kladné;
• všetci poprední hlavní kvalifikanti musia byť kladní.

Pozitívna semi-určitosť:

• všetky diagonálne prvky sú nezáporné;
• všetky hlavné determinanty nie sú negatívne.

Štvorcová symetrická matica rádu n, ktorej prvky sú parciálne derivácie objektívna funkcia druhá objednávka nazývaná Hessenská matica a je určený:

Aby bola symetrická matica pozitívne definitná, je potrebné a postačujúce, aby všetky jej diagonálne minory boli kladné, t.j.


pre maticu A = (a ij) sú kladné.

Negatívna istota.
Aby bola symetrická matica záporne definitná, je potrebné a postačujúce, aby nastali nasledujúce nerovnosti:
(-1) k D k > 0, k=1,.., n.
Inými slovami, aby bola kvadratická forma negatívny definitívny, je potrebné a postačujúce, aby sa znamienka uhlových minorov matice kvadratickej formy striedali, počnúc znamienkom mínus. Napríklad pre dve premenné D 1< 0, D 2 > 0.

Ak je Hessian semidefinite, potom to môže byť tiež inflexný bod. Potrebné dodatočný výskum, ktoré možno vykonať podľa jednej z nasledujúcich možností:

1. Klesajúce poradie. Vykoná sa zmena premenných. Napríklad pre funkciu dvoch premenných je y=x, výsledkom je funkcia jednej premennej x. Ďalej skúmame správanie funkcie na priamkach y=x a y=-x. Ak v prvom prípade bude mať funkcia v skúmanom bode minimum a v druhom prípade maximum (alebo naopak), potom je skúmaný bod sedlový bod.
2. Nájdenie vlastných hodnôt hessenštiny. Ak sú všetky hodnoty kladné, funkcia v skúmanom bode má minimum, ak sú všetky hodnoty záporné, je tu maximum.
3. Štúdium funkcie f(x) v okolí bodu ε. Premenné x sú nahradené x 0 +ε. Ďalej je potrebné dokázať, že funkcia f(x 0 +ε) jednej premennej ε, resp Nad nulou(potom x 0 je minimálny bod), príp menej ako nula(potom x 0 je maximálny bod).

Poznámka. Nájsť inverzný hessenský stačí nájsť inverznú maticu.

Príklad č.1. Ktorý z nasledujúce funkcie sú konvexné alebo konkávne: f(x) = 8x 1 2 + 4 x 1 x 2 + 5 x 2 2.
Riešenie. 1. Nájdime parciálne derivácie.


2. Riešime sústavu rovníc.
-4x 1+4x 2+2 = 0
4x 1-6x 2+6 = 0
Dostaneme:
a) Z prvej rovnice vyjadríme x 1 a dosadíme do druhej rovnice:
x 2 = x 2 + 1/2
-2x 2 + 8 = 0
kde x 2 = 4
Tieto hodnoty x 2 dosadíme do výrazu pre x 1. Dostaneme: x 1 = 9/2
Počet kritických bodov je 1.
M 1 (9/2 ;4)
3. Nájdite parciálne derivácie druhého rádu.



4. Vypočítajme hodnotu týchto parciálnych derivácií druhého rádu v kritických bodov M(x0;y0).
Vypočítame hodnoty pre bod M 1 (9 / 2 ;4)



Zostavíme Hessovu maticu:

D1 = 11< 0, D 2 = 8 > 0
Keďže diagonálne maloletí majú rôzne znaky, potom nemožno povedať nič o konvexnosti alebo konkávnosti funkcie.

Pojem kvadratickej formy. Matica kvadratického tvaru. Kanonická forma kvadratickej formy. Lagrangeova metóda. Normálny pohľad kvadratická forma. Hodnosť, index a podpis kvadratickej formy. Pozitívna určitá kvadratická forma. Kvadriky.

Koncept kvadratického tvaru: funkcia na vektorovom priestore definovanom homogénnym polynómom druhého stupňa v súradniciach vektora.

Kvadratický tvar z n neznámy sa nazýva súčet, pričom každý člen je buď druhou mocninou jednej z týchto neznámych, alebo súčinom dvoch rôznych neznámych.

Kvadratická matica: Matica sa nazýva matica kvadratického tvaru v na tomto základe. Ak sa charakteristika poľa nerovná 2, môžeme predpokladať, že matica kvadratickej formy je symetrická, tzn.

Napíšte maticu kvadratického tvaru:

teda

Vo forme vektorovej matice je kvadratická forma:

A, kde

Kanonická forma kvadratickej formy: Kvadratická forma sa nazýva kanonická, ak všetky t.j.

Akákoľvek kvadratická forma môže byť redukovaná na kanonickú formu pomocou lineárnych transformácií. V praxi sa zvyčajne používajú nasledujúce metódy.

Lagrangeova metóda : sekvenčný výber celých štvorcov. Napríklad, ak

Potom sa podobný postup vykoná s kvadratickou formou atď Ak v kvadratickej forme je všetko ale potom po predbežnej transformácii záležitosť príde na zvažovaný postup. Takže, ak napr., potom predpokladáme

Normálna forma kvadratickej formy: Normálna kvadratická forma je kanonická kvadratická forma, v ktorej sú všetky koeficienty rovné +1 alebo -1.

Poradie, index a podpis kvadratickej formy: Hodnosť kvadratického tvaru A sa nazýva hodnosť matice A. Hodnosť kvadratickej formy sa pri nedegenerovaných transformáciách neznámych nemení.

Počet záporných koeficientov sa nazýva index negatívnej formy.

Počet kladných členov v kanonickej forme sa nazýva kladný index zotrvačnosti kvadratickej formy, počet záporných členov sa nazýva negatívny index. Rozdiel medzi kladnými a zápornými indexmi sa nazýva podpis kvadratickej formy

Pozitívna určitá kvadratická forma: Reálny kvadratický tvar sa nazýva pozitívne definitné (negatívne definitné), ak pre akékoľvek reálne hodnoty premenných, ktoré nie sú súčasne nulové,

. (36)

V tomto prípade sa matica nazýva aj pozitívne definitná (negatívne definitná).

Trieda pozitívne určitých (negatívne určitých) foriem je súčasťou triedy nezáporných (resp. nepozitívnych) foriem.

kvadriky: Quadric - n-rozmerná hyperplocha v n+1-rozmerný priestor, definovaný ako množina núl polynómu druhého stupňa. Ak zadáte súradnice ( X 1 , X 2 , x n+1 ) (v euklidovskom alebo afinnom priestore), všeobecná rovnica kvadrika má tvar

Táto rovnica môže byť prepísaná kompaktnejšie v maticovom zápise:

kde x = ( X 1 , X 2 , x n+1 ) — riadkový vektor, X T je transponovaný vektor, Q- matica veľkosti ( n+1)×( n+1) (predpokladá sa, že aspoň jeden z jeho prvkov je nenulový), P je riadkový vektor a R— stály. Najčastejšie sa uvažuje o kvadrikoch nad skutočnými komplexné čísla. Definícia môže byť rozšírená na kvadriky v projektívnom priestore, pozri nižšie.

Všeobecnejšie, množina núl systému polynomiálne rovnice známy ako algebraická varieta. Kvadrika je teda (afinná alebo projektívna) algebraická varieta druhého stupňa a kodimenzie 1.

Premeny roviny a priestoru.

Definícia rovinnej transformácie. Detekcia pohybu. vlastnosti pohybu. Dva typy pohybov: pohyb prvého druhu a pohyb druhého druhu. Príklady pohybov. Analytický výraz pohyby. Klasifikácia pohybov lietadla (v závislosti od prítomnosti pevné body a invariantné čiary). Skupina pohybov roviny.

Definícia rovinnej transformácie: Definícia. Nazýva sa rovinná transformácia, ktorá zachováva vzdialenosť medzi bodmi pohyb(alebo pohyb) lietadla. Rovinná transformácia sa nazýva afinný, ak premení ľubovoľné tri body ležiace na tej istej priamke na tri body tiež ležiace na tej istej priamke a pri zachovaní jednoduchého vzťahu troch bodov.

Definícia pohybu: Ide o tvarové transformácie, ktoré zachovávajú vzdialenosti medzi bodmi. Ak sú dve postavy pohybom presne zarovnané, potom sú tieto postavy rovnaké, rovnaké.

Vlastnosti pohybu: Každý pohyb roviny zachovávajúci orientáciu je buď rovnobežný posuv alebo otáčanie, každý pohyb roviny meniaci orientáciu je buď osová súmernosť alebo posuvná súmernosť. Pri pohybe sa body ležiace na priamke transformujú na body ležiace na priamke a ich poradie je zachované relatívnu polohu. Pri pohybe sú zachované uhly medzi polpriamkami.

Dva typy pohybov: pohyb prvého druhu a pohyb druhého druhu: Pohyby prvého druhu sú pohyby, ktoré zachovávajú orientáciu základov určitej postavy. Môžu byť realizované nepretržitými pohybmi.

Pohyby druhého druhu sú také pohyby, ktoré menia orientáciu základov na opačnú. Nedajú sa realizovať nepretržitými pohybmi.

Príklady pohybov prvého druhu sú translácia a rotácia okolo priamky a pohyby druhého druhu sú stredové a zrkadlové symetrie.

Zloženie ľubovoľného počtu pohybov prvého druhu je pohybom prvého druhu.

Zloženie párneho počtu pohybov druhého druhu je pohyb 1. druhu a zloženie nepárneho počtu pohybov 2. druhu je pohyb 2. druhu.

Príklady pohybov:Paralelný prenos . Nech a je daný vektor. Paralelný prenos na vektor a je zobrazenie roviny na seba, v ktorom je každý bod M zobrazený na bod M 1, čo je vektor MM 1 rovná vektoru A.

Paralelný preklad je pohyb, pretože ide o mapovanie roviny na seba, pričom sa zachovávajú vzdialenosti. Tento pohyb možno vizuálne znázorniť ako posun celej roviny v smere daný vektor ale na jeho dĺžke.

Točiť sa. Označme bod O na rovine ( stred otáčania) a nastavte uhol α ( uhol natočenia). Otočenie roviny okolo bodu O o uhol α je zobrazenie roviny na seba, v ktorom je každý bod M zobrazený na bod M 1 tak, že OM = OM 1 a uhol MOM 1 je rovný α. V tomto prípade bod O zostáva na svojom mieste, t. j. je namapovaný na seba, a všetky ostatné body sa otáčajú okolo bodu O rovnakým smerom - v smere alebo proti smeru hodinových ručičiek (obrázok ukazuje otáčanie proti smeru hodinových ručičiek).

Rotácia je pohyb, pretože predstavuje mapovanie roviny na seba, pri ktorom sú zachované vzdialenosti.

Analytické vyjadrenie pohybu: analytické spojenie medzi súradnicami predobrazu a obrazom bodu má tvar (1).

Klasifikácia pohybov roviny (v závislosti od prítomnosti pevných bodov a invariantných čiar): Definícia:

Bod na rovine je invariantný (pevný), ak sa pri danej transformácii transformuje na seba.

Príklad: Kedy stredová symetria bod stredu symetrie je invariantný. Pri otáčaní je bod stredu otáčania nemenný. o osová súmernosť priamka je invariantná - os symetrie je priamka invariantných bodov.

Veta: Ak pohyb nemá jediný invariantný bod, potom má aspoň jeden invariantný smer.

Príklad: Paralelný prenos. V skutočnosti sú priamky rovnobežné s týmto smerom ako celok nemenné, hoci nepozostávajú z nemenných bodov.

Veta: Ak sa nejaký lúč pohybuje, lúč sa prekladá do seba, potom je tento pohyb buď transformácia identity, alebo symetria vzhľadom na priamku obsahujúcu daný lúč.

Preto na základe prítomnosti invariantných bodov alebo postáv je možné klasifikovať pohyby.

Skupina pohybu v rovine: V geometrii dôležitá úloha hrajú skupiny samostatne sa kombinujúcich figúrok. Ak je určitá postava v rovine (alebo v priestore), potom môžeme uvažovať o množine všetkých tých pohybov roviny (alebo priestoru), pri ktorých sa postava mení na seba.

Táto sada je skupina. Napríklad pre rovnostranný trojuholník skupina pohybov roviny, ktoré transformujú trojuholník na seba, pozostáva zo 6 prvkov: rotácie o uhly okolo bodu a symetrie okolo troch priamych čiar.

Sú znázornené na obr. 1 červená čiara. Prvky samokombinačnej skupiny pravidelný trojuholník možno špecifikovať inak. Aby sme to vysvetlili, očíslujme vrcholy pravidelného trojuholníka číslami 1, 2, 3. Akékoľvek samozarovnanie trojuholníka naberá body 1, 2, 3 do rovnakých bodov, ale v inom poradí, t.j. môžu byť podmienečne napísané vo forme jednej z týchto zátvoriek:

atď.

kde čísla 1, 2, 3 označujú čísla tých vrcholov, do ktorých vrcholy 1, 2, 3 smerujú v dôsledku uvažovaného pohybu.

Projektívne priestory a ich modely.

Pojem projektívneho priestoru a model projektívneho priestoru. Základné fakty projektívnej geometrie. Zhluk čiar so stredom v bode O je modelom projektívnej roviny. Projektívne body. Predĺžená rovina je modelom projektívnej roviny. Rozšírený trojrozmerný afinný alebo euklidovský priestor je model projektívneho priestoru. Obrázky plochých a priestorových postáv v paralelnom dizajne.

Koncept projektívneho priestoru a model projektívneho priestoru:

Projektívny priestor nad poľom je priestor pozostávajúci z čiar (jednorozmerných podpriestorov) nejakého lineárneho priestoru nad daným poľom. Priame medzery sú tzv bodky projektívny priestor. Túto definíciu možno zovšeobecniť na ľubovoľný orgán

Ak má dimenziu , potom sa dimenzia projektívneho priestoru nazýva číslo a samotný projektívny priestor sa označuje a nazýva sa asociovaný s (na označenie toho sa používa notácia).

Preniesť z vektorový priestor dimenzia k zodpovedajúcemu projektívnemu priestoru sa nazýva projektivizácia priestor.

Body je možné opísať pomocou homogénne súradnice.

Základné fakty projektívnej geometrie: Projektívna geometria je oblasť geometrie, ktorá študuje projektívne roviny a priestory. Hlavná prednosť Projektívna geometria je založená na princípe duality, ktorá mnohým dizajnom dodáva ladnú symetriu. Projektívna geometria sa dá študovať oboje geometrický bod Analytický (s použitím homogénnych súradníc) aj salgebraický pohľad, pričom projektívnu rovinu považujeme za štruktúru nad poľom. Často a historicky sa za skutočnú projektívnu rovinu považuje euklidovská rovina s pridaním „priamky v nekonečne“.

Zatiaľ čo vlastnosti útvarov, ktorými sa zaoberá euklidovská geometria, sú metrický(špecifické hodnoty uhlov, segmentov, plôch) a rovnocennosť čísel je ekvivalentná ich kongruencia(t. j. keď sa čísla dajú preložiť jedna do druhej pohybom pri zachovaní metrických vlastností), existuje viac „hlboko ležiacich“ vlastností geometrické tvary, ktoré sa zachovávajú pri transformáciách viac ako všeobecný typ než pohyb. Projektívna geometria sa zaoberá štúdiom vlastností útvarov, ktoré sú v rámci triedy invariantné projektívne transformácie , ako aj tieto premeny samotné.

Projektívna geometria dopĺňa euklidovskú, poskytuje krásne a jednoduché riešenia pre mnohé problémy komplikované prítomnosťou rovnobežných čiar. Projektívna teória kužeľosečiek je obzvlášť jednoduchá a elegantná.

Existujú tri hlavné prístupy k projektívnej geometrii: nezávislá axiomatizácia, doplnenie euklidovskej geometrie a štruktúra nad poľom.

Axiomatizácia

Projektívny priestor možno definovať pomocou inej sady axióm.

Coxeter poskytuje nasledovné:

1. Existuje priamka a na nej nie je bod.

2. Každý riadok má najmenej tri body.

3. Cez dva body môžete nakresliť presne jednu priamku.

4. Ak A, B, C, A D- rôzne body a AB A CD pretínajú sa teda A.C. A BD pretínajú.

5. Ak ABC je rovina, potom aspoň jeden bod nie je v rovine ABC.

6. Dve rôzne lietadlá sa pretínajú aspoň v dvoch bodoch.

7. Tri diagonálne body úplného štvoruholníka nie sú kolineárne.

8. Ak sú tri body na priamke X X

Projektívna rovina (bez tretieho rozmeru) je definovaná mierne odlišnými axiómami:

1. Cez dva body môžete nakresliť presne jednu priamku.

2. Akékoľvek dve čiary sa pretínajú.

3. Existujú štyri body, z ktorých tri nie sú kolineárne.

4. Tri diagonálne body úplné štvoruholníky nie kolineárne.

5. Ak sú tri body na priamke X sú invariantné vzhľadom na projektivitu φ, potom sú všetky body na X invariantné vzhľadom na φ.

6. Desarguesova veta: Ak sú dva trojuholníky perspektívne cez bod, potom sú perspektívne cez priamku.

V prítomnosti tretej dimenzie možno Desarguesovu vetu dokázať bez uvedenia ideálne body a rovno.

Predĺžená rovina - model projektívnej roviny: V afinnom priestore A3 zoberieme zväzok priamok S(O) so stredom v bode O a rovinu Π, ktorá neprechádza stredom zväzku: O 6∈ Π. Zväzok čiar v afinnom priestore je modelom projektívnej roviny. Definujme zobrazenie množiny bodov roviny Π na množinu priamych čiar spojky S (Do riti, modli sa, ak máš túto otázku, odpusť mi)

Rozšírený trojrozmerný afinný alebo euklidovský priestor – model projektívneho priestoru:

Aby bolo zobrazenie surjektívne, zopakujeme proces formálneho rozšírenia afinnej roviny Π na projekčnú rovinu Π, pričom rovinu Π doplníme množinou nevlastných bodov (M∞) tak, že: ((M∞)) = P0(O). Keďže v mape je inverzným obrazom každej roviny zväzku rovín S(O) priamka na rovine d, je zrejmé, že množina všetkých nevlastných bodov predĺženej roviny: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), predstavuje nevlastnú priamku d∞ predĺženej roviny, ktorá je inverzným obrazom singulárnej roviny Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Dohodnime sa, že tu a odteraz budeme poslednú rovnosť P0(O) = Π0 chápať v zmysle rovnosti množín bodov, ale obdarených inou štruktúrou. Pridávanie afinná rovina nesprávna priamka, dosiahli sme, že zobrazenie (I.21) sa stalo bijektívnym na množine všetkých bodov predĺženej roviny:

Obrázky plochých a priestorových postáv počas paralelného dizajnu:

V stereometrii sa študujú priestorové postavy, ale na výkrese sú zobrazené ako ploché postavy. Ako by sa mal priestorový obrazec zobraziť v rovine? V geometrii sa na to zvyčajne používa paralelný dizajn. Nech je p nejaké lietadlo, l- priamka, ktorá ho pretína (obr. 1). Cez ľubovoľný bod A, nepatriaci do radu l, nakreslite čiaru rovnobežnú s čiarou l. Priesečník tejto priamky s rovinou p sa nazýva rovnobežný priemet bodu A do roviny p v smere priamky l. Označme to A". Ak bod A patrí do línie l, potom rovnobežnou projekciou A za priesečník priamky sa považuje rovina p l s rovinou p.

Teda každý bod A priestoru sa porovnáva jeho projekcia A" do roviny p. Táto korešpondencia sa nazýva paralelný dizajn do roviny p v smere priamky l.

Skupina projektívnych transformácií. Aplikácia na riešenie problémov.

Koncept projektívnej transformácie roviny. Príklady projektívnych transformácií roviny. Vlastnosti projektívnych transformácií. Homológia, vlastnosti homológie. Skupina projektívnych transformácií.

Koncept projektívnej transformácie roviny: Pojem projektívna transformácia zovšeobecňuje pojem centrálnej projekcie. Ak urobíš centrálna projekcia rovina α na nejakú rovinu α 1, potom priemet α 1 na α 2, α 2 na α 3, ... a nakoniec nejaká rovina α n opäť na α 1, potom zloženie všetkých týchto projekcií je projektívnou transformáciou roviny α; Do takéhoto reťazca môžu byť zahrnuté aj paralelné projekcie.

Príklady transformácií projektívnej roviny: Projektívna transformácia dokončenej roviny je jej mapovanie jedna k jednej na seba, pri ktorom je zachovaná kolinearita bodov, alebo inými slovami, obrazom akejkoľvek priamky je priamka. Každá projektívna transformácia je zložením reťazca centrálnych a paralelné projekcie. Afinná transformácia- Toto špeciálny prípad projektívny, v ktorom sa nekonečne vzdialená priamka mení na seba.

Vlastnosti projektívnych transformácií:

Pri projektívnej transformácii sa tri body, ktoré neležia na priamke, transformujú na tri body, ktoré neležia na priamke.

Počas projektívnej transformácie sa z rámca stáva rám.

Počas projektívnej transformácie sa priamka mení na priamku a ceruzka na ceruzku.

Homológia, vlastnosti homológie:

Projektívna transformácia roviny, ktorá má priamku invariantných bodov, a teda ceruzku invariantných priamok, sa nazýva homológia.

1. Čiara prechádzajúca nezhodnými zodpovedajúcimi homologickými bodmi je invariantná čiara;

2. Čiary prechádzajúce nezhodnými zodpovedajúcimi homologickými bodmi patria tej istej ceruzke, ktorej stred je invariantný bod.

3. Bod, jeho obraz a stred homológie ležia na tej istej priamke.

Skupina projektívnych transformácií: zvážte projektívne zobrazenie projektívnej roviny P 2 na seba, teda projektívnu transformáciu tejto roviny (P 2 ’ = P 2).

Ako predtým, zloženie f projektívnych transformácií f 1 a f 2 projektívnej roviny P 2 je výsledkom postupného vykonávania transformácií f 1 a f 2: f = f 2 °f 1 .

Veta 1: množina H všetkých projektívnych transformácií projektívnej roviny P 2 je grupa vzhľadom na zloženie projektívnych transformácií.

Kvadratické tvary

Kvadratický tvar f(x 1, x 2,...,x n) z n premenných je súčet, pričom každý člen je buď druhou mocninou jednej z premenných, alebo súčinom dvoch rôznych premenných, braný s určitým koeficientom: f (x 1, x 2, ..., x n) = (a ij = a ji).

Matica A zložená z týchto koeficientov sa nazýva matica kvadratickej formy. To je vždy symetrické matica (t. j. matica symetrická podľa hlavnej uhlopriečky, a ij = a ji).

V maticovom zápise je kvadratická forma f(X) = X T AX, kde

Naozaj

Napríklad napíšme kvadratickú formu v maticovom tvare.

Aby sme to dosiahli, nájdeme maticu kvadratickej formy. Jeho diagonálne prvky sa rovnajú koeficientom druhej mocniny premenných a zvyšné prvky sa rovnajú poloviciam zodpovedajúcich koeficientov kvadratickej formy. Preto

Maticový stĺpec premenných X nech získame nedegenerovanou lineárnou transformáciou maticového stĺpca Y, t.j. X = CY, kde C je nesingulárna matica n-tého rádu. Potom kvadratická forma
f(X) = X TAX = (CY) TA(CY) = (YTCT)A(CY) = YT (CTAC)Y.

Pri nedegenerovanej lineárnej transformácii C má teda matica kvadratickej formy tvar: A * = CT AC.

Nájdime napríklad kvadratickú formu f(y 1, y 2), získanú z kvadratickej formy f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 lineárnou transformáciou.

Kvadratická forma je tzv kanonický(Má kanonický pohľad), ak všetky jeho koeficienty a ij = 0 pre i ≠ j, t.j.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Jeho matica je diagonálna.

Veta(tu nie je uvedený dôkaz). Akákoľvek kvadratická forma môže byť redukovaná na kanonickú formu pomocou nedegenerovanej lineárnej transformácie.

Napríklad zredukujme kvadratickú formu na kanonickú formu
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Najprv vyberte úplný štvorec s premennou x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 x 2 2 - x 2 x 3.

Teraz vyberieme úplný štvorec s premennou x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 + x 2) 2 – 5 (x 2 2 – 2* x 2 *(1/10) x 3 + (1/100) x 3 2) - (5/100) x 3 2 =
= 2 (x 1 + x 2) 2 – 5 (x 2 – (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Potom nedegenerovaná lineárna transformácia y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10) x 3 a y 3 = x 3 privedie túto kvadratickú formu do kanonickej formy f(y 1, y 2 , y 3) = 2 y 1 2 - 5 y 2 2 - (1/20) y 3 2 .

Všimnite si, že kanonická forma kvadratickej formy je určená nejednoznačne (rovnaká kvadratická forma môže byť redukovaná na kanonickú formu rôznymi spôsobmi). Avšak kanonické formy získané rôznymi metódami majú množstvo všeobecné vlastnosti. Najmä počet členov s kladnými (zápornými) koeficientmi kvadratickej formy nezávisí od spôsobu redukcie formy na túto formu (napríklad v uvažovanom príklade budú vždy dva záporné a jeden kladný koeficient). Táto vlastnosť je tzv zákon zotrvačnosti kvadratických foriem.

Overme si to tak, že tú istú kvadratickú formu privedieme do kanonickej formy iným spôsobom. Začnime transformáciu s premennou x 2:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3 (x 2 2 –
– 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) – 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2 x 1 2 =
= -3 (x 2 – (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 – 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, kde y 1 = - (2/3) x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1/6) x 3 a y3 = x1. Tu je kladný koeficient 2 pri y 3 a dva negatívne koeficienty (-3) pri y 1 a y 2 (a pomocou inej metódy sme dostali kladný koeficient 2 pri y 1 a dva záporné koeficienty - (-5) pri y2 a (-1/20) na y3).

Treba si tiež uvedomiť, že hodnosť matice kvadratickej formy, tzv hodnosť kvadratickej formy, sa rovná počtu nenulových koeficientov kanonickej formy a pri lineárnych transformáciách sa nemení.

Kvadratická forma f(X) sa nazýva pozitívne (negatívne) istý, ak pre všetky hodnoty premenných, ktoré nie sú súčasne rovné nule, je kladné, t.j. f(X) > 0 (záporné, t.j.
f(X)< 0).

Napríklad kvadratická forma f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 je pozitívne definitná, pretože je súčet štvorcov a kvadratická forma f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 je záporne definitná, pretože predstavuje môže byť reprezentovaný ako f2 (X) = -(x1 - x 2) 2.

Vo väčšine praktických situácií je o niečo ťažšie určiť jednoznačné znamienko kvadratickej formy, preto na to použijeme jednu z nasledujúcich viet (budeme ich formulovať bez dôkazu).

Veta. Kvadratická forma je kladná (záporná) definitívna vtedy a len vtedy, ak sú všetky vlastné hodnoty jej matice kladné (záporné).

Veta (Sylvesterovo kritérium). Kvadratická forma je pozitívne definitívna vtedy a len vtedy, ak sú všetky vedúce minority matice tejto formy kladné.

Hlavná (rohová) vedľajšia Matica k-tého rádu A n-tého rádu sa nazýva determinant matice, zložený z prvých k riadkov a stĺpcov matice A ().

Všimnite si, že v prípade negatívnych určitých kvadratických foriem sa znamienka hlavných maloletých striedajú a vedľajší prvok prvého poriadku musí byť záporný.

Skúmajme napríklad kvadratickú formu f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 na určenie znamienka.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2 l - 3 l + l 2) - 4 = l 2 - 5 l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Preto je kvadratická forma pozitívne definitívna.

Metóda 2. Hlavná moll 1. rádu matice A D 1 = a 11 = 2 > 0. Hlavná moll 2. rádu D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Preto podľa Sylvesterovho kritéria je kvadratická forma kladne definitivne.

Skúmame inú kvadratickú formu určenosti znamienka, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metóda 1. Zostrojme maticu kvadratickej formy A = . Charakteristická rovnica bude mať tvar = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2 l + 3 l + l 2) – 4 = l 2 + 5 l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Preto je kvadratická forma negatívne definitívna.