Oblasť funkcie ohraničená čiarami. Ako vypočítať plochu rovinného útvaru pomocou dvojitého integrálu

Začneme uvažovať o samotnom procese výpočtu dvojitého integrálu a oboznámime sa s jeho geometrickým významom.

Dvojitý integrál sa číselne rovná ploche rovinného útvaru (oblasť integrácie). Ide o najjednoduchšiu formu dvojitého integrálu, keď sa funkcia dvoch premenných rovná jednej: .

Najprv sa pozrime na problém vo všeobecnej forme. Teraz budete celkom prekvapení, aké jednoduché je v skutočnosti všetko! Vypočítajme plochu plochej postavy ohraničenú čiarami. Pre istotu predpokladáme, že na segmente . Plocha tohto obrázku sa číselne rovná:

Znázornime oblasť na výkrese:

Vyberme si prvý spôsob prechodu oblasti:

Takto:

A hneď dôležitý technický trik: opakované integrály sa dajú vypočítať samostatne. Najprv vnútorný integrál, potom vonkajší integrál. Vrelo odporúčam túto metódu začiatočníkom v tejto oblasti.

1) Vypočítajme vnútorný integrál a integrácia sa vykoná nad premennou „y“:

Neurčitý integrál je tu najjednoduchší a potom sa používa banálny Newton-Leibnizov vzorec, len s tým rozdielom, že limity integrácie nie sú čísla, ale funkcie. Najprv sme dosadili hornú hranicu do „y“ (antiderivačná funkcia), potom dolnú hranicu

2) Výsledok získaný v prvom odseku musí byť dosadený do externého integrálu:

Kompaktnejšie znázornenie celého riešenia vyzerá takto:

Výsledný vzorec je presne pracovný vzorec na výpočet plochy rovinného útvaru pomocou „obyčajného“ určitého integrálu! Pozrite si lekciu Výpočet plochy pomocou určitého integrálu, tam je to na každom kroku!

Teda problém výpočtu plochy pomocou dvojitého integrálu nie veľmi odlišné z problému nájdenia oblasti pomocou určitého integrálu! V skutočnosti je to to isté!

Preto by nemali vzniknúť žiadne ťažkosti! Nebudem sa pozerať na veľa príkladov, pretože v skutočnosti ste sa s touto úlohou opakovane stretli.

Príklad 9

Riešenie: Znázornime oblasť na výkrese:

Zvoľme si nasledovné poradie prechodu oblasti:

Tu a ďalej sa nebudem zaoberať tým, ako prechádzať oblasťou, pretože veľmi podrobné vysvetlenia boli uvedené v prvom odseku.

Takto:

Ako som už poznamenal, pre začiatočníkov je lepšie počítať iterované integrály samostatne a ja sa budem držať rovnakej metódy:

1) Najprv sa pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca zaoberáme vnútorným integrálom:

2) Výsledok získaný v prvom kroku sa dosadí do externého integrálu:

Bod 2 je vlastne nájdenie plochy rovinného útvaru pomocou určitého integrálu.

odpoveď:

Toto je taká hlúpa a naivná úloha.

Zaujímavý príklad nezávislého riešenia:

Príklad 10

Pomocou dvojitého integrálu vypočítajte plochu rovinného útvaru ohraničeného priamkami , ,

Približný príklad konečného riešenia na konci hodiny.

V príkladoch 9-10 je oveľa výhodnejšie použiť prvý spôsob prechádzania oblasti, mimochodom, zvedaví čitatelia môžu zmeniť poradie prechádzania a vypočítať plochy pomocou druhej metódy; Ak neurobíte chybu, potom, prirodzene, dostanete rovnaké hodnoty plochy.

Ale v niektorých prípadoch je druhý spôsob prechádzania oblasťou efektívnejší a na konci kurzu mladého hlupáka sa pozrime na niekoľko ďalších príkladov na túto tému:

Príklad 11

Pomocou dvojitého integrálu vypočítajte plochu rovinného útvaru ohraničeného čiarami,

Riešenie: tešíme sa na dve paraboly s vrtochom, ktoré ležia na bokoch. Netreba sa usmievať, podobné veci sa vyskytujú pomerne často vo viacerých integráloch.

Aký je najjednoduchší spôsob, ako urobiť kresbu?

Predstavme si parabolu v podobe dvoch funkcií:
– horná vetva a – dolná vetva.

Podobne si predstavte parabolu v tvare hornej a dolnej pobočky.

Ďalej bodové vykresľovanie pravidiel grafov, čo vedie k takémuto bizarnému obrázku:

Plochu obrázku vypočítame pomocou dvojitého integrálu podľa vzorca:

Čo sa stane, ak zvolíme prvý spôsob prechodu územia? Po prvé, táto oblasť bude musieť byť rozdelená na dve časti. A po druhé, uvidíme tento smutný obrázok: . Integrály, samozrejme, nie sú na superkomplikovanej úrovni, ale... staré matematické príslovie hovorí: kto má blízko k svojim koreňom, nepotrebuje test.

Preto z nedorozumenia uvedeného v podmienke vyjadrujeme inverzné funkcie:

Inverzné funkcie v tomto príklade majú tú výhodu, že špecifikujú celú parabolu naraz bez akýchkoľvek listov, žaluďov, konárov a koreňov.

Podľa druhej metódy bude prechod oblasti takýto:

Takto:

Ako sa hovorí, cítiť ten rozdiel.

1) Zaoberáme sa vnútorným integrálom:

Výsledok dosadíme do vonkajšieho integrálu:

Integrácia nad premennou „y“ by nemala byť mätúca, ak by tam bolo písmeno „zy“, bolo by skvelé ju integrovať. Hoci každý, kto si prečítal druhý odsek lekcie Ako vypočítať objem rotačného telesa, už nezažíva ani najmenšiu nepríjemnosť s integráciou pomocou metódy „Y“.

Venujte pozornosť aj prvému kroku: integrand je párny a interval integrácie je symetrický okolo nuly. Preto je možné segment rozdeliť na polovicu a výsledok môže byť dvojnásobný. Táto technika je podrobne komentovaná v lekcii Efektívne metódy výpočtu určitého integrálu.

Čo dodať…. Všetky!

odpoveď:

Ak chcete otestovať svoju integračnú techniku, môžete skúsiť vypočítať . Odpoveď by mala byť úplne rovnaká.

Príklad 12

Pomocou dvojitého integrálu vypočítajte plochu rovinného útvaru ohraničeného čiarami

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Zaujímavosťou je, že ak skúsite použiť prvý spôsob prechádzania plochy, figúrka už nebude musieť byť rozdelená na dve, ale na tri časti! A podľa toho dostaneme tri páry opakovaných integrálov. Niekedy sa to stane.

Majstrovská trieda sa skončila a je čas prejsť na úroveň veľmajstra - Ako vypočítať dvojitý integrál? Príklady riešení. V druhom článku sa pokúsim nebyť taký maniak =)

Prajem ti úspech!

Riešenia a odpovede:

Príklad 2:Riešenie: Znázornime oblasť na výkrese:

Zvoľme si nasledovné poradie prechodu oblasti:

Takto:
Prejdime k inverzným funkciám:


Takto:
odpoveď:

Príklad 4:Riešenie: Prejdime k priamym funkciám:


Urobme výkres:

Zmeňme poradie prechádzania oblasťou:

odpoveď:

Aplikácia integrálu na riešenie aplikovaných úloh

Výpočet plochy

Určitý integrál spojitej nezápornej funkcie f(x) sa numericky rovná ploche krivočiareho lichobežníka ohraničeného krivkou y = f(x), osou O x a priamkami x = a a x = b. V súlade s tým je vzorec oblasti napísaný takto:

Pozrime sa na niekoľko príkladov výpočtu plôch rovinných útvarov.

Úloha č.1. Vypočítajte plochu ohraničenú priamkami y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Riešenie. Zostrojme obrazec, ktorého plochu budeme musieť vypočítať.

y = x 2 + 1 je parabola, ktorej vetvy smerujú nahor a parabola je oproti osi O y posunutá nahor o jednu jednotku (obrázok 1).

Obrázok 1. Graf funkcie y = x 2 + 1

Úloha č.2. Vypočítajte plochu ohraničenú priamkami y = x 2 – 1, y = 0 v rozsahu od 0 do 1.

Riešenie. Graf tejto funkcie je parabola vetiev, ktoré sú nasmerované nahor a parabola je posunutá vzhľadom na os O y nadol o jednu jednotku (obrázok 2).

Obrázok 2. Graf funkcie y = x 2 – 1

Úloha č. 3. Nakreslite a vypočítajte plochu figúry ohraničenú čiarami

y = 8 + 2x – x 2 a y = 2x – 4.

Riešenie. Prvá z týchto dvoch čiar je parabola s vetvami smerujúcimi nadol, pretože koeficient x 2 je záporný, a druhá čiara je priamka pretínajúca obe súradnicové osi.

Na zostrojenie paraboly nájdeme súradnice jej vrcholu: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – úsečka vrcholu; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 je jeho ordináta, N(1;9) je vrchol.

Teraz nájdime priesečníky paraboly a priamky riešením sústavy rovníc:

Vyrovnanie pravých strán rovnice, ktorej ľavé strany sú rovnaké.

Dostaneme 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 alebo x 2 – 12 = 0, odkiaľ .

Body sú teda priesečníky paraboly a priamky (obrázok 1).

Obrázok 3 Grafy funkcií y = 8 + 2x – x 2 a y = 2x – 4

Zostrojme priamku y = 2x – 4. Prechádza bodmi (0;-4), (2;0) na súradnicových osiach.

Na zostrojenie paraboly môžete použiť aj jej priesečníky s osou 0x, teda korene rovnice 8 + 2x – x 2 = 0 alebo x 2 – 2x – 8 = 0. Pomocou Vietovej vety je jednoduché nájsť jeho korene: x 1 = 2, x 2 = 4.

Obrázok 3 zobrazuje obrazec (parabolický segment M1N M2) ohraničený týmito čiarami.

Druhou časťou problému je nájsť oblasť tohto obrázku. Jeho obsah možno nájsť pomocou určitého integrálu podľa vzorca .

Vo vzťahu k tejto podmienke dostaneme integrál:

2 Výpočet objemu rotačného telesa

Objem telesa získaný z rotácie krivky y = f(x) okolo osi O x sa vypočíta podľa vzorca:

Pri otáčaní okolo osi Oy vzorec vyzerá takto:

Úloha č.4. Určte objem telesa získaného rotáciou zakriveného lichobežníka ohraničeného priamkami x = 0 x = 3 a krivkou y = okolo osi O x.

Riešenie. Nakreslíme obrázok (obrázok 4).

Obrázok 4. Graf funkcie y =

Požadovaný objem je

Úloha č.5. Vypočítajte objem telesa získaný rotáciou zakriveného lichobežníka ohraničeného krivkou y = x 2 a priamkami y = 0 a y = 4 okolo osi O y.

Riešenie. Máme:

Kontrolné otázky

A)

Riešenie.

Prvým a najdôležitejším bodom pri rozhodovaní je kreslenie.

Urobme výkres:

Rovnica y=0 nastaví os „x“;

- x = -2 A x=1- rovný, rovnobežný s osou OU;

- y=x 2 +2 - parabola, ktorej vetvy smerujú nahor, s vrcholom v bode (0;2).

Komentujte. Na zostrojenie paraboly stačí nájsť body jej priesečníka so súradnicovými osami, t.j. uvedenie x=0 nájsť priesečník s osou OU a vyriešením príslušnej kvadratickej rovnice nájdite priesečník s osou Oh .

Vrchol paraboly možno nájsť pomocou vzorcov:

Môžete tiež vytvárať čiary bod po bode.

Na intervale [-2;1] graf funkcie y=x2+2 umiestnený nad osou Vôl, Preto:

odpoveď: S= 9 štvorcových jednotiek

Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na výkres a zistiť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade „okom“ počítame počet buniek na výkrese - no, bude ich asi 9, zdá sa, že je to pravda. Je úplne jasné, že ak sme dostali povedzme odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, tak je zrejmé, že niekde sa stala chyba – 20 buniek sa evidentne nezmestí do predmetného čísla, maximálne tucet. Ak je odpoveď záporná, úloha bola tiež vyriešená nesprávne.

Čo robiť, ak sa pod osou nachádza zakrivený lichobežník Oh?

b) Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami y=-e x , x=1 a súradnicové osi.

Riešenie.

Urobme si kresbu.

Ak je zakrivený lichobežník úplne umiestnený pod osou Oh , potom jeho oblasť možno nájsť pomocou vzorca:

odpoveď: S=(e-1)štvorcových jednotiek“ 1,72 štvorcových jednotiek

Pozor! Tieto dva typy úloh by sa nemali zamieňať:

1) Ak vás požiadajú, aby ste jednoducho vyriešili určitý integrál bez akéhokoľvek geometrického významu, potom môže byť záporný.

2) Ak ste požiadaní, aby ste našli plochu obrazca pomocou určitého integrálu, potom je plocha vždy kladná! Preto sa v práve diskutovanom vzorci objavuje mínus.

V praxi sa najčastejšie postava nachádza v hornej aj dolnej polrovine.

c) Nájdite plochu plochej postavy ohraničenú čiarami y=2x-x2, y=-x.

Riešenie.

Najprv musíte dokončiť výkres. Všeobecne povedané, pri konštrukcii výkresu v plošných úlohách nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly a rovno Dá sa to urobiť dvoma spôsobmi. Prvá metóda je analytická.

Riešime rovnicu:

To znamená, že spodná hranica integrácie a=0, horná hranica integrácie b = 3 .

Môžete vytvárať čiary bod po bode a hranice integrácie sa vyjasnia „samo od seba“. Analytická metóda hľadania limitov sa však stále niekedy musí použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo podrobná konštrukcia neodhalila limity integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne).

Požadovaná hodnota je obmedzená parabolou nad a priamkou pod ňou.

Na segmente , podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď: S= 4,5 štvorcových jednotiek

Ako vložiť matematické vzorce na webovú stránku?

Ak niekedy potrebujete pridať jeden alebo dva matematické vzorce na webovú stránku, najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je popísaný v článku: matematické vzorce sa na stránku jednoducho vkladajú vo forme obrázkov, ktoré automaticky generuje Wolfram Alpha. . Táto univerzálna metóda okrem jednoduchosti pomôže zlepšiť viditeľnosť stránky vo vyhľadávačoch. Funguje to už dlho (a myslím si, že bude fungovať navždy), ale je už morálne zastarané.

Ak na svojej stránke pravidelne používate matematické vzorce, potom vám odporúčam použiť MathJax – špeciálnu knižnicu JavaScript, ktorá zobrazuje matematický zápis vo webových prehliadačoch pomocou značiek MathML, LaTeX alebo ASCIIMathML.

Existujú dva spôsoby, ako začať používať MathJax: (1) pomocou jednoduchého kódu môžete rýchlo pripojiť skript MathJax k vašej webovej stránke, ktorý sa automaticky načíta zo vzdialeného servera v správnom čase (zoznam serverov); (2) stiahnite si skript MathJax zo vzdialeného servera na váš server a pripojte ho ku všetkým stránkam vášho webu. Druhý spôsob – zložitejší a časovo náročnejší – zrýchli načítavanie stránok vášho webu a ak sa materský server MathJax z nejakého dôvodu stane dočasne nedostupným, váš vlastný web to nijako neovplyvní. Napriek týmto výhodám som zvolil prvý spôsob, keďže je jednoduchší, rýchlejší a nevyžaduje technické zručnosti. Nasledujte môj príklad a už za 5 minút budete môcť na svojej stránke využívať všetky funkcie MathJax.

Skript knižnice MathJax môžete pripojiť zo vzdialeného servera pomocou dvoch možností kódu prevzatých z hlavnej webovej stránky MathJax alebo na stránke dokumentácie:

Jednu z týchto možností kódu je potrebné skopírovať a vložiť do kódu vašej webovej stránky, najlepšie medzi značky alebo bezprostredne za značku. Podľa prvej možnosti sa MathJax načítava rýchlejšie a menej spomaľuje stránku. Ale druhá možnosť automaticky monitoruje a načítava najnovšie verzie MathJax. Ak vložíte prvý kód, bude potrebné ho pravidelne aktualizovať. Ak vložíte druhý kód, stránky sa budú načítavať pomalšie, ale nebudete musieť neustále sledovať aktualizácie MathJax.

Najjednoduchší spôsob pripojenia MathJax je v Blogger alebo WordPress: na ovládacom paneli stránky pridajte miniaplikáciu určenú na vloženie kódu JavaScript tretej strany, skopírujte do nej prvú alebo druhú verziu vyššie uvedeného kódu na stiahnutie a umiestnite miniaplikáciu bližšie. na začiatok šablóny (mimochodom, nie je to vôbec potrebné, pretože skript MathJax sa načítava asynchrónne). To je všetko. Teraz sa naučte syntax značiek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a ste pripravení vložiť matematické vzorce do webových stránok vašej lokality.

Akýkoľvek fraktál je skonštruovaný podľa určitého pravidla, ktoré sa dôsledne uplatňuje neobmedzený počet krát. Každý takýto čas sa nazýva iterácia.

Iteračný algoritmus na zostavenie Mengerovej špongie je celkom jednoduchý: pôvodná kocka so stranou 1 je rozdelená rovinami rovnobežnými s jej plochami na 27 rovnakých kociek. Odstráni sa z nej jedna centrálna kocka a 6 kociek priľahlých k nej pozdĺž plôch. Výsledkom je sada pozostávajúca zo zvyšných 20 menších kociek. Ak urobíme to isté s každou z týchto kociek, dostaneme súpravu pozostávajúcu zo 400 menších kociek. Pokračujúc v tomto procese donekonečna, dostaneme Mengerovu špongiu.