Prezentácia na tému "Logaritmy. Vlastnosti logaritmov"

JOHN NAPER (1550-1617)

škótsky matematik

vynálezca logaritmov.

V 90. rokoch 16. storočia prišiel s týmto nápadom

logaritmické výpočty

a zostavili prvé tabuľky

logaritmy, ale je to slávne

Dielo „Description of Amazing Tables of Logaritms“ bolo publikované až v roku 1614.

Je zodpovedný za definíciu logaritmov, vysvetlenie ich vlastností, tabuľky logaritmov, sínusov, kosínusov, dotyčníc a aplikácie logaritmov v sférickej trigonometrii.

Z histórie logaritmov

Logaritmy sa objavili pred 350 rokmi v súvislosti s potrebami výpočtovej praxe.

V tých časoch sa museli robiť veľmi ťažkopádne výpočty, aby sa vyriešili problémy v astronómii a navigácii.

Slávny astronóm Johannes Kepler ako prvý predstavil v roku 1624 znak logaritmu – log in. Na nájdenie dráhy Marsu použil logaritmy.

Slovo „logaritmus“ je gréckeho pôvodu, čo znamená pomer čísel

0, a ≠1 je exponent, na ktorý sa číslo a musí zvýšiť, aby sa získalo b. "width="640"

Definícia

Logaritmus kladného čísla b na základ a, kde a0, a ≠1 je exponent, na ktorý sa číslo a musí zvýšiť, aby sa získalo b.

Vypočítať:

log 2 16; log2 64; log 2 2;

log 2 1; log 2 (1/2); log 2 (1/8);

log 3 27; log 3 81; log 3 3;

log 3 1; log 3 (1/9); log 3 (1/3);

poleno 1/2 1/32; poleno 1/2 4; log 0,5 0,125;

Log 0,5 (1/2); log 0,5 1; log 1/2 2.

Základná logaritmická identita

Podľa definície logaritmu

Vypočítať:

3 log 3 18 ; 3 5log 3 2 ;

5 log 5 16 ; 0,3 2 log 0,3 6;

10 log 102; (1/4) log (1/4) 6;

8 log 2 5 ; 9 log 3 12 .

3 X X X R Neexistuje pre žiadne x " width="640"

V akých hodnotách X existuje logaritmus

Vôbec neexistuje

ktoré X

1. Logaritmus súčinu kladných čísel sa rovná súčtu logaritmov faktorov.

log a (bc) = log a b + log a c

( b

c )

a log a (BC) =

a log a b

= a log a b + log a c

a log a c

a log a b

a log a c

1. Logaritmus súčinu kladných čísel sa rovná súčtu logaritmov faktorov. log a (bc) = log a b + log a c

Príklad:

log a

=log a b-log a c

= a log a b - log a c

a log a b

a log a

a log a c

b = a log a b

c = a log a c

0; a ≠ 1; b 0; c 0. Príklad: 1 " width="640"

2. Logaritmus podielu dvoch kladných čísel sa rovná rozdielu medzi logaritmami deliteľa a deliteľa.

log a

=log a b–log a c,

a 0; a ≠ 1; b 0; c 0.

Príklad:

0; b 0; r R log a b r = r log a b Príklad a log a b =b 1,5 (a log a b) r =b r a rlog a b =b r " width="640"

3. Logaritmus mocniny s kladným základom sa rovná exponentu krát logaritmus základu

log a b r = r log a b

Príklad

a log a b =b

(a log a b ) r =b r

a rlog a b =b r

Vzorec pre pohyb z jednej základne

logaritmus na iný, príklady.

Snímka 2

Ciele lekcie:

Vzdelávacie: Zopakujte si definíciu logaritmu; zoznámiť sa s vlastnosťami logaritmov; naučiť sa používať vlastnosti logaritmov pri riešení úloh.

Snímka 3

Definícia logaritmu

Logaritmus kladného čísla b na základ a, kde a > 0 a a ≠ 1, je exponent, na ktorý sa musí číslo a zvýšiť, aby sa získalo číslo b. Základná logaritmická identita alogab=b (kde a>0, a≠1, b>0)

Snímka 4

História logaritmov

Slovo logaritmus pochádza z dvoch gréckych slov a prekladá sa ako pomer čísel. Počas šestnásteho storočia. Prudko sa zvýšil objem práce spojenej s vykonávaním približných výpočtov pri riešení rôznych problémov a predovšetkým problémov astronómie, ktorá má priamu praktickú aplikáciu (pri určovaní polohy lodí podľa hviezd a Slnka). Najväčšie problémy vznikali pri vykonávaní operácií násobenia a delenia. Pokusy o čiastočné zjednodušenie týchto operácií ich zredukovaním na sčítanie nepriniesli veľký úspech.

Snímka 5

Logaritmy vstúpili do praxe nezvyčajne rýchlo. Vynálezcovia logaritmov sa neobmedzili len na vývoj novej teórie. Bol vytvorený praktický nástroj - tabuľky logaritmov - ktorý výrazne zvýšil produktivitu kalkulačiek. Dodajme, že už v roku 1623, t.j. len 9 rokov po zverejnení prvých tabuliek vynašiel anglický matematik D. Gunter prvé logaritmické pravítko, ktoré sa stalo pracovným nástrojom mnohých generácií. Prvé logaritmické tabuľky zostavili nezávisle od seba škótsky matematik J. Napier (1550 - 1617) a Švajčiar I. Burgi (1552 - 1632). Napierove tabuľky obsahovali hodnoty logaritmov sínusov, kosínusov a dotyčníc pre uhly od 0 do 900 v krokoch po 1 minúte. Burgi pripravil svoje tabuľky logaritmov čísel, ale boli publikované v roku 1620, po zverejnení Napierových tabuliek, a preto zostali nepovšimnuté. Napier John (1550-1617)

Snímka 6

Vynález logaritmov tým, že zredukoval prácu astronóma, predĺžil jeho život. P. S. Laplace Preto objav logaritmov, ktorý redukuje násobenie a delenie čísel na sčítanie a odčítanie ich logaritmov, predĺžil podľa Laplacea životnosť kalkulačiek.

Snímka 7

Vlastnosti stupňa

ax ay = ax +y = ax –y (x)y = ax y

Snímka 8

Vypočítať:

Snímka 9

Skontrolujte:

Snímka 10

VLASTNOSTI LOGARITMU

Snímka 11

Aplikácia študovaného materiálu

a) log 153 + log 155 = log 15(3 5) = log 1515 =1, b) log 1545 – log 153 = log 15 = log 1515 = 1 c) log 243 = log 226 = 6 log 22 = 6, d ) log 7494 = log 7(72)4 = log 7 78 = 8 log 77 = 8. Strana. 93; č. 290 291 - 294, 296* (nepárne príklady)

Snímka 12

Nájdite druhú polovicu vzorca

Snímka 13

Skontrolujte:

Snímka 14

Domáca úloha: 1. Naučte sa vlastnosti logaritmov 2. Učebnica: § 16 s. 92-93; 3. Kniha úloh: č. 290 291 296 (párne príklady)

Snímka 15

Pokračujte vo fráze: „Dnes na lekcii, ktorú som sa naučil...“ „Dnes na lekcii som sa naučil...“ „Dnes na lekcii som sa naučil...“ „Dnes na lekcii som zopakoval...“ „Dnes na lekcii som posilnil ...“ Lekcia sa skončila!

Snímka 16

Použité učebnice a učebné pomôcky: Mordkovich A.G. Algebra a začiatky analýzy. 11. ročník: učebnica profilovej úrovne / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov a kol. - M.: Mnemosyna, 2007. Mordkovich A.G. Algebra a začiatky analýzy. 11. ročník: problémová kniha na úrovni profilu / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov et al - M.: Mnemosyne, 2007. Použitá metodologická literatúra: Mordkovich A.G. Algebra. 10-11: metodická príručka pre učiteľov. – M.: Mnemosyne, 2000 (Kaliningrad: Jantárová rozprávka, GIPP). Matematika. Týždenná príloha novín „Prvý september“.

Definícia derivátu. Stredná čiara. Štúdium funkcie pre monotónnosť. Dielo: Konsolidácia preštudovaného materiálu. Vypočítajte približne pomocou diferenciálu. Minimálne hodnoty funkcií. Derivácia a jej aplikácia v algebre a geometrii. Príslušná funkcia. Úloha. Nerovnosť. Známky zvyšujúcej sa a klesajúcej funkcie. Bodka. Definícia. Nájdenie diferenciálu. Dôkaz nerovností.

„Integrálna“ 11. trieda“ – Ako ste porazení ležali v obvyklom počte na stránke. Neoddeliteľná v literatúre. Jednoznačne integrál, v noci sa mi o tebe začalo snívať. Vymyslite si frázu. Aké šťastie som zažil pri výbere prototypu. Zamyatin Evgeny Ivanovič (1884-1937). Nájdite primitívne deriváty funkcií. Epigraf. Román „My“ (1920). Séria substitúcií a substitúcií viedla k riešeniu problému. Ilustrácia k románu „My“. Integrálne. Integrálna skupina. Lekcia algebry a zahájená analýza.

„Aplikácia logaritmov“ - Od čias starovekého gréckeho astronóma Hipparcha (2. storočie pred Kristom) sa používa pojem „hviezdna veľkosť“. Ako vidíme, logaritmy prenikajú do oblasti psychológie. Z tabuľky zistíme magnitúdu Capella (m1 = +0,2t) a Deneba (m2 = +1,3t). Jednotka objemu. Hviezdy, šum a logaritmy. Škodlivé účinky priemyselného hluku na zdravie a výrobu pracovníkov. Téma: "LOGARITMY V ASTRONÓMII." Napier (1550 - 1617) a Švajčiar I. Burgi (1552 - 1632).

"Algebra "funkcií" - Vypočítajte. Urobme si stôl. Štúdium funkcií a konštrukcia ich grafov. Pojem integrálu. Funkcia F sa nazýva primitívna derivácia funkcie f. Oblasť zakriveného lichobežníka. Funkcia je primitívna derivácia funkcie. Vypočítajme plochu S krivočiareho lichobežníka. "Integrál od a do b ef od x de x." Intervalová metóda. Nájdite priesečníky grafu s Ox (y = 0). Pravidlá diferenciácie. Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v segmente.

„Príklady logaritmických nerovností“ – Príprava na zjednotenú štátnu skúšku! Ktoré funkcie pribúdajú a ktoré klesajú? Zhrnutie lekcie. Nájdite správne riešenie. Zvyšovanie. Algebra 11. ročník. Zadanie: vyriešte logaritmické nerovnosti navrhnuté v úlohách Jednotnej štátnej skúšky 2010 Veľa šťastia pri Jednotnej štátnej skúške! Zhluk, ktorý treba vyplniť počas hodiny: Ciele lekcie: Nájdite doménu definície funkcie. Medzi čísla m a n vložte znamienko > alebo<.(m, n >0). Grafy logaritmických funkcií.

„Geometrický význam derivácie funkcie“ - Význam derivácie funkcie. Algoritmus na zostavenie tangentovej rovnice. Geometrický význam derivácie. Rovnica priamky s uhlovým koeficientom. Tangentové rovnice. Vytvorte pár. Secant. Slovná zásoba lekcie. Uspel som. Správna matematická myšlienka. Výsledky výpočtu. Limitná poloha sečny. Definícia. Nájdite svah. Napíšte rovnicu pre dotyčnicu ku grafu funkcie.

Téma lekcie:

Logaritmy a ich vlastnosti.

Esmaganbetov K.S. Učiteľ matematiky.

Účel lekcie:

1. Rozvíjanie schopnosti systematizovať a zovšeobecňovať vlastnosti logaritmov; použiť ich pri zjednodušovaní výrazov.

2. Rozvoj vedomého vnímania vzdelávacieho materiálu, vizuálnej pamäte, matematickej reči žiakov, formovať zručnosti sebaučenia, sebaorganizácie a sebaúcty, podporovať rozvoj tvorivej činnosti žiakov.

3. Pestovať kognitívnu činnosť, vštepovať žiakom lásku a úctu k predmetu, učiť ich vidieť v ňom nielen prísnosť a zložitosť, ale aj logiku, jednoduchosť a krásu.

I. Brainstorming:

1) Čo je to primitívny derivát?

2) Aké typy integrálov poznáte?

3) Ako sa líši určitý integrál od neurčitého integrálu?

4) Aké rovnice sa nazývajú iracionálne?

5) Koľko pravidiel existuje na hľadanie primitívnych derivátov?

otázky:

Skupinová práca

Určite tému lekcie pomocou anagramu:
YMFIRAOL A KHI AVTSYOVS
Kritériá na hodnotenie hádania anagramov (1 bod za správnu odpoveď, 0 bodov za nesprávnu odpoveď)

Logaritmy a ich vlastnosti

Logaritmus kladného čísla b na základ a, kde a>0, a≠1 je exponent, na ktorý sa číslo a musí zvýšiť, aby sa získalo b.
Základná logaritmická identita:

alogab= b,

Ak je základ logaritmu 10, potom sa takýto logaritmus nazýva desiatkový.
Ak sa základ logaritmu rovná číslu e, potom sa takýto logaritmus nazýva prirodzený

Vlastnosti logaritmov

Logaritmus samotnej základne je 1:
Logaritmus jedna k akejkoľvek základni sa rovná nule:
Logaritmus súčinu dvoch alebo viacerých kladných čísel sa rovná súčtu logaritmov faktorov:
Logaritmus podielu kladných čísel sa rovná rozdielu medzi logaritmami dividendy a deliteľa:
Logaritmus mocniny sa rovná súčinu exponentu a logaritmu jeho základu:
Vzorec na prechod zo základne B na základňu A:

Kritériá hodnotenia technologickej mapy:

Poskytnite matematické informácie jasne a logicky - 1 bod;
Žiak preukáže znalosť matematických symbolov - 1 bod;

Vypočítajte ústne:

Hodnotiace kritériá pre ústny výpočet

za správny ústny výpočet - 1 bod
za nesprávny ústny výpočet - 0 bodov

Fizminutka

Dve polovice

loga(x/y) loga x -loga y

Skupinová práca:

Zaradenie do skupiny 1

Skupinová práca: Zadanie pre skupinu 2 Vo vývojovom diagrame lekcie použite šípky na spojenie vzorcov

logax + logay

Skupinová práca: Zadanie pre skupinu 3 Doplňte vzorce vo vývojovom diagrame lekcie Hodnotenie rovesníkmi Kritériá hodnotenia rovesníkov

za správne nájdenie vzorcov - 1 bod za skupinu;
Za nesprávne nájdenie vzorcov - 0 bodov.

Samostatná písomná práca na diferencovaných úlohách


	denník 26 – denník 2 (6/32)
	denník 3 5 – denník 3 135
	2 denník 27 – denník 2 49
	denník 93+ denník 9243

Riešenie samostatnej práce na diferencovaných úlohách

		log(8∙125) = log 1000 = 3
	denník 26 – denník 2 (6/32)	log2 (6: (6/32)) = log232 = 5
	denník 3 5 – denník 3 135	log3 (5:135)= log3(1:27)= -3
	2 denník 27 – denník 2 49	log 272 - log 249 = log 2 (49:49) = log 2 1 = 0
	denník 93+ denník 9243	log 9(3∙243) = log 9729=3

Kritériá hodnotenia samostatnej písomnej práce

za správne vyriešenie príkladov v plnom rozsahu - 5 bodov;
Za správny pravopis matematických symbolov - 1 bod;

Vypracovanie kritérií hodnotenia výkonu:

Kritériá hodnotenia: pre 20 bodov a viac – skóre „5“
za 16-19 bodov a viac – skóre „4“
za 9 – 15 bodov a viac – skóre „3“

Vytváranie klastrov a ich ochrana Kritériá hodnotenia klastrov:

Za správne vytvorenie klastra - 1 bod;
Za eleganciu dizajnu klastra - 0,5 bodu;
Pre dobrú ochranu klastra - 1 bod

Reflexia

1. Čo viem o____
2. Čo chcem vedieť_____
3. Čo som sa naučil ____
4. Zhodnoťte svoju prácu v triede_____

Domáca úloha

1. Vytvorte synchronizované „Logaritmy“

2. Zadanie učebnice: č.241, č.242

Ciele lekcie:

Rozvoj zručností na systematizáciu a zovšeobecnenie vlastností logaritmov; použiť ich pri zjednodušovaní výrazov.
Rozvoj vedomého vnímania vzdelávacieho materiálu, vizuálnej pamäte, matematickej reči študentov, formovať zručnosti sebaučenia, sebaorganizácie a sebaúcty, podporovať rozvoj tvorivej činnosti študentov.
Pestovať kognitívnu aktivitu, vštepovať žiakom lásku a úctu k predmetu, učiť ich vidieť v ňom nielen prísnosť a zložitosť, ale aj logiku, jednoduchosť a krásu.

Vybavenie:

Interaktívna tabuľa (Softvér StarBoard)
Počítače
Prezentácia 1"Logaritmy. Vlastnosti logaritmov"
Prezentácia 2"Logaritmy a hudba"
Mapa technologickej lekcie

Typ lekcie: lekcia zovšeobecňovania a systematizácie vedomostí. (Príprava na skúšky)

Počas vyučovania

I. Org. moment

1. Motivácia

Vážení chlapci! Dúfam, že táto lekcia bude zaujímavá a bude pre každého veľkým prínosom. Naozaj chcem, aby tí, ktorým je kráľovná všetkých vied stále ľahostajná, odchádzali z našej hodiny s hlbokým presvedčením: Matematika je zaujímavý predmet. Epigrafom lekcie budú slová Aristotela: „Je lepšie urobiť malú časť úlohy dokonale ako desaťkrát horšie.

(Snímka 1. Interaktívna tabuľa alebo prezentácia 1). Ako rozumiete týmto slovám?

2. Vyhlásenie problému.

Na snímke 2 vidíte Portrét Pytagora, poznámky a logaritmy. Čo majú spoločné? (Snímka 2 na interaktívnej tabuli alebo snímka 2-3 prezentácie 1).

3. Logaritmy v hudbe

(Snímka 3 na interaktívnej tabuli alebo snímka 4 prezentácie 1).

Vo svojej básni „Fyzici a textári“ napísal básnik Boris Slutsky.

Živí sa ním aj výtvarné umenie.

Nie je hudobná stupnica súborom pokročilých logaritmov?

(Správa pre študentov – prezentácia priložená)

4. Téma lekcie(Snímka 4 na interaktívnej tabuli alebo snímka 5 prezentácie 1). Trieda je rozdelená do troch skupín, každý žiak má technologickú mapu.

II. Opakovanie

1 skupina	2. skupina	3 skupina
1. Opakovanie teórie
Vložte chýbajúce slová: Logaritmus číslab Podľa ………………………. a nazýva sa ………………….. miera, do akej potrebujete …………………. základ a získať číslob . stavať, základňa, ukazovateľ	Na technologickej mape lekcie - Úloha 1 Zozbierajte definíciu logaritmu na počítači	Na technologickej mape lekcie - Úloha 1 Napíšte definíciu logaritmu v matematickom jazyku.
2. Autotest (5. snímka na interaktívnej tabuli alebo snímka 7 prezentácie 1)
3. Opakovanie vlastností logaritmu (snímka 6-7 na interaktívnej tabuli alebo snímka 8-9 prezentácie 1)
Úloha 2. Pomocou šípok spojte vzorce v počítači.	Úloha 2. Vo vývojovom diagrame lekcie použite šípky na spojenie vzorcov	Úloha 2. Doplňte vzorce v pláne lekcie
4. Recenzia (snímka 8 na interaktívnej tabuli alebo snímka 10 prezentácie 1)
5. Aplikácia vlastností
a) Ústne (snímka 9-10 na interaktívnej tabuli alebo snímka 11-12 prezentácie 1) Vypočítajte a spojte odpovede
b) Nájdite chyby (Snímka 11 na interaktívnej tabuli alebo snímka 13 prezentácie 1)
c) Pracujte v skupinách
Pracujte na tabuli. Vypočítajte	Vykonanie testu v smerovaní Vypočítať:	Vykonanie testu na počítači
6. Opakovanie vlastností (12. snímka na interaktívnej tabuli alebo snímka 14 prezentácie 1)
7. Použitie vlastností (snímka 13 na interaktívnej tabuli alebo snímka 15 prezentácie 1)
Vypočítať:
8. Sofistika (Snímka 14 na interaktívnej tabuli alebo snímka 16 prezentácie 1)
(z gréckeho sophisma - trik, vynález, hlavolam), uvažovanie, ktoré sa zdá byť správne, ale obsahuje skrytú logickú chybu a slúži na to, aby falošnému tvrdeniu dodávalo zdanie pravdy. Zvyčajne sofistika zdôvodňuje nejakú zámernú absurditu, absurditu alebo paradoxné tvrdenie, ktoré je v rozpore so všeobecne uznávanými myšlienkami
8. Logaritmický sofizmus 2>3.(Snímka 15 na interaktívnej tabuli alebo snímka 17 prezentácie 1)
Začnime nerovnosťou, čo je nepochybne pravda. Potom prichádza premena , tiež bezpochyby. Väčšia hodnota zodpovedá väčšiemu logaritmu, čo znamená , t.j. . Po zmenšení o , máme 2>3.

III. Domáca úloha

V priečinku skúšky

Téma: "Vlastnosti logaritmov"

1. skupina - 1 možnosť
2. skupina – 2. možnosť
3. skupina – 3. možnosť

IV. Zhrnutie lekcie

(Snímka 16 na interaktívnej tabuli alebo snímka 18 prezentácie 1)

„Hudba môže povzniesť alebo upokojiť dušu,
Maľovanie lahodí oku,
Poézia má prebúdzať city,
Filozofia má uspokojiť potreby mysle,
Inžinierstvo má zlepšiť materiálnu stránku života ľudí,
A matematika môže dosiahnuť všetky tieto ciele.“
Povedal to americký matematik Maurice Kline.

Dakujem za radu!