- Preklad
Vlastnosti prvočísel prvýkrát študovali matematici starovekého Grécka. Matematici pytagorejskej školy (500 - 300 pred Kristom) sa zaujímali predovšetkým o mystické a numerologické vlastnosti prvočísel. Ako prví prišli s nápadmi o dokonalých a priateľských číslach.
Dokonalé číslo má súčet svojich vlastných deliteľov rovný sebe samému. Napríklad správnymi deliteľmi čísla 6 sú 1, 2 a 3. 1 + 2 + 3 = 6. Deliteľmi čísla 28 sú 1, 2, 4, 7 a 14. Navyše 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Čísla sa nazývajú priateľské, ak sa súčet vlastných deliteľov jedného čísla rovná druhému a naopak - napríklad 220 a 284. Môžeme povedať, že dokonalé číslo je priateľské samo k sebe.
V čase Euklidových prvkov v roku 300 p.n.l. Niekoľko dôležitých faktov o prvočíslach už bolo dokázaných. V knihe IX prvkov Euklides dokázal, že existuje nekonečný počet prvočísel. Toto je mimochodom jeden z prvých príkladov použitia dôkazu protirečením. Dokazuje tiež základnú vetu aritmetiky - každé celé číslo môže byť reprezentované jednoznačne ako súčin prvočísel.
Ukázal tiež, že ak je číslo 2n-1 prvočíslo, potom číslo 2n-1 * (2n-1) bude dokonalé. Iný matematik Euler dokázal v roku 1747 ukázať, že všetky párne dokonalé čísla sa dajú zapísať v tejto forme. Dodnes nie je známe, či existujú nepárne dokonalé čísla.
V roku 200 pred Kr. Grék Eratosthenes prišiel s algoritmom na hľadanie prvočísel, ktorý sa nazýva Eratosthenovo sito.
A potom nastal veľký zlom v dejinách štúdia prvočísel, spojený so stredovekom.
Nasledujúce objavy urobil už začiatkom 17. storočia matematik Fermat. Dokázal domnienku Alberta Girarda, že každé prvočíslo v tvare 4n+1 možno zapísať jednoznačne ako súčet dvoch štvorcov, a tiež sformuloval vetu, že každé číslo možno zapísať ako súčet štyroch štvorcov.
Vyvinul novú metódu faktorizácie veľkých čísel a demonštroval ju na čísle 2027651281 = 44021 × 46061. Dokázal tiež Fermatovu Malú vetu: ak je p prvočíslo, potom pre akékoľvek celé číslo a bude platiť, že a p = modulo p.
Toto tvrdenie dokazuje polovicu toho, čo bolo známe ako "čínska domnienka" a pochádza z obdobia pred 2000 rokmi: celé číslo n je prvočíslo práve vtedy, ak je 2 n -2 deliteľné číslom n. Druhá časť hypotézy sa ukázala ako nepravdivá – napríklad 2 341 – 2 je deliteľné 341, hoci číslo 341 je zložené: 341 = 31 × 11.
Fermatova malá veta slúžila ako základ pre mnohé ďalšie výsledky v teórii čísel a metódy na testovanie, či čísla sú prvočísla – mnohé z nich sa používajú dodnes.
Fermat si veľa dopisoval so svojimi súčasníkmi, najmä s mníchom menom Maren Mersenne. V jednom zo svojich listov vyslovil hypotézu, že čísla v tvare 2 n + 1 budú vždy prvočísla, ak n je mocninou dvoch. Testoval to pre n = 1, 2, 4, 8 a 16 a bol si istý, že v prípade, keď n nie je mocninou dvoch, číslo nemusí byť nevyhnutne prvočíslo. Tieto čísla sa nazývajú Fermatove čísla a len o 100 rokov neskôr Euler ukázal, že nasledujúce číslo, 2 32 + 1 = 4294967297, je deliteľné 641, a preto nie je prvočíslo.
Čísla v tvare 2 n - 1 boli tiež predmetom výskumu, pretože je ľahké ukázať, že ak je n zložené, potom je zložené aj samotné číslo. Tieto čísla sa nazývajú Mersennove čísla, pretože ich intenzívne študoval.
Ale nie všetky čísla v tvare 2 n - 1, kde n je prvočíslo, sú prvočísla. Napríklad 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Prvýkrát to bolo objavené v roku 1536.
Po mnoho rokov poskytovali čísla tohto druhu matematikom najväčšie známe prvočísla. Že M 19 dokázal Cataldi v roku 1588 a 200 rokov bolo najväčším známym prvočíslom, kým Euler nedokázal, že M 31 bolo tiež prvočíslo. Tento záznam trval ďalších sto rokov a potom Lucas ukázal, že M 127 je prvočíslo (a toto je už číslo 39 číslic), a potom výskum pokračoval s príchodom počítačov.
V roku 1952 bola dokázaná prvotriednosť čísel M 521, M 607, M 1279, M 2203 a M 2281.
Do roku 2005 sa našlo 42 Mersennových prvočísel. Najväčší z nich, M 25964951, pozostáva zo 7816230 číslic.
Eulerova práca mala obrovský vplyv na teóriu čísel, vrátane prvočísel. Rozšíril Fermatovu Malú vetu a zaviedol φ-funkciu. Faktorizoval 5. Fermatovo číslo 2 32 +1, našiel 60 párov priateľských čísel a sformuloval (ale nedokázal to dokázať) zákon kvadratickej reciprocity.
Bol prvým, kto zaviedol metódy matematickej analýzy a vyvinul analytickú teóriu čísel. Dokázal, že nielen harmonický rad ∑ (1/n), ale aj rad tvaru
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…
Výsledok získaný súčtom prevrátených hodnôt prvočísel sa tiež rozchádza. Súčet n členov harmonického radu rastie približne ako log(n) a druhý rad diverguje pomalšie ako log[ log(n) ]. To znamená, že napríklad súčet prevrátených hodnôt všetkých doteraz nájdených prvočísel dá iba 4, hoci séria sa stále rozchádza.
Na prvý pohľad sa zdá, že prvočísla sú medzi celými číslami rozdelené celkom náhodne. Napríklad medzi 100 číslami bezprostredne pred 10000000 je 9 prvočísiel a medzi 100 číslami bezprostredne za touto hodnotou sú len 2. Ale vo veľkých segmentoch sú prvočísla rozdelené celkom rovnomerne. Legendre a Gauss sa zaoberali otázkami ich distribúcie. Gauss raz povedal priateľovi, že za každých voľných 15 minút vždy spočíta počet prvočísel v nasledujúcich 1000 číslach. Do konca života narátal všetky prvočísla do 3 miliónov. Legendre a Gauss rovnako vypočítali, že pre veľké n je prvotná hustota 1/log(n). Legendre odhadol počet prvočísel v rozsahu od 1 do n ako
π(n) = n/(log(n) – 1,08366)
A Gauss je ako logaritmický integrál
π(n) = ∫ 1/log(t) dt
S integračným intervalom od 2 do n.
Výrok o hustote prvočísel 1/log(n) je známy ako teorém o primárnom rozdelení. Snažili sa to dokázať počas celého 19. storočia a pokrok dosiahli Čebyšev a Riemann. Spojili to s Riemannovou hypotézou, zatiaľ neoverenou hypotézou o rozdelení núl Riemannovej zeta funkcie. Hustotu prvočísel súčasne dokázali Hadamard a Vallée-Poussin v roku 1896.
V teórii prvočísel je stále veľa nevyriešených otázok, z ktorých niektoré sú staré stovky rokov:
- Hypotéza dvojčiat je o nekonečnom počte dvojíc prvočísel, ktoré sa od seba líšia o 2.
- Goldbachova domnienka: každé párne číslo, počnúc 4, môže byť reprezentované ako súčet dvoch prvočísel
- Existuje nekonečný počet prvočísel v tvare n 2 + 1?
- Je vždy možné nájsť prvočíslo medzi n 2 a (n + 1) 2? (to, že medzi n a 2n je vždy prvočíslo, dokázal Čebyšev)
- Je počet Fermatových prvočísel nekonečný? Existujú nejaké Fermatove prvočísla po 4?
- existuje aritmetický postup po sebe idúcich prvočísiel pre akúkoľvek danú dĺžku? napríklad pre dĺžku 4: 251, 257, 263, 269. Maximálna zistená dĺžka je 26.
- Existuje nekonečný počet množín troch po sebe idúcich prvočísel v aritmetickej postupnosti?
- n 2 - n + 41 je prvočíslo pre 0 ≤ n ≤ 40. Existuje nekonečný počet takýchto prvočísel? Rovnaká otázka pre vzorec n 2 - 79 n + 1601. Tieto čísla sú prvočísla pre 0 ≤ n ≤ 79.
- Existuje nekonečný počet prvočísel v tvare n# + 1? (n# je výsledkom vynásobenia všetkých prvočísel menších ako n)
- Existuje nekonečný počet prvočísel v tvare n# -1 ?
- Existuje nekonečný počet prvočísel tvaru n? + 1?
- Existuje nekonečný počet prvočísel tvaru n? - 1?
- ak p je prvočíslo, neobsahuje 2 p -1 vždy medzi svojimi faktormi druhé mocniny?
- obsahuje Fibonacciho postupnosť nekonečný počet prvočísel?
Najväčšie dvojčísla sú 2003663613 × 2 195000 ± 1. Pozostávajú z 58711 číslic a boli objavené v roku 2007.
Najväčšie faktoriál prvočíslo (typu n! ± 1) je 147855! - 1. Skladá sa z 142891 číslic a bol nájdený v roku 2002.
Najväčšie prvotné prvočíslo (číslo v tvare n# ± 1) je 1098133# + 1.
Prvočísla sú jedným z najzaujímavejších matematických javov, ktoré už viac ako dve tisícročia priťahujú pozornosť vedcov aj bežných občanov. Napriek tomu, že dnes žijeme v dobe počítačov a najmodernejších informačných programov, mnohé hádanky prvočísel ešte nie sú vyriešené, dokonca existujú aj také, ku ktorým vedci nevedia, ako sa priblížiť.
Prvočísla sú, ako je známe z kurzu elementárnej aritmetiky, tie, ktoré sú bezo zvyšku deliteľné iba jedným a sebou samým. Mimochodom, ak je prirodzené číslo deliteľné okrem tých, ktoré sú uvedené vyššie, akýmkoľvek iným číslom, potom sa nazýva zložené. Jedna z najznámejších teorémov hovorí, že každé zložené číslo môže byť reprezentované ako jedinečný možný súčin prvočísel.
Niektoré zaujímavé fakty. Po prvé, jednotka je jedinečná v tom zmysle, že v skutočnosti nepatrí ani k prvočíslam, ani k zloženým číslam. Zároveň je vo vedeckej komunite stále zvykom ho špecificky zaraďovať do prvej skupiny, pretože formálne plne spĺňa jeho požiadavky.
Po druhé, jediné párne číslo vtesnané do skupiny „prvočísel“ je prirodzene dvojka. Iné párne číslo sa sem jednoducho nedostane, keďže podľa definície je okrem seba a jednotky deliteľné aj dvomi.
Prvočísla, ktorých zoznam, ako je uvedené vyššie, môže začínať jednotkou, predstavujú nekonečný rad, rovnako nekonečný ako rad prirodzených čísel. Na základe základnej vety aritmetiky môžeme dospieť k záveru, že prvočísla nie sú nikdy prerušené a nikdy nekončia, pretože inak by bol rad prirodzených čísel nevyhnutne prerušený.
Prvočísla sa v prirodzenom rade nevyskytujú náhodne, ako by sa na prvý pohľad mohlo zdať. Po ich dôkladnej analýze si môžete okamžite všimnúť niekoľko funkcií, z ktorých najzaujímavejšie sú spojené s takzvanými „dvojitými“ číslami. Volajú sa tak preto, lebo nejakým nepochopiteľným spôsobom skončili vedľa seba, oddelené len párnym oddeľovačom (päť a sedem, sedemnásť a devätnásť).
Ak sa na ne pozriete pozorne, všimnete si, že súčet týchto čísel je vždy násobkom troch. Navyše, pri delení ľavého jedného troma zostáva zvyšok vždy dva a pravý zostáva vždy jeden. Navyše, samotné rozloženie týchto čísel pozdĺž prirodzeného radu sa dá predpovedať, ak si celý tento rad predstavíme vo forme kmitajúcich sínusoidov, ktorých hlavné body vznikajú pri delení čísel tromi a dvomi.
Prvočísla nie sú len predmetom dôkladného zvažovania matematikov na celom svete, ale už dlho sa úspešne používajú pri zostavovaní rôznych radov čísel, čo je základ okrem iného aj pre kryptografiu. Treba uznať, že obrovské množstvo záhad spojených s týmito úžasnými prvkami ešte len čaká na vyriešenie, mnohé otázky majú nielen filozofický, ale aj praktický význam.
prvočíslo je prirodzené (kladné celé číslo) číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné iba dvoma prirodzenými číslami: sebou samým a samo sebou. Inými slovami, prvočíslo má práve dvoch prirodzených deliteľov: a samotné číslo.
Podľa definície je množina všetkých deliteľov prvočísla dvojprvková, t.j. predstavuje množinu.
Množina všetkých prvočísel je označená symbolom. Vzhľadom na definíciu množiny prvočísel teda môžeme písať: .
Postupnosť prvočísel vyzerá takto:
Základná veta aritmetiky
Základná veta aritmetiky uvádza, že každé prirodzené číslo väčšie ako jedna môže byť reprezentované ako súčin prvočísel, a to jedinečným spôsobom, až do poradia faktorov. Prvočísla sú teda základnými „stavebnými kameňmi“ množiny prirodzených čísel.
Rozšírenie prirodzeného čísla title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} kanonický:
kde je prvočíslo a . Napríklad kanonický rozvoj prirodzeného čísla vyzerá takto: .
Reprezentácia prirodzeného čísla ako súčinu prvočísel sa tiež nazýva faktorizácia čísla.
Vlastnosti prvočísel
Eratosthenove sito
Jedným z najznámejších algoritmov na vyhľadávanie a rozpoznávanie prvočísel je sito Eratosthenes. Tento algoritmus bol teda pomenovaný po gréckom matematikovi Eratosthenesovi z Kyrény, ktorý je považovaný za autora algoritmu.
Ak chcete nájsť všetky prvočísla menšie ako zadané číslo, podľa metódy Eratosthenes je potrebné vykonať nasledujúce kroky:
Krok 1. Zapíšte si všetky prirodzené čísla od dvoch do , t.j. .
Krok 2. Premennej priraďte hodnotu , teda hodnotu rovnajúcu sa najmenšiemu prvočíslu.
Krok 3. Prečiarknite v zozname všetky čísla od do, ktoré sú násobkami , teda čísla: .
Krok 4. Nájdite prvé nezačiarknuté číslo v zozname väčšie ako a priraďte hodnotu tohto čísla premennej.
Krok 5. Opakujte kroky 3 a 4, kým nedosiahnete číslo.
Proces aplikácie algoritmu bude vyzerať takto:
Všetky zostávajúce nezačiarknuté čísla v zozname na konci procesu aplikácie algoritmu budú množinou prvočísel od do .
Goldbachove dohady
Obal knihy „Strýko Petros a Goldbachova hypotéza“
Napriek tomu, že prvočísla matematici skúmali pomerne dlho, mnohé súvisiace problémy dnes zostávajú nevyriešené. Jedným z najznámejších nevyriešených problémov je Goldbachova hypotéza, ktorý je formulovaný takto:
- Je pravda, že každé párne číslo väčšie ako dva možno znázorniť ako súčet dvoch prvočísel (Goldbachova binárna hypotéza)?
- Je pravda, že každé nepárne číslo väčšie ako 5 možno znázorniť ako súčet troch prvočísel (Goldbachova ternárna hypotéza)?
Treba povedať, že ternárna Goldbachova hypotéza je špeciálnym prípadom binárnej Goldbachovej hypotézy, alebo ako hovoria matematici, ternárna Goldbachova hypotéza je slabšia ako binárna Goldbachova hypotéza.
Goldbachova domnienka sa stala všeobecne známou mimo matematickej komunity v roku 2000 vďaka propagačnému marketingovému kúsku vydavateľských spoločností Bloomsbury USA (USA) a Faber and Faber (UK). Tieto vydavateľstvá, ktoré vydali knihu „Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture“, sľúbili zaplatiť cenu 1 milión amerických dolárov každému, kto dokáže Goldbachovu hypotézu do 2 rokov od dátumu vydania knihy. Niekedy sa spomínaná cena od vydavateľov zamieňa s cenami za riešenie problémov s cenou tisícročia. Nemýľte sa, Goldbachova hypotéza nie je klasifikovaná Clay Institute ako „výzva tisícročia“, hoci úzko súvisí s Riemannova hypotéza- jedna z „výziev tisícročia“.
Kniha „Prvočísla. Dlhá cesta do nekonečna"
Obal knihy „Svet matematiky. Základné čísla. Dlhá cesta do nekonečna"
Dodatočne odporúčam prečítať si fascinujúcu populárno-náučnú knihu, ktorej anotácia hovorí: „Hľadanie prvočísel je jedným z najparadoxnejších problémov v matematike. Vedci sa to pokúšajú vyriešiť už niekoľko tisícročí, no s novými verziami a hypotézami zostáva táto záhada stále nevyriešená. Vzhľad prvočísel nepodlieha žiadnemu systému: objavujú sa spontánne v rade prirodzených čísel, ignorujúc všetky pokusy matematikov identifikovať vzory v ich postupnosti. Táto kniha umožní čitateľovi sledovať vývoj vedeckých konceptov od staroveku až po súčasnosť a predstaví najzaujímavejšie teórie hľadania prvočísel.“
Dodatočne odcitujem začiatok druhej kapitoly tejto knihy: „Prvočísla sú jednou z dôležitých tém, ktoré nás vracajú k samotným počiatkom matematiky, a potom nás po ceste zvyšujúcej sa zložitosti vedú do popredia matematiky. moderná veda. Bolo by teda veľmi užitočné vysledovať fascinujúcu a zložitú históriu teórie prvočísel: presne to, ako sa vyvíjala, presne ako sa zbierali fakty a pravdy, ktoré sú dnes všeobecne akceptované. V tejto kapitole uvidíme, ako generácie matematikov pozorne študovali prirodzené čísla pri hľadaní pravidla, ktoré predpovedalo výskyt prvočísel – pravidla, ktoré sa s postupom hľadania stávalo čoraz nepochopiteľnejším. Podrobne sa pozrieme aj na historický kontext: podmienky, v ktorých matematici pracovali a do akej miery ich práca zahŕňala mystické a polonáboženské praktiky, ktoré sa značne líšia od vedeckých metód používaných v našej dobe. Napriek tomu sa pomaly a ťažko pripravovala pôda pre nové pohľady, ktoré inšpirovali Fermata a Eulera v 17. a 18. storočí.“
Všetky ostatné prirodzené čísla sa nazývajú zložené. Prirodzené číslo 1 nie je ani prvočíslo, ani zložené.
Príklad
Cvičenie. Ktoré z prirodzených čísel napísaných nižšie sú prvočísla:
Odpoveď.
Faktorizácia čísla
Reprezentácia prirodzeného čísla ako súčinu prirodzených čísel sa nazýva faktorizácia. Ak pri rozklade prirodzeného čísla sú všetky faktory prvočísla, potom sa takýto rozklad nazýva prvočíselná faktorizácia.
Veta
(Základná veta aritmetiky)
Každé prirodzené číslo iné ako 1 možno rozložiť na prvočísla a to jedinečným spôsobom (ak identifikujeme rozklady a , kde a sú prvočísla).
Kombináciou identických prvočiniteľov pri rozklade čísla získame takzvaný kanonický rozklad čísla:
kde , sú rôzne prvočísla a sú prirodzené čísla.
Príklad
Cvičenie. Nájdite kanonický rozvoj čísel:
Riešenie. Ak chcete nájsť kanonický rozklad čísel, musíte ich najskôr rozdeliť na prvočísla a potom skombinovať rovnaké faktory a zapísať ich súčin ako mocninu s prirodzeným exponentom:
Odpoveď.
Historický odkaz
Ako určiť, ktoré číslo je prvočíslo a ktoré nie? Najbežnejšia metóda na nájdenie všetkých prvočísel v ľubovoľnom číselnom rozsahu bola navrhnutá v 3. storočí. BC e. Eratosthenes (metóda sa nazýva „Eratosthenovo sito“). Predpokladajme, že musíme určiť, ktoré čísla sú prvočísla. Vypíšeme ich za sebou a vyškrtneme každé druhé číslo z nasledujúcich po čísle 2 - všetky sú zložené, keďže sú násobkami čísla 2. Prvé zo zvyšných neprečiarknutých čísel - 3 - je prvočíslo. Vyškrtnime každé tretie číslo z tých, ktoré nasledujú po čísle 3; ďalšie z neprečiarknutých čísel - 5 - bude tiež prvočíslo. Rovnakým princípom prečiarkneme každé piate číslo od čísel za číslom 5 a vo všeobecnosti každé jedno od čísel za číslom . Všetky zostávajúce neprečiarknuté čísla budú prvočísla.
S pribúdajúcimi prvočíslami sa postupne stávajú čoraz menej bežnými. Už starovekí ľudia si však dobre uvedomovali, že ich je nekonečne veľa. Jeho dôkaz je uvedený v Euklidových prvkoch.
Článok pojednáva o pojmoch prvočíselných a zložených čísel. Definície takýchto čísel sú uvedené s príkladmi. Uvádzame dôkaz, že počet prvočísel je neobmedzený a zaznamenáme ho do tabuľky prvočísel pomocou Eratosthenesovej metódy. Bude poskytnutý dôkaz na určenie, či je číslo prvočíslo alebo zložené.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Prvočísla a zložené čísla – definície a príklady
Prvočísla a zložené čísla sú klasifikované ako kladné celé čísla. Musia byť väčšie ako jedna. Deliče sa tiež delia na jednoduché a zložené. Aby ste pochopili pojem zložených čísel, musíte si najprv preštudovať pojmy deliteľov a násobkov.
Definícia 1
Prvočísla sú celé čísla, ktoré sú väčšie ako jedna a majú dvoch kladných deliteľov, teda samy seba a 1.
Definícia 2
Zložené čísla sú celé čísla, ktoré sú väčšie ako jedna a majú aspoň troch kladných deliteľov.
Jedna nie je ani prvočíslo, ani zložené číslo. Má iba jedného kladného deliteľa, takže sa líši od všetkých ostatných kladných čísel. Všetky kladné celé čísla sa nazývajú prirodzené čísla, to znamená, že sa používajú pri počítaní.
Definícia 3
základné čísla sú prirodzené čísla, ktoré majú iba dvoch kladných deliteľov.
Definícia 4
Zložené číslo je prirodzené číslo, ktoré má viac ako dvoch kladných deliteľov.
Každé číslo väčšie ako 1 je buď prvočíslo, alebo zložené. Z vlastnosti deliteľnosti máme, že 1 a číslo a bude vždy deliteľom pre ľubovoľné číslo a, čiže bude deliteľné samo sebou a 1. Uveďme definíciu celých čísel.
Definícia 5
Prirodzené čísla, ktoré nie sú prvočísla, sa nazývajú zložené čísla.
Prvočísla: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Sú deliteľné len samy sebou a 1. Zložené čísla: 6, 63, 121, 6697. To znamená, že číslo 6 možno rozložiť na 2 a 3 a 63 na 1, 3, 7, 9, 21, 63 a 121 na 11, 11, to znamená, že jeho deliteľmi budú 1, 11, 121. Číslo 6697 je rozložené na 37 a 181. Všimnite si, že koncepty prvočísel a druhých čísel sú odlišné pojmy.
Aby bolo používanie prvočísel jednoduchšie, musíte použiť tabuľku:
Tabuľka pre všetky existujúce prirodzené čísla je nereálna, keďže ich je nekonečne veľa. Keď čísla dosiahnu veľkosť 10 000 alebo 1 000 000 000, mali by ste zvážiť použitie Eratosthenovho sita.
Zoberme si vetu, ktorá vysvetľuje posledné tvrdenie.
Veta 1
Najmenší kladný deliteľ prirodzeného čísla väčšieho ako jedna okrem 1 je prvočíslo.
Dôkaz 1
Predpokladajme, že a je prirodzené číslo väčšie ako 1, b je najmenším nejednotným deliteľom čísla a. Je potrebné dokázať, že b je prvočíslo pomocou metódy kontradikcie.
Predpokladajme, že b je zložené číslo. Odtiaľto máme, že existuje deliteľ pre b, ktorý je odlišný od 1 aj od b. Takýto deliteľ sa označuje ako b 1. Je potrebné splniť podmienku 1< b 1 < b bol dokončený.
Z podmienky je zrejmé, že a je delené b, b je delené b 1, čo znamená, že pojem deliteľnosti je vyjadrený takto: a = b q a b = b 1 · q 1 , odkiaľ a = b 1 · (q 1 · q), kde q a q 1 sú celé čísla. Podľa pravidla o násobení celých čísel máme, že súčin celých čísel je celé číslo s rovnosťou tvaru a = b 1 · (q 1 · q) . Je vidieť, že b 1 je deliteľ čísla a. Nerovnosť 1< b 1 < b nie zodpovedá, pretože zistíme, že b je najmenší kladný a ne-1 deliteľ a.
Veta 2
Existuje nekonečné množstvo prvočísel.
Dôkaz 2
Pravdepodobne vezmeme konečný počet prirodzených čísel n a označíme ich ako p 1, p 2, …, p n. Uvažujme o možnosti nájsť iné prvočíslo, ako je uvedené.
Zoberme do úvahy číslo p, ktoré sa rovná p 1, p 2, ..., p n + 1. Nerovná sa každému z čísel zodpovedajúcich prvočíslam v tvare p 1, p 2, ..., p n. Číslo p je prvočíslo. Potom sa teorém považuje za dokázaný. Ak je zložený, musíte použiť zápis p n + 1 a ukážte, že deliteľ sa nezhoduje so žiadnym z p 1, p 2, ..., p n.
Ak by to tak nebolo, potom na základe vlastnosti deliteľnosti súčinu p 1, p 2, ..., p n , zistíme, že by to bolo deliteľné pn + 1. Všimnite si, že výraz p n + 1 delenie čísla p sa rovná súčtu p 1, p 2, ..., p n + 1. Dostaneme, že výraz p n + 1 Druhý člen tejto sumy, ktorý sa rovná 1, sa musí rozdeliť, ale to nie je možné.
Je vidieť, že medzi ľubovoľným počtom daných prvočísel možno nájsť akékoľvek prvočíslo. Z toho vyplýva, že prvočísel je nekonečne veľa.
Keďže prvočísel je veľa, tabuľky sú obmedzené na čísla 100, 1000, 10000 atď.
Pri zostavovaní tabuľky prvočísel by ste mali vziať do úvahy, že takáto úloha vyžaduje postupnú kontrolu čísel od 2 do 100. Ak nie je deliteľ, zapíše sa do tabuľky, ak je zložený, do tabuľky sa nezapíše.
Pozrime sa na to postupne.
Ak začnete s číslom 2, potom má iba 2 deliteľov: 2 a 1, čo znamená, že ho možno zadať do tabuľky. To isté s číslom 3. Číslo 4 je zložené, treba ho rozložiť na 2 a 2. Číslo 5 je prvočíslo, čo znamená, že ho možno zaznamenať do tabuľky. Urobte to až do čísla 100.
Táto metóda je nepohodlná a časovo náročná. Je možné vytvoriť stôl, ale budete musieť stráviť veľa času. Je potrebné použiť kritériá deliteľnosti, ktoré urýchlia proces hľadania deliteľov.
Metóda využívajúca Eratosthenovo sito sa považuje za najvhodnejšiu. Pozrime sa na príklady tabuliek nižšie. Na začiatok sú zapísané čísla 2, 3, 4, ..., 50.
Teraz musíte prečiarknuť všetky čísla, ktoré sú násobkami 2. Vykonajte postupné prečiarknutie. Dostaneme tabuľku ako:
Prejdeme k vyčiarknutiu čísel, ktoré sú násobkami 5. Dostaneme:
Prečiarknite čísla, ktoré sú násobkami 7, 11. Nakoniec stôl vyzerá takto
Prejdime k formulácii vety.
Veta 3
Najmenší kladný deliteľ základného čísla a, odlišný od 1, nepresahuje a, kde a je aritmetický koreň daného čísla.
Dôkaz 3
Je potrebné označiť b najmenšieho deliteľa zloženého čísla a. Existuje celé číslo q, kde a = b · q, a máme, že b ≤ q. Nerovnosti formy sú neprijateľné b > q, pretože je porušená podmienka. Obe strany nerovnosti b ≤ q by sa mali vynásobiť akýmkoľvek kladným číslom b, ktoré sa nerovná 1. Dostaneme, že b · b ≤ b · q, kde b 2 ≤ a a b ≤ a.
Z overenej vety je zrejmé, že prečiarknutie čísel v tabuľke vedie k tomu, že je potrebné začať s číslom, ktoré sa rovná b 2 a spĺňa nerovnosť b 2 ≤ a. To znamená, že ak prečiarknete čísla, ktoré sú násobkami 2, proces začína 4 a násobky 3 9 a tak ďalej až do 100.
Zostavenie takejto tabuľky pomocou Eratosthenovho teorému naznačuje, že keď sa prečiarknu všetky zložené čísla, zostanú prvočísla, ktoré nepresiahnu n. V príklade, kde n = 50, máme, že n = 50. Z toho dostaneme, že Eratosthenovo sito preoseje všetky zložené čísla, ktorých hodnota nie je väčšia ako hodnota odmocniny 50. Vyhľadávanie čísel prebieha preškrtávaním.
Pred riešením musíte zistiť, či je číslo prvočíslo alebo zložené. Často sa používajú kritériá deliteľnosti. Pozrime sa na to v príklade nižšie.
Príklad 1
Dokážte, že číslo 898989898989898989 je zložené.
Riešenie
Súčet číslic daného čísla je 9 8 + 9 9 = 9 17. To znamená, že číslo 9 · 17 je deliteľné 9 na základe testu deliteľnosti 9. Z toho vyplýva, že je zložený.
Takéto znaky nie sú schopné dokázať prvoradosť čísla. Ak je potrebné overenie, mali by sa vykonať iné opatrenia. Najvhodnejším spôsobom je vyčíslenie čísel. Počas procesu možno nájsť prvočísla a zložené čísla. To znamená, že čísla by nemali prekročiť hodnotu a. To znamená, že číslo a musí byť rozložené na prvočíselné faktory. ak je toto splnené, potom číslo a možno považovať za prvočíslo.
Príklad 2
Určte zložené alebo prvočíslo 11723.
Riešenie
Teraz musíte nájsť všetkých deliteľov pre číslo 11723. Treba vyhodnotiť 11723 .
Odtiaľ vidíme, že 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 a 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .
Pre presnejší odhad čísla 11723 je potrebné napísať výraz 108 2 = 11 664 a 109 2 = 11 881 , To 108 2 < 11 723 < 109 2 . Z toho vyplýva, že 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.
Pri rozširovaní zistíme, že 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 sú všetky prvočísla. Celý tento proces možno znázorniť ako rozdelenie podľa stĺpca. To znamená, vydeľte 11723 číslom 19. Číslo 19 je jedným z jeho faktorov, keďže dostávame delenie bezo zvyšku. Predstavme si rozdelenie ako stĺpec:
Z toho vyplýva, že 11723 je zložené číslo, pretože okrem seba a 1 má aj deliteľa 19.
odpoveď: 11723 je zložené číslo.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
