Rovnobežnosť dvoch priamok možno dokázať na základe vety, podľa ktorej dve kolmice nakreslené vo vzťahu k jednej priamke budú rovnobežné. Existujú určité znaky rovnobežnosti čiar - sú tri a všetky zvážime konkrétnejšie.
Prvý znak paralelizmu
Čiary sú rovnobežné, ak keď pretínajú tretiu čiaru, vnútorné uhly, ktoré sa tvoria krížom, budú rovnaké.
Povedzme, že keď sa priamky AB a CD pretínajú s priamkou EF, vznikli uhly /1 a /2. Sú rovnaké, pretože priamka EF prebieha v jednom sklone vzhľadom na ďalšie dve priamky. Tam, kde sa priamky pretínajú, dáme body Ki L - máme sečnicu EF. Nájdeme jej stred a položíme bod O (obr. 189).
Spustíme kolmicu z bodu O na priamku AB. Pokračujeme kolmicou, až kým nepretne priamku CD. Výsledkom je, že pôvodná priamka AB je striktne kolmá na MN, čo znamená, že CD_|_MN je tiež, ale toto tvrdenie vyžaduje dôkaz. V dôsledku nakreslenia kolmice a priesečníka sme vytvorili dva trojuholníky. Jeden z nich je MOJ, druhý NOK. Pozrime sa na ne podrobnejšie. znaky rovnobežných čiar stupeň 7
Tieto trojuholníky sú rovnaké, pretože v súlade s podmienkami vety /1 =/2 a v súlade s konštrukciou trojuholníkov je strana OK = strana OL. Uhol MOL =/NOK, keďže ide o vertikálne uhly. Z toho vyplýva, že strana a dva k nej priľahlé uhly jedného z trojuholníkov sa rovnajú strane a dvom priľahlým uhlom druhého trojuholníka. Teda trojuholník MOL = trojuholník NOK, a teda uhol LMO = uhol KNO, ale vieme, že /LMO je rovný, čo znamená, že zodpovedajúci uhol KNO je tiež pravý. To znamená, že sme dokázali, že na priamku MN sú priamka AB aj priamka CD kolmé. To znamená, že AB a CD sú navzájom paralelné. Toto sme potrebovali dokázať. Uvažujme o zostávajúcich znakoch rovnobežnosti čiar (stupeň 7), ktoré sa líšia od prvého znaku v metóde dôkazu.
Druhý znak paralelizmu
Podľa druhého kritéria pre rovnobežnosť priamok musíme dokázať, že uhly získané v procese priesečníka rovnobežiek AB a CD priamky EF budú rovnaké. Znaky rovnobežnosti dvoch čiar, prvej aj druhej, sú teda založené na rovnosti uhlov získaných, keď ich pretína tretia čiara. Predpokladajme, že /3 = /2 a uhol 1 = /3, pretože je k nemu kolmý. Takže a /2 sa bude rovnať uhlu 1, avšak treba vziať do úvahy, že uhol 1 aj uhol 2 sú vnútorné, priečne ležiace uhly. V dôsledku toho všetko, čo musíme urobiť, je použiť naše poznatky, konkrétne, že dva segmenty budú rovnobežné, ak keď pretínajú tretiu priamku, vytvorené priečne uhly sú rovnaké. Tak sme zistili, že AB || CD.
Podarilo sa nám dokázať, že za predpokladu, že dve kolmice k jednej priamke sú rovnobežné, podľa príslušnej vety je znamienko rovnobežiek zrejmé.
Tretí znak paralelizmu
Existuje aj tretí znak rovnobežnosti, ktorý dokazuje súčet jednostranných vnútorných uhlov. Tento dôkaz znamienka rovnobežnosti priamok nám umožňuje dospieť k záveru, že dve priamky budú rovnobežné, ak pri pretínaní tretej priamky bude súčet výsledných jednostranných vnútorných uhlov rovný 2d. Pozri obrázok 192.
Najprv sa pozrime na rozdiel medzi pojmami znak, vlastnosť a axióma.
Definícia 1
Podpísať Nazývajú určitý fakt, podľa ktorého možno určiť pravdivosť úsudku o predmete záujmu.
Príklad 1
Čiary sú rovnobežné, ak ich priečne tvoria rovnaké priečne uhly.
Definícia 2
Nehnuteľnosť je formulovaný v prípade, keď existuje dôvera v spravodlivosť rozsudku.
Príklad 2
Keď sú rovnobežné čiary rovnobežné, ich priečne tvoria rovnaké priečne uhly.
Definícia 3
axióma nazývajú tvrdenie, ktoré nevyžaduje dôkaz a bez neho sa prijíma ako pravda.
Každá veda má svoje axiómy, na ktorých sú založené následné úsudky a ich dôkazy.
Axióma rovnobežných čiar
Niekedy sa axióma rovnobežiek akceptuje ako jedna z vlastností rovnobežiek, no zároveň sú na jej platnosti založené aj iné geometrické dôkazy.
Veta 1
Cez bod, ktorý neleží na danej priamke, možno na rovinu nakresliť len jednu priamku, ktorá bude s danou rovnobežnou.
Axióma nevyžaduje dôkaz.
Vlastnosti rovnobežných čiar
Veta 2
Nehnuteľnosť1. Vlastnosť tranzitivity rovnobežných čiar:
Keď je jedna z dvoch rovnobežných čiar rovnobežná s treťou, druhá čiara bude s ňou rovnobežná.
Vlastnosti vyžadujú dôkaz.
dôkaz:
Nech existujú dve rovnobežné priamky $a$ a $b$. Čiara $c$ je rovnobežná s čiarou $a$. Skontrolujme, či v tomto prípade bude priamka $c$ aj rovnobežná s priamkou $b$.
Aby sme to dokázali, použijeme opačný návrh:
Predstavme si, že je možné, že priamka $c$ je rovnobežná s jednou z priamok, napríklad s priamkou $a$, a pretína druhú priamku, priamku $b$, v určitom bode $K$.
Podľa axiómy rovnobežiek dostaneme rozpor. Vzniká tak situácia, že sa dve priamky pretínajú v jednom bode, navyše rovnobežne s tou istou priamkou $a$. Táto situácia je nemožná, preto sa priamky $b$ a $c$ nemôžu pretínať.
Bolo teda dokázané, že ak jedna z dvoch rovnobežných čiar je rovnobežná s treťou čiarou, potom druhá čiara je rovnobežná s treťou čiarou.
Veta 3
Nehnuteľnosť 2.
Ak jednu z dvoch rovnobežných čiar pretína tretia, bude ňou pretínať aj druhú čiaru.
dôkaz:
Nech existujú dve rovnobežné priamky $a$ a $b$. Tiež nech existuje nejaká čiara $c$, ktorá pretína jednu z rovnobežných čiar, napríklad čiaru $a$. Je potrebné ukázať, že priamka $c$ pretína aj druhú priamku, priamku $b$.
Zostavme dôkaz protirečením.
Predstavme si, že priamka $c$ nepretína priamku $b$. Potom bodom $K$ prechádzajú dve priamky $a$ a $c$, ktoré nepretínajú priamku $b$, t.j. sú s ňou rovnobežné. Ale táto situácia je v rozpore s axiómou rovnobežných čiar. To znamená, že predpoklad bol nesprávny a čiara $c$ bude pretínať čiaru $b$.
Veta bola dokázaná.
Vlastnosti rohov, ktoré tvoria dve rovnobežné čiary a sečnicu: opačné uhly sú rovnaké, zodpovedajúce uhly sú rovnaké, * súčet jednostranných uhlov je $180^(\circ)$.
Príklad 3
Dané dve rovnobežné priamky a tretia priamka kolmá na jednu z nich. Dokážte, že táto priamka je kolmá na inú rovnobežnú priamku.
Dôkaz.
Majme rovné čiary $a \paralelné b$ a $c \perp a$.
Keďže priamka $c$ pretína priamku $a$, tak podľa vlastnosti rovnobežiek bude pretínať aj priamku $b$.
Sečna $c$, ktorá pretína rovnobežné priamky $a$ a $b$, tvorí rovnaké vnútorné uhly ležiace s nimi priečne.
Pretože $c \perp a$, potom budú uhly $90^(\circ)$.
Preto $c \perp b$.
Dôkaz je kompletný.
AB A SD križuje tretia priamka MN, potom uhly vytvorené v tomto prípade dostanú nasledujúce názvy v pároch:zodpovedajúce uhly 1 a 5, 4 a 8, 2 a 6, 3 a 7;
vnútorné priečne uhly 3 a 5, 4 a 6;
vonkajšie priečne uhly 1 a 7, 2 a 8;
vnútorné jednostranné rohy 3 a 6, 4 a 5;
vonkajšie jednostranné rohy: 1 a 8, 2 a 7.
Takže ∠ 2 = ∠ 4 a ∠ 8 = ∠ 6, ale podľa toho, čo bolo dokázané, ∠ 4 = ∠ 6.
Preto ∠ 2 = ∠ 8.
3. Zodpovedajúce uhly 2 a 6 sú rovnaké, pretože ∠ 2 = ∠ 4 a ∠ 4 = ∠ 6. Uistime sa tiež, že ostatné zodpovedajúce uhly sú rovnaké.
4. Sum vnútorné jednostranné rohy 3 a 6 bude 2d, pretože súčet priľahlé rohy 3 a 4 sa rovná 2d = 180 0 a ∠ 4 možno nahradiť rovnakým ∠ 6. Dbáme tiež na to, aby súčet uhlov 4 a 5 sa rovná 2d.
5. Sum vonkajšie jednostranné rohy bude 2d, pretože tieto uhly sú rovnaké vnútorné jednostranné rohy ako rohy vertikálne.
Z vyššie uvedeného dokázaného odôvodnenia dostávame konverzné vety.
Keď na priesečníku dvoch čiar s ľubovoľnou treťou čiarou dostaneme, že:
1. Vnútorné priečne uhly sú rovnaké;
alebo 2. Vonkajšie priečne uhly sú rovnaké;
alebo 3. Zodpovedajúce uhly sú rovnaké;
alebo 4. Súčet vnútorných jednostranných uhlov sa rovná 2d = 180 0;
alebo 5. Súčet vonkajších jednostranných je 2d = 180 0 ,
potom sú prvé dve čiary rovnobežné.
Znaky rovnobežnosti dvoch čiar
Veta 1. Ak sa dve priamky pretínajú sečnicou:
skrížené uhly sú rovnaké, príp
zodpovedajúce uhly sú rovnaké, príp
súčet jednostranných uhlov je potom 180°
čiary sú rovnobežné(obr. 1).
Dôkaz. Obmedzujeme sa na preukázanie prípadu 1.
Nech sú pretínajúce sa priamky a a b priečne a uhly AB sú rovnaké. Napríklad ∠ 4 = ∠ 6. Dokážme, že || b.
Predpokladajme, že priamky a a b nie sú rovnobežné. Potom sa pretínajú v určitom bode M, a preto jeden z uhlov 4 alebo 6 bude vonkajším uhlom trojuholníka ABM. Pre jednoznačnosť nech je ∠ 4 vonkajší uhol trojuholníka ABM a ∠ 6 vnútorný uhol. Z vety o vonkajšom uhle trojuholníka vyplýva, že ∠ 4 je väčšie ako ∠ 6, čo je v rozpore s podmienkou, čo znamená, že priamky a a 6 sa nemôžu pretínať, sú teda rovnobežné.
Dôsledok 1. Dve rôzne čiary v rovine kolmej na tú istú čiaru sú rovnobežné(obr. 2).
Komentujte. Spôsob, akým sme práve dokázali prípad 1 vety 1, sa nazýva metóda dôkazu kontradikciou alebo redukciou do absurdity. Táto metóda dostala svoje prvé meno, pretože na začiatku argumentu je vyslovený predpoklad, ktorý je v rozpore (opačný) s tým, čo je potrebné dokázať. Vedúcim k absurdite sa nazýva preto, že uvažovaním na základe vysloveného predpokladu dospejeme k absurdnému záveru (k absurdite). Prijatie takéhoto záveru nás núti odmietnuť predpoklad vyslovený na začiatku a prijať ten, ktorý bolo potrebné dokázať.
Úloha 1. Zostrojte priamku prechádzajúcu daným bodom M a rovnobežnú s danou priamkou a, ktorá neprechádza bodom M.
Riešenie. Bodom M kolmo na priamku a vedieme priamku p (obr. 3).
Potom nakreslíme priamku b bodom M kolmým na priamku p. Priamka b je rovnobežná s priamkou a podľa následku vety 1.
Z uvažovaného problému vyplýva dôležitý záver:
cez bod, ktorý neleží na danej priamke, je vždy možné nakresliť priamku rovnobežnú s danou.
Hlavná vlastnosť rovnobežných čiar je nasledovná.
Axióma rovnobežných čiar. Cez daný bod, ktorý neleží na danej priamke, prechádza len jedna priamka rovnobežná s danou.
Uvažujme o niektorých vlastnostiach rovnobežných priamok, ktoré vyplývajú z tejto axiómy.
1) Ak priamka pretína jednu z dvoch rovnobežných priamok, potom pretína aj druhú (obr. 4).
2) Ak sú dve rôzne čiary rovnobežné s treťou čiarou, potom sú rovnobežné (obr. 5).
Nasledujúca veta je tiež pravdivá.
Veta 2. Ak dve rovnobežné priamky pretína priečka, potom:
priečne uhly sú rovnaké;
zodpovedajúce uhly sú rovnaké;
súčet jednostranných uhlov je 180°.
Dôsledok 2. Ak je čiara kolmá na jednu z dvoch rovnobežných čiar, potom je tiež kolmá na druhú(pozri obr. 2).
Komentujte. Veta 2 sa nazýva inverzná veta 1. Záver 1. vety je podmienkou vety 2. A podmienka 1. vety je záverom 2. vety. Nie každá veta má inverznú, teda ak je daná veta pravda, potom môže byť inverzná veta nepravdivá.
Vysvetlime si to na príklade vety o vertikálnych uhloch. Táto veta môže byť formulovaná nasledovne: ak sú dva uhly vertikálne, potom sú rovnaké. Opačná veta by bola: ak sú dva uhly rovnaké, potom sú vertikálne. A to, samozrejme, nie je pravda. Dva rovnaké uhly nemusia byť vertikálne.
Príklad 1 Dve rovnobežné čiary pretína tretia. Je známe, že rozdiel medzi dvoma vnútornými jednostrannými uhlami je 30°. Nájdite tieto uhly.
Riešenie. Nech obrázok 6 spĺňa podmienku.
Video lekcia „Znaky pre rovnobežnosť dvoch čiar“ obsahuje dôkaz teorémov, ktoré popisujú znaky označujúce rovnobežnosť čiar. Video zároveň popisuje 1) vetu o rovnobežnosti priamok, v ktorej sú rovnaké uhly vytvorené priečnym, 2) znamienko, ktoré znamená rovnobežnosť dvoch priamok - pri rovnako vytvorených zodpovedajúcich uhloch, 3) znamienko to znamená rovnobežnosť dvoch priamok v prípade, že keď sa pretínajú so sečnou, sú sčítané jednostranné uhly až 180°. Účelom tejto video lekcie je oboznámiť študentov so znamienkami, ktoré znamenajú rovnobežnosť dvoch čiar, ktorých znalosť je potrebná na riešenie mnohých praktických problémov, jasne prezentovať dôkazy týchto teorémov a rozvíjať zručnosti pri dokazovaní geometrických tvrdení.
Výhody video lekcie súvisia s tým, že pomocou animácie, hlasového sprievodu a možnosti zvýraznenia farbou poskytuje vysoký stupeň názornosti a môže slúžiť ako náhrada prezentácie štandardného bloku nový vzdelávací materiál od učiteľa.
Video lekcia začína názvom zobrazeným na obrazovke. Pred popisom znakov rovnobežných čiar sa žiaci zoznámia s pojmom sečna. Sečna je definovaná ako čiara, ktorá pretína iné čiary. Obrazovka zobrazuje dve priamky a a b, ktoré sa pretínajú s priamkou c. Zostrojená čiara c je zvýraznená modrou farbou, čím je zdôraznená skutočnosť, že ide o sečnicu daných čiar a a b. Aby sme zvážili znaky rovnobežnosti čiar, je potrebné sa lepšie oboznámiť s oblasťou priesečníka čiar. Sečna v priesečníkoch s priamkami tvorí 8 uhlov ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8, analýzou vzťahov ktorých je možné odvodiť znaky rovnobežnosť týchto čiar. Je potrebné poznamenať, že uhly ∠3 a ∠5, ako aj ∠2 a ∠4 sa nazývajú krížovo. Detailné vysvetlenie je podané pomocou animácie usporiadania priečnych uhlov ako uhlov, ktoré ležia medzi rovnobežnými priamkami a susedia s priamkami ležiacimi krížom. Potom sa zavedie pojem jednostranné uhly, ktoré zahŕňajú dvojice ∠4 a ∠5, ako aj ∠3 a ∠6. Naznačené sú aj dvojice zodpovedajúcich uhlov, z ktorých sú na zostrojenom obrázku 4 dvojice - ∠1-∠5, ∠4-∠8, ∠2-∠6, ∠3-∠7.
Ďalšia časť video lekcie skúma tri znaky rovnobežnosti akýchkoľvek dvoch čiar. Na obrazovke sa zobrazí prvý popis. Veta hovorí, že ak sú priečne uhly vytvorené priečnou rovinou rovnaké, dané priamky budú rovnobežné. Výpis je doplnený nákresom zobrazujúcim dve priame čiary a a b a sečnicu AB. Je potrebné poznamenať, že ležiace uhly ∠1 a ∠2 vytvorené krížom sú si navzájom rovné. Toto vyhlásenie si vyžaduje dôkaz.
Najľahšie sa preukáže špeciálny prípad, keď dané priečne uhly sú pravé. To znamená, že sečna je kolmá na priamky a podľa už dokázanej vety sa v tomto prípade priamky a a b nebudú pretínať, teda sú rovnobežné. Dôkaz pre tento konkrétny prípad je opísaný pomocou príkladu obrázka vytvoreného vedľa prvého obrázku, ktorý zdôrazňuje dôležité detaily dôkazu pomocou animácie.
Aby sme to dokázali vo všeobecnom prípade, je potrebné nakresliť ďalšiu kolmicu zo stredu segmentu AB na priamku a. Potom sa na priamku b položí segment BH 1 rovný segmentu AN. Z výsledného bodu H1 sa nakreslí úsečka spájajúca body O a H1. Ďalej uvažujeme dva trojuholníky ΔОНА a ΔОВН 1, ktorých rovnosť je dokázaná prvým znakom rovnosti dvoch trojuholníkov. Konštrukčne sú strany OA a OB rovnaké, pretože bod O bol označený ako stred úsečky AB. Konštrukčne sú strany HA a H 1 B rovnaké, pretože sme odložili segment H 1 B rovný HA. A uhly sú ∠1=∠2 podľa podmienok úlohy. Pretože vytvorené trojuholníky sú si navzájom rovné, zodpovedajúce zostávajúce dvojice uhlov a strán sú tiež rovnaké. Z toho vyplýva, že segment OH 1 je pokračovaním segmentu OH, ktorý tvorí jeden segment HH 1. Je potrebné poznamenať, že keďže zostrojený segment OH je kolmý na priamku a, potom je segment HH1 kolmý na priamky a a b. Táto skutočnosť znamená pri použití vety o rovnobežnosti priamok, ku ktorým je zostrojená jedna kolmica, že dané priamky a a b sú rovnobežné.
Ďalšia veta, ktorá vyžaduje dôkaz, je znakom rovnosti rovnobežných priamok s rovnosťou zodpovedajúcich uhlov vytvorených pri pretínaní priečnika. Výrok tejto vety sa zobrazí na obrazovke a študenti ho môžu navrhnúť na zaznamenanie. Dôkaz začína konštrukciou na obrazovke dvoch rovnobežných priamok a a b, ku ktorým je zostrojená sečna c. Na obrázku zvýraznené modrou farbou. Sečna tvorí zodpovedajúce uhly ∠1 a ∠2, ktoré sa podľa podmienky navzájom rovnajú. Priľahlé uhly ∠3 a ∠4 sú tiež označené. ∠2 vo vzťahu k uhlu ∠3 je vertikálny uhol. A vertikálne uhly sú vždy rovnaké. Navyše uhly ∠1 a ∠3 ležia medzi sebou priečne - ich rovnosť (podľa už osvedčeného tvrdenia) znamená, že priamky a a b sú rovnobežné. Veta bola dokázaná.
Posledná časť video lekcie je venovaná dokazovaniu tvrdenia, že ak sa súčet jednostranných uhlov, ktoré vzniknú, keď sa dve priamky pretnú s priečnou priamkou, rovná 180°, v tomto prípade budú tieto priamky navzájom rovnobežné. Dôkaz je demonštrovaný pomocou obrázku znázorňujúceho priamky a a b pretínajúce sečnicu c. Uhly, ktoré tvorí priesečník, sú označené podobne ako v predchádzajúcom dôkaze. Podľa podmienky sa súčet uhlov ∠1 a ∠4 rovná 180°. Okrem toho je známe, že súčet uhlov ∠3 a ∠4 sa rovná 180°, pretože spolu susedia. To znamená, že uhly ∠1 a ∠3 sú si navzájom rovné. Tento záver dáva právo tvrdiť, že priamky a a b sú rovnobežné. Veta bola dokázaná.
Video lekciu „Znaky paralelizmu dvoch čiar“ môže učiteľ použiť ako samostatný blok demonštrujúci dôkazy týchto teorémov, ktorý nahrádza vysvetlenie učiteľa alebo ho sprevádza. Podrobné vysvetlenie umožňuje študentom použiť materiál na samostatné štúdium a pomôže pri vysvetľovaní materiálu počas dištančného vzdelávania.
