Inštrukcia

Ak je daný trojuholník rovnoramenný alebo pravidelný, teda má
dve alebo tri strany, potom jeho stred podľa vlastnosti trojuholník, bude tiež mediánom. A preto opak rozdelí os na polovicu.

Odmerajte opačnú stranu pomocou pravítka trojuholník kam bude smerovať osička. Túto stranu rozdeľte na polovicu a do stredu strany vložte bodku.

Nakreslite priamku cez vytvorený bod a opačný vrchol. Toto bude stred trojuholník.

Zdroje:

• Mediány, osi a výšky trojuholníka

Rozdelenie uhla na polovicu a výpočet dĺžky čiary nakreslenej z jej vrcholu na opačnú stranu je potrebný pre rezačov, geodetov, montérov a ľudí niektorých iných profesií.

Budete potrebovať

• Nástroje Ceruzka Pravítko Uhlomer Tabuľky sínusov a kosínusov Matematické vzorce a pojmy: Definícia sektora Vety o sínusoch a kosínusoch Veta o osi

Inštrukcia

Postavte trojuholník potrebnej veľkosti a veľkosti v závislosti od toho, čo dostanete? dfe strany a uhol medzi nimi, tri strany alebo dva uhly a strana umiestnená medzi nimi.

Označte vrcholy rohov a strán tradičnou latinkou A, B a C. Vrcholy rohov sú označené, protiľahlé strany malými písmenami. Označte rohy grécke písmená?,? a?

Pomocou sínusovej a kosínusovej vety vypočítajte uhly a strany trojuholník.

Pamätajte na bisektory. Bisector - rozdelenie uhla na polovicu. Sektor uhla trojuholník rozdeľuje opak na dva segmenty, čo sa rovná pomeru dvoch susediace strany trojuholník.

Nakreslite osy uhla. Označte výsledné segmenty menami napísaných uhlov malými písmenami, s dolným indexom l. Strana c je rozdelená na segmenty a a b s indexmi l.

Vypočítajte dĺžky výsledných segmentov pomocou sínusovej vety.

Podobné videá

Poznámka

Dĺžka úsečky, ktorá je súčasne stranou trojuholníka tvoreného jednou zo strán pôvodného trojuholníka, osi a samotným úsečkou, sa vypočíta pomocou sínusovej vety. Ak chcete vypočítať dĺžku ďalšieho segmentu rovnakej strany, použite pomer výsledných segmentov a priľahlých strán pôvodného trojuholníka.

Užitočné rady

Aby ste sa neplietli, nakreslite osy rôzne uhly iná farba.

bisector rohu nazývaný lúč, ktorý začína vo vrchole rohu a rozdelí ho na dve rovnaké časti. Tie. stráviť bisector, musíte nájsť stred rohu. Najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je pomocou kompasu. V tomto prípade nemusíte robiť žiadne výpočty a výsledok nebude závisieť od toho, či je hodnota rohu celé číslo.

Budete potrebovať

• kružidlo, ceruzka, pravítko.

Inštrukcia

Ponechajte šírku otvoru kompasu rovnakú, nastavte ihlu na koniec segmentu na jednej zo strán a nakreslite časť kruhu tak, aby bol umiestnený vo vnútri rohu. Urobte to isté s druhým. Získate dve časti kruhov, ktoré sa budú vo vnútri pretínať rohu- približne v strede. Časti kružníc sa môžu pretínať v jednom alebo dvoch bodoch.

Podobné videá

Užitočné rady

Na vytvorenie osi uhla môžete použiť uhlomer, ale táto metóda vyžaduje väčšiu presnosť. V tomto prípade, ak hodnota uhla nie je celé číslo, zvyšuje sa pravdepodobnosť chýb v konštrukcii osi.

Pri stavbe alebo vývoji projektov domáceho dizajnu je často potrebné stavať rohu rovná už prítomnému. Šablóny prídu na pomoc školské vedomosti geometria.

Inštrukcia

Uhol tvoria dve priame čiary vychádzajúce z toho istého bodu. Tento bod sa bude nazývať vrchol rohu a čiary budú strany rohu.

Použite tri na označenie rohov: jeden hore, dva po stranách. sa volajú rohu, začínajúc písmenom, ktoré stojí na jednej strane, potom nazývajú písmeno hore a potom písmenom na druhej strane. Ak chcete inak, použite iné na označenie rohov. Niekedy sa volá len jedno písmeno, ktoré je hore. A uhly môžete označiť gréckymi písmenami, napríklad α, β, γ.

Sú situácie, kedy je to potrebné rohu tak, že je už daný roh. Ak pri stavaní nie je možné použiť uhlomer, vystačíte si len s pravítkom a kružidlom. Predpokladajme, že na riadku označenom písmenami MN musíte postaviť rohu v bode K tak, aby sa rovnal uhlu B. To znamená, že z bodu K je potrebné nakresliť priamku s čiarou MN rohu, ktorý sa bude rovnať uhlu B.

Začnite označením bodky na každej strane daný uhol, napríklad body A a C, potom body C a A spojte priamkou. Získajte tre rohu nik ABC.

Teraz postavte na čiare MN rovnaké tri rohu vrchol B je na priamke v bode K. Použite pravidlo na zostrojenie trojuholníka rohu tri hodiny. Odložte segment KL z bodu K. Musí byť rovná segmentu Slnko. Získajte bod L.

Z bodu K nakreslite kružnicu s polomerom rovným segmentu BA. Z L nakreslite kružnicu s polomerom CA. Spojte výsledný bod (P) priesečníka dvoch kružníc s K. Získajte tri rohu nick KPL, ktorý sa bude rovnať trom rohu niku ABC. Takže dostanete rohu K. Bude sa rovnať uhlu B. Aby to bolo pohodlnejšie a rýchlejšie, oddeľte si rovnaké segmenty z vrcholu B pomocou jedného riešenia kompasu, bez pohybu nôh, opíšte z bodu K kružnicu s rovnakým polomerom.

Podobné videá

Tip 5: Ako nakresliť trojuholník s dvoma stranami a stredom

Trojuholník je najjednoduchší geometrický obrazec, ktorý má tri vrcholy spojené v pároch segmentmi, ktoré tvoria strany tohto mnohouholníka. Úsečka spájajúca vrchol so stredom opačnej strany sa nazýva medián. Keď poznáte dĺžky dvoch strán a medián spájajúci sa v jednom z vrcholov, môžete postaviť trojuholník bez toho, aby ste poznali dĺžku tretej strany alebo uhlov.

Inštrukcia

Nakreslite úsečku z bodu A, ktorej dĺžka je jednou zo známych strán trojuholníka (a). Označte koncový bod tohto segmentu písmenom B. Potom už môže byť jedna zo strán (AB) požadovaného trojuholníka považovaná za postavenú.

Pomocou kružidla nakreslite kružnicu s polomerom rovným dvojnásobku dĺžky mediánu (2∗m) so stredom v bode A.

Pomocou kružidla nakreslite druhý kruh s polomerom rovná dĺžke známa strana(b), a vycentrujte sa na bod B. Kompas na chvíľu odložte, ale nameraný nechajte na ňom – budete ho potrebovať znova o niečo neskôr.

Zostrojte úsečku spájajúcu bod A s priesečníkom dvoch, ktoré ste nakreslili. Polovica tohto segmentu bude tá, ktorú staviate – zmerajte túto polovicu a vložte bod M. V tomto bode máte jednu stranu požadovaného trojuholníka (AB) a jeho stred (AM).

Pomocou kružidla nakreslite kružnicu s polomerom rovným dĺžke druhej známej strany (b) so stredom v bode A.

Nakreslite úsečku, ktorá by mala začínať v bode B, prechádzať bodom M a končiť v bode priesečníka priamky s kružnicou, ktorú ste nakreslili v predchádzajúcom kroku. Priesečník označte písmenom C. Teraz je na požadovanej strane postavená aj strana BC, neznáma podľa podmienok problému.

Schopnosť rozdeliť ľubovoľný uhol osou je potrebná nielen na získanie „A“ z matematiky. Tieto znalosti budú veľmi užitočné pre staviteľa, dizajnéra, geodeta a krajčíra. V živote je veľa vecí, ktoré treba rozdeliť.

Všetci v škole učili vtip o potkanovi, ktorý behá za rohy a rozdeľuje roh na polovicu. Tento šikovný a inteligentný hlodavec sa nazýval Bisector. Nie je známe, ako potkan rozdelil roh a matematici v školská učebnica"Geometria" môže byť navrhnutá nasledujúcimi spôsobmi.

S pomocou uhlomeru

S pomocou kruhu

S pravítkom

Bez náradia

Rozšírený uhol

Uhly v trojuholníku

Podobné videá

Mnemotechnické pravidlo „priečna je krysa, ktorá behá okolo rohov a delí ich na polovicu“ popisuje podstatu konceptu, ale nedáva odporúčania na zostavenie osy. Na jeho nakreslenie budete potrebovať okrem pravidla aj kružidlo a pravítko.

Inštrukcia

Povedzme, že potrebujete stavať bisector roh A. Vezmite kružidlo, umiestnite ho bodom do bodu A (uhol) a nakreslite kružnicu ľubovoľného . Tam, kde pretína strany rohu, umiestnite body B a C.

Zmerajte polomer prvého kruhu. Nakreslite ďalší s rovnakým polomerom a umiestnite kružidlo do bodu B.

Nakreslite ďalší kruh (rovnajúci sa veľkosti predchádzajúcich) so stredom v bode C.

Všetky tri kružnice sa musia pretínať v jednom bode – nazvime ho F. Pomocou pravítka nakreslite lúč prechádzajúci bodmi A a F. Toto bude požadovaná os uhla A.

Existuje niekoľko pravidiel, ktoré vám pomôžu nájsť. Opačne je to napr. rovný pomeru dve susediace strany. v rovnoramennom

Aká je os uhla trojuholníka? Na túto otázku niektorí ľudia majú notoricky známu krysu, ktorá behá po rohoch a delí roh na polovicu. „Ak by mala byť odpoveď „s humorom“, potom je možno správna. vedecký bod z pohľadu, odpoveď na túto otázku mala znieť asi takto: začať od vrcholu uhla a rozdeliť ho na dve rovnaké časti. opačná strana trojuholníka. Toto nie je mylný názor. Ale čo je ešte niečo známe o osi uhla okrem jeho definície?

Ako každé miesto bodov má svoje vlastné charakteristiky. Prvý z nich nie je ani znakom, ale teorémou, ktorú možno stručne vyjadriť takto: „Ak je protiľahlá strana rozdelená na dve časti osou, potom ich pomer bude zodpovedať pomeru strán veľkého trojuholník."

Druhá vlastnosť, ktorú má: priesečník osi všetkých uhlov sa nazýva stred.

Tretie znamienko: osy jedného vnútorného a dvoch vonkajších uhlov trojuholníka sa pretínajú v strede jedného z troch kruhov, ktoré sú do neho vpísané.

Štvrtou vlastnosťou osi uhla trojuholníka je, že ak je každá z nich rovnaká, potom posledná je rovnoramenná.

Piate znamenie sa tiež týka rovnoramenný trojuholník a je hlavným vodítkom pre jeho rozpoznanie v kresbe pomocou osi, a to: v rovnoramennom trojuholníku pôsobí súčasne ako stred a výška.

Uhlová os môže byť skonštruovaná pomocou kružidla a pravítka:

Šieste pravidlo hovorí, že nie je možné zostrojiť trojuholník s použitím posledne menovaného len s dostupnými osami, rovnako ako nie je možné týmto spôsobom zostrojiť zdvojnásobenie kocky, štvorec kružnice a trisekciu uhla. Presne povedané, toto sú všetky vlastnosti osi uhla trojuholníka.

Ak ste si pozorne prečítali predchádzajúci odsek, možno vás zaujala jedna fráza. "Čo je trisekcia uhla?" - určite sa opýtate. Trisectrix je trochu podobná osi, ale ak ju nakreslíte, potom sa uhol rozdelí na dve rovnaké časti a pri konštrukcii trisekcie na tri. Prirodzene, osnica uhla je ľahšie zapamätateľná, pretože trisekcia sa v škole nevyučuje. Ale pre úplnosť vám o tom poviem.

Ako som už povedal, trisektor sa nedá postaviť len pomocou kružidla a pravítka, ale dá sa vytvoriť pomocou pravidiel Fujita a niektorých kriviek: Pascalove slimáky, štvorce, Nycomedove lastúrniky, kužeľové rezy,

Problémy na trisekcii uhla sú celkom jednoducho vyriešené pomocou nevsis.

V geometrii existuje veta o trisektoroch uhla. Nazýva sa Morleyova (Morleyova) veta. Uvádza, že priesečníky trisektorov v strede každého uhla budú vrcholy

Malý čierny trojuholník vo vnútri veľkého bude vždy rovnostranný. Túto vetu objavil britský vedec Frank Morley v roku 1904.

Tu je to, koľko sa môžete dozvedieť o delení uhla: trisektor a bisektor uhla vždy vyžadujú podrobné vysvetlenie. Ale tu bolo uvedených veľa definícií, ktoré som ešte nezverejnil: Pascalov slimák, Nicomedesova lastúra atď. Nepochybne sa o nich dá napísať viac.

Priemerná úroveň

Sektor trojuholníka. Podrobná teória s príkladmi (2019)

Osa trojuholníka a jej vlastnosti

Viete, čo je stredom čiary? Samozrejme. A stred kruhu? To isté. Aký je stred uhla? Môžete povedať, že sa to nestane. Ale prečo, segment sa dá rozdeliť na polovicu, ale uhol nie? Je to celkom možné - len nie bodka, ale .... riadok.

Zapamätajte si vtip: bisector je krysa, ktorá behá okolo rohov a rozdeľuje roh na polovicu. Takže skutočná definícia osi je veľmi podobná tomuto vtipu:

Sektor trojuholníka je úsečka osy uhla trojuholníka, spájajúca vrchol tohto uhla s bodom na opačnej strane.

Kedysi starovekí astronómovia a matematici veľa objavili zaujímavé vlastnosti osy. Toto poznanie značne zjednodušilo životy ľudí. Zjednodušilo sa stavanie, výpočet vzdialeností, dokonca aj korekcia streľby z kanónov... Ale znalosť týchto vlastností nám pomôže vyriešiť niektoré úlohy GIA a Jednotnej štátnej skúšky!

Prvé poznatky, ktoré v tom pomôžu - stred rovnoramenného trojuholníka.

Mimochodom, pamätáte si všetky tieto pojmy? Pamätáte si, ako sa navzájom líšia? nie? Nie strašidelné. Teraz poďme na to prísť.

takže, základňa rovnoramenného trojuholníka- toto je strana, ktorá sa nerovná žiadnej inej. Pozrite sa na obrázok, ktorá strana to podľa vás je? To je pravda - je to strana.

Stred je čiara vedená z vrcholu trojuholníka a deliaca čiara opačná strana(opäť) na polovicu.

Všimnite si, že nehovoríme "stredná hodnota rovnoramenného trojuholníka." Vieš prečo? Pretože medián nakreslený z vrcholu trojuholníka pretína opačnú stranu v AKEJKOĽVEK trojuholníku.

No, výška je čiara vedená zhora a kolmá na základňu. Všimol si si? Hovoríme opäť o akomkoľvek trojuholníku, nielen o rovnoramennom. Výška v AKEJKOĽVEK trojuholníku je vždy kolmá na základňu.

Tak čo, prišli ste na to? Takmer. Aby sme lepšie pochopili a navždy si zapamätali, čo je to bisector, medián a výška, je potrebné ich navzájom porovnať a pochopiť, ako sú si podobné a ako sa navzájom líšia. Zároveň, aby ste si lepšie zapamätali, je lepšie všetko opísať “ ľudský jazyk". Potom budete ľahko pracovať s jazykom matematiky, ale najskôr tomuto jazyku nerozumiete a musíte všetko porozumieť vo svojom vlastnom jazyku.

V čom sú si teda podobné? Stred, stred a výška - všetky "vychádzajú" z vrcholu trojuholníka a priliehajú opačným smerom a "niečo robia" buď s uhlom, z ktorého vychádzajú, alebo s opačná strana. Myslím, že je to jednoduché, nie?

A ako sa líšia?

• Osa pretína uhol, z ktorého vychádza.
• Medián pretína opačnú stranu.
• Výška je vždy kolmá na opačnú stranu.

To je všetko. Pochopiť je ľahké. Keď pochopíte, môžete si spomenúť.

Teraz ďalšia otázka. Prečo sa potom v prípade rovnoramenného trojuholníka ukáže, že os je stredná aj výška súčasne?

Môžete sa len pozrieť na obrázok a uistiť sa, že medián sa absolútne rozdelí na dva rovnaký trojuholník. To je všetko! Matematici však neradi veria vlastným očiam. Potrebujú všetko dokázať. desivé slovo? Nič také - všetko je jednoduché! Pozrite sa: a majú rovnaké strany a majú spoločnú stranu a. (- bisector!) A tak sa ukázalo, že dva trojuholníky majú dva rovnaké strany a uhol medzi nimi. Pripomíname si prvý znak rovnosti trojuholníkov (nepamätám si, pozrite sa na tému) a usudzujeme, že to znamená = a.

To je už dobré - to znamená, že sa ukázalo, že je to medián.

Ale čo to je?

Pozrime sa na obrázok -. A dostali sme to. Tak tiež! Konečne hurá! A.

Zdal sa vám tento dôkaz ťažký? Pozrite sa na obrázok - dva rovnaké trojuholníky hovoria samy za seba.

V každom prípade si prosím pamätajte:

Teraz je to ťažšie: budeme počítať uhol medzi osami v ľubovoľnom trojuholníku! Nebojte sa, nie je to až také zložité. Pozri sa na obrázok:

Poďme si to spočítať. Pamätáš si, že súčet uhlov trojuholníka je?

Aplikujme tento úžasný fakt.

Na jednej strane od:

Teda.

Teraz sa pozrime na:

Ale osi, osi!

Pripomeňme si o:

Teraz cez listy

\uhol AOC=90()^\circ +\frac(\uhol B)(2)

Nie je to prekvapujúce? Ukázalo sa, že uhol medzi osami dvoch uhlov závisí len od tretieho uhla!

Nuž, pozreli sme sa na dve osi. Čo ak sú tri??!! Pretínajú sa všetky v rovnakom bode?

Alebo bude?

Ako si myslíte, že? Tu matematici mysleli, mysleli a dokázali:

Naozaj, skvelé?

Chcete vedieť, prečo sa to deje?

Takže...dva správny trojuholník: A. Oni majú:

• spoločná prepona.
• (pretože - osička!)

Takže - podľa uhla a prepony. Preto sú zodpovedajúce nohy týchto trojuholníkov rovnaké! Teda.

Dokázali sme, že bod je rovnako (alebo rovnako) vzdialený od strán uhla. Bod 1 sa riešil. Teraz prejdime k bodu 2.

Prečo je 2 správne?

A spojte bodky.

Takže, to znamená, že leží na osi!

To je všetko!

Ako sa to všetko dá aplikovať na riešenie problémov? Napríklad v úlohách je často taká fráza: "Kruh sa dotýka strán uhla ...". No treba si niečo nájsť.

Rýchlo si to uvedomíte

A môžete použiť rovnosť.

3. Tri osi v trojuholníku sa pretínajú v jednom bode

Z vlastnosti osy byť miestom bodov rovnako vzdialených od strán uhla vyplýva nasledovné tvrdenie:

Ako presne to prúdi? Ale pozrite sa: dve osi sa určite pretnú, však?

A tretia os by mohla vyzerať takto:

Ale v skutočnosti je všetko oveľa lepšie!

Uvažujme priesečník dvoch priesečníkov. Zavolajme jej.

Čo sme tu použili oba razy? Áno odsek 1, samozrejme! Ak bod leží na osi, potom je rovnako vzdialený od strán uhla.

A tak sa aj stalo.

Ale pozorne sa pozrite na tieto dve rovnosti! Veď z nich vyplýva, že a teda .

A teraz to už pôjde bod 2: ak sú vzdialenosti strán uhla rovnaké, potom bod leží na osi ... akého uhla? Pozrite sa ešte raz na obrázok:

a sú vzdialenosti od strán uhla a sú rovnaké, čo znamená, že bod leží na oske uhla. Tretia os prešla tým istým bodom! Všetky tri osi sa pretínajú v jednom bode! A ako ďalší darček -

Polomery zapísané kruhy.

(Pre vernosť si pozrite inú tému).

Teraz už nikdy nezabudnete:

Priesečníkom priesečníkov trojuholníka je stred kružnice, ktorá je do neho vpísaná.

Prejdime k ďalšia nehnuteľnosť... Wow, a stred má veľa vlastností, však? A to je skvelé, pretože viac vlastností, témy viac nástrojov na riešenie problémov o osi.

4. Osa a rovnobežnosť, osy susedných uhlov

Skutočnosť, že os v niektorých prípadoch pretína uhol, vedie k úplne neočakávaným výsledkom. Napríklad,

Prípad 1

Je to skvelé, však? Poďme pochopiť prečo.

Na jednej strane kreslíme osi!

Ale na druhej strane - ako priečne ležiace rohy (pamätajte na tému).

A teraz sa ukazuje, že; vyhodiť stred: ! - rovnoramenný!

Prípad 2

Predstavte si trojuholník (alebo sa pozrite na obrázok)

Pokračujme vedľa seba. Teraz existujú dva rohy:

• - vnútorný roh
• - vonkajší roh - je to vonku, však?

Takže, a teraz niekto chcel nakresliť nie jednu, ale dve osi naraz: pre aj pre. Čo sa bude diať?

A ukáže sa obdĺžnikový!

Prekvapivo je to presne ono.

Rozumieme.

Aká je podľa vás suma?

Samozrejme, pretože všetky spolu zvierajú taký uhol, že sa ukáže ako priamka.

A teraz si to pripomenieme a sme osi a uvidíme, že vo vnútri je uhol presne polovicu zo súčtu všetkých štyroch uhlov: a - - teda presne. Dá sa to zapísať aj ako rovnica:

Takže neuveriteľné, ale pravdivé:

Uhol medzi osami vnútorného a vonkajšieho uhla trojuholníka je rovnaký.

Prípad 3

Vidíte, že tu je všetko rovnaké ako pre vnútorné a vonkajšie rohy?

Alebo sa znova zamyslíme, prečo je to tak?

Opäť, pokiaľ ide o priľahlé rohy,

(ako korešponduje s paralelnými bázami).

A opäť make up presne polovica zo sumy

Záver: Ak sú v probléme osi súvisiace uhly alebo osi príslušné uhly rovnobežníka alebo lichobežníka, potom v tomto probléme určite ide o pravouhlý trojuholník a možno aj o celý obdĺžnik.

5. Bisector a opačná strana

Ukazuje sa, že os uhla trojuholníka rozdeľuje opačnú stranu nie nejako, ale zvláštnym a veľmi zaujímavým spôsobom:

To je:

Úžasný fakt, však?

Teraz túto skutočnosť dokážeme, ale pripravte sa: bude to o niečo ťažšie ako predtým.

Opäť - východ do "priestoru" - dodatočná budova!

Poďme rovno.

Prečo? Teraz uvidíme.

Pokračujeme v osi až po priesečník s čiarou.

Známy obrázok? Áno, áno, áno, presne to isté ako v odseku 4, prípad 1 – ukazuje sa, že (- bisector)

Akoby ležal krížom krážom

Tak toto je tiež.

Teraz sa pozrime na trojuholníky a.

Čo sa o nich dá povedať?

Sú si podobné. Áno, ich uhly sú rovnaké ako vertikálne. Takže dva rohy.

Teraz máme právo napísať vzťahy zodpovedajúcich strán.

A teraz v skratke:

Oh! Niečo mi to pripomína, však? Nie je to to, čo sme chceli dokázať? Áno, áno, to je ono!

Vidíte, ako skvelo sa ukázal byť „spacewalk“ – vybudovanie ďalšej priamky – bez toho by sa nič nestalo! A tak sme to dokázali

Teraz ho môžete bezpečne používať! Poďme analyzovať ešte jednu vlastnosť osi uhlov trojuholníka - nebojte sa, teraz je to najťažšie za sebou - bude to jednoduchšie.

Chápeme to

Veta 1:

Veta 2:

Veta 3:

Veta 4:

Veta 5:

Veta 6:

Dnes to bude veľmi ľahká lekcia. Budeme uvažovať iba o jednom objekte - o osi uhla - a dokážeme jeho najdôležitejšiu vlastnosť, ktorá sa nám bude v budúcnosti veľmi hodiť.

Len sa neuvoľnite: niekedy študenti, ktorí sa chcú dostať vysoké skóre na tom istom OGE alebo USE na prvej hodine nevedia sformulovať ani presnú definíciu osi.

A namiesto toho, aby naozaj robili zaujímavé úlohy strácame čas takými jednoduchými vecami. Tak čítajte, pozerajte - a adoptujte. :)

Na začiatok trochu zvláštna otázka: čo je to uhol? Správne: uhol sú len dva lúče vychádzajúce z toho istého bodu. Napríklad:

Ako vidíte na obrázku, rohy môžu byť ostré, tupé, rovné - na tom teraz nezáleží. Často je pre pohodlie každý lúč označený dodatočný bod a hovoria, hovoria, pred nami je uhol $AOB$ (napísaný ako $\uhol AOB$).

Zdá sa, že kapitán naznačuje, že okrem lúčov $OA$ a $OB$ je možné vždy nakresliť veľa lúčov z bodu $O$. Ale medzi nimi bude jedna špeciálna - nazýva sa bisektor.

Definícia. Osa uhla je lúč, ktorý vychádza z vrcholu tohto uhla a pretína uhol.

Pre vyššie uvedené uhly budú osy vyzerať takto:

Príklady osí pre ostrý, tupý a pravý uhol

Pretože na skutočných výkresoch nie je vždy zrejmé, že určitý lúč (v našom prípade je to lúč $OM$) rozdeľuje počiatočný uhol na dva rovnaké, je v geometrii zvykom označovať rovnaké uhly rovnakým počtom oblúky (na našom výkrese je to 1 oblúk pre ostrý uhol, dva pre tupý, tri pre rovný).

Dobre, prišli sme na definíciu. Teraz musíte pochopiť, aké vlastnosti má bisector.

Základná vlastnosť osy uhla

V skutočnosti má bisektor veľa vlastností. A určite ich zvážime v ďalšej lekcii. Ale je tu jeden trik, ktorý musíte hneď pochopiť:

Veta. Sektor uhla je geometrické miesto body rovnako vzdialené od strán daného uhla.

Preložené z matematiky do ruštiny to znamená dve skutočnosti naraz:

1. Každý bod ležiaci na osi uhla je v rovnakej vzdialenosti od strán tohto uhla.
2. A naopak: ak bod leží v rovnakej vzdialenosti od strán daného uhla, potom je zaručené, že bude ležať na osi tohto uhla.

Pred dôkazom týchto tvrdení si vyjasnime jeden bod: čo sa v skutočnosti nazýva vzdialenosť od bodu k strane uhla? Tu nám pomôže stará dobrá definícia vzdialenosti od bodu k priamke:

Definícia. Vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmice nakreslenej z tohto bodu k tejto priamke.

Uvažujme napríklad priamku $l$ a bod $A$, ktorý na tejto priamke neleží. Nakreslite kolmicu $AH$, kde $H\v l$. Potom bude dĺžka tejto kolmice vzdialenosť od bodu $A$ k priamke $l$.

Keďže uhol sú len dva lúče a každý lúč je kusom priamky, je ľahké určiť vzdialenosť od bodu k stranám uhla. Sú to len dve kolmice:

To je všetko! Teraz vieme, čo je vzdialenosť a čo je os. Preto môžeme preukázať hlavnú vlastnosť.

Ako sme sľúbili, rozdeľujeme dôkaz na dve časti:

1. Vzdialenosti od bodu na osi k stranám uhla sú rovnaké

Zvážte ľubovoľný uhol s vrcholom $O$ a stredom $OM$:

Dokážme, že ten istý bod $M$ je v rovnakej vzdialenosti od strán uhla.

Dôkaz. Nakreslíme kolmice z bodu $M$ do strán uhla. Nazvime ich $M((H)_(1))$ a $M((H)_(2))$:

Nakreslite kolmice na strany rohu

Získali sme dva pravouhlé trojuholníky: $\vartriangle OM((H)_(1))$ a $\vartriangle OM((H)_(2))$. Majú spoločnú preponu $OM$ a rovnaké uhly:

1. $\uhol MO((H)_(1))=\uhol MO((H)_(2))$ podľa predpokladu (keďže $OM$ je os);
2. $\uhol M((H)_(1))O=\uhol M((H)_(2))O=90()^\circ $ podľa konštrukcie;
3. $\uhol OM((H)_(1))=\uhol OM((H)_(2))=90()^\circ -\uhol MO((H)_(1))$ pretože súčet ostré rohy pravouhlého trojuholníka je vždy 90 stupňov.

Preto sú trojuholníky rovnaké v stranách a dvoch susedných uhloch (pozri znaky rovnosti trojuholníkov). Preto najmä $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, t.j. vzdialenosti od bodu $O$ k stranám uhla sú skutočne rovnaké. Q.E.D. :)

2. Ak sú vzdialenosti rovnaké, potom bod leží na osi

Teraz je situácia opačná. Nech je daný uhol $O$ a bod $M$ rovnako vzdialený od strán tohto uhla:

Dokážme, že lúč $OM$ je os, t.j. $\uhol MO((H)_(1))=\uhol MO((H)_(2))$.

Dôkaz. Na začiatok nakreslíme tento lúč $OM$, inak nebude čo dokazovať:

Strávil lúč $OM$ v rohu

Opäť máme dva pravouhlé trojuholníky: $\vartriangle OM((H)_(1))$ a $\vartriangle OM((H)_(2))$. Je zrejmé, že sú si rovní, pretože:

1. Prepona $OM$ je bežná;
2. Nohy $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ podľa podmienky (pretože bod $M$ je rovnako vzdialený od strán rohu);
3. Zvyšné nohy sú tiež rovnaké, pretože podľa Pytagorovej vety $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Preto trojuholníky $\vartriangle OM((H)_(1))$ a $\vartriangle OM((H)_(2))$ na troch stranách. Najmä ich uhly sú rovnaké: $\uhol MO((H)_(1))=\uhol MO((H)_(2))$. A to znamená, že $OM$ je stred.

Na záver dôkazu označíme vytvorené rovnaké uhly červenými oblúkmi:

Osa rozdeľuje uhol $\uhol ((H)_(1))O((H)_(2))$ na dva rovnaké

Ako vidíte, nič zložité. Dokázali sme, že os uhla je miestom bodov rovnako vzdialených od strán tohto uhla. :)

Teraz, keď sme sa už viac-menej rozhodli pre terminológiu, je čas prejsť nová úroveň. V ďalšej lekcii si prejdeme viac komplexné vlastnosti bisectors a naučiť sa ich aplikovať na riešenie skutočných problémov.

Osa trojuholníka je úsečka, ktorá rozdeľuje uhol trojuholníka na dva rovnaké uhly. Napríklad, ak je uhol trojuholníka 120 0 , potom nakreslením osi zostrojíme dva uhly 60 0 .

A keďže v trojuholníku sú tri uhly, možno nakresliť tri osi. Všetky majú rovnaký hraničný bod. Tento bod je stredom kružnice vpísanej do trojuholníka. Iným spôsobom sa tento priesečník nazýva stred trojuholníka.

Keď sa pretnú dve osy vnútorného a vonkajšieho uhla, získa sa uhol 90°. vonkajší roh v trojuholníku uhol susediaci s vnútorný roh trojuholník.

Ryža. 1. Trojuholník s 3 osami

Osa rozdeľuje opačnú stranu na dva segmenty, ktoré sú spojené so stranami:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

Body osi sú rovnako vzdialené od strán uhla, čo znamená, že sú v rovnakej vzdialenosti od strán uhla. To znamená, že ak z ktoréhokoľvek bodu osi pustíme kolmice na každú zo strán uhla trojuholníka, potom sa tieto kolmice budú rovnať.

Ak nakreslíte stred, stred a výšku z jedného vrcholu, potom bude stredom najdlhší segment a výška najkratšia.

Niektoré vlastnosti osi

IN určité typy trojuholníky, os má špeciálne vlastnosti. V prvom rade to platí pre rovnoramenný trojuholník. Tento obrázok má dve rovnaké strany, a tretí sa nazýva základ.

Ak nakreslíte os z vrcholu uhla rovnoramenného trojuholníka k základni, potom bude mať vlastnosti výšky aj mediánu. V súlade s tým sa dĺžka osy zhoduje s dĺžkou mediánu a výšky.

Definície:

• Výška Kolmica z vrcholu trojuholníka na opačnú stranu.
• MediánÚsečka, ktorá spája vrchol trojuholníka a stred opačnej strany.

Ryža. 2. Stred v rovnoramennom trojuholníku

To platí tiež rovnostranný trojuholník, teda trojuholník, v ktorom sú všetky tri strany rovnaké.

Príklad úlohy

IN trojuholník ABC: BR je os, pričom AB = 6 cm, BC = 4 cm a RC = 2 cm Odčítajte dĺžku tretej strany.

Ryža. 3. Stred v trojuholníku

Riešenie:

Osa rozdeľuje stranu trojuholníka na určitý podiel. Využime tento pomer a vyjadrime AR. Potom nájdeme dĺžku tretej strany ako súčet segmentov, na ktoré je táto strana rozdelená osou.

• $(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
• $RC=(6\over(4))*2=3 cm$

Potom celý segment AC = RC+ AR

AC = 3+2 = 5 cm.

Celkový počet získaných hodnotení: 107.