Uhol medzi rovinami v súradnicovom tvare. Uhol medzi rovinami

Veľkosť uhla medzi dvoma rôznymi rovinami môže byť určená pre akúkoľvek vzájomnú polohu rovín.

Triviálny prípad, ak sú roviny rovnobežné. Potom sa uhol medzi nimi považuje za rovný nule.

Netriviálny prípad, ak sa roviny pretínajú. Tento prípad je predmetom ďalšej diskusie. Najprv potrebujeme koncept dihedrálneho uhla.

9.1 Dihedrálny uhol

Dihedrálny uhol sú dve polroviny so spoločnou priamkou (ktorá sa nazýva hrana dihedrálneho uhla). Na obr. 50 znázorňuje uhol vretena tvorený polovičnými rovinami a; okraj tohto dihedrálneho uhla je priamka a, spoločná pre tieto polroviny.

Ryža. 50. Dihedrálny uhol

Dihedrálny uhol môže byť meraný v stupňoch alebo radiánoch v slove, zadajte uhlovú hodnotu dihedrálneho uhla. Toto sa robí nasledovne.

Na hranu dihedrálneho uhla, ktorý zvierajú polroviny a zoberieme ľubovoľný bod M. Narysujme lúče MA a MB, ležiace v týchto polrovinách a kolmé na hranu (obr. 51).

Ryža. 51. Lineárny dihedrálny uhol

Výsledný uhol AMB je lineárny uhol dihedrálneho uhla. Uhol " = \AMB je presne uhlová hodnota nášho dihedrálneho uhla.

Definícia. Uhlová veľkosť dihedrálneho uhla je veľkosť lineárneho uhla daného dihedrálneho uhla.

Všetky lineárne uhly dihedrálneho uhla sú si navzájom rovné (napokon sa získavajú navzájom paralelným posunom). Preto je táto definícia správna: hodnota " nezávisí od konkrétneho výberu bodu M na okraji uhla vodorovnej hrany.

9.2 Určenie uhla medzi rovinami

Keď sa pretínajú dve roviny, získajú sa štyri dihedrálne uhly. Ak majú všetky rovnakú veľkosť (každá 90), potom sa roviny nazývajú kolmé; Uhol medzi rovinami je potom 90.

Ak nie sú všetky dihedrálne uhly rovnaké (to znamená, že sú dva ostré a dva tupé), potom je uhol medzi rovinami hodnotou ostrého dihedrálneho uhla (obr. 52).

Ryža. 52. Uhol medzi rovinami

9.3 Príklady riešenia problémov

Pozrime sa na tri problémy. Prvý je jednoduchý, druhý a tretí sú približne na úrovni C2 na Jednotnej štátnej skúške z matematiky.

Úloha 1. Nájdite uhol medzi dvoma stenami pravidelného štvorstenu.

Riešenie. Nech ABCD je pravidelný štvorsten. Nakreslite mediány AM a DM zodpovedajúcich plôch, ako aj výšku štvorstenu DH (obr. 53).

Ryža. 53. K úlohe 1

Ako mediány sú AM a DM tiež výšky rovnostranných trojuholníkov ABC a DBC. Preto uhol " = \AMD je lineárny uhol dihedrálneho uhla, ktorý zvierajú steny ABC a DBC. Nájdeme ho z trojuholníka DHM:

Odpoveď: arccos 1 3 .

Úloha 2. V pravidelnom štvorhrannom ihlane SABCD (s vrcholom S) sa bočná hrana rovná strane podstavy. Bod K je stredom okraja SA. Nájdite uhol medzi rovinami

Riešenie. Čiara BC je rovnobežná s AD a teda rovnobežná s rovinou ADS. Preto rovina KBC pretína rovinu ADS pozdĺž priamky KL rovnobežnej s BC (obr. 54).

Ryža. 54. K úlohe 2

V tomto prípade bude KL tiež rovnobežná s čiarou AD; preto je KL stredovou čiarou trojuholníka ADS a bod L je stredom trojuholníka DS.

Zistime výšku pyramídy SO. Nech N je stred DO. Potom LN je stredná čiara trojuholníka DOS, a teda LN k SO. To znamená, že LN je kolmá na rovinu ABC.

Z bodu N spustíme kolmicu NM na priamku BC. Priamka NM bude priemetom naklonenej LM do roviny ABC. Z vety o troch kolmiciach potom vyplýva, že LM je kolmá aj na BC.

Uhol " = \LMN je teda lineárny uhol dihedrálneho uhla, ktorý zvierajú polroviny KBC a ABC. Tento uhol budeme hľadať z pravouhlého trojuholníka LMN.

Nech sa okraj pyramídy rovná a. Najprv zistíme výšku pyramídy:

Riešenie. Nech L je priesečník priamok A1 K a AB. Potom rovina A1 KC pretína rovinu ABC pozdĺž priamky CL (obr. 55).

A C

Ryža. 55. K problému 3

Trojuholníky A1 B1 K a KBL sú rovnaké v nohe a ostrom uhle. Preto sú ostatné nohy rovnaké: A1 B1 = BL.

Zvážte trojuholník ACL. V ňom BA = BC = BL. Uhol CBL je 120; preto \BCL = 30 . Tiež \BCA = 60 . Preto \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Takže LC? AC. Ale priamka AC slúži ako priemet priamky A1 C na rovinu ABC. Podľa vety o troch kolmiciach potom usúdime, že LC ? A1 C.

Uhol A1 CA je teda lineárny uhol dihedrálneho uhla, ktorý tvoria polroviny A1 KC a ABC. Toto je požadovaný uhol. Z rovnoramenného pravouhlého trojuholníka A1 AC vidíme, že sa rovná 45.

Tento článok je o uhle medzi rovinami a o tom, ako ho nájsť. Najprv je uvedená definícia uhla medzi dvoma rovinami a je uvedené grafické znázornenie. Potom sa analyzoval princíp hľadania uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami pomocou súradnicovej metódy a získal sa vzorec, ktorý vám umožňuje vypočítať uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami pomocou známych súradníc normálových vektorov týchto rovín. Na záver sú uvedené podrobné riešenia typických problémov.

Navigácia na stránke.

Uhol medzi rovinami - definícia.

Uveďme argumenty, ktoré nám umožnia postupne sa priblížiť k určeniu uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Dostaňme dve pretínajúce sa roviny a . Tieto roviny sa pretínajú po priamke, ktorú označujeme písmenom c. Zostrojme rovinu prechádzajúcu bodom M priamky c a kolmú na priamku c. V tomto prípade bude rovina pretínať roviny a. Priamku, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú, označme ako a a priamku, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú, ako b. Je zrejmé, že priamky a a b sa pretínajú v bode M.

Je ľahké ukázať, že uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b nezávisí od polohy bodu M na priamke c, ktorou rovina prechádza.

Zostrojme rovinu kolmú na priamku c a odlišnú od roviny. Rovina je pretínaná rovinami a pozdĺž priamok, ktoré označujeme ako a 1 a b 1, resp.

Zo spôsobu konštrukcie rovín vyplýva, že priamky a a b sú kolmé na priamku c a priamky a 1 a b 1 sú kolmé na priamku c. Keďže priamky a a a 1 ležia v rovnakej rovine a sú kolmé na priamku c, potom sú rovnobežné. Podobne priamky b a b 1 ležia v rovnakej rovine a sú kolmé na priamku c, preto sú rovnobežné. Tak je možné vykonať paralelný prenos roviny do roviny, v ktorej sa priamka a 1 zhoduje s priamkou a a priamka b s priamkou b 1. Preto sa uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami ai a b1 rovná uhlu medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b.

To dokazuje, že uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b ležiacimi v pretínajúcich sa rovinách nezávisí od výberu bodu M, ktorým rovina prechádza. Preto je logické brať tento uhol ako uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Teraz môžete vyjadriť definíciu uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami a.

Definícia.

Uhol medzi dvoma rovinami pretínajúcimi sa v priamke a- je to uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami a a b, pozdĺž ktorých sa roviny a pretínajú s rovinou kolmou na priamku c.

Definícia uhla medzi dvoma rovinami môže byť daná trochu inak. Ak na priamke c, pozdĺž ktorej sa roviny a pretínajú, označte bod M a nakreslite ním priamky a a b, kolmé na priamku c a ležiace v rovinách, a potom uhol medzi priamkami a a b je uhol medzi rovinami a. Zvyčajne sa v praxi vykonávajú práve také konštrukcie, aby sa dosiahol uhol medzi rovinami.

Keďže uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami nepresahuje , z uvedenej definície vyplýva, že miera uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami je vyjadrená reálnym číslom z intervalu. V tomto prípade sa nazývajú pretínajúce sa roviny kolmý, ak je uhol medzi nimi deväťdesiat stupňov. Uhol medzi rovnobežnými rovinami buď nie je určený vôbec, alebo sa považuje za rovný nule.

Nájdenie uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Zvyčajne pri hľadaní uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami musíte najskôr vykonať dodatočné konštrukcie, aby ste videli pretínajúce sa priame čiary, uhol medzi ktorými sa rovná požadovanému uhlu, a potom tento uhol spojiť s pôvodnými údajmi pomocou testov rovnosti, podobnosti testy, kosínusová veta alebo definície sínusu, kosínusu a tangens uhla. Na stredoškolskom kurze geometrie sa vyskytujú podobné problémy.

Ako príklad uveďme riešenie úlohy C2 z Jednotnej štátnej skúšky z matematiky na rok 2012 (podmienka bola zámerne zmenená, ale to nemá vplyv na princíp riešenia). V ňom ste len museli nájsť uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Príklad.

Riešenie.

Najprv urobme kresbu.

Urobme ďalšie konštrukcie, aby sme „videli“ uhol medzi rovinami.

Najprv definujme priamku, pozdĺž ktorej sa pretínajú roviny ABC a BED 1. Bod B je jedným z ich spoločných bodov. Nájdime druhý spoločný bod týchto rovín. Priamky DA a D 1 E ležia v rovnakej rovine ADD 1, nie sú rovnobežné, a preto sa pretínajú. Na druhej strane priamka DA leží v rovine ABC a priamka D 1 E - v rovine BED 1, preto priesečník priamok DA a D 1 E bude spoločným bodom rovín ABC a BED 1. Pokračujme teda v čiarach DA a D 1 E k ich priesečníku, pričom bod ich priesečníka označme písmenom F. Potom BF je priamka, pozdĺž ktorej sa pretínajú roviny ABC a BED 1.

Zostáva zostrojiť dve priamky ležiace v rovinách ABC a BED 1, ktoré prechádzajú jedným bodom na priamke BF a kolmé na priamku BF - uhol medzi týmito priamkami bude podľa definície rovný požadovanému uhlu medzi lietadlá ABC a BED 1. Poďme na to.

Bodka A je priemet bodu E do roviny ABC. Nakreslíme priamku pretínajúcu priamku BF v pravom uhle v bode M. Potom je priamka AM priemetom priamky EM do roviny ABC a podľa vety o troch kolmiciach.

Požadovaný uhol medzi rovinami ABC a BED 1 je teda rovný .

Z pravouhlého trojuholníka AEM vieme určiť sínus, kosínus alebo tangens tohto uhla (a teda aj samotného uhla), ak poznáme dĺžky jeho dvoch strán. Z podmienky je ľahké zistiť dĺžku AE: keďže bod E rozdeľuje stranu AA 1 v pomere 4 ku 3, počítajúc od bodu A, a dĺžka strany AA 1 je 7, potom AE = 4. Nájdeme dĺžku AM.

Za týmto účelom uvažujme pravouhlý trojuholník ABF s pravým uhlom A, kde AM je výška. Podľa podmienky AB = 2. Dĺžku strany AF môžeme zistiť z podobnosti pravouhlých trojuholníkov DD 1 F a AEF:

Pomocou Pytagorovej vety zistíme z trojuholníka ABF. Nájdeme dĺžku AM cez oblasť trojuholníka ABF: na jednej strane sa plocha trojuholníka ABF rovná , na druhej strane , kde .

Z pravého trojuholníka teda máme AEM .

Potom je požadovaný uhol medzi rovinami ABC a BED 1 rovnaký (všimnite si, že ).

odpoveď:

V niektorých prípadoch je na nájdenie uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami vhodné nastaviť Oxyz a použiť súradnicovú metódu. Zastavme sa tam.

Stanovme si úlohu: nájdite uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami a . Označme požadovaný uhol ako .

Budeme predpokladať, že v danom pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz poznáme súradnice normálových vektorov pretínajúcich sa rovín a alebo máme možnosť ich nájsť. Nechaj je normálový vektor roviny a je normálový vektor roviny. Ukážeme si, ako nájsť uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami a cez súradnice normálových vektorov týchto rovín.

Označme priamku, pozdĺž ktorej sa roviny a pretínajú, ako c. Cez bod M na priamke c nakreslíme rovinu kolmú na priamku c. Rovina pretína roviny a pozdĺž čiar a a b sa priamky a a b pretínajú v bode M. Podľa definície je uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami a rovný uhlu medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b.

Nakreslite normálové vektory a roviny az bodu M v rovine. V tomto prípade vektor leží na priamke, ktorá je kolmá na priamku a, a vektor leží na priamke, ktorá je kolmá na priamku b. V rovine je teda vektor normálovým vektorom priamky a, je normálovým vektorom priamky b.

V článku o hľadaní uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami sme dostali vzorec, ktorý umožňuje vypočítať kosínus uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami pomocou súradníc normálových vektorov. Kosínus uhla medzi priamkami a a b, a teda, kosínus uhla medzi pretínajúcimi sa rovinami a nachádza sa podľa vzorca, kde A sú normálové vektory rovín a, resp. Potom sa vypočíta ako .

Vyriešme predchádzajúci príklad pomocou súradnicovej metódy.

Príklad.

Je daný obdĺžnikový hranol ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, v ktorom AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 a bod E delí stranu AA 1 v pomere 4 ku 3, počítajúc od bodu A. Nájdite uhol medzi rovinami ABC a BED 1.

Riešenie.

Keďže strany pravouhlého rovnobežnostenu v jednom vrchole sú kolmé v pároch, je vhodné zaviesť pravouhlý súradnicový systém Oxyz nasledovne: zarovnajte začiatok s vrcholom C a nasmerujte súradnicové osi Ox, Oy a Oz pozdĺž strán CD. CB a CC1.

Uhol medzi rovinami ABC a BED 1 možno nájsť pomocou súradníc normálových vektorov týchto rovín pomocou vzorca , kde a sú normálové vektory rovín ABC a BED 1, v tomto poradí. Určme súradnice normálových vektorov.

Článok hovorí o hľadaní uhla medzi rovinami. Po zadaní definície poskytneme grafické znázornenie a zvážime podrobný spôsob hľadania súradníc pomocou metódy. Získame vzorec pre pretínajúce sa roviny, ktorý obsahuje súradnice normálových vektorov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Materiál bude používať údaje a koncepty, ktoré boli predtým študované v článkoch o rovine a čiare vo vesmíre. Najprv je potrebné prejsť k úvahám, ktoré nám umožňujú určitý prístup k určovaniu uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Sú dané dve pretínajúce sa roviny γ 1 a γ 2. Ich priesečník dostane označenie c. Konštrukcia roviny χ je spojená s priesečníkom týchto rovín. Rovina χ prechádza bodom M ako priamka c. Priesečník rovín γ 1 a γ 2 sa vykoná pomocou roviny χ. Označenie priamky pretínajúcej γ 1 a χ berieme ako priamku a a priamku pretínajúcej γ 2 a χ ako priamku b. Zistili sme, že priesečník priamok a a b dáva bod M.

Poloha bodu M neovplyvňuje uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b a bod M leží na priamke c, ktorou prechádza rovina χ.

Je potrebné zostrojiť rovinu χ 1 kolmú na priamku c a odlišnú od roviny χ. Priesečník rovín γ 1 a γ 2 pomocou χ 1 dostane označenie priamok a 1 a b 1.

Je vidieť, že pri konštrukcii χ a χ 1 sú priamky a a b kolmé na priamku c, potom a 1, b 1 ležia kolmo na priamku c. Nájdením priamok a a a 1 v rovine γ 1 s kolmosťou na priamku c ich môžeme považovať za rovnobežné. Rovnakým spôsobom umiestnenie b a b 1 v rovine γ 2 s kolmosťou na priamku c naznačuje ich rovnobežnosť. To znamená, že je potrebné vykonať paralelný prenos roviny χ 1 na χ, kde dostaneme dve zhodné priamky a a a 1, b a b 1. Zistíme, že uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b 1 sa rovná uhlu pretínajúcich sa priamok a a b.

Pozrime sa na obrázok nižšie.

Toto tvrdenie dokazuje skutočnosť, že medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b je uhol, ktorý nezávisí od polohy bodu M, teda od priesečníka. Tieto čiary sa nachádzajú v rovinách γ 1 a γ 2. V skutočnosti môže byť výsledný uhol považovaný za uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Prejdime k určeniu uhla medzi existujúcimi pretínajúcimi sa rovinami γ 1 a γ 2.

Definícia 1

Uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami γ 1 a γ 2 nazývaný uhol tvorený priesečníkom priamok a a b, kde sa roviny γ 1 a γ 2 pretínajú s rovinou χ kolmou na priamku c.

Zvážte obrázok nižšie.

Rozhodnutie možno podať aj inou formou. Keď sa roviny γ 1 a γ 2 pretínajú, kde c je priamka, na ktorej sa pretínali, označte bod M, cez ktorý vedú priamky a a b kolmé na priamku c ležiace v rovinách γ 1 a γ 2, potom uhol medzi priamky a a b budú uhlom medzi rovinami. V praxi je to použiteľné pri konštrukcii uhla medzi rovinami.

Pri pretínaní sa vytvorí uhol, ktorého hodnota je menšia ako 90 stupňov, to znamená, že miera uhla platí na intervale tohto typu (0, 90). Zároveň sa tieto roviny nazývajú kolmé, ak v priesečníku sa vytvorí pravý uhol Uhol medzi rovnobežnými rovinami sa považuje za rovný nule.

Zvyčajný spôsob, ako nájsť uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami, je vykonať dodatočné konštrukcie. To pomáha určiť to s presnosťou, a to sa dá urobiť pomocou znakov rovnosti alebo podobnosti trojuholníka, sínusov a kosínusov uhla.

Uvažujme o riešení problémov pomocou príkladu z úloh Jednotnej štátnej skúšky bloku C 2.

Príklad 1

Daný obdĺžnikový hranol A B C D A 1 B 1 C 1 D 1, kde strana A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, bod E rozdeľuje stranu A A 1 v pomere 4:3. Nájdite uhol medzi rovinami A B C a B E D 1.

Riešenie

Pre prehľadnosť je potrebné urobiť výkres. Chápeme to

Vizuálna reprezentácia je potrebná na uľahčenie práce s uhlom medzi rovinami.

Určíme priamku, pozdĺž ktorej dôjde k priesečníku rovín A B C a B E D 1. Bod B je spoločný bod. Treba nájsť ďalší spoločný priesečník. Uvažujme priamky D A a D 1 E, ktoré sa nachádzajú v rovnakej rovine A D D 1. Ich umiestnenie nenaznačuje rovnobežnosť, to znamená, že majú spoločný priesečník.

Priamka DA sa však nachádza v rovine A B C a D 1 E v B E D 1. Z toho dostaneme, že rovné čiary D A A D 1 E majú spoločný priesečník, ktorý je spoločný pre roviny A B C a B E D 1. Označuje priesečník čiar D A a D1E písmeno F. Z toho dostaneme, že B F je priamka, pozdĺž ktorej sa roviny A B C a B E D 1 pretínajú.

Pozrime sa na obrázok nižšie.

Na získanie odpovede je potrebné zostrojiť priamky ležiace v rovinách A B C a B E D 1 prechádzajúce bodom ležiacim na priamke B F a kolmým na ňu. Potom sa výsledný uhol medzi týmito priamkami považuje za požadovaný uhol medzi rovinami A B C a B E D 1.

Z toho môžeme vidieť, že bod A je priemetom bodu E do roviny A B C. Je potrebné nakresliť priamku pretínajúcu priamku B F v pravom uhle v bode M. Je vidieť, že priamka A M je priemet. priamky E M na rovinu A B C, na základe vety o tých kolmiciach A M ⊥ B F . Zvážte obrázok nižšie.

∠ A ME je požadovaný uhol tvorený rovinami A B C a B E D 1. Z výsledného trojuholníka A E M môžeme nájsť sínus, kosínus alebo tangens uhla a potom samotný uhol, len ak sú známe jeho dve strany. Podmienkou máme, že dĺžku A E nájdeme takto: priamka A A 1 sa delí bodom E v pomere 4:3, čo znamená, že celková dĺžka priamky je 7 dielov, potom A E = 4 diely. Nájdeme A M.

Je potrebné zvážiť pravouhlý trojuholník A B F. Máme pravý uhol A s výškou A M. Z podmienky A B = 2 potom zistíme dĺžku A F podľa podobnosti trojuholníkov D D 1 F a A E F. Dostaneme, že A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Je potrebné nájsť dĺžku strany B F trojuholníka A B F pomocou Pytagorovej vety. Dostaneme, že B F   = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . Dĺžka strany A M sa nachádza cez oblasť trojuholníka A B F. Máme, že plocha sa môže rovnať S A B C = 1 2 · A B · A F a S A B C = 1 2 · B F · A M .

Dostaneme, že A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

Potom môžeme nájsť hodnotu tangens uhla trojuholníka A E M. Dostaneme:

t g ∠ A ME = A E A M = 4 4 5 5 = 5

Požadovaný uhol získaný priesečníkom rovín A B C a B E D 1 sa rovná a r c t g 5, potom pri zjednodušení získame a r c t g 5 = a rc sin 30 6 = a rc cos 6 6.

odpoveď: a r c t g 5 = a rc sin 30 6 = a rc cos 6 6 .

Niektoré prípady zisťovania uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami sú špecifikované pomocou súradnicovej roviny O x y z a súradnicovej metódy. Poďme sa na to pozrieť bližšie.

Ak je zadaná úloha, kde je potrebné nájsť uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami γ 1 a γ 2, označíme požadovaný uhol ako α.

Potom daný súradnicový systém ukazuje, že máme súradnice normálových vektorov pretínajúcich sa rovín γ 1 a γ 2. Potom označíme, že n 1 → = n 1 x, n 1 y, n 1 z je normálový vektor roviny γ 1 a n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) - pre rovina γ 2. Uvažujme o podrobnom určení uhla medzi týmito rovinami podľa súradníc vektorov.

Je potrebné označiť priamku, pozdĺž ktorej sa roviny γ 1 a γ 2 pretínajú s písmenom c. Na priamke c máme bod M, cez ktorý vedieme rovinu χ kolmú na c. Rovina χ pozdĺž priamok a a b pretína roviny γ 1 a γ 2 v bode M. z definície vyplýva, že uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami γ 1 a γ 2 sa rovná uhlu pretínajúcich sa priamok a a b patriacich týmto rovinám.

V rovine χ nakreslíme normálové vektory z bodu M a označíme ich n 1 → an 2 → . Vektor n 1 → leží na priamke kolmej na priamku a a vektor n 2 → leží na priamke kolmej na priamku b. Odtiaľto dostaneme, že daná rovina χ má normálový vektor priamky a rovný n 1 → a pre priamku b rovný n 2 →. Zvážte obrázok nižšie.

Odtiaľto získame vzorec, pomocou ktorého môžeme pomocou súradníc vektorov vypočítať sínus uhla pretínajúcich sa čiar. Zistili sme, že kosínus uhla medzi priamkami a a b je rovnaký ako kosínus medzi pretínajúcimi sa rovinami γ 1 a γ 2 je odvodený zo vzorca cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, kde platí, že n 1 → = ( n 1 x, n 1 y, n 1 z) a n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) sú súradnice vektorov znázornených rovín.

Uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami sa vypočíta pomocou vzorca

α = ar c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

Príklad 2

Podľa podmienky je daný rovnobežnosten A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 , kde A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7 a bod E rozdeľuje stranu A A 1 4: 3. Nájdite uhol medzi rovinami A B C a B E D 1.

Riešenie

Z podmienky je zrejmé, že jeho strany sú párovo kolmé. To znamená, že je potrebné zaviesť súradnicový systém O x y z s vrcholom v bode C a súradnicovými osami O x, O y, O z. Je potrebné nastaviť smer na príslušné strany. Zvážte obrázok nižšie.

Pretínajúce sa roviny A B C A B E D 1 tvoria uhol, ktorý možno nájsť podľa vzorca α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, v ktorých n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) a n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z ) sú normálové vektory tieto lietadlá. Je potrebné určiť súradnice. Z obrázku vidíme, že súradnicová os O x y sa zhoduje s rovinou A B C, to znamená, že súradnice normálového vektora k → sa rovnajú hodnote n 1 → = k → = (0, 0, 1).

Normálový vektor roviny B E D 1 sa považuje za vektorový súčin B E → a B D 1 →, kde ich súradnice sú určené súradnicami krajných bodov B, E, D 1, ktoré sú určené na základe podmienok problém.

Dostaneme, že B (0, 3, 0), D 1 (2, 0, 7). Pretože A E E A 1 = 4 3, zo súradníc bodov A 2, 3, 0, A 1 2, 3, 7 nájdeme E 2, 3, 4. Zistili sme, že B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 · i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12 , - 6 , - 6)

Nájdené súradnice je potrebné dosadiť do vzorca na výpočet uhla cez kosínus oblúka. Dostaneme

α = a rc cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a rc cos 6 6 6 = a rc cos 6 6

Súradnicová metóda poskytuje podobný výsledok.

odpoveď: a r c cos 6 6 .

Posledný problém sa uvažuje s cieľom nájsť uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami s existujúcimi známymi rovnicami rovín.

Príklad 3

Vypočítajte sínus, kosínus uhla a hodnotu uhla, ktorú zvierajú dve pretínajúce sa priamky, ktoré sú definované v súradnicovom systéme O x y z a dané rovnicami 2 x - 4 y + z + 1 = 0 a 3 y - z - 1 = 0.

Riešenie

Pri štúdiu témy všeobecnej rovnej priamky tvaru A x + B y + C z + D = 0 sa ukázalo, že A, B, C sú koeficienty rovné súradniciam normálového vektora. To znamená, že n 1 → = 2, - 4, 1 a n 2 → = 0, 3, - 1 sú normálové vektory daných čiar.

Do vzorca na výpočet požadovaného uhla pretínajúcich sa rovín je potrebné dosadiť súradnice normálových vektorov rovín. Potom to dostaneme

α = a rc cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a rc cos 13 210

Odtiaľ máme, že kosínus uhla má tvar cos α = 13 210. Potom uhol pretínajúcich sa čiar nie je tupý. Dosadením do goniometrickej identity zistíme, že hodnota sínusu uhla sa rovná výrazu. Poďme to spočítať a zistiť

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210

odpoveď: sin α = 41 210, cos α = 13 210, α = a r c cos 13 210 = a rc sin 41 210.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Ciele:

• rozvíjať schopnosť zvažovať rôzne prístupy k riešeniu problémov a analyzovať „efekt“ používania týchto metód riešenia;
• rozvíjať schopnosť študenta vybrať si metódu riešenia problému v súlade s jeho matematickými preferenciami na základe solídnejších vedomostí a sebavedomých zručností;
• rozvíjať schopnosť zostaviť plán postupných etáp na dosiahnutie výsledkov;
• rozvíjať schopnosť zdôvodniť všetky vykonané kroky a výpočty;
• zopakovať a upevniť si rôzne témy a problémy stereometrie a planimetrie, typické stereometrické štruktúry súvisiace s riešením aktuálnych problémov;
• rozvíjať priestorové myslenie.

• analýza rôznych metód riešenia úlohy: metóda súradnicového vektora, aplikácia kosínusovej vety, aplikácia vety o troch kolmiciach;
• porovnanie výhod a nevýhod každej metódy;
• opakovanie vlastností kocky, trojbokého hranola, pravidelného šesťuholníka;
• príprava na zloženie jednotnej štátnej skúšky;
• rozvoj nezávislosti v rozhodovaní.

Náčrt lekcie

Kockatý ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 s okrajom 1 bod O – stred líca A B C D.

a) uhol medzi priamymi čiarami A 1 D A B.O.;

b) vzdialenosť od bodu B do stredu segmentu A 1 D.

Riešenie podľa bodu a).

Umiestnime našu kocku do pravouhlého súradnicového systému, ako je znázornené na obrázku, vrcholy Ai (1; 0; 1), D (1; 1; 0), B1 (0; 0; 1), O (1/2; 1/2; 0).

Smerové vektory priamych čiar A 1 D A B 1 O:

(0; 1; -1) a (1/2; 1/2; -1);

nájdeme požadovaný uhol φ medzi nimi pomocou vzorca:

cos∠φ = ,
odkiaľ ∠φ = 30°.

Metóda 2. Používame kosínusovú vetu.

1) Nakreslíme rovnú čiaru B1C rovnobežne s čiarou A 1 D. Rohový CB 1 O bude to, čo hľadáte.

2) Z pravouhlého trojuholníka BB 10 podľa Pytagorovej vety:

3) Podľa vety o kosínusoch z trojuholníka CB 1 O vypočítajte uhol CB 1 O:

cos CB10 = , požadovaný uhol je 30°.

Komentujte. Pri riešení úlohy 2. spôsobom si môžete všimnúť, že podľa vety o troch kolmách COB 1 = 90°, teda z pravouhlého ∆ CB 1 O Je tiež ľahké vypočítať kosínus požadovaného uhla.

Riešenie bodu b).

1 spôsob. Použime vzorec pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi

Nechajte bod E– stredný A 1 D, potom súradnice E (1; 1/2; 1/2), B (0; 0; 0).

BE = .

Metóda 2. Podľa Pytagorovej vety

Od pravouhlého ∆ B.A.E. s priamym B.A.E. nájdeme BE = .

V pravidelnom trojuholníkovom hranole ABCA 1 B 1 C 1 všetky okraje sú rovnaké a. Nájdite uhol medzi čiarami AB A A 1 C.

1 spôsob. Metóda súradnicového vektora

Súradnice vrcholov hranola v pravouhlom systéme, keď je hranol umiestnený ako na obrázku: A (0; 0; 0), B (a; ; 0), Ai (0; 0; a), C (0; a; 0).

Smerové vektory priamych čiar A 1 C A AB:

(0; a; -a) A (a; ; 0} ;

cos φ = ;

Metóda 2. Používame kosínusovú vetu

Uvažujeme ∆ A 1 B 1 C, v ktorom A 1 B 1 || AB. Máme

cos φ = .

(Zo zbierky Jednotnej štátnej skúšky 2012. Matematika: štandardné možnosti skúšky spracovali A.L. Semenov, I.V. Yashchenko)

V pravidelnom šesťhrannom hranole ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, ktorého všetky hrany sú rovné 1, nájdite vzdialenosť od bodu E na priamku B1C1.

1 spôsob. Metóda súradnicového vektora

1) Umiestnite hranol do pravouhlého súradnicového systému, pričom súradnicové osi umiestnite tak, ako je znázornené na obrázku. SS 1, NE A SE sú v pároch kolmé, takže pozdĺž nich môžete nasmerovať súradnicové osi. Dostaneme súradnice:

C1 (0; 0; 1), E (; 0; 0), B1 (0;1;1).

2) Nájdite súradnice smerových vektorov pre čiary Od 1 do 1 A C 1 E:

(0;1;0), (;0;-1).

3) Nájdite kosínus uhla medzi Od 1 do 1 A C 1 E pomocou skalárneho súčinu vektorov a :

cos β = = 0 => β = 90° => C 1 E – požadovaná vzdialenosť.

4)C1E = = 2.

Záver: znalosť rôznych prístupov k riešeniu stereometrických úloh umožňuje vybrať si metódu, ktorá je pre každého študenta výhodnejšia, t.j. takú, ktorú študent suverénne ovláda, pomáha vyvarovať sa chýb, vedie k úspešnému riešeniu problému a dobrému skóre na skúške. Súradnicová metóda má oproti iným metódam výhodu v tom, že vyžaduje menej stereometrických úvah a pohľadu a je založená na použití vzorcov, ktoré majú mnoho planimetrických a algebraických analógií, ktoré sú študentom známe.

Forma hodiny je kombináciou výkladu učiteľa s frontálnou kolektívnou prácou študentov.

Príslušné mnohosteny sú zobrazené na obrazovke pomocou videoprojektoru, ktorý umožňuje porovnávať rôzne spôsoby riešenia.

Domáca úloha: vyriešte úlohu 3 iným spôsobom, napríklad pomocou vety o troch kolmých .

Literatúra

1. Ershova A.P., Goloborodko V.V. Samostatná a skúšobná práca z geometrie pre ročník 11. – M.: ILEKSA, – 2010. – 208 s.

2. Geometria, 10-11: učebnica pre vzdelávacie inštitúcie: základné a špecializované úrovne / L.S Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev a kol. - M.: Vzdelávanie, 2007. - 256 s.

3. Jednotná štátna skúška-2012. Matematika: štandardné možnosti skúšky: 10 možností / ed. A.L. Semenova, I.V. – M.: Národná výchova, 2011. – 112 s. – (USE-2012. FIPI - škola).

\(\blacktriangleright\) Dihedrálny uhol je uhol tvorený dvoma polrovinami a priamkou \(a\), ktorá je ich spoločnou hranicou.

\(\blacktriangleright\) Ak chcete nájsť uhol medzi rovinami \(\xi\) a \(\pi\) , musíte nájsť lineárny uhol (a pikantné alebo rovno) dihedrálny uhol tvorený rovinami \(\xi\) a \(\pi\) :

Krok 1: nechajme \(\xi\cap\pi=a\) (priesečník rovín). V rovine \(\xi\) označíme ľubovoľný bod \(F\) a nakreslíme \(FA\perp a\) ;

Krok 2: vykonajte \(FG\perp \pi\) ;

Krok 3: podľa TTP (\(FG\) – kolmá, \(FA\) – šikmá, \(AG\) – projekcia) máme: \(AG\perp a\) ;

Krok 4: Uhol \(\uhol FAG\) sa nazýva lineárny uhol dihedrálneho uhla, ktorý tvoria roviny \(\xi\) a \(\pi\) .

Všimnite si, že trojuholník \(AG\) je pravouhlý.
Všimnite si tiež, že rovina \(AFG\) skonštruovaná týmto spôsobom je kolmá na obidve roviny \(\xi\) a \(\pi\) . Preto to môžeme povedať inak: uhol medzi rovinami\(\xi\) a \(\pi\) je uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami \(c\in \xi\) a \(b\in\pi\) tvoriacimi rovinu kolmú na a \(\xi\ ) a \(\pi\) .

Úloha 1 #2875

Úroveň úlohy: Náročnejšia ako jednotná štátna skúška

Daná štvoruholníková pyramída, ktorej všetky hrany sú rovnaké, a základňa je štvorec. Nájdite \(6\cos \alpha\) , kde \(\alpha\) je uhol medzi jeho susednými bočnými plochami.

Nech \(SABCD\) je daná pyramída (\(S\) je vrchol), ktorého hrany sa rovnajú \(a\) . V dôsledku toho sú všetky bočné steny rovnaké rovnostranné trojuholníky. Nájdite uhol medzi plochami \(SAD\) a \(SCD\) .

Urobme \(CH\perp SD\) . Pretože \(\triangle SAD=\trojuholník SCD\), potom \(AH\) bude tiež výškou \(\trojuholník SAD\) . Preto, podľa definície, \(\uhol AHC=\alpha\) je lineárny uhol dihedrálneho uhla medzi stenami \(SAD\) a \(SCD\) .
Keďže základ je štvorec, potom \(AC=a\sqrt2\) . Všimnite si tiež, že \(CH=AH\) je výška rovnostranného trojuholníka so stranou \(a\), teda \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Potom pomocou kosínusovej vety z \(\trojuholník AHC\) : \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

odpoveď: -2

Úloha 2 #2876

Úroveň úlohy: Náročnejšia ako jednotná štátna skúška

Roviny \(\pi_1\) a \(\pi_2\) sa pretínajú pod uhlom, ktorého kosínus sa rovná \(0,2\). Roviny \(\pi_2\) a \(\pi_3\) sa pretínajú v pravom uhle a priesečník rovín \(\pi_1\) a \(\pi_2\) je rovnobežný s priesečníkom roviny \(\pi_2\) a \(\ pi_3\) . Nájdite sínus uhla medzi rovinami \(\pi_1\) a \(\pi_3\) .

Priesečník \(\pi_1\) a \(\pi_2\) nech je priamka \(a\), priesečník \(\pi_2\) a \(\pi_3\) nech je priamka priamka \(b\) a priesečník \(\pi_3\) a \(\pi_1\) – priamka \(c\) . Keďže \(a\paralelný b\) , potom \(c\paralelný a\paralelný b\) (podľa vety z časti teoretického odkazu „Geometria v priestore“ \(\rightarrow\) „Úvod do stereometrie, paralelizmus“).

Označme body \(A\v a, B\v b\) tak, že \(AB\perp a, AB\perp b\) (to je možné už od \(a\paralelné b\) ). Označme \(C\in c\) tak, že \(BC\perp c\) , teda \(BC\perp b\) . Potom \(AC\perp c\) a \(AC\perp a\) .
Pretože \(AB\perp b, BC\perp b\) , potom \(b\) je kolmé na rovinu \(ABC\) . Keďže \(c\rovnobežka a\rovnobežka b\), potom sú priamky \(a\) a \(c\) tiež kolmé na rovinu \(ABC\), a teda na akúkoľvek priamku z tejto roviny, najmä , riadok \ (AC\) .

Z toho vyplýva \(\uhol BAC=\uhol (\pi_1, \pi_2)\), \(\uhol ABC=\uhol (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\uhol BCA=\uhol (\pi_3, \pi_1)\). Ukazuje sa, že \(\trojuholník ABC\) je obdĺžnikový, čo znamená \[\sin \uhol BCA=\cos \uhol BAC=0,2.\]

Odpoveď: 0,2

Úloha 3 #2877

Úroveň úlohy: Náročnejšia ako jednotná štátna skúška

Dané priamky \(a, b, c\) pretínajúce sa v jednom bode a uhol medzi akýmikoľvek dvoma z nich je rovný \(60^\circ\) . Nájdite \(\cos^(-1)\alpha\) , kde \(\alpha\) je uhol medzi rovinou vytvorenou priamkami \(a\) a \(c\) a rovinou vytvorenou priamkami \( b\) a \(c\) . Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.

Nech sa priamky pretínajú v bode \(O\) . Pretože uhol medzi ľubovoľnými dvoma z nich je rovný \(60^\circ\), potom všetky tri priamky nemôžu ležať v rovnakej rovine. Označme bod \(A\) na priamke \(a\) a nakreslite \(AB\perp b\) a \(AC\perp c\) . Potom \(\trojuholník AOB=\trojuholník AOC\) ako pravouhlé pozdĺž prepony a ostrého uhla. Preto \(OB=OC\) a \(AB=AC\) .
Urobme \(AH\perp (BOC)\) . Potom podľa vety o troch kolmiciach \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Od \(AB=AC\) , teda \(\trojuholník AHB=\trojuholník AHC\) ako pravouhlé pozdĺž prepony a nohy. Preto \(HB=HC\) . To znamená, že \(OH\) ​​​​je os uhla \(BOC\) (keďže bod \(H\) je rovnako vzdialený od strán uhla).

Všimnite si, že týmto spôsobom sme zostrojili aj lineárny uhol dihedrálneho uhla, ktorý tvoria roviny tvorené priamkami \(a\) a \(c\) a rovina tvorená priamkami \(b\) a \(c \) . Toto je uhol \(ACH\) .

Poďme nájsť tento uhol. Keďže sme si bod \(A\) zvolili ľubovoľne, zvoľme ho tak, že \(OA=2\) . Potom v obdĺžnikovom \(\trojuholník AOC\) : \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ] Pretože \(OH\) ​​​​je os, potom \(\uhol HOC=30^\circ\) , teda v obdĺžniku \(\trojuholník HOC\): \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Potom z obdĺžnika \(\trojuholník ACH\) : \[\cos\uhol \alpha=\cos\uhol ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

odpoveď: 3

Úloha 4 #2910

Úroveň úlohy: Náročnejšia ako jednotná štátna skúška

Roviny \(\pi_1\) a \(\pi_2\) sa pretínajú pozdĺž priamky \(l\), na ktorej ležia body \(M\) a \(N\). Segmenty \(MA\) a \(MB\) sú kolmé na priamku \(l\) a ležia v rovinách \(\pi_1\) a \(\pi_2\) a \(MN = 15 \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . Nájdite \(3\cos\alpha\) , kde \(\alpha\) je uhol medzi rovinami \(\pi_1\) a \(\pi_2\) .

Trojuholník \(AMN\) je pravouhlý, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\), odkiaľ \ Trojuholník \(BMN\) je pravouhlý, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\), z ktorého \Napíšeme kosínusovú vetu pre trojuholník \(AMB\): \ Potom \ Keďže uhol \(\alpha\) medzi rovinami je ostrý a \(\uhol AMB\) sa ukázal byť tupý, potom \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Potom \

Odpoveď: 1.25

Úloha 5 #2911

Úroveň úlohy: Náročnejšia ako jednotná štátna skúška

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) je rovnobežnosten, \(ABCD\) je štvorec so stranou \(a\), bod \(M\) je základňou kolmice spadnutej z bodu \(A_1\) do roviny \ ((ABCD)\) , navyše \(M\) je priesečník uhlopriečok štvorca \(ABCD\) . To je známe \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Nájdite uhol medzi rovinami \((ABCD)\) a \((AA_1B_1B)\) . Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.

Zostrojme \(MN\) kolmo na \(AB\), ako je znázornené na obrázku.

Pretože \(ABCD\) je štvorec so stranou \(a\) a \(MN\perp AB\) a \(BC\perp AB\) , potom \(MN\paralelná BC\) . Pretože \(M\) je priesečníkom uhlopriečok štvorca, potom \(M\) je stred \(AC\), preto \(MN\) je stredná čiara a \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\) je projekcia \(A_1N\) do roviny \((ABCD)\) a \(MN\) je kolmá na \(AB\), potom podľa vety o troch kolmách \ (A_1N\) je kolmá na \(AB \) a uhol medzi rovinami \((ABCD)\) a \((AA_1B_1B)\) je \(\uhol A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \uhol A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\uhol A_1NM = 60^(\circ)\]

odpoveď: 60

Úloha 6 #1854

Úroveň úlohy: Náročnejšia ako jednotná štátna skúška

V štvorci \(ABCD\) : \(O\) – priesečník uhlopriečok; \(S\) – neleží v rovine štvorca, \(SO \perp ABC\) . Nájdite uhol medzi rovinami \(ASD\) a \(ABC\), ak \(SO = 5\) a \(AB = 10\) .

Pravé trojuholníky \(\trojuholník SAO\) a \(\trojuholník SDO\) sú rovnaké v dvoch stranách a uhol medzi nimi (\(SO \perp ABC\) \(\Pravá šípka\) \(\uhol SOA = \uhol SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\), pretože \(O\) – priesečník uhlopriečok štvorca, \(SO\) – spoločná strana) \(\Šípka doprava\) \(AS = SD\) \(\Šípka doprava\) \(\trojuholník ASD\ ) – rovnoramenné. Bod \(K\) je stredom \(AD\), potom \(SK\) je výška v trojuholníku \(\trojuholník ASD\) a \(OK\) je výška v trojuholníku \( AOD\) \(\ Rightarrow\) rovina \(SOK\) je kolmá na roviny \(ASD\) a \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\uhol SKO\) – lineárny uhol rovný požadovanému dihedrálny uhol.

V \(\triangle SKO\) : \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\trojuholník SOK\) – rovnoramenný pravouhlý trojuholník \(\Rightarrow\) \(\uhol SKO = 45^\circ\) .

odpoveď: 45

Úloha 7 #1855

Úroveň úlohy: Náročnejšia ako jednotná štátna skúška

V štvorci \(ABCD\) : \(O\) – priesečník uhlopriečok; \(S\) – neleží v rovine štvorca, \(SO \perp ABC\) . Nájdite uhol medzi rovinami \(ASD\) a \(BSC\), ak \(SO = 5\) a \(AB = 10\) .

Pravouhlé trojuholníky \(\trojuholník SAO\) , \(\trojuholník SDO\) , \(\trojuholník SOB\) a \(\trojuholník SOC\) sú rovnaké v dvoch stranách a uhol medzi nimi (\(SO \perp ABC \) \(\Pravá šípka\) \(\uhol SOA = \uhol SOD = \uhol SOB = \uhol SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\), pretože \(O\) – priesečník uhlopriečok štvorca, \(SO\) – spoločná strana) \(\Šípka doprava\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Šípka doprava\) \( \triangle ASD\) a \(\triangle BSC\) sú rovnoramenné. Bod \(K\) je stredom \(AD\), potom \(SK\) je výška v trojuholníku \(\trojuholník ASD\) a \(OK\) je výška v trojuholníku \( AOD\) \(\ Rightarrow\) rovina \(SOK\) je kolmá na rovinu \(ASD\) . Bod \(L\) je stredom \(BC\), potom \(SL\) je výška v trojuholníku \(\triangle BSC\) a \(OL\) je výška v trojuholníku \( BOC\) \(\ Rightarrow\) rovina \(SOL\) (aka rovina \(SOK\)) je kolmá na rovinu \(BSC\) . Takto získame, že \(\uhol KSL\) je lineárny uhol rovný požadovanému dihedrálnemu uhlu.

\(KL = KO + OL = 2\cbodka OL = AB = 10\)\(\Šípka doprava\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) – výšky v rovnakých rovnoramenných trojuholníkoch, ktoré možno nájsť pomocou Pytagorovej vety: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Dá sa to všimnúť \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) pre trojuholník \(\trojuholník KSL\) inverzná Pytagorova veta platí \(\Rightarrow\) \(\trojuholník KSL\) – pravouhlý trojuholník \(\Rightarrow\) \(\uhol KSL = 90 ^\ circ\) .

odpoveď: 90

Príprava študentov na absolvovanie Jednotnej štátnej skúšky z matematiky spravidla začína opakovaním základných vzorcov vrátane tých, ktoré vám umožňujú určiť uhol medzi rovinami. Napriek tomu, že táto časť geometrie je dostatočne podrobne spracovaná v rámci školských osnov, mnohí maturanti si potrebujú základnú látku zopakovať. Po pochopení toho, ako nájsť uhol medzi rovinami, budú študenti stredných škôl schopní rýchlo vypočítať správnu odpoveď pri riešení problému a počítať s tým, že získajú slušné skóre z výsledkov zloženia jednotnej štátnej skúšky.

Hlavné nuansy

Aby ste zabezpečili, že otázka, ako nájsť dihedrálny uhol, nespôsobí ťažkosti, odporúčame vám postupovať podľa algoritmu riešenia, ktorý vám pomôže zvládnuť úlohy jednotnej štátnej skúšky.

Najprv musíte určiť priamku, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú.

Potom musíte vybrať bod na tejto čiare a nakresliť na ňu dve kolmice.

Ďalším krokom je nájsť trigonometrickú funkciu dihedrálneho uhla, ktorý zvierajú kolmice. Najpohodlnejší spôsob, ako to urobiť, je pomocou výsledného trojuholníka, ktorého súčasťou je uhol.

Odpoveďou bude hodnota uhla alebo jeho goniometrická funkcia.

Príprava na test so Shkolkovo je kľúčom k vášmu úspechu

Počas tried v predvečer absolvovania jednotnej štátnej skúšky sa mnohí školáci stretávajú s problémom hľadania definícií a vzorcov, ktoré im umožňujú vypočítať uhol medzi 2 rovinami. Školská učebnica nie je vždy po ruke presne vtedy, keď ju treba. A aby ste našli potrebné vzorce a príklady ich správneho použitia, vrátane hľadania uhla medzi rovinami na internete online, niekedy musíte stráviť veľa času.

Matematický portál Shkolkovo ponúka nový prístup k príprave na štátnu skúšku. Triedy na našej webovej stránke pomôžu študentom identifikovať pre seba najťažšie úseky a vyplniť medzery vo vedomostiach.

Všetok potrebný materiál sme pripravili a prehľadne odprezentovali. Základné definície a vzorce sú uvedené v časti „Teoretické informácie“.

Pre lepšie pochopenie látky navrhujeme aj precvičenie vhodných cvičení. Veľký výber úloh rôzneho stupňa zložitosti, napríklad na, je uvedený v časti „Katalóg“. Všetky úlohy obsahujú podrobný algoritmus na nájdenie správnej odpovede. Zoznam cvičení na stránke sa neustále dopĺňa a aktualizuje.

Pri precvičovaní riešenia problémov, ktoré si vyžadujú nájdenie uhla medzi dvoma rovinami, majú študenti možnosť uložiť ľubovoľnú úlohu online ako „Obľúbené“. Vďaka tomu sa k nemu budú môcť v potrebnom počte vracať a diskutovať o postupe jeho riešenia s učiteľom školy alebo tútorom.