Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.
Zhromažďovanie a používanie osobných údajov
Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.
Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.
Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.
Aké osobné údaje zhromažďujeme:
- Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zbierať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy Email atď.
Ako používame vaše osobné údaje:
- Nami zozbierané osobné informácie nám umožňuje kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
- Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje, aby sme vám posielali dôležité upozornenia a komunikáciu.
- Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je audit, analýza údajov a rôzne štúdie na zlepšenie nami poskytovaných služieb a na poskytovanie odporúčaní týkajúcich sa našich služieb.
- Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.
Sprístupnenie tretím stranám
Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.
Výnimky:
- V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
- V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.
Ochrana osobných údajov
Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.
Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti
Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.
Termín (modul) v doslovnom preklade z latinčiny znamená „merať“. Tento pojem zaviedol do matematiky anglický vedec R. Cotes. A nemecký matematik K. Weierstrass predstavil znak modulu - symbol, ktorým sa tento pojem pri písaní označuje.
najprv tento konceptštudoval matematiku v 6. ročníku stredná škola. Podľa jednej z definícií je modul absolútna hodnota Reálne číslo. Inými slovami, ak chcete zistiť modul reálneho čísla, musíte zahodiť jeho znamienko.
Graficky absolútna hodnota A označené ako |a|.
Hlavná rozlišovacia črta tohto pojmu spočíva v tom, že ide vždy o nezápornú veličinu.
Čísla, ktoré sa od seba líšia iba znamienkom, sa nazývajú opačné čísla. Ak je hodnota kladná, potom je jej opak záporný a nula je jej vlastným opakom.
geometrická hodnota
Ak vezmeme do úvahy koncepciu modulu z hľadiska geometrie, potom bude označovať vzdialenosť, ktorá sa meria v jednotkových segmentoch od začiatku po daný bod. Táto definícia plne odhaľuje geometrický význam skúmaného pojmu.
Graficky to možno vyjadriť takto: |a| = O.A.
Vlastnosti absolútnej hodnoty
O všetkom sa bude diskutovať nižšie. matematické vlastnosti tohto pojmu a spôsobov písania vo forme doslovné výrazy:
Vlastnosti riešenia rovníc s modulom
Keď už hovoríme o rozhodnutí matematických rovníc a nerovnosti, ktoré obsahujú modul, je potrebné pamätať na to, že na ich vyriešenie musíte otvoriť tento znak.
Napríklad, ak znamienko absolútnej hodnoty obsahuje nejaké matematický výraz, potom pred otvorením modulu je potrebné vziať do úvahy prúd matematické definície.
|A + 5| = A + 5 ak A je väčšie alebo rovné nule.
5-A, ak, hodnota A menej ako nula.
V niektorých prípadoch môže byť znamienko jednoznačne rozšírené pre akúkoľvek hodnotu premennej.
Uvažujme ešte o jednom príklade. Zostrojíme súradnicovú čiaru, na ktorej označíme všetky číselné hodnoty absolútna hodnotačo bude 5.
Najprv musíte nakresliť súradnicovú čiaru, určiť na nej počiatok súradníc a nastaviť veľkosť jedného segmentu. Okrem toho musí mať čiara smer. Teraz na tejto priamke je potrebné použiť značky, ktoré sa budú rovnať hodnote jedného segmentu.
Môžeme teda vidieť, že na tejto súradnicovej línii budú pre nás dva body záujmu s hodnotami 5 a -5.
Ciele lekcie
Oboznámte s tým študentov matematický koncept ako modul čísla;
Naučiť školákov zručnostiam nájsť moduly čísel;
Upevniť študovaný materiál vykonávaním rôznych úloh;
Úlohy
Upevniť vedomosti detí o module čísla;
S riešením testovacie úlohy skontrolovať, ako sa študenti naučili preberaný materiál;
Naďalej vzbudzovať záujem o hodiny matematiky;
Vzdelávať od školákov logické myslenie, zvedavosť a vytrvalosť.
Plán lekcie
1. Všeobecné pojmy a určenie modulu čísla.
2. Geometrický význam modulu.
3. Modul počtu jeho vlastností.
4. Riešenie rovníc a nerovníc, ktoré obsahujú modul čísla.
5. Historický odkaz o termíne „modul čísla“.
6. Úloha upevniť vedomosti o preberanej téme.
7. Domáce úlohy.
Všeobecné pojmy o module čísla
Modul čísla sa zvyčajne nazýva samotné číslo, ak ho nemá záporná hodnota, alebo rovnaké číslo je záporné, ale s opačným znamienkom.
To znamená, že modul nezáporného reálneho čísla a je samotné číslo:
A modul záporného reálneho čísla x bude opačné číslo:
Písomne to bude vyzerať takto:
Pre lepšie pochopenie si uveďme príklad. Takže napríklad modul čísla 3 je 3 a modul čísla -3 je tiež 3.
Z toho vyplýva, že modul čísla znamená absolútnu hodnotu, teda jeho absolútnu hodnotu, avšak bez zohľadnenia jeho znamienka. Aby sme to ešte zjednodušili, je potrebné z čísla vyhodiť znamienko.
Modul čísla možno označiť a vyzerať takto: |3|, |x|, |a| atď.
Takže napríklad modul čísla 3 sa označí |3|.
Pamätajte tiež, že modul čísla nie je nikdy záporný: |a|≥ 0.
|5| = 5, |-6| = 6, |-12,45| = 12,45 atď.
Geometrický význam modulu
Modul čísla je vzdialenosť, ktorá sa meria v jednotkových segmentoch od začiatku k bodu. Táto definícia rozširuje modul o geometrický bod vízie.
Zoberme si súradnicovú čiaru a označme na nej dva body. Nech tieto body zodpovedajú číslam ako -4 a 2.
Teraz sa pozrime na tento obrázok. Vidíme, že bod A uvedený na súradnicovej čiare zodpovedá číslu -4 a ak sa pozorne pozriete, uvidíte, že tento bod sa nachádza vo vzdialenosti 4 od referenčného bodu 0 jednotlivé segmenty. Z toho vyplýva, že dĺžka segmentu OA sa rovná štyrom jednotkám. V tomto prípade bude dĺžka segmentu OA, to znamená číslo 4, modul čísla -4.
Určené a zaznamenané v tento prípad modul čísla takto: |−4| = 4.
Teraz vezmite a na súradnici označte bod B.
Tento bod B bude zodpovedať číslu +2 a ako vidíme, nachádza sa vo vzdialenosti dvoch jednotkových segmentov od počiatku. Z toho vyplýva, že dĺžka segmentu OB sa rovná dvom jednotkám. V tomto prípade bude číslo 2 modulom čísla +2.
Písomne to bude vyzerať takto: |+2| = 2 alebo |2| = 2.
A teraz si to zhrňme. Ak nejaké vezmeme neznáme číslo a a označte ho na súradnicovej čiare bodom A, potom v tomto prípade vzdialenosť od bodu A k počiatku, teda dĺžka segmentu OA, je presne modul čísla "a".
Písomne to bude vyzerať takto: |a| = O.A.
Modul počtu jeho vlastností
A teraz sa pokúsme vyzdvihnúť vlastnosti modulu, zvážiť všetky možné prípady a napísať ich pomocou doslovných výrazov:
Po prvé, modul čísla je nezáporné číslo, čo znamená, že modul kladného čísla sa rovná samotnému číslu: |a| = a ak a > 0;
Po druhé, moduly, ktoré pozostávajú z opačných čísel, sú rovnaké: |a| = |–a|. To znamená, že táto vlastnosť nám hovorí, že opačné čísla majú vždy rovnaké moduly, teda ako na súradnicovej čiare, hoci majú opačné čísla, sú v rovnakej vzdialenosti od referenčného bodu. Z toho vyplýva, že moduly týchto opačných čísel sú rovnaké.
Po tretie, nulový modul sa rovná nule, ak je toto číslo nula: |0| = 0, ak a = 0. Tu môžeme s istotou povedať, že nulový modul je podľa definície nulový, pretože zodpovedá začiatku súradnicovej čiary.
Štvrtou vlastnosťou modulu je, že modul je súčinom dvoch čísel sa rovná produktu modulov týchto čísel. Teraz sa pozrime bližšie na to, čo to znamená. Ak budete postupovať podľa definície, potom vy aj ja vieme, že modul súčinu čísel a a b sa bude rovnať a b, alebo − (a b), ak, a v ≥ 0, alebo - (a c), ak, a in je väčšie ako 0. V záznamoch to bude vyzerať takto: |a b| = |a| |b|.
Piatou vlastnosťou je, že modul kvocientu čísel sa rovná pomeru moduly týchto čísel: |а: b| = |a| : |b|.
A nasledujúce vlastnostičíslo modulu:
Riešenie rovníc a nerovníc, ktoré obsahujú modul čísla
Pri začatí riešenia úloh, ktoré majú modul čísla, treba pamätať na to, že na vyriešenie takejto úlohy je potrebné odhaliť znamienko modulu pomocou znalosti vlastností, ktorým táto úloha zodpovedá.
Cvičenie 1
Ak sa teda napríklad pod znakom modulu nachádza výraz, ktorý závisí od premennej, modul by sa mal rozšíriť v súlade s definíciou:
Samozrejme, pri riešení problémov sú prípady, kedy je modul jednoznačne odhalený. Ak si vezmeme napr
, tu vidíme, že takýto výraz pod znamienkom modulu je nezáporný pre akékoľvek hodnoty x a y.
Alebo napríklad vziať
, vidíme, že tento modulový výraz nie je kladný pre žiadne hodnoty z.
Úloha 2
Pred vami je súradnicová čiara. Na tomto riadku je potrebné označiť čísla, ktorých modul sa bude rovnať 2.
Riešenie
Najprv musíme nakresliť súradnicovú čiaru. Už viete, že najprv na priamke je potrebné zvoliť počiatok, smer a jednotkový segment. Ďalej musíme umiestniť body z počiatku, ktoré sa rovnajú vzdialenosti dvoch segmentov jednotky.
Ako vidíte, na súradnicovej čiare sú dva také body, z ktorých jeden zodpovedá číslu -2 a druhý číslu 2.
Historické informácie o module čísla
Termín "modul" pochádza z Latinský názov modul, čo v preklade znamená slovo „merať“. Termín vytvoril anglický matematik Roger Cotes. Ale označenie modulu bolo zavedené vďaka nemeckému matematikovi Karlovi Weierstrassovi. Pri zápise je modul označený týmto symbolom: | |.
Otázky na upevnenie vedomostí o látke
V dnešnej lekcii sme sa zoznámili s takou koncepciou, ako je modul čísla, a teraz sa pozrime, ako ste sa túto tému naučili zodpovedaním položených otázok:
1. Ako sa volá číslo, ktoré je opakom kladného čísla?
2. Ako sa volá číslo, ktoré je opakom záporného čísla?
3. Pomenujte číslo, ktoré je opakom nuly. Existuje takéto číslo?
4. Pomenujte číslo, ktoré nemôže byť modulom čísla.
5. Definujte modul čísla.
Domáca úloha
1. Pred vami sú čísla, ktoré musíte usporiadať v zostupnom poradí modulov. Ak úlohu splníte správne, spoznáte meno osoby, ktorá prvýkrát zaviedla do matematiky pojem „modul“.
2. Nakreslite súradnicovú čiaru a nájdite vzdialenosť od M (-5) a K (8) k začiatku.
Rovnice s modulmi, metódy riešenia. Časť 1.
Predtým, ako pristúpime priamo k štúdiu techník na riešenie takýchto rovníc, je dôležité pochopiť podstatu modulu, jeho geometrická hodnota. Hlavné metódy riešenia takýchto rovníc sú stanovené v pochopení definície modulu a jeho geometrického významu. Takzvaná metóda intervalov pri otváraní modulárnych zátvoriek je taká efektívna, že pomocou nej je možné vyriešiť úplne akúkoľvek rovnicu alebo nerovnosť s modulmi. V tejto časti budeme podrobne študovať dva štandardná metóda: metóda intervalov a metóda nahradenia rovnice množinou.
Ako však uvidíme, tieto metódy sú vždy efektívne, ale nie vždy pohodlné a môžu viesť k dlhým a dokonca nie príliš pohodlným výpočtom, ktoré si prirodzene vyžadujú viac času na ich vyriešenie. Preto je dôležité poznať tie metódy, ktoré výrazne zjednodušujú riešenie určitých štruktúr rovníc. Umocnenie oboch strán rovnice, metóda na zavedenie novej premennej, grafická metóda, riešenie rovníc obsahujúcich modul pod znamienkom modulu. Týmto metódam sa budeme venovať v nasledujúcej časti.
Definícia modulu čísla. Geometrický význam modulu.
V prvom rade sa zoznámime s geometrický zmysel modul:
číslo modulo a (|a|) volajte vzdialenosť na číselnej osi od začiatku (bod 0) k bodu A(a).
Na základe tejto definície zvážte niekoľko príkladov:
|7| je vzdialenosť od 0 do bodu 7, samozrejme je 7. → | 7 |=7
|-5| je vzdialenosť od 0 do bodu -5 a rovná sa: 5. → |-5| = 5
Všetci chápeme, že vzdialenosť nemôže byť záporná! Preto |x| ≥ 0 vždy!
Vyriešte rovnicu: |x |=4
Táto rovnica sa dá čítať takto: vzdialenosť od bodu 0 k bodu x je 4. Áno, ukázalo sa, že z 0 sa môžeme pohybovať doľava aj doprava, čo znamená pohyb doľava o vzdialenosť rovnajúcu sa 4 skončíme v bode: -4 a pohybom doprava skončíme v bode: 4. Skutočne, |-4 |=4 a |4 |=4.
Odpoveď je teda x=±4.
Ak si pozorne preštudujete predchádzajúcu rovnicu, uvidíte, že: vzdialenosť vpravo pozdĺž číselnej osi od 0 po bod sa rovná samotnému bodu a vzdialenosť vľavo od 0 po číslo je opačné číslo! Uvedomujúc si, že napravo od 0 kladné čísla, a záporné vľavo od 0, formulujeme definície modulu čísla: modul (absolútna hodnota) čísla X(|x|) sa nazýva samotné číslo X, ak x ≥0, a číslo je X ak x<0.
Tu musíme nájsť množinu bodov na číselnej osi, vzdialenosť od 0 po ktorú bude menšia ako 3, predstavme si číselnú os, na nej bod 0, choďte doľava a počítajte jeden (-1), dva (- 2) a tri (-3), stop. Pôjdu ďalšie body, ktoré ležia ďalej ako 3 alebo vzdialenosť, do ktorej je od 0 väčšia ako 3, teraz pôjdeme doprava: jeden, dva, tri, znova zastavte. Teraz vyberieme všetky naše body a dostaneme interval x: (-3; 3).
Je dôležité, aby ste to videli jasne, ak to stále nevyjde, nakreslite si papier a uvidíte, že táto ilustrácia je pre vás úplne jasná, nebuďte leniví a pokúste sa vo svojej mysli vidieť riešenia nasledujúcich úloh:
|x |=11, x=? |x|=-5, x=?
| x |<8, х-? |х| <-6, х-?
|x|>2, x-? |x|> -3, x-?
|π-3|=? |-x²-10|=?
|√5-2|=? |2x-x²-3|=?
|x²+2|=? |х²+4|=0
|x²+3x+4|=? |-x²+9| ≤0
Venovať pozornosť zvláštnym úlohám v druhom stĺpci? Skutočne, vzdialenosť nemôže byť záporná, preto: |x|=-5- nemá žiadne riešenia, samozrejme, nemôže byť menšia ako 0, preto: |x|<-6 тоже не имеет решений, ну и естественно, что любое расстояние будет больше отрицательного числа, значит решением |x|>-3 sú všetky čísla.
Keď sa naučíte, ako rýchlo vidieť výkresy s riešeniami, čítajte ďalej.
Definícia modulu možno zadať takto: Absolútna hodnota čísla a(modul) je vzdialenosť od bodu reprezentujúceho dané číslo a na súradnicovej línii k počiatku. Z definície vyplýva, že:
Na rozšírenie modulu je teda potrebné definovať znamienko výrazu podmodulu. Ak je pozitívny, potom môžete jednoducho odstrániť znamienko modulu. Ak je výraz submodulu záporný, musí sa vynásobiť „mínusom“ a znak modulu by sa už nemal písať.
Hlavné vlastnosti modulu:
Niektoré metódy riešenia rovníc s modulmi
Existuje niekoľko typov modulových rovníc, pre ktoré existuje preferované riešenie. Táto metóda však nie je jediná. Napríklad pre rovnicu v tvare:
Preferovaným spôsobom riešenia by bolo prejsť na súhrn:
A pre rovnice tvaru:
Môžete tiež prejsť na takmer podobnú množinu, ale keďže modul nadobúda iba kladné hodnoty, pravá strana rovnice musí byť kladná. Táto podmienka musí byť pridaná ako všeobecné obmedzenie pre celý príklad. Potom dostaneme systém:
Oba tieto typy rovníc je možné riešiť aj iným spôsobom: vhodným rozšírením modulu na intervaloch, kde má výraz podmodulu určité znamienko. V tomto prípade dostaneme sadu dvoch systémov. Uvádzame všeobecný tvar riešení získaných pre oba typy rovníc uvedených vyššie:
Na riešenie rovníc, v ktorých sa používa viac ako jeden modul intervalová metóda, ktorá je nasledovná:
- Najprv nájdeme body na číselnej osi, v ktorých každý z výrazov pod modulom zmizne.
- Ďalej rozdelíme celú číselnú os na intervaly medzi získanými bodmi a preskúmame znamienko každého z výrazov podmodulu na každom intervale. Všimnite si, že ak chcete určiť znamienko výrazu, musíte do neho nahradiť akúkoľvek hodnotu X z intervalu, okrem hraničných bodov. Vyberte si tieto hodnoty X, ktoré sa dajú ľahko nahradiť.
- Ďalej na každom získanom intervale odhalíme všetky moduly v pôvodnej rovnici v súlade s ich znamienkami na tomto intervale a vyriešime výslednú obyčajnú rovnicu. V konečnej odpovedi vypíšeme len tie korene tejto rovnice, ktoré spadajú do skúmaného intervalu. Ešte raz: takýto postup vykonáme pre každý zo získaných intervalov.
- späť
- Vpred
Ako sa úspešne pripraviť na CT z fyziky a matematiky?
Pre úspešnú prípravu na CT z fyziky a matematiky musia byť okrem iného splnené tri kritické podmienky:
- Preštudujte si všetky témy a vyplňte všetky testy a úlohy uvedené v študijných materiáloch na tejto stránke. K tomu nepotrebujete vôbec nič, a to: venovať sa každý deň tri až štyri hodiny príprave na CT z fyziky a matematiky, štúdiu teórie a riešeniu úloh. Faktom je, že CT je skúška, pri ktorej nestačí vedieť len fyziku či matematiku, ale treba vedieť rýchlo a bez neúspechov vyriešiť veľké množstvo problémov na rôzne témy a rôznej zložitosti. To posledné sa dá naučiť len riešením tisícok problémov.
- Naučte sa všetky vzorce a zákony vo fyzike a vzorce a metódy v matematike. V skutočnosti je to tiež veľmi jednoduché, vo fyzike je len asi 200 potrebných vzorcov a v matematike ešte o niečo menej. V každom z týchto predmetov je asi tucet štandardných metód na riešenie problémov základnej úrovne zložitosti, ktoré sa možno aj naučiť, a tak úplne automaticky a bez problémov vyriešiť väčšinu digitálnej transformácie v správnom čase. Potom už budete musieť myslieť len na tie najťažšie úlohy.
- Zúčastnite sa všetkých troch stupňov skúšobného testovania z fyziky a matematiky. Každý RT je možné navštíviť dvakrát, aby sa vyriešili obe možnosti. Opäť platí, že na CT je okrem schopnosti rýchlo a efektívne riešiť problémy a znalosti vzorcov a metód potrebné aj vedieť si správne naplánovať čas, rozložiť sily a hlavne správne vyplniť odpoveďový formulár. , bez toho, aby ste si pomýlili čísla odpovedí a úloh, ani svoje vlastné meno. Taktiež je počas RT dôležité zvyknúť si na štýl kladenia otázok v úlohách, ktorý sa nepripravenému človeku na DT môže zdať veľmi nezvyčajný.
Úspešná, usilovná a zodpovedná implementácia týchto troch bodov vám umožní ukázať na CT vynikajúci výsledok, maximum toho, čoho ste schopní.
Našli ste chybu?
Ak ste, ako sa vám zdá, našli chybu v školiacich materiáloch, napíšte o nej poštou. O chybe môžete napísať aj na sociálnej sieti (). V liste uveďte predmet (fyziku alebo matematiku), názov alebo číslo témy alebo testu, číslo úlohy, prípadne miesto v texte (strane), kde je podľa vás chyba. Popíšte tiež, čo je údajná chyba. Váš list nezostane bez povšimnutia, chyba bude buď opravená, alebo vám bude vysvetlené, prečo nejde o chybu.
