Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x)

Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x) . Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a,b ].

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называется определенный интеграл

Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:

При этом, конечно, предполагается, что несобственный интеграл сходится.

Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:

Определение. Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии.

Определение. Модой М 0 дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум.

Если многоугольник распределения для дискретной случайной величины или кривая распределения для непрерывной случайной величины имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется двухмодальным или многомодальным . Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется антимодальным .

Определение. Медианой M D случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины.

Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам. Отметим, что если распределение одномодальное, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.

Определение. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины Х k .

Для дискретной случайной величины: .

.

Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию.

Определение. Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины

Для дискретной случайной величины: .

Для непрерывной случайной величины: .

Центральный момент первого порядка всегда равен нулю, а центральный момент второго порядка равен дисперсии. Центральный момент третьего порядка характеризует асимметрию распределения.

Определение. Отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в третьей степени называется коэффициентом асимметрии .

Определение. Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая эксцессом .

Кроме рассмотренных величин используются также так называемые абсолютные моменты:

Абсолютный начальный момент: . Абсолютный центральный момент: . Абсолютный центральный момент первого порядка называется средним арифметическим отклонением .

Пример. Для рассмотренного выше примера определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Пример. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее пять раз подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают обратно и шары перемешивают. Приняв за случайную величину Х число извлеченных белых шаров, составить закон распределения этой величины, определить ее математическое ожидание и дисперсию.

Т.к. шары в каждом опыте возвращаются обратно и перемешиваются, то испытания можно считать независимыми (результат предыдущего опыта не влияет на вероятность появления или непоявления события в другом опыте).

Таким образом, вероятность появления белого шара в каждом опыте постоянна и равна

Таким образом, в результате пяти последовательных испытаний белый шар может не появиться вовсе, появиться один раз, два, три, четыре или пять раз. Для составления закона распределения надо найти вероятности каждого из этих событий.

1) Белый шар не появился вовсе:

2) Белый шар появился один раз:

3) Белый шар появиться два раза: .

Глава 6. Непрерывные случайные величины.

§ 1. Плотность и функция распределения непрерывной случайной величины.

Множество значений непрерывной случайной величины несчетно и обычно представляет собой некоторый промежуток конечный или бесконечный.

Случайная величина x(w),заданная в вероятностном пространстве {W, S,P}, называется непрерывной (абсолютно непрерывной) W, если существует неотрицательная функция такая, что при любых х функцию распределения Fx(x) можно представить в виде интеграла

Функция называется функцией плотности распределения вероятностей .

Из определения вытекают свойства функции плотности распределения :

1..gif" width="97" height="51">

3. В точках непрерывности плотность распределения равна производной функции распределения: .

4. Плотность распределения определяет закон распределения случайной величины, т. к. определяет вероятность попадания случайной величины на интервал :

5.Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение равна нулю: . Поэтому справедливы следующие равенства:

График функции плотности распределения называется кривой распределения , и площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Тогда геометрически значение функции распределения Fx(x) в точке х0 есть площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс и лежащая левее точки х0.

Задача 1. Функция плотности непрерывной случайной величины имеет вид:

Определить константу C, построить функцию распределения Fx(x) и вычислить вероятность .

Решение. Константа C находится из условия Имеем:

откуда C=3/8.

Чтобы построить функцию распределения Fx(x), отметим, что интервал делит область значений аргумента x (числовую ось) на три части: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17.gif" width="264" height="49">

так как плотность x на полуоси равна нулю. Во втором случае

Наконец, в последнем случае, когда x>2,

Так как плотность обращается в нуль на полуоси . Итак, получена функция распределения

Вероятность вычислим по формуле . Таким образом,

§ 2. Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Математическое ожидание для непрерывно распределенных случайных величин определяется по формуле https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,

если интеграл, стоящий справа, абсолютно сходится.

Дисперсия x может быть вычислена по формуле , а также, как и в дискретном случае, по формуле https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

Все свойства математического ожидания и дисперсии , приведенные в главе 5 для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных случайных величин.

Задача 2 . Для случайной величины x из задачи 1 вычислить математическое ожидание и дисперсию.

Решение.

И значит,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

График плотности равномерного распределения см. на рис. .

Рис.6.2. Функция распределения и плотность распределения. равномерного закона

Функция распределения Fx(x) равномерно распределенной случайной величины равна

Fx(x)=

Математическое ожидание и дисперсия ; .

Показательное (экспоненециальное) распределение. Непрерывная случайная величина x, принимающая неотрицательные значения, имеет показательное распределение с параметром l>0, если плотность распределения вероятностей случайной величины равна

рx(x)=

Рис. 6.3. Функция распределения и плотность распределения показательного закона.

Функция распределения показательного распределения имеет вид

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> и , если ее плотность распределения равна

.

Через обозначается множество всех случайных величин, распределенных по нормальному закону с параметрами параметрами и .

Функция распределения нормально распределенной случайной величины равна

.

Рис. 6.4. Функция распределения и плотность распределения нормального закона

Параметры нормального распределения суть математическое ожидание https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

В частном случае, когда https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> нормальное распределение называется стандартным , и класс таких распределений обозначается https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,

а функция распределения

Такой интеграл не вычислим аналитически (не берется в «квадратурах»), и потому для функции составлены таблицы. Функция связана с введенной в главе 4 функцией Лапласа

,

следующим соотношением . В случае же произвольных значений параметров https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> функция распределения случайной величины связана с функцией Лапласа с помощью соотношения:

.

Поэтому вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на интервал можно вычислять по формуле

.

Неотрицательная случайная величина x называется логарифмически нормально распределенной, если ее логарифм h=lnx подчинен нормальному закону. Математическое ожидание и дисперсия логарифмически нормально распределенной случайной величины равны Мx= и Dx=.

Задача 3. Пусть задана случайная величина https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

Решение. Здесь и https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Распределение Лапласа задается функцией fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> и эксцесс равен gx=3.

Рис.6.5. Функция плотности распределения Лапласа.

Случайная величина x распределена по закону Вейбулла , если она имеет функцию плотности распределения, равную https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

Распределению Вейбулла подчиняются времена безотказной работы многих технических устройств. В задачах данного профиля важной характеристикой является интенсивность отказа (коэффициент смертности) l(t) исследуемых элементов возраста t, определяемый соотношением l(t)=. Если a=1, то распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное распределение, а если a=2 - в так называемое распределение Рэлея.

Математическое ожидание распределения Вейбулла: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, где Г(а) - функция Эйлера. .

В различных задачах прикладной статистики часто встречаются так называемые «усеченные» распределения. Например, налоговые органы интересуются распределением доходов тех лиц, годовой доход которых превосходит некоторый порог с0, установленный законами о налогообложении. Эти распределения оказываются приближенно совпадающими с распределением Парето. Распределение Парето задается функциями

Fx(x)=P(x.gif" width="44" height="25"> случайной величины x и монотонная дифференцируемая функция ..gif" width="200" height="51">

Здесь https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Задача 4. Случайная величина равномерно распределена на отрезке . Найти плотность случайной величины .

Решение. Из условия задачи следует, что

Далее, функция является монотонной и дифференцируемой функцией на отрезке и имеет обратную функцию , производная которой равна Следовательно,

§ 5. Пара непрерывных случайных величин

Пусть заданы две непрерывные случайные величины x и h. Тогда пара (x, h) определяет «случайную» точку на плоскости. Пару (x, h) называют случайным вектором или двумерной случайной величиной.

Совместной функцией распределения случайных величин x и h и называется функция F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. Совместной плотностью распределения вероятностей случайных величин x и h называется функция такая, что .

Смысл такого определения совместной плотности распределения заключается в следующем. Вероятность того, что «случайная точка» (x, h) попадет в область на плоскости, вычисляется как объем трехмерной фигуры – «криволинейного» цилиндра, ограниченного поверхностью https://pandia.ru/text/78/107/images/image098_3.gif" width="211" height="39 src=">

Простейшим примером совместного распределения двух случайных величин является двумерное равномерное распределение на множестве A . Пусть задано ограниченное множество М с площадью Оно определяется как распределение пары (x, h), задаваемое с помощью следующей совместной плотности:

Задача 5. Пусть двумерный случайный вектор (x, h) равномерно распределен внутри треугольника . Вычислить вероятность неравенства x>h.

Решение. Площадь указанного треугольника равна (см. рис. № ?). В силу определения двумерного равномерного распределения совместная плотность случайных величин x, h равна

Событие соответствует множеству на плоскости, т. е. полуплоскости. Тогда вероятность

На полуплоскости B совместная плотность равна нулю вне множества https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Таким образом, полуплоскость B разбивается на два множества и https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> и , причем второй интеграл равен нулю, так как там совместная плотность равна нулю. Поэтому

Если задана совместная плотность распределения для пары (x, h), то плотности и составляющих x и h называются частными плотностями и вычисляются по формулам:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

Для непрерывно распределенных случайных величин с плотностями рx(х), рh(у) независимость означает, что

Задача 6. В условиях предыдущей задачи определить, независимы ли составляющие случайного вектора x и h?

Решение . Вычислим частные плотности и . Имеем:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Очевидно, что в нашем случае https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> - совместная плотность величин x и h, а j(х, у) - функция двух аргументов, тогда

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

Задача 7. В условиях предыдущей задачи вычислить .

Решение. Согласно указанной выше формуле имеем:

.

Представив треугольник в виде

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. Плотность суммы двух непрерывных случайных величин

Пусть x и h - независимые случайные величины с плотностями https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Плотность случайной величины x + h вычисляется по формуле свертки

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Вычислить плотность суммы .

Решение. Так как x и h распределены по показательному закону с параметром , то их плотности равны

Следовательно,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Если x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">отрицателен, и потому . Поэтому Если же https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Таким образом, мы получили ответ:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> нормально распределена с параметрами 0 и 1. Случайные величины x1 и x2 независимы и имеют нормальные распределения с параметрами а1, и а2, соответственно. Доказать, что x1 + x2 имеет нормальное распределение. Случайные величины x1, x2, ... xn распределены и независимы и имеют одинаковую функцию плотности распределения

.

Найти функцию распределения и плотность распределения величин:

а) h1 = min {x1 , x2, ...xn} ; б) h(2) = max {x1,x2, ... xn }

Случайные величины x1, x2, ... xn независимы и равномерно распределены на отрезке [а, b]. Найти функции распределения и функции плотности распределения величин

x(1) = min {x1,x2, ... xn} и x(2)= max{x1, x2, ...xn}.

Доказать, что Мhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

Случайная величина распределена по закону Коши Найти: а) коэффициент а; б) функцию распределения; в) вероятность попадания на интервал (-1, 1). Показать, что математическое ожидание x не существует. Случайная величина подчинена закону Лапласа с параметром l (l>0): Найти коэффициент а; построить графики плотности распределения и функции распределения; найти Mx и Dx; найти вероятности событий {|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Написать формулу для плотности распределения, найти Мx и Dx.

Вычислительные задачи.

Случайная точка А имеет в круге радиуса R равномерное распределение. Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния r точки до центра круга. Показать, что величина r2 равномерно распределена на отрезке .

Плотность распределения случайной величины имеет вид:

Вычислить константу C, функцию распределения F(x), и вероятность Плотность распределения случайной величины имеет вид:

Вычислить константу C, функцию распределения F(x), и вероятность Плотность распределения случайной величины имеет вид:
Вычислить константу C, функцию распределения F(x), , дисперсию и вероятность Случайная величина имеет функцию распределения

Вычислить плотность случайной величины, математическое ожидание, дисперсию и вероятность Проверить, что функция =
может быть функцией распределения случайной величины. Найти числовые характеристики этой величины: Mx и Dx. Случайная величина равномерно распределена не отрезке . Выписать плотность распределения. Найти функцию распределения. Найти вероятность попадания случайной величины на отрезок и на отрезок . Плотность распределения x равна

.

Найти постоянную с, плотность распределения h = и вероятность

Р (0,25

Время безотказной работы ЭВМ распределено по показательному закону с параметром l = 0,05 (отказа в час), т. е. имеет функцию плотности

р(х) =.

Решение определенной задачи требует безотказной работы машины в течение 15 минут. Если за время решения задачи произошел сбой, то ошибка обнаруживается только по окончании решения, и задача решается заново. Найти: а) вероятность того, что за время решения задачи не произойдет ни одного сбоя; б) среднее время, за которое будет решена задача.

Стержень длины 24 см ломают на две части; будем считать, что точка излома распределена равномерно по всей длине стержня. Чему равна средняя длина большей части стержня? Отрезок длины 12 см случайным образом разрезается на две части. Точка разреза равномерно распределена по всей длине отрезка. Чему равна средняя длина малой части отрезка? Случайная величина равномерно распределена на отрезке . Найти плотность распределения случайной величины а) h1 = 2x + 1; б) h2 =-ln(1-x); в) h3 = .

Показать, что если x имеет непрерывную функцию распределения

F(x) = P(x

Найти функцию плотности и функцию распределения суммы двух независимых величин x и h c равномерными законами распределения на отрезках и соответственно. Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и соответственно. Вычислить плотность суммы x+h. Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и соответственно. Вычислить плотность суммы x+h. Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и соответственно. Вычислить плотность суммы x+h. Случайные величины независимы и имеют показательное распределение с плотностью . Найти плотность распределения их суммы. Найти распределение суммы независимых случайных величин x и h, где x имеет равномерное на отрезке распределение, а h имеет показательное распределение с параметром l. Найти Р, если x имеет: а) нормальное распределение с параметрами а и s2 ; б) показательное распределение с параметром l; в) равномерное распределение на отрезке [-1;1]. Совместное распределение x, h является равномерным в квадрате
К ={х, у): |х| +|у|£ 2}. Найти вероятность. Являются ли x и h независимыми? Пара случайных величин x и h равномерно распределена внутри треугольника K=. Вычислить плотность x и h. Являются ли эти случайные величины независимыми? Найти вероятность . Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и [-1,1]. Найти вероятность . Двумерная случайная величина (x, h) равномерно распределена в квадрате с вершинами (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Найти значение совместной функции распределения в точке (1, -1). Случайный вектор (x, h) равномерно распределен внутри круга радиуса 3 с центром в начале координат. Написать выражение для совместной плотности распределения. Определить, зависимы ли эти случайные величины. Вычислить вероятность . Пара случайных величин x и h равномерно распределена внутри трапеции с вершинами в точках (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Найти совместную плотность распределения для этой пары случайных величин и плотности составляющих. Зависимы ли x и h? Случайная пара (x, h) равномерно распределена внутри полукруга . Найти плотности x и h, исследовать вопрос об их зависимости. Совместная плотность двух случайных величин x и h равна .
Найти плотности x, h. Исследовать вопрос о зависимости x и h. Случайная пара (x, h) равномерно распределена на множестве . Найти плотности x и h, исследовать вопрос об их зависимости. Найти М(xh). Случайные величины x и h независимы и распределены по показательному закону с параметром Найти

4. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Непрерывную случайную величину можно задать с помощью функции распределения F (x ) . Этот способ задания не является единственным. Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (иногда её называют дифференциальной функцией).

Определение4.1: Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х называют функцию f (x ) - первую производную от функции распределения F (x ) :

f ( x ) = F "( x ) .

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения. Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

Теорема: Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащие интервалу (a , b ), равна определённому интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b :

Доказательство: Используем соотношение

P (a ≤ X b ) = F (b ) – F (a ).

По формуле Ньютона-Лейбница,

Таким образом,

.

Так как P (a ≤ X b )= P (a X b ) , то окончательно получим

.

Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a , b ), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox , кривой распределения f (x ) и прямыми x = a и x = b .

Замечание: В частности, если f (x ) – чётная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то

.

Пример. Задана плотность вероятности случайной величины Х

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащие интервалу (0,5; 1).

Решение: Искомая вероятность

.

Нахождение функции распределения по известной плотности распределения

Зная плотность распределения f (x ) , можно найти функцию распределения F (x ) по формуле

.

Действительно, F (x ) = P (X x ) = P (-∞ X x ) .

Следовательно,

.

Таким образом, зная плотность распределения, можно найти функцию распределения. Разумеется, по известной функции распределения можно найти плотность распределения , а именно:

f (x ) = F "(x ).

Пример. Найти функцию распределения по данной плотности распределения:

Решение: Воспользуемся формулой

Если x ≤ a , то f (x ) = 0 , следовательно, F (x ) = 0 . Если a , то f(x) = 1/(b-a) ,

следовательно,

.

Если x > b , то

.

Итак, искомая функция распределения

Замечание: Получили функцию распределения равномерно распределенной случайной величины (см. равномерное распределение).

Свойства плотности распределения

Свойство 1: Плотность распределения - неотрицательная функция:

f ( x ) ≥ 0 .

Свойство 2: Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -∞ до ∞ равен единице:

.

Замечание: График плотности распределения называют кривой распределения .

Замечание: Плотность распределения непрерывной случайной величины также называют законом распределения.

Пример. Плотность распределения случайной величины имеет следующий вид:

Найти постоянный параметр a .

Решение: Плотность распределения должна удовлетворять условию , поэтому потребуем, чтобы выполнялось равенство

.

Отсюда
. Найдём неопределённый интеграл:

.

Вычислим несобственный интеграл:

Таким образом, искомый параметр

.

Вероятный смысл плотности распределения

Пусть F (x ) – функция распределения непрерывной случайной величины X . По определению плотности распределения, f (x ) = F "(x ) , или

Разность F (x +∆х) - F (x ) определяет вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (x , x +∆х) . Таким образом, предел отношения вероятности того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (x , x +∆х) , к длине этого интервала (при ∆х→0 ) равен значению плотности распределения в точке х .

Итак, функция f (x ) определяет плотность распределения вероятности для каждой точки х . Из дифференциального исчисления известно,что приращение функции приближенно равно дифференциалу функции, т.е.

Так как F "(x ) = f (x ) и dx = ∆ x , то F (x +∆ x ) - F (x ) ≈ f (x )∆ x .

Вероятностный смысл этого равенства таков: вероятность того, что случайная величина примет значение принадлежащее интервалу (x , x +∆ x ) ,приближенно равна произведению плотности вероятности в точке х на длину интервала ∆х .

Геометрически этот результат можно истолковать так : вероятность того, что случайная величина примет значение принадлежащее интервалу (x , x +∆ x ) ,приближенно равна площади прямоугольника с основанием ∆х и высотой f (x ).

5. Типовые распределения дискретных случайных величин

5.1. Распределение Бернулли

Определение5.1: Случайная величина X , принимающая два значения 1 и 0 с вероятностями (“успеха”) p и (“неуспеха”) q , называется Бернуллиевской :

, где k =0,1.

5.2. Биномиальное распределение

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться или не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна p (следовательно, вероятность непоявления q = 1 - p ).

Рассмотрим случайную величину X – число появлений события A в этих испытаниях. Случайная величина X принимает значения 0,1,2,… n с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли: , где k = 0,1,2,… n .

Определение5.2: Биномиальным называют раcпределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли.

Пример. По мишени производится три выстрела, причем вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Рассматривается случайная величина X – число попаданий в мишень. Найти ее ряд распределения.

Решение: Случайная величина X принимает значения 0,1,2,3 с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли, где n = 3, p = 0,8 (вероятность попадания), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (вероятность непопадания).

Таким образом, ряд распределения имеет следующий вид:

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, поэтому для подсчета соответствующих вероятностей используют локальную теорему Лапласа, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Локальная теорема Лапласа : Если вероятность p появления события A
того, что событие A появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n ) значению функции
, где
, .

Замечание1: Таблицы, в которых помещены значения функции
, даны в приложении 1, причем
. Функция является плотностью стандартного нормального распределения (смотри нормальное распределение).

Пример: Найти вероятность того, что событие A наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение: По условию n = 400, k = 80, p = 0,2 , q = 0,8 . Вычислим определяемое данными задачи значение x :
. По таблице приложения 1 находим
. Тогда искомая вероятность будет:

Если нужно вычислить вероятность того, что событие A появится в n испытаниях не менее k 1 раз и не более k 2 раз, то нужно использовать интегральную теорему Лапласа:

Интегральная теорема Лапласа : Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие A появится в n испытаниях от k 1 до k 2 раз, приближенно равна определенному интегралу

, где
и
.

Другими словами, вероятность того, что событие A появится в n испытаниях от k 1 до k 2 раз, приближенно равна

где
, и .

Замечание2: Функцию
называют функцией Лапласа (смотри нормальное распределение). Таблицы, в которых помещены значения функции , даны в приложении 2, причем
.

Пример: Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей, если вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2.

Решение: По условию n = 400, p = 0,2 , q = 0,8, k 1 = 70, k 2 = 100 . Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:

;
.

Таким образом, имеем:

По таблице приложения 2 находим, что
и
. Тогда искомая вероятность равна:

Замечание3: В сериях независимых испытаний (когда n велико, p мало) для вычисления вероятности наступления события ровно k раз используют формулу Пуассона (смотри распределение Пуассона).

5.3. Распределение Пуассона

Определение5.3: Дискретную случайную величину называют Пуассоновской, если ее закон распределения имеет следующий вид:

, где
и
(постоянное значение).

Примеры Пуассоновских случайных величин:

Число вызовов на автоматическую станцию за промежуток времени T .

Число частиц распада некоторого радиоактивного вещества за промежуток времени T .

Число телевизоров, которые поступают в мастерскую за промежуток времени T в большом городе.

Число автомобилей, которые поступят к стоп-линии перекрестка в большом городе.

Замечание1: Специальные таблицы для вычисления данных вероятностей приведены в приложении 3.

Замечание2: В сериях независимых испытаний (когда n велико, p мало) для вычисления вероятности наступления события ровно k раз используют формулу Пуассона:
, где
, то есть среднее число появлений событий остается постоянным.

Замечание3: Если есть случайная величина, которая распределена по закону Пуассона, то обязательно есть случайная величина, которая распределена по показательному закону и, наоборот (см. Показательное распределение).

Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002 . Найти вероятность, что на базу прибудут ровно три негодных изделия.

Решение: По условию n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Найдем λ: λ = np = 5000·0,0002 = 1 .

По формуле Пуассона искомая вероятность равна:

, где случайная величина X – число негодных изделий.

5.4. Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна p (0 p

q = 1 - p . Испытания заканчиваются, как только появится событие А . Таким образом, если событие А появилось в k -м испытании, то в предшествующих k – 1 испытаниях оно не появлялось.

Обозначим через Х дискретную случайную величину – число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А . Очевидно, возможными значениями Х являются натуральные числа х 1 = 1, х 2 = 2, …

Пусть в первых k -1 испытаниях событие А не наступило, а в k -м испытании появилось. Вероятность этого “сложного события”, по теореме умножения вероятностей независимых событий, P (X = k ) = q k -1 p .

Определение5.4: Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение , если ее закон распределения имеет следующий вид:

P ( X = k ) = q k -1 p , где
.

Замечание1: Полагая k = 1,2,… , получим геометрическую прогрессию с первым членом p и знаменателем q (0q . По этой причине распределение называют геометрическим.

Замечание2: Ряд
сходится и сумма его равна единице. Действительно сумма ряда равна
.

Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель p = 0,6 . Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение: По условию p = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, k = 3. Искомая вероятность равна:

P (X = 3) = 0,4 2 ·0,6 = 0,096.

5.5. Гипергеометрическое распределение

Рассмотрим следующую задачу. Пусть в партии из N изделий имеется M стандартных (M N ). Из партии случайно отбирают n изделий (каждое изделие может быть извлечено с одинаковой вероятностью), причем отобранное изделие перед отбором следующего не возвращается в партию (поэтому формула Бернулли здесь не применима).

Обозначим через X случайную величину – число m стандартных изделий среди n отобранных. Тогда возможными значениями X будут 0, 1, 2,…, min ; обозначим их и, ... по значениям независимой переменной (Fonds) воспользуемся кнопкой (раздел ...

В отличие от дискретной случайной величины непрерывные случайные величины невозможно задать в виде таблицы ее закона распределения поскольку невозможно перечислить и выписать в определенной последовательностей все ее значения. Одним из возможных способов задания непрерывной случайной величины является использование функции распределения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцией распределения называют функцию, определяющую вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, т.е.

Иногда вместо термина «Функция распределения» используют термин «Интегральная функция».

Свойства функции распределения:

1. Значения функции распределения принадлежит отрезку : 0F(x)1
2. F(x) - неубывающая функция, т.е. F(x 2)F(x 1), если x 2 >x 1

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(aX

Пример 9. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0;2): P(0

Решение: Так как на интервале (0;2) по условию, F(x)=x/4+1/4, то F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0/4+1/4)=1/2. Итак, P(0

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

Следствие 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а;b), то: 1) F(x)=0 при xa; 2) F(x)=1 при xb.
Справедливы следующие предельные соотношения:

График функции распределения расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 (первое свойство). При возрастании х в интервале (а;b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «подымается вверх». При xa ординаты графика равны нулю; при xb ординаты графика равны единице:

Рисунок-1

Пример 10. Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения:

Найти функцию распределения и построить ее график.
Решение: Функция распределения аналитически может быть записана так:

Рисунок-2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) - первую производную от функции распределения F(x): f(x)=F"(x)

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а;b) равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:

(8)

Свойства плотности распределения вероятностей:

1. Плотность вероятностей является неотрицательной функцией: f(x)0.
2. Определенный интеграл от -∞ до +∞ от плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины равен 1: f(x)dx=1.
3. Определенный интеграл от -∞ до x от плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины равен функции распределения этой величины: f(x)dx=F(x)

Пример 11. Задана плотность распределения вероятностей случайной величины Х

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5;1).

Решение: Искомая вероятность:

Распространим определение числовых характеристик дискретных величин на величины непрерывные. Пусть непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения f(x).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определенный интеграл:

M(x)=xf(x)dx (9)

Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то:

M(x)=xf(x)dx (10)

Модой M 0 (X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения.

Медианой M e (X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которое определяется равенством:

P{X e (X)}=P{X>M e (X)}

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения Х принадлежат отрезку , то:

D(x)= 2 f(x)dx (11)
или
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)

Если возможные значения принадлежат всей оси х, то.