Përkufizimi
Lagjja e një pike reale x 0 Çdo interval i hapur që përmban këtë pikë quhet:
.
Këtu ε 1 dhe ε 2 - numra pozitivë arbitrarë.

Epsilon - lagja e pikës x 0 është bashkësia e pikave distanca nga e cila në pikën x 0 më pak se ε:
.

Një lagje e shpuar e pikës x 0 është fqinjësia e kësaj pike nga e cila është përjashtuar vetë pika x 0 :
.

Lagjet e pikave fundore

Që në fillim u dha përkufizimi i fqinjësisë së një pike. Është caktuar si.
(1) .
Por ju mund të tregoni qartë se lagja varet nga dy numra duke përdorur argumentet e duhura:

Kjo do të thotë, një lagje është një grup pikash që i përkasin një intervali të hapur. 1 Duke barazuar ε 2 te ε
(2) .
, marrim epsilon - lagje:
Një lagje epsilon është një grup pikash që i përkasin një intervali të hapur me skaje të barabarta.

Natyrisht, shkronja epsilon mund të zëvendësohet me ndonjë tjetër dhe konsideroni δ - lagje, σ - lagje, etj.

Në teorinë e kufirit, mund të përdoret një përkufizim i lagjes bazuar në grupin (1) dhe grupin (2). Përdorimi i ndonjë prej këtyre lagjeve jep rezultate ekuivalente (shih). Por përkufizimi (2) është më i thjeshtë, kështu që shpesh përdoret epsilon - fqinjësia e një pike të përcaktuar nga (2). Përdoren gjerësisht edhe konceptet e lagjeve të krahut të majtë, të djathtë dhe të shpuar. pikat fundore

. Këtu janë përkufizimet e tyre. 0 Lagjja e majtë e një pike reale x është një interval gjysmë i hapur i vendosur në bosht real 0 në të majtë të pikës x
;
.

, duke përfshirë vetë pikën: 0 Lagjja e djathtë e një pike x reale 0 në të majtë të pikës x
;
.

është një interval gjysmë i hapur që ndodhet në të djathtë të pikës x

Lagjet e shpuara të pikave fundore 0 Lagjet e shpuara të pikës x

- këto janë të njëjtat lagje nga të cilat përjashtohet vetë pika. Ato tregohen me një rreth mbi shkronjën. Këtu janë përkufizimet e tyre. 0 :
.

Lagjja e shpuar e pikës x 0 :
;
.

Epsiloni i shpuar - fqinjësia e pikës x:
;
.

Shpuar afërsi në anën e majtë:
;
.

Afërsi e shpuar në anën e djathtë

Lagjet e pikave në pafundësi Së bashku me pikat fundore, futen edhe lagjet pafundësisht. Ata janë të gjithë të shpuar sepse nuk ka numër real në pafundësi (pika në pafundësi përcaktohet si kufiri i një sekuence pafundësisht të madhe).

.
;
;
.

Ishte e mundur të përcaktoheshin lagjet e pikave në pafundësi si kjo:
.
Por në vend të M, ne përdorim , kështu që lagjja me ε më të vogël është një nëngrup i lagjes me ε më të madhe, si për lagjet e pikës fundore.

Pronë e lagjes

Më pas, përdorim vetinë e dukshme të fqinjësisë së një pike (fundme ose në pafundësi). Qëndron në faktin se lagjet e pikave me vlera më të voglaε janë nënbashkësi të lagjeve me vlera të mëdha të ε.

Këtu janë formulime më strikte.
Le të ketë një pikë përfundimtare ose pafundësisht të largët. Dhe le të jetë.
;
;
;
;
;
;
;
.

Pastaj

E kundërta është gjithashtu e vërtetë.

Ekuivalenca e përcaktimeve të kufirit të një funksioni sipas Cauchy

Tani do të tregojmë se në përcaktimin e kufirit të një funksioni sipas Cauchy, mund të përdorni një lagje arbitrare dhe një lagje me skaje të barabarta.
Teorema

Përkufizimet Cauchy të kufirit të një funksioni që përdorin lagje arbitrare dhe lagje me skaje të barabarta janë ekuivalente.

Dëshmi Le të formulojmë.
përcaktimi i parë i kufirit të një funksioni
.

Dëshmi Një numër a është kufiri i një funksioni në një pikë (të fundme ose në pafundësi), nëse për çdo numër pozitiv ka numra në varësi të dhe që për të gjithë i përket fqinjësisë përkatëse të pikës a:.
përkufizimi i dytë i kufirit të një funksioni Numri a është kufiri i funksionit në pikën nëse ka ndonjë numër pozitiv
.

ka një numër në varësi të kësaj për të gjithë:

Prova 1 ⇒ 2

Le të vërtetojmë se nëse një numër a është kufiri i një funksioni sipas përkufizimit të parë, atëherë ai është gjithashtu një kufi nga përkufizimi i dytë.
Le të plotësohet përkufizimi i parë. Kjo do të thotë se ka funksione dhe , kështu që për çdo numër pozitiv vlen sa vijon:

në , ku .
.
Meqenëse numrat janë arbitrar, ne i barazojmë ato:
Le të plotësohet përkufizimi i parë. Kjo do të thotë se ka funksione dhe , kështu që për çdo numër pozitiv vlen sa vijon:

Pastaj ka funksione të tilla dhe , kështu që për cilindo vlen sa vijon:
Vini re se.
.
Lë të jetë më i vogli i numrave pozitivë dhe .

Pastaj, sipas asaj që u përmend më lart,
Le të plotësohet përkufizimi i parë. Kjo do të thotë se ka funksione dhe , kështu që për çdo numër pozitiv vlen sa vijon:
Nëse, atëherë.

Kjo do të thotë, ne gjetëm një funksion të tillë, kështu që për cilindo vlen sa vijon:

Kjo do të thotë se numri a është kufiri i funksionit sipas përkufizimit të dytë.

Le të plotësohet përkufizimi i dytë. Le të marrim dy numra pozitivë dhe .
.

Dhe le të jetë më e vogla prej tyre. Pastaj, sipas përkufizimit të dytë, ekziston një funksion i tillë, kështu që për çdo numër pozitiv dhe për të gjithë, rezulton se
.

Por sipas,.
.

Prandaj, nga sa vijon

Pastaj për çdo numër pozitiv dhe , gjetëm dy numra, pra për të gjithë:

Kjo do të thotë që numri a është një kufi sipas përkufizimit të parë.
Teorema është vërtetuar. Literatura e përdorur: L.D. Kudryavtsev. Epo

analiza matematikore . Vëllimi 1. Moskë, 2003. (∞, ε ) = {Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: ∈ | |U z Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: z | > ε). Pika = ∞ është një pikë njëjës e izoluar = funksioni analitik (Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: w Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: f Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: ), nëse në ndonjë lagje të kësaj pike nuk ka pika të tjera njëjës të këtij funksioni. Për të përcaktuar llojin e kësaj pike njëjës, ne bëjmë një ndryshim të ndryshores dhe pikës = ∞ është një pikë njëjës e izoluar = funksioni analitik (Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: = ∞ shkon në pikën 1 = 0, funksion Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: ) do të marrë formën = ∞ është një pikë njëjës e izoluar = funksioni analitik (Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: . Lloji i pikës njëjës Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: = ∞ funksionet = ∞ është një pikë njëjës e izoluar = φ (Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: ) do të quajmë llojin e pikës njëjës = ∞ është një pikë njëjës e izoluar = funksioni analitik (Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: 1 = 0 funksione Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: 1). Nëse zgjerimi i funksionit Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: ) sipas shkallëve Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: në afërsi të një pike Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: = ∞, d.m.th. në vlera mjaftueshëm të mëdha të modulit Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: , ka formën , pastaj, duke zëvendësuar Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: 1). Nëse zgjerimi i funksionit Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: më , ne do të marrim . Kështu, me një ndryshim të tillë të ndryshores, pjesët kryesore dhe të rregullta të serisë Laurent ndryshojnë vendet dhe llojin e pikës njëjës.
= ∞ përcaktohet nga numri i termave në pjesën e saktë të zgjerimit të funksionit në serinë Laurent në fuqi Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: = 0. Prandaj 1. Pika= ∞ - i lëvizshëm pikë njëjës 0);
, nëse në këtë zgjerim mungon pjesa e saktë (me përjashtim të mundshëm të termit Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: A 2. Pika = ∞ - pol n · -rendi i th nese pjesa e djathte mbaron me term ;
Një n Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: z n

3. Pika Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë:= ∞ është një pikë në thelb njëjës nëse pjesa e rregullt përmban pafundësisht shumë terma. Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: Në këtë rast mbeten të vlefshme kriteret për llojet e pikave njëjës sipas vlerës: nëse Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë:= ∞ është një pikë njëjës e lëvizshme, atëherë ky kufi ekziston dhe është i fundëm nëse.

= ∞ është një pol, atëherë ky kufi është i pafund nëse funksioni analitik (Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: ) = -5 + 3U 2 - Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: = ∞ është një pikë në thelb njëjës, atëherë ky kufi nuk ekziston (as i fundëm, as i pafund) Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: Shembuj: 1. Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë:
6. Funksioni është tashmë një polinom në fuqi Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: , shkalla më e lartë është e gjashta, pra I njëjti rezultat mund të merret në një mënyrë tjetër. Ne do të zëvendësojmë φ (Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: më, atëherë Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: . Për funksionin funksioni analitik (Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: 1) pikë Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: 1 = 0 është një pol i rendit të gjashtë, pra për
) pikë Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: = ∞ - pol i rendit të gjashtë. 2. . Për këtë funksion, merrni një zgjerim të fuqisë Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë:
e vështirë, kështu që le të gjejmë: Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: ; kufiri ekziston dhe është i fundëm, pra pika Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: = ∞ është një pikë në thelb njëjës. Përndryshe, ky fakt mund të vërtetohet duke u bazuar në faktin se ai nuk ekziston.

Mbetja e një funksioni në një pikë njëjës pafundësisht të largët.

Për pikën e fundit njëjës a , Ku γ - një qark që nuk përmban të tjerë përveç a , pika njëjës, të përshkuara në mënyrë të tillë që zona e kufizuar prej saj dhe që përmban pikën njëjës të mbetet në të majtë (në drejtim të kundërt të akrepave të orës).

Le të përcaktojmë në mënyrë të ngjashme: , ku Γ − është kontura që kufizon një lagje të tillë . Vëllimi 1. Moskë, 2003. (∞, r ) pikë Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: = ∞, e cila nuk përmban pika të tjera njëjës dhe e përshkueshme në mënyrë që kjo lagje të mbetet në të majtë (d.m.th., në drejtim të akrepave të orës). Kështu, të gjitha pikat e tjera njëjës (përfundimtare) të funksionit duhet të vendosen brenda konturit Γ − . Le të ndryshojmë drejtimin e kalimit të konturit Γ − : . Nga teorema kryesore mbi mbetjet , ku përmbledhja kryhet mbi të gjitha pikat e fundme njëjës. Prandaj, më në fund

,

ato. mbetje në një pikë njëjës pafundësisht të largët e barabartë me shumën mbetje mbi të gjitha pikat e fundme njëjës, të marra me shenjën e kundërt.

Si pasojë, ekziston teorema e shumës totale: nëse funksioni = ∞ është një pikë njëjës e izoluar = funksioni analitik (Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: ) është analitike kudo në aeroplan ME , me përjashtim të një numri të kufizuar pikash njëjës Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: 1 , Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: 2 , Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: 3 , …,z k , atëherë shuma e mbetjeve në të gjitha pikat e fundme njëjës dhe mbetja në pafundësi është e barabartë me zero.

Vini re se nëse Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: = ∞ është një pikë njëjës e lëvizshme, atëherë mbetja në të mund të jetë e ndryshme nga zero. Pra, për funksionin, padyshim, ; Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: = 0 është e vetmja pikë njëjës e fundme e këtij funksioni, pra , pavarësisht se, d.m.th. Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: = ∞ është një pikë njëjës e lëvizshme.

Përkufizimi. Pika në pafundësi plan kompleks thirrur pikë njëjës e izoluar funksion unik analitik funksioni analitik(Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë:), Nëse jashtë rrethi me disa rreze R,

ato. për , nuk ka asnjë pikë të fundme njëjës të funksionit funksioni analitik(Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë:).

Për të studiuar funksionin në një pikë në pafundësi, bëjmë zëvendësimin
Funksioni

do të ketë një singularitet në pikë ζ = 0, dhe kjo pikë do të jetë e izoluar, pasi

brenda rrethit
Nuk ka pika të tjera të veçanta sipas kushtit. Duke qenë analitik në këtë

rrethi (përveç të ashtuquajturit ζ = 0), funksion
mund të zgjerohet në një seri Laurent në fuqi ζ . Klasifikimi i përshkruar në paragrafin e mëparshëm mbetet plotësisht i pandryshuar.

Megjithatë, nëse kthehemi në variablin origjinal Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë:, pastaj seritë në fuqi pozitive dhe negative Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë:'ndërroni' vendet. Ato. Klasifikimi i pikave në pafundësi do të duket kështu:

Shembuj. 1.
. Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: = Pika i

2.
− pol i rendit të 3-të. Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: = ∞ . Pika

− një pikë në thelb njëjës.

§18. Mbetja e një funksioni analitik në një pikë njëjës të izoluar. Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: 0 është një pikë njëjës e izoluar e një funksioni analitik me një vlerë të vetme

funksioni analitik(Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë:) . Sipas të mëparshmes, në afërsi të kësaj pike funksioni analitik(Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë:) mund të përfaqësohet në mënyrë unike nga seria Laurent:
Ku

Përkufizimi.Zbritja funksioni analitik funksioni analitik(Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë:) në një pikë të veçuar njëjës Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: 0

thirrur numër kompleks, e barabartë me vlerën e integralit
, marrë në drejtim pozitiv përgjatë çdo konture të mbyllur që shtrihet në domenin e analiticitetit të funksionit dhe që përmban brenda vetes një pikë të vetme singulare Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: 0 .

Zbritja tregohet me simbolin Res [funksioni analitik(Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë:),Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: 0 ].

Është e lehtë të shihet se mbetja në një pikë njëjës të rregullt ose të lëvizshme është e barabartë me zero.

Në një pikë pol ose në thelb të vetme, mbetja është e barabartë me koeficientin Me-1 rresht Laurent:

.

Shembull. Gjeni mbetjen e një funksioni
.

(Le të jetë e lehtë për ta parë atë

koeficienti Me-1 fitohet kur shumëzohen termat me 2. Pika= 0: Rez[ funksioni analitik(Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë:),Pika ] =
}

Shpesh është e mundur të llogariten mbetjet e funksioneve në një mënyrë të thjeshtë. Lëreni funksionin funksioni analitik(Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë:) ka përfshirë. Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: 0 pol i rendit të parë. Në këtë rast, zgjerimi i funksionit në një seri Laurent ka formën (§16):. Le ta shumëzojmë këtë barazi me (z−z 0) dhe të shkojmë te kufiri në
. Si rezultat marrim: Res[ funksioni analitik(Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë:),Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: 0 ] =
Pra, në

Në shembullin e fundit kemi Res[ funksioni analitik(Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë:),Pika ] =
.

Për të llogaritur mbetjet në polet e rendit më të lartë, shumëzojeni funksionin

në
(m− renditja e poleve) dhe diferenconi serinë që rezulton ( m − 1) herë.

Në këtë rast kemi: Res[ funksioni analitik(Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë:),Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: 0 ]

Shembull. Gjeni mbetjen e një funksioni
në pikën z= −1.

{Rez[ funksioni analitik(Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë:), −1] }

Pika në pafundësi.

Le të jetë funksioni analitik në një lagje të një pike pafundësisht të largët (me përjashtim të vetë pikës). Ata thonë se ështëpikë njëjës e lëvizshme, pol ose pikë në thelb njëjësfunksionon në varësi tëtë fundme, të pafundme ose inekzistente .

Le të vendosim dhe, atëherë do të jetë analitike në një lagje të caktuar të pikës. Kjo e fundit do të jetë për një pikë njëjës të të njëjtit lloj si për. Zgjerimi i lagjes Laurent mund të merret me një zëvendësim të thjeshtë në zgjerimin e lagjes Laurent. Por me një zëvendësim të tillë, pjesa e saktë zëvendësohet nga ajo kryesore, dhe anasjelltas. Kështu, është e drejtë

Teorema 1. Në rastin e një singulariteti të lëvizshëm në pafundësi pikë e largët, zgjerimi Laurent i funksionit në lagjen e kësaj pike nuk përmban gradë pozitive, në rastin e një shtyllepërmban një numër të kufizuar të tyre, dhe në rasttipar thelbësor - i pafund.

Nëse ka në pikë i lëvizshëm veçori, zakonisht thuhet se ajoanalitike në pafundësi, dhe pranoni. Në këtë rast, funksioni është dukshëm i kufizuar në ndonjë lagje të pikës.

Le të jetë funksioni analitik në plan të plotë. Nga analiticiteti i një funksioni në një pikë në pafundësi, rezulton se ai kufizohet në fqinjësinë e kësaj pike; le në. Nga ana tjetër, nga analiticiteti në rrethi vicioz ndjek kufizimin e tij në këtë rreth; le të jetë në të. Por atëherë funksioni është i kufizuar në të gjithë planin: për të gjithë që kemi. Kështu, teorema e Liouvillemund të jepet forma e mëposhtme.

Teorema 2. Nëse një funksion është analitik në rrafshin e plotë, atëherë ai është konstant.

Le të prezantojmë tani konceptinmbetje në pafundësi. Le të jetë funksioni analitik në ndonjë fqinjësi të një pike (përveç, ndoshta, vetë kësaj pike); nënduke zbritur funksionin në pafundësi kuptojnë

ku një rreth mjaft i madh përshkohet në drejtim të akrepave të orës (në mënyrë që rrethi i pikës të mbetet në të majtë).

Nga ky përkufizim rrjedh menjëherë se mbetja e një funksioni në pafundësi është e barabartë me koeficientin në në zgjerimin e tij Laurent në afërsi të një pike, marrë me shenjën e kundërt:

Teorema 3. Nëse një funksion ka një numër të kufizuar pikash njëjës në planin e plotë, atëherë shuma e të gjitha mbetjeve të tij, duke përfshirë mbetjen në pafundësi, është e barabartë me zero.

Dëshmi. Në fakt, le a 1,…a n pikat fundore njëjës të funksionit dhe - rrethi që i përmban të gjitha brenda. Nga vetia e integraleve, teorema e mbetjes dhe përkufizimi i mbetjes në një pikë në pafundësi, kemi:

etj.

Zbatimet e teorisë së mbetjeve në llogaritjen e integraleve.

Le të jetë e nevojshme të llogaritet integrali i funksion real përgjatë disa segmenteve (të fundme ose të pafundme) ( a,b) boshti x. Le të shtojmë (a, b ) disa kurbë që kufizohen së bashku me ( a, b ) rajon dhe vazhdoni në mënyrë analitike në.

Ne zbatojmë teoremën e mbetjes në vazhdimin e ndërtuar analitik:

(1)

Nëse integrali mund të llogaritet ose të shprehet në termat e integralit të dëshiruar, atëherë problemi i llogaritjes zgjidhet.

Në rastin e segmenteve të pafundme ( a, b ) zakonisht marrin në konsideratë familjet e kontureve të integrimit në zgjerim pafundësisht, të cilat janë ndërtuar në atë mënyrë që, si rezultat i kalimit në kufi, të marrim një integral mbi ( a, b ). Në këtë rast, integrali mbi në relacionin (1) nuk mund të llogaritet, por mund të gjendet vetëm kufiri i tij, i cili shpesh rezulton të jetë zero.

Më poshtë është shumë e dobishme:

Lemma (Jordani). Nëse në një sekuencë të harqeve rrethore, (, A fikse) funksioni tenton në zero në mënyrë të njëtrajtshme në lidhje me, pastaj për

. (2)

Dëshmi. Le të shënojmë

Sipas kushteve të lemës, kur gjithashtu tenton në zero, dhe le a > 0; në harqet AB dhe CD kemi.

Rrjedhimisht, harku integral AB, CD tenton në zero në.

Meqenëse pabarazia është e vlefshme për, atëherë në hark BËHET

Prandaj, dhe kështu gjithashtu tenton në zero në. Nëse në një hark SE Nëse këndi polar numërohet në drejtim të akrepave të orës, atëherë do të merret i njëjti vlerësim. Në rastin kur vërtetimi është thjeshtuar, sepse do të ishte e panevojshme të vlerësohej integrali mbi harqe AB dhe CD. Lema është e vërtetuar.

Shënim 1. Sekuenca e harqeve rrethore në lemë mund të zëvendësohet familja e harqeve

atëherë, nëse funksioni at tenton në zero në mënyrë të njëtrajtshme në lidhje me atëherë për

. (3)

Prova ende qëndron.

Vërejtje 2. Le të zëvendësojmë variablin: iz=p , atëherë harqet e rrathëve të lemës do të zëvendësohen me harqe, dhe ne e marrim atë për çdo funksion F(fq ), me tendencë në zero si në mënyrë uniforme relative dhe për çdo pozitiv t

. (4)

Zëvendësimi i p në (4) me (-p ) e marrim atë në të njëjtat kushte për

, (5)

ku është harku i një rrethi (shih figurën).

Le të shohim shembuj të llogaritjes së integraleve.

Shembulli 1. .

Le të zgjedhim një funksion ndihmës. Sepse funksioni plotëson pabarazinë, atëherë në mënyrë të njëtrajtshme priret në zero si, dhe nga lema e Jordanit, si

Sepse ne kemi nga teorema e mbetjes

Në kufirin në marrim:

Duke ndarë pjesët reale dhe duke përdorur paritetin e funksionit, gjejmë

Shembulli 2. Të njehsohet integrali

Le të marrim një funksion ndihmës. Kontura e integrimit shkon rreth pikës njëjës Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: =0. Nga teorema e Cauchy-t

Nga lema e Jordanit është e qartë se. Për të vlerësuar, merrni parasysh zgjerimin Laurent në afërsi të pikës z =0

ku është e rregullt në një pikë Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: =0 funksion. Nga kjo është e qartë se

Kështu, teorema e Cauchy-t mund të rishkruhet si

Zëvendësimi në integralin e parë x nga x , gjejmë se është e barabartë, kështu që kemi

Në kufirin në dhe në fund:

. (7)

Shembulli 3. Njehsoni integralin

Le të prezantojmë një funksion ndihmës dhe të zgjedhim konturin e integrimit njësoj si në shembullin e mëparshëm. Brenda kësaj konture, logaritmi lejon identifikimin e një dege me një vlerë të vetme. Le të shënojmë degën që përcaktohet nga pabarazia. Funksioni ka në pikë z=i shtyllë e rendit të dytë me mbetje

Nga teorema e mbetjes.

Kur, duke filluar nga disa mjaft të mëdha R , pra, .

Në mënyrë të ngjashme për, duke filluar nga disa mjaft të vogla r, pra

Në integralin e parë pas zëvendësimit z=-x marrim:

dhe kështu në kufirin në kemi:

Krahasimi i pjesëve reale dhe imagjinare jep:

, .

Shembulli 4. Për integralin

Le të zgjedhim funksionin ndihmës dhe konturin e treguar në figurë. Brenda konturit është e paqartë, nëse supozojmë se.

Në brigjet e sipërme dhe të poshtme të prerjes, të përfshira në këtë kontur, merr vlerat dhe, për rrjedhojë, integralet anulojnë njëri-tjetrin, gjë që bën të mundur llogaritjen e integralit të kërkuar. Brenda konturit ka dy pole të funksionit të rendit të parë me mbetje përkatësisht të barabarta me:

Ku. Duke zbatuar teoremën e mbetjes, marrim:

Në përputhje me sa më sipër kemi:

Ashtu si në shembullin e mëparshëm, vërtetojmë se, dhe më pas në kufi, në do të kemi:

Nga këtu, duke krahasuar pjesët imagjinare, marrim:

Shembulli 5. Llogaritni vlerën kryesore të integralit special

Le të zgjedhim funksionin ndihmës dhe konturin e treguar në figurë. Brenda konturit funksioni është i rregullt. Në bregun e poshtëm të prerjes përgjatë gjysmë boshtit pozitiv. Kështu, sipas teoremës së Cauchy:

(8).

Natyrisht, kur dhe kur. Së bashku, ne kemi, përkatësisht, dhe, ku ndryshon përkatësisht nga 0 në dhe nga në. Prandaj,

Duke kaluar në (8) në kufirin në fitojmë, pra,

nga ku integrali i kërkuar është i barabartë me

Shembulli 6. Njehsoni integralin

Le të shqyrtojmë funksionin. Le të bëjmë një prerje*) .

Le ta themi. Kur ecni në drejtim të kundërt të akrepave të orës rreth një rruge të mbyllur (shih figurën, vijën me pika) dhe merrni një rritje,

prandaj, arg f (z )=( 1 +2  2 )/3 është gjithashtu në rritje. Kështu, në pamjen e prerjes, funksioni ndahet në 3 degë të rregullta, që ndryshojnë nga njëra-tjetra në zgjedhjen e elementit fillestar të funksionit, d.m.th. vlerë në një moment.

Do të shqyrtojmë degën e funksionit që merr në anën e sipërme të prerjes (-1,1). vlerat pozitive, dhe merrni konturin,

___________________

*) Në fakt, u bënë dy prerje: dhe, megjithatë, në bosht x në të djathtë të pikës x =1 funksioni është i vazhdueshëm: sipër prerjes, poshtë prerjes.

treguar në figurë. Në breg kemi, d.m.th. , në bregun II (pasi kaloi rreth pikës Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: =1 në drejtim të akrepave të orës) (d.m.th.), d.m.th. , integralet mbi rrathë dhe, padyshim, priren në zero**) në. Prandaj, nga teorema e Cauchy për domenet e lidhura shumëfish

Për llogaritjen, përdorim zgjerimin e degës 1/ në afërsi të pikës në pafundësi. Le ta nxjerrim nga nën shenjën e rrënjës, pastaj marrim se ku dhe janë degët e këtyre funksioneve, pozitive në segmentin (1,) të boshtit real.

në një segment të boshtit real. Zgjerimi i kësaj të fundit duke përdorur formulën binomiale:

gjejmë mbetjen e degës së zgjedhur 1/ në pikën në pafundësi: (koeficienti në 1/ Ne përcaktuam lagjen e kësaj pike si pjesën e jashtme të rrathëve të përqendruar në origjinë: me shenjën e kundërt). Por integrali është i barabartë me këtë mbetje të shumëzuar me, d.m.th. kemi ku më në fund

Shembulli 7. Konsideroni integralin.

__________________

**) Konsideroni, për shembull, integralin mbi. Në kemi, d.m.th.

Le të vendosim kështu,

Brenda një rrethi, integrandi ka një pol II rendit me zbritje

Nga teorema e mbetjes kemi

Shembulli 8. Le të llogarisim në mënyrë të ngjashme integralin

Pas zëvendësimit kemi:

Një nga polet e integrandit shtrihet brenda rrethi njësi, dhe tjetra është jashtë saj, sepse nga vetitë e rrënjëve ekuacioni kuadratik, dhe për shkak të gjendjes, këto rrënjë janë reale dhe të ndryshme. Kështu, nga teorema e mbetjes

(9)

ku është shtylla e shtrirë brenda rrethit. Sepse anën e djathtë(9) është e vlefshme, atëherë jep integralin e kërkuar

Nëse një sekuencë konvergjon në numër i kufizuar a , pastaj shkruajnë
.
Më parë kemi prezantuar në konsideratë sekuenca pafundësisht të mëdha. Ne supozuam se ato ishin konvergjente dhe shënuam kufijtë e tyre me simbolet dhe . Këto simbole përfaqësojnë pika në pafundësi . Ata nuk i përkasin turmës numra realë

Përkufizimi
. Por koncepti i kufirit na lejon të prezantojmë pika të tilla dhe ofron një mjet për studimin e vetive të tyre duke përdorur numra realë. Pika në pafundësi
, ose pafundësia e panënshkruar, është kufiri drejt të cilit priret një sekuencë pafundësisht e madhe. Pika në pafundësi plus pafundësi
, është kufiri në të cilin priret një sekuencë pafundësisht e madhe me terma pozitivë. Pika në pafundësi minus pafundësi

, është kufiri në të cilin priret një sekuencë pafundësisht e madhe me terma negativë.
;
.

Për çdo numër real a vlejnë pabarazitë e mëposhtme: Duke përdorur numra realë, ne prezantuam konceptin.
fqinjësia e një pike në pafundësi
Lagjja e një pike është grupi.
Së fundi, afërsia e një pike është grupi.

Këtu M është një numër real arbitrar, arbitrarisht i madh. Kështu, ne kemi zgjeruar grupin e numrave realë duke futur elementë të rinj në të. Në këtë drejtim, ekziston:

përkufizimin e mëposhtëm Linja numerike e zgjeruar ose grup i zgjeruar i numrave realë
.

është bashkësia e numrave realë të plotësuar nga elementet dhe : Së pari, ne do të shkruajmë vetitë që pikat dhe . Më tej ne e konsiderojmë çështjen e rreptë

përkufizimi matematik

operacionet për këto pika dhe vërtetimet e këtyre vetive..
; ;
; ;

Vetitë e pikave në pafundësi.
; ; ;
;
;
; ; .

Shuma dhe diferenca.
Produkti dhe koeficienti
; ;
; ; ; .
Lidhja me numrat realë > 0 Le të jetë a një numër real arbitrar. Pastaj
; ; .
Lidhja me numrat realë < 0 Le të jetë a një numër real arbitrar. Pastaj
; .

Le të a.
; ; ; ;
; ; ;
; ;
.

.

Pastaj

Ne kemi dhënë tashmë përkufizime për pikat në pafundësi. Tani duhet të përcaktojmë veprime matematikore për ta. Meqenëse këto pika i përcaktuam duke përdorur sekuenca, operacionet me këto pika duhet të përcaktohen gjithashtu duke përdorur sekuenca.

Pra, shuma e dy pikave
c = a + b,
që i përkasin grupit të zgjeruar të numrave realë,
,
do ta quajmë limit
,
ku dhe janë sekuenca arbitrare që kanë kufij
Dhe .

Veprimet e zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit përcaktohen në mënyrë të ngjashme. Vetëm, në rastin e pjesëtimit, elementët në emëruesin e thyesës nuk duhet të jenë e barabartë me zero.
Atëherë diferenca e dy pikave:
- ky është kufiri: .
Produkti i pikëve:
- ky është kufiri: .
Privat:
- ky është kufiri: .
Këtu dhe janë sekuenca arbitrare, kufijtë e të cilëve janë respektivisht a dhe b. NË rastin e fundit, .

Dëshmitë e pronave

Për të vërtetuar vetitë e pikave në pafundësi, duhet të përdorim vetitë e sekuencave pafundësisht të mëdha.

Merrni parasysh pronën:
.
Për ta vërtetuar këtë, duhet ta tregojmë
,

Me fjalë të tjera, ne duhet të vërtetojmë se shuma e dy sekuencave që konvergojnë në plus pafundësi konvergjon në plus pafundësi.

1 plotësohen pabarazitë e mëposhtme:
;
.
Atëherë për dhe ne kemi:
.
Le ta themi.
Pastaj
në,
Ku .

Kjo do të thotë se.

Vetitë e tjera mund të vërtetohen në mënyrë të ngjashme. Si shembull, le të japim një provë tjetër.
.
Le të vërtetojmë se:
,
Për ta bërë këtë, ne duhet ta tregojmë atë

ku dhe janë sekuenca arbitrare, me kufij dhe . Kjo do të thotë, ne duhet të vërtetojmë se prodhimi i dy sekuencave pafundësisht të mëdha është i pafund.

sekuencë e madhe 1 plotësohen pabarazitë e mëposhtme:
;
.
Atëherë për dhe ne kemi:
.
Le ta themi.
Pastaj
në,
Ku .

Le ta vërtetojmë. Meqenëse dhe , atëherë ka disa funksione dhe , kështu që për çdo numër pozitiv M

Operacione të papërcaktuara Pjesë operacionet matematikore

me pika në pafundësi nuk janë të përcaktuara. Për të treguar pasigurinë e tyre, është e nevojshme të jepen disa raste të veçanta kur rezultati i operacionit varet nga zgjedhja e sekuencave të përfshira në to.
.
Konsideroni këtë operacion:

Është e lehtë të tregohet se nëse dhe , atëherë kufiri i shumës së sekuencave varet nga zgjedhja e sekuencave dhe .

Vërtet, le ta marrim.

Kufijtë e këtyre sekuencave janë .

Kufiri i shumës

është e barabartë me pafundësinë. Tani le të marrim. Kufijtë e këtyre sekuencave janë gjithashtu të barabartë.

Por kufiri i sasisë së tyre