Plani i mësimit.

1. Momenti organizativ.

2. Prezantimi i materialit.

3. Detyrë shtëpie.

4. Përmbledhja e mësimit.

Gjatë orëve të mësimit

I. Momenti organizativ.

II. Prezantimi i materialit.

Motivimi.

Zgjerimi i bashkësisë së numrave realë konsiston në shtimin e numrave të rinj (imagjinarë) me numrat realë. Futja e këtyre numrave është për shkak të pamundësisë së nxjerrjes së rrënjës së një numri negativ në grupin e numrave realë.

Hyrje në konceptin e një numri kompleks.

Numrat imagjinarë, me të cilët plotësojmë numrat realë, shkruhen në formë bi, Ku iështë një njësi imagjinare, dhe i 2 = - 1.

Bazuar në këtë, marrim përkufizimin e mëposhtëm të një numri kompleks.

Përkufizimi. Një numër kompleks është një shprehje e formës a+bi, Ku a Dhe b- numra realë. Në këtë rast, plotësohen kushtet e mëposhtme:

a) Dy numra kompleks a 1 + b 1 i Dhe a 2 + b 2 i e barabartë nëse dhe vetëm nëse a 1 = a 2, b 1 =b 2.

b) Mbledhja e numrave kompleks përcaktohet nga rregulli:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Shumëzimi i numrave kompleks përcaktohet nga rregulli:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Forma algjebrike e një numri kompleks.

Shkrimi i një numri kompleks në formë a+bi quhet forma algjebrike e një numri kompleks, ku A- pjesa reale, biështë pjesa imagjinare, dhe b- numri real.

Numri kompleks a+bi konsiderohet e barabartë me zero nëse pjesët reale dhe imagjinare janë të barabarta me zero: a = b = 0

Numri kompleks a+bi në b = 0 konsiderohet të jetë i njëjtë me një numër real a: a + 0i = a.

Numri kompleks a+bi në a = 0 quhet thjesht imagjinare dhe shënohet bi: 0 + bi = bi.

Dy numra kompleks z = a + bi Dhe = a – bi, që ndryshojnë vetëm në shenjën e pjesës imagjinare, quhen të konjuguara.

Veprimet me numrat kompleks në formë algjebrike.

Ju mund të kryeni veprimet e mëposhtme mbi numrat kompleks në formë algjebrike.

1) Shtesa.

Përkufizimi. Shuma e numrave kompleks z 1 = a 1 + b 1 i Dhe z 2 = a 2 + b 2 i quhet numër kompleks z, pjesa reale e së cilës është e barabartë me shumën e pjesëve reale z 1 Dhe z 2, dhe pjesa imagjinare është shuma e pjesëve imagjinare të numrave z 1 Dhe z 2, kjo eshte z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Numrat z 1 Dhe z 2 quhen terma.

Mbledhja e numrave kompleks ka këto veti:

1º. Komutativiteti: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Asociacioni: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Numri kompleks –a –bi quhet e kundërta e një numri kompleks z = a + bi. Numri kompleks, i kundërt i numrit kompleks z, shënohet -z. Shuma e numrave kompleks z Dhe -z e barabartë me zero: z + (-z) = 0

Shembulli 1: Kryeni mbledhjen (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Zbritja.

Përkufizimi. Zbrit nga një numër kompleks z 1 numër kompleks z 2 z,Çfarë z + z 2 = z 1.

Teorema. Dallimi midis numrave kompleks ekziston dhe është unik.

Shembulli 2: Kryeni një zbritje (4 – 2i) - (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) Shumëzimi.

Përkufizimi. Prodhimi i numrave kompleks z 1 =a 1 +b 1 i Dhe z 2 =a 2 +b 2 i quhet numër kompleks z, e përcaktuar nga barazia: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Numrat z 1 Dhe z 2 quhen faktorë.

Shumëzimi i numrave kompleks ka këto veti:

1º. Komutativiteti: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Asociacioni: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Shpërndarja e shumëzimit në lidhje me mbledhjen:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi) (a – bi) = a 2 + b 2- numri real.

Në praktikë, shumëzimi i numrave kompleks kryhet sipas rregullit të shumëzimit të një shume me një shumë dhe ndarjes së pjesëve reale dhe imagjinare.

Në shembullin e mëposhtëm, do të shqyrtojmë shumëzimin e numrave kompleks në dy mënyra: me rregull dhe duke shumëzuar shumën me shumë.

Shembulli 3: Bëni shumëzimin (2 + 3i) (5 - 7i).

1 mënyrë. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.

Metoda 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Divizioni.

Përkufizimi. Ndani një numër kompleks z 1 në një numër kompleks z 2, do të thotë të gjesh një numër kaq kompleks z, Çfarë z · z 2 = z 1.

Teorema. Herësi i numrave kompleks ekziston dhe është unik nëse z 2 ≠ 0 + 0i.

Në praktikë, herësi i numrave kompleks gjendet duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me konjugatin e emëruesit.

Le z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Pastaj

.

Në shembullin e mëposhtëm, ne do të kryejmë pjesëtimin duke përdorur formulën dhe rregullin e shumëzimit me numrin e konjuguar me emëruesin.

Shembulli 4. Gjeni herësin .

5) Ngritja në një fuqi të tërë pozitive.

a) Fuqitë e njësisë imagjinare.

Duke përfituar nga barazia i 2 = -1, është e lehtë të përcaktohet çdo fuqi numër i plotë pozitiv i njësisë imagjinare. Ne kemi:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 etj.

Kjo tregon se vlerat e gradës në, Ku n– një numër i plotë pozitiv, i përsëritur periodikisht ndërsa treguesi rritet me 4 .

Prandaj, për të rritur numrin i në një fuqi të tërë pozitive, ne duhet ta ndajmë eksponentin me 4 dhe ndërto i në një fuqi, eksponenti i të cilit është i barabartë me pjesën e mbetur të pjesëtimit.

Shembulli 5: Llogaritni: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

b) Ngritja e një numri kompleks në një fuqi të plotë pozitiv kryhet sipas rregullit për ngritjen e një binomi në fuqinë përkatëse, pasi është një rast i veçantë i shumëzimit të faktorëve kompleksë identikë.

Shembulli 6: Llogaritni: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

14.3 Një pikë në pafundësi si një pikë njëjës e një funksioni të një ndryshoreje komplekse

Parathënie

Shpërndarja e saktë e kohës dhe përpjekjeve gjatë përgatitjes për pjesët teorike dhe praktike të një provimi ose certifikimi të modulit është mjaft e vështirë, veçanërisht pasi nuk ka gjithmonë kohë të mjaftueshme gjatë seancës. Dhe siç tregon praktika, jo të gjithë mund ta përballojnë këtë. Si rezultat, gjatë provimit, disa studentë zgjidhin drejt problemat, por e kanë të vështirë t'u përgjigjen pyetjeve më të thjeshta teorike, ndërsa të tjerë mund të formulojnë një teoremë, por nuk mund ta zbatojnë atë.

Këto udhëzime për përgatitjen për provimin në lëndën “Teoria e funksioneve të një ndryshoreje komplekse” (TFCP) janë një përpjekje për të zgjidhur këtë kontradiktë dhe për të siguruar përsëritjen e njëkohshme të materialit teorik dhe praktik të lëndës. Të udhëhequr nga parimi "Teoria pa praktikë është e vdekur, praktika pa teori është e verbër", ato përmbajnë të dy dispozitat teorike të kursit në nivelin e përkufizimeve dhe formulimeve, si dhe shembuj që ilustrojnë zbatimin e secilit pozicion teorik të dhënë, dhe në këtë mënyrë lehtësojnë memorizimi dhe kuptimi i tij.

Qëllimi i rekomandimeve të propozuara metodologjike është të ndihmojë studentin të përgatitet për provimin në nivelin bazë. Me fjalë të tjera, është përpiluar një udhëzues i zgjeruar pune që përmban pikat kryesore të përdorura në orët e mësimit në kursin TFKP dhe të nevojshme gjatë kryerjes së detyrave të shtëpisë dhe përgatitjes për teste. Përveç punës së pavarur nga studentët, ky publikim arsimor elektronik mund të përdoret gjatë zhvillimit të orëve në formë interaktive duke përdorur një tabelë elektronike ose për vendosjen në një sistem mësimi në distancë.

Ju lutemi vini re se kjo punë nuk zëvendëson as tekstet shkollore dhe as shënimet e leksioneve. Për një studim të thelluar të materialit, rekomandohet t'i referoheni seksioneve përkatëse të botuara nga MSTU. N.E. Libër mësimi bazë Bauman.

Në fund të manualit ka një listë të literaturës së rekomanduar dhe një indeks lëndor, i cili përfshin gjithçka të theksuar në tekst. kursive të theksuara kushtet. Indeksi përbëhet nga hiperlidhje të seksioneve në të cilat këto terma përcaktohen ose përshkruhen në mënyrë strikte dhe ku jepen shembuj për të ilustruar përdorimin e tyre.

Manuali është i destinuar për studentët e vitit të dytë të të gjitha fakulteteve të MSTU. N.E. Bauman.

1. Forma algjebrike e shkrimit të një numri kompleks

Shënimi i formës z = x + iy, ku x, y janë numra realë, i është një njësi imagjinare (d.m.th. i 2 = − 1)

quhet forma algjebrike e shkrimit të një numri kompleks z. Në këtë rast, x quhet pjesa reale e një numri kompleks dhe shënohet me Re z (x = Re z), y quhet pjesa imagjinare e një numri kompleks dhe shënohet me Im z (y = Im z).

Shembull. Numri kompleks z = 4− 3i ka një pjesë reale Rez = 4 dhe një pjesë imagjinare Imz = − 3.

2. Plani i numrave kompleks

NË shqyrtohen teoritë e funksioneve të një ndryshoreje komplekseplani i numrave kompleks, e cila shënohet ose me ose duke përdorur shkronja që tregojnë numrat kompleks z, w, etj.

Boshti horizontal i rrafshit kompleks quhet bosht real, mbi të vendosen numrat realë z = x + 0i = x.

Boshti vertikal i rrafshit kompleks quhet bosht imagjinar;

3. Numrat komplekse të konjuguar

Quhen numrat z = x + iy dhe z = x − iy konjuguar kompleks. Në planin kompleks ato korrespondojnë me pika që janë simetrike në lidhje me boshtin real.

4. Veprimet me numra kompleks në formë algjebrike

4.1 Mbledhja e numrave kompleks

Kështu, veprimi i shumëzimit të numrave kompleks është i ngjashëm me veprimin e shumëzimit të binomeve algjebrike, duke marrë parasysh faktin se i 2 = − 1.

Numrat kompleksë janë një zgjatim i grupit të numrave realë, që zakonisht shënohen me . Çdo numër kompleks mund të përfaqësohet si një shumë formale, ku dhe janë numra realë dhe është njësia imagjinare.

Shkrimi i një numri kompleks në formën , , quhet forma algjebrike e një numri kompleks.

Vetitë e numrave kompleks. Interpretimi gjeometrik i një numri kompleks.

Veprimet mbi numrat kompleks të dhënë në formë algjebrike:

Le të shqyrtojmë rregullat me të cilat kryhen veprimet aritmetike në numrat kompleks.

Nëse janë dhënë dy numra kompleks α = a + bi dhe β = c + di, atëherë

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (njëmbëdhjetë)

Kjo rrjedh nga përkufizimi i veprimeve të mbledhjes dhe zbritjes së dy çifteve të renditura të numrave realë (shih formulat (1) dhe (3)). Kemi marrë rregullat për mbledhjen dhe zbritjen e numrave kompleksë: për të mbledhur dy numra kompleksë, duhet të shtojmë veçmas pjesët e tyre reale dhe, në përputhje me rrethanat, pjesët e tyre imagjinare; Për të zbritur një tjetër nga një numër kompleks, është e nevojshme të zbriten përkatësisht pjesët e tyre reale dhe imagjinare.

Numri – α = – a – bi quhet i kundërt i numrit α = a + bi. Shuma e këtyre dy numrave është zero: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.

Për të marrë rregullin për shumëzimin e numrave kompleks, ne përdorim formulën (6), d.m.th., faktin që i2 = -1. Duke marrë parasysh këtë relacion, gjejmë (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, d.m.th.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)

Kjo formulë korrespondon me formulën (2), e cila përcakton shumëzimin e çifteve të renditura të numrave realë.

Vini re se shuma dhe prodhimi i dy numrave kompleks të konjuguar janë numra realë. Në të vërtetë, nëse α = a + bi, = a – bi, atëherë α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = ( a + a) + (b - b)i= 2a, d.m.th.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

Kur pjesëtohen dy numra kompleks në formë algjebrike, duhet pritur që herësi të shprehet edhe me një numër të të njëjtit lloj, d.m.th. α/β = u + vi, ku u, v R. Le të nxjerrim rregullin për pjesëtimin e numrave kompleks. . Le të jepen numrat α = a + bi, β = c + di, dhe β ≠ 0, pra c2 + d2 ≠ 0. Pabarazia e fundit do të thotë që c dhe d nuk zhduken njëkohësisht (rasti përjashtohet kur c = 0 , d = 0). Duke zbatuar formulën (12) dhe të dytën e barazive (13), gjejmë:

Prandaj, herësi i dy numrave kompleks përcaktohet nga formula:

që korrespondon me formulën (4).

Duke përdorur formulën që rezulton për numrin β = c + di, mund të gjeni numrin e tij të kundërt β-1 = 1/β. Duke supozuar a = 1, b = 0 në formulën (14), marrim

Kjo formulë përcakton inversin e një numri të caktuar kompleks të ndryshëm nga zero; ky numër është gjithashtu kompleks.

Për shembull: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

Veprimet me numrat kompleks në formë algjebrike.

55. Argumenti i një numri kompleks. Forma trigonometrike e shkrimit të një numri kompleks (derivimi).

Arg.com.numrat. – ndërmjet drejtimit pozitiv të boshtit real X dhe vektorit që përfaqëson numrin e dhënë.

Formula e trigonit. Numrat: ,