Në projeksionet qendrore, skajet e objektit të shfaqur, paralel me rrafshin e figurës, përshkruhen pa shtrembërim të formës, por me shtrembërim të madhësisë.
Figura 24 Projeksionet qendrore të një kubi: a) me një pikë, b) me dy pika, c) me tre pika.
Projeksionet qendrore të çdo grupi drejtëzash paralele që nuk janë paralele me planin e figurës do të konvergojnë në pikë e zhdukjes. Pika e zhdukjes së drejtëzave paralele me një nga boshtet koordinative quhet pika kryesore e zhdukjes. Sepse Ekzistojnë tre akse koordinative, atëherë nuk mund të ketë më shumë se tre pika kryesore të zhdukjes.
Në varësi të vendndodhjes së boshteve të koordinatave dhe planit të figurës, dallohen projeksionet qendrore me një, dy dhe tre pika.
Pika e vetme një projeksion fitohet kur rrafshi i figurës përkon me (ose është paralel me) një nga rrafshet koordinative. Kjo do të thotë, vetëm një bosht koordinativ nuk është paralel me rrafshin e figurës dhe ka një pikë kryesore zhdukjeje.
Pika për pikë një projeksion fitohet kur vetëm njëri nga boshtet e koordinatave është paralel me rrafshin e figurës. Dy boshtet e tjera të koordinatave nuk janë paralele me rrafshin e figurës dhe kanë dy pika kryesore të zhdukjes. Kur përshkruani objekte të vendosura në sipërfaqen e tokës, më së shpeshti përdoret projeksioni me dy pika, në të cilin rrafshi i figurës është paralel. boshti vertikal koordinatat Të dy pikat kryesore të zhdukjes janë të vendosura në të njëjtën gjë vijë horizontale– vijat e horizontit (Fig. 6.5). Në tre pikësh të tre projeksionet boshtet koordinative nuk janë paralele me rrafshin e figurës dhe për këtë arsye ekzistojnë tre pika kryesore të zhdukjes.
Le të shqyrtojmë më në detaje rastin e projeksionit me një pikë të një pike R në aeroplan z= 0 me qendër projeksioni ME, i shtrirë në bosht z(Fig. 25).
Pika A projektuar në ekran si A. Distanca nga vëzhguesi në planin e projeksionit është k. Është e nevojshme të përcaktohen koordinatat e pikës Anë ekran. Le t'i shënojmë ato x e dhe y e. Nga ngjashmëria e trekëndëshave A y A z N Dhe y uh AKTIV ne e gjejmë atë
(x.9)
në mënyrë të ngjashme për x:
.
(x.10)
Oriz. 25. Nxjerrja e formulave të projeksionit qendror.
Oriz. 26. Një mënyrë tjetër për të llogaritur koordinatat e pikave në projeksionin e perspektivës qendrore. N= (0,0,-Kujtoni se k është distanca, dhe vëzhguesi është në pikë). Nëse pika e vrojtimit vendoset në origjinën e koordinatave dhe rrafshi i projeksionit në distancë a, siç tregohet në figurën 26, pastaj formulat për x uh dhe y do të marrë formën:
,
(x.11)
Formulat (x.10) janë më të përshtatshme kur është e nevojshme që thjesht të zhvendoset vëzhguesi më afër ose më larg nga rrafshi i projektimit. Formulat (x.11) kërkojnë më pak kohë për llogaritjet për shkak të mungesës së operacionit të mbledhjes.
Konsideroni një pikë në hapësirën tredimensionale ( a, b, c). Nëse e imagjinojmë këtë pikë si një paraqitje homogjene të një pike në hapësirën dydimensionale, atëherë koordinatat e saj do të jenë ( a/ c, b/ c). Duke i krahasuar këto koordinata me formulat e tipit të dytë të nxjerrë për projeksionin e perspektivës qendrore, është e lehtë të vërehet se paraqitja dydimensionale e një pike me koordinata ( a, b, c) duket si projeksioni i tij në një plan z= 1, siç tregohet në Fig. 27.
Oriz. 27. Projeksioni i një pike ( a, b, c) në rrafshin z = 1.
Në mënyrë të ngjashme, duke marrë parasysh përdorimin e koordinatave homogjene për vektorët në hapësirën tre-dimensionale, mund të përfaqësohet hapësira tre-dimensionale si një projeksion hapësirë katërdimensionale te hiperplani w= 1 nëse ( x, y, z)(wx, wy, wz, w) = (x, y, z, 1). .
Në koordinatat homogjene, transformimi i perspektivës qendrore mund të përcaktohet nga një veprim matricë. Kjo matricë është shkruar si:
Le të tregojmë se kjo matricë përcakton transformimin e një pike objekti, të specifikuar në koordinata homogjene, në një pikë të projeksionit perspektiv (gjithashtu në koordinata homogjene). Le fq= (x, y, z) – pikë në hapësirë tredimensionale. Paraqitja e tij homogjene v= (wx, wy, wz, w). Shumëzoni v me P:
kjo saktësisht përsërit formulat (x.10) të nxjerra për perspektivën qendrore.
Për shkak të veçorive të vizionit njerëzor, është më mirë të zbatohet një projeksion perspektiv për objektet e largëta nga vëzhguesi, ortografik ose aksonometrik deri tek ato mjaft të afërta (në gjatësinë e krahut), dhe një projeksion perspektiv invers për objekte edhe më të afërta.
Për të krijuar imazhe stereo përdoren dy projeksione qendrore, qendrat e të cilave përkojnë me vendndodhjen e syve të një vëzhguesi hipotetik, d.m.th. ato janë të vendosura në një distancë nga njëra-tjetra në një vijë të drejtë paralele me rrafshin e figurës. Pas përfundimit të projeksionit, merren dy imazhe të objektit - për sytë e majtë dhe të djathtë. Pajisja dalëse duhet t'i sigurojë këto imazhe secilit sy të përdoruesit veç e veç. Për këtë qëllim, mund të përdoret një sistem me ngjyra ose filtra polarizues. Pajisjet më komplekse dalëse (të tilla si helmetat) paraqesin secilën prej imazheve në ekrane të veçanta për secilin sy.
Të gjitha parashikimet e diskutuara më sipër i përkasin klasës së banesës projeksionet gjeometrike, sepse projeksioni bëhet në një plan (në vend se në një sipërfaqe të lakuar) dhe duke përdorur një grup vijash të drejta (në vend të kthesave). Kjo klasë e projeksioneve përdoret më shpesh në grafika kompjuterike. Në të kundërt, hartografia shpesh përdor projeksione jo planare ose jo gjeometrike.
Llojet e projeksionit perspektiv të propozuar në seksionin e mëparshëm ishin joinformative, pasi në të gjitha rastet vetëm një faqe e kubit ishte e dukshme nga çdo qendër projeksioni. Në mënyrë që një vëzhgues të perceptojë formën tredimensionale të një objekti bazuar në vetëm një pamje, disa fytyra të atij objekti duhet të jenë të dukshme. Për objekte të thjeshta si një kub, të paktën tre fytyra duhet të jenë të dukshme. Një pamje me shumë fytyra mund të merret nga një projeksion perspektiv me një pikë me një qendër fikse dhe një plan projeksioni, pingul me drejtimin shikim, nëse objekti është transferuar dhe/ose rrotulluar më parë. Më pas arrihet një pamje realiste, përveç nëse qendra e projeksionit është shumë afër temës.
Oriz. 3-31 Perspektiva me tre pika, (a) Kubi origjinal; (b) projeksion perspektiv në aeroplan; (c) kubi i shtrembëruar.
Së pari, le të shqyrtojmë një transferim të thjeshtë të një objekti të ndjekur nga një projeksion me një pikë në një plan dhe me qendrën e projeksionit në pikën . Transformimi i kërkuar shkruhet në formë
, (3-59)
Oriz. 3-32 Projeksion perspektiv me një pikë me përkthim në , drejtime.
Ekuacioni (3-59) së bashku me Fig. 3-32 tregon se përkthimi në drejtimet dhe hap faqet shtesë të objektit. Përkthimi në të dyja këto drejtime është i nevojshëm për të ekspozuar tre fytyrat e një objekti të thjeshtë në formë kubi. Në Fig. Figura 3-32 tregon rezultatet e transferimit të një kubi të përqendruar në lidhje me origjinën përgjatë një vije të drejtë dhe projeksion me një pikë në një plan. Vini re se për fytyrën e përparme madhësia e vërtetë dhe forma.
Ekuacioni (3-59) tregon gjithashtu se transferimi përgjatë boshtit, d.m.th. drejt ose larg qendrës së projeksionit, rezulton në një ndryshim të dukshëm në shkallë (për shkak të elementit ). Ky efekt korrespondon me realitetin fizik, pasi objektet e vendosura më larg nga vëzhguesi duken më të vogla. Vini re se ndërsa qendra e projeksionit i afrohet pafundësisë, fenomeni i shkallëzimit zhduket. Ky efekt është paraqitur në mënyrë skematike në Fig. 3-33. Siç tregohet në këtë figurë, objekti mund të jetë në të dyja anët e qendrës së projeksionit. Nëse objekti dhe rrafshi i projektimit janë në të njëjtën anë të qendrës, atëherë, siç tregohet në Fig. 3-33, merret një imazh i drejtpërdrejtë. Nëse objekti dhe rrafshi i projektimit shtrihen përgjatë anët e ndryshme nga qendra, merret një imazh i përmbysur.
Oriz. 3-33 Efekti i shkallëzimit kur lëviz përgjatë një boshti për një projeksion perspektiv me një pikë.
Në Fig. Figura 3-34 tregon rezultatet e lëvizjes së një objekti në të tre drejtimet. Këtu kubi lëviz përgjatë një linje tre-dimensionale nga në. Vihet re një rritje e dukshme në përmasa dhe në të gjitha llojet vihet re ruajtja formë e vërtetë, por jo madhësia e fytyrës së përparme.
Këto ide janë përshkruar më hollësisht në shembull.
|
Shembulli 3-22 Projeksion perspektiv një pikë me përkthim Konsideroni një kub njësi të përqendruar në lidhje me origjinën me vektorët e koordinatave të mëposhtme
Le të lëvizim kubin 5 njësi në drejtimet dhe të ndërtojmë një projeksion perspektiv në një plan me qendrën e projeksionit në . Nga ekuacioni (3-59) marrim matricën e përgjithshme të transformimit
Oriz. 3-34 Projeksioni perspektiv me një pikë i kombinuar me përkthime në , , drejtime. Koordinatat e konvertuara
Objekti i sipërm djathtas në Fig. Figura 3-32 përshkruan këtë rezultat. Nëse objekti origjinal është zhvendosur 5 njësi në drejtimet , dhe një projeksion perspektiv me një pikë në aeroplan është ndërtuar me qendrën e projeksionit në , atëherë nga (3-59) rrjedh se matrica e përgjithshme e transformimit është shkruar si
Vini re shkallëzimin e përgjithshëm të dhënë nga vlera 0.75 në elementin e poshtëm djathtas të matricës së transformimit. Koordinatat e konvertuara janë
Rezultati tregohet si objekti lart djathtas në Fig. 3-34. |
.
.
.
.
.Disa skaje do të jenë gjithashtu të dukshme nëse përdorni rrotullimin e objekteve. Një rrotullim do të zbulojë të paktën dy fytyra të një objekti, ndërsa dy ose më shumë rrotullime rreth boshteve të ndryshme do të zbulojnë të paktën tre fytyra.
Matrica e transformimit për rrotullimin rreth një boshti nga një kënd dhe projeksioni pasues perspektiv me një pikë në një plan me qendrën e projeksionit në:
. (3-60)
Në mënyrë të ngjashme, matrica e transformimit për rrotullimin rreth një boshti nga një kënd dhe projeksioni pasues i perspektivës me një pikë në një plan me qendrën e projeksionit në një pikë ka formën:
. (3-61)
Në të dy ekuacionet (3-60) dhe (3-61), dy elementët përgjegjës për transformimin e perspektivës (perspektivën) në kolonën e katërt të matricës së transformimit nuk janë të barabartë me zero. Pra, një kthesë boshti kryesor, pingul me atë boshti në të cilin shtrihet qendra e projeksionit është ekuivalent me një transformim të perspektivës me dy pika. Kur rrotullohet rreth boshtit në të cilin shtrihet qendra e projeksionit, nuk ka një efekt të tillë. Vini re se për një rrotullim, elementi perspektiv për boshtin e rrotullimit mbetet i pandryshuar, për shembull, në ekuacionet (3-60) dhe (3-61), elementët dhe janë përkatësisht të barabartë me zero.
NË rast i përgjithshëm rrotullimi rreth boshtit kryesor nuk zbulon numrin e fytyrave të nevojshme për një paraqitje adekuate tre-dimensionale - të paktën tre. Për ta bërë këtë, duhet të kombinohet me lëvizjen përgjatë boshtit. Shembulli tjetër e ilustron këtë.
|
Shembulli 3-23 Projeksion perspektiv me dy pika duke përdorur rrotullimin rreth një boshti kryesor Le të shqyrtojmë projeksionin në një plan me qendër në pikën e kubit në Fig. 3-35a, i rrotulluar rreth boshtit me një kënd në mënyrë që faqja e majtë të hapet dhe lëvizur sipas njësive përgjatë në mënyrë që faqja e sipërme të hapet. Duke përdorur ekuacionin (3-38) me , ekuacionin (3-47) me dhe ekuacionin (3-14) me , marrim
Koordinatat e konvertuara janë
Rezultati është treguar në Fig. 3-35b. Shtrembërimi ndodh sepse qendra e projeksionit është shumë afër kubit. |
.
.
Le të vërejmë konvergjencën e boshteve paralele dhe të drejtëzave me pikat e zhdukjes që shtrihen në bosht.
Këto pika zhdukjeje përcaktohen në Shembullin 3-25 nga Sekt. 3-17.
.
Oriz. 3-35 Projeksion perspektiv me dy pika me rrotullim rreth një boshti.
Në mënyrë të ngjashme, një transformim i perspektivës me tre pika kryhet duke rrotulluar rreth dy ose më shumë boshte kryesore dhe më pas një transformim i perspektivës me një pikë. Për shembull, rrotullimi rreth boshtit, pastaj rrotullimi rreth boshtit dhe projeksioni perspektiv në një plan me qendrën e projeksionit në pikën ka matricën e mëposhtme të transformimit
Nga këto rezultate, është e qartë se një transformim i perspektivës me një, dy ose tre pika mund të ndërtohet duke përdorur rrotullime dhe përkthime rreth dhe përgjatë akseve kryesore, e ndjekur nga një transformim i perspektivës me një pikë me qendrën e projeksionit të vendosur në një nga boshtet kryesore. Këto rezultate janë gjithashtu të vlefshme për rrotullimin rreth një boshti arbitrar në hapësirë. Prandaj, kur përdoret në sistemi grafik paradigma me një qendër fikse projeksioni dhe një objekt të manipuluar, është e nevojshme të sigurohet vetëm ndërtimi i një projeksioni perspektiv me një pikë në një plan me qendrën e projeksionit në bosht.
Në projeksionet qendrore, skajet e objektit të shfaqur, paralel me rrafshin e figurës, përshkruhen pa shtrembërim të formës, por me shtrembërim të madhësisë.
Figura 24 Projeksionet qendrore të një kubi: a) me një pikë, b) me dy pika, c) me tre pika.
Projeksionet qendrore të çdo grupi drejtëzash paralele që nuk janë paralele me planin e figurës do të konvergojnë në pikë zhdukjeje. Pika e zhdukjes së drejtëzave paralele me një nga boshtet koordinative quhet pika kryesore e zhdukjes. Sepse Ekzistojnë tre akse koordinative, atëherë nuk mund të ketë më shumë se tre pika kryesore të zhdukjes.
Në varësi të vendndodhjes së boshteve të koordinatave dhe planit të figurës, dallohen projeksionet qendrore me një, dy dhe tre pika.
Pika e vetme projeksioni fitohet kur rrafshi i figurës përkon me një nga plane koordinative(ose paralel me të). Kjo do të thotë, vetëm një bosht koordinativ nuk është paralel me rrafshin e figurës dhe ka një pikë kryesore zhdukjeje.
Pika për pikë një projeksion fitohet kur vetëm njëri nga boshtet e koordinatave është paralel me rrafshin e figurës. Dy boshtet e tjera të koordinatave nuk janë paralele me rrafshin e figurës dhe kanë dy pika kryesore të zhdukjes. Kur përshkruani objekte të vendosura në sipërfaqen e tokës, përdoret më shpesh një projeksion me dy pika, në të cilin boshti i koordinatave vertikale është paralel me rrafshin e figurës. Të dy pikat kryesore të zhdukjes janë të vendosura në të njëjtën vijë horizontale - vijën e horizontit (Fig. 6.5). Në tre pikësh projeksioni, të tre boshtet e koordinatave nuk janë paralele me rrafshin e figurës dhe, për rrjedhojë, ekzistojnë tre pika kryesore të zhdukjes.
Le të shqyrtojmë më në detaje rastin e projeksionit me një pikë të një pike R në aeroplan z= 0 me qendër projeksioni ME, i shtrirë në bosht z(Fig. 25).
Pika A projektuar në ekran si A¢. Distanca nga vëzhguesi në planin e projeksionit është k. Është e nevojshme të përcaktohen koordinatat e pikës A¢ në ekran. Le t'i shënojmë ato x e dhe y e. Nga ngjashmëria e trekëndëshave A y A z N Dhe y e ON ne e gjejmë atë
(x.9)
në mënyrë të ngjashme për x:
Oriz. 25. Nxjerrja e formulave të projeksionit qendror.
Oriz. 26. Një mënyrë tjetër për të llogaritur koordinatat e pikave në projeksionin e perspektivës qendrore.
Kujtoni se k është distanca, dhe vëzhguesi është në pikë N = (0,0,-Kujtoni se k është distanca, dhe vëzhguesi është në pikë). Nëse pika e vrojtimit vendoset në origjinën e koordinatave dhe rrafshi i projeksionit në distancë a, siç tregohet në figurën 26, pastaj formulat për x e dhe y do të marrë formën:
Formulat (x.10) janë më të përshtatshme kur është e nevojshme që thjesht të zhvendoset vëzhguesi më afër ose më larg nga rrafshi i projektimit. Formulat (x.11) kërkojnë më pak kohë për llogaritjet për shkak të mungesës së operacionit të mbledhjes.
Konsideroni një pikë në hapësirën tre-dimensionale ( a,b,c). Nëse e imagjinojmë këtë pikë si një paraqitje homogjene të një pike në hapësirën dydimensionale, atëherë koordinatat e saj do të jenë ( a/c,b/c). Duke i krahasuar këto koordinata me formulat e tipit të dytë të nxjerrë për projeksionin e perspektivës qendrore, është e lehtë të vërehet se paraqitja dydimensionale e një pike me koordinata ( a,b,c) duket si projeksioni i tij në një plan z= 1, siç tregohet në Fig. 27.
Oriz. 27. Projeksioni i një pike ( a,b,c) në rrafshin z = 1.
Në mënyrë të ngjashme, duke marrë parasysh përdorimin e koordinatave homogjene për vektorët në hapësirën tre-dimensionale, mund të përfaqësohet hapësira tre-dimensionale si një projeksion i hapësirës katër-dimensionale në një hiperplan. w= 1 nëse ( x, y, z)®( wx, wy, wz, w) = (x, y, z, 1). .
Në koordinatat homogjene, mund të përcaktohet transformimi qendror i perspektivës operacioni i matricës. Kjo matricë është shkruar si:
Le të tregojmë se kjo matricë përcakton transformimin e një pike objekti të specifikuar në koordinatat homogjene në një pikë të projeksionit të perspektivës (gjithashtu në koordinatat homogjene). Le fq = (x, y, z) - një pikë në hapësirën tredimensionale. Paraqitja e tij homogjene v = (wx, wy, wz, w). Shumëzoni v me P:
kjo saktësisht përsërit formulat (x.10) të nxjerra për perspektivën qendrore.
Për shkak të veçorive të vizionit njerëzor, është më mirë të zbatohet një projeksion perspektiv për objektet e largëta nga vëzhguesi, ortografik ose aksonometrik deri tek ato mjaft të afërta (në gjatësinë e krahut), dhe një projeksion perspektiv invers për objekte edhe më të afërta.
Për të krijuar imazhe stereo përdoren dy projeksione qendrore, qendrat e të cilave përkojnë me vendndodhjen e syve të një vëzhguesi hipotetik, d.m.th. ato janë të vendosura në një distancë nga njëra-tjetra në një vijë të drejtë paralele me rrafshin e figurës. Pas përfundimit të projeksionit, merren dy imazhe të objektit - për sytë e majtë dhe të djathtë. Pajisja dalëse duhet t'i sigurojë këto imazhe secilit sy të përdoruesit veç e veç. Për këtë qëllim, mund të përdoret një sistem me ngjyra ose filtra polarizues. Pajisjet më komplekse dalëse (të tilla si helmetat) paraqesin secilën prej imazheve në ekrane të veçanta për secilin sy.
Të gjitha projeksionet e diskutuara më sipër i përkasin klasës së projeksioneve të sheshta gjeometrike, sepse projeksioni bëhet në një plan (në vend se në një sipërfaqe të lakuar) dhe duke përdorur një grup vijash të drejta (në vend të kthesave). Kjo klasë e projeksioneve përdoret më shpesh në grafikën kompjuterike. Në të kundërt, hartografia shpesh përdor projeksione jo planare ose jo gjeometrike.
Në leksionin e fundit folëm për projeksionet më të rëndësishme të përdorura në gjeometrinë afine. Tani le të shqyrtojmë gjeometrinë e perspektivës dhe disa lloje të reja projeksionesh.
Në fotografi, piktura dhe ekrane, imazhet na duken të natyrshme dhe korrekte. Këto imazhe quhen perspektivë. Vetitë e tyre janë të tilla që objektet më të largëta përshkruhen në një shkallë më të vogël, linjat paralele janë përgjithësisht jo paralele. Si rezultat, gjeometria e imazhit rezulton të jetë mjaft komplekse, dhe është e vështirë të përcaktohet madhësia e pjesëve të caktuara të objektit nga imazhi i përfunduar.
Projeksioni konvencional i perspektivës është projeksion qendror në rrafsh nga rrezet e drejtpërdrejta që kalojnë nëpër pikën qendra e projeksionit. Njëra nga rrezet e projektimit është pingul me rrafshin e projeksionit dhe quhet kryesore. Pika e kryqëzimit të kësaj rrezeje dhe planit të projeksionit është pika kryesore e figurës.
Ekzistojnë tre sisteme koordinative. Në mënyrë tipike, një programues punon dhe ruan të dhëna rreth objekteve gjeometrike në koordinatat botërore. Për të rritur realizmin, kur përgatiteni për të shfaqur një imazh në ekran, të dhënat për objektet nga koordinatat botërore konvertohen në koordinata të shikimit. Dhe vetëm në momentin që imazhi shfaqet drejtpërdrejt në ekranin e ekranit, ato kalojnë në koordinatat e ekranit, që janë numrat e pikselëve të ekranit.
Dy sistemet e para mund të përdoren në sistemet koordinative shumëdimensionale, por këto të fundit vetëm në ato dydimensionale. Operacionet janë të pakthyeshme, d.m.th., është e pamundur të rivendoset një imazh tre-dimensional nga një imazh i projektimit dy-dimensional.
Matrica e transformimit të perspektivës së përgjithshme
Në këtë matricë elementet a, d, e janë përgjegjës për shkallëzimin, m, n, L për zhvendosje, fq, q, r për projeksion, s për shkallëzim gjithëpërfshirës, X për rrotullim.
