Sekuencat e numrave. III

Qëllimi: Të japë konceptin, përkufizimin e një sekuence, të fundme, të pafundme, mënyra të ndryshme të përcaktimit të sekuencave, dallimet e tyre, të mësojë se si t'i përdorim ato gjatë zgjidhjes së shembujve.

Pajisjet: Tavolina.

Ecuria e mësimit

I. Momenti organizativ.

II. Kontroll frontal detyrat e shtëpisë:

1) nxënësi në tabelë problema nr. 2.636 (nga pjesa II e “Përmbledhja e detyrave për provimin me shkrim në klasën 9)

2) student. Ndërtoni një grafik

3) frontalisht me të gjithë klasën nr. 2.334 (a).

III. Shpjegimi i materialit të ri.

Një leksion shkollor është një formë e organizimit të procesit arsimor që i orienton studentët kur studiojnë një temë të veçantë në gjënë kryesore dhe përfshin një demonstrim të gjerë të qëndrimit personal të mësuesit dhe studentëve ndaj materialit arsimor. Sepse Mësimi-leksioni parashikon një prezantim në bllok të madh të materialit nga mësuesi, atëherë komunikimi verbal midis mësuesit dhe studentëve është gjëja kryesore në teknologjinë e tij. Fjala e mësuesit ka një ndikim emocional, estetik dhe krijon një qëndrim të caktuar ndaj temës. Me ndihmën e një ligjërate udhëzohen lloje të ndryshme të veprimtarive të nxënësve në klasë dhe nëpërmjet njohurive, aftësive dhe aftësive formohet njohja si bazë e veprimtarisë edukative.

I. Shkruani numrat dyshifrorë që mbarojnë me 3 në rend rritës.

13; 23; 33;………….93.

Përputhni çdo numër serial nga 1 në 9 me një numër të caktuar dyshifror:

1->13; 2->23;………9->93.

Midis bashkësisë së nëntë numrave të parë natyrorë dhe bashkësisë numra dyshifrorë duke përfunduar me numrin 3, është vendosur një ndeshje. Kjo korrespondencë është një funksion.

Fusha e përkufizimit është (1; 2; 3;……..9)

Shumë vlera (13; 23; 33;…….93).

Nëse korrespondenca shënohet me f, atëherë

Kjo sekuencë mund të specifikohet duke përdorur par.

(1;3) (2;5) (3;7) (4;9)

b) 1; 0; 1; 0; 1; 0

Tabela nr. 1

A)

b)

II.

O.o.f. (1; 2; 3; 4;…..)

M.z.f. g(1) = ;

g(3) =;

...

g(60) =

Një funksion i përcaktuar në bashkësinë e numrave natyrorë quhet sekuencë e pafundme.

c) 2; 4; 6; 8; 10;……..

1 -> 2; 2 -> 4; ……. n -> 2n

f(1); f(2); f(3)… …..f(n)

- anëtarët e sekuencës.

Shënim: është e nevojshme të bëhet dallimi midis konceptit të një grupi dhe konceptit të një sekuence.

a) (10; 20; 30; 40)

{40; 30; 20; 10}

I njëjti grup.

b) megjithatë, sekuencat 10; 20; 30; 40

(1; 10) (2;20) (3;30) (4;40)

(1; 40) (2;30) (3;20) (4;10).

Të ndryshme:

III. Konsideroni sekuencën:

1) 3; 5; 7; 9; 11;……. -> pafund, në rritje

2) 10; 9; 8; 7; 6. -> përfundimtar, në rënie.

Një sekuencë quhet në rritje nëse çdo anëtar, duke filluar nga i dyti, është më i madh se ai i mëparshmi.

b)

Është dhënë përkufizimi i një sekuence në rënie.

Sekuencat në rritje ose në ulje quhen monotonike.

1; 0; 1; 0; 1; 0. - luhatëse;

5; 5; 5; 5; ….. - konstante.

IV. Sekuencat mund të përshkruhen në mënyrë gjeometrike. Sepse sekuenca është një funksion domeni i përkufizimit të të cilit është bashkësia N, atëherë grafiku, me sa duket, është bashkësia e pikave të rrafshit (x; y).

Shembull: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.

(1; -3) (2;-2) (3; -1) (4; 0) (5;1) (6;2) (7;3)

Le ta përshkruajmë këtë sekuencë

Figura 1.

Shembull: Vërtetoni se një sekuencë e dhënë në këtë formë

99; 74; 49; 24; -1;……………

është në rënie.

V. Metodat për specifikimin e sekuencave.

Sepse Një sekuencë është një funksion i përcaktuar në grupin N, atëherë ekzistojnë pesë mënyra për të përcaktuar sekuencat:

I. Tabela

II. Metoda e përshkrimit

III. Analitike

IV. Grafike

V. Rekurente

I. Tabela - shumë e papërshtatshme. Hartojmë një tabelë dhe e përdorim për të përcaktuar se cilin anëtar? cfare vendi ze ai......

II. Mënyra e përshkrimit.

Shembull: Sekuenca është e tillë që çdo anëtar shkruhet duke përdorur numrin 4, dhe numri i shifrave është i barabartë me numrin e sekuencës.

III. Metoda analitike(duke përdorur formulën).

Një formulë që shpreh çdo anëtar të një sekuence në lidhje me numrin e tij n quhet formulë për n anëtarin e sekuencës.

Për shembull:

dhe nxënësit përbëjnë këto sekuenca, dhe anasjelltas: zgjidhni një formulë për termat e sekuencave:

a) 1; ;
b) ...
;…………..
V)
G)

e) 1;-2;3;-4;5;-6;…………. IV. Metoda grafike

- gjithashtu jo shumë i përshtatshëm, ata zakonisht nuk e përdorin atë..

Sekuencat e numrave Seria natyrore e numrave është e bukur në vetvete: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, .... Ajo demonstron renditjen në rritje në formën e saj më të pastër. Parimi i ndërtimit të zinxhirit vijues të numrave nuk është aq i qartë: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., megjithëse ato gjithashtu nuk janë të rastësishme: çdo numër, duke filluar nga i treti, është e barabartë me shumën e dy të mëparshmeve. Kjo seri numrash natyrorë, e cila ka të vetën emër historik

– seria Fibonacci ka logjikën dhe bukurinë e vet, kuptimi i të cilave është i mundur vetëm me studim të synuar. NUMRAT FIBONACCI. Leonardo Fibonacci (). Matematikan i shquar italian, autor i Librit të Abacus. Ky libër mbeti depoja kryesore e informacionit mbi aritmetikën dhe algjebrën për disa shekuj. E gjithë Evropa zotëroi përmes veprave të L. Fibonacci, sistemi i numërimit, si dhe gjeometria praktike. Ata mbetën tekste shkollore të desktopit pothuajse deri në epokën e Dekartit (dhe ky është tashmë shekulli i 17-të!).

Rregulli i sekuencës shprehet përshkrim verbal. Shembuj. 1) Sekuenca e numrave të thjeshtë dyshifrorë më të vegjël se 50 është një sekuencë e fundme: 11, 13, 17, 19, 23, 43, 47; 2) Një sekuencë e pafundme përafrimesh numër irracional= =1, ...: 2, 1.7, 1.73, 1.732, 1, 7321, ... Verbale

Përcaktohet një rregull që lejon njeriun të llogarisë anëtarin e n-të të një sekuence të caktuar nëse dihen të gjithë anëtarët e mëparshëm të saj. Shembull. Y 1 = 1, y n = y n-1 n, nëse n2. Le të llogarisim termat e parë të kësaj sekuence: 1, 2, 6, 24, 120, .... Ju mund të verifikoni se termi i n-të i kësaj sekuence e barabartë me produktin n numrat e parë natyrorë: y n = n ! Të përsëritura

Problemi 2 Gjeni pesë termat e parë të vargut të dhënë në mënyrë periodike: y 1 = 2, y n = y n Përgjigje: 2, 7, 12, 17, 22. Diktimi i stërvitjes Opsioni 1 (2) 1. A është e fundme apo e pafundme vargu i pjesëtuesve të numrit 1200? (Shumëfishat e 8?) 2. A është e fundme apo e pafundme vargu i numrave që janë shumëfish të 6-ës? (Pjestuesit e numrit 2400?) 3. Sekuenca jepet me formulën a n =5n+2 (b n =n 2 -3). Me çfarë është i barabartë termi i tij i tretë? 4. Shkruani anëtarin e fundit të vargut të të gjithë numrave treshifrorë (dyshifrorë). 5. Jepet një formulë e përsëritur për sekuencën a n+1 =a n -4, dhe 1 =5 (b n+1 =b n /4, b 1 =8). Gjeni një 2 (b 2).

Opsioni Ultimate. 2. Opsioni Infinit Infinite. 2. Ultimate

Faqe 2

Sekuencat e fundme të simboleve bazë quhen shprehje të teorisë S.  

Një sekuencë e fundme arbitrare e simboleve alfabetike (përfshirë ato boshe) quhet një zinxhir Një nëngrup arbitrar LA i grupit të të gjithë zinxhirëve të mundshëm -, një kontroll quhet një gjuhë mbi A.  

SPD në shqyrtim zbaton një modalitet të kalimit të paketave, që është një metodë transmetimi në të cilën të dhënat nga mesazhet e përdoruesit ndahen në pako të veçanta, rrugët e transmetimit të të cilave në rrjet nga burimi te marrësi përcaktohen në çdo qendër kontrolli ku janë paketat. janë pranuar. Mesazhet kuptohen si një sekuencë e kufizuar simbolesh që kanë përmbajtje semantike. Një paketë është një bllok i të dhënave me një kokë, i paraqitur në një format të caktuar dhe që ka një të kufizuar gjatësia maksimale. Vini re se sistemet e transmetimit të të dhënave me komutim të paketave janë shumë efikase për shkak të aftësisë për të riorganizuar shpejt shtigjet e transmetimit të të dhënave (rutimit) në rast të mbingarkesave dhe dëmtimit të elementeve të transmetimit të të dhënave. Efektiviteti i opsioneve të ndryshme për ndërtimin e një sistemi të transmetimit të të dhënave dhe fragmenteve të tij vlerësohet nga koha mesatare për dërgimin e të dhënave tek përdoruesit dhe probabiliteti i dështimit për të vendosur lidhjen e kërkuar nga përdoruesi në për momentin koha.  

Natyrisht, jo çdo sekuencë e fundme simbolesh është një pohim; për shembull, (S0 L (55)) është një pohim, por l l) S3 dhe S0 l nuk janë.  

F është bashkësia e të gjitha sekuencave të fundme të simboleve që janë gjeneratorë ose të kundërt të tyre. Të gjitha fjalët nga F ndahen në klasa si më poshtë: nëse Wi dhe W2 janë fjalë ekuivalente nga F, atëherë Wi dhe W2 i përkasin të njëjtës klasë; nëse Wi dhe W2 nuk janë fjalë ekuivalente nga F, atëherë Wi dhe W2 nuk janë në të njëjtën klasë. Me fjalë të tjera, fjalët Wi dhe W2 janë në të njëjtën klasë nëse dhe vetëm nëse janë ekuivalente. Problem i përbashkët, që konsiston në zgjidhjen e rastit grup arbitrar nëse dy fjalët janë ekuivalente është jashtëzakonisht e vështirë.  

Metamatematika është një teori që studion teoritë e formalizuara matematikore. Një teori e formalizuar është, përafërsisht, një grup i disa sekuencave të fundme simbolesh të quajtura formula dhe terma, dhe një grup i disa operacione të thjeshta, prodhuar në këto sekuenca. Formulat dhe termat e marra duke përdorur byrekun - sa rregulla të thjeshta, shërbejnë si një zëvendësim për sugjerimet dhe funksionet intuitive teoria matematikore. Veprimet në formula korrespondojnë me hapat elementare të deduksionit në arsyetimin matematikor. Luajnë formulat që korrespondojnë me aksiomat e teorisë intuitive rol të veçantë- janë aksioma të një teorie të formalizuar. Formulat që mund të nxirren nga aksiomat me anë të veprimeve të miratuara korrespondojnë me teoremat e teorisë.  

Metamatematika është një teori që studion teoritë e formalizuara matematikore. Një teori e formalizuar është, përafërsisht, një grup i disa sekuencave të fundme simbolesh, të quajtura formula dhe terma, dhe një grup i disa operacioneve të thjeshta të kryera në këto sekuenca. Formulat dhe termat që rrjedhin nga disa rregulla të thjeshta shërbejnë si zëvendësues për propozimet dhe funksionet e teorisë matematikore intuitive. Veprimet në formula korrespondojnë me hapat elementar të deduksionit në arsyetimin matematikor. Formulat që korrespondojnë me aksiomat e teorisë intuitive luajnë një rol të veçantë - ato janë aksiomat e teorisë së formalizuar.  

Së dyti, mund të braktisim kërkesën që nënshkrimi të jetë i numërueshëm dhe të themi këtë: për çdo nëngrup A C M ekziston një nënstrukturë elementare M C M që përmban A, kardinaliteti i së cilës nuk e kalon maksimumin e NQ, kardinalitetin e grupit A dhe kardinalitetin e nënshkrimit. . Në fakt, si ndërtimi i mbylljes në lidhje me operacionet e nënshkrimit, ashtu edhe ndërtimi i mbylljes ekzistenciale, dhe bashkimi i numërueshëm i një zinxhiri në rritje nuk e marrin fuqinë përtej maksimumit të specifikuar, pasi të dyja formulat dhe termat janë sekuenca të fundme të simboleve të nënshkrimit. dhe një numër të numërueshëm simbolesh të tjera (shih më shumë detaje në ); e njëjta gjë mund të thuhet për numrin e grupeve të mundshme të vlerave të parametrave.  

Në IVS-në e konsideruar, zbatohet një modalitet i ndërrimit të paketave, i cili siguron një metodë transmetimi në të cilën të dhënat nga mesazhet e përdoruesit ndahen në pako të veçanta. Rrugët për transmetimin e paketave në rrjet nga burimi te marrësi përcaktohen në secilën kompani menaxhuese ku ato mbërrijnë. Mesazhet kuptohen si një sekuencë e fundme simbolesh që kanë përmbajtje semantike. Një paketë është një bllok i të dhënave me një kokë, i paraqitur në një format të caktuar dhe që ka një gjatësi maksimale të kufizuar. Vini re se IVS me ndërrim të paketave janë shumë efikase për shkak të aftësisë për të riorganizuar shpejt shtigjet e transmetimit të të dhënave (drejtimit) në rast të mbingarkesave dhe dëmtimit të elementeve IVS. Efektiviteti i opsioneve të ndryshme për ndërtimin e një IVS dhe fragmenteve të tij vlerësohet nga koha mesatare për dërgimin e të dhënave tek përdoruesit dhe probabiliteti i dështimit për të vendosur lidhjen e kërkuar nga përdoruesi në një kohë të caktuar.  

Kur merret parasysh një grup (i fundmë ose i pafundëm) i numërueshëm, numrat që korrespondojnë me elementët e tij në disa konvertime fikse mund të përdoren si emërtime ose emra individualë të këtyre elementeve. Por anasjelltas, nëse një emër ose shprehje e qartë në ndonjë sistem shënimesh të paqartë të dhënë paraprakisht mund të jetë individualisht lidhur me secilin element të një grupi të caktuar, atëherë ky grup (i fundëm ose i pafund) është i numërueshëm, me kusht që emri ose shprehja të jetë një sekuencë e fundme simbolesh të zgjedhura nga një alfabet i caktuar i caktuar simbolesh të disponueshme për ne. Për shembull, ekuacionet algjebrike me koeficientë të plotë mund të shkruhet duke përdorur shënimin dhjetor për koeficientët dhe eksponentët. Shkrimi i eksponentëve në krye është një tipar i parëndësishëm i shënimit tonë që mund të eliminohet me një konventë të përshtatshme.  

Konsideroni, për shembull, problemin e shumëzimit të dy polinomeve me koeficientë të plotë. Problemi është se si të shkruhen këto polinome në mënyrë që ato të futen në një kompjuter. Makinat Turing, të cilat i konsiderojmë më poshtë, kuptojnë vetëm sekuenca të fundme simbolesh (fjalësh) nga disa grup i kufizuar A, quhet alfabeti i jashtëm. Prandaj, një formulim rigoroz i një problemi llogaritës duhet të përfshijë një alfabet dhe një metodë për kodimin e të dhënave hyrëse.  

Çdo operator alfabetik shoqërohet me një ide intuitive të kompleksitetit të tij. Më të thjeshtët janë operatorët alfabetikë që kryejnë hartëzimin karakter pas karakteri. Hartimi karakter pas karakteri konsiston në zëvendësimin e çdo karakteri s të fjalës hyrëse A me ndonjë karakter të alfabetit dalës B. Vlera e madhe kanë të ashtuquajturat harta koduese. Një hartë koduese kuptohet si një korrespondencë që lidh çdo simbol të alfabetit hyrës me një sekuencë të caktuar të fundme simbolesh në alfabetin e daljes, të quajtur kod.  

Ata formojnë një grup të panumërt. Funksionet e llogaritshme formojnë një nëngrup shumë të rëndësishëm që ne fillojmë të studiojmë. Në të vërtetë, kur përdorni ndonjë gjuhë algoritmike, çdo program përbëhet nga sekuencë e fundme karaktere të një alfabeti të fundëm ose të numërueshëm. Nga kjo rrjedh se grupi i programeve është i pafund në mënyrë të numërueshme.  

Le të shqyrtojmë një formë paksa të ndryshme të problemeve të konkluzionit induktiv. Le të supozojmë se na është dhënë një sekuencë mjaft e gjatë simbolesh dhe se detyra është të parashikojmë simbolet pasuese të kësaj sekuence. Kjo detyrë normale për ato raste kur është e nevojshme të vlerësohen probabilitetet me induksion. Kjo detyrë freskohet disi nga hyrja koncept modern universale kompjuter dhe një gjuhë programimi të përpiluar për të. Një program quhet i vlefshëm nëse, pasi e ka marrë atë, makina printon një sekuencë, madje një të pafundme, që fillon me një sekuencë të caktuar të fundme karakteresh. Kështu, çdo program i vlefshëm bën një parashikim.  

Nëse të gjithë numri natyror n është caktuar për disa numër real x n , atëherë thonë se është dhënë sekuenca e numrave

x 1 , x 2 , … x n , …

Numri x 1 quhet anëtar i sekuencës me numrin 1 ose termi i parë i sekuencës, numri x 2 - anëtar i sekuencës me numrin 2 ose anëtari i dytë i sekuencës etj. Numri x n quhet anëtar i vargut me numër n.

Ka dy mënyra për të specifikuar sekuencat e numrave - me dhe me formula e përsëritur.

Sekuenca duke përdorur formulat për termin e përgjithshëm të një sekuence- kjo është një detyrë e radhës

x 1 , x 2 , … x n , …

duke përdorur një formulë që shpreh varësinë e termit x n nga numri i tij n.

Shembulli 1. Sekuenca e numrave

1, 4, 9, … n 2 , …

dhënë duke përdorur formulën e termit të përbashkët

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Specifikimi i një sekuence duke përdorur një formulë që shpreh një anëtar sekuence x n përmes anëtarëve të sekuencës me numrat e mëparshëm quhet specifikimi i një sekuence duke përdorur formula e përsëritur.

x 1 , x 2 , … x n , …

thirrur në sekuencë në rritje, më shumë anëtari i mëparshëm.

Me fjalë të tjera, për të gjithë n

x n + 1 >x n

Shembulli 3. Sekuenca e numrave natyrorë

1, 2, 3, … n, …

është sekuencë në rritje.

Përkufizimi 2. Sekuenca e numrave

x 1 , x 2 , … x n , …

thirrur sekuencë zbritëse nëse secili anëtar i kësaj sekuence më pak anëtari i mëparshëm.

Me fjalë të tjera, për të gjithë n= 1, 2, 3, ... pabarazia plotësohet

x n + 1 < x n

Shembulli 4. Pasoja

dhënë nga formula

është sekuencë zbritëse.

Shembulli 5. Sekuenca e numrave

1, - 1, 1, - 1, …

dhënë nga formula

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

nuk është as në rritje e as në rënie sekuencë.

Përkufizimi 3. Quhen vargje numrash në rritje dhe në zvogëlim sekuenca monotonike.

Sekuenca të kufizuara dhe të pakufizuara

Përkufizimi 4. Sekuenca e numrave

x 1 , x 2 , … x n , …

thirrur kufizuar nga lart, nëse ka një numër M të tillë që secili anëtar i kësaj sekuence më pak numrat M.

Me fjalë të tjera, për të gjithë n= 1, 2, 3, ... pabarazia plotësohet

Përkufizimi 5. Sekuenca e numrave

x 1 , x 2 , … x n , …

thirrur kufizohet më poshtë, nëse ka një numër m të tillë që secili anëtar i kësaj vargu më shumë numrat m.

Me fjalë të tjera, për të gjithë n= 1, 2, 3, ... pabarazia plotësohet

Përkufizimi 6. Sekuenca e numrave

x 1 , x 2 , … x n , …

quhet e kufizuar nëse ajo kufizuar si sipër ashtu edhe poshtë.

Me fjalë të tjera, ka numra M dhe m të tillë që për të gjithë n= 1, 2, 3, ... pabarazia plotësohet

m< x n < M

Përkufizimi 7. Sekuencat numerike që nuk janë të kufizuara, thirri sekuenca të pakufizuara.

Shembulli 6. Sekuenca e numrave

1, 4, 9, … n 2 , …

dhënë nga formula

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

kufizohet më poshtë, për shembull, numri 0. Megjithatë, kjo sekuencë të pakufizuar nga lart.

Shembulli 7. Pasoja

dhënë nga formula

është sekuencë e kufizuar, sepse për të gjithë n= 1, 2, 3, ... pabarazia plotësohet

Në faqen tonë të internetit ju gjithashtu mund të njiheni me materialet arsimore të zhvilluara nga mësuesit e qendrës së trajnimit Resolventa për përgatitjen për Provimin e Bashkuar të Shtetit dhe Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë.

Për nxënësit e shkollës që duan të përgatiten mirë dhe të kalojnë Provimi i Unifikuar i Shtetit në matematikë ose në gjuhën ruse në rezultat i lartë, qendër trajnimi“Resolventa” drejton

Sekuenca është një nga konceptet bazë të matematikës. Sekuenca mund të përbëhet nga numra, pika, funksione, vektorë etj. Një sekuencë konsiderohet e dhënë nëse specifikohet një ligj sipas të cilit çdo numër natyror shoqërohet me një element të një grupi të caktuar. Sekuenca shkruhet në formë, ose shkurt. Elementet quhen anëtarë të sekuencës, - i pari, - i dyti, - anëtari i zakonshëm (të) i sekuencës.

Më shpesh merren parasysh sekuencat e numrave, d.m.th. sekuenca anëtarët e të cilave janë numra. Metoda analitike është mënyra më e thjeshtë për të specifikuar një sekuencë numerike. Kjo bëhet duke përdorur një formulë që shpreh anëtarin e th të sekuencës përmes numrit të saj. Për shembull, nëse

Një metodë tjetër është e përsëritur (nga fjalë latine recurrens - "kthim"), kur janë specifikuar disa anëtarët e parë të sekuencës dhe një rregull që lejon që secili anëtar pasues të llogaritet duke përdorur ato të mëparshme. Për shembull:

Shembuj të sekuencave të numrave - progresion aritmetik dhe progresion gjeometrik.

Është interesante të gjurmohet sjellja e anëtarëve të sekuencës pasi numri rritet pafundësisht (ajo që rritet pafundësisht shkruhet në formën dhe lexohet: "priret në pafundësi").

Konsideroni sekuencën me anëtar i përbashkët: , , , …, , …. Të gjithë termat e kësaj sekuence janë të ndryshëm nga zero, por sa më shumë, aq më pak ndryshojnë nga zero. Termat e kësaj sekuence priren në zero pasi rriten pafundësisht. Ata thonë se numri zero është kufiri i kësaj sekuence.

Një shembull tjetër: - përcakton një sekuencë

Termat e kësaj sekuence gjithashtu priren në zero, por ato janë më i madh se zero, atëherë më pak se zero - kufiri i tij.

Le të shohim një shembull tjetër: . Nëse paraqitet në formë

atëherë do të bëhet e qartë se kjo sekuencë priret drejt unitetit.

Le të përcaktojmë kufirin e një sekuence. Një numër quhet kufiri i një sekuence nëse për çdo numër pozitiv mund të specifikohet një numër i tillë që pabarazia të jetë e vlefshme për të gjithë.

Nëse ka një kufi për sekuencën, atëherë ata shkruajnë, ose (tre shkronjat e para të fjalës latine limes - "kufi").

Ky përkufizim do të bëhet më i qartë nëse e japim kuptimi gjeometrik. Le ta mbyllim numrin në një interval (Fig. 1). Një numër është një kufi i një sekuence nëse, pavarësisht nga vogëlsia e intervalit, të gjithë anëtarët e sekuencës me numra më të mëdhenj se disa do të qëndrojnë në këtë interval. Me fjalë të tjera, vetëm një numër i kufizuar termash të sekuencës mund të jetë jashtë çdo intervali.

Për sekuencën e shqyrtuar, fqinjësia - e pikës zero në përfshin të gjitha termat e sekuencës përveç dhjetës së parë, dhe at - të gjitha termat e sekuencës përveç qindëshit të parë.

Një sekuencë që ka një kufi quhet konvergjent, dhe një sekuencë që nuk ka një kufi quhet divergjente. Këtu është një shembull i një sekuence divergjente: . Anëtarët e tij janë në mënyrë alternative të barabartë dhe nuk priren në asnjë kufi.

Nëse sekuenca konvergon, atëherë ajo është e kufizuar, d.m.th. ka numra dhe të tillë që të gjitha termat e sekuencës plotësojnë kushtin. Nga kjo rrjedh se të gjitha sekuencat e pakufizuara janë divergjente. Këto janë sekuencat:

"Një studim i afërt dhe i thellë i natyrës është burimi i zbulimeve më të frytshme në matematikë." J. Fourier

Një sekuencë që tenton në zero quhet infinitimale. Koncepti i pafundësishëm mund të përdoret si bazë përkufizim i përgjithshëm kufiri i sekuencës, meqenëse kufiri i sekuencës është i barabartë nëse dhe vetëm nëse është i përfaqësuar si një shumë, ku është infinite vogël.

Sekuencat e konsideruara janë pafundësisht të vogla. Sekuenca , si vijon nga (2), ndryshon nga 1 me infinite vogël, dhe për këtë arsye kufiri i kësaj sekuence është 1.

Vlera e madhe në analiza matematikore ka gjithashtu konceptin e një sekuence pafundësisht të madhe. Një sekuencë quhet pafundësisht e madhe nëse sekuenca është pafundësisht e vogël. Një sekuencë pafundësisht e madhe shkruhet në formën , ose , dhe thuhet se "priret drejt pafundësisë". Këtu janë shembuj të sekuencave pafundësisht të mëdha:

Theksojmë se një sekuencë pafundësisht e madhe nuk ka kufi.

Le të shqyrtojmë sekuencat dhe . Është e mundur të përcaktohen sekuenca me terma të zakonshëm , , dhe (nëse). Teorema e mëposhtme është e vërtetë, e cila shpesh quhet teorema rreth veprimet aritmetike me kufij: nëse sekuencat janë konvergjente, atëherë sekuencat , , , dhe janë gjithashtu konvergjente, dhe barazitë e mëposhtme vlejnë:

Në rastin e fundit, është e nevojshme të kërkohet, përveç të gjitha termave të sekuencës që të jenë të ndryshëm nga zero, që kushti të plotësohet.

Duke zbatuar këtë teoremë, mund të gjenden shumë kufij. Le të gjejmë, për shembull, kufirin e një sekuence me një term të përbashkët dhe ato jo në rritje. Është mjaft e qartë se kjo sekuencë ka tendencë për një numër që është ose më i vogël ose i barabartë me . Në rrjedhën e analizës matematikore, vërtetohet teorema se një sekuencë jo-zvogëluese dhe e kufizuar mbi ka një kufi (një pohim i ngjashëm është i vërtetë për një sekuencë jo në rritje dhe të kufizuar poshtë). Kjo teoremë e mrekullueshme jep kushte të mjaftueshme ekzistenca e një kufiri. Prej tij, për shembull, rrjedh se sekuenca e zonave të trekëndëshave të rregullt të gdhendur në një rreth të rrezes së njësisë ka një kufi, pasi është në rritje monotonike dhe e kufizuar nga lart. Kufiri i kësaj sekuence tregohet nga .

Përdorimi i kufirit monotonik sekuencë e kufizuar përcaktohet një numër që luan një rol të madh në analizën matematikore - baza e logaritmeve natyrore:

.

Sekuenca (1), siç u vu re tashmë, është monotonike dhe, për më tepër, e kufizuar nga lart. Ka një kufi. Ne mund ta gjejmë lehtësisht këtë kufi. Nëse është e barabartë, atëherë numri duhet të plotësojë barazinë. Duke zgjidhur këtë ekuacion, marrim .