Në këtë artikull, ne do të studiojmë konceptet e përgjithshme që lidhen me ndarjen e numrave natyrorë. Zakonisht quhen veti të procesit të ndarjes. Ne do të analizojmë ato kryesore, do të shpjegojmë kuptimin e tyre dhe do të mbështesim arsyetimin tonë me shembuj.
Pjesëtimi i dy numrave natyrorë të barabartë
Për të kuptuar se si të ndash një numri natyror një tjetri, i barabartë me të, duhet t'i kthehemi të kuptuarit të kuptimit të vetë procesit të ndarjes. Kuptimi që i japim pjesëtuesit varet nga rezultati përfundimtar. Le të shohim dy opsione të mundshme.
Pra, kemi një objekt (a është një numër natyror arbitrar). Le t'i shpërndajmë artikujt në mënyrë të barabartë në grupe dhe numri i grupeve duhet të jetë i barabartë me a. Natyrisht, do të ketë vetëm një lëndë në secilin grup.
Le të riformulojmë pak më ndryshe: si të shpërndajmë një objekt në grupe të një objekti në secilin? Sa grupe do të jenë në fund? Sigurisht, vetëm një.
Le të përmbledhim dhe nxjerrim vetinë e parë të pjesëtimit të numrave natyrorë me të njëjtën madhësi:
Përkufizimi 1
Pjesëtimi i një numri natyror me të barabartën e tij jep rezultatin një. Me fjalë të tjera, a: a = 1 (a është çdo numër natyror).
Le të shohim dy shembuj për qartësi:
Shembulli 1
Nëse 450 pjesëtohet me 450, rezultati është 1. Nëse pjesëtoni 67 me 67, merrni 1.
Siç mund ta shihni, asgjë nuk varet nga numrat specifikë, rezultati do të jetë i njëjtë, me kusht që dividenti dhe pjesëtuesi të jenë të barabartë;
Pjesëtimi i një numri natyror me një
Si në paragrafin e mëparshëm, le të fillojmë me detyrat. Le të supozojmë se kemi ndonjë objekt në sasi të barabartë me a. Është e nevojshme t'i ndajmë ato në një numër pjesësh me një lëndë në secilën. Është e qartë se do të përfundojmë me një pjesë.
Dhe nëse pyesim: sa objekte do të ketë një grup nëse një objekt vendoset në të? Përgjigja është e qartë - a.
Kështu, arrijmë në formulimin e vetive të pjesëtimit të numrave natyrorë me 1:
Përkufizimi 2
Kur një numër natyror pjesëtohet me një, fitohet i njëjti numër, pra a: 1 = a.
Le të shohim 2 shembuj:
Shembulli 2
Nëse pjesëtoni 25 me 1, merrni 25.
Shembulli 3
Nëse pjesëtoni 11,345 me 1, rezultati është 11,345.
Mungesa e vetive komutative për pjesëtimin e numrave natyrorë
Në rastin e shumëzimit, ne mund të ndërrojmë lirisht faktorët dhe të marrim të njëjtin rezultat, por ky rregull nuk vlen për pjesëtimin. Dividenti dhe pjesëtuesi mund të këmbehen vetëm nëse janë numra natyrorë të barabartë (e kemi diskutuar tashmë këtë veti në paragrafin e parë). Kjo do të thotë, mund të themi se vetia komutative zbatohet vetëm nëse në pjesëtim përfshihen numra natyrorë të barabartë.
Në raste të tjera, nuk mund të ndërroni dividentin dhe pjesëtuesin, pasi kjo do të shtrembërojë rezultatin. Le të shpjegojmë më në detaje pse.
Ne nuk mund të ndajmë gjithmonë ndonjë numër natyror në të tjerë, gjithashtu të marrë në mënyrë arbitrare. Për shembull, nëse dividenti më pak se pjesëtuesi, atëherë nuk mund ta zgjidhim një shembull të tillë (do të diskutojmë se si të ndajmë numrat natyrorë me një mbetje në një material të veçantë). Me fjalë të tjera, nëse një numër natyror është i barabartë me a, ne mund ta pjesëtojmë me b? Dhe vlerat e tyre nuk janë të barabarta, atëherë a do të jetë më e madhe se b, dhe shënimi b: a nuk do të ketë kuptim. Le të nxjerrim rregullin:
Përkufizimi 3
Pjesëtimi i shumës së 2 numrave natyrorë me një numër tjetër natyror
Për të shpjeguar më mirë këtë rregull, le të marrim disa shembuj ilustrues.
Kemi një grup fëmijësh, mes të cilëve duhet të ndajmë në mënyrë të barabartë mandarinat. Frutat vendosen në dy thasë. Le të marrim kushtin që numri i mandarinave të jetë i tillë që ato të mund të ndahen midis të gjithë fëmijëve pa asnjë mbetje. Ju mund t'i derdhni mandarinat në një qese të përbashkët dhe më pas t'i ndani dhe shpërndani. Ose fillimisht mund t'i ndani frutat nga një qese, dhe më pas nga tjetra. Natyrisht, në të dyja rastet askush nuk do të ofendohet dhe gjithçka do të ndahet në mënyrë të barabartë. Prandaj mund të themi:
Përkufizimi 4
Rezultati i pjesëtimit të shumës së 2 numrave natyrorë me një numër tjetër natyror është i barabartë me rezultatin e mbledhjes së herësve të pjesëtimit të çdo termi me të njëjtin numër natyror, d.m.th. (a + b) : c = a: c + b: c . Në këtë rast, vlerat e të gjitha variablave janë numra natyrorë, vlera a mund të ndahet me c, dhe b gjithashtu mund të ndahet me c pa mbetje.
Ne kemi marrë një barazi, në anën e djathtë të së cilës kryhet ndarja së pari, dhe mbledhja kryhet së dyti (kujtoni se si të kryeni saktë veprimet aritmetike me rend).
Le të provojmë vlefshmërinë e barazisë që rezulton duke përdorur një shembull.
Shembulli 4
Le të marrim numra natyrorë të përshtatshëm për të: (18 + 36) : 6 = 18: 6 + 36: 6 .
Tani le të llogarisim dhe të zbulojmë nëse është e saktë. Le të llogarisim vlerën e anës së majtë: 18 + 36 = 54, dhe (18 + 36): 6 = 54: 6.
Ne e mbajmë mend rezultatin nga tabela e shumëzimit (nëse keni harruar, gjeni atë në të vlerën e dëshiruar): 54: 6 = 9 .
Le të kujtojmë se sa do të jetë 18: 6 = 3 dhe 36: 6 = 6. Pra, 18: 6 + 36: 6 = 3 + 6 = 9.
Fitohet barazia e saktë: (18 + 36): 6 = 18: 6 + 36: 6.
Shuma e numrave natyrorë, e cila shfaqet si divident në shembull, mund të jetë jo vetëm 2, por edhe 3 ose më shumë. Kjo pronë në kombinim me veti kombinuese mbledhja e numrave natyrorë na jep mundësinë për të kryer llogaritje të tilla.
Shembulli 5
Pra, (14 + 8 + 4 + 2) : 2 do të jetë e barabartë me 14: 2 + 8: 2 + 4: 2 + 2: 2.
Pjesëtimi i diferencës së 2 numrave natyrorë me një numër tjetër natyror
Në mënyrë të ngjashme, mund të nxjerrim një rregull për ndryshimin e numrave natyrorë, të cilin do ta ndajmë me një numër tjetër natyror:
Përkufizimi 5
Rezultati i pjesëtimit të diferencës së dy numrave natyrorë me një të tretën e barabartë me atë, çfarë marrim duke zbritur nga herësi i minuendit dhe numrit të tretë herësin e nëntrahendës dhe numrit të tretë.
ato. (a - b) : c = a: c – b: c . Vlerat e variablave janë numra natyrorë, me një më të madh se b ose të barabartë me të, a dhe b mund të pjesëtohen me c.
Le të provojmë vlefshmërinë e këtij rregulli duke përdorur një shembull.
Shembulli 6
Le të zëvendësojmë vlerat e duhura në barazi dhe të llogarisim: (45 - 25) : 5 = 45: 5 - 25: 5 . 45 - 25 = 20 (ne kemi shkruar tashmë se si të gjejmë ndryshimin e numrave natyrorë). (45 - 25) : 5 = 20: 5 .
Duke përdorur tabelën e shumëzimit, kujtojmë se rezultati do të jetë i barabartë me 4.
Ne numërojmë anën e djathtë: 45:5 - 25:5. 45: 5 = 9, dhe 25: 5 = 5, duke rezultuar në 45: 5 - 25: 5 = 9 - 5 = 4. 4 = 4, rezulton se (45 - 25) : 5 = 45: 5 - 25: 5 është një barazi e saktë.
Pjesëtimi i prodhimit të dy numrave natyrorë me një numër tjetër natyror
Le të kujtojmë se çfarë lidhje ekziston midis pjesëtimit dhe shumëzimit, atëherë vetia e pjesëtimit të një produkti me një numër natyror të barabartë me një nga faktorët do të jetë e qartë për ne. Le të nxjerrim rregullin:
Përkufizimi 6
Nëse produktin e dy numrave natyrorë e ndajmë me një të tretën e barabartë me njërin prej faktorëve, përfundojmë me një numër të barabartë me faktorin tjetër.
Fjalë për fjalë, kjo mund të shkruhet si (a · b) : a = b ose (a · b) : b = a (vlerat e a dhe b janë numra natyrorë).
Shembulli 7
Kështu, rezultati i pjesëtimit të produktit të 2 dhe 8 me 2 do të jetë i barabartë me 8, dhe (3 · 7): 7 = 3.
Por çka nëse pjesëtuesi nuk është i barabartë me asnjë nga faktorët që formojnë dividentin? Pastaj këtu zbatohet një rregull tjetër:
Përkufizimi 7
Rezultati i pjesëtimit të prodhimit të dy numrave natyrorë me një numër të tretë natyror është i barabartë me atë që merrni nëse pjesëtoni një nga faktorët me këtë numër dhe shumëzoni rezultatin me faktorin tjetër.
Ne morëm një deklaratë që ishte shumë e padukshme në shikim të parë. Megjithatë, nëse marrim parasysh se shumëzimi i numrave natyrorë, në thelb, zbret në mbledhjen e termave me vlerë të barabartë (shih materialin për shumëzimin e numrave natyrorë), atëherë këtë veti mund ta nxjerrim nga një tjetër, e cila folëm pak më lart.
Le ta shkruajmë këtë rregull në formën e shkronjave (vlerat e të gjitha variablave janë numra natyrorë).
Nëse mund të pjesëtojmë a me c, atëherë (a · b) do të jetë e vërtetë: c = (a: c) · b.
Nëse b është i pjesëtueshëm me c, atëherë (a · b) është e vërtetë: c = a · (b: c) .
Nëse të dyja a dhe b janë të pjestueshme me c, atëherë mund të barazojmë njërën barazi me tjetrën: (a · b) : c = (a: c) · b = a · (b: c) .
Duke marrë parasysh vetinë e pjesëtimit të një produkti me një numër tjetër natyror të diskutuar më sipër, barazitë (8 · 6) : 2 = (8: 2) · 6 dhe (8 · 6) : 2 = 8 · (6: 2) do të të jetë e vërtetë.
Mund t'i shkruajmë si një barazi të dyfishtë: (8 · 6) : 2 = (8: 2) · 6 = 8 · (6: 2) .
Pjesëtimi i një numri natyror me prodhimin e 2 numrave të tjerë natyrorë
Përsëri, ne do të fillojmë me një shembull. Kemi një numër të caktuar çmimesh, le ta shënojmë a. Ato duhet të shpërndahen në mënyrë të barabartë midis anëtarëve të ekipit. Le të shënojmë numrin e pjesëmarrësve me shkronjën c, dhe numrin e ekipeve me shkronjën b. Në këtë rast, marrim vlera të tilla të ndryshoreve për të cilat shënimi i ndarjes do të ketë kuptim. Problemi mund të zgjidhet nga dy në mënyra të ndryshme. Le t'i shohim të dyja.
1. Mund të llogaritet sasinë totale pjesëmarrësit duke shumëzuar b me c, pastaj duke pjesëtuar të gjitha çmimet me numrin që rezulton. Në trajtë fjalëpërfjalore, kjo zgjidhje mund të shkruhet si a: (b · c) .
2. Fillimisht mund t'i ndani çmimet sipas numrit të ekipeve dhe më pas t'i shpërndani ato brenda secilit ekip. Le ta shkruajmë si (a: b) : c .
Natyrisht, të dyja metodat do të na japin përgjigje identike. Prandaj, mund të barazojmë të dyja barazitë me njëra-tjetrën: a: (b · c) = (a: b) : c. Kjo do të jetë përfaqësimi me shkronja e pronës së ndarjes që po shqyrtojmë në këtë paragraf. Le të formulojmë një rregull:
Përkufizimi 8
Rezultati i pjesëtimit të një numri natyror me një produkt e barabartë me numrin, të cilin e marrim duke pjesëtuar këtë numër me një nga faktorët dhe duke pjesëtuar herësin që rezulton me një faktor tjetër.
Shembulli 8
Le të japim një shembull të një detyre. Le të vërtetojmë se barazia 18 është e vërtetë: (2 · 3) = (18: 2) : 3.
Le të bëjmë matematikën anën e majtë: 2 · 3 = 6, dhe 18: (2 · 3) është 18: 6 = 3.
Ne numërojmë anën e djathtë: (18: 2) : 3. 18: 2 = 9, dhe 9: 3 = 3, pastaj (18: 2): 3 = 3.
Ne morëm atë 18: (2 · 3) = (18: 2) : 3. Kjo barazi na ilustron vetinë e pjesëtimit që paraqitëm në këtë paragraf.
Pjestimi i zeros me një numër natyror
Çfarë është zero? Më herët ne ramë dakord që kjo do të thotë mungesë e diçkaje. Ne nuk e klasifikojmë zeron si numër natyror. Rezulton se nëse e ndajmë zeron me një numër natyror, do të jetë e barabartë me përpjekjen për të ndarë boshllëkun në pjesë. Është e qartë se në fund do të marrim "asgjë", pavarësisht se në sa pjesë e ndajmë atë. Rregullin e nxjerrim nga këtu:
Përkufizimi 9
Kur pjesëtojmë zeron me ndonjë numër natyror, marrim zero. Në formë literale, kjo shkruhet si 0: a = 0, dhe vlera e ndryshores mund të jetë çdo.
Shembulli 9
Kështu, për shembull, 0: 19 = 0, dhe 0: 46869 gjithashtu do të jetë e barabartë me zero.
Pjesëtimi i një numri natyror me zero
Ky veprim nuk mund të kryhet. Le të zbulojmë saktësisht pse.
Le të marrim numër arbitrar a dhe supozojmë se mund të pjesëtohet me 0 dhe në fund të merret një numër i caktuar b. Le ta shkruajmë këtë si a: 0 = b. Tani le të kujtojmë se si shumëzimi dhe pjesëtimi janë të lidhura me njëra-tjetrën dhe do të nxjerrim barazinë b · 0 = a, e cila gjithashtu duhet të jetë e vlefshme.
Por më herët kemi shpjeguar tashmë vetinë e shumëzimit të numrave natyrorë me zero. Sipas tij, b · 0 = 0. Nëse krahasojmë barazitë që rezultojnë, marrim se a = 0, dhe kjo bie ndesh me kushtin fillestar (në fund të fundit, zero nuk është një numër natyror). Rezulton se kemi një kontradiktë që dëshmon pamundësinë e një veprimi të tillë.
Përkufizimi 10
Ju nuk mund të pjesëtoni një numër natyror me zero.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Megjithëse matematika duket e vështirë për shumicën e njerëzve, ajo nuk është aspak e vërtetë. Shumë veprime matematikore janë mjaft të lehta për t'u kuptuar, veçanërisht nëse i dini rregullat dhe formulat. Pra, duke ditur tabelën e shumëzimit, mund të shumëzoni shpejt në mendjen tuaj Gjëja kryesore është të stërviteni vazhdimisht dhe të mos harroni rregullat e shumëzimit. E njëjta gjë mund të thuhet për ndarjen.
Le të shohim ndarjen e numrave të plotë, thyesave dhe negativeve. Le të kujtojmë rregullat, teknikat dhe metodat themelore.
Operacioni i divizionit
Le të fillojmë, ndoshta, me vetë përcaktimin dhe emrin e numrave që marrin pjesë në këtë operacion. Kjo do të lehtësojë shumë prezantimin dhe perceptimin e mëtejshëm të informacionit.
Ndarja është një nga katër veprimet themelore matematikore. Studimi i tij fillon në shkollën fillore. Më pas fëmijëve u tregohet shembulli i parë i pjesëtimit të një numri me një numër dhe u shpjegohen rregullat.
Operacioni përfshin dy numra: dividentin dhe pjesëtuesin. I pari është numri që pjesëtohet, i dyti është numri me të cilin po pjesëtohet. Rezultati i pjesëtimit është herësi.
Ekzistojnë disa shënime për të shkruar këtë operacion: ":", "/" dhe një shirit horizontal - duke shkruar në formën e një fraksioni, kur dividenti është në krye, dhe pjesëtuesi është poshtë, nën vijën.
Rregullat
Kur studioni një ose një tjetër operacion matematik Mësuesi është i detyruar t'i njohë nxënësit me rregullat bazë që duhet të dinë. Vërtetë, ata nuk mbahen mend gjithmonë aq mirë sa do të donim. Kjo është arsyeja pse ne vendosëm të rifreskojmë pak kujtesën tuaj mbi katër rregullat themelore.
Rregullat themelore për ndarjen e numrave që duhet të mbani mend gjithmonë:
1. Ju nuk mund të pjesëtoni me zero. Ky rregull duhet të mbahet mend së pari.
2. Ju mund ta pjesëtoni zeron me çdo numër, por rezultati do të jetë gjithmonë zero.
3. Nëse një numër pjesëtohet me një, fitojmë të njëjtin numër.
4. Nëse një numër pjesëtohet me vetveten, marrim një.
Siç mund ta shihni, rregullat janë mjaft të thjeshta dhe të lehta për t'u mbajtur mend. Edhe pse disa mund të harrojnë një rregull kaq të thjeshtë si pamundësia ose të ngatërrojnë pjesëtimin e zeros me një numër me të.
për numër
Një nga më rregulla të dobishme- shenjë me të cilën përcaktohet mundësia e pjesëtimit të një numri natyror me një tjetër pa mbetje. Kështu, dallohen shenjat e pjesëtueshmërisë me 2, 3, 5, 6, 9, 10. Ato e bëjnë shumë më të lehtë kryerjen e veprimeve me numra. Gjithashtu japim një shembull për çdo rregull të pjesëtimit të një numri me një numër.
Këto rregulla-shenja përdoren mjaft gjerësisht nga matematikanët.
Test për pjesëtueshmërinë me 2
Shenja më e lehtë për t'u mbajtur mend. Një numër që përfundon me një shifër çift (2, 4, 6, 8) ose 0 është gjithmonë i pjesëtueshëm me dy. Mjaft e lehtë për t'u mbajtur mend dhe përdorur. Pra, numri 236 përfundon me një shifër çift, që do të thotë se është i pjesëtueshëm me dy.
Le të kontrollojmë: 236:2 = 118. Në të vërtetë, 236 pjesëtohet me 2 pa mbetje.
Ky rregull është më i njohur jo vetëm për të rriturit, por edhe për fëmijët.
Test për pjesëtueshmërinë me 3
Si të pjesëtohen saktë numrat me 3? Mbani mend rregullin e mëposhtëm.
Një numër pjesëtohet me 3 nëse shuma e shifrave të tij është shumëfish i treshit. Për shembull, le të marrim numrin 381. Shuma e të gjitha shifrave do të jetë 12. Kjo është tre, që do të thotë se pjesëtohet me 3 pa mbetje.
Le të kontrollojmë edhe këtë shembull. 381: 3 = 127, atëherë gjithçka është e saktë.
Testi i pjesëtueshmërisë për numrat me 5
Gjithçka është e thjeshtë edhe këtu. Ju mund të pjesëtoni me 5 pa mbetje vetëm ata numra që përfundojnë me 5 ose 0. Për shembull, le të marrim numra të tillë si 705 ose 800. I pari mbaron me 5, i dyti me zero, prandaj të dy pjesëtohen me 5. Kjo është një nga rregullat më të thjeshta që ju lejon të ndani shpejt numër njëshifror 5.
Le të kontrollojmë këtë shenjë duke përdorur shembujt e mëposhtëm: 405:5 = 81; 600:5 = 120. Siç mund ta shihni, shenja funksionon.
Pjesëtueshmëria me 6
Nëse dëshironi të zbuloni nëse një numër pjesëtohet me 6, atëherë së pari duhet të zbuloni nëse ai është i pjesëtueshëm me 2, dhe më pas me 3. Nëse po, atëherë numri mund të pjesëtohet me 6 pa mbetje , numri 216 ndahet me 2, pasi përfundon me një shifër çift, dhe me 3, pasi shuma e shifrave është 9.
Le të kontrollojmë: 216:6 = 36. Shembulli tregon se kjo shenjë është e vlefshme.
Pjesëtueshmëria me 9
Le të flasim gjithashtu se si të pjesëtojmë numrat me 9. numri i dhënë Shuma e shifrave, shuma e të cilave është shumëfish i 9-ës, është e pjestueshme Ngjashëm me rregullën e pjesëtimit me 3. Për shembull, numri 918. Le të mbledhim të gjitha shifrat dhe të marrim 18 - një numër që është shumëfish i 9-ës. se është i pjesëtueshëm me 9 pa mbetje.
Le të zgjidhim këtë shembull për të kontrolluar: 918:9 = 102.
Pjesëtueshmëria me 10
Një shenjë e fundit për të ditur. Vetëm ata numra që përfundojnë me 0 pjesëtohen me 10. Ky model është mjaft i thjeshtë dhe i lehtë për t'u mbajtur mend. Pra, 500:10 = 50.
Këto janë të gjitha shenjat kryesore. Duke i kujtuar ato, ju mund ta bëni jetën tuaj më të lehtë. Sigurisht që ka edhe numra të tjerë për të cilët ka shenja pjesëtueshmërie, por ne kemi veçuar vetëm kryesoret.
Tabela e ndarjes
Në matematikë, nuk ekziston vetëm një tabelë shumëzimi, por edhe një tabelë pjesëtimi. Pasi ta mësoni, mund të kryeni lehtësisht operacione. Në thelb, një tabelë pjesëtimi është një tabelë e kundërt e shumëzimit. Përpilimi i tij vetë nuk është i vështirë. Për ta bërë këtë, duhet të rishkruani çdo rresht nga tabela e shumëzimit në këtë mënyrë:
1. Vendos produktin e numrit në vend të parë.
2. Vendosni një shenjë ndarjeje dhe shkruani faktorin e dytë nga tabela.
3. Pas shenjës së barazimit, shënoni faktorin e parë.
Për shembull, merrni rreshtin e mëposhtëm nga tabela e shumëzimit: 2*3= 6. Tani e rishkruajmë sipas algoritmit dhe marrim: 6 ÷ 3 = 2.
Shumë shpesh, fëmijëve u kërkohet të krijojnë një tabelë vetë, duke zhvilluar kështu kujtesën dhe vëmendjen e tyre.
Nëse nuk keni kohë për ta shkruar, mund të përdorni atë të paraqitur në artikull.
Llojet e ndarjes
Le të flasim pak për llojet e ndarjes.
Le të fillojmë me faktin se mund të dallojmë ndarjen e numrave të plotë dhe thyesave. Për më tepër, në rastin e parë mund të flasim për operacione me numra të plotë dhe dhjetore, dhe në të dytën - vetëm rreth numrat thyesorë. Në këtë rast, një thyesë mund të jetë ose divident ose pjesëtues, ose të dyja në të njëjtën kohë. Kjo për faktin se operacionet në thyesa janë të ndryshme nga operacionet në numra të plotë.
Në bazë të numrave që marrin pjesë në veprim, mund të dallohen dy lloje ndarjesh: në numra njëshifrorë dhe në shumëshifrorë. Më e thjeshta është pjesëtimi me një numër njëshifror. Këtu nuk do të keni nevojë të bëni llogaritje të rënda. Përveç kësaj, një tabelë e ndarjes mund të jetë një ndihmë e mirë. Ndani në të tjerët - dy -, numra treshifrorë- më i rëndë.
Le të shohim shembuj për këto lloje ndarjesh:
14:7 = 2 (pjestimi me një numër njëshifror).
240:12 = 20 (pjestimi me një numër dyshifror).
45387: 123 = 369 (pjestimi me një numër treshifror).
E fundit mund të dallohet me ndarje, e cila përfshin numra pozitivë dhe negativë. Kur punoni me këtë të fundit, duhet të dini rregullat me të cilat një rezultati i caktohet një vlerë pozitive ose negative.
Kur pjesëtohen numrat me shenja të ndryshme(dividendi është një numër pozitiv, pjesëtuesi është negativ, ose anasjelltas) marrim numër negativ. Kur pjesëtojmë numra me të njëjtën shenjë (si dividenti ashtu edhe pjesëtuesi janë pozitivë ose anasjelltas), marrim një numër pozitiv.
Për qartësi, merrni parasysh shembujt e mëposhtëm:
Ndarja e thyesave
Pra, ne kemi parë rregullat themelore, duke dhënë një shembull të pjesëtimit të një numri me një numër, tani le të flasim se si të kryejmë saktë të njëjtat operacione me thyesa.
Megjithëse pjesëtimi i thyesave mund të duket si shumë punë në fillim, puna me to në fakt nuk është aq e vështirë. Pjesëtimi i një thyese bëhet pothuajse në të njëjtën mënyrë si shumëzimi, por me një ndryshim.
Për të pjesëtuar një thyesë, së pari duhet të shumëzoni numëruesin e dividendit me emëruesin e pjesëtuesit dhe të regjistroni rezultatin që rezulton si numërues i herësit. Pastaj shumëzojeni emëruesin e dividendit me numëruesin e pjesëtuesit dhe rezultatin shkruajeni si emërues të herësit.
Mund të bëhet më thjeshtë. Rishkruani thyesën pjesëtuese duke e ndërruar numëruesin me emëruesin dhe më pas shumëzoni numrat që rezultojnë.
Për shembull, le të ndajmë dy thyesa: 4/5:3/9. Së pari, le ta kthejmë pjesëtuesin dhe të marrim 9/3. Tani le të shumëzojmë thyesat: 4/5 * 9/3 = 36/15.
Siç mund ta shihni, gjithçka është mjaft e lehtë dhe jo më e vështirë sesa pjesëtimi me një numër njëshifror. Shembujt nuk janë të lehtë për t'u zgjidhur nëse nuk e harroni këtë rregull.
konkluzione
Ndarja është një nga veprimet matematikore që çdo fëmijë mëson në shkollën fillore. Hani rregulla të caktuara, të cilat duhet të dini, teknika që e bëjnë më të lehtë këtë operacion. Pjesëtimi mund të jetë me ose pa mbetje;
Është mjaft e lehtë të kujtohen tiparet e këtij operacioni matematikor. Ne kemi rregulluar më së shumti pika të rëndësishme, shikuam më shumë se një shembull të pjesëtimit të një numri me një numër, madje folëm për mënyrën e punës me numrat thyesorë.
Nëse dëshironi të përmirësoni njohuritë tuaja në matematikë, ju këshillojmë t'i mbani mend këto rregulla të thjeshta. Përveç kësaj, ne mund t'ju këshillojmë të zhvilloni aftësitë tuaja të kujtesës dhe aritmetikës mendore duke bërë diktime matematikore ose thjesht duke u përpjekur të llogarisni me gojë koeficientin e dy. numra të rastësishëm. Më besoni, këto aftësi nuk do të jenë kurrë të tepërta.
Le të shqyrtojmë konceptin e ndarjes në problem:
Në shportë kishte 12 mollë. Gjashtë fëmijë i renditën mollët. Çdo fëmijë mori të njëjtin numër mollësh. Sa mollë ka secili fëmijë?
Zgjidhja:
Na duhen 12 mollë për t'i ndarë mes gjashtë fëmijëve. Le të shkruajmë problemin 12:6 matematikisht.
Ose mund ta thuash ndryshe. Me cilin numër duhet të shumëzohet numri 6 për të marrë numrin 12? Le ta shkruajmë problemin në formën e një ekuacioni. Ne nuk e dimë numrin e mollëve, prandaj le t'i shënojmë ato me ndryshoren x.
Për të gjetur të panjohurën x na duhet 12:6=2
Përgjigje: 2 mollë për çdo fëmijë.
Le të hedhim një vështrim më të afërt në shembullin 12:6=2:
Numri 12 quhet i ndashëm. Ky është numri që po ndahet.
Numri 6 quhet ndarës. Ky është numri që pjesëtohet me.
Dhe rezultati i pjesëtimit të numrit 2 quhet private. Herësi tregon sa herë dividenti është më i madh se pjesëtuesi.
Fjalë për fjalë, ndarja duket si kjo:
a:b=c
a- i ndashëm,
b- ndarës,
c– private.
Pra, çfarë është ndarja?
Divizioni- ky është veprimi i anasjelltë i një faktori, ne mund të gjejmë një faktor tjetër.
Pjesëtimi kontrollohet me shumëzim, domethënë:
a:
b=
c, kontrolloni me⋅b=
a
18:9=2, kontrolloni 2⋅9=18
Shumëzues i panjohur.
Le të shqyrtojmë problemin:
Çdo paketë përmban 3 copë topa të Krishtlindjeve. Për të dekoruar pemën e Krishtlindjes na duhen 30 topa. Sa pako me topa Krishtlindjesh na duhen?
Zgjidhja:
x – numër i panjohur i paketimeve të topave.
3 – copa në një paketë balona.
30 - topa totale.
x⋅3=30 duhet të marrim 3 aq herë për të marrë një total prej 30. x është shumëzues i panjohur. Kjo është, Për të gjetur të panjohurën duhet ta ndani produktin me faktorin e njohur.
x=30:3
x=10.
Përgjigje: 10 pako me balona.
Divident i panjohur.
Le të shqyrtojmë problemin:
Çdo paketë përmban 6 lapsa me ngjyra. Janë 3 pako gjithsej. Sa lapsa kishte gjithsej para se të futeshin në pako?
Zgjidhja:
x – gjithsej lapsa,
6 lapsa në çdo paketë,
3 – pako me lapsa.
Le të shkruajmë ekuacionin e problemës në formë pjesëtimi.
x:6=3
x është dividenti i panjohur. Për të gjetur dividentin e panjohur, duhet të shumëzoni herësin me pjesëtuesin.
x=3⋅6
x=18
Përgjigje: 18 lapsa.
Pjesëtues i panjohur.
Le të shohim problemin:
Në dyqan kishte 15 topa. Gjatë ditës në dyqan erdhën 5 klientë. Blerësit blenë një numër të barabartë topa. Sa balona bleu secili klient?
Zgjidhja:
x – numri i topave që bleu një blerës,
5 – numri i blerësve,
15 - numri i topave.
Le të shkruajmë ekuacionin e problemit në formë pjesëtimi:
15:x=5
x – në ekuacioni i dhënëështë një pjesëtues i panjohur. Për të gjetur pjesëtuesin e panjohur, pjesëtojmë dividentin me herësin.
x=15:5
x=3
Përgjigje: 3 topa për çdo blerës.
Vetitë e pjesëtimit të një numri natyror me një.
Rregulli i ndarjes:
Çdo numër i pjesëtuar me 1 rezulton në të njëjtin numër.
7:1=7
a:1=
a
Vetitë e pjesëtimit të një numri natyror me zero.
Le të shohim një shembull: 6:2=3, mund të kontrolloni nëse kemi pjesëtuar saktë duke shumëzuar 2⋅3=6.
Nëse jemi 3:0, atëherë nuk do të mund të kontrollojmë, sepse çdo numër i shumëzuar me zero do të jetë zero. Prandaj, regjistrimi 3:0 nuk ka kuptim.
Rregulli i ndarjes:
Ju nuk mund të pjesëtoni me zero.
Vetitë e pjesëtimit të zeros me një numër natyror.
0:3=0 kjo hyrje ka kuptim. Nëse e ndajmë diçka në tre pjesë, nuk marrim asgjë.
0:
a=0
Rregulli i ndarjes:
Kur pjesëtohet 0 me çdo numër natyror, e barabartë me zero, rezultati do të jetë gjithmonë 0.
Vetia e pjesëtimit të numrave të njëjtë.
3:3=1
a:
a=1
Rregulli i ndarjes:
Kur pjesëtohet një numër me vete që nuk është i barabartë me zero, rezultati do të jetë 1.
Pyetje mbi temën "Ndarja":
Në hyrjen a:b=c, sa është herësi këtu?
Përgjigje: a:b dhe c.
Çfarë është private?
Përgjigje: herësi tregon sa herë dividenti është më i madh se pjesëtuesi.
Në çfarë vlere të m është hyrja 0⋅m=5?
Përgjigje: kur shumëzohet me zero, përgjigja do të jetë gjithmonë 0. Hyrja nuk ka kuptim.
A ka një n të tillë që 0⋅n=0?
Përgjigje: Po, hyrja ka kuptim. Çdo numër i shumëzuar me 0 do të rezultojë në 0, pra n është çdo numër.
Shembulli #1:
Gjeni vlerën e shprehjes: a) 0:41 b) 41:41 c) 41:1
Përgjigje: a) 0:41=0 b) 41:41=1 c) 41:1=41
Shembulli #2:
Për cilat vlera të variablave është e vërtetë barazia: a) x:6=8 b) 54:x=9
a) x – c në këtë shembullështë i pjesëtueshëm. Për të gjetur dividentin, duhet të shumëzoni herësin me pjesëtuesin.
x – divident i panjohur,
6 - pjesëtues,
8 – herësi.
x=8⋅6
x=48
b) 54 – divident,
x është pjesëtues,
9 – herësi.
Për të gjetur një pjesëtues të panjohur, duhet të pjesëtoni dividentin me herësin.
x=54:9
x=6
Detyra numër 1:
Sasha ka 15 pikë, dhe Misha ka 45 pikë. Sa herë më shumë pulla ka Misha se Sasha?
Zgjidhja:
Problemi mund të zgjidhet në dy mënyra. Mënyra e parë:
15+15+15=45
Duhen 3 numra 15 për të marrë 45, prandaj, Misha ka 3 herë më shumë nota se Sasha.
Mënyra e dytë:
45:15=3
Përgjigje: Misha ka 3 herë më shumë pulla se Sasha.
Në këtë artikull do të kuptojmë rregullat me të cilat pjesëtimi i numrave natyrorë. Këtu vetëm do të shqyrtojmë pjesëtimi i numrave natyrorë pa mbetje, ose, siç quhet edhe ajo, ndarje e plotë(domethënë, vetëm ato raste në të cilat ). Pjesëtimi i numrave natyrorë me një mbetje > meriton një artikull të veçantë.
Rregullat për pjesëtimin e numrave natyrorë nuk mund të formulohen pa gjurmuar lidhjen midis pjesëtimit dhe shumëzimit, e cila u bë që në fillim të këtij artikulli. Më poshtë janë më rregulla të thjeshta pjesëtimet që rrjedhin drejtpërdrejt nga vetitë e këtij veprimi janë pjesëtimi i numrave natyrorë të barabartë dhe pjesëtimi i një numri natyror me një. Pas kësaj, pjesëtimi duke përdorur tabelën e shumëzimit diskutohet në detaje me shembuj. Në vijim tregohet se si kryhet pjesëtimi me dhjetë, njëqind, mijë etj., pjesëtimi i numrave natyrorë rekordet e të cilëve përfundojnë me 0 dhe të gjitha rastet e tjera. I gjithë materiali është dhënë me shembuj përshkrim i detajuar vendimet. Në fund të artikullit, ne tregojmë se si të kontrolloni rezultatin e ndarjes duke përdorur shumëzimin. Si rezultat, ju do të keni të gjitha aftësitë e nevojshme për të ndarë numrat arbitrar natyrorë.
Navigimi i faqes.
Marrëdhënia ndërmjet pjesëtimit dhe shumëzimit
Le të gjurmojmë lidhjen midis pjesëtimit dhe shumëzimit. Për ta bërë këtë, mbani mend se ndarja shoqërohet me paraqitjen e grupit që ne po ndajmë si një bashkim i disa grupeve identike në të cilat ndajmë grupin origjinal (kemi folur për këtë në idenë e përgjithshme të seksionit të ndarjes). Nga ana tjetër, shumëzimi shoqërohet me kombinimin e një numri të caktuar grupesh identike në një (nëse është e nevojshme, referojuni seksionit të teorisë - një ide e përgjithshme e shumëzimit). Kështu, pjesëtimi është anasjellta e shumëzimit.
Le të shpjegojmë se çfarë do të thotë fraza e fundit.
Për ta bërë këtë, merrni parasysh situatën e mëposhtme. Le të kemi b grupe c objektesh secili dhe i bashkojmë në një grup, i cili prodhon një objekt. Bazuar në kuptimin e shumëzimit të numrave natyrorë, mund të argumentohet se veprimi i përshkruar korrespondon me barazinë c·b=a. Tani ne e ndajmë grupin që rezulton përsëri në b grupe identike. Është e qartë se në këtë rast do të ketë c objekte në çdo grup rezultues. Më pas, duke kujtuar kuptimin e pjesëtimit të numrave natyrorë, mund të shkruajmë barazinë a:b=c.
Arrijmë në pohimin e mëposhtëm: nëse prodhimi i numrave natyrorë c dhe b është i barabartë me a, atëherë herësi i pjesëtimit të a me b është i barabartë me c.
Pra, nëse c·b=a, atëherë a:b=c. Megjithatë, për shkak të vetive komutative të shumëzimit të numrave natyrorë, ne mund ta rishkruajmë barazinë c·b=a si b·c=a, që nënkupton se a:c=b. Kështu, nëse dimë se prodhimi i dy numrave natyrorë c dhe b është i barabartë me a, pra c·b=a, atëherë mund të themi se herësit a:b dhe a:c janë përkatësisht të barabartë me c dhe b..
Bazuar në të gjithë informacionin e dhënë, mund të japim një përkufizim të pjesëtimit të numrave natyrorë bazuar në shumëzimin.
Përkufizimi.
Divizioniështë një veprim me të cilin gjendet një faktor kur dihet produkti dhe një faktor tjetër.
Bazuar në këtë përkufizim, ne do të ndërtojmë rregullat për pjesëtimin e numrave natyrorë.
Pjesëtimi i numrave natyrorë si zbritje sekuenciale
Në parim, të dish se ndarja është anasjellta e shumëzimit është e mjaftueshme për të mësuar se si të kryhet ky operacion. Sidoqoftë, do të doja të flisja për një qasje tjetër të pjesëtimit të numrave natyrorë, në të cilën pjesëtimi konsiderohet si zbritje sekuenciale. Kjo është për shkak të thjeshtësisë dhe qartësisë së saj.
Për ta bërë gjithçka sa më të qartë të jetë e mundur, le të shohim një shembull.
Shembull.
Cili është rezultati i pjesëtimit të 12 me 4?
Zgjidhje.
Bazuar në kuptimin e pjesëtimit të numrave natyrorë, problemi i paraqitur mund të modelohet si më poshtë: janë 12 objekte, ato duhet të ndahen në grumbuj të barabartë me 4 objekte në secilin, numri i pirgjeve të fituar do të na japë përgjigjen e pyetjes. me çfarë është i barabartë herësi 12:4.
Le të marrim në mënyrë sekuenciale, hap pas hapi, 4 artikuj nga artikujt fillestarë dhe të formojmë grumbujt e kërkuar prej tyre derisa artikujt fillestarë të mbarojnë. Numri i hapave që duhet të ndërmarrim do të na tregojë numrin e grumbujve që rezultojnë, dhe rrjedhimisht përgjigjen e pyetjes së parashtruar.
Pra, nga 12 artikujt origjinalë, 4 i lëmë mënjanë, ato formojnë grumbullin e parë. Pas këtij veprimi, 12−4 = 8 artikuj mbeten në grumbullin origjinal (nëse është e nevojshme, mbani mend kuptimin e zbritjes së numrave natyrorë). Nga këto 8 artikuj marrim 4 artikuj të tjerë dhe formojmë një grumbull të dytë prej tyre. Pas këtij veprimi, 8−4=4 artikuj mbeten në grumbullin origjinal të objekteve. Natyrisht, nga artikujt e mbetur mund të formojmë një grumbull tjetër, të tretë, pas së cilës nuk do të kemi asnjë artikull të vetëm në grumbullin origjinal (d.m.th., do të kemi 4−4 = 0 artikuj në grumbullin origjinal). Kështu, kemi marrë 3 pirgje, dhe mund të themi se kemi ndarë numrin natyror 12 me numrin natyror 4 dhe kemi marrë 3.
Përgjigje:
12:4=3 .
Tani le të largohemi nga objektet dhe të shohim se çfarë bëmë me numrat natyrorë 12 dhe 4? Kemi kryer zbritjen sekuenciale të pjesëtuesit 4 derisa kemi marrë zero, duke numëruar numrin e veprimeve të kërkuara, të cilat na dhanë rezultatin e pjesëtimit.
konkluzioni: pjesëtimi i një numri natyror me një tjetër mund të bëhet duke kryer zbritje sekuenciale.
Për të konsoliduar materialin e këtij paragrafi të artikullit, le të shqyrtojmë zgjidhjen për një shembull tjetër.
Shembull.
Le të llogarisim herësin 108:27 duke kryer zbritje sekuenciale.
Zgjidhje.
Veprimi i dytë: 81−27=54.
Veprimi i tretë: 54−27=27.
Veprimi i katërt është 27−27=0 (kjo është vetia e zbritjes së numrave natyrorë të barabartë).
Pra, kemi marrë zero duke zbritur në mënyrë sekuenciale 4 herë, pra, 108:27=4.
Përgjigje:
108:27=4 .
Vlen të përmendet se pjesëtimi i numrave natyrorë në këtë mënyrë është i përshtatshëm për t'u përdorur vetëm kur kërkohet sasi e vogël zbritjet e njëpasnjëshme për të marrë rezultatin. Në raste të tjera, përdoren rregullat për pjesëtimin e numrave natyrorë, të cilat do t'i diskutojmë në detaje më poshtë.
Pjesëtimi i numrave natyrorë të barabartë
Herësi i një numri natyror pjesëtuar me numrin e tij natyror të barabartë është i barabartë me një. Ky pohim është veti e pjesëtimit të numrave natyrorë të barabartë.
Për shembull, 1:1=1, 143:143=1, rezultati i pjesëtimit të numrave natyrorë 10,555 dhe 10,555 është gjithashtu një.
Pjesëtimi i një numri natyror me një
Duke përdorur tabelën e shumëzimit mund të gjeni gjithashtu një nga dy shumëzues njëshifror, nëse dihet produkti dhe një faktor tjetër. Dhe në paragrafin e parë të këtij artikulli zbuluam se ndarja është gjetja e njërit prej faktorëve nga produkti dhe një faktori tjetër. Kështu, duke përdorur tabelën e shumëzimit, mund të ndani cilindo nga numrat natyrorë të vendosur në tabelën e shumëzimit në një sfond rozë me një numër natyror njëshifror.
Për shembull, le të ndajmë 48 me 6. Duke përdorur tabelën e shumëzimit, kjo mund të bëhet në një nga dy mënyrat. Le të japim fillimisht një ilustrim grafik, pastaj të japim një përshkrim.
Metoda e parë (korrespondon me foton e mësipërme në të majtë). E gjejmë dividentin (në shembullin tonë ky është numri natyror 48) në kolonën në qelizën e sipërme të së cilës ka një pjesëtues (për shembullin tonë numri 6). Rezultati i ndarjes është në qelizën më të majtë të rreshtit në të cilin ndodhet dividenti i gjetur. Për shembullin tonë, ky është numri 8, i cili është rrethuar me blu.
Metoda e dytë (korrespondon me foton e mësipërme në të djathtë). Dividentin 48 e gjejmë në rreshtin në të cilin pjesëtuesi 6 ndodhet në qelizën e majtë. Koeficienti i kërkuar në këtë rast ndodhet në qelizën e sipërme të kolonës në të cilën ndodhet dividenti i gjetur 48. Rezultati është i rrethuar në blu.
Pra, duke përdorur tabelën e shumëzimit, ne kemi ndarë 48 me 6 dhe kemi marrë 8.
Për të konsoliduar materialin, ne paraqesim një vizatim që tregon procesin e pjesëtimit të numrit natyror 7 me 1.
Pjesëtimi me 10, 100, 1000, etj.
Do të japim menjëherë formulimin e rregullës për pjesëtimin e numrave natyrorë me 10, 100, 1000, ... (do të supozojmë se një pjesëtim i tillë është i mundur) dhe do të japim një shembull dhe më pas do të japim shpjegimet e nevojshme.
Rezultati i pjesëtimit të një numri natyror me 10, 100, 1000, etj. është një numër natyror, shënimi i të cilit merret nga shënimi i dividendit nëse një, dy, tre e kështu me radhë hidhen zero në të djathtë.(d.m.th., aq shifra 0 hidhen poshtë sa përmbahen në hyrjen e dividentit).
Për shembull, herësi i 30 pjesëtuar me 10 është i barabartë me 3 (një shifër 0 u hoq nga e djathta e dividentit prej 30), dhe herësi 120,000:1,000 është i barabartë me 120 (tre shifra 0 u hoqën nga e drejta prej 120,000).
Rregulli i deklaruar është mjaft i thjeshtë për t'u justifikuar. Për ta bërë këtë, thjesht mbani mend rregullat për shumëzimin e një numri natyror me dhjetë, njëqind, një mijë, etj. Le të japim një shembull. Le të na duhet të llogarisim herësin 10 200:100. Meqenëse 102·100=10200, atëherë, për shkak të lidhjes midis mbledhjes dhe shumëzimit, rezultati i pjesëtimit të numrit natyror 10.200 me 100 është numri natyror 102.
Përfaqësimi i dividentit si produkt
Ndonjëherë pjesëtimi i numrave natyrorë ju lejon të përfaqësoni dividentin si produkt i dy numrave, të paktën njëri prej të cilëve është i pjesëtueshëm me pjesëtuesin. Kjo metodë e pjesëtimit bazohet në vetinë e pjesëtimit të prodhimit të dy numrave me një numër natyror.
Le të shohim një nga shembujt më të thjeshtë tipikë.
Shembull.
Le të ndajmë 30 me 3.
Zgjidhje.
Natyrisht, dividenti 30 mund të përfaqësohet si prodhim i numrave natyrorë 3 dhe 10. Kemi 30:3=(3·10):3. Përdorni vetinë e pjesëtimit të prodhimit të dy numrave me një numër natyror. Kemi (3·10):3=(3:3)·10=1·10=10. Pra, herësi i 30 pjesëtuar me 3 është 10.
Përgjigje:
30:3=10 .
Le të japim zgjidhje për disa shembuj të tjerë të ngjashëm.
Shembull.
Ndani 7200 me 72.
Zgjidhje.
Në këtë rast, dividenti 7200 mund të konsiderohet si prodhimi i numrave 72 dhe 100. Në këtë rast, marrim rezultatin e mëposhtëm: 7 200:72=(72·100):72= (72:72)·100=1·100=100.
Përgjigje:
7 200:72=100 .
Shembull.
Ndani 1,600,000 me 160.
Zgjidhje.
Natyrisht, 1,600,000 është prodhimi i 160 dhe 10,000, pra 1,600,000:160=(160·10,000):160= (160:160)·10,000=1·10,000=10,000.
Përgjigje:
1 600 000:160=10 000 .
Në më shumë shembuj kompleks Kur përfaqësoni dividentin si produkt, duhet të mbështeteni në tabelën e shumëzimit. Nga shembujt e mëposhtëm do të jetë e qartë se çfarë nënkuptojmë.
Shembull.
Pjesëtoni numrin natyror 5400 me 9.
Zgjidhje.
Duke përdorur tabelën e shumëzimit, ne mund të pjesëtojmë 54 me 9, kështu që është logjike të paraqesim dividentin 5,400 si produkt të 54·100 dhe të plotësojmë pjesëtimin: 5,400:9=(54·100):9= (54:9) ·100=6·100 =600 .
Përgjigje:
5 400:9=600 .
Për të konsoliduar materialin, merrni parasysh zgjidhjen e një shembulli tjetër.
Shembull.
Le të llogarisim herësin 120:4.
Zgjidhje.
Për ta bërë këtë, imagjinoni dividentin 120 si prodhim të 12 dhe 10, pas së cilës përdorim vetinë e pjesëtimit të prodhimit të dy numrave me një numër natyror. ne kemi 120:4=(12·10):4=(12:4)·10=3·10=30.
Përgjigje:
120:4=30 .
Pjesëtimi i numrave natyrorë që përfundojnë me 0
Këtu duhet të kujtojmë vetinë e pjesëtimit të një numri natyror me produktin e dy numrave. Le të shpjegojmë pse. Për të kryer pjesëtimin e numrave natyrorë, shënimet e të cilëve përfundojnë me 0, pjesëtuesi paraqitet si prodhim i dy numrave natyrorë dhe më pas zbatohet vetia e pjesëtimit të përmendur.
Le ta kuptojmë këtë me shembuj. Le të marrim dy numra natyrorë, shënimet e të cilëve mbarojnë me zero dhe t'i ndajmë.
Shembull.
Le të ndajmë 490 me 70.
Zgjidhje.
Meqenëse 70=10·7, atëherë 490:70=490:(10·7). Shprehja e fundit, për shkak të vetive të pjesëtimit të një numri natyror me një prodhim, është e barabartë me (490:10):7. Mësuam se si të pjesëtojmë me 10 në një nga paragrafët e mëparshëm, marrim (490:10):7=49:7. Koeficientin që rezulton e gjejmë duke përdorur tabelën e shumëzimit dhe si rezultat marrim 490:70=7.
Përgjigje:
490:70=7 .
Për të konsoliduar materialin, le të shqyrtojmë zgjidhjen për një shembull tjetër më kompleks.
Shembull.
Le të llogarisim herësin 54000:5400.
Zgjidhje.
Ne përfaqësojmë 5,400 si një prodhim prej 100·54 dhe pjesëtojmë numrin natyror me produktin: 54,000: 5,400=54,000:(100·54)=(54000:100):54=540:54. Këtu mbetet të imagjinojmë 540 si 54·10 (nëse është e nevojshme, kthehuni në pikën e mëparshme) dhe të përfundoni llogaritjet: 540:6=(54·10):54= (54:54)·10=1·10=10 . Pra, 54,000: 5,400=10.
Përgjigje:
54 000:5 400=10 .
Informacioni në këtë paragraf mund të përmblidhet deklaratën e mëposhtme: nëse në rekordin e dividendit dhe pjesëtuesit ka numra 0 në të djathtë, atëherë në të dhënat duhet të heqni qafe të njëjtin numër zero në të djathtë, dhe më pas ndani numrat që rezultojnë. Për shembull, pjesëtimi i numrave natyrorë 818,070,000 dhe 201,000 reduktohet në pjesëtimin e numrave 818,070 dhe 201 pasi heqim tre shifrat 0 nga të dhënat e dividendit dhe pjesëtuesit në të djathtë.
Përzgjedhja e privates
Le të jenë numrat natyrorë a dhe b të tillë që a të plotpjesëtohet me b, dhe nëse b shumëzohet me 10, rezulton një numër më i madh se a. Në këtë rast, herësi a:b është një numër natyror njëshifror, domethënë një numër nga 1 në 9, dhe është më i lehtë për t'u gjetur. Për ta bërë këtë, pjesëtuesi shumëzohet në mënyrë sekuenciale me 1, 2, 3, e kështu me radhë derisa produkti të jetë i barabartë me dividentin. Sapo të fitohet një barazi e tillë, do të gjendet herësi a:b.
Le të shohim një shembull.
Shembull.
Le të gjejmë herësin 108:27.
Zgjidhje.
Natyrisht, pjesëtuesi 108 është më i vogël se 27 10 = 270 (nëse është e nevojshme, referojuni artikullit që krahason numrat natyrorë). Le të zgjedhim herësin. Për ta bërë këtë, ne do të shumëzojmë në mënyrë sekuenciale pjesëtuesin 27 me 1, 2, 3, ... derisa të marrim dividentin 108. Le të shkojmë: 27·1=27, 27·2=54, 27·3=81, 27·4=108 (nëse është e nevojshme, shihni artikullin mbi shumëzimin e numrave natyrorë). Prandaj, 108:27=4.
Përgjigje:
108:27=4 .
Në përfundim të këtij paragrafi, vërejmë se në raste të tilla herësi nuk mund të zgjidhet, por të gjendet me ndihmën e tij.
Paraqitja e dividendës si shumë e numrave natyrorë
Nëse të gjitha metodat e diskutuara më sipër nuk lejojnë pjesëtimin e numrave natyrorë, atëherë duhet të përfaqësoni dividentin si shumën e disa termave, secili prej të cilëve ndahet lehtësisht nga pjesëtuesi. Më pas, do të duhet të përdorni vetinë e pjesëtimit të shumës së numrave natyrorë me një numër të caktuar dhe të përfundoni llogaritjet. Mbetet pyetja kryesore: “Në çfarë termash duhet të përfaqësojmë dividentin”?
Le të përshkruajmë algoritmin për marrjen e termave që shtohen në divident. Për akses më të madh, ne do të shqyrtojmë njëkohësisht një shembull në të cilin dividenti është i barabartë me 8,551 dhe pjesëtuesi është i barabartë me 17.
Së pari, ne llogarisim sa më shumë është numri i shifrave në divident se sa numri i shifrave në pjesëtues dhe mbajmë mend këtë numër.
Për shembull, nëse dividenti është numri natyror 8551, dhe pjesëtuesi është numri 17, atëherë rekordi i dividendit përmban edhe 2 shifra të tjera (8551 është një numër katërshifror, 17 është një numër dyshifror, pra diferenca në numrin e shifrave përcaktohet nga diferenca 4−2=2) . Kjo do të thotë, mbani mend numrin 2.
Tani në hyrjen e pjesëtuesit në të djathtë shtojmë numrat 0 në shumën e përcaktuar nga numri i marrë në paragrafin e mëparshëm. Për më tepër, nëse numri i shkruar është më i madh se dividenti, atëherë duhet të zbrisni 1 nga numri i mbajtur mend në paragrafin e mëparshëm.
Le të kthehemi te shembulli ynë. Në hyrjen për pjesëtuesin 17, shtojmë dy shifra 0 në të djathtë dhe marrim numrin 1700. Ky numër është më i vogël se dividenti 8551, kështu që numri i mbajtur mend në paragrafin e mëparshëm NUK ka nevojë të zvogëlohet me 1. Kështu, numri 2 mbetet në kujtesën tonë.
Pas kësaj, numrit 1 në të djathtë i caktojmë numrat 0 në një sasi të përcaktuar nga numri i memorizuar në paragrafin e mëparshëm. Në këtë rast, marrim një njësi të shifrës, me të cilën do të punojmë më tej.
Në shembullin tonë, numrit 1 i caktojmë 2 zero, kemi numrin 100, domethënë do të punojmë me vendin e qindrave.
Tani shumëzojmë në mënyrë të njëpasnjëshme pjesëtuesin me 1, 2, 3, ... njësitë e shifrës së punës derisa të marrim një numër më të madh se dividenti.
Në shembullin tonë, shifra e punës është shifra e qindrave. Prandaj, së pari shumëzojmë pjesëtuesin me një njësi në vendin e qindsheve, pra shumëzojmë 17 me 100, marrim 17·100=1700. Numri që rezulton 1700 është më i vogël se dividenti 8551, kështu që ne vazhdojmë të shumëzojmë pjesëtuesin me dy njësi në vendin e qindrave, domethënë duke shumëzuar 17 me 200. Kemi 17·200=3 400<8 551 , поэтому продолжаем процесс. Умножаем 17 на 300 , имеем 17·300=5 100<8 551 ; двигаемся дальше 17·400=6 800<8 551 ; дальше 17·500=8 500<8 551 ; наконец 17·600=10 200>8 551 .
Numri i marrë në hapin e parafundit të shumëzimit është i pari nga termat e kërkuar.
Në shembullin që analizohet, termi i kërkuar është numri 8,500 (ky numër është i barabartë me prodhimin 17·500, nga i cili shihet se 8,500:17=500, këtë barazi do ta përdorim më tej).
Pas kësaj, gjejmë ndryshimin midis dividentit dhe termit të parë të gjetur. Nëse numri që rezulton nuk është i barabartë me zero, ne vazhdojmë të gjejmë termin e dytë. Për ta bërë këtë, ne përsërisim të gjitha hapat e përshkruar të algoritmit, por tani marrim numrin e marrë këtu si divident. Nëse në këtë pikë përsëri marrim një numër të ndryshëm nga zero, atëherë vazhdojmë të gjejmë termin e tretë, duke përsëritur hapat e algoritmit përsëri, duke marrë si dividend numrin që rezulton. Dhe kështu vazhdojmë më tej, duke gjetur termat e katërt, të pestë dhe të mëpasshëm derisa numri i marrë në këtë pikë të jetë i barabartë me zero. Sapo të marrim 0 këtu, atëherë gjenden të gjithë termat dhe mund të kalojmë në pjesën përfundimtare të llogaritjes së koeficientit origjinal.
Le të kthehemi te shembulli ynë. Në këtë hap kemi 8,551−8,500=51. Meqenëse 51 nuk është e barabartë me 0, ne e marrim këtë numër si dividend dhe përsërisim të gjitha hapat e algoritmit me të.
Numri i karaktereve në regjistrimet e numrave 51 dhe pjesëtuesit 17 është i njëjtë, kështu që ne kujtojmë numrin 0.
Në hyrjen e pjesëtuesit, nuk ka nevojë të shtojmë një shifër të vetme 0 në të djathtë, pasi kemi memorizuar numrin 0. Kjo do të thotë, numri 17 mbetet ashtu siç është. Ky numër është më i vogël se 51, kështu që nuk ka nevojë të zbritet një nga numri i memorizuar 0. Kështu, numri 0 mbetet në kujtesën tonë.
Ne nuk do t'i caktojmë një shifër të vetme 0 në numrin 1 në të djathtë, pasi kemi numrin 0 në kujtesën tonë. Kjo do të thotë, ne do të punojmë me shifrën njëshe.
Tani shumëzojmë në mënyrë të njëpasnjëshme pjesëtuesin 17 me 1, 2, 3 e kështu me radhë derisa të marrim një numër më të madh se 51. Kemi 17·1=17<51 , 17·2=34<51 , 17·3=51 , 17·4=68>51. Në hapin e parafundit morëm numrin 51 (ky numër është i barabartë me prodhimin 17·3, dhe këtë do ta përdorim më tej). Prandaj, termi i dytë është numri 51.
Gjeni ndryshimin midis numrit 51 dhe numrit 51 të marrë në paragrafin e mëparshëm. Kemi 51−51=0. Prandaj, ne ndalojmë së kërkuari terma.
Tani e dimë se dividenti 8,551 duhet të përfaqësohet si shuma e dy termave 8,500 dhe 51.
Le të përfundojmë gjetjen e herësit. Kemi 8,551:17=(8,500+51):17. Tani kujtojmë vetinë e pjesëtimit të shumës së dy numrave me një numër natyror, që na çon në barazinë (8,500+51):17=8,500:17+51:17. Më sipër zbuluam se 8,500:17=500 dhe 51:17=3. Kështu, 8500:17+51:17=500+3=503. Pra, 8551:17=503.
Për të forcuar aftësitë e paraqitjes së dividentit si një shumë termash, le të shqyrtojmë zgjidhjen e një shembulli tjetër.
Shembull.
Le të ndajmë 64 me 2.
Zgjidhje.
1) Ka një shenjë më shumë në shënimin e dividentit sesa në pjesëtues, kështu që ne kujtojmë numrin 1.
2) Nëse i shtojmë një shifër 0 pjesëtuesit në të djathtë, atëherë marrim numrin 20, i cili është më i vogël se dividenti 64. Prandaj, numri 1 i memorizuar nuk ka nevojë të zvogëlohet me një.
3) Tani për të 1 caktojmë një shifër 0 në të djathtë (pasi kemi numrin 1 në kujtesën tonë), marrim numrin 10, domethënë do të punojmë me dhjetëshe.
4) Fillojmë të shumëzojmë pjesëtuesin 2 në mënyrë sekuenciale me 10, 20, 30, etj. Kemi: 2·10=20<64 ; 2·20=40<64 ; 2·30=60<64 ; 2·40=80>64. Kështu, termi i parë është numri 60 (meqenëse 2·30=60, pastaj 60:2=30, kjo barazi do të jetë e dobishme për ne më vonë).
5) Llogaritni diferencën 64−60, e cila është e barabartë me 4. Ne mund ta ndajmë këtë numër lehtësisht me një pjesëtues 2, kështu që këtë numër do ta marrim si termin e dytë (dhe të fundit). (Sigurisht, ne mund ta marrim këtë numër si dividend dhe të kalojmë përsëri të gjitha hapat e algoritmit; ata do të na çojnë në faktin se termi i dytë është numri 4.)
Pra, ne paraqitëm dividentin 64 si shumën e dy termave 60 dhe 4. Mbetet për të përfunduar llogaritjet: 64:2=(60+4):2=60:2+4:2=30+2=32 .
Përgjigje:
64:2=32 .
Le të zgjidhim edhe një shembull.
Shembull.
Le të llogarisim herësin 1 178:31.
Zgjidhje.
1) Ka 2 shifra më shumë në shënimin e dividentit sesa në pjesëtues. Prandaj, mbani mend numrin 2.
2) Nëse i shtojmë dy shifra 0 pjesëtuesit në të djathtë, marrim numrin 3 100, i cili është më i madh se dividenti. Prandaj, numri 2 i mbajtur mend në paragrafin e mëparshëm duhet të reduktohet me një: 2−1=1, mbani mend këtë numër.
3) Tani numrit 1 i shtojmë një shifër 0 në të djathtë, marrim numrin 10 dhe më pas punojmë me dhjetëshe.
4) Shumëzoni në mënyrë të qëndrueshme pjesëtuesin me 10, 20, 30, etj. Marrim 31·10=310<1 178 ; 31·20=620<1 178 ; 31·30=930<1 178 ; 31·40=1 240>1 178. Kështu e gjetëm termin e parë. Është e barabartë me 930 (më vonë do të na duhet barazia 930:31=30, që rrjedh nga barazia 31·30=930).
5) Njehsoni diferencën: 1,178−930=248. Meqenëse kemi marrë një numër që nuk është i barabartë me zero, ne e pranojmë atë si dividend dhe fillojmë kërkimin për termin e dytë duke përdorur të njëjtin algoritëm.
1) Numri 248 shkruhet me 1 shifër më shumë se pjesëtuesi 31. Prandaj, ne kujtojmë numrin 1.
2) Shtoni një shifër 0 në pjesëtuesin në të djathtë, marrim numrin 310, i cili është më i madh se numri 248. Prandaj, nga numri i memorizuar 1 ju duhet të zbritni 1, në këtë rast marrim numrin 0 dhe mbajmë mend atë.
3) Meqenëse ne kemi numrin 0 në memorie, nuk ka nevojë të shtojmë zero në numrin 1 në të djathtë. Pra, ne punojmë me njësi.
4) Shumëzoni në mënyrë të vazhdueshme pjesëtuesin 31 me 1, 2, 3 e kështu me radhë. Kemi 31·1=31<248 , 31·2=62<248 , 31·3=93<248 , 31·4=124<248 , 31·5=155<248 , 31·6=186<248 , 31·7=217<248 , 31·8=248 , 31·9=279>248. Termi i dytë është i barabartë me 248 (nga barazia 248=31·8 rezulton se 248:31=8, kjo do të na duhet më vonë).
5) Ne llogarisim ndryshimin midis numrit 248 dhe numrit që rezulton 248, kemi 248−248=0. Rrjedhimisht, kërkimi i termave ndalon këtu.
Kështu, ne përfaqësojmë 1,178 si shumë 930+248. Mbetet vetëm të plotësohen llogaritjet: 1,178:31=(930+248):31= 930:31+248:31=30+8=38 (i kushtuam vëmendje rezultateve 930:31=30 dhe 248:31 =8 më lart).
Përgjigje:
1 178:31=38 .
Shembull.
Pjesëtoni numrin natyror 13.984 me 32, duke e paraqitur dividentin si shumë të disa termave.
Zgjidhje.
Në këtë shembull, dividenti do të përfaqësohet si tre terma, pasi algoritmi do të duhet të zbatohet tre herë. Në këtë rast, rezulton se termi i parë do të jetë i barabartë me 12,800 (me 12,800=32·400, pra, 12,800:32=400), i dyti – 960 (me 960=32·30, pra, 960:32 =30 ), dhe e treta – 224 (në këtë rast 224=32·7, pra, 224:32=7).
Pastaj 13 984:32=(12 800+960+224):32= 12 800:32+960:32+224:32= 400+30+7=437 .
Përgjigje:
13 984:32=437 .
Në këtë pikë, rregullat bazë për pjesëtimin e numrave natyrorë mund të konsiderohen të mësuara dhe këto rregulla janë të mjaftueshme për të kryer ndarjen e numrave natyrorë arbitrarë (nëse ky veprim është edhe i mundur të kryhet). Por duhet t'i kushtoni vëmendje një rregulli më shumë, i cili në disa raste ju lejon të ndani numrat natyrorë në mënyrë më racionale, më shpejt dhe më lehtë.
Lehtë e ndarë në
483:7=69 .
Kontrollimi i rezultatit të pjesëtimit të numrave natyrorë me shumëzim
Pasi të përfundojë ndarja e numrave natyrorë, nuk do të ishte e tepërt të kontrollohej rezultati i marrë. Kontrollimi i rezultatit të pjesëtimit kryhet duke përdorur shumëzimin: për të kontrolluar korrektësinë e rezultatit të pjesëtimit, duhet të shumëzoni herësin me pjesëtuesin dhe duhet të merrni dividentin. Nëse shumëzimi prodhon një numër që është i ndryshëm nga dividenti, atëherë është bërë një gabim diku në procesin e pjesëtimit.
Le të shpjegojmë pak nga erdhi ky rregull për kontrollimin e rezultatit të pjesëtimit të numrave natyrorë. Le të ndajmë një objekt në grumbuj b, dhe çdo grumbull përmban c objekte. Në kuptimin e pjesëtimit të numrave natyrorë, mund të shkruajmë një barazi të formës a:b=c, që i përgjigjet veprimit që kemi kryer. Tani, nëse kombinojmë të gjitha shtyllat b, secila prej të cilave përmban c objekte, atëherë është e qartë se do të marrim grupin origjinal të objekteve, në të cilat do të ketë një pjesë. Domethënë, në kuptimin e shumëzimit të numrave natyrorë kemi b·c=a. Kështu, nëse a:b=c, atëherë barazia b·c=a duhet të jetë gjithashtu e vërtetë. Kjo është baza për rregullin për kontrollimin e rezultatit të pjesëtimit të numrave natyrorë duke përdorur shumëzimin.
Le të shqyrtojmë zgjidhjet e shembujve në të cilët rezultati i pjesëtimit kontrollohet duke përdorur shumëzimin.
Shembull.
Numri natyror 475 është pjesëtuar me numrin natyror 19, duke rezultuar në herësin 25. A është bërë ndarja si duhet?
960+64 (ne e bëmë këtë duke përdorur algoritmin e përshkruar në një nga paragrafët e mëparshëm të këtij artikulli). Pastaj 1 024:32=(960+64):32= 960:32+64:32=30+2=32 .
E vetmja gjë që mbetet është të kontrolloni rezultatin e marrë. Për ta bërë këtë, shumëzojeni herësin që rezulton 32 me pjesëtuesin 32, kemi 32·32=1,024. Numri që rezulton përkon me dividentin, kështu që herësi llogaritet saktë.
Përgjigje:
1 024:32=32 .
Kontrollimi i rezultatit të pjesëtimit të numrave natyrorë me pjesëtim
Ju mund të kontrolloni rezultatin e pjesëtimit të numrave natyrorë jo vetëm duke përdorur shumëzimin, por edhe duke përdorur pjesëtimin. Le të formulojmë një rregull që na lejon të kontrollojmë rezultatin e pjesëtimit me pjesëtim.
Për të kontrolluar nëse herësi nga pjesëtimi i dy numrave natyrorë është gjetur saktë, duhet të pjesëtoni dividentin me herësin që rezulton. Për më tepër, nëse rezultati është një numër i barabartë me pjesëtuesin, atëherë ndarja është kryer saktë, përndryshe, diku në llogaritjet është bërë një gabim.
Ky rregull bazohet në një lidhje mjaft të qartë midis dividendit, pjesëtuesit dhe herësit. Konsideratat e mëposhtme do të na ndihmojnë të gjurmojmë këtë lidhje. Le të ndajmë një objekt në grumbuj b, pas së cilës çdo grumbull përmban c objekte. Është e qartë se nëse këto objekte a janë të renditura në grumbuj c objektesh secili, atëherë do të ketë b grumbuj të tillë. Kështu, nëse a:b=c , atëherë a:c=b , në mënyrë të ngjashme, nëse a:c=b , atëherë a:b=c . Këtë e përmendëm më lart në paragrafin.
Mbetet të shqyrtojmë disa shembuj të kontrollit të rezultatit të pjesëtimit të numrave natyrorë duke përdorur pjesëtimin.
Shembull.
Kur pjesëtohet numri natyror 104 me 13
Emërtoni numrat që përdoren për numërim. Çdo numër artikujsh të numërueshëm i korrespondon një numri të caktuar natyror. Nëse nuk ka objekte për t'u numëruar, atëherë përdoret numri 0, por kur numërojmë objektet nuk fillojmë kurrë nga 0, dhe në përputhje me rrethanat numri 0 nuk mund të klasifikohet si natyror. Është e qartë se numri natyror më i vogël është një. Nuk ka numër natyror më të madh, sepse sado i madh të jetë një numër, gjithmonë mund t'i shtoni 1 dhe të shkruani numrin tjetër natyror.
Le të shohim shembullin më të thjeshtë të pjesëtimit: pjesëtojeni numrin 30 me numrin 5 (mbetja kur pjesëtoni numrin 30 me numrin 5 është 0), pasi 30 = 5. 6. Pra numri 30 pjesëtohet me numrin 5. Numri 5 është ndarës numri është 30, dhe numri 30 është të shumëfishta numri 5.
Numri natyror k n, nëse ekziston një numër i tillë natyror m, për të cilën vlen barazia k = n . m.
Ose me fjalë të tjera , për të pjesëtuar një numër me një tjetër, ju duhet të gjeni një numër të tretë që, kur shumëzohet me të dytin, jep të parin
Nëse një numër natyror k pjesëtueshëm me një numër natyror n, pastaj numri k thirrur shumëfisha të numrit,
numri n — pjesëtues i një numri k.
Numrat 1, 2, 3, 6, 10, 15, 30 janë gjithashtu pjesëtues të 30, dhe 30 është shumëfish i secilit prej këtyre numrave. Vini re se numri 30 nuk është i pjesëtueshëm, për shembull, me numrin 7. Prandaj, numri 7 nuk është pjesëtues i numrit 30 dhe numri 30 nuk është shumëfish i numrit 7.
Pasi kryejnë operacionet e ndarjes thonë: “Numër k pjesëtueshëm me një numër n", "Numri nështë pjesëtues i një numri k", "Numri k shumëfish i numrit n", "Numri kështë shumëfish i numrit n».
Është e lehtë të shkruash të gjithë pjesëtuesit e numrit 6. Këta janë numrat 1, 2, 3 dhe 6. A është e mundur të renditen të gjithë numrat që janë shumëfish të numrit 6? Numrat 6. 1, 6. 2, 6. 3, 6. 4, 6. 5 etj. janë shumëfish të numrit 6. Gjejmë se ka pafundësisht shumë numra që janë shumëfish të numrit 6. Prandaj, është e pamundur të renditen të gjitha.
Në përgjithësi, për çdo numër natyror k secilin nga numrat
k . 1, k . 2, k . 3, k . 4 , ...
është shumëfish i numrit k.
Pjesëtuesi më i vogëlçdo numër natyror kështë numri 1, dhe pjesëtuesi më i madh- vetë numri k.
Ndër numrat që janë shumëfish të k, nuk ka më të madhin, por më i vogli është - ky është vetë numri k.
Secili nga numrat 21 dhe 36 plotpjesëtohet me numrin 3, dhe shuma e tyre, numri 57, është gjithashtu i plotpjesëtueshëm me numrin 3. Në përgjithësi, nëse secili nga numrat k Dhe n pjesëtueshëm me një numër m, pastaj shuma k+n pjesëtohet edhe me një numër m.
Secili nga numrat 4 dhe 8 nuk është aksionetështë një numër i plotë me numrin 3, dhe shuma e tyre, numri 12, nuk pjesëtohet në mënyrë të barabartë me numrin 3. Secili nga numrat 9 dhe 7 nuk është i plotpjesëtueshëm me numrin 5, dhe shuma e tyre, numri 16, është jo i plotpjesëtueshëm me numrin 5. Në përgjithësi, nëse as numri k, as numri n nuk pjesëtohen në mënyrë të barabartë me një numër m, pastaj shuma k + n mund të jetë ose jo i pjesëtueshëm me një numër të plotë m.
Numri 35 ndahet me numrin 7 pa mbetje, por numri 17 nuk plotpjesëtohet me numrin 7. Shuma 35 + 17 gjithashtu nuk ndahet me numrin 7. Në përgjithësi, nëse numri k pjesëtueshëm me një numër m dhe numri n nuk pjesëtohet me një numër m, pastaj shuma k + n nuk pjesëtohet me një numër m.
