Kuptimi gjeometrik i derivatit është: Përkufizimi i derivatit, kuptimi gjeometrik i tij

Objektivat e mësimit:

Studentët duhet të dinë:

çfarë quhet pjerrësia e një vije;
këndi ndërmjet vijës së drejtë dhe boshtit Ox;
cili është kuptimi gjeometrik i derivatit;
ekuacioni i tangjentes me grafikun e një funksioni;
një metodë për ndërtimin e një tangjente ndaj një parabole;
të jetë në gjendje të aplikojë njohuri teorike në praktikë.

Objektivat e mësimit:

Edukative: krijoni kushte që studentët të zotërojnë një sistem njohurish, aftësish dhe aftësish me konceptet e kuptimit mekanik dhe gjeometrik të një derivati.

Edukative: për të formuar një botëkuptim shkencor tek studentët.

Zhvillimore: për të zhvilluar interesin njohës, kreativitetin, vullnetin, kujtesën, të folurit, vëmendjen, imagjinatën, perceptimin e nxënësve.

Metodat e organizimit të aktiviteteve edukative dhe njohëse:

vizuale;
praktike;
Nga aktiviteti mendor: induktiv;
sipas asimilimit të materialit: pjesërisht kërkim, riprodhues;
sipas shkallës së pavarësisë: punë laboratorike;
stimulues: inkurajues;
kontrolli: vrojtimi ballor me gojë.

Plani i mësimit

Ushtrime gojore (gjeni derivatin)
Mesazhi i nxënësit me temën “Shkaqet e analiza matematikore”.
Mësimi i materialit të ri
Fiz. Vetëm një minutë.
Zgjidhja e detyrave.
Puna laboratorike.
Duke përmbledhur mësimin.
Duke komentuar detyrat e shtëpisë.

Pajisjet: projektor multimedial (prezantim), karta ( punë laboratorike).

Përparimi i mësimit

"Një person arrin diçka vetëm kur beson në forcën e tij"

L. Feuerbach

I. Momenti organizativ.

Organizimi i klasës gjatë gjithë orës së mësimit, gatishmëria e nxënësve për mësimin, rregulli dhe disiplina.

Përcaktimi i synimeve mësimore për nxënësit, si për të gjithë mësimin ashtu edhe për fazat individuale të tij.

Përcaktoni rëndësinë e materialit që studiohet si në këtë temë ashtu edhe në të gjithë kursin.

Numërimi me gojë

1. Gjeni derivatet:

" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Test logjik.

a) Vendos shprehjen që mungon.

5x 3 -6x	15 x 2 -6	30x
2sinx	2cosx…
cos2x	… …

II. Mesazhi i nxënësit me temën “Arsyet e shfaqjes së analizës matematikore”.

Drejtimi i përgjithshëm i zhvillimit të shkencës përcaktohet në fund të fundit nga kërkesat e praktikës së veprimtarisë njerëzore. Ekzistenca e shteteve të lashta me një sistem kompleks të menaxhimit hierarkik do të ishte e pamundur pa zhvillimin e mjaftueshëm të aritmetikës dhe algjebrës, sepse mbledhja e taksave, organizimi i furnizimeve të ushtrisë, ndërtimi i pallateve dhe piramidave dhe krijimi i sistemeve të ujitjes kërkonin llogaritje komplekse. Gjatë Rilindjes, lidhjet midis pjesëve të ndryshme të botës mesjetare u zgjeruan, u zhvilluan tregtia dhe zejtaria. Fillon një rritje e shpejtë e nivelit teknik të prodhimit dhe burimet e reja të energjisë që nuk lidhen me përpjekjet muskulare të njerëzve apo kafshëve po përdoren industrialisht. Në shekujt XI-XII, u shfaqën makina mbushëse dhe thurje, dhe në mesin e XV - shtypshkronjë. Për shkak të nevojës për zhvillimin e shpejtë të prodhimit shoqëror gjatë kësaj periudhe, thelbi i shkencave të natyrës, të cilat kishin qenë përshkruese që në lashtësi, ndryshoi. Qëllimi i shkencës natyrore është një studim i thellë i proceseve natyrore, jo i objekteve. Matematika, e cila vepronte me sasi konstante, i përgjigjej shkencës natyrore përshkruese të antikitetit. Ishte e nevojshme të krijohej një aparat matematikor që do të përshkruante jo rezultatin e procesit, por natyrën e rrjedhës së tij dhe modelet e tij të qenësishme. Si rezultat, në fund të shekullit të 12-të, Njutoni në Angli dhe Leibniz në Gjermani përfunduan fazën e parë të krijimit të analizës matematikore. Çfarë është "analiza matematikore"? Si mund të karakterizohen dhe parashikohen karakteristikat e çdo procesi? Përdorni këto veçori? Për të depërtuar më thellë në thelbin e një dukurie të caktuar?

III. Mësimi i materialit të ri.

Le të ndjekim rrugën e Njutonit dhe Leibnizit dhe të shohim se si mund ta analizojmë procesin, duke e konsideruar atë si një funksion të kohës.

Le të prezantojmë disa koncepte që do të na ndihmojnë më tej.

Grafiku i funksionit linear y=kx+ b është drejtëz, thirret numri k pjerrësia e vijës së drejtë. k=tg, ku është këndi i drejtëzës, pra këndi ndërmjet kësaj drejtëze dhe drejtimit pozitiv të boshtit Ox.

Figura 1

Shqyrtoni grafikun e funksionit y=f(x). Le të vizatojmë një sekant nëpër çdo dy pika, për shembull, sekantim AM. (Fig. 2)

Koeficienti këndor i sekantit k=tg. Në një trekëndësh kënddrejtë AMC<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

Figura 2

Figura 3

Vetë termi "shpejtësi" karakterizon varësinë e një ndryshimi në një sasi nga një ndryshim në një tjetër, dhe kjo e fundit nuk duhet të jetë domosdoshmërisht koha.

Pra, tangjentja e këndit të prirjes së sekantit tg = .

Ne jemi të interesuar për varësinë e ndryshimeve në sasi në një periudhë më të shkurtër kohore. Le ta drejtojmë rritjen e argumentit në zero. Atëherë ana e djathtë e formulës është derivati i funksionit në pikën A (shpjegoni pse). Nëse x –> 0, atëherë pika M lëviz përgjatë grafikut në pikën A, që do të thotë se drejtëza AM po i afrohet një drejtëze AB, e cila është tangjente me grafikun e funksionit y = f(x) në pikën A. (Fig. 3)

Këndi i prirjes së sekantës priret në këndin e prirjes së tangjentes.

Kuptimi gjeometrik derivati është që vlera e derivatit në një pikë është e barabartë me shpat tangjente me grafikun e një funksioni në një pikë.

Kuptimi mekanik i derivatit.

Tangjenti i këndit tangjent është një vlerë që tregon shpejtësinë e menjëhershme të ndryshimit të funksionit në një pikë të caktuar, domethënë një karakteristikë e re e procesit që studiohet. Leibniz e quajti këtë sasi derivatore, dhe Njutoni tha se vetë derivati quhet i çastit shpejtësia.

IV. Minuta e edukimit fizik.

V. Zgjidhja e problemeve.

Nr. 91 (1) faqe 91 - tregojnë në tabelë.

Koeficienti këndor i tangjentës në lakoren f(x) = x 3 në pikën x 0 – 1 është vlera e derivatit të këtij funksioni në x = 1. f’(1) = 3x 2 ; f'(1) = 3.

Nr 91 (3.5) – diktim.

Nr. 92 (1) - në tabelë nëse dëshironi.

Nr. 92 (3) – në mënyrë të pavarur me testim me gojë.

Nr. 92 (5) - në bord.

Përgjigjet: 45 0, 135 0, 1.5 e 2.

VI. Puna laboratorike.

Qëllimi: zhvillimi i konceptit " sensi mekanik derivat".

Zbatimet e derivateve në mekanikë.

Ligji është vendosur lëvizje drejtvizore pikat x = x(t), t.

Shpejtësia mesatare e lëvizjes për një periudhë të caktuar kohe;
Shpejtësia dhe nxitimi në kohën t 04
Momentet e ndalimit; nëse pika pas momentit të ndalimit vazhdon të lëvizë në të njëjtin drejtim apo fillon të lëvizë në drejtim të kundërt;
Shpejtësia më e lartë lëvizjet për një periudhë të caktuar kohore.

Puna kryhet sipas 12 opsioneve, detyrat janë të diferencuara sipas nivelit të kompleksitetit (opsioni i parë është niveli më i ulët i kompleksitetit).

Para fillimit të punës, një bisedë për pyetjet e mëposhtme:

Çfarë kuptimi fizik derivati i zhvendosjes? (Shpejtësia).
A është e mundur të gjendet derivati i shpejtësisë?
A përdoret kjo sasi në fizikë? si quhet? (Nxitimi). Shpejtësia e menjëhershme
e barabartë me zero. Çfarë mund të thuhet për lëvizjen e trupit në këtë moment? (Ky është momenti i ndalimit).

Cili është kuptimi fizik i pohimeve të mëposhtme: derivati i lëvizjes është i barabartë me zero në pikën t 0; a ndryshon derivati kur kalon nga pika t 0? (Trupi ndalon; drejtimi i lëvizjes ndryshon në të kundërtën).

Një shembull i punës së studentëve.

Figura 4

NË drejtim të kundërt.

Le të vizatojmë një diagram skematik të shpejtësisë. Shpejtësia më e lartë arrihet në pikë

t=10, v (10) =3· 10 2 -4· 10 =300-40=260

Figura 5

VII. Duke përmbledhur mësimin

1) Cili është kuptimi gjeometrik i derivatit?
2) Cili është kuptimi mekanik i një derivati?
3) Nxirrni një përfundim për punën tuaj.

VIII. Komentimi i detyrave të shtëpisë.

Faqe 90. Nr.91(2,4,6), Nr.92(2,4,6,), fq 92 Nr.

Literatura e përdorur

Teksti mësimor Algjebra dhe fillimet e analizës.
Autorë: Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkaçeva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunina.
Redaktuar nga A. B. Zhizhchenko.
Algjebra klasa e 11-të. Planet e mësimit sipas librit shkollor nga Sh.Alimov, Yu. Pjesa 1.
Burimet e internetit:

Abstrakt mësim i hapur mësues i GBPOU " Kolegji i Mësuesve Nr. 4 Shën Petersburg"

Martusevich Tatyana Olegovna

Data: 29.12.2014.

Tema: Kuptimi gjeometrik i derivateve.

Lloji i mësimit: mësimi i materialit të ri.

Metodat e mësimdhënies: vizual, pjesërisht kërkim.

Qëllimi i mësimit.

Prezantoni konceptin e një tangjente në grafikun e një funksioni në një pikë, zbuloni se cili është kuptimi gjeometrik i derivatit, nxirrni ekuacionin e tangjentes dhe mësoni se si ta gjeni atë.

Objektivat arsimore:

Të arrijë të kuptojë kuptimin gjeometrik të derivatit; nxjerrja e ekuacionit tangjente; mësoni të zgjidhni problemet themelore;

të sigurojë përsëritjen e materialit me temën "Përkufizimi i një derivati";

krijojnë kushte për kontroll (vetëkontroll) të njohurive dhe aftësive.

Detyrat zhvillimore:

nxisin formimin e aftësive për të zbatuar teknikat e krahasimit, përgjithësimit dhe nxjerrjes në pah të gjësë kryesore;

vazhdojnë zhvillimin e horizonteve matematikore, të menduarit dhe të folurit, vëmendjes dhe kujtesës.

Detyrat edukative:

nxisin interesin për matematikën;

edukimi i aktivitetit, lëvizshmëria, aftësitë e komunikimit.

Lloji i mësimit – një mësim i kombinuar duke përdorur TIK.

Pajisjet – instalim multimedial, prezantimMicrosoftFuqiaPika.

Faza e mësimit

Koha

Veprimtaritë e mësuesit

Veprimtaria e nxënësve

1. Momenti organizativ.

Tregoni temën dhe qëllimin e mësimit.

Tema: Kuptimi gjeometrik i derivateve.

Qëllimi i mësimit.

Përgatitja e nxënësve për punë në klasë.

Përgatitja për punë në klasë.

Kuptimi i temës dhe qëllimit të mësimit.

Mbajtja e shënimeve.

2. Përgatitja për mësimin e materialit të ri nëpërmjet përsëritjes dhe përditësimit njohuri të sfondit.

Organizimi i përsëritjes dhe përditësimit të njohurive bazë: përcaktimi i derivatit dhe formulimi i kuptimit fizik të tij.

Formulimi i përkufizimit të një derivati dhe formulimi i kuptimit fizik të tij. Përsëritja, përditësimi dhe konsolidimi i njohurive bazë.

Organizimi i përsëritjes dhe zhvillimi i aftësisë për të gjetur një derivat funksioni i fuqisë dhe funksionet elementare.

Gjetja e derivatit të këtyre funksioneve duke përdorur formulat.

Përsëritja e vetive funksion linear.

Përsëritja, perceptimi i vizatimeve dhe thënieve të mësuesit

3. Puna me materialin e ri: shpjegim.

Shpjegimi i kuptimit të marrëdhënies ndërmjet rritjes së funksionit dhe rritjes së argumentit

Shpjegimi i kuptimit gjeometrik të derivatit.

Prezantimi i materialit të ri përmes shpjegimeve verbale duke përdorur imazhe dhe mjete ndihmëse vizuale: prezantim multimedial me animacion.

Perceptimi i shpjegimit, të kuptuarit, përgjigjja e pyetjeve të mësuesit.

Formulimi i një pyetjeje mësuesit në rast vështirësie.

Perceptimi informacione të reja, të kuptuarit dhe të kuptuarit parësor të tij.

Formulimi i pyetjeve për mësuesin në rast vështirësie.

Krijimi i një shënimi.

Formulimi i kuptimit gjeometrik të derivatit.

Shqyrtimi i tre rasteve.

Marrja e shënimeve, bërja e vizatimeve.

4. Puna me material të ri.

Kuptimi dhe zbatimi parësor i materialit të studiuar, konsolidimi i tij.

Në cilat pika është derivati pozitiv?

Negative?

E barabartë me zero?

Trajnim për gjetjen e një algoritmi për t'iu përgjigjur pyetjeve sipas një plani.

Kuptimi, kuptimi dhe aplikimi i informacionit të ri për të zgjidhur një problem.

5. Kuptimi dhe zbatimi parësor i materialit të studiuar, konsolidimi i tij.

Mesazhi i kushteve të detyrës.

Regjistrimi i kushteve të detyrës.

Formulimi i një pyetjeje mësuesit në rast vështirësie

6. Zbatimi i njohurive: punë e pavarur arsimore.

Zgjidheni problemin vetë:

Zbatimi i njohurive të marra.

Punë e pavarur mbi zgjidhjen e problemit të gjetjes së derivatit nga një vizatim. Diskutim dhe verifikim i përgjigjeve në dyshe, formulim i një pyetjeje mësuesit në rast vështirësie.

7. Puna me materialin e ri: shpjegim.

Nxjerrja e ekuacionit të një tangjente në grafikun e një funksioni në një pikë.

Shpjegim i detajuar nxjerrja e ekuacionit të një tangjente me grafikun e një funksioni në një pikë duke përdorur një prezantim multimedial për qartësi, duke iu përgjigjur pyetjeve të nxënësve.

Nxjerrja e ekuacionit tangjente së bashku me mësuesin. Përgjigjet e pyetjeve të mësuesit.

Marrja e shënimeve, krijimi i një vizatimi.

8. Puna me materialin e ri: shpjegim.

Në një dialog me nxënësit, nxjerrja e një algoritmi për gjetjen e ekuacionit të një tangjente në grafikun e një funksioni të caktuar në një pikë të caktuar.

Në një dialog me mësuesin, nxirrni një algoritëm për gjetjen e ekuacionit të tangjentes me grafikun e një funksioni të caktuar në një pikë të caktuar.

Mbajtja e shënimeve.

Mesazhi i kushteve të detyrës.

Trajnim në zbatimin e njohurive të marra.

Organizimi i kërkimit të mënyrave për të zgjidhur një problem dhe zbatimi i tyre. analiza e detajuar zgjidhje me shpjegim.

Regjistrimi i kushteve të detyrës.

Bërja e supozimeve për mënyrat e mundshme zgjidhja e problemit gjatë zbatimit të secilës pikë të planit të veprimit. Zgjidhja e problemit së bashku me mësuesin.

Regjistrimi i zgjidhjes së problemit dhe përgjigjes.

9. Zbatimi i njohurive: punë e pavarur me karakter mësimor.

Kontroll individual. Konsulencë dhe asistencë për studentët sipas nevojës.

Kontrolloni dhe shpjegoni zgjidhjen duke përdorur një prezantim.

Zbatimi i njohurive të marra.

Punë e pavarur për zgjidhjen e problemit të gjetjes së derivatit nga vizatimi. Diskutim dhe verifikim i përgjigjeve në dyshe, formulim i një pyetjeje mësuesit në rast vështirësie

10. Detyrë shtëpie.

§48, detyrat 1 dhe 3, kuptoni zgjidhjen dhe shkruani në një fletore, me vizatime.

№ 860 (2,4,6,8),

Mesazh i detyrave të shtëpisë me komente.

Regjistrimi i detyrave të shtëpisë.

11. Përmbledhje.

Përsëritëm përkufizimin e derivatit; kuptimi fizik i derivatit; vetitë e një funksioni linear.

Mësuam se cili është kuptimi gjeometrik i një derivati.

Mësuam të nxjerrim ekuacionin e një tangjente me grafikun e një funksioni të caktuar në një pikë të caktuar.

Korrigjimi dhe sqarimi i rezultateve të mësimit.

Renditja e rezultateve të mësimit.

12. Reflektimi.

1. Mësimin e keni gjetur: a) të lehtë; b) zakonisht; c) e vështirë.

a) e kam zotëruar plotësisht, mund ta zbatoj;

b) e kanë mësuar, por e kanë të vështirë ta zbatojnë;

c) nuk e kuptova.

3. Prezantimi multimedial në klasë:

a) ndihmoi në zotërimin e materialit; b) nuk ndihmoi në zotërimin e materialit;

c) ndërhynë në asimilimin e materialit.

Kryerja e reflektimit.

Lloji i punës: 7

gjendja

Drejtëza y=3x+2 është tangjente me grafikun e funksionit y=-12x^2+bx-10. Gjeni b, duke pasur parasysh se abshisa e pikës tangjente.

më pak se zero

Trego zgjidhje

Zgjidhje

Le të jetë x_0 abshisa e pikës në grafikun e funksionit y=-12x^2+bx-10 nëpër të cilën kalon tangjentja e këtij grafiku. Vlera e derivatit në pikën x_0 është e barabartë me pjerrësinë e tangjentes, pra y"(x_0)=-24x_0+b=3. Nga ana tjetër, pika e tangjences i përket njëkohësisht të dy grafikëve të funksionin dhe tangjenten, pra -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2

Duke zgjidhur këtë sistem, marrim x_0^2=1, që do të thotë ose x_0=-1 ose x_0=1.

Sipas kushtit të abshisës, pikat tangjente janë më të vogla se zero, pra x_0=-1, pastaj b=3+24x_0=-21.

Lloji i punës: 7
Përgjigju

gjendja

Tema: Kuptimi gjeometrik i derivateve. Tangjente me grafikun e një funksioni

më pak se zero

Trego zgjidhje

Drejtëza y=-3x+4 është paralele me tangjenten në grafikun e funksionit y=-x^2+5x-7. Gjeni abshisën e pikës tangjente. Pjerrësia e drejtëzës në grafikun e funksionit y=-x^2+5x-7 në

pikë arbitrare

Sipas kushtit të abshisës, pikat tangjente janë më të vogla se zero, pra x_0=-1, pastaj b=3+24x_0=-21.

x_0 është e barabartë me y"(x_0). Por y"=-2x+5, që do të thotë y"(x_0)=-2x_0+5. Pjerrësia e drejtëzës y=-3x+4 e specifikuar në kusht është e barabartë me -3 Drejtëza paralele kanë të njëjtin koeficient këndor, pra gjejmë një vlerë x_0 të tillë që =-2x_0 +5=-3.

Lloji i punës: 7
Përgjigju

gjendja

më pak se zero

Trego zgjidhje

Ne marrim: x_0 = 4.

Burimi: “Matematika. Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit 2017. Niveli i profilit." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Nga figura përcaktojmë se tangjentja kalon nëpër pikat A(-6; 2) dhe B(-1; 1). Le të shënojmë me C(-6; 1) pikën e prerjes së drejtëzave x=-6 dhe y=1 dhe me \alfa këndin ABC (në figurë mund ta shihni se është akut). Pastaj drejtëza AB formon një kënd \pi -\alfa me drejtimin pozitiv të boshtit Ox, i cili është i mpirë. Siç dihet, tg(\pi -\alpha) do të jetë vlera e derivatit të funksionit f(x) në pikën x_0.

Sipas kushtit të abshisës, pikat tangjente janë më të vogla se zero, pra x_0=-1, pastaj b=3+24x_0=-21.

Lloji i punës: 7
Përgjigju

gjendja

Vini re se tg \alfa =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15..

më pak se zero

Trego zgjidhje

Nga këtu, duke përdorur formulat e reduktimit, marrim:

tg(\pi -\alfa) =-tg \alfa =-\frac15=-0.2.

Drejtëza y=-2x-4 është tangjente me grafikun e funksionit y=16x^2+bx+12. Gjeni b, duke pasur parasysh se abshisa e pikës tangjente

më i madh se zero

Sipas kushtit të abshisës, pikat tangjente janë më të vogla se zero, pra x_0=-1, pastaj b=3+24x_0=-21.

Lloji i punës: 7
Përgjigju

gjendja

Le të jetë x_0 abshisa e pikës në grafikun e funksionit y=16x^2+bx+12 përmes së cilës

më pak se zero

Trego zgjidhje

është tangjent me këtë grafik. Vlera e derivatit në pikën x_0 është e barabartë me pjerrësinë e tangjentes, pra y"(x_0)=32x_0+b=-2. Nga ana tjetër, pika e tangjences i përket njëkohësisht të dy grafikëve të funksionin dhe tangjenten, pra 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4\fillimi(rastet) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \fund (rastet)

Sipas kushtit të abshisës, pikat tangjente janë më të vogla se zero, pra x_0=-1, pastaj b=3+24x_0=-21.

Lloji i punës: 7
Përgjigju

gjendja

Drejtëza y=4x-6 është paralele me tangjenten në grafikun e funksionit y=x^2-4x+9.

më pak se zero

Trego zgjidhje

Gjeni abshisën e pikës tangjente.

Sipas kushtit të abshisës, pikat tangjente janë më të vogla se zero, pra x_0=-1, pastaj b=3+24x_0=-21.

Lloji i punës: 7
Përgjigju

gjendja

Pjerrësia e tangjentes me grafikun e funksionit y=x^2-4x+9 në një pikë arbitrare x_0 është e barabartë me y"(x_0). Por y"=2x-4, që do të thotë y"(x_0)= 2x_0-4 Pjerrësia e tangjentes y =4x-7, e specifikuar në kusht, është e barabartë me 4. Vijat paralele kanë të njëjtin koeficient këndor, pra, gjejmë një vlerë prej x_0 të tillë që 2x_0-4=4.

më pak se zero

Trego zgjidhje

Në figurë paraqitet grafiku i funksionit y=f(x) dhe tangjentja me të në pikën me abshisën x_0.

Gjeni vlerën e derivatit të funksionit f(x) në pikën x_0.

Nga figura përcaktojmë se tangjentja kalon nëpër pikat A(1; 1) dhe B(5; 4).

Le të shënojmë me C(5; 1) pikën e prerjes së drejtëzave x=5 dhe y=1 dhe me \alfa këndin BAC (në figurë mund ta shihni se është akut). Pastaj drejtëza AB formon një kënd \alfa me drejtimin pozitiv të boshtit Ox. Subjekti. Derivat. Kuptimi gjeometrik dhe mekanik i derivatit

Nëse ky kufi ekziston, atëherë funksioni thuhet se është i diferencueshëm në një pikë. Derivati i një funksioni shënohet me (formula 2).

Kuptimi gjeometrik i derivatit.

Le të shohim grafikun e funksionit. Nga figura 1 është e qartë se për çdo dy pika A dhe B të grafikut të funksionit, formula 3 mund të shkruhet). Ai përmban këndin e prirjes së sekantit AB. Kështu, raporti i diferencës është i barabartë me pjerrësinë e sekantit. Nëse rregulloni pikën A dhe lëvizni pikën B drejt saj, atëherë ajo zvogëlohet pa kufi dhe i afrohet 0, dhe sekanti AB i afrohet tangjentës AC. Prandaj, kufiri i raportit të diferencës është i barabartë me pjerrësinë e tangjentes në pikën A. Kjo të çon në përfundimin. Derivati i një funksioni në një pikë është pjerrësia e tangjentes ndaj grafikut të këtij funksioni në atë pikë. Ky është kuptimi gjeometrik i derivatit. Ekuacioni tangjent

. Le të nxjerrim ekuacionin e tangjentes në grafikun e funksionit në një pikë. NËrast i përgjithshëm ekuacioni i drejtëzës me koeficient këndor ka formën: . Për të gjetur b, përfitojmë nga fakti që tangjentja kalon në pikën A: . Më poshtë vijon: . Duke zëvendësuar këtë shprehje në vend të b, marrim ekuacionin tangjent (formula 4). Kuptimi gjeometrik i derivatit. Detyrat e provimit që lidhen me këtë temë sjellin disa vështirësi për maturantët. Shumica e tyre janë në fakt shumë të thjeshta.

* Për më tepër, në këto problema, në skicë janë shënuar qartë të paktën dy pika nëpër të cilat kalon kjo tangjente. Çfarë duhet të dini për të zgjidhur?

Le të ndërtojmë një grafik arbitrar të një funksioni të caktuar y = f (x) në rrafshi koordinativ, ndërtoni një tangjente në pikën x o, le ta shënojmë këndin midis drejtëzës dhe boshtit të kaut si α (alfa)

Nga kursi i algjebrës dimë se ekuacioni i një drejtëze ka formën:

Domethënë derivati i funksionity = f(x) në pikën x 0 e barabartë me pjerrësinë e tangjentes:

Dhe koeficienti këndor nga ana tjetër e barabartë me tangjenten këndi α (alfa), që është:

Këndi α (alfa) mund të jetë më i vogël se, më i madh se 90 gradë, ose e barabartë me zero.

Le të ilustrojmë dy raste:

1. Këndi tangjent është më i madh se 90 gradë (kënd i mpirë).

2. Këndi i prirjes së tangjentës është zero gradë (tangjentja është paralele me boshtin Oh).

Kjo do të thotë, problemet në të cilat është dhënë një grafik i një funksioni, një tangjente me këtë grafik në një pikë të caktuar, dhe kërkohet të gjendet derivati në pikën e tangjences, reduktohen në gjetjen e pjerrësisë së tangjentes (ose tangjenta e këndit të prirjes së tangjentes, që është e njëjta gjë).

Më poshtë do të shqyrtojmë zgjidhjen e problemeve të tilla duke gjetur tangjenten e këndit ndërmjet boshtit tangjente dhe boshtit të abshisës (boshtiOh), do të shqyrtojmë një metodë tjetër zgjidhjeje (gjetja e derivatit përmes koeficientit këndor) në të ardhmen e afërt. Do të shqyrtojmë gjithashtu problemet ku kërkohet njohja e vetive të derivatit për të lexuar grafikun e një funksioni. Mos e humbisni!

Ju lutemi vini re se në planin koordinativ ka dy pika nëpër të cilat kalon tangjentja - kjo është shumë pikë e rëndësishme(dikush mund të thotë kyç në këto detyra).

Çfarë tjetër nevojitet?- kjo është njohuri për tangjenten e një këndi të mpirë.

y = f(x) x 0 y = f(x) në pikën x 0 .

Vlera e derivatit në pikën e tangjences është e barabartë me pjerrësinë e tangjentes, e cila nga ana e saj është e barabartë me tangjenten e këndit të prirjes së kësaj tangjente me boshtin e abshisës. Për të gjetur tangjentën e këtij këndi, ndërtojmë trekëndësh kënddrejtë, ku segmenti i kufizuar nga dy pika në grafik do të jetë hipotenuza, dhe këmbët janë paralele me boshtet. Në këtë problem këto janë pikat (–5; –4), (1; 5).

Më lejoni t'ju kujtoj: tangjente kënd akut në një trekëndësh kënddrejtë quhet raporti këmbën e kundërt tek ajo ngjitur.

Këmbët përcaktohen nga numri i qelizave.

Këndi i prirjes së tangjentes me boshtin e abshisës e barabartë me këndin BAC , Oh. Mjetet

Përgjigje: 1.5

y = f(x) x 0 y = f(x) në pikën x 0 .

Detyra është e ngjashme me atë të mëparshme. Ndërtojmë gjithashtu një trekëndësh kënddrejtë, ku segmenti i kufizuar nga dy pika në grafik do të jetë hipotenuza. Në këtë problem këto janë pikat (–5; –7), (3; 3).

Këmbët përcaktohen gjithashtu nga numri i qelizave.

Këndi i prirjes së tangjentes me boshtin x është i barabartë me këndin BAC , meqë këmba AC është paralele me boshtin Oh. Mjetet

Përgjigje: 1.25

Figura tregon grafikun e funksionity = f(x) dhe tangjenten me të në pikën e abshisëx 0 . Gjeni vlerën e derivatit të funksionity = f(x) në pikën x 0 .

Ndërtojmë një trekëndësh kënddrejtë, ku segmenti i kufizuar nga dy pika në grafik do të jetë hipotenuza. Në këtë problem këto janë pikat (–3; 3) dhe (5; 11). Nga pika (5;11) ndërtojmë një vazhdim të këmbës në mënyrë që të marrim një kënd të jashtëm.

Meqenëse CD është paralel me boshtin x, këndi ABD është i barabartë me këndin e prirjes së tangjentes me boshtin x. Kështu, ne do të llogarisim tangjenten e këndit ABD. Vini re se është më shumë se 90 gradë, kështu që këtu duhet të përdorni formulën e reduktimit për tangjentën:

Mjetet

*Gjatësia e këmbëve llogaritet me numrin e qelizave.

Përgjigje: -1.75

Figura tregon grafikun e funksionit y = f(x) dhe tangjenten me të në pikën e abshisë x 0 . Gjeni vlerën e derivatit të funksionit y = f(x) në pikën x 0 . x 0

Kjo është e gjitha! Ju uroj fat!

Sinqerisht, Alexander Krutitskikh.

P.S: Do të isha mirënjohës nëse më tregoni për faqen në rrjetet sociale.