Asimptotat e grafikut të një funksioni

Asimptota e grafikut të një funksioni y = f(x) është një drejtëz që ka vetinë që distanca nga pika (x, f(x)) në këtë drejtëz të priret në zero ndërsa pika e grafikut lëviz pafundësisht nga origjina.

Në figurën 3.10. dhënë shembuj grafikë vertikale, horizontale Dhe të prirur asimptotë.

Gjetja e asimptotave të grafikut bazohet në tre teoremat e mëposhtme.

Teorema e asimptotës vertikale. Le të përcaktohet funksioni y = f(x) në ndonjë fqinjësi të pikës x 0 (duke përjashtuar, ndoshta, vetë këtë pikë) dhe të paktën një nga kufijtë e njëanshëm të funksionit është i barabartë me pafundësinë, d.m.th. Atëherë drejtëza x = x 0 është asimptota vertikale e grafikut të funksionit y = f(x).

Natyrisht, drejtëza x = x 0 nuk mund të jetë një asimptotë vertikale nëse funksioni është i vazhdueshëm në pikën x 0, pasi në këtë rast . Prandaj, asimptota vertikale duhet të kërkohet në pikat e ndërprerjes së funksionit ose në skajet e fushës së përkufizimit të tij.

Teorema e asimptotës horizontale. Le të përcaktohet funksioni y = f(x) për x mjaftueshëm të madh dhe të ekzistojë kufiri përfundimtar funksionet Atëherë drejtëza y = b është asimptota horizontale e grafikut të funksionit.

Komentoni. Nëse vetëm një nga kufijtë është i kufizuar, atëherë funksioni ka, në përputhje me rrethanat, mëngjarash ose me anën e djathtë asimptotë horizontale.

Në rast se , funksioni mund të ketë një asimptotë të zhdrejtë.

Teorema e asimptotës së zhdrejtë. Le të përcaktohet funksioni y = f(x) për x mjaftueshëm të madh dhe të ketë kufij të fundëm . Atëherë drejtëza y = kx + b është asimptota e pjerrët e grafikut të funksionit.

Asnjë provë.

Një asimptotë e zhdrejtë, ashtu si ajo horizontale, mund të jetë djathtas ose majtas nëse baza e kufijve përkatës përmban pafundësinë e një shenje të caktuar.

Studimi i funksioneve dhe ndërtimi i grafikëve të tyre zakonisht përfshin hapat e mëposhtëm:

1. Gjeni domenin e përkufizimit të funksionit.

2. Shqyrtoni funksionin për çift-teksinë.

3. Gjeni asimptota vertikale duke ekzaminuar pikat e ndërprerjes dhe sjelljen e funksionit në kufijtë e fushës së përkufizimit, nëse ato janë të fundme.

4. Gjeni asimptota horizontale ose të zhdrejta duke shqyrtuar sjelljen e funksionit në pafundësi.

Përkufizimi . Një asimptotë e grafikut të një funksioni është një vijë e drejtë që ka vetinë që distanca nga një pikë në grafikun e një funksioni në këtë vijë të drejtë priret në zero ndërsa pika e grafikut lëviz pafundësisht nga origjina..

Sipas metodave të gjetjes së tyre, dallohen tre lloje asimptotash: vertikale, horizontale, të zhdrejtë.

Natyrisht, ato horizontale janë raste të veçanta të atyre të pjerrëta (në ).

Gjetja e asimptotave të grafikut të një funksioni bazohet në pohimet e mëposhtme.

Teorema 1 . Le të përcaktohet funksioni të paktën në një gjysmë fqinjësi të një pike dhe të paktën një nga kufijtë e tij të njëanshëm në këtë pikë është i pafund, d.m.th. barazohet. Atëherë vija e drejtë është asimptota vertikale e grafikut të funksionit.

Kështu, asimptotat vertikale të grafikut të një funksioni duhet të kërkohen në pikat e ndërprerjes së funksionit ose në skajet e domenit të tij të përkufizimit (nëse këta janë numra të fundëm).

Teorema 2 . Lëreni funksionin të përcaktohet për vlerat e argumenteve mjaftueshëm të mëdha në vlerë absolute, dhe ekziston një kufi i kufizuar i funksionit . Atëherë vija e drejtë është asimptota horizontale e grafikut të funksionit.

Mund të ndodhë që , A , dhe janë numra të fundëm, atëherë grafiku ka dy asimptota të ndryshme horizontale: majtas dhe djathtas. Nëse ekziston ose ekziston vetëm një nga kufijtë e fundëm, atëherë grafiku ka ose një asimptotë horizontale të majtë ose të djathtë.

Teorema 3 . Le të përcaktohet funksioni për vlerat e argumentit që janë mjaftueshëm të mëdha në vlerë absolute dhe ka kufij të fundëm Dhe . Atëherë drejtëza është asimptota e zhdrejtë e grafikut të funksionit.

Vini re se nëse të paktën njëri prej këtyre kufijve është i pafund, atëherë nuk ka asimptotë të zhdrejtë.

Një asimptotë e zhdrejtë, si ajo horizontale, mund të jetë e njëanshme.

Shembull. Gjeni të gjitha asimptotat e grafikut të funksionit.

Zgjidhje.

Funksioni është përcaktuar në. Le të gjejmë kufijtë e tij të njëanshëm në pika.

Sepse Dhe (dy kufijtë e tjerë të njëanshëm mund të mos gjenden më), atëherë vijat e drejta janë asimptota vertikale të grafikut të funksionit.

Le të llogarisim

(zbatoni rregullin e L'Hopital) = .

Kjo do të thotë se vija e drejtë është një asimptotë horizontale.

Meqenëse asimptota horizontale ekziston, ne nuk po kërkojmë më ato të prirura (ato nuk ekzistojnë).

Përgjigju: Grafiku ka dy asimptota vertikale dhe një horizontale.

Hulumtimi i funksionit të përgjithshëmy = f (x ).

Shtrirja e funksionit. Gjeni fushën e përkufizimit të tij D(f) . Nëse nuk është shumë e vështirë, është e dobishme të gjesh gjithashtu gamën E(f) . (Megjithatë, në shumë raste, çështja e gjetjes E(f) shtyhet derisa të gjendet ekstremi i funksionit.)

Karakteristikat e veçanta të funksionit. Zbulojeni vetitë e përgjithshme funksionet: çift, tek, periodicitet etj. Jo çdo funksion ka veti të tilla si çift ose tek. Një funksion nuk është padyshim as çift dhe as tek nëse domeni i tij i përkufizimit është asimetrik në lidhje me pikën 0 në bosht kau.

Në të njëjtën mënyrë, për çdo funksion periodik, fusha e përkufizimit përbëhet ose nga i gjithë boshti real ose nga bashkimi i sistemeve periodike të intervaleve që përsëriten. Asimptota vertikale. D(f Zbuloni se si sillet funksioni kur argumenti u afrohet pikave kufitare të fushës së përkufizimit

), nëse ekzistojnë pika të tilla kufitare. Në këtë rast, mund të shfaqen asimptota vertikale. Nëse një funksion ka pika ndërprerjeje në të cilat nuk është i përcaktuar, atëherë këto pika duhet të kontrollohen edhe për praninë e asimptotave vertikale të funksionit. D(f Asimptota të zhdrejta dhe horizontale. Nëse fusha e përkufizimit : y = ) përfshin rrezet e formës (a;+) ose (−;b), atëherë mund të përpiqeni të gjeni asimptota të zhdrejta (ose asimptota horizontale) për x+ ose x−, përkatësisht, d.m.th. gjeni limxf(x). + Asimptota të zhdrejta kx b, : y = Asimptota të zhdrejta ku k=limx+xf(x) dhe b=limx+(f(x)−x).

Asimptotat janë horizontale ku limxf(x)=b. Gjetja e pikave të kryqëzimit të grafikut me boshtet. f Gjetja e pikës së prerjes së grafikut me boshtin kau Oy f(x.

Për ta bërë këtë, duhet të llogarisni vlerën(0). Gjeni edhe pikat e prerjes së grafikut me boshtin, pse të gjejmë rrënjët e ekuacionit

) = 0 (ose sigurohuni që të mos ketë rrënjë). Ekuacioni shpesh mund të zgjidhet vetëm përafërsisht, por ndarja e rrënjëve ndihmon për të kuptuar më mirë strukturën e grafikut. Më pas, duhet të përcaktoni shenjën e funksionit në intervalet midis rrënjëve dhe pikave të ndërprerjes.), në të cilën derivati ​​i dytë është i barabartë me 0 ose nuk ekziston, atëherë në këto pika është gjithashtu e dobishme të llogaritet vlera e funksionit. Pasi kemi gjetur f(x) zgjidhim pabarazinë f(x)0.

Në secilin prej intervaleve të zgjidhjes, funksioni do të jetë konveks poshtë. Duke zgjidhur mosbarazimin e anasjelltë f(x)0, gjejmë intervalet në të cilat funksioni është konveks lart (pra konkav). Ne përcaktojmë pikat e lakimit si ato pika në të cilat funksioni ndryshon drejtimin e konveksitetit (dhe është i vazhdueshëm). Hiperbola quhet vendndodhja

pikat, diferenca në distancat në dy pika të dhëna, të quajtura vatra, është një vlerë konstante (kjo konstante duhet të jetë pozitive dhe më e vogël se distanca midis vatrave). Le ta shënojmë këtë konstante me 2a, distancën midis vatrave dhe të zgjedhim boshtet e koordinatave në të njëjtën mënyrë si në § 3. Le të - pikë arbitrare

hiperbolë.

Sipas përkufizimit të hiperbolës

Në anën e djathtë të barazisë ju duhet të zgjidhni një shenjë plus nëse dhe një shenjë minus nëse

Meqenëse barazia e fundit mund të shkruhet në formën:

Ky është ekuacioni i hiperbolës në sistemin koordinativ të zgjedhur.

Duke u çliruar nga radikalët në këtë ekuacion (si në § 3), ne mund ta reduktojmë ekuacionin në formën e tij më të thjeshtë. Transferimi i radikalit të parë në anën e djathtë

barazi dhe katror të të dyja palëve, pas transformimeve të dukshme marrim: Edhe një herë duke bërë katror të dy anët e barazisë, duke bërë reduktimin anëtarë të ngjashëm dhe duke e ndarë me anëtar i lirë

, marrim:

Meqenëse , vlera është pozitive. Duke e treguar atë përmes , d.m.th., duke supozuar marrim pikë arbitrare

ekuacioni kanonik

Le të shqyrtojmë formën e një hiperbole.

1) Simetritë e hiperbolës. Meqenëse ekuacioni (3) përmban vetëm katrorët e koordinatave aktuale, boshtet e koordinatave janë boshtet e simetrisë së hiperbolës (shih një deklaratë të ngjashme për elipsin). Boshti i simetrisë së hiperbolës në të cilën ndodhen vatra quhet bosht fokal. Pika e kryqëzimit të boshteve të simetrisë - qendra e simetrisë - quhet qendra e hiperbolës. Për hiperbolën e dhënë nga ekuacioni (3), boshti fokal përkon me boshtin Ox, dhe qendra është origjina.

2) Pikat e kryqëzimit me boshtet e simetrisë. Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të hiperbolës me boshtet e simetrisë - kulmet e hiperbolës. Duke supozuar në ekuacion, gjejmë abshisat e pikave të kryqëzimit të hiperbolës me boshtin

Rrjedhimisht, pikat janë kulmet e hiperbolës (Fig. 51); distanca ndërmjet tyre është 2a. Për të gjetur pikat e kryqëzimit me boshtin Oy, vendosim në ekuacion për të përcaktuar ordinatat e këtyre pikave, marrim ekuacionin

Në përputhje me këtë, quhet boshti i simetrisë që pret hiperbolën bosht real simetria (boshti fokal), boshti i simetrisë që nuk e pret hiperbolën quhet bosht imagjinar i simetrisë. Për një hiperbolë të dhënë nga ekuacioni (3), boshti real i simetrisë është boshti, boshti imagjinar i simetrisë është boshti Segmenti që lidh kulmet e hiperbolës, si dhe gjatësia e saj 2a, quhen bosht real të. hiperbola. Nëse në boshtin imagjinar të simetrisë së një hiperbole vizatojmë segmentet OB dhe gjatësinë b në të dy anët e qendrës së saj O, atëherë segmenti dhe gjatësia e tij quhen bosht imagjinar të hiperbolës. Madhësitë a dhe b quhen përkatësisht gjysmëboshtet reale dhe imagjinare të hiperbolës.

3) Forma e hiperbolës. Kur studioni formën e një hiperbole, mjafton të merrni parasysh vlerat pozitive x dhe y, sepse kurba është e vendosur në mënyrë simetrike në lidhje me boshtet koordinative.

Meqenëse nga ekuacioni (3) rrjedh se 1, atëherë mund të ndryshojë nga a në Kur rritet nga a në atëherë Y rritet gjithashtu nga 0 në Kurba ka formën e treguar në Fig. 51. Ndodhet jashtë brezit të kufizuar me vija të drejta dhe përbëhet nga dy degë të veçanta. Për çdo pikë M të njërës prej këtyre degëve (dega e djathtë), për çdo pikë M të një dege tjetër (dega e majtë).

4) Asimptotat e një hiperbole. Për të imagjinuar më qartë llojin e hiperbolës, merrni parasysh dy linja të drejta të lidhura ngushtë me të - të ashtuquajturat asimptota.

Duke supozuar se x dhe y janë pozitive, ne zgjidhim ekuacionin (3) të hiperbolës në lidhje me ordinatat y:

Le të krahasojmë ekuacionin me ekuacionin e një drejtëze, duke thirrur dy pika përkatëse të vendosura përkatësisht në këtë drejtëz dhe në hiperbolë dhe që kanë të njëjtën abshisë (Fig. 51). Natyrisht, ndryshimi Y - y i ordinatave të pikave përkatëse shpreh distancën ndërmjet tyre, d.m.th.

Le të tregojmë se me një rritje të pakufizuar, distanca MN, vrasëse, priret në zero. Në fakt,

Pas thjeshtimit marrim:

Nga formula e fundit shohim se me një rritje të pakufizuar të abshisës, distanca MN zvogëlohet dhe priret në zero. Nga kjo rrjedh se kur pika M, duke lëvizur përgjatë hiperbolës në kuadrantin e parë, largohet në pafundësi, atëherë distanca e saj në vijën e drejtë zvogëlohet dhe priret në zero. E njëjta rrethanë do të ndodhë kur pika M lëviz përgjatë një hiperbole në kuadrantin e tretë (për shkak të simetrisë në lidhje me origjinën O).

Së fundi, për shkak të simetrisë së hiperbolës në lidhje me boshtin Oy, do të marrim një drejtëz të dytë të vendosur në mënyrë simetrike me vijën e drejtë, së cilës pika M do t'i afrohet gjithashtu pafundësisht ndërsa lëviz përgjatë hiperbolës dhe largohet në pafundësi (në kuadranti i dytë dhe i katërt).

Këto dy vija të drejta quhen asimptota të hiperbolës dhe, siç e pamë, ato kanë ekuacionet:

Natyrisht, asimptotat e hiperbolës janë të vendosura përgjatë diagonaleve të një drejtkëndëshi, njëra anë e të cilit është paralele me boshtin Ox dhe është e barabartë me 2a, tjetra është paralele me boshtin Oy dhe është e barabartë me dhe qendra shtrihet në origjina e koordinatave (shih Fig. 51).

Kur vizatoni një hiperbolë duke përdorur ekuacionin e saj, rekomandohet që fillimisht të ndërtoni asimptotat e saj.

Hiperbola barabrinjës. Në rastin e një hiperbole quhet barabrinjës; ekuacioni i tij është marrë nga (3) dhe ka formën:

Natyrisht, koeficientët këndorë të asimptotave për një hiperbolë barabrinjës do të jenë Rrjedhimisht, asimptotat e një hiperbole barabrinjës janë pingul me njëra-tjetrën dhe përgjysmojnë këndet midis boshteve të saj të simetrisë.

Asimptotat e grafikut të një funksioni

Fantazma e asimptotës ka bredhur rreth faqes për një kohë të gjatë për t'u materializuar më në fund në një artikull të veçantë dhe për të sjellë kënaqësi të veçantë për lexuesit në mëdyshje studimi i plotë i funksionit. Gjetja e asimptotave të një grafiku është një nga pjesët e pakta të kësaj detyre që mbulohet kursi shkollor vetëm në pasqyrë, pasi ngjarjet rrotullohen rreth llogaritjes kufijtë e funksionit, por ato ende lidhen me matematikë e lartë. Për vizitorët që kanë pak njohuri nga analiza matematikore, mendoj se sugjerimi është i qartë ;-) ...ndalo, ndalo, ku po shkon? Limitet- është e lehtë!

Shembuj asimptote u ndeshën menjëherë në mësimin e parë rreth grafikët e funksioneve elementare, dhe tema tani po merr një shqyrtim të detajuar.

Pra, çfarë është një asimptotë?

Imagjinoni pikë e ndryshueshme, i cili “udhëton” përgjatë grafikut të funksionit. Asimptota është drejt, tek e cila mbyllet pafundësisht grafiku i një funksioni afrohet kur e hiqni atë pikë e ndryshueshme deri në pafundësi.

Shënim : përkufizimi është kuptimplotë nëse keni nevojë për formulim në shënim analiza matematikore, ju lutemi referojuni tutorialit.

Në aeroplan, asimptotat klasifikohen sipas vendndodhjes së tyre natyrore:

1) Asimptota vertikale, të cilat jepen nga një ekuacion i formës , ku është "alfa". numër real. Një përfaqësues popullor përcakton vetë boshtin e ordinatave,
me një ndjenjë të lehtë nauzeje kujtojmë hiperbolën.

2) Asimptota të zhdrejta shkruar tradicionalisht ekuacioni i një vije të drejtë Me shpat. Ndonjëherë grup i veçantë ndajnë rast i veçantë – asimptota horizontale. Për shembull, e njëjta hiperbolë me asimptotë.

Le të shkojmë shpejt, le ta godasim temën me një shpërthim të shkurtër të mitralozit:

Sa asimptota mund të ketë grafiku i një funksioni?

Jo një, një, dy, tre, ... ose pafundësisht shumë. Ne nuk do të shkojmë larg për shembuj, le të kujtojmë funksionet elementare. Një parabolë, një parabolë kubike dhe një valë sinusale nuk kanë fare asimptota. grafiku eksponencial, funksioni logaritmik ka një asimptotë unike. Arktangjentja dhe arkotangjentja kanë dy prej tyre, dhe tangjentja dhe kotangjentja kanë pafundësisht shumë. Nuk është e pazakontë që një grafik të ketë asimptota horizontale dhe vertikale. Hiperbola, do të të dua gjithmonë.

Çfarë do të thotë?

Asimptotat vertikale të grafikut të një funksioni

Zakonisht gjendet asimptota vertikale e grafikut në pikën e ndërprerjes së pafundme funksionet. Është e thjeshtë: nëse një funksion ka një ndërprerje të pafundme në një pikë, atëherë vija e drejtë dhënë nga ekuacioniështë asimptota vertikale e grafikut.

Shënim : Ju lutemi vini re se shënimi përdoret për t'iu referuar plotësisht dy koncepte të ndryshme. Nëse një pikë nënkuptohet ose një ekuacion i një linje varet nga konteksti.

Kështu, për të vërtetuar praninë e një asimptote vertikale në një pikë, mjafton të tregohet se të paktën një nga kufijtë e njëanshëm e pafundme. Më shpesh kjo është pika ku emëruesi i funksionit e barabartë me zero. Në thelb, ne kemi gjetur tashmë asimptota vertikale në shembujt e fundit mësim mbi vazhdimësinë e një funksioni. Por në disa raste ekziston vetëm një kufi i njëanshëm, dhe nëse është i pafund, atëherë përsëri - dashuroni dhe favorizoni asimptotën vertikale. Ilustrimi më i thjeshtë: dhe boshti i ordinatave (shih. Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare).

Nga sa më sipër rrjedh edhe fakt i dukshëm: nëse funksioni është aktiv i vazhdueshëm, atëherë nuk ka asimptota vertikale. Për disa arsye më erdhi në mendje një parabolë. Vërtet, ku mund të "ngjisni" një vijë të drejtë këtu? ...po... e kuptoj... Ndjekësit e xhaxha Frojdit u bënë histerikë =)

Deklarata e kundërt në rast i përgjithshëm e pasaktë: pra, funksioni nuk është i përcaktuar në të gjithë vijën numerike, por është plotësisht i privuar nga asimptota.

Asimptota të pjerrëta të grafikut të një funksioni

Asimptotat e zhdrejta (si rast i veçantë - horizontale) mund të nxirren nëse argumenti i funksionit priret në "plus infinity" ose në "minus infinity". Kjo është arsyeja pse grafiku i një funksioni nuk mund të ketë më shumë se dy asimptota të pjerrëta. Për shembull, grafiku i një funksioni eksponencial ka vetëm një asimptotë horizontale në , dhe grafiku i arktangjentes në – dy asimptota të tilla, dhe të ndryshme në atë.

Kur grafiku në të dy vendet i afrohet një asimptote të vetme të zhdrejtë, atëherë "pafundësitë" zakonisht kombinohen nën hyrje e vetme. Për shembull, ...e keni marrë me mend saktë: .

Gjeneral rregull i madh :

Nëse janë dy final limit , atëherë drejtëza është asimptota e zhdrejtë e grafikut të funksionit në . Nëse të paktën një nga kufijtë e listuar është i pafund, atëherë nuk ka asimptotë të zhdrejtë.

Shënim : formulat mbeten të vlefshme nëse "x" tenton vetëm në "plus infinity" ose vetëm në "minus infinity".

Le të tregojmë se parabola nuk ka asimptota të zhdrejta:

Kufiri është i pafund, që do të thotë se nuk ka asimptotë të zhdrejtë. Vini re se në gjetjen e kufirit nevoja është zhdukur pasi përgjigja tashmë është marrë.

Shënim : Nëse keni (ose do të keni) vështirësi për të kuptuar shenjat plus-minus, minus-plus, ju lutemi shikoni ndihmën në fillim të mësimit
mbi funksionet infiniteminale, ku ju thashë se si t'i interpretoni saktë këto shenja.

Natyrisht, për çdo kuadratik, funksioni kub, polinomi 4 dhe gradat më të larta gjithashtu nuk ka asimptota të zhdrejta.

Tani le të sigurohemi që grafiku gjithashtu të mos ketë një asimptotë të zhdrejtë. Për të zbuluar pasigurinë ne përdorim Rregulli i L'Hopital:
, e cila ishte ajo që duhej të kontrollohej.

Megjithatë, kur funksioni rritet pafundësisht, nuk ka asnjë vijë të drejtë të cilës do t'i afrohej grafiku i tij pafundësisht afër.

Le të kalojmë në pjesën praktike të mësimit:

Si të gjejmë asimptotat e grafikut të një funksioni?

Pikërisht kështu është formuluar detyrë tipike, dhe përfshin gjetjen e TË GJITHA asimptotave të grafikut (vertikale, e pjerrët/horizontale). Edhe pse, për të qenë më të saktë në shtrimin e pyetjes, po flasim për kërkime për praninë e asimptotave (në fund të fundit, mund të mos ketë fare). Le të fillojmë me diçka të thjeshtë:

Shembulli 1

Gjeni asimptota të grafikut të një funksioni

ZgjidhjeËshtë e përshtatshme për ta ndarë atë në dy pika:

1) Fillimisht kontrollojmë nëse ka asimptota vertikale. Emëruesi shkon në zero në , dhe është menjëherë e qartë se në këtë pikë funksioni vuan hendek i pafund, dhe drejtëza e dhënë nga ekuacioni është asimptota vertikale e grafikut të funksionit. Por, para se të nxirret një përfundim i tillë, është e nevojshme të gjesh kufij të njëanshëm:

Ju kujtoj teknikën e llogaritjes në të cilën u fokusova në mënyrë të ngjashme në artikull Vazhdimësia e funksionit. Pikat e pushimit. Në shprehjen nën shenjën kufi ne zëvendësojmë . Nuk ka asgjë interesante në numërues:
.

Por në emërues rezulton pafundësisht i vogël numër negativ :
, përcakton fatin e kufirit.

Kufiri i majtë është i pafund dhe, në parim, tashmë është e mundur të merret një vendim për praninë e një asimptote vertikale. Por kufijtë e njëanshëm nevojiten jo vetëm për këtë - ato NDIHMËNË TË KUPTOHEN SI gjeni grafikun e funksionit dhe ndërtoni atë SAKTE. Prandaj, duhet të llogarisim edhe kufirin e dorës së djathtë:

konkluzioni: kufijtë e njëanshëm janë të pafund, që do të thotë se drejtëza është asimptota vertikale e grafikut të funksionit në .

Kufiri i parë të fundme, që do të thotë se është e nevojshme të "vazhdoni bisedën" dhe të gjeni kufirin e dytë:

Kufiri i dytë gjithashtu të fundme.

Pra, asimptota jonë është:

konkluzioni: drejtëza e dhënë nga ekuacioni është asimptota horizontale e grafikut të funksionit në .

Për të gjetur asimptotën horizontale
ju mund të përdorni një formulë të thjeshtuar:

Nëse ekziston të fundme kufi, atëherë drejtëza është asimptota horizontale e grafikut të funksionit në .

Është e lehtë të shihet se numëruesi dhe emëruesi i funksionit rend i njëjtë i rritjes, që do të thotë se kufiri i kërkuar do të jetë i kufizuar:

Përgjigju:

Sipas kushtit, nuk keni nevojë të përfundoni vizatimin, por nëse është në lëvizje të plotë studimi i funksionit, pastaj në draft bëjmë menjëherë një skicë:

Bazuar në tre kufijtë e gjetur, përpiquni të kuptoni vetë se si mund të vendoset grafiku i funksionit. A është fare e vështirë? Gjeni 5-6-7-8 pikë dhe shënojini ato në vizatim. Megjithatë, grafiku i këtij funksioni është ndërtuar duke përdorur shndërrimet e grafikut të një funksioni elementar, dhe lexuesit që shqyrtuan me kujdes Shembullin 21 të artikullit të mësipërm mund të marrin me mend lehtësisht se çfarë lloj lakore është kjo.

Shembulli 2

Gjeni asimptota të grafikut të një funksioni

Ky është një shembull për vendim i pavarur. Më lejoni t'ju kujtoj se procesi ndahet lehtësisht në dy pika - asimptota vertikale dhe asimptota të zhdrejtë. Në zgjidhjen e mostrës, asimptota horizontale gjendet duke përdorur një skemë të thjeshtuar.

Në praktikë, funksionet fraksionale-racionale hasen më shpesh, dhe pas trajnimit mbi hiperbolat, ne do ta komplikojmë detyrën:

Shembulli 3

Gjeni asimptota të grafikut të një funksioni

Zgjidhje: Një, dy dhe e mbaruar:

1) Gjenden asimptota vertikale në pikat e ndërprerjes së pafundme, kështu që ju duhet të kontrolloni nëse emëruesi shkon në zero. Le të vendosim ekuacioni kuadratik:

Diskriminuesi është pozitiv, kështu që ekuacioni ka dy rrënjë reale, dhe puna është rritur ndjeshëm =)

Për të gjetur më tej kufij të njëanshëm trinom kuadratik i përshtatshëm për t'u faktorizuar:
(për shënimin kompakt, "minus" u përfshi në kllapin e parë). Për të qenë në anën e sigurt, le të kontrollojmë duke hapur kllapat mendërisht ose në një draft.

Le ta rishkruajmë funksionin në formë

Le të gjejmë kufijtë e njëanshëm në pikën:

Dhe në pikën:

Pra, drejtëzat janë asimptota vertikale të grafikut të funksionit në fjalë.

2) Nëse shikoni funksionin , atëherë është mjaft e qartë se kufiri do të jetë i fundëm dhe kemi një asimptotë horizontale. Le të tregojmë prezencën e tij në një mënyrë të shkurtër:

Pra, drejtëza (boshti i abshisës) është asimptota horizontale e grafikut të këtij funksioni.

Përgjigju:

Kufijtë dhe asimptotat e gjetura japin shumë informacion rreth grafikut të funksionit. Mundohuni të imagjinoni mendërisht vizatimin duke marrë parasysh faktet e mëposhtme:

Skico versionin tuaj të grafikut në draftin tuaj.

Natyrisht, kufijtë e gjetur nuk përcaktojnë qartë pamjen e grafikut dhe mund të bëni një gabim, por vetë ushtrimi do të japë ndihmë të paçmuar gjatë studim i plotë i funksionit. Fotografia e saktë është në fund të mësimit.

Shembulli 4

Gjeni asimptota të grafikut të një funksioni

Shembulli 5

Gjeni asimptota të grafikut të një funksioni

Këto janë detyra për zgjidhje të pavarur. Të dy grafikët kanë përsëri asimptota horizontale, të cilat zbulohen menjëherë nga shenjat e mëposhtme: në shembullin 4 rendi i rritjes emërues më shumë, se rendi i rritjes së numëruesit, dhe në shembullin 5 numëruesi dhe emëruesi rend i njëjtë i rritjes. Në zgjidhjen e mostrës, funksioni i parë ekzaminohet për praninë e asimptotave të zhdrejtë plotësisht, dhe i dyti - përmes kufirit.

Asimptotat horizontale, sipas përshtypjes sime subjektive, janë dukshëm më të zakonshme se ato që janë "me të vërtetë të anuara". Rasti i përgjithshëm i shumëpritur:

Shembulli 6

Gjeni asimptota të grafikut të një funksioni

Zgjidhje: klasik i zhanrit:

1) Meqenëse emëruesi është pozitiv, atëherë funksioni të vazhdueshme përgjatë gjithë vijës numerike dhe nuk ka asimptota vertikale. ...A është mirë kjo? Nuk është fjala e duhur - e shkëlqyer! Pika nr.1 është e mbyllur.

2) Le të kontrollojmë praninë e asimptotave të zhdrejtë:

Kufiri i parë të fundme, kështu që le të vazhdojmë. Gjatë llogaritjes së kufirit të dytë për të eliminuar pasiguri "pafundësi minus pafundësi" e zvogëlojmë shprehjen në emërues i përbashkët:

Kufiri i dytë gjithashtu të fundme Prandaj, grafiku i funksionit në fjalë ka një asimptotë të zhdrejtë:

konkluzioni:

Kështu, kur grafiku i funksionit pafundësisht afër afrohet në një vijë të drejtë:

Vini re se ajo kryqëzon asimptotën e saj të zhdrejtë në origjinë, dhe pika të tilla kryqëzimi janë mjaft të pranueshme - është e rëndësishme që "gjithçka të jetë normale" në pafundësi (në fakt, këtu po flasim për asimptota).

Shembulli 7

Gjeni asimptota të grafikut të një funksioni

Zgjidhje: Nuk ka asgjë të veçantë për të komentuar, ndaj do ta zyrtarizoj mostër e përafërt zgjidhja përfundimtare:

1) Asimptota vertikale. Le të shqyrtojmë pikën.

Vija e drejtë është asimptota vertikale për grafikun në .

2) Asimptota të zhdrejtë:

Vija e drejtë është asimptota e pjerrët për grafikun në .

Përgjigju:

Kufijtë dhe asimptotat e gjetura të njëanshme na lejojnë të parashikojmë me siguri të lartë se si duket grafiku i këtij funksioni. Vizatimi i saktë në fund të mësimit.

Shembulli 8

Gjeni asimptota të grafikut të një funksioni

Ky është një shembull për zgjidhje të pavarur, për lehtësinë e llogaritjes së disa kufijve, mund ta ndani numëruesin me emëruesin sipas termit. Përsëri, kur analizoni rezultatet tuaja, përpiquni të vizatoni një grafik të këtij funksioni.

Natyrisht, pronarët e asimptotave të zhdrejta "të vërteta" janë grafikët e atyre funksionet racionale thyesore, të cilat kanë një shkallë më të lartë të numëruesit një më shumë shkalla më e lartë e emëruesit. Nëse është më shumë, nuk do të ketë asimptotë të zhdrejtë (për shembull, ).

Por mrekulli të tjera ndodhin në jetë:

Shembulli 9

Shembulli 11

Shqyrtoni grafikun e një funksioni për praninë e asimptotave

Zgjidhje: është e qartë se , prandaj konsiderojmë vetëm gjysmërrafshin e djathtë, ku ka një grafik të funksionit.

Kështu, drejtëza (boshti i ordinatave) është asimptota vertikale për grafikun e funksionit në .

2) Studimi mbi asimptotën e zhdrejtë mund të kryhet duke përdorur skema e plotë, por në artikull Rregullat e L'Hopital ne zbuluam se funksion linear më shumë rendit të lartë rritja sesa logaritmike, prandaj: (Shih Shembullin 1 të të njëjtit mësim).

Përfundim: boshti x është asimptota horizontale e grafikut të funksionit në .

Përgjigju:
, Nëse ;
, Nëse .

Vizatim për qartësi:

Është interesante që një funksion në dukje i ngjashëm nuk ka fare asimptota (ata që dëshirojnë mund ta kontrollojnë këtë).

Dy shembujt e fundit Për vetë-studim:

Shembulli 12

Shqyrtoni grafikun e një funksioni për praninë e asimptotave

Sa asimptota mund të ketë grafiku i një funksioni?

Jo një, një, dy, tre, ... ose pafundësisht shumë. Ne nuk do të shkojmë larg për shembuj, le të kujtojmë funksionet elementare. Një parabolë, një parabolë kubike dhe një valë sinusale nuk kanë fare asimptota. Grafiku i një funksioni logaritmik eksponencial ka një asimptotë të vetme. Arktangjentja dhe arkotangjentja kanë dy prej tyre, dhe tangjentja dhe kotangjentja kanë pafundësisht shumë. Nuk është e pazakontë që një grafik të ketë asimptota horizontale dhe vertikale. Hiperbola, do të të dua gjithmonë.

Çfarë do të thotë të gjesh asimptotat e grafikut të një funksioni?

Kjo do të thotë të zbuloni ekuacionet e tyre dhe të vizatoni vija të drejta nëse e kërkon problemi. Procesi përfshin gjetjen e kufijve të një funksioni.

Asimptotat vertikale të grafikut të një funksioni

Asimptota vertikale e grafikut, si rregull, ndodhet në pikën e ndërprerjes së pafundme të funksionit. Është e thjeshtë: nëse në një pikë funksioni pëson një ndërprerje të pafundme, atëherë vija e drejtë e specifikuar nga ekuacioni është asimptota vertikale e grafikut.

Shënim: Ju lutemi vini re se hyrja përdoret për t'iu referuar dy koncepteve krejtësisht të ndryshme. Nëse një pikë nënkuptohet ose një ekuacion i një linje varet nga konteksti.

Kështu, për të vendosur praninë e një asimptote vertikale në një pikë, mjafton të tregohet se të paktën një nga kufijtë e njëanshëm është i pafund. Më shpesh kjo është pika ku emëruesi i funksionit është zero. Në thelb, ne kemi gjetur tashmë asimptota vertikale në shembujt e fundit të mësimit mbi vazhdimësinë e një funksioni. Por në disa raste ekziston vetëm një kufi i njëanshëm, dhe nëse është i pafund, atëherë përsëri - dashuroni dhe favorizoni asimptotën vertikale. Ilustrimi më i thjeshtë: dhe boshti i ordinatave.

Nga sa më sipër, rrjedh edhe një fakt i dukshëm: nëse funksioni është i vazhdueshëm, atëherë nuk ka asimptota vertikale. Për disa arsye më erdhi në mendje një parabolë. Vërtet, ku mund të "ngjisni" një vijë të drejtë këtu? ...po... e kuptoj... Ndjekësit e xhaxha Frojdit u bënë histerikë =)

Deklarata e kundërt është përgjithësisht e rreme: për shembull, funksioni nuk përcaktohet në të gjithë vijën numerike, por është plotësisht i privuar nga asimptota.

Asimptota të pjerrëta të grafikut të një funksioni

Asimptotat e zhdrejta (si rast i veçantë - horizontale) mund të nxirren nëse argumenti i funksionit priret në "plus infinity" ose në "minus infinity". Prandaj, grafiku i një funksioni nuk mund të ketë më shumë se 2 asimptota të prirura. Për shembull, grafiku i një funksioni eksponencial ka një asimptotë të vetme horizontale në, dhe grafiku i arktangjentës at ka dy asimptota të tilla, dhe në atë të ndryshme.