Nga cilat elemente përbëhet një paralelepiped drejtkëndor? Parallelepiped drejtkëndor

Kur keni qenë të vegjël dhe keni luajtur me kube, mund të keni bërë format e paraqitura në Figurën 154. Këto shifra japin një ide të paralelipiped drejtkëndor. Forma e një paralelepipedi drejtkëndor është, për shembull, një kuti çokollate, një tullë, kuti shkrepëseje, kuti paketimi, paketë lëngu.

Figura 155 tregon një paralelipiped drejtkëndor ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Paralelepiped drejtkëndëshe kufizuar në gjashtë skajet. Çdo faqe është një drejtkëndësh, d.m.th. Sipërfaqja e një paralelepipedi drejtkëndor përbëhet nga gjashtë drejtkëndësha.

Anët e fytyrave quhen skajet e një paralelepipedi drejtkëndor, kulmet e faqeve − kulmet e një paralelepipedi drejtkëndor. Për shembull, segmentet AB, BC, A 1 B 1 janë skajet, dhe pikat B, A 1, C 1 janë kulme të paralelipipedit ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Fig. 155).

Një paralelipiped drejtkëndor ka 8 kulme dhe 12 skaje.

Fytyrat AA 1 B 1 B dhe DD 1 C 1 C nuk kanë kulme të përbashkëta. Skajet e tilla quhen përballë. Në paralelepipedin ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ka dy palë të tjera faqesh të kundërta: drejtkëndëshat ABCD dhe A 1 B 1 C 1 D 1, si dhe drejtkëndëshat AA 1 D 1 D dhe BB 1 C 1 C.

Fytyra të kundërta paralelipiped drejtkëndor janë të barabartë.

Në figurën 155, fytyra ABCD quhet bazë paralelipiped drejtkëndëshe ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

Sipërfaqja e një paralelipipedi është shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve të tij.

Për të pasur një ide mbi dimensionet e një paralelipipedi drejtkëndor, mjafton të konsideroni çdo tre skaj që ka maja e zakonshme. Gjatësitë e këtyre skajeve quhen matjet paralelipiped drejtkëndor. Për t'i dalluar ata përdorin emra: gjatësia, gjerësia, lartësia(Fig. 156).

Një paralelipiped drejtkëndor në të cilin të gjitha dimensionet janë të barabarta quhet kubik(Fig. 157). Sipërfaqja e kubit përbëhet nga gjashtë katrorë të barabartë.

Nëse hapet një kuti në formën e një paralelopipedi drejtkëndor (Fig. 158) dhe pritet përgjatë katër skajeve vertikale (Fig. 159), dhe më pas shpaloset, marrim një figurë të përbërë nga gjashtë drejtkëndësha (Fig. 160). Kjo shifër quhet zhvillimi i një paralelepipedi drejtkëndor.

Figura 161 tregon një figurë të përbërë nga gjashtë katrorë të barabartë. Është një rrjet kub.

Duke përdorur një zhvillim, mund të bëni një model të një paralelepipedi drejtkëndor.

Kjo mund të bëhet, për shembull, si kjo. Vizatoni zhvillimin e tij në letër. Pritini atë, përkuleni përgjatë segmenteve që korrespondojnë me skajet e paralelopipedit drejtkëndor (shih Fig. 159) dhe ngjiteni së bashku.

Një paralelepiped drejtkëndor është një lloj poliedri - një figurë sipërfaqja e së cilës përbëhet nga shumëkëndësha. Figura 162 tregon poliedrat.

Një lloj poliedri është piramidale.

Kjo shifër nuk është e re për ju. Studimi i kursit Bota e lashtë, jeni njohur me një nga shtatë mrekullitë e botës - piramidat egjiptiane.

Figura 163 tregon piramidat MABC, MABCD, MABCDE. Sipërfaqja e piramidës përbëhet nga fytyrat anësore− trekëndëshat që kanë një kulm të përbashkët, dhe bazat(Fig. 164). Kulmi i përbashkët i faqeve anësore quhet skajet e bazës së piramidës, dhe anët e faqeve anësore që nuk i përkasin bazës janë skajet anësore të piramidës.

Piramidat mund të klasifikohen sipas numrit të anëve të bazës: trekëndore, katërkëndore, pesëkëndëshe (shih Fig. 163) etj.

Sipërfaqja piramidë trekëndore përbëhet nga katër trekëndësha. Secili prej këtyre trekëndëshave mund të shërbejë si bazë e një piramide. Kjo bazë është një lloj piramide, çdo faqe e së cilës mund të shërbejë si bazë e saj.

Figura 165 tregon një figurë që mund të shërbejë fshij piramidë katërkëndore . Ai përbëhet nga një katror dhe katër trekëndësha të barabartë dykëndësh.

Figura 166 tregon një figurë të përbërë nga katër të barabarta trekëndëshat barabrinjës. Duke përdorur këtë figurë, mund të bëni një model të një piramide trekëndore, të gjitha fytyrat e së cilës janë trekëndësha barabrinjës.

Polyhedra janë shembuj trupat gjeometrikë.

Figura 167 tregon trupa gjeometrikë të njohur që nuk janë poliedra. Më shumë për këto trupa do të mësoni në klasën e 6-të.

Një paralelipiped është një figurë gjeometrike, të 6 faqet e së cilës janë paralelograme.

Në varësi të llojit të këtyre paralelogrameve, dallohen llojet e mëposhtme të paralelopipedëve:

direkt;
i prirur;
drejtkëndëshe.

Një paralelipiped i drejtë është një prizëm katërkëndor, skajet e të cilit bëjnë një kënd prej 90° me rrafshin e bazës.

Një paralelipiped drejtkëndor është një prizëm katërkëndësh, të gjitha fytyrat e të cilit janë drejtkëndësha. Kubi është një shumëllojshmëri prizëm katërkëndor, në të cilën të gjitha fytyrat dhe skajet janë të barabarta me njëra-tjetrën.

Veçoritë e një figure paracaktojnë vetitë e saj. Këto përfshijnë 4 deklaratat e mëposhtme:

Është e thjeshtë të kujtohen të gjitha vetitë e dhëna, ato janë të lehta për t'u kuptuar dhe rrjedhin logjikisht në bazë të llojit dhe veçorive trup gjeometrik. Megjithatë, deklaratat e thjeshta mund të jenë tepër të dobishme për të vendosur detyra tipike Provimi i Unifikuar i Shtetit dhe do të kursejë kohën e nevojshme për të kaluar testin.

Formulat paralelepipedi

Për të gjetur përgjigje për problemin, nuk mjafton të njihni vetëm vetitë e figurës. Ju gjithashtu mund të keni nevojë për disa formula për të gjetur sipërfaqen dhe vëllimin e një trupi gjeometrik.

Zona e bazave gjendet në të njëjtën mënyrë si treguesi përkatës i një paralelogrami ose drejtkëndëshi. Ju mund ta zgjidhni vetë bazën e paralelogramit. Si rregull, gjatë zgjidhjes së problemeve është më e lehtë të punohet me një prizëm, baza e të cilit është një drejtkëndësh.

Formula për gjetjen e sipërfaqes anësore të një paralelipipedi mund të jetë gjithashtu e nevojshme në detyrat e provës.

Shembuj të zgjidhjes së detyrave tipike të Provimit të Unifikuar të Shtetit

Detyra 1.

E dhënë: një paralelipiped drejtkëndor me përmasa 3, 4 dhe 12 cm.
E nevojshme gjeni gjatësinë e njërës prej diagonaleve kryesore të figurës.
Zgjidhje: Çdo zgjidhje problemi gjeometrik duhet të fillojë me ndërtimin e një vizatimi të saktë dhe të qartë, në të cilin do të tregohet "i dhënë" dhe vlera e dëshiruar. Fotografia më poshtë tregon një shembull dizajn i saktë kushtet e detyrës.

Pasi kemi ekzaminuar vizatimin e bërë dhe duke kujtuar të gjitha vetitë e trupit gjeometrik, arrijmë tek e vetmja mënyrën e duhur zgjidhjet. Duke zbatuar vetinë e katërt të një paralelipipedi, marrim shprehjen e mëposhtme:

Pas llogaritjeve të thjeshta marrim shprehjen b2=169, pra b=13. Përgjigja e detyrës është gjetur, ju duhet të shpenzoni jo më shumë se 5 minuta për ta kërkuar dhe vizatuar atë.

Në gjeometri konceptet kryesore janë plani, pika, drejtëza dhe këndi. Duke përdorur këto terma, ju mund të përshkruani çdo figurë gjeometrike. Polyedrat zakonisht përshkruhen në terma të më shumë figura të thjeshta, të cilat shtrihen në të njëjtin rrafsh, si rreth, trekëndësh, katror, drejtkëndësh etj. Në këtë artikull do të shikojmë se çfarë është një paralelipiped, do të përshkruajmë llojet e paralelopipedëve, vetitë e tij, nga cilat elementë përbëhet dhe gjithashtu japim formulat bazë për të llogaritur sipërfaqen dhe vëllimin për çdo lloj paralelipipedi.

Përkufizimi

Paralelepiped në hapësirë tredimensionaleështë një prizëm, të gjitha anët e të cilit janë paralelograme. Prandaj, mund të ketë vetëm tre palë paralelograme paralele ose gjashtë faqe.

Për të vizualizuar një paralelipiped, imagjinoni një tullë të zakonshme standarde. tulla - shembull i mirë një paralelipiped drejtkëndor që edhe një fëmijë mund ta imagjinojë. Shembuj të tjerë përfshijnë shtëpi me panele shumëkatëshe, kabinete, kontejnerë magazinimi produkte ushqimore formën e duhur, etj.

Varietetet e figurave

Ekzistojnë vetëm dy lloje paralelepipedësh:

Drejtkëndëshe, të gjitha fytyrat anësore të cilat janë në një kënd prej 90° me bazën dhe janë drejtkëndësha.
E pjerrët, skajet anësore të së cilës ndodhen nën kënd të caktuar në bazë.

Në cilat elemente mund të ndahet kjo figurë?

Si në çdo figurë tjetër gjeometrike, në një paralelipiped çdo 2 faqe me buzë të përbashkët quhen të ngjitura, dhe ato që nuk e kanë janë paralele (bazuar në vetinë e një paralelogrami, i cili ka çifte brinjësh të kundërta paralele).
Kulmet e një paralelepipedi që nuk shtrihen në të njëjtën faqe quhen të kundërta.
Segmenti që lidh kulme të tilla është një diagonale.
Gjatësitë e tre skajeve të një kuboidi që takohen në një kulm janë dimensionet e tij (domethënë gjatësia, gjerësia dhe lartësia).

Vetitë e formës

Ajo ndërtohet gjithmonë në mënyrë simetrike në lidhje me mesin e diagonales.
Pika e kryqëzimit të të gjitha diagonaleve e ndan secilën diagonale në dy segmente të barabarta.
Fytyrat e kundërta janë të barabarta në gjatësi dhe shtrihen në vija paralele.
Nëse shtoni katrorët e të gjitha dimensioneve të një paralelipipedi, vlera që rezulton do të jetë e barabartë me katrorin e gjatësisë së diagonales.

Formulat e llogaritjes

Formulat për çdo rast të veçantë të një paralelepipedi do të jenë të ndryshme.

Për një paralelipiped arbitrar është e vërtetë që vëllimi i tij është i barabartë me vlerë absolute trefishtë produkt me pika vektorët e tre anëve që dalin nga një kulm. Megjithatë, nuk ka asnjë formulë për llogaritjen e vëllimit të një paralelepipedi arbitrar.

Për një paralelipiped drejtkëndor zbatohen formulat e mëposhtme:

V=a*b*c;
Sb=2*c*(a+b);
Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

V është vëllimi i figurës;
Sb - sipërfaqja anësore;
Sp - zona sipërfaqe të plotë;
a - gjatësia;
b - gjerësia;
c - lartësia.

Një rast tjetër i veçantë i një paralelepipedi në të cilin të gjitha anët janë katrore është një kub. Nëse ndonjë nga anët e katrorit përcaktohet me shkronjën a, atëherë formulat e mëposhtme mund të përdoren për sipërfaqen dhe vëllimin e kësaj figure:

S=6*a*2;
V=3*a.

S- zona e figurës,
V është vëllimi i figurës,
a është gjatësia e fytyrës së figurës.

Lloji i fundit i paralelopipedit që po shqyrtojmë është një paralelipiped i drejtë. Cili është ndryshimi midis një paralelepipedi të drejtë dhe një kuboidi, ju pyesni. Fakti është se baza e një paralelopipedi drejtkëndor mund të jetë çdo paralelogram, por baza e një paralelepipedi të drejtë mund të jetë vetëm një drejtkëndësh. Nëse perimetrin e bazës, të barabartë me shumën e gjatësive të të gjitha anëve, e shënojmë si Po dhe lartësinë e shënojmë me shkronjën h, kemi të drejtë të përdorim formulat e mëposhtme për të llogaritur vëllimin dhe sipërfaqet e sipërfaqeve të plota dhe anësore.

Një paralelipiped është një prizëm, bazat e të cilit janë paralelograme. Në këtë rast, të gjitha skajet do të jenë paralelogramet.
Çdo paralelipiped mund të konsiderohet si një prizëm me tre në mënyra të ndryshme, pasi çdo dy fytyra të kundërta(në Fig. 5, përballet me ABCD dhe A"B"C"D", ose ABA"B" dhe CDC"D", ose VSV"C" dhe ADA"D").
Trupi në fjalë ka dymbëdhjetë skaje, katër të barabarta dhe paralele me njëra-tjetrën.
Teorema 3 . Diagonalet e një paralelipipedi kryqëzohen në një pikë, duke përputhur me mesin e secilës prej tyre.
ABCDA"B"C"D" paralelipiped" (Fig. 5) ka katër diagonale AC", BD", CA", DB". Duhet të vërtetojmë se pikat e mesit të çdo dy prej tyre, për shembull AC dhe BD", përputhen. Kjo rrjedh nga fakti se figura ABC"D", e cila ka të barabartë dhe anët paralele AB dhe C"D" janë një paralelogram.
Përkufizimi 7 . Një paralelipiped i drejtë është një paralelipiped që është gjithashtu një prizëm i drejtë, pra një paralelipiped brinjë anësore të cilat janë pingul me rrafshin e bazës.
Përkufizimi 8 . Një paralelipiped drejtkëndor është një paralelipiped i drejtë, baza e të cilit është një drejtkëndësh. Në këtë rast, të gjitha fytyrat e tij do të jenë drejtkëndëshe.
Një paralelipiped drejtkëndor është një prizëm i drejtë, pavarësisht se cilën nga faqet e tij marrim si bazë, pasi secila nga skajet e tij është pingul me skajet që dalin nga i njëjti kulm dhe, për rrjedhojë, do të jetë pingul me rrafshet e faqeve të përcaktuara. nga këto skaje. Në të kundërt, një paralelipiped i drejtë, por jo drejtkëndor, mund të shihet si një prizëm i drejtë vetëm në një mënyrë.
Përkufizimi 9 . Gjatësia prej tre Skajet e një paralelepipedi drejtkëndëshe, nga të cilat nuk ka dy paralele me njëri-tjetrin (për shembull, tre skaje që dalin nga një kulm), quhen dimensione të tij. Dy paralelopipedë drejtkëndëshe me dimensione përkatësisht të barabarta janë padyshim të barabartë me njëri-tjetrin.
Përkufizimi 10 .Një kub është një paralelipiped drejtkëndor, të tre dimensionet e të cilit janë të barabarta me njëra-tjetrën, kështu që të gjitha faqet e tij janë katrore. Dy kube, skajet e të cilëve janë të barabartë janë të barabartë.
Përkufizimi 11 . Parallelepiped i prirur, në të cilën të gjitha skajet janë të barabarta me njëra-tjetrën dhe këndet e të gjitha faqeve janë të barabarta ose plotësuese, quhet rombohedron.
Të gjitha fytyrat e një rombohedroni janë rombe të barabartë. (Disa kristale kanë një formë rombohedron, që kanë vlerë të madhe, për shembull, kristalet spar të Islandës.) Në një rombohedron mund të gjeni një kulm (dhe madje dy kulme të kundërta) të tilla që të gjitha këndet ngjitur me të janë të barabartë me njëri-tjetrin.
Teorema 4 . Diagonalet e një paralelepipedi drejtkëndor janë të barabarta me njëra-tjetrën. Katror diagonal e barabartë me shumën katrorë me tre dimensione.
Në paralelepipedin drejtkëndor ABCDA"B"C"D" (Fig. 6), diagonalet AC" dhe BD" janë të barabarta, pasi katërkëndëshi ABC"D" është një drejtkëndësh (drejtëza AB është pingul me rrafshin ECB" C", në të cilën shtrihet BC").
Përveç kësaj, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 bazuar në teoremën rreth katrorit të hipotenuzës. Por bazuar në të njëjtën teoremë AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; prandaj ne kanë:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.