Nga pabarazia rrjedh pabarazia. Pabarazitë lineare

Ne mësuam për pabarazitë në shkollë, ku përdorim pabarazitë numerike. Në këtë artikull do të shqyrtojmë vetitë e pabarazive numerike, nga të cilat ndërtohen parimet e punës me to.

Vetitë e pabarazive janë të ngjashme me vetitë e pabarazive numerike. Do të merren parasysh pronat, arsyetimi i saj dhe do të jepen shembuj.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pabarazitë numerike: përkufizimi, shembuj

Me rastin e prezantimit të konceptit të pabarazive, kemi se përkufizimi i tyre bëhet sipas llojit të regjistrimit. Në dispozicion shprehjet algjebrike, të cilat kanë shenja ≠,< , >, ≤ , ≥ . Le të japim një përkufizim.

Përkufizimi 1

Pabarazi numerike quhet pabarazi në të cilën të dyja palët kanë numra dhe shprehje numerike.

Ne konsiderojmë pabarazitë numerike në shkollë pas studimit numrat natyrorë. Operacione të tilla krahasimi studiohen hap pas hapi. Ato fillestare duken si 1< 5 , 5 + 7 >3. Pas së cilës rregullat plotësohen, dhe pabarazitë bëhen më të ndërlikuara, atëherë marrim pabarazitë e formës 5 2 3 > 5, 1 (2), ln 0. 73 - 17 2< 0 .

Vetitë e mosbarazimeve numerike

Për të punuar saktë me pabarazitë, duhet të përdorni vetitë e pabarazive numerike. Ato vijnë nga koncepti i pabarazisë. Ky koncept përcaktohet duke përdorur një deklaratë, e cila përcaktohet si "më shumë" ose "më pak".

Përkufizimi 2

numri a është më i madh se b kur ndryshimi a - b është numër pozitiv;
numri a është më i vogël se b kur diferenca a - b - numër negativ;
numri a është i barabartë me b kur ndryshimi a - b është zero.

Përkufizimi përdoret kur zgjidhen pabarazitë me marrëdhëniet "më pak se ose e barabartë me", "më e madhe se ose e barabartë me". Ne e kuptojmë atë

Përkufizimi 3

a është më i madh ose i barabartë me b kur a - b është një numër jo negativ;
a është më e vogël ose e barabartë me b kur a - b është një numër jo pozitiv.

Përkufizimet do të përdoren për të vërtetuar vetitë e pabarazive numerike.

Vetitë themelore

Le të shohim 3 pabarazitë kryesore. Përdorimi i shenjave< и >karakteristikë e vetive të mëposhtme:

Përkufizimi 4

antirefleksiviteti, që thotë se çdo numër a nga pabarazitë a< a и a >a konsiderohet e pasaktë. Dihet se për çdo a vlen barazia a − a = 0, pra marrim se a = a. Pra a< a и a >a është e pasaktë. Për shembull, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 janë të pasakta.
asimetri. Kur numrat a dhe b janë të tillë që aa, dhe nëse a > b, atëherë b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a a. Pjesa e dytë e tij vërtetohet në mënyrë të ngjashme.

Shembulli 1

Për shembull, duke pasur parasysh pabarazinë 5< 11 имеем, что 11 >5 do të thotë pabarazia numerike− 0, 27 > − 1, 3 do të rishkruhen si − 1, 3< − 0 , 27 .

Para se të kaloni në për pronën e mëposhtme, vini re se me ndihmën e asimetrisë mund të lexoni pabarazinë nga e djathta në të majtë dhe anasjelltas. Në këtë mënyrë, pabarazitë numerike mund të modifikohen dhe ndërrohen.

Përkufizimi 5

kalimtare. Kur numrat a, b, c plotësojnë kushtin ab dhe b > c , pastaj a > c .

Dëshmia 1

Deklarata e parë mund të vërtetohet. Kushti a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Në mënyrë të ngjashme vërtetohet pjesa e dytë me vetinë kalimtare.

Shembulli 2

Ne e konsiderojmë vetinë e analizuar duke përdorur shembullin e pabarazive − 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 dhe 1 8 > 1 32 rrjedh se 1 2 > 1 32.

Pabarazitë numerike, të cilat shkruhen duke përdorur shenja të dobëta të pabarazisë, kanë vetinë e refleksivitetit, sepse a ≤ a dhe a ≥ a mund të kenë rastin e barazisë a = a. Ato karakterizohen nga asimetria dhe kalueshmëria.

Përkufizimi 6

Pabarazitë që kanë shenjat ≤ dhe ≥ në shkrimin e tyre kanë këto veti:

refleksiviteti a ≥ a dhe a ≤ a konsiderohen pabarazi të vërteta;
antisimetria, kur a ≤ b, atëherë b ≥ a, dhe nëse a ≥ b, atëherë b ≤ a.
kalueshmëria, kur a ≤ b dhe b ≤ c, atëherë a ≤ c, dhe gjithashtu, nëse a ≥ b dhe b ≥ c, atëherë a ≥ c.

Prova kryhet në të njëjtën mënyrë.

Veti të tjera të rëndësishme të pabarazive numerike

Për të plotësuar vetitë themelore të pabarazive, përdoren rezultatet që kanë rëndësi praktike. Parimi i metodës përdoret për të vlerësuar vlerat e shprehjeve, mbi të cilat bazohen parimet e zgjidhjes së pabarazive.

Ky paragraf zbulon vetitë e pabarazive për një shenjë të pabarazisë strikte. E njëjta gjë bëhet për ato jo strikte. Le të shohim një shembull, duke formuluar pabarazinë nëse a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

nëse a > b, atëherë a + c > b + c;
nëse a ≤ b, atëherë a + c ≤ b + c;
nëse a ≥ b, atëherë a + c ≥ b + c.

Për një prezantim të përshtatshëm, ne japim deklaratën përkatëse, e cila shkruhet dhe jepen prova, tregohen shembuj të përdorimit.

Përkufizimi 7

Shtimi ose llogaritja e një numri në të dy anët. Me fjalë të tjera, kur a dhe b korrespondojnë me pabarazinë a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Dëshmia 2

Për ta vërtetuar këtë, ekuacioni duhet të plotësojë kushtin a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления numër i kundërt- Me.

Shembulli 3

Për shembull, nëse rrisim të dy anët e pabarazisë 7 > 3 me 15, atëherë marrim atë 7 + 15 > 3 + 15. Kjo është e barabartë me 22 > 18.

Përkufizimi 8

Kur të dy anët e pabarazisë shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër c, marrim një pabarazi të vërtetë. Nëse merrni një numër negativ, shenja do të ndryshojë në të kundërtën. Përndryshe duket kështu: për a dhe b pabarazia vlen kur ab·c.

Dëshmia 3

Kur ka një rast c > 0, është e nevojshme të ndërtohet diferenca midis anës së majtë dhe të djathtë të pabarazisë. Atëherë marrim se a · c − b · c = (a − b) · c . Nga kushti a0, atëherë prodhimi (a − b) c do të jetë negativ. Nga kjo rrjedh se a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

Kur provoni, pjesëtimi me një numër të plotë mund të zëvendësohet me shumëzim me inversin e atij të dhënë, domethënë 1 c. Le të shohim një shembull të një prone në numra të caktuar.

Shembulli 4

Të dyja anët e pabarazisë 4 janë të lejuara< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Tani le të formulojmë dy rezultatet e mëposhtme, të cilat përdoren në zgjidhjen e pabarazive:

Përfundimi 1. Kur ndryshohen shenjat e pjesëve të një pabarazie numerike, vetë shenja e pabarazisë ndryshon në të kundërtën, si një− b. Kjo ndjek rregullin e shumëzimit të të dy anëve me - 1. Është e aplikueshme për tranzicion. Për shembull, - 6< − 2 , то 6 > 2 .
Përfundimi 2. Gjatë zëvendësimit numrat reciprokë pjesë të një pabarazie numerike në të kundërtën, shenja e saj gjithashtu ndryshon, dhe pabarazia mbetet e vërtetë. Prandaj kemi që a dhe b janë numra pozitivë, a1 b .

Kur pjesëtohen të dyja anët e pabarazisë a 3 2 është e vërtetë, kemi atë 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a 1 b mund të jetë i pasaktë.

Shembulli 5

Për shembull, - 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 janë një ekuacion i pasaktë.

Të gjitha pikat bashkohen nga fakti se veprimet në pjesë të pabarazisë japin pabarazinë e saktë në dalje. Le të shqyrtojmë vetitë ku fillimisht ka disa pabarazi numerike dhe rezultati i tij merret duke shtuar ose shumëzuar pjesët e tij.

Përkufizimi 9

Kur numrat a, b, c, d janë të vlefshëm për pabarazitë a< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Prova 4

Le të vërtetojmë se (a + c) − (b + d) është një numër negativ, atëherë marrim se a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям të njëjtin numër. Pastaj rrisim pabarazinë a< b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Vetia përdoret për mbledhjen term pas termi të tre, katër ose më shumë pabarazive numerike. Numrat a 1 , a 2 , … , a n dhe b 1 , b 2 , … , b n plotësojnë pabarazitë a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод induksioni matematik, pasi ka marrë një 1 + a 2 + … + a n< b 1 + b 2 + … + b n .

Shembulli 6

Për shembull, jepen tre pabarazi numerike të së njëjtës shenjë − 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

Përkufizimi 10

Shumëzimi termik i të dy anëve rezulton në një numër pozitiv. Kur a< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Dëshmia 5

Për ta vërtetuar këtë, na duhen të dyja anët e pabarazisë a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Kjo veti konsiderohet e vlefshme për numrin e numrave me të cilët duhet të shumëzohen të dyja anët e pabarazisë. Pastaj a 1, a 2, …, a n Dhe b 1, b 2, …, b n janë numra pozitivë, ku një 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n .

Vini re se kur shkruani pabarazi ka numra jo pozitivë, atëherë shumëzimi i tyre term pas termi çon në pabarazi të pasakta.

Shembulli 7

Për shembull, pabarazia 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Pasoja: Shumëzimi termik i pabarazive a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Vetitë e mosbarazimeve numerike

Le të shqyrtojmë vetitë e mëposhtme të pabarazive numerike.

a< a , a >a - pabarazitë e pasakta,
a ≤ a, a ≥ a janë pabarazi të vërteta.
Nëse aa - antisimetria.
Nëse a< b и b < c то a < c - транзитивность.
Nëse a< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
Nëse ab·c.

Përfundimi 1: nëse a-b.

Përfundimi 2: nëse a dhe b janë numra pozitivë dhe a1 b .

Nëse një 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
Nëse një 1, një 2,. . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n janë numra pozitivë dhe a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Përfundimi 1: Nëse a< b , a Dhe b janë numra pozitivë, atëherë a n< b n .

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Pabarazitë quhen lineare majtas dhe anën e djathtë të cilat janë funksione lineare në lidhje me një sasi të panjohur. Këto përfshijnë, për shembull, pabarazitë:

2x-1-x+3; 7x0;

5 > 4 - 6 herë 9- x< x + 5 .

1) Pabarazi të rrepta: sëpatë +b>0 ose sëpatë+b<0

2) Pabarazitë jo të rrepta: sëpatë +b≤0 ose sëpatë+b≫ 0

Le të analizojmë këtë detyrë. Njëra nga brinjët e paralelogramit është 7 cm. Sa duhet të jetë gjatësia e anës tjetër që perimetri i paralelogramit të jetë më i madh se 44 cm?

Le të jetë ana e kërkuar X cm Në këtë rast, perimetri i paralelogramit do të përfaqësohet me (14 + 2x) cm modeli matematik problema në perimetrin e një paralelogrami. Nëse e zëvendësojmë variablin në këtë pabarazi X për shembull, në numrin 16, atëherë marrim pabarazinë e saktë numerike 14 + 32 > 44. Në këtë rast, ata thonë se numri 16 është një zgjidhje e pabarazisë 14 + 2x > 44.

Zgjidhja e pabarazisë emërtoni vlerën e një ndryshoreje që e kthen atë në një pabarazi numerike të vërtetë.

Prandaj, secili nga numrat është 15.1; 20;73 vepron si zgjidhje për pabarazinë 14 + 2x > 44, por numri 10, për shembull, nuk është zgjidhja e tij.

Zgjidhja e pabarazisë do të thotë të vendosësh të gjitha zgjidhjet e tij ose të provosh se nuk ka zgjidhje.

Formulimi i zgjidhjes së pabarazisë është i ngjashëm me formulimin e rrënjës së ekuacionit. E megjithatë nuk është zakon të caktohet "rrënja e pabarazisë".

Vetitë e barazive numerike na ndihmuan në zgjidhjen e ekuacioneve. Në mënyrë të ngjashme, vetitë e pabarazive numerike do të ndihmojnë në zgjidhjen e pabarazive.

Kur zgjidhim një ekuacion, e ndryshojmë atë në një tjetër, më shumë ekuacion i thjeshtë, por ekuivalente me atë të dhënë. Përgjigja për pabarazitë gjendet në mënyrë të ngjashme. Kur ndryshojnë një ekuacion në një ekuacion ekuivalent, ata përdorin teoremën për transferimin e termave nga njëra anë e ekuacionit në anën e kundërt dhe për shumëzimin e të dy anëve të ekuacionit me të njëjtin numër jozero. Kur zgjidhet një pabarazi, ekziston një ndryshim domethënës midis tij dhe një ekuacioni, i cili qëndron në faktin se çdo zgjidhje e një ekuacioni mund të verifikohet thjesht duke zëvendësuar ekuacioni origjinal. Në pabarazitë, kjo metodë mungon, pasi nuk është e mundur të zëvendësohen zgjidhje të panumërta në pabarazinë origjinale. Prandaj ekziston koncept i rëndësishëm, këto janë shigjetat<=>është një shenjë e transformimeve ekuivalente, ose ekuivalente. Transformimi quhet ekuivalente, ose ekuivalente, nëse nuk e ndryshojnë grupin e zgjidhjeve.

Rregulla të ngjashme për zgjidhjen e pabarazive.

Nëse kalojmë një term nga një pjesë e pabarazisë në tjetrën, duke zëvendësuar shenjën e tij me të kundërtën, marrim një pabarazi të barabartë me këtë.

Nëse të dyja anët e pabarazisë shumëzohen (pjestohen) me të njëjtin numër pozitiv, marrim një pabarazi të barabartë me këtë.

Nëse të dyja anët e pabarazisë shumëzohen (pjestohen) me të njëjtin numër negativ, duke zëvendësuar shenjën e pabarazisë me atë të kundërt, fitojmë një pabarazi ekuivalente me atë të dhënë.

Duke përdorur këto rregullat Le të llogarisim pabarazitë e mëposhtme.

1) Le të analizojmë pabarazinë 2x - 5 > 9.

Kjo pabarazia lineare, do të gjejmë zgjidhjen e saj dhe do të diskutojmë konceptet bazë.

2x - 5 > 9<=>2x>14(5 u zhvendos në anën e majtë Me shenjë e kundërt), pastaj ndajmë gjithçka me 2 dhe kemi x > 7. Le të vizatojmë grupin e zgjidhjeve në bosht x

Ne kemi marrë një rreze të drejtuar pozitivisht. Vëmë re grupin e zgjidhjeve ose në formën e pabarazisë x > 7, ose në formën e intervalit x(7; ∞). Cila është një zgjidhje e veçantë për këtë pabarazi? Për shembull, x = 10është një zgjidhje e veçantë për këtë pabarazi, x = 12- kjo është gjithashtu një zgjidhje e veçantë për këtë pabarazi.

Ka shumë zgjidhje të pjesshme, por detyra jonë është të gjejmë të gjitha zgjidhjet. Dhe zakonisht ka zgjidhje të panumërta.

Le ta zgjidhim shembulli 2:

2) Zgjidh pabarazinë 4a - 11 > a + 13.

Le ta zgjidhim: A zhvendoseni në njërën anë 11 zhvendoseni në anën tjetër, marrim 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 pabarazia ka formën a<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>a< 8 .

Le të shfaqim gjithashtu grupin a< 8 , por tashmë në bosht A.

Përgjigjen ose e shkruajmë në formën e pabarazisë a< 8, либо A(-∞;8), 8 nuk ndizet.

Pabarazitë luajnë një rol të rëndësishëm në matematikë. Në shkollë kryesisht merremi me pabarazitë numerike, me përkufizimin e të cilit do të fillojmë këtë artikull. Dhe pastaj do të rendisim dhe justifikojmë vetitë e inekuacioneve numerike, mbi të cilin bazohen të gjitha parimet e punës me pabarazitë.

Le të vërejmë menjëherë se shumë veti të pabarazive numerike janë të ngjashme. Prandaj, materialin do ta paraqesim sipas të njëjtës skemë: formulojmë një veti, japim arsyetimin dhe shembujt e saj, pas së cilës kalojmë në vetinë tjetër.

Navigimi i faqes.

Pabarazitë numerike: përkufizimi, shembuj

Kur prezantuam konceptin e pabarazisë, vumë re se pabarazitë shpesh përcaktohen nga mënyra se si janë shkruar. Pra, ne i quajtëm pabarazi shprehje algjebrike kuptimplote që përmbajnë shenja jo të barabarta me ≠, më pak se<, больше >, më e vogël ose e barabartë me ≤ ose më e madhe se ose e barabartë me ≥. Bazuar në përkufizimin e mësipërm, është e përshtatshme të jepet një përkufizim i një pabarazie numerike:

Takimi me inekuacionet numerike ndodh në mësimet e matematikës në klasën e parë, menjëherë pas njohjes me numrat e parë natyrorë nga 1 deri në 9 dhe njohjes me veprimin e krahasimit. Vërtetë, atje ato quhen thjesht pabarazi, duke lënë jashtë përkufizimin e "numerike". Për qartësi, nuk do të dëmtonte të jepnim disa shembuj të pabarazive numerike më të thjeshta nga ajo fazë e studimit të tyre: 1<2 , 5+2>3 .

Dhe më tej nga numrat natyrorë, njohuritë shtrihen në lloje të tjera numrash (numra të plotë, racional, numra realë), studiohen rregullat për krahasimin e tyre dhe kjo zgjerohet ndjeshëm diversiteti i specieve inekuacionet numerike: −5>−72, 3>−0,275·(7−5,6) , .

Vetitë e mosbarazimeve numerike

Në praktikë, puna me pabarazi lejon një numër të vetitë e inekuacioneve numerike. Ato rrjedhin nga koncepti i pabarazisë që ne prezantuam. Në lidhje me numrat jepet ky koncept deklaratën e mëposhtme, i cili mund të konsiderohet një përkufizim i marrëdhënieve "më pak se" dhe "më shumë se" në një grup numrash (shpesh quhet përkufizimi i ndryshimit të pabarazisë):

Përkufizimi.

numri a më shumë numër b nëse dhe vetëm nëse ndryshimi a−b është një numër pozitiv;
numri a më pak numër b nëse dhe vetëm nëse ndryshimi a−b është numër negativ;
numri a është i barabartë me numrin b nëse dhe vetëm nëse ndryshimi a−b është zero.

Ky përkufizim mund të ripërpunohet në përkufizimin e marrëdhënieve "më pak se ose e barabartë me" dhe "më e madhe se ose e barabartë me". Ja formulimi i tij:

Përkufizimi.

numri a është më i madh ose i barabartë me b nëse dhe vetëm nëse a−b – numër jo negativ;
a është më e vogël ose e barabartë me b nëse dhe vetëm nëse a−b është një numër jo pozitiv.

Ne do t'i përdorim këto përkufizime kur vërtetojmë vetitë e pabarazive numerike, në një rishikim të të cilave ne vazhdojmë.

Vetitë themelore

Ne e fillojmë rishikimin me tre vetitë kryesore të pabarazive. Pse janë ato themelore? Sepse ato janë një pasqyrim i vetive të pabarazive në në një kuptim të përgjithshëm, dhe jo vetëm në lidhje me pabarazitë numerike.

Pabarazitë numerike të shkruara duke përdorur shenja< и >, karakteristike:

Për sa u përket pabarazive numerike të shkruara duke përdorur shenjat e dobëta të pabarazisë ≤ dhe ≥, ato kanë vetinë e refleksivitetit (dhe jo antirefleksivitetit), pasi pabarazitë a≤a dhe a≥a përfshijnë rastin e barazisë a=a. Ato karakterizohen gjithashtu nga antisimetria dhe kalueshmëria.

Pra, pabarazitë numerike të shkruara duke përdorur shenjat ≤ dhe ≥ kanë vetitë e mëposhtme:

refleksiviteti a≥a dhe a≤a janë pabarazi të vërteta;
antisimetria, nëse a≤b, atëherë b≥a, dhe nëse a≥b, atëherë b≤a.
kalueshmëria, nëse a≤b dhe b≤c, atëherë a≤c, dhe gjithashtu, nëse a≥b dhe b≥c, atëherë a≥c.

Prova e tyre është shumë e ngjashme me ato të dhëna tashmë, kështu që ne nuk do të ndalemi në to, por do të kalojmë në vetitë e tjera të rëndësishme të pabarazive numerike.

Veti të tjera të rëndësishme të pabarazive numerike

Le të plotësojmë vetitë themelore të pabarazive numerike me një sërë rezultatesh që kanë një rëndësi të madhe praktike. Metodat për vlerësimin e vlerave të shprehjeve bazohen në to zgjidhje për pabarazitë etj. Prandaj, këshillohet që t'i kuptoni mirë.

Në këtë pjesë, ne do të formulojmë vetitë e pabarazive vetëm për një shenjë pabarazi e rreptë, por vlen të kihet parasysh se vetitë e ngjashme do të vlejnë për shenjën e kundërt, si dhe për shenjat e pabarazive jo strikte. Le ta shpjegojmë këtë me një shembull. Më poshtë formulojmë dhe vërtetojmë vetinë e mëposhtme të pabarazive: nëse a

nëse a>b atëherë a+c>b+c ;

nëse a≤b atëherë a+c≤b+c ;

nëse a≥b, atëherë a+c≥b+c.

Për lehtësi, ne do t'i paraqesim vetitë e pabarazive numerike në formën e një liste, ndërsa do të japim deklaratën përkatëse, do ta shkruajmë zyrtarisht duke përdorur shkronja, do të japim një provë dhe më pas do të tregojmë shembuj të përdorimit. Dhe në fund të artikullit do të përmbledhim të gjitha vetitë e pabarazive numerike në një tabelë. Le të shkojmë!

Shtimi (ose zbritja) e ndonjë numri në të dy anët e një pabarazie të vërtetë numerike prodhon një mosbarazim të vërtetë numerik. Me fjalë të tjera, nëse numrat a dhe b janë të tillë që a
Për ta vërtetuar atë, le të bëjmë dallimin midis anës së majtë dhe të djathtë të pabarazisë së fundit numerike dhe të tregojmë se është negative në kushtin a (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Meqenëse nga kushti a
Ne nuk ndalemi në vërtetimin e kësaj vetie të pabarazive numerike për zbritjen e një numri c, pasi në bashkësinë e numrave realë zbritja mund të zëvendësohet duke shtuar -c.

Për shembull, nëse shtoni numrin 15 në të dy anët e mosbarazimit të saktë numerik 7>3, ju merrni mosbarazimin e saktë numerik 7+15>3+15, që është e njëjta gjë, 22>18.

Nëse të dyja anët e një pabarazie numerike të vlefshme shumëzohen (ose pjesëtohen) me të njëjtin numër pozitiv c, ju merrni një pabarazi numerike të vlefshme. Nëse të dyja anët e pabarazisë shumëzohen (ose pjesëtohen) me një numër negativ c, dhe shenja e pabarazisë është e kundërt, atëherë pabarazia do të jetë e vërtetë. Në trajtë fjalë për fjalë: nëse numrat a dhe b plotësojnë pabarazinë a b·c.

Dëshmi. Le të fillojmë me rastin kur c>0. Le të bëjmë dallimin ndërmjet anës së majtë dhe të djathtë të pabarazisë numerike që vërtetohet: a·c−b·c=(a−b)·c . Meqenëse nga kushti a 0 , atëherë prodhimi (a−b)·c do të jetë një numër negativ si prodhim i një numri negativ a−b dhe një numri pozitiv c (i cili vjen nga ). Prandaj, a·c−b·c<0 , откуда a·c
Ne nuk ndalemi te vërtetimi i vetive të shqyrtuara për pjesëtimin e të dy anëve të një pabarazie të vërtetë numerike me të njëjtin numër c, pasi pjesëtimi mund të zëvendësohet gjithmonë me shumëzim me 1/c.

Le të tregojmë një shembull të përdorimit të vetive të analizuara në numra të caktuar. Për shembull, mund të keni të dyja anët e pabarazisë numerike të saktë 4<6 умножить на положительное число 0,5 , что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5 , откуда −2<3 . А если обе части верного числового неравенства −8≤12 разделить на отрицательное число −4 , и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4) , откуда 2≥−3 .

Nga vetia e sapo diskutuar e shumëzimit të të dy anëve të një barazie numerike me një numër, pasojnë dy rezultate praktikisht të vlefshme. Pra, ne i formulojmë ato në formën e pasojave.

Të gjitha vetitë e trajtuara më sipër në këtë paragraf i bashkon fakti se fillimisht jepet një mosbarazim numerik i saktë dhe prej tij, nëpërmjet disa manipulimeve me pjesët e mosbarazimit dhe të shenjës, fitohet një tjetër jobarazim numerik i saktë. Tani do të paraqesim një bllok vetish në të cilin fillimisht jepen jo një, por disa pabarazi numerike të sakta dhe nga përdorimi i përbashkët i tyre fitohet një rezultat i ri pas mbledhjes ose shumëzimit të pjesëve të tyre.

Nëse numrat a, b, c dhe d plotësojnë pabarazitë a
Le të vërtetojmë se (a+c)−(b+d) është një numër negativ, kjo do të vërtetojë se a+c
Me induksion, kjo veti shtrihet në mbledhjen term pas termi të tre, katër dhe, në përgjithësi, të çdo numri të fundëm të pabarazive numerike. Pra, nëse për numrat a 1, a 2, …, a n dhe b 1, b 2, …, b n pabarazitë e mëposhtme janë të vërteta: a 1 a 1 +a 2 +…+a n .

Për shembull, na janë dhënë tre pabarazi numerike të sakta të së njëjtës shenjë −5<−2 , −1<12 и 3<4 . Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4 – тоже верное.

Ju mund të shumëzoni pabarazitë numerike të së njëjtës shenjë term me term, të dyja anët e të cilave përfaqësohen me numra pozitiv. Në veçanti, për dy pabarazi a
Për ta vërtetuar atë, mund të shumëzoni të dyja anët e pabarazisë a
Kjo veti është gjithashtu e vërtetë për shumëzimin e çdo numri të fundëm të pabarazive numerike të vërteta me pjesë pozitive. Kjo do të thotë, nëse a 1, a 2, ..., a n dhe b 1, b 2, ..., b n janë numra pozitivë, dhe a 1 a 1 · a 2 ·…·a n .

Më vete, vlen të përmendet se nëse shënimi për pabarazitë numerike përmban numra jo pozitiv, atëherë shumëzimi i tyre term pas termi mund të çojë në pabarazi numerike të pasakta. Për shembull, pabarazitë numerike 1<3 и −5<−4 – верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4) , что то же самое, −5<−12 , а это неверное неравенство.

Pasoja. Shumëzimi termik i pabarazive të vërteta identike të formës a

Në fund të artikullit, siç premtuam, do të mbledhim të gjitha pronat e studiuara në tabela e vetive të inekuacioneve numerike:

Referencat.

Moro M.I.. Matematika. Libër mësuesi për 1 klasë. fillimi shkolla Në 2 pjesë. (Gjysma e parë e vitit) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova. - M.: Arsimi, 2006. - 112 f.: i sëmurë.+Shto. (2 të veçanta l. i sëmurë). - ISBN 5-09-014951-8.

Matematika: tekst shkollor për klasën e 5-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Botimi 21, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 f.: ill. ISBN 5-346-00699-0.

Algjebra: teksti shkollor për klasën e 8-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Mordkovich A.G. Algjebër. klasën e 8-të. Në 2 orë Pjesa 1. Libër shkollor për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm / A. G. Mordkovich. - Botimi i 11-të, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 f.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Fusha e numrave real ka vetinë e renditjes (Seksioni 6, f. 35): për çdo numër a, b, një dhe vlen vetëm një nga tre marrëdhëniet: ose . Në këtë rast, hyrja a > b do të thotë se diferenca është pozitive dhe diferenca e hyrjes është negative. Ndryshe nga fusha e numrave realë, fusha e numrave kompleks nuk është e renditur: për numrat kompleks konceptet "më shumë" dhe "më pak" nuk janë të përcaktuara; Prandaj, ky kapitull trajton vetëm numrat realë.
Marrëdhëniet i quajmë pabarazi, numrat a dhe b janë terma (ose pjesë) të mosbarazimit, shenjat > (më e madhe se) dhe pabarazitë a > b dhe c > d quhen pabarazi me të njëjtin kuptim (ose të njëjtin) kuptim; pabarazitë a > b dhe c Nga përkufizimi i pabarazisë rrjedh menjëherë se
1) çdo numër pozitiv më i madh se zero;
2) çdo numër negativ është më i vogël se zero;
3) çdo numër pozitiv është më i madh se çdo numër negativ;
4) prej dy numrave negativë, ai vlera absolute e të cilit është më i vogël është më i madh.
Të gjitha këto deklarata pranojnë një interpretim të thjeshtë gjeometrik. Le të shkojë drejtimi pozitiv i boshtit numerik në të djathtë të pikës fillestare; atëherë, pavarësisht nga shenjat e numrave, më i madhi prej tyre përfaqësohet nga një pikë që shtrihet në të djathtë të pikës që përfaqëson numrin më të vogël.
Pabarazitë kanë këto veti themelore.
1. Asimetria (pakthyeshmëria): nëse , atëherë , dhe anasjelltas.

Në të vërtetë, nëse ndryshimi është pozitiv, atëherë ndryshimi është negativ. Ata thonë se kur riorganizohen termat e një pabarazie, kuptimi i pabarazisë duhet të ndryshohet në të kundërtën.
2. Transitiviteti: nëse , atëherë . Në të vërtetë, nga pozitiviteti i dallimeve rrjedh se
Përveç shenjave të pabarazisë, shenjat e pabarazisë dhe përdoren gjithashtu si më poshtë: hyrja do të thotë që ose ose Prandaj, për shembull, mund të shkruani, dhe gjithashtu. Në mënyrë tipike, pabarazitë e shkruara duke përdorur shenja quhen pabarazi strikte, dhe ato që shkruhen duke përdorur shenja quhen pabarazi jo të rrepta. Prandaj, vetë shenjat quhen shenja të pabarazisë strikte ose jo të rreptë. Vetitë 1 dhe 2 të diskutuara më sipër janë gjithashtu të vërteta për pabarazitë jo strikte.
Le të shqyrtojmë tani veprimet që mund të kryhen në një ose më shumë pabarazi.
3. Shtimi i të njëjtit numër në termat e një inekuacioni nuk e ndryshon kuptimin e mosbarazimit.
Dëshmi. Le të jepet një pabarazi dhe një numër arbitrar. Sipas përkufizimit, ndryshimi është pozitiv. Le t'i shtojmë këtij numri dy numra të kundërt, të cilët nuk do ta ndryshojnë atë, d.m.th.
Kjo barazi mund të rishkruhet si më poshtë:
Nga kjo rezulton se ndryshimi është pozitiv, d.m.th
dhe kjo ishte ajo që duhej vërtetuar.
Kjo është baza për mundësinë që çdo anëtar i pabarazisë të anohet nga një pjesë në tjetrën me shenjën e kundërt. Për shembull, nga pabarazia
rrjedh se
4. Kur shumëzohen termat e një pabarazie me të njëjtin numër pozitiv, kuptimi i mosbarazimit nuk ndryshon; Kur termat e një pabarazie shumëzohen me të njëjtin numër negativ, kuptimi i pabarazisë ndryshon në të kundërtën.

Dëshmi. Le atëherë Nëse atëherë meqë prodhimi i numrave pozitivë është pozitiv. Duke hapur kllapat në anën e majtë të pabarazisë së fundit, marrim , d.m.th. Çështja konsiderohet në të njëjtën mënyrë.
Pikërisht i njëjti përfundim mund të nxirret në lidhje me pjesëtimin e pjesëve të mosbarazimit me çdo numër tjetër përveç zeros, pasi pjesëtimi me një numër është i barabartë me shumëzimin me një numër dhe numrat kanë të njëjtat shenja.
5. Termat e pabarazisë le të jenë pozitive. Pastaj, kur termat e saj ngrihen në të njëjtën fuqi pozitive, kuptimi i pabarazisë nuk ndryshon.
Dëshmi. Le në këtë rast, nga vetia kalimtare, dhe . Pastaj, për shkak të rritjes monotonike të funksionit të fuqisë për dhe pozitiv, do të kemi
Në veçanti, nëse ku është një numër natyror, atëherë marrim
dmth, kur nxjerrim rrënjën nga të dyja anët e një pabarazie me terma pozitivë, kuptimi i pabarazisë nuk ndryshon.
Le të jenë termat e pabarazisë negative. Atëherë nuk është e vështirë të vërtetohet se kur termat e saj ngrihen në një fuqi të çuditshme natyrore, kuptimi i pabarazisë nuk ndryshon, por kur ngrihet në një fuqi të barabartë natyrore, ai ndryshon në të kundërtën. Nga pabarazitë me terma negativë mund të nxirret edhe rrënja e shkallës tek.
Më tej, termat e pabarazisë le të kenë shenja të ndryshme. Pastaj, kur e ngremë atë në një fuqi tek, kuptimi i pabarazisë nuk ndryshon, por kur e ngrihet në një fuqi çift, në rastin e përgjithshëm, nuk mund të thuhet asgjë e caktuar për kuptimin e pabarazisë që rezulton. Në fakt, kur një numër ngrihet në një fuqi tek, shenja e numrit ruhet dhe për këtë arsye kuptimi i pabarazisë nuk ndryshon. Kur një pabarazi ngrihet në një fuqi të barabartë, formohet një pabarazi me terma pozitivë dhe kuptimi i saj do të varet nga vlerat absolute të termave të pabarazisë origjinale, një pabarazi me të njëjtin kuptim si ai origjinal; me kuptim të kundërt, madje mund të fitohet barazi!
Është e dobishme të kontrolloni gjithçka që është thënë për ngritjen e pabarazive në fuqi duke përdorur shembullin e mëposhtëm.
Shembulli 1. Ngrini pabarazitë e mëposhtme në fuqinë e treguar, duke ndryshuar shenjën e pabarazisë në shenjën e kundërt ose të barabartë, nëse është e nevojshme.
a) 3 > 2 në fuqinë 4; b) deri në shkallën 3;

c) deri në shkallën 3; d) deri në shkallën 2;
e) në fuqinë 5; e) deri në shkallën 4;
g) 2 > -3 në fuqinë 2; h) në fuqinë 2,
6. Nga një pabarazi mund të kalojmë në një pabarazi ndërmjet nëse termat e pabarazisë janë të dyja pozitive ose të dyja negative, atëherë midis reciprokeve të tyre ekziston një pabarazi me kuptim të kundërt:
Dëshmi. Nëse a dhe b janë të së njëjtës shenjë, atëherë produkti i tyre është pozitiv. Pjestojeni me pabarazi
d.m.th., ajo që kërkohej të merrej.
Nëse termat e një pabarazie kanë shenja të kundërta, atëherë pabarazia midis reciprokeve të tyre ka të njëjtin kuptim, pasi shenjat e reciprokeve janë të njëjta me shenjat e vetë sasive.
Shembulli 2. Kontrolloni veçorinë e fundit 6 duke përdorur pabarazitë e mëposhtme:
7. Logaritmi i inekuacioneve mund të bëhet vetëm në rastin kur termat e mosbarazimeve janë pozitive (numrat negativë dhe logaritmet zero nuk kanë).
Le . Pastaj do të ketë
dhe kur do të ketë
Korrektësia e këtyre pohimeve bazohet në monotoninë e funksionit logaritmik, i cili rritet nëse baza dhe zvogëlohet me
Pra, kur merret logaritmi i një pabarazie të përbërë nga terma pozitivë në një bazë më të madhe se një, formohet një pabarazi me të njëjtin kuptim me atë të dhënë, dhe kur logaritmin e çojmë në një bazë pozitive më të vogël se një, një pabarazi e formohet kuptimi i kundërt.
8. Nëse, atëherë nëse, por, atëherë.
Kjo rrjedh menjëherë nga vetitë e monotonitetit të funksionit eksponencial (Seksioni 42), i cili rritet në rast dhe zvogëlohet nëse
Kur shtohen pabarazitë termike me të njëjtin kuptim, formohet një pabarazi me të njëjtin kuptim si të dhënat.
Dëshmi. Le ta vërtetojmë këtë pohim për dy pabarazi, megjithëse është e vërtetë për çdo numër pabarazish të shtuara. Le të jepen pabarazitë

Sipas përkufizimit, numrat do të jenë pozitivë; atëherë edhe shuma e tyre del pozitive, d.m.th.
Duke grupuar termat ndryshe, marrim
dhe prandaj
dhe kjo ishte ajo që duhej vërtetuar.
Është e pamundur të thuash ndonjë gjë të caktuar në rastin e përgjithshëm për kuptimin e një pabarazie të përftuar duke shtuar dy ose më shumë pabarazi me kuptime të ndryshme.
10. Nëse nga një pabarazi zbresim, term për term, një pabarazi tjetër me kuptim të kundërt, atëherë formohet një pabarazi me të njëjtin kuptim si i pari.
Dëshmi. Le të jepen dy pabarazi me kuptime të ndryshme. E dyta prej tyre, sipas vetive të pakthyeshmërisë, mund të rishkruhet si më poshtë: d > c. Le të shtojmë tani dy pabarazi me të njëjtin kuptim dhe të marrim pabarazinë
të njëjtin kuptim. Nga kjo e fundit gjejmë
dhe kjo ishte ajo që duhej vërtetuar.
Është e pamundur të thuash ndonjë gjë të caktuar në rastin e përgjithshëm për kuptimin e një pabarazie të përftuar duke zbritur nga një pabarazi një pabarazi tjetër me të njëjtin kuptim.

Teori:

Kur zgjidhen pabarazitë, përdoren rregullat e mëposhtme:

1. Çdo term i pabarazisë mund të bartet nga një pjesë
pabarazia në një tjetër me shenjë të kundërt, por shenja e pabarazisë nuk ndryshon.

2. Të dyja anët e pabarazisë mund të shumëzohen ose pjesëtohen me një
dhe i njëjti numër pozitiv pa ndryshuar shenjën e pabarazisë.

3. Të dyja anët e pabarazisë mund të shumëzohen ose pjesëtohen me një
dhe të njëjtin numër negativ, duke ndryshuar shenjën e pabarazisë në
përballë.

Zgjidhja e pabarazisë − 8 x + 11< − 3 x − 4
Zgjidhje.

1. Le të lëvizim penisin − 3 x në anën e majtë të pabarazisë, dhe termi 11 - në anën e djathtë të pabarazisë, duke ndryshuar shenjat në ato të kundërta − 3 x dhe në 11 .
Pastaj marrim

− 8 x + 3 x< − 4 − 11

− 5 x< − 15

2. Të ndajmë të dyja anët e pabarazisë − 5 x< − 15 në një numër negativ − 5 , dhe shenjën e pabarazisë < , do të ndryshojë në > , d.m.th. kalojmë në një pabarazi me kuptim të kundërt.
Ne marrim:

− 5 x< − 15 | : (− 5 )

x > − 15 : (− 5 )

x > 3

x > 3- zgjidhja e një pabarazie të dhënë.

Kushtojini vëmendje!

Ekzistojnë dy mundësi për të shkruar një zgjidhje: x > 3 ose si një interval numrash.

Le të shënojmë grupin e zgjidhjeve të pabarazisë në vijën numerike dhe ta shkruajmë përgjigjen në formën e një intervali numerik.

x ∈ (3 ; + ∞ )

Përgjigje: x > 3 ose x ∈ (3 ; + ∞ )

Pabarazitë algjebrike.

Pabarazitë kuadratike. Pabarazitë racionale të shkallëve më të larta.

Metodat për zgjidhjen e pabarazive varen kryesisht nga ajo klasë që i përkasin funksionet që përbëjnë pabarazinë.

I. Pabarazitë kuadratike, pra pabarazitë e formës

sëpatë 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

Për të zgjidhur pabarazinë mund të:

Faktoroni trinomin katror, pra shkruani pabarazinë në formë

a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).

Paraqitni rrënjët e polinomit në vijën numerike. Rrënjët e ndajnë bashkësinë e numrave realë në intervale, në secilën prej të cilave funksioni kuadratik përkatës do të jetë me shenjë konstante.

Përcaktoni shenjën e a (x - x 1) (x - x 2) në çdo interval dhe shkruani përgjigjen.

Nëse një trinom katror nuk ka rrënjë, atëherë për D<0 и a>Trinomi 0 katror është pozitiv për çdo x.

Zgjidhja e pabarazisë. x 2 + x - 6 > 0.

Faktoroni trinomin kuadratik (x + 3) (x - 2) > 0

Përgjigje: x (-∞; -3) (2; +∞).

2) (x - 6) 2 > 0

Kjo pabarazi është e vërtetë për çdo x përveç x = 6.

Përgjigje: (-∞; 6) (6; +∞).

3) x² + 4x + 15< 0.

Këtu D< 0, a = 1 >0. Trinomi katror është pozitiv për të gjitha x.

Përgjigje: x Î Ø.

Zgjidh pabarazitë:

1 + x - 2x²< 0. Ответ:

3x² - 12x + 12 ≤ 0. Përgjigje:

3x² - 7x + 5 ≤ 0. Përgjigje:

2x² - 12x + 18 > 0. Përgjigje:

Për cilat vlera të a bën pabarazia

x² - sëpatë > vlen për çdo x? Përgjigje:

II. Pabarazitë racionale të shkallëve më të larta, pra pabarazitë e formës

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.

Duhet të faktorizohet një polinom i shkallës më të lartë, domethënë pabarazia të shkruhet në formë

a n (x - x 1) (x - x 2) ·…· (x - x n) > 0 (<0).

Shënoni pikat në vijën numerike ku zhduket polinomi.

Përcaktoni shenjat e polinomit në çdo interval.

1) Zgjidh pabarazinë x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.

x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1)(x 2 -5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Pra x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

Përgjigje: (0; 1) (2; 3).

2) Zgjidh pabarazinë (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.

Le të shënojmë pikat në boshtin numerik në të cilin zhduket polinomi. Këto janë x = 1, x = -2, x = ½, x = - ½.

Në pikën x = - ½ nuk ka ndryshim të shenjës sepse binomi (2x + 1) është ngritur në një fuqi çift, domethënë shprehja (2x + 1) 4 nuk ndryshon shenjë kur kalon në pikën x = - ½.

Përgjigje: (-∞; -2) (½; 1).

3) Zgjidh inekuacionin: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.

Kjo pabarazi është ekuivalente me grupin e mëposhtëm

Zgjidhja e (1) është x (-∞; -2) (3; +∞). Zgjidhja e (2) është x = 0, x = -2, x = 3. Duke kombinuar zgjidhjet e fituara, fitojmë x О (-∞; -2] (0) (0) )