Si të kuptojmë temën e veprimeve me numra racional. Numrat racionalë dhe veprimet mbi to

NË këtë mësim merren parasysh mbledhja dhe zbritja e numrave racionalë. Tema klasifikohet si komplekse. Këtu është e nevojshme të përdoret i gjithë arsenali i njohurive të fituara më parë.

Rregullat për mbledhjen dhe zbritjen e numrave të plotë vlejnë edhe për numrat racionalë. Kujtojmë se numrat racionalë janë numra që mund të paraqiten si thyesë, ku a – ky është numëruesi i thyesës, bështë emëruesi i thyesës. Në të njëjtën kohë, b nuk duhet të jetë zero.

Në këtë mësim thyesat dhe numra të përzier ne do t'i quajmë gjithnjë e më shumë me një frazë të përgjithshme - numrat racionalë.

Shembulli 1. Gjeni kuptimin e shprehjes:

Le të mbyllim çdo numër racional në kllapa së bashku me shenjat e tij. Marrim parasysh se plusi i dhënë në shprehje është shenjë e veprimit dhe nuk vlen për thyesën. Kjo fraksion ka shenjën e vet plus, e cila është e padukshme për faktin se nuk është e shkruar. Por ne do ta shkruajmë për qartësi:

Kjo është mbledhja e numrave racionalë me shenja të ndryshme. Për të shtuar numra racionalë me shenja të ndryshme, duhet të zbrisni modulin më të vogël nga moduli më i madh dhe përpara përgjigjes që rezulton vendosni shenjën e numrit racional moduli i të cilit është më i madh.

Dhe për të kuptuar se cili modul është më i madh dhe cili është më i vogël, duhet të jeni në gjendje të krahasoni modulët e këtyre fraksioneve përpara se t'i llogaritni ato:

Moduli i një numri racional është më i madh se moduli i një numri racional. Prandaj, ne zbritëm nga . Morëm një përgjigje. Pastaj, duke e zvogëluar këtë thyesë me 2, morëm përgjigjen përfundimtare.

Disa veprime primitive, të tilla si vendosja e numrave në kllapa dhe shtimi i moduleve, mund të anashkalohen. Ky shembull mund të shkruhet shkurt: Gjeni kuptimin e shprehjes:

Shembulli 2. Ne e mbyllim çdo numër racional në kllapa së bashku me shenjat e tij. Marrim parasysh se minus qëndron në mes numrat racionalë

dhe është një shenjë operacioni dhe nuk i referohet një thyese. Kjo fraksion ka shenjën e vet plus, e cila është e padukshme për faktin se nuk është e shkruar. Por ne do ta shkruajmë për qartësi:

Zëvendësojmë zbritjen me mbledhjen. Le t'ju kujtojmë se për ta bërë këtë ju duhet të shtoni në minuend numrin e kundërt me subtrahend:

Shënim. Nuk është e nevojshme të mbyllni çdo numër racional në kllapa. Kjo bëhet për lehtësi, për të parë qartë se cilat shenja kanë numrat racionalë.

Shembulli 3. Gjeni kuptimin e shprehjes:

Në këtë shprehje, thyesat emërues të ndryshëm. Për t'i bërë gjërat më të lehta, le t'i reduktojmë këto thyesa në emërues i përbashkët. Ne nuk do të ndalemi në detaje se si ta bëjmë këtë. Nëse keni vështirësi, sigurohuni që ta përsërisni mësimin.

Pas reduktimit të thyesave në një emërues të përbashkët, shprehja do të marrë formën e mëposhtme:

Kjo është shtimi i numrave racionalë me shenja të ndryshme. Ne zbresim modulin më të vogël nga moduli më i madh dhe para përgjigjes që rezulton vendosim shenjën e numrit racional moduli i të cilit është më i madh:

Le të shkruajmë shkurtimisht zgjidhjen e këtij shembulli:

Shembulli 4. Gjeni vlerën e një shprehjeje

Le të llogarisim kjo shprehje në vijim: le të mbledhim numrat racionalë dhe më pas të zbresim numrin racional nga rezultati që rezulton.

Veprimi i parë:

Veprimi i dytë:

Shembulli 5. Gjeni kuptimin e shprehjes:

Le të paraqesim numrin e plotë −1 si një thyesë dhe ta kthejmë numrin e përzier në një thyesë të papërshtatshme:

Le të mbyllim çdo numër racional në kllapa së bashku me shenjat e tij:

Ne morëm mbledhjen e numrave racionalë me shenja të ndryshme. Ne zbresim modulin më të vogël nga moduli më i madh dhe para përgjigjes që rezulton vendosim shenjën e numrit racional moduli i të cilit është më i madh:

Morëm një përgjigje.

Ekziston një zgjidhje e dytë. Ai përbëhet nga bashkimi i pjesëve të tëra veçmas.

Pra, le të kthehemi te shprehja origjinale:

Le të mbyllim çdo numër në kllapa. Për ta bërë këtë, numri i përzier është i përkohshëm:

Le të llogarisim pjesët e plota:

(−1) + (+2) = 1

Në shprehjen kryesore, në vend të (−1) + (+2), shkruajmë njësinë që rezulton:

Shprehja që rezulton është . Për ta bërë këtë, shkruani njësinë dhe thyesën së bashku:

Le ta shkruajmë zgjidhjen në këtë mënyrë në një mënyrë më të shkurtër:

Shembulli 6. Gjeni vlerën e një shprehjeje

Le ta kthejmë numrin e përzier në një thyesë jo të duhur. Le të rishkruajmë pjesën tjetër pa ndryshuar:

Le të mbyllim çdo numër racional në kllapa së bashku me shenjat e tij:

Zëvendësojmë zbritjen me mbledhjen:

Le të shkruajmë shkurtimisht zgjidhjen e këtij shembulli:

Shembulli 7. Gjeni vlerën e një shprehjeje

Le të paraqesim numrin e plotë −5 si një thyesë dhe ta kthejmë numrin e përzier në një thyesë të papërshtatshme:

Le t'i sjellim këto thyesa në një emërues të përbashkët. Pasi të reduktohen në një emërues të përbashkët, ato do të marrin formën e mëposhtme:

Le të mbyllim çdo numër racional në kllapa së bashku me shenjat e tij:

Zëvendësojmë zbritjen me mbledhjen:

Ne morëm mbledhjen e numrave racionalë negativë. Le të shtojmë modulet e këtyre numrave dhe të vendosim një minus përpara përgjigjes që rezulton:

Kështu, vlera e shprehjes është .

Le të vendosim ky shembull mënyra e dytë. Le të kthehemi te shprehja origjinale:

Le ta shkruajmë numrin e përzier në formë të zgjeruar. Le të rishkruajmë pjesën tjetër pa ndryshime:

Ne e mbyllim çdo numër racional në kllapa së bashku me shenjat e tij:

Le të llogarisim pjesët e plota:

Në shprehjen kryesore, në vend që të shkruani numrin që rezulton −7

Shprehja është një formë e zgjeruar e shkrimit të një numri të përzier. Ne shkruajmë numrin -7 dhe thyesën së bashku për të formuar përgjigjen përfundimtare:

Le ta shkruajmë shkurtimisht këtë zgjidhje:

Shembulli 8. Gjeni vlerën e një shprehjeje

Ne e mbyllim çdo numër racional në kllapa së bashku me shenjat e tij:

Zëvendësojmë zbritjen me mbledhjen:

Ne morëm mbledhjen e numrave racionalë negativë. Le të shtojmë modulet e këtyre numrave dhe të vendosim një minus përpara përgjigjes që rezulton:

Pra, vlera e shprehjes është

Ky shembull mund të zgjidhet në mënyrën e dytë. Ai konsiston në shtimin e pjesëve të plota dhe të pjesshme veç e veç. Le të kthehemi te shprehja origjinale:

Le të mbyllim çdo numër racional në kllapa së bashku me shenjat e tij:

Zëvendësojmë zbritjen me mbledhjen:

Ne morëm mbledhjen e numrave racionalë negativë. Le të shtojmë modulet e këtyre numrave dhe të vendosim një minus përpara përgjigjes që rezulton. Por këtë herë do të shtojmë pjesët e tëra (−1 dhe −2), si thyesore ashtu edhe

Le ta shkruajmë shkurtimisht këtë zgjidhje:

Shembulli 9. Gjeni shprehje shprehëse

Le t'i konvertojmë numrat e përzier në thyesat e papërshtatshme:

Le të vendosim një numër racional në kllapa së bashku me shenjën e tij. Nuk ka nevojë të vendosni një numër racional në kllapa, pasi ai tashmë është në kllapa:

Ne morëm mbledhjen e numrave racionalë negativë. Le të shtojmë modulet e këtyre numrave dhe të vendosim një minus përpara përgjigjes që rezulton:

Pra, vlera e shprehjes është

Tani le të përpiqemi të zgjidhim të njëjtin shembull në mënyrën e dytë, përkatësisht duke shtuar pjesë të plota dhe të pjesshme veç e veç.

Këtë herë, për të marrë zgjidhje e shkurtër, le të përpiqemi të kapërcejmë disa hapa, si p.sh.: shkrimi i një numri të përzier në formë të zgjeruar dhe zëvendësimi i zbritjes me mbledhje:

Ju lutemi vini re se pjesët thyesore janë reduktuar në një emërues të përbashkët.

Shembulli 10. Gjeni vlerën e një shprehjeje

Zëvendësojmë zbritjen me mbledhjen:

Shprehja që rezulton nuk përmban numra negativë, të cilët janë arsyeja kryesore e gabimeve. Dhe meqenëse nuk ka numra negativë, ne mund të heqim plusin përpara subtrahendës dhe gjithashtu të heqim kllapat:

Rezultati është një shprehje e thjeshtë që është e lehtë për t'u llogaritur. Le ta llogarisim atë në çdo mënyrë të përshtatshme për ne:

Shembulli 11. Gjeni vlerën e një shprehjeje

Kjo është shtimi i numrave racionalë me shenja të ndryshme. Le të zbresim modulin më të vogël nga moduli më i madh dhe para përgjigjes që rezulton vendosim shenjën e numrit racional moduli i të cilit është më i madh:

Shembulli 12. Gjeni vlerën e një shprehjeje

Shprehja përbëhet nga disa numra racionalë. Sipas, para së gjithash duhet të kryeni veprimet në kllapa.

Fillimisht llogarisim shprehjen, më pas shtojmë rezultatet e marra.

Veprimi i parë:

Veprimi i dytë:

Veprimi i tretë:

Përgjigje: vlera e shprehjes barazohet

Shembulli 13. Gjeni vlerën e një shprehjeje

Le t'i kthejmë numrat e përzier në thyesa jo të duhura:

Le të vendosim numrin racional në kllapa së bashku me shenjën e tij. Nuk ka nevojë të vendosni numrin racional në kllapa, pasi ai tashmë është në kllapa:

Le t'i sjellim këto thyesa në një emërues të përbashkët. Pas sjelljes së tyre në një emërues të përbashkët, ata do të marrin formën e mëposhtme:

Zëvendësojmë zbritjen me mbledhjen:

Ne morëm mbledhjen e numrave racionalë me shenja të ndryshme. Le të zbresim modulin më të vogël nga moduli më i madh dhe para përgjigjes që rezulton vendosim shenjën e numrit racional moduli i të cilit është më i madh:

Kështu, kuptimi i shprehjes barazohet

Le të shohim mbledhjen dhe zbritjen e numrave dhjetorë, të cilët janë gjithashtu numra racionalë dhe mund të jenë pozitiv ose negativ.

Shembulli 14. Gjeni vlerën e shprehjes −3,2 + 4,3

Le të mbyllim çdo numër racional në kllapa së bashku me shenjat e tij. Marrim parasysh që plusi i dhënë në shprehje është një shenjë operacioni dhe nuk vlen për thyesën dhjetore 4.3. Kjo thyesë dhjetore ka shenjën e vet plus, e cila është e padukshme për faktin se nuk është e shkruar. Por ne do ta shkruajmë për qartësi:

(−3,2) + (+4,3)

Kjo është shtimi i numrave racionalë me shenja të ndryshme. Për të shtuar numra racionalë me shenja të ndryshme, duhet të zbritni modulin më të vogël nga moduli më i madh dhe para përgjigjes që rezulton vendosni numrin racional moduli i të cilit është më i madh.

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

Dhe për të kuptuar se cili modul është më i madh dhe cili është më i vogël, duhet të jeni në gjendje të krahasoni modulet e këtyre thyesave dhjetore përpara se t'i llogaritni ato:

Moduli i numrit 4.3 është më i madh se moduli i numrit −3.2, kështu që ne zbritëm 3.2 nga 4.3. Morëm përgjigjen 1.1. Përgjigja është pozitive, pasi përgjigja duhet të paraprihet nga shenja e numrit racional moduli i të cilit është më i madh. Dhe moduli i numrit 4.3 është më i madh se moduli i numrit -3.2

−3,2 + (+4,3) = 1,1

Kështu, vlera e shprehjes −3,2 + (+4,3) është 1,1 Shembulli 15.

Gjeni vlerën e shprehjes 3,5 + (−8,3)

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8

Kjo është shtimi i numrave racionalë me shenja të ndryshme. Si në shembullin e mëparshëm, ne zbresim më të voglin nga moduli më i madh dhe para përgjigjes vendosim shenjën e numrit racional moduli i të cilit është më i madh:

Kështu, vlera e shprehjes 3,5 + (−8,3) është −4,8

3,5 + (−8,3) = −4,8

Ky shembull mund të shkruhet shkurt: Shembulli 16.

Gjeni vlerën e shprehjes −7,2 + (−3,11)

Kjo është mbledhja e numrave racionalë negativë. Për të shtuar numra racionalë negativë, duhet të shtoni modulet e tyre dhe të vendosni një minus përpara përgjigjes që rezulton.

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

Mund ta kaloni hyrjen me module në mënyrë që të mos rrëmbeni shprehjen:

Kështu, vlera e shprehjes 3,5 + (−8,3) është −4,8

−7,2 + (−3,11) = −10,31

Kështu, vlera e shprehjes −7,2 + (−3,11) është −10,31 Shembulli 17.

Gjeni vlerën e shprehjes −0,48 + (−2,7)

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18

Kjo është mbledhja e numrave racionalë negativë. Le të shtojmë modulet e tyre dhe të vendosim një minus përpara përgjigjes që rezulton. Mund ta kaloni hyrjen me module në mënyrë që të mos rrëmbeni shprehjen: Shembulli 18.

Gjeni vlerën e shprehjes −4,9 − 5,9

(−4,9) − (+5,9)

Zëvendësojmë zbritjen me mbledhjen:

(−4,9) + (−5,9)

Ne morëm mbledhjen e numrave racionalë negativë. Le të shtojmë modulet e tyre dhe të vendosim një minus përpara përgjigjes që rezulton:

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

Kështu, vlera e shprehjes −4,9 − 5,9 është −10,8

−4,9 − 5,9 = −10,8

Shembulli 19. Gjeni vlerën e shprehjes 7 − 9.3

Le të vendosim çdo numër në kllapa së bashku me shenjat e tij.

(+7) − (+9,3)

Zëvendësojmë zbritjen me mbledhjen

(+7) + (−9,3)

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

Kështu, vlera e shprehjes 7 − 9.3 është −2.3

Le të shkruajmë shkurtimisht zgjidhjen e këtij shembulli:

7 − 9,3 = −2,3

Shembulli 20. Gjeni vlerën e shprehjes −0,25 − (−1,2)

Zëvendësojmë zbritjen me mbledhjen:

−0,25 + (+1,2)

Ne morëm mbledhjen e numrave racionalë me shenja të ndryshme. Le të zbresim modulin më të vogël nga moduli më i madh dhe para përgjigjes vendosim shenjën e numrit moduli i të cilit është më i madh:

−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95

Le të shkruajmë shkurtimisht zgjidhjen e këtij shembulli:

−0,25 − (−1,2) = 0,95

Shembulli 21. Gjeni vlerën e shprehjes −3,5 + (4,1 − 7,1)

Le të kryejmë veprimet në kllapa, pastaj të shtojmë përgjigjen që rezulton me numrin -3.5

Veprimi i parë:

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

Veprimi i dytë:

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

Përgjigje: vlera e shprehjes −3,5 + (4,1 − 7,1) është −6,5.

Shembulli 22. Gjeni vlerën e shprehjes (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1)

Le të bëjmë hapat në kllapa. Pastaj, nga numri që është marrë si rezultat i ekzekutimit të kllapave të para, zbresni numrin që është marrë si rezultat i ekzekutimit të kllapave të dyta:

Veprimi i parë:

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

Veprimi i dytë:

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

Akti i tretë

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Përgjigje: vlera e shprehjes (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) është 6.

Shembulli 23. Gjeni vlerën e një shprehjeje −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

Le të vendosim çdo numër racional në kllapa së bashku me shenjat e tij

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

Le të zëvendësojmë zbritjen me mbledhjen kur është e mundur:

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

Shprehja përbëhet nga disa terma. Sipas ligjit kombinues të mbledhjes, nëse një shprehje përbëhet nga disa terma, atëherë shuma nuk do të varet nga rendi i veprimeve. Kjo do të thotë që kushtet mund të shtohen në çdo mënyrë.

Le të mos e rishpikim rrotën, por të shtojmë të gjitha termat nga e majta në të djathtë në rendin që shfaqen:

Veprimi i parë:

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

Veprimi i dytë:

13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15

Veprimi i tretë:

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

Përgjigje: vlera e shprehjes −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 është 1.

Shembulli 24. Gjeni vlerën e një shprehjeje

Le ta shndërrojmë thyesën dhjetore −1,8 në një numër të përzier. Le të rishkruajmë pjesën tjetër pa ndryshuar:

Pastaj a + b = b + a, a+(b + c) = (a + b) + c.

Shtimi i zeros nuk e ndryshon numrin, por shuma e numrave të kundërt është zero.

Kjo do të thotë se për çdo numër racional kemi: a + 0 = a, a + (- a) = 0.

Shumëzimi i numrave racional ka edhe veti komutative dhe asociative. Me fjalë të tjera, nëse a, b dhe c janë ndonjë numër racional, atëherë ab - ba, a(bc) - (ab)c.

Shumëzimi me 1 nuk ndryshon një numër racional, por prodhimi i një numri dhe inversi i tij është i barabartë me 1.

Kjo do të thotë se për çdo numër racional a kemi:

a) x + 8 - x - 22; c) a-m + 7-8+m;
b) -x-a + 12+a -12; d) 6,1 -k + 2,8 + p - 8,8 + k - p.

1190. Pasi të keni zgjedhur një procedurë të përshtatshme llogaritjeje, gjeni vlerën e shprehjes:

1191. Formuloni me fjalë vetinë komutative të shumëzimit ab = ba dhe kontrollojeni kur:

1192. Formuloni me fjalë veti asociative shumëzojeni a(bc)=(ab)c dhe kontrollojeni me:

1193. Duke zgjedhur një rend llogaritjeje të përshtatshme, gjeni vlerën e shprehjes:

1194. Cilin numër do të merrni (pozitiv ose negativ) nëse shumëzoni:

a) një numër negativ dhe dy numra pozitiv;
b) dy numra negativ dhe një pozitiv;
c) 7 numra negativë dhe disa pozitivë;
d) 20 negative dhe disa pozitive? Nxirrni një përfundim.

1195. Përcaktoni shenjën e produktit:

a) - 2 (- 3) (- 9) (-1,3) 14 (- 2,7) (- 2,9);
b) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.

a) Vitya, Kolya, Petya, Seryozha dhe Maxim u mblodhën në palestër (Fig. 91, a). Doli se secili nga djemtë njihte vetëm dy të tjerë. Kush e di kush? (Skaji i grafikut do të thotë "ne e njohim njëri-tjetrin.")

b) Vëllezërit dhe motrat e një familjeje po ecin në oborr. Cilët nga këta fëmijë janë djem dhe cilët janë vajza (Fig. 91, b)? (Skajet me pika të grafikut nënkuptojnë "Unë jam një motër", dhe ato të ngurta do të thotë "Unë jam një vëlla.")

1205. Llogaritni:

1206. Krahaso:

a) 2 3 dhe 3 2; b) (-2) 3 dhe (-3) 2; c) 1 3 dhe 1 2; d) (-1) 3 dhe (-1) 2.

1207. Rrumbullakosni 5,2853 në të mijëtat; te të qindtat; deri në të dhjetat; deri në njësi.

1208. Zgjidh problemin:

1) Një motoçiklist arrin një çiklist. Tani ka 23.4 km mes tyre. Shpejtësia e një motoçiklisti është 3.6 herë më e madhe se shpejtësia e një çiklist. Gjeni shpejtësinë e çiklistit dhe motoçiklistit nëse dihet se motoçiklisti do ta arrijë çiklistin brenda një ore.
2) Një makinë po arrin një autobus. Tani ka 18 km mes tyre. Shpejtësia e autobusit është e njëjtë me atë të makinës së pasagjerëve. Gjeni shpejtësinë e autobusit dhe makinës nëse dihet që makina do të arrijë autobusin për një orë.

1209. Gjeni kuptimin e shprehjes:

1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).

Kontrolloni llogaritjet tuaja me mikro kalkulator.
1210. Pasi të keni zgjedhur një rend llogaritjeje të përshtatshme, gjeni vlerën e shprehjes:

1211. Thjeshtoni shprehjen:

1212. Gjeni kuptimin e shprehjes:

1213. Ndiqni këto hapa:

1214. Nxënësve iu dha detyra të grumbullonin 2.5 ton skrap. Ata mblodhën 3.2 ton skrap. Sa për qind e kanë kryer nxënësit detyrën dhe sa për qind e kanë tejkaluar detyrën?

1215. Makina ka kaluar 240 km. Nga këto, 180 km ajo eci përgjatë një rruge fshati, dhe pjesën tjetër të rrugës përgjatë autostradës. Konsumi i benzinës për 10 km rrugë fshati ishte 1.6 litra, dhe në autostradë - 25% më pak. Sa litra benzinë ​​janë konsumuar mesatarisht për çdo 10 km udhëtim?

1216. Duke u larguar nga fshati, çiklisti vuri re një këmbësor në urë duke ecur në të njëjtin drejtim dhe e kapi 12 minuta më vonë. Gjeni shpejtësinë e këmbësorit nëse shpejtësia e një biçiklisti është 15 km/h dhe distanca nga fshati deri te ura është 1 km 800 m?

1217. Ndiqni këto hapa:

a) - 4,8 3,7 - 2,9 8,7 - 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
b) -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42+4,1 0,8;
c) 3,5 0,23 - 3,5 (- 0,64) + 0,87 (- 2,5).

Njerëzit, siç e dini, u njohën me numrat racional gradualisht. Në fillim, gjatë numërimit të objekteve, u shfaqën numra natyrorë. Në fillim kishte pak prej tyre. Kështu, deri vonë, midis vendasve të ishujve në ngushticën e Torres (duke ndarë Guinea e Re nga Australia) kishte vetëm dy numra në gjuhë: "urapun" (një) dhe "okaz" (dy). Banorët e ishullit numëronin kështu: "Okaza-urapun" (tre), "Okaza-Okaza" (katër), etj. Vendasit i quanin të gjithë numrat, duke filluar nga shtatë, me një fjalë që do të thotë "shumë".

Shkencëtarët besojnë se fjala për qindra u shfaq më shumë se 7000 vjet më parë, për mijëra - 6000 vjet më parë dhe 5000 vjet më parë në Egjipti i lashtë dhe në Babilonia e lashtë emrat shfaqen për numra të mëdhenj - deri në një milion. Por për një kohë të gjatë seria natyrore e numrave konsiderohej e fundme: njerëzit mendonin se kishte një numër më të madh.

Matematikani dhe fizikani më i madh grek i lashtë, Arkimedi (287-212 para Krishtit) doli me një mënyrë për të përshkruar numra të mëdhenj. Numri më i madh që mund të emëronte Arkimedi ishte aq i madh sa për regjistrimin dixhital do të duhej një kasetë dy mijë herë më e gjatë se distanca nga Toka në Diell.

Por ata ende nuk kishin qenë në gjendje të shkruanin shifra kaq të mëdha. Kjo u bë e mundur vetëm pas matematikanëve indianë në shekullin e 6-të. u shpik numri zero dhe ai filloi të tregojë mungesën e njësive në shifra shënim dhjetor numrat.

Gjatë ndarjes së plaçkës dhe më vonë gjatë matjes së vlerave, dhe në raste të tjera të ngjashme, njerëzit hasën nevojën për të futur "numra të prishur" - thyesat e zakonshme. Operacionet me fraksione konsideroheshin si fusha më e vështirë e matematikës në mesjetë. Deri më sot, gjermanët thonë për një person që e gjen veten në një situatë të vështirë se ai "ra në fraksione".

Për ta bërë më të lehtë punën me thyesat, u shpikën numrat dhjetorë thyesat. Në Evropë ato u prezantuan në X585 nga matematikani dhe inxhinieri holandez Simon Stevin.

Numrat negativë u shfaqën më vonë se thyesat. Për një kohë të gjatë numra të tillë u konsideruan "jo ekzistues", "të rremë" kryesisht për faktin se interpretimi i pranuar për numrat pozitivë dhe negativë "pronë - borxh" çoi në konfuzion: mund të shtoni ose zbritni "pronë" ose "borxhet", por si ta kuptojmë produktin apo “pronën” dhe “borxhin” private?

Megjithatë, përkundër dyshimeve dhe hutimeve të tilla, rregullat për shumëzimin dhe pjesëtimin e numrave pozitivë dhe negativë u propozuan në shekullin III. matematikani grek Diophantus (në formën: "Ajo që zbritet, shumëzohet me atë që shtohet, jep subtrahend; ajo që zbritet nga subtrahend jep atë që shtohet" etj.), dhe më vonë matematikani indian Bhaskar (shek. XII) shprehu të njëjtat rregulla në konceptet e "pronës", "borxhit" ("Produkti i dy pasurive ose i dy borxheve është pronë; produkti i pasurisë dhe i borxhit është borxh." I njëjti rregull vlen edhe për ndarjen).

U zbulua se vetitë e veprimeve mbi numrat negativë njëjtë si mbi ato pozitive (për shembull, mbledhja dhe shumëzimi kanë vetinë komutative). Dhe së fundi, që nga fillimi i shekullit të kaluar, numrat negativë janë bërë të barabartë me numrat pozitivë.

Më vonë, numrat e rinj u shfaqën në matematikë - irracionalë, kompleksë dhe të tjerë. Ju mësoni rreth tyre në shkollë të mesme.

N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I Zhokhov, Matematika për klasën e 6-të, Libër mësuesi për shkolla e mesme

Shkarkim libra dhe tekste sipas planit kalendar per matematiken e 6-te, ndihme per nxenesit online

Mësim i hapur për matematikën në klasën e 6-të.

Tema: Veprimet me numra racional. (Mësimi me një numër)

Synimi: të konsolidojë aftësitë në veprimet me numra pozitivë dhe negativë. Përgatitja për punë testuese.

Detyrat:

• Rishikoni konceptet e numrave pozitivë dhe negativë; të konsolidojë aftësitë në kryerjen e veprimeve me numra pozitivë dhe negativë.

• Për të nxitur interesin për këtë temë përmes formë jokonvencionale duke zhvilluar një orë mësimi.
• Zhvilloni zgjuarsinë logjike dhe të menduarit krijues.

Lloji i mësimit: mësimi i përsëritjes dhe konsolidimit të njohurive të nxënësve duke përdorur TI.

Format e organizimit aktivitete edukative: kolektive, individuale, dyshe, stuhi mendimesh.

Pajisjet: kompjuter, projektor, prezantim PowerPoint (bashkangjitur), komplet kartash individuale.

Përparimi i mësimit

1. Momenti organizativ.

Temën e mësimit dhe datën e shkruajmë në një fletore. Pse tema është shkruar kaq e pazakontë? (Veprimet me dietë të gjithë numrat.)

Ngrohja: jashtë është errësirë, duket si natë, por është koha për t'u zgjuar dhe për t'u përgatitur për shkollë. Që të mos dalë si thënia: Të kanë ngritur, por kanë harruar të të zgjojnë. Vendosa të të zgjoj në çdo rast...

Ngarkuesi: Mirmengjesi: Unë i bëj një pyetje një studenti, nëse ai përgjigjet është ulur, jo, mund t'ia përcjellë dikujt tjetër, dikujt që nuk është ulur akoma. U përgjigj saktë, emrat kush pyetjen e radhës. (Stuhi mendimesh)

1) numri natyror më i vogël (1)

2) rezultati i shumëzimit (Produkti)

3) Numri i kundërt me 4?

4) Një segment që lidh një pikë në një rreth me qendrën e tij (Rrezja)

5) Një e qindta e një numri (përqindje)

6) vegël për matjen e këndeve (shikues)

7) A është e mundur të merret 0 kur pjesëtohen numrat (po)

8) çfarë kanë bimët dhe ekuacionet? (Rrënja)

9) me çfarë është e barabartë 10²? (100)

10) numrat që përdoren gjatë numërimit të objekteve?

12) çfarë është më e rëndë se 1 kg leshi pambuku apo 1 kg hekur?

13) distanca nga origjina në numrin në vijën e koordinatave (moduli)

14) shuma e dy numrave të kundërt (0)

15) 2³ (8)

16) a është e mundur të pjesëtohet me zero?

17) modul - 9 (9)

18) rezultati i pjesëtimit (herësi)

19) Cili numër fitohet duke shumëzuar dy numra negativë (pozitiv)

20) produkt i ndërsjellë numrat reciprokë (1)

21) Numrat me shenjën "-" quhen (negativ)

22) rezultati i mbledhjes (shumës)

23) Një numër që tregon pozicionin e një pike në një vijë koordinative (koordinatë)

24) Numrat me shenjën "+" quhen (pozitiv)

25) Numrat natyrorë, të kundërtat dhe zeroja e tyre janë (numra të plotë)

26) Cili numër nuk është as pozitiv as negativ. (zero)

Sot në klasë do të përsërisim, përmbledhim dhe sistemojmë njohuritë që keni marrë në orët e mëparshme. Le të përgatitemi për provën.

Dhe një gjë do të na ndihmojë shumë me këtë numër interesant. Mundohuni të merrni me mend se cilën?

Këshilla:

Kjo është e drejtë - ky është numri 30.

• Pse mendoni se është ky numër? (Klasa jonë është 30 persona)

Unë mendoj se në jetën e secilit prej jush një ngjarje lidhet me numrin 30. Për shembull, kjo është data e dasmës sime. Po ju? (përgjigjet e studentëve)

1. Punë gojore.

• Le t'i përgjigjemi disa pyetjeve.

1. Ju lutem më tregoni çfarë dimë për numrin 30?

(pozitiv, numër i plotë, çift, i përbërë)

1. Ku ndodhet ky numër në vijën e koordinatave?

(Ky numër në vijën e koordinatave ndodhet në të majtë të zeros)

1. Emërtoni dy numra të plotë ngjitur me numrin e dhënë.

(29 dhe 31)

1. Cili numër do të jetë e kundërta e këtij?

(Numri -30)

1. Pse moduli është i barabartë numri i dhënë?

(Moduli i këtij numri është 30)

1. Reciprociteti i kësaj?

{ }

1. Një numër simetrik me numrin 30 në raport me 0?

{ }

Përveç kësaj, në matematikë ka disa fakte të tjera interesante që lidhen me numrin 30:

Epo, ne do të vazhdojmë

1. Detyrat për të shqyrtuar materialin e mbuluar.

Le të vizatojmë një figurë plan koordinativ:

1. (-5;3); (-4;4); (-2;4);(-1;3);(-1;1);(-3;0)(-1;-1);(-1;-4);(-2;-5);(-4;-5);(-5;-4)
2. (1;3);(2;4);(4;4);(5;3);(5;-4);(4;-5);(2;-5);(1;-4);(1;3).

Çfarë do të thotë ky numër në botën e numrave ose numerologjisë shpirtërore:

Numri 30 përbëhet nga dy shifra 3 dhe 0. Prandaj, për të kuptuar me të vërtetë kuptimin e numrit 30 duhet të dini kuptimi kryesor këta numra. Kuptimi kryesor i trojkës është Dashuria në të gjitha manifestimet e saj, duke filluar nga më "baza", fiziologjike dhe duke përfunduar me "të lartë", shpirtërore dhe intuitive.

Kuptimi i zeros në numerologjinë shpirtërore është paqja, qetësia, qetësia. Prandaj, tridhjetë përkthehet nga gjuha e numrave si "qetësi në dashuri" ose "qetësi në dashuri", ose "dashuri që ka rraskapitur". Zgjedhja e formulimit varet nga një numër subjektiv dhe faktorë objektivë në jetën e një individi.

kuptimi i numrit 30

Numri 30 krijon në mënyrë indirekte parakushtet për sukses në gjithçka. Numri 30 nuk lidhet drejtpërdrejt me fitimin, prosperitetin material dhe karrierën. Por(!) në mënyrë indirekte ky numër mund të kontribuojë në fitim, karrierë dhe GJITHÇKA!

Megjithatë, gjëja kryesore që promovon numri 30 është dashuria. Numri 30 nuk i pëlqen lëvizjet e papritura, fjalët e nxehta dhe zotimet me zë të lartë. Numri 30 thjesht mbush të gjithë ata që bien në kontakt me të me DASHURI ose PAQE!

Si datë, numri 30 përfundon një pjesë të konsiderueshme të muajve të vitit.

Data 30 e kalendarit është ideale për të përmbledhur rezultatet. Edhe nëse në si mjet i fundit, rezultatet komerciale, nëse në parim nuk do të përmblidhni ndonjë tjetër. Gjëja kryesore është të mos filloni asgjë në datën 30!

Njerëzit e lindur më 30 janë paqësorë, por shumë të fortë. Ata janë të qetë dhe të plotë. Ata kanë nevojë për një rezultat specifik. Rezultati i gjithçkaje: rezultat i dashurisë, tregtisë ose, të themi, një performancë.

Numër 30 njerëzve nuk u pëlqejnë frazat e paqarta. Ata kanë nevojë për një po ose jo të qartë dhe konciz.

1. Detyra praktike. (trajnim fizik + aplikim praktik)

• Të gjithë kanë një numër në tryezë. Detyra juaj: gjeni një çift në klasë në mënyrë që shuma e numrave tuaj të jetë e barabartë me 30.

(Numrat: -30 dhe 60; -5 dhe 35; -2.72 dhe 32.72; 2 dhe 27; -0,25 dhe 30 ; dhe 29.5; -6 dhe 36; I-2.5I dhe 27.5; une- unë dhe 21; - dhe 30,5; 5 dhe 24.25; 38.6 dhe -8; -120 dhe 150.)

Sapo secila dyshe ka gjetur njëri-tjetrin, ata marrin një detyrë nga tabela (me numrin më të vogël) dhe e plotësojnë: (zinxhirin e llogaritjeve). Zinxhiri është projektuar në ekran. Dyshja që përfundon herët dhe saktë merr një "5".

1. Fakte interesante rreth numrit 30:

• Në Bibël

1. Mosha në të cilën Jezusi u pagëzua.
2. Juda mori 30 copë argjendi për tradhtinë e Jezusit

• Në letërsi

1. Në përralla: në mbretërinë e tridhjetë, në shtetin e tridhjetë...
2. Në përrallën e Pushkinit "Rreth Peshkut të Artë" plaku dhe plaka jetuan për 30 vjet e 3 vjet.
3. Në romanin e Dostojevskit "Krimi dhe Ndëshkimi"Numri 30 i kushtohet historisë për problemet e ndryshme financiare të heronjve. Sonya sjell 30 rubla, nëna e Raskolnikov premton të dërgojë 30 rubla, Svidrigailov shpërblehet për 30 mijë.
4. Më 19 tetor 1811, Pushkin u pranua në numër 30 nxënësit Liceu Tsarskoye Selo.

• Në shkencën e natyrës

1. Në tabelën periodike, numri 30 është një metal i brishtë - zink.
2. Numri i ditëve nëprill , qershor , shtator , Nëntor
3. Në temperaturat nën tridhjetë gradë, mësimet për klasat 1-9 anulohen.
4. 30 shkurt . Tri herë në histori, disa vende kanë pasur 30 ditë në shkurt.

Pjesa tjetër po punojnë me një tabelë numrash në këtë moment.

• Lidhja e numrave: blu dhe e kuqe. Duke përdorur opsionet, gjeni shenjën e veprimit (një) për shkak të së cilës rezultati i llogaritjes është 30. Opsioni i parë është blu, i dyti është i kuq. (produkti i numrave blu është 30; shuma e numrave të kuq është 30).

Renditni numrat në rend rritës.

• Tani le të kontrollojmë se çfarë keni.

(Blu: -2/3; -1/3; 0,25; 5/7;21;36

Të kuqtë :)

Le të përmbledhim.

Test

1. E cila intervali numerik i përket numrit 30.

A) C) (25.7;30)

2. Sa është abshisa e një pike, nëse shuma e koordinatave të pikës është 30,

Dhe ordinata është 5 herë më e madhe se abshisa.

1. 5 B) 6 C) 4

1. Gjeni vlerën e shprehjes: 2,7: (-0,3)+(-7,63+9,24) – 11,305*2

1. – 30 B) 30 C) 0,3

1. 20 B) 75 C) 12

Çelësi i testimit: BACAC. (Pikët për zgjidhjen e saktë të testit). Rrëshqitja 2

Qëllimet dhe objektivat e orës së mësimit: konsolidimi i aftësive në veprimet me numra pozitivë dhe negativë. Praktikoni ndërtimin e pikave duke përdorur koordinatat e tyre. Përgatitja për testin. Forcimi i lidhjeve meta-subjekte.

GJEGJEGJEGJEGJEGJEGJEME Cfare eshte gjysme ore? Sa është e barabartë 2/3 e një mësimi? Sa ditë ka në shtator?

Çfarë dimë për numrin 30 Çfarë mund të thoni për numrin 30? pozitiv, numër i plotë, çift, i përbërë Dhe ku ndodhet ky numër në vijën koordinative? në të djathtë të zeros Emërtoni dy numra të plotë ngjitur me numrin e dhënë. 29 dhe 31 Dhe cili numër do të jetë e kundërta e këtij? -30 Sa është moduli i këtij numri? 30 Cila është e ndërsjella e kësaj? 1/30 Një numër simetrik me numrin 30, në raport me 0? -30

Faktet e matematikës 10 30 quhet jomilion. 2 30 = 1 073 741 824, prefiksi binar: gibi (Gi). Numri i skajeve të ikozaedrit dhe dodekaedrit. Shuma e katrorëve të të parës katër numra. (1²+2²+3²+4²). Numri minimal që është produkt i tre të ndryshme numrat e thjeshtë. (2*3*5) Tre numra identikë të njëpasnjëshëm në sistemin e numrave romak (XXX).

Rrafshi i koordinatave Vizato një figurë në rrafshin koordinativ: (-5;3); (-4;4); (-2;4); (- 1;3);(-1;1);(-3;0) (- 1;-1);(-1;-4);(-2;-5);(-4;-5 );(-5;-4) (1;3);(2;4);(4;4);(5;3);(5;-4);(4;-5);(2; -5);(1;-4);(1;3).

Kuptimi i numrit 30 (numerologjia shpirtërore) Numri 30 përbëhet nga dy numra 3 dhe 0. Kuptimi kryesor i 3 është Dashuria. 0 është paqja, qetësia, qetësia. 30 - përkthyer si "qetësi në dashuri" ose "qetësi në dashuri", ose "dashuri që ka shteruar veten". Numri 30 krijon në mënyrë indirekte parakushtet për sukses në gjithçka. . Numri 30 mbush të gjithë ata që bien në kontakt me të me DASHURI ose PAQE! Data 30 e kalendarit është ideale për të përmbledhur rezultatet. Njerëzit e lindur më 30 janë paqësorë, por shumë të fortë.

Gjeni dyshen -30 dhe 60; - 5 dhe 35; - 2,72 dhe 32,72; 2 dhe 27; - 0,25 dhe 30; dhe 29.5; -6 dhe 36; I - Unë dhe 21; - dhe 30,5; 5 dhe 24.25; 38.6 dhe -8; - 120 dhe 150. I -2,5 I dhe 27,5;

Zinxhiri i llogaritjeve -27,5 +(-7,24)= –(-35,96)= *2,3= +(- 3,906)= : = *(-5) = : (-0,25) = + 58,4 = * 3 = : 8 = * (- 8,6)= –(- 8,56)= + 11,12 =

Fakte interesante për numrin 30: Në letërsi Në përralla: në mbretërinë e tridhjetë, në shtetin e tridhjetë... Në përrallën e Pushkinit "Rreth peshkut të kuq" plaku dhe plaka jetuan 30 vjet e 3 vjet. Në romanin "Krim dhe Ndëshkim" të Dostojevskit, numri 30 lidhet me historinë e problemeve të ndryshme financiare të heronjve. Sonya sjell 30 rubla, premton t'i dërgojë 30 rubla nënës së Raskolnikov, Svidrigailov shpërblehet për 30 mijë. Më 19 tetor 1811, Pushkin u pranua si një nga 30 studentët në Liceun Tsarskoye Selo. Në Bibël epoka në të cilën Jezusi u pagëzua. Juda mori 30 copë argjendi për tradhtinë e Jezusit Në shkencën e natyrës Në tabelën periodike, numri 30 është zink. Numri i ditëve në Prill, Qershor, Shtator, Nëntor Kur temperatura është nën tridhjetë gradë, mësimet për klasat 1-9 anulohen. 30 shkurt. Tri herë në histori, disa vende kanë pasur 30 ditë në shkurt.

Lidhja e numrit - 2,5 0,1 9,6 21 0,25 36 8,9 - 2,5 0,1 9,6 21 0,25 36 8,9 Blu: -2/3; -1/3; 0,25; 5/7;21;36 E kuqe:

Testi 1. Cilit interval numerik i përket numri 30 A) C) (25.7;30) 2. Sa është e barabartë me abshisa e një pike nëse shuma e koordinatave të pikës është 30 dhe ordinata është 5 herë më e madhe se abshisa. A) 5 B) 6 C) 4 3. Me cilin numër duhet të pjesëtojmë (-2 që herësi të jetë i barabartë me 30. A) 13 B) - 66 C) – 13,5 4. Gjeni vlerën e shprehjes: 2,7 : (- 0,3)+(-7,63+9,24) – 11,305*2 A)– 30 B) 30 C) 0,3 5. Sa herë përmbahet në 30. A) 20 B) 75 C) 12

Në këtë mësim do të kujtojmë vetitë themelore të veprimeve me numra. Ne jo vetëm që do të shqyrtojmë vetitë themelore, por gjithashtu do të mësojmë se si t'i zbatojmë ato në numrat racionalë. Ne do të konsolidojmë të gjitha njohuritë e marra duke zgjidhur shembuj.

Vetitë themelore të veprimeve me numra:

Dy vetitë e para janë vetitë e mbledhjes, dy të tjerat janë vetitë e shumëzimit. Prona e pestë vlen për të dy operacionet.

Nuk ka asgjë të re në këto prona. Ato ishin të vlefshme si për numrat natyrorë ashtu edhe për numrat e plotë. Ato janë gjithashtu të vërteta për numrat racionalë dhe do të jenë të vërteta për numrat që do të studiojmë në vijim (për shembull, numrat irracionalë).

Karakteristikat e ndërrimit:

Rirregullimi i kushteve ose faktorëve nuk e ndryshon rezultatin.

Karakteristikat e kombinimit:, .

Shtimi ose shumëzimi i numrave të shumtë mund të bëhet në çdo mënyrë.

Prona e shpërndarjes:.

Vetia lidh të dy operacionet - mbledhjen dhe shumëzimin. Gjithashtu, nëse e lexoni nga e majta në të djathtë, atëherë quhet rregulli i hapjes së kllapave, dhe nëse in ana e kundërt- rregulli i gjykimit shumëzues i përbashkët jashtë kllapave.

Dy vetitë e mëposhtme përshkruajnë elementet neutrale për mbledhjen dhe shumëzimin: mbledhja e zeros dhe shumëzimi me një nuk ndryshon numrin origjinal.

Dy veti të tjera që përshkruajnë elementet simetrike për mbledhje dhe shumëzim, shuma e numrave të kundërt është zero; prodhimi i numrave reciprokë është i barabartë me një.

Prona tjetër: . Nëse një numër shumëzohet me zero, rezultati do të jetë gjithmonë zero.

Vetia e fundit që do të shikojmë është: .

Duke shumëzuar numrin me , marrim numër i kundërt. Kjo pronë ka një veçori të veçantë. Të gjitha pronat e tjera të konsideruara nuk mund të vërtetoheshin duke përdorur të tjerat. E njëjta pronë mund të vërtetohet duke përdorur ato të mëparshme.

Duke shumëzuar me

Le të vërtetojmë se nëse shumëzojmë një numër me , marrim numrin e kundërt. Për këtë përdorim vetinë e shpërndarjes: .

Kjo është e vërtetë për çdo numër. Le të zëvendësojmë dhe në vend të numrit:

Në të majtë në kllapa është shuma e numrave reciprokisht të kundërt. Shuma e tyre është zero (ne kemi një veti të tillë). Në të majtë tani. Në të djathtë, marrim: .

Tani kemi zero në të majtë dhe shumën e dy numrave në të djathtë. Por nëse shuma e dy numrave është zero, atëherë këta numra janë reciprokisht të kundërt. Por numri ka vetëm një numër të kundërt: . Pra, kjo është ajo që është: .

Prona eshte e vertetuar.

Një veti e tillë, e cila mund të vërtetohet duke përdorur vetitë e mëparshme, quhet teorema

Pse nuk ka veçori të zbritjes dhe pjesëtimit këtu? Për shembull, mund të shkruhet vetia shpërndarëse për zbritje: .

Por meqenëse:

• Zbritja e çdo numri mund të shkruhet në mënyrë ekuivalente si mbledhje duke e zëvendësuar numrin me të kundërtën e tij:

• Pjesëtimi mund të shkruhet si shumëzim me reciprocitetin e tij:

Kjo do të thotë se vetitë e mbledhjes dhe shumëzimit mund të zbatohen për zbritjen dhe pjesëtimin. Si rezultat, lista e vetive që duhet të mbahen mend është më e shkurtër.

Të gjitha vetitë që kemi shqyrtuar nuk janë ekskluzivisht veti të numrave racionalë. Numrat e tjerë, për shembull, ato irracionalë, gjithashtu u binden të gjitha këtyre rregullave. Për shembull, shuma e numrit të kundërt të tij është zero: .

Tani do të kalojmë në pjesën praktike, duke zgjidhur disa shembuj.

Numrat racionalë në jetë

Quhen ato veti të objekteve që mund t'i përshkruajmë në mënyrë sasiore, t'i caktojmë me një numër vlerat: gjatësia, pesha, temperatura, sasia.

E njëjta sasi mund të shënohet si me një numër të plotë ashtu edhe me një numër thyesor, pozitiv ose negativ.

Për shembull, lartësia juaj është m - numër thyesor. Por mund të themi se është e barabartë me cm - ky është tashmë një numër i plotë (Fig. 1).

Oriz. 1. Ilustrimi për shembull

Një shembull tjetër. Një temperaturë negative në shkallën Celsius do të jetë pozitive në shkallën Kelvin (Fig. 2).

Oriz. 2. Ilustrimi për shembull

Kur ndërton murin e një shtëpie, një person mund të masë gjerësinë dhe lartësinë në metra. Ai prodhon sasi të pjesshme. Ai do të kryejë të gjitha llogaritjet e mëtejshme me numra thyesorë (racionalë). Një person tjetër mund të masë gjithçka në numrin e tullave në gjerësi dhe lartësi. Pasi ka marrë vetëm vlera të plota, ai do të kryejë llogaritjet me numra të plotë.

Vetë sasitë nuk janë as numër i plotë, as thyesor, as negativ dhe as pozitiv. Por numri me të cilin përshkruajmë vlerën e një sasie është tashmë mjaft specifik (për shembull, negativ dhe i pjesshëm). Varet nga shkalla e matjes. Dhe kur kalojmë nga vlerat reale në modeli matematik, atëherë punojmë me një lloj specifik numrash

Le të fillojmë me shtimin. Kushtet mund të riorganizohen në çdo mënyrë që është e përshtatshme për ne, dhe veprimet mund të kryhen në çdo mënyrë. Nëse termat e shenjave të ndryshme përfundojnë në të njëjtën shifër, atëherë është e përshtatshme që fillimisht të kryeni veprime me to. Për ta bërë këtë, le të shkëmbejmë kushtet. Për shembull:

Thyesat e zakonshme me emërues të njëjtë lehtë për tu palosur.

Numrat e kundërt mblidhen deri në zero. Numrat me të njëjtat bishta dhjetore janë të lehta për t'u zbritur. Duke përdorur këto veti, si dhe ligjin komutativ të mbledhjes, mund ta bëni më të lehtë llogaritjen e vlerës së, për shembull, shprehjes së mëposhtme:

Numrat me bishta dhjetore plotësuese janë të lehta për t'u shtuar. Me të tëra dhe në pjesë të pjesshmeËshtë i përshtatshëm për të punuar me numra të përzier veçmas. Ne përdorim këto veti kur llogaritim vlerën e shprehjes së mëposhtme:

Le të kalojmë te shumëzimi. Ka çifte numrash që shumëzohen lehtë. Duke përdorur vetinë komutative, mund t'i riorganizoni faktorët në mënyrë që ata të jenë ngjitur. Numri i minuseve në një produkt mund të numërohet menjëherë dhe mund të nxirret një përfundim për shenjën e rezultatit.

Merrni parasysh këtë shembull:

Nëse nga faktorët e barabartë me zero, atëherë prodhimi është i barabartë me zero, për shembull: .

Prodhimi i numrave reciprokë është i barabartë me një, dhe shumëzimi me një nuk e ndryshon vlerën e prodhimit. Merrni parasysh këtë shembull:

Le të shohim një shembull duke përdorur pronë distributive. Nëse hapni kllapat, atëherë çdo shumëzim është i lehtë.

Veprimet me thyesa dhjetore.
 Mbledhja dhe zbritja e numrave dhjetorë.
1. Barazoni numrin e shifrave pas presjes dhjetore.
2. Shtoni ose zbritni dhjetore presje nën presje me shifra.
 Shumëzimi i numrave dhjetorë.
1. Shumëzoni pa i kushtuar vëmendje presjeve.
2. Në prodhimin e presjes, ndani nga e djathta aq shifra sa ka në të gjithë faktorët
së bashku pas presjes dhjetore.
 Pjesëtimi i numrave dhjetorë.
1. Në dividendin dhe pjesëtuesin, zhvendosni presjet në të djathtë me aq shifra sa ka pas presjes dhjetore
në ndarës.
2. Ndani të gjithë pjesën dhe vendosni presje në herës. (Nëse pjesë e tërë më pak se pjesëtuesi, Kjo
herësi fillon nga zero numra të plotë)
3. Vazhdo ndarjen.
Veprimet me numra pozitivë dhe negativë.
Mbledhja dhe zbritja e numrave pozitivë dhe negativë.
a – (– c) = a + c
Të gjitha rastet e tjera konsiderohen si mbledhje numrash.
 Mbledhja e dy numrave negativë:
1. shkruani rezultatin me shenjën “–”;
2. Shtojmë modulet.
 Mbledhja e numrave me shenja të ndryshme:
1. vendos shenjën e modulit më të madh;
2. zbritni më të voglin nga moduli më i madh.
 Shumëzimi dhe pjesëtimi i numrave pozitivë dhe negativë.
1. Gjatë shumëzimit dhe pjesëtimit të numrave me shenja të ndryshme, rezultati shkruhet me shenjë
minus.
2. Gjatë shumëzimit dhe pjesëtimit të numrave me shenja identike rezultati shkruhet me një shenjë
plus.
Veprimet me thyesat e zakonshme.
Mbledhja dhe zbritja.
1. Zvogëloni thyesat në një emërues të përbashkët.
2. Shtoni ose zbritni numëruesit, por emëruesin e lini të pandryshuar.
Shumëzoni numëruesin me numëruesin dhe emëruesin me emërues (zvogëloni nëse është e mundur).
"Kthejeni" pjesëtuesin (thyesën e dytë) dhe kryeni shumëzimin.
Divizioni.
Shumëzimi.
Izolimi i të gjithë pjesës nga një fraksion i papërshtatshëm.
38
5 = 38: 5 = 7 (3 të mbetura) = 7
3
5
Shndërrimi i një numri të përzier në një thyesë jo të duhur.
2
7 + =
4
4·7+2
7
30
7
=

1
.
+
Reduktimi i një fraksioni.
Zvogëloni një thyesë - ndani numëruesin dhe emëruesin me të njëjtin numër.
6
7
6
7. Shkurt:
30:5
35:5 =
30
35 =
Për shembull:
30
35 =
.
1.
Zbërtheni emëruesit e thyesave në të thjeshtë
shumëzuesit
Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët.
5 4
7
16 +

36
80 =
71
80
2. Kryqëzoni faktorët identikë.
3. Faktorët e mbetur nga emëruesi i të parit
shumëzoni thyesat dhe shkruani si
një faktor shtesë për thyesën e dytë, dhe
nga thyesa e dytë në thyesën e parë.
2∙2∙2∙2 2∙2∙5
4. Shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e çdo thyese
nga shumëzuesi i tij shtesë.
9
20 =
35
80 +
Mbledhja dhe zbritja e numrave të përzier.
Shtoni ose zbritni veçmas pjesët e tëra dhe pjesët thyesore veç e veç.
Raste "të veçanta":
"Konvertoni" 1 në një thyesë numëruesi i së cilës dhe

2
2
5
6
3
5 =
3
5 = 2
1
1
Merrni 1 dhe "kthejeni" atë në një thyesë numëruesi i së cilës dhe
emëruesi është i barabartë me emëruesin e thyesës së dhënë.
Merrni 1 dhe shtoni emëruesin në numërues.
3
5 =
3
5 = 2
5
5 ‒
5
5 ‒
‒
1
‒
3
2
5
1 ‒
3
3
5 = 2
5
5 1 ‒
3
5 = 1
2
5
1
5
1 ‒
3
5 = 2
6
5 1‒
3
3
5 = 1
3
5
Shndërroni numrat e përzier në thyesa jo të duhura dhe kryeni shumëzim ose pjesëtim.
Shumëzimi dhe pjesëtimi i numrave të përzier.

2
7 + ∙ 2
4
4
5 + =
30
7 ∙
14
5 =
30·14
7·5
6·2
1 1 =
12
1 = 12
=
∙ ∙
6
7