Si të zgjidhim ekuacionet kubike. Formulat Cardano dhe Vieta për zgjidhjen e ekuacionit kub

Objektivat e mësimit.

1. Të thellojë njohuritë e nxënësve për temën “Zgjidhja e ekuacioneve të rendit më të lartë” dhe të përmbledhë materialin mësimor.
2. Prezantoni studentët me teknikat për zgjidhjen e ekuacioneve të rendit më të lartë.
3. Mësojini studentët të zbatojnë teorinë e pjesëtueshmërisë kur zgjidhin ekuacione të shkallëve më të larta.
4. Mësojini nxënësit se si të pjesëtojnë një polinom me një polinom duke përdorur një kënd.
5. Zhvilloni aftësi dhe aftësi për të punuar me ekuacione të gradave më të larta.

Zhvillimore:

1. Zhvillimi i vëmendjes së nxënësve.
2. Zhvillimi i aftësisë për të arritur rezultate në punë.
3. Zhvillimi i interesit për të studiuar algjebër dhe aftësitë e punës së pavarur.

Edukimi:

1. Nxitja e ndjenjës së kolektivizmit.
2. Formimi i ndjenjës së përgjegjësisë për rezultatin e punës.
3. Formimi tek nxënësit vetëvlerësim adekuat kur zgjedh një notë për punën në klasë.

Pajisjet: kompjuter, projektor.

Përparimi i mësimit

Faza 1 e punës. Momenti organizativ.

Faza 2 e punës. Motivimi dhe zgjidhja e problemeve

Ekuacioni një nga konceptet më të rëndësishme matematikë. Zhvillimi i metodave për zgjidhjen e ekuacioneve, duke filluar nga lindja e matematikës si shkencë, për një kohë të gjatë ishte lënda kryesore e algjebrës.

NË kursi shkollor Në studimin e matematikës, shumë vëmendje i kushtohet zgjidhjes së llojeve të ndryshme të ekuacioneve. Deri në klasën e nëntë, ne mund të zgjidhnim vetëm ekuacione lineare dhe kuadratike. Ekuacionet e të tretës, të katërt etj. gradë quhen ekuacione të shkallëve më të larta. Në klasën e nëntë, ne u njohëm me dy teknika bazë për zgjidhjen e disa ekuacioneve të shkallës së tretë dhe të katërt: faktorizimi i një polinomi dhe përdorimi i një ndryshimi të ndryshores.

A është e mundur të zgjidhen ekuacione të shkallëve më të larta? Ne do të përpiqemi të gjejmë një përgjigje për këtë pyetje sot.

Faza 3 e punës. Rishikoni materialin e mësuar më parë. Prezantoni konceptin e një ekuacioni të shkallëve më të larta.

1) Zgjidhja e një ekuacioni linear.

Një ekuacion i formës quhet linear, ku sipas përkufizimit. Ky ekuacion ka një rrënjë të vetme.

2) Zgjidhja e një ekuacioni kuadratik.

Një ekuacion i formës quhet kuadratik , Ku. Numri i rrënjëve dhe vetë rrënjët përcaktohen nga diskriminuesi i ekuacionit. Sepse ekuacioni nuk ka rrënjë, sepse ka një rrënjë (dy rrënjë të njëjta)

Nga ekuacionet e konsideruara lineare dhe kuadratike shohim se numri i rrënjëve të ekuacionit nuk është më shumë se shkalla e tij. Në një kurs algjebër më të lartë, vërtetohet se një ekuacion i shkallës 1 nuk ka më shumë se n rrënjë. Sa i përket vetë rrënjëve, situata është shumë më e ndërlikuar. Për ekuacionet e shkallës së tretë dhe të katërt njihen formulat për gjetjen e rrënjëve. Megjithatë, këto formula janë shumë komplekse dhe të rënda dhe aplikim praktik nuk kanë. Për ekuacionet e shkallës së pestë dhe më të lartë, formulat e përgjithshme nuk ekzistojnë dhe nuk mund të ekzistojnë (siç u vërtetua në shekullin XIX nga N. Abel dhe E. Galois).

Ekuacionet do t'i quajmë të tretë, të katërt etj. gradë nga ekuacionet e shkallëve më të larta. Disa ekuacione shkallë të lartë mund të zgjidhet duke përdorur dy teknika kryesore: duke faktorizuar polinomin ose duke përdorur një ndryshim të ndryshores.

3) Zgjidhja e ekuacionit kub.

Le të zgjidhim ekuacionin kub

Le të grupojmë termat e polinomit në anën e majtë të ekuacionit dhe t'i faktorizojmë ato. Ne marrim:

Produkti i faktorëve është i barabartë me zero nëse një nga faktorët e barabartë me zero. Ne marrim tre ekuacione lineare:

Pra, ky ekuacion kub ka tre rrënjë: ; ;.

4) Zgjidhja e ekuacionit bikuadratik.

Ekuacionet bikuadratike janë shumë të zakonshme, të cilat kanë formën (d.m.th., ekuacionet kuadratike në lidhje me ). Për t'i zgjidhur ato, futet një variabël i ri.

Le të vendosim bi ekuacioni kuadratik.

Le të prezantojmë një ndryshore të re dhe të marrim një ekuacion kuadratik, rrënjët e të cilit janë numrat dhe 4.

Le të kthehemi te ndryshorja e vjetër dhe të marrim dy ekuacione të thjeshta kuadratike:

Pra, ky ekuacion bikuadratik ka katër rrënjë:

; ;.

Le të përpiqemi të zgjidhim ekuacionin duke përdorur teknikat e përshkruara më sipër.

Dështon!!!

Faza 4 e punës. Jepni disa pohime për rrënjët e një polinomi të formës , ku polinomi i n-të gradë

Këtu janë disa pohime në lidhje me rrënjët e një polinomi të formës:

1) Një polinom i shkallës së th nuk ka më shumë se rrënjë (duke marrë parasysh shumëzimet e tyre). Për shembull, një polinom i shkallës së tretë nuk mund të ketë katër rrënjë.

2) Polinom shkallë tek ka të paktën një rrënjë. Për shembull, polinomet e të parës, të tretës, të pestës etj. gradë kanë të paktën një rrënjë. Polinomet e shkallës çift mund të mos kenë rrënjë.

3) Nëse në skajet e segmentit vlerat e polinomit kanë shenja të ndryshme (d.m.th. ), atëherë intervali përmban të paktën një rrënjë. Ky pohim përdoret gjerësisht për të llogaritur afërsisht rrënjët e një polinomi.

4) Nëse një numër është rrënja e një polinomi të formës, atëherë ky polinom mund të përfaqësohet si produkt, ku një polinom i shkallës së (të. Me fjalë të tjera, një polinom i formës mund të ndahet pa mbetje me një binom Kjo lejon që ekuacioni i shkallës së th të reduktohet në një ekuacion të (shkallës së ekuacionit).

5) Nëse një ekuacion me të gjithë koeficientët e plotë (dhe termin e lirë) ka rrënjë e tërë, atëherë kjo rrënjë është pjesëtues anëtar i lirë. Kjo deklaratë ju lejon të zgjidhni të gjithë rrënjën e polinomit (nëse ka një të tillë).

Faza 5 e punës. Tregoni se si përdoret teoria e pjesëtueshmërisë për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallëve më të larta. Shqyrtoni shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve të shkallëve më të larta, në të cilat metoda "qoshe" e pjesëtimit të një polinomi me një polinom përdoret për të faktorizuar anën e majtë.

Shembulli 1. Zgjidheni ekuacionin .

Kështu, ne kemi faktorizuar në të vërtetë anën e majtë të ekuacionit:

Produkti i faktorëve është zero nëse njëri prej faktorëve është zero. Marrim dy ekuacione.

Shpjegon mënyrën e zgjidhjes së ekuacioneve kubike. Rasti konsiderohet kur dihet një rrënjë. Metodat për gjetjen e numrave të plotë dhe rrënjët racionale. Zbatimi i formulave Cardano dhe Vieta për të zgjidhur çdo ekuacion kub.

Këtu kemi parasysh zgjidhjen e ekuacioneve kubike të formës
(1) .
Më pas, supozojmë se këta janë numra realë.

(2) ,
më pas duke e pjesëtuar me , fitojmë një ekuacion të formës (1) me koeficientë
.

Ekuacioni (1) ka tre rrënjë: , dhe .

Një nga rrënjët është gjithmonë e vërtetë. Rrënjën reale e shënojmë si .

Rrënjët dhe mund të jenë të lidhura reale ose komplekse. Rrënjët reale mund të jenë të shumëfishta. Për shembull, nëse , atëherë dhe janë rrënjë të dyfishta (ose rrënjë të shumëfishta 2), dhe është një rrënjë e thjeshtë.

Nëse dihet një rrënjë Le të dimë një rrënjë të ekuacionit kub (1). Le të shënojmë rrënjën e njohur si . Pastaj duke e pjesëtuar ekuacionin (1) me , ne marrim një ekuacion kuadratik. Duke zgjidhur ekuacionin kuadratik, gjejmë edhe dy rrënjë të tjera dhe .
.
Për ta vërtetuar këtë do të përdorim faktin se

polinomi kub
"Pjestimi dhe shumëzimi i një polinomi me një polinom me një kënd dhe një kolonë."
Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike diskutohet në faqe
"Rrënjët e një ekuacioni kuadratik."

Nëse njëra prej rrënjëve është e plotë

Nëse ekuacioni origjinal është:
(2) ,
dhe koeficientët e tij , , , janë numra të plotë, atëherë mund të provoni të gjeni rrënjën e numrit të plotë. Nëse ky ekuacion ka një rrënjë numër të plotë, atëherë ai është pjesëtues i koeficientit.

Metoda e gjetjes së rrënjëve të numrave të plotë është që ne gjejmë të gjithë pjesëtuesit e numrit dhe kontrollojmë nëse ekuacioni (2) është i kënaqur për ta. Nëse ekuacioni (2) është i kënaqur, atëherë ne kemi gjetur rrënjën e tij. Le ta shënojmë si .
Më pas, e ndajmë ekuacionin (2) me .

Ne marrim një ekuacion kuadratik. Duke e zgjidhur atë, gjejmë dy rrënjë të tjera.

Në faqe jepen shembuj të përcaktimit të rrënjëve të tëra

Shembuj të faktorizimit të polinomeve > > > .
;
(3) .
Gjetja e rrënjëve racionale

Nëse në ekuacionin (2) , , , janë numra të plotë dhe nuk ka rrënjë të plota, atëherë mund të përpiqeni të gjeni rrënjë racionale, domethënë rrënjë të formës , ku dhe janë numra të plotë. Për ta bërë këtë, shumëzojeni ekuacionin (2) me dhe bëni zëvendësimin: Më tej, ne kërkojmë për rrënjët me numra të plotë të ekuacionit (3) midis pjesëtuesve të termit të lirë.
.

Nëse kemi gjetur rrënjën e plotë të ekuacionit (3), atëherë, duke u kthyer te ndryshorja, marrim

rrënjë racionale

ekuacionet (2):
(1) .
Formulat Cardano dhe Vieta për zgjidhjen e ekuacionit kub
.
Nëse nuk dimë një rrënjë të vetme dhe nuk ka rrënjë të tëra, atëherë mund të gjejmë rrënjët e ekuacionit kub duke përdorur formulat Cardano.
(4) ,
Merrni parasysh ekuacionin kub:
(5) ; .

Le të bëjmë një zëvendësim:
Pas kësaj, ekuacioni reduktohet në një formë jo të plotë ose të reduktuar:
Ku

Literatura e përdorur:

I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i matematikës për inxhinierë dhe studentë të kolegjit, "Lan", 2009.

G. Korn, Manual i Matematikës për Shkencëtarët dhe Inxhinierët, 2012.

Simonyan Albina

Puna diskuton teknikat dhe metodat e zgjidhjes së ekuacioneve kubike. Zbatimi i formulës Cardano për zgjidhjen e problemeve në përgatitje për Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë.

Shkarko:

Pamja paraprake:

Institucioni Arsimor Komunal i Fëmijëve dhe të Rinjve Pallati i krijimtarisë për fëmijë dhe të rinj

Akademia e Shkencave e Donit për Kërkuesit e Rinj

Seksioni: Matematika - Algjebra dhe Teoria e Numrave Punë kërkimore

"Le të shohim botën e formulave"

në temë

1. "Zgjidhja e ekuacioneve të shkallës së tretë"
2. Drejtoresha: mësuesja e matematikës Babina Natalya Alekseevna
3. G.Salsk 2010
4. Hyrje……………………………………………………………………………………….3
5. Pjesa kryesore………………………………………………………………………………….4
6. Pjesa praktike…………………………………………………………10-13

konkluzioni………………………………………………………………………………………………………………………………………………….14

Literatura…………………………………………………………………………………..15 shkollat ​​e mesme, eshte komponent thelbësor arsimi i përgjithshëm dhe kulturës së përgjithshme njeriu modern. Pothuajse gjithçka që rrethon një person është disi e lidhur me matematikën. A arritjet e fundit në fizikë, teknologji, teknologjia e informacionit nuk lë asnjë dyshim se në të ardhmen gjendja e punëve do të mbetet e njëjtë. Prandaj, vendimi i shumë probleme praktike vjen deri te një vendim lloje të ndryshme ekuacionet që duhet të mësoni t'i zgjidhni. Ekuacionet lineare shkalla e parë, na mësuan të zgjidhnim në klasën e parë, dhe interes të veçantë Ne nuk treguam asnjë shqetësim ndaj tyre. Më interesante ekuacionet jolineare– ekuacionet gradat më të larta. Matematika zbulon rendin, simetrinë dhe sigurinë, dhe kjo është specie më të larta e bukur.

Qëllimi i projektit tim "Shiko në botën e formulave" me temën "Zgjidhja e ekuacioneve kubike të shkallës së tretë" është të sistematizojë njohuritë se si të zgjidhen ekuacionet kubike, të vërtetojë faktin e ekzistencës së një formule për gjetjen e rrënjëve. të një ekuacioni të shkallës së tretë, si dhe lidhjen midis rrënjëve dhe koeficientëve në një ekuacion kub. Në klasë zgjidhëm ekuacione, kubike dhe fuqi më të larta se 3. Zgjidhja e ekuacioneve metoda të ndryshme, shtuam, zbritëm, shumëzuam, pjestuam koeficientët, i ngritëm në fuqi dhe nxorëm prej tyre rrënjët, shkurt, realizuam operacionet algjebrike. Ekziston një formulë për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike. A ka një formulë për zgjidhjen e një ekuacioni të shkallës së tretë, d.m.th. udhëzime në çfarë radhe dhe çfarë lloj veprimesh algjebrike duhet të kryhen me koeficientët për të marrë rrënjët. Më interesonte të dija nëse kishin provuar matematikanë të famshëm gjeni formulë e përgjithshme, i përshtatshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kubike? Dhe nëse do të përpiqeshin, a ishin në gjendje të merrnin një shprehje për rrënjët përmes koeficientëve të ekuacionit?

2. Pjesa kryesore:

Në ato kohë të largëta, kur të urtët filluan të mendonin për barazitë që përmbanin sasi të panjohura, ndoshta nuk kishte monedha apo portofol. Në të lashtët problemet matematikore Mesopotamia, India, Kina, Greqia, sasi të panjohura shprehnin numrin e pallonjve në kopsht, numrin e demave në tufë, tërësinë e gjërave që merren parasysh gjatë ndarjes së pasurisë. Burimet që kanë arritur tek ne tregojnë se shkencëtarët e lashtë zotëronin disa teknikat e përgjithshme zgjidhjen e problemeve me sasi të panjohura. Megjithatë, asnjë papirus i vetëm, asnjë i vetëm tabletë balte nuk jepet asnjë përshkrim i këtyre teknikave. Një përjashtim është "Aritmetika" nga matematikani grek Diophantus i Aleksandrisë (shekulli III) - një koleksion problemesh për kompozimin e ekuacioneve me një paraqitje sistematike të zgjidhjeve të tyre. Sidoqoftë, doracaku i parë për zgjidhjen e problemeve që u bë i njohur gjerësisht ishte puna e shkencëtarit të Bagdadit të shekullit të 9-të. Muhamed Ben Musa el-Kuarizmi.

Kështu më lindi ideja e krijimit të projektit "Le të shohim botën e formulave...", çështjet themelore të këtij projektiçeliku:

1. përcaktimi nëse ekziston një formulë për zgjidhjen e ekuacioneve kubike;
2. në rast të një përgjigje pozitive, kërkoni për një formulë që shpreh rrënjët e ekuacionit kub përmes numri përfundimtar veprime algjebrike mbi koeficientët e saj.

Meqenëse në tekstet shkollore dhe në librat e tjerë të matematikës, shumica e arsyetimit dhe provave nuk bazohen në shembuj specifikë, por në përgjithësi, vendosa të kërkoj shembuj specifikë që konfirmojnë ose hedhin poshtë idenë time. Në kërkim të një formule për zgjidhjen e ekuacioneve kubike, vendosa të ndjek algoritme të njohura për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike. Për shembull, zgjidhja e ekuacionit x 3 + 2x 2 - 5x -6=0 izoloi një kub të plotë duke përdorur formulën (x+a) 3 =x 3 + 3x 2 a +3a 2 x+a 3 . Për të izoluar kubin e plotë nga ana e majtë e ekuacionit që mora, ktheva 2 herë në të 2 në 3x2 a, d.m.th. Kërkoja diçka që barazia të ishte e drejtë 2x 2 = 3x 2 a . Nuk ishte e vështirë për të llogaritur se a = . I konvertuar anën e majtë ekuacioni i dhënësi më poshtë: x 3 + 2x 2 -5x-6=0

(x 3 +3x 2 a+ 3x. +) - 3x. - - 5x - 6= (x+) 3- 6x - 6 Bërë zëvendësimin y = x +, d.m.th. x = y - y 3 - 6 (y -) - 6=0; 3 - 6y + 4- 6=0; Ekuacioni origjinal 3 - mori formën: 6у - 2=0; Rezultati nuk është një ekuacion shumë i bukur, sepse në vend të koeficientëve të plotë tani kam koeficientë thyesorë, megjithëse termi në ekuacionin që përmban katrorin e të panjohurës është zhdukur! A jam më afër qëllimit tim? Në fund të fundit, termi që përmban shkallën e parë të të panjohurës mbetet. Ndoshta ishte e nevojshme të zgjidhni kubin e plotë në mënyrë që termi 5x të zhdukej? (x+a) 3 =x 3 +3x 2 a+ 3a 2 x + a 3. Kam gjetur diçka të tillë kështu 3a 2 x = -5x; ato. në mënyrë që një 2

= - Por këtu doli mjaft keq - në këtë barazi ka një numër pozitiv në të majtë dhe një numër negativ në të djathtë. Nuk mund të ketë një barazi të tillë. Unë ende nuk kam mundur ta zgjidh ekuacionin, mund ta sjell atë vetëm në formë 3 - 6у - 2=0. Pra, rezultati i punës që kam bërë faza fillestare: Unë munda të heq termin që përmban shkallën e dytë nga ekuacioni kub, d.m.th. nëse jepet ekuacioni kanonik +сх+d, atëherë mund të reduktohet në një ekuacion kub jo të plotë x 3 +px+q=0. Më tej, duke punuar me të ndryshme libra referencë, arrita të zbuloj se ekuacioni është i formës x 3 + px = q Matematikani italian Dal Ferro (1465-1526) arriti ta zgjidhë atë. Pse për këtë lloj dhe jo për këtë lloj x 3 + px + q = 0? Kjo sepse ende nuk ishin futur numrat negativë dhe ekuacionet konsideroheshin vetëm me koeficientë pozitivë. Dhe numrat negativë fituan njohje pak më vonë.Informacion historik:Dal Ferro zgjodhi opsione të shumta në analogji me formulën për rrënjët e ekuacionit kuadratik të mësipërm. Ai arsyetoi kështu: rrënja e ekuacionit kuadratik është - ± d.m.th. ka formën: x=t ±. Kjo do të thotë se rrënja e një ekuacioni kub duhet të jetë gjithashtu shuma ose ndryshimi i disa numrave dhe, ndoshta, midis tyre duhet të ketë rrënjë të shkallës së tretë. cilat saktësisht? Nga opsionet e shumta, një doli të ishte e suksesshme: ai e gjeti përgjigjen në formën e një ndryshimi - Ishte edhe më e vështirë të hamendësohej që t dhe u duhet të zgjidheshin në mënyrë që =. Duke zëvendësuar në vend të x diferencës - , dhe në vend të p produktit marrë: (-) 3 +3 (-)=q. Hapi kllapat: t - 3 +3- u+3- 3=q. Pas sjelljes anëtarë të ngjashëm mori: t-u=q.

Rezultati është një sistem ekuacionesh:

t u = () 3 t-u=q. Le të ndërtojmë djathtas dhe majtaskatrore pjesët e ekuacionit të parë, dhe ekuacionin e dytë shumëzojmë me 4 dhe shtojmë ekuacionin e parë dhe të dytë. 4t 2 +2tu +u 2 =q 2 +4() 3 ; (t+u) 2 =4()+() 3 t+u =2 Nga sistemi i ri t+u=2 ; t -u=q kemi: t= + ; u= - . Duke zëvendësuar shprehjen me x, kemi marrëGjatë punës për projektin, mësova disa materiale interesante. Rezulton se Dal Ferro nuk e publikoi metodën që gjeti, por disa nga studentët e tij e dinin këtë zbulim dhe së shpejti njëri prej tyre, Antonio Fiore, vendosi të përfitonte prej tij.Në ato vite, debatet publike mbi çështje shkencore. Fituesit e mosmarrëveshjeve të tilla zakonisht merrnin shpërblime të mira dhe shpesh ftoheshin në poste të larta.

Në të njëjtën kohë, në qytetin italian të Veronës, jetonte një mësues i varfër matematike, Nicolo (1499-1557), me nofkën Tartaglia (d.m.th., belbëzuesi). Ai ishte shumë i talentuar dhe arriti të rizbulonte teknikën Dal Ferro (Shtojca 1).Një duel u zhvillua mes Fiores dhe Tartaglias. Sipas kushtit, rivalët shkëmbyen tridhjetë probleme, zgjidhja e të cilave u dha 50 ditë. Por sepse Fiori dinte në thelb vetëm një problem dhe ishte i sigurt se ndonjë mësues nuk mund ta zgjidhte atë, atëherë të 30 problemet rezultuan të të njëjtit lloj. Tartaglia u përball me ta në 2 orë. Fiore nuk ishte në gjendje të zgjidhte një problem të vetëm të propozuar nga armiku. Fitorja lavdëroi Tartaglian në të gjithë Italinë, por çështja nuk u zgjidh plotësisht. .

Gerolamo Cardano arriti t'i bëjë të gjitha këto. Vetë formula që Dal Ferro zbuloi dhe rizbuloi nga Tartaglia quhet formula Cardano (Shtojca 2).

Cardano Girolamo (24.9.1501-21.9.1576) - Matematikan, mekanik dhe mjek italian. Lindur në Pavia. Ai studioi në universitetet e Pavias dhe Padovës. Në rininë e tij studioi mjekësi. Në vitin 1534 u bë profesor i matematikës në Milano dhe Bolonja. Në matematikë, emri Cardano zakonisht shoqërohet me një formulë për zgjidhjen e një ekuacioni kub, të cilën ai e huazoi nga N. Tartaglia. Kjo formulë u botua në librin e Cardanos "Arti i madh, ose mbi rregullat e algjebrës" (1545). Që nga ajo kohë, Tartaglia dhe Cardano u bënë armiq të vdekshëm. Ky libër paraqet sistematikisht metodat moderne të Cardanos për zgjidhjen e ekuacioneve, kryesisht ato kubike. Cardano përfundoi transformim linear, i cili na lejon të reduktojmë ekuacionin kub në një formë të lirë nga një term i shkallës së 2-të dhe tregon marrëdhënien midis rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacionit dhe pjesëtueshmërisë së polinomit me diferencën x –a, nëse a është e tij rrënjë. Cardano ishte një nga të parët në Evropë që pranoi ekzistencën rrënjë negative ekuacionet. Në veprën e tij shfaqen për herë të parë sasitë imagjinare. Në mekanikë, Cardano studioi teorinë e levave dhe peshave. Një nga lëvizjet anësore të një segmenti kënd i drejtë mekanikët e quajnë kartën një lëvizje të re. Pra, duke përdorur formulën Cardano, ju mund të zgjidhni ekuacionet e formës x 3 +рх+q=0 (Shtojca 3)

Duket se problemi është zgjidhur. Ekziston një formulë për zgjidhjen e ekuacioneve kubike.

Këtu është ajo!

Shprehja në rrënjë është diskriminuese. D = () 2 + () 3 3 - Vendosa të kthehem te ekuacioni im dhe të përpiqem ta zgjidh duke përdorur formulën Cardano: Ekuacioni im duket si: y 6у - 2=0, ku p= - 6=-; q = - 2 = - . Është e lehtë për të llogaritur atë () = = - = - . Çfarë më pas? E nxora me lehtësi rrënjën nga numëruesi i kësaj thyese, doli të jetë 15. Çfarë të bëjmë me emëruesin? Jo vetëm që rrënja nuk nxirret plotësisht, por duhet të nxirret edhe nga një numër negativ! Çfarë është puna? Mund të supozojmë se ky ekuacion nuk ka rrënjë, sepse për D Kështu, gjatë punës për projektin, hasa një problem tjetër.Çfarë është puna? Fillova të kompozoj ekuacione që kanë rrënjë, por nuk përmbajnë termin e katrorit të së panjohurës:

1. përpiloi një ekuacion me rrënjë x = - 4.

x 3 +15x+124=0 Dhe vërtet, duke kontrolluar u binda se -4 është rrënja e ekuacionit. (-4) 3 +15*(-4)+124=- 64 – 60 +124=0,

Kontrollova nëse kjo rrënjë mund të merret duke përdorur formulën Cardano x=+=+= =1- 5 =- 4

E kuptova, x = -4.

1. përpiloi ekuacionin e dytë që ka rrënjë reale x=1: x 3 + 3x – 4 =0 dhe kontrolloi formulën.

Dhe në këtë rast, formula funksionoi në mënyrë të përsosur.

1. gjeti ekuacionin x 3 +6x+2=0, e cila ka një rrënjë irracionale.

Duke vendosur ekuacioni i dhënë, Mora këtë rrënjë x = - Dhe pastaj pata një supozim: formula funksiononte nëse ekuacioni kishte vetëm një rrënjë. Dhe ekuacioni im, zgjidhja e të cilit më çoi në një rrugë pa krye, kishte tre rrënjë! Këtu duhet të kërkoni arsyen!Tani mora një ekuacion që ka tre rrënjë: 1; 2; -3. x 3 – 7x +6=0 p= -7; q = 6. Kontrolloi diskriminuesin: D = () 2 + () 3 = () 3 + (-) 3 = 9 -

Siç supozova, nën shenjën e rrënjës katrore doli përsëri numër negativ. Unë arrita në përfundimin:rrugën drejt tre rrënjëve të ekuacionit x 3 +px+q=0 drejton përmes veprimit të pamundur të marrjes së rrënjës katrore të një numri negativ.

1. Tani më mbetet vetëm të zbuloj se çfarë do të ndesh në rastin kur ekuacioni ka dy rrënjë. Zgjodha një ekuacion që ka dy rrënjë: x 3 – 12 x + 16 = 0. p = -12, q = 16.

D=() 2 +() 3 =() 2 +() 3 =64-64=0 D = 64 – 64 = 0. Tani mund të konkludojmë se numri i rrënjëve të një ekuacioni kub të formës x 3 +px+q=0 varet nga shenja e diskriminuesit D=() 2 +() 3 si më poshtë:

Nëse D>0, atëherë ekuacioni ka 1 zgjidhje.

Nëse D

Nëse D=0, atëherë ekuacioni ka 2 zgjidhje.

Gjeta konfirmimin e përfundimit tim në një libër referimi mbi matematikën, autori N.I. Pra përfundimi im: Formula e Cardanos mund të përdoret kur jemi të sigurt se rrënja është unike. Për mua arriti të vërtetojë se ekziston një formulë për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni kub, por për formën x 3 + px + q = 0.

3. Pjesa praktike.

Puna në projektin “...më ndihmoi shumë në zgjidhjen e disa problemeve me parametrat. Për shembull:1. Në çfarë minimumi vlera natyrore dhe ekuacioni x 3 -3x+4=a ka 1 zgjidhje? Ekuacioni u rishkrua si x 3 -3x+4-a=0; p= -3; q=4-a. Sipas kushtit, duhet të ketë 1 zgjidhje d.m.th. D>0 Le të gjejmë D. D=() 2 +(-) 3 = +(-1) 3 = == a 2 -8a+12>0

A (-∞;2) (6; ∞)

Vlera më e vogël natyrore e a nga ky interval është 1.

Përgjigju. 1

2. Në çfarë vlera më e madhe natyrore e parametrit a, ekuacioni x 3 + x 2 -8x+2-a=0 ka tre rrënjë?

Ekuacioni x 3 + 3x 2 -24x+6-3a=0 reduktohet në formën y 3 +py+q=0, ku a=1; në=3; c=-24; d=6-3a ku q= - + dhe 3 p = q=32-3a; p=-27. Për këtë lloj ekuacioni D=() 2 + () 3 =() 2 +(-9) 3 = -729 =; D 2 -4 *9* (-1892) = 36864 + 68112 = 324 2 dhe 1 = ==28, dhe 2 == - = -7.

+_ . __-___ . _+

7 28

A (-7; 28)

Vlera më e madhe natyrore e a nga ky interval është 28.

Përgjigje.28

3. Në varësi të vlerave të parametrit a, gjeni numrin e rrënjëve të ekuacionit x 3 – 3x – a=0

Zgjidhje. Në ekuacionin p = -3; q = -a. D=() 2 + () 3 =(-) 2 +(-1) 3 = -1=.

_+ . __-__ . _+

Për një (-∞;-2) (2;∞) ekuacioni ka 1 zgjidhje;

Kur a (-2;2) ekuacioni ka 3 rrënjë;

Kur a = -2; Ekuacioni 2 ka 2 zgjidhje.

Testet:

1. Sa rrënjë kanë ekuacionet:

1) x 3 -12x+8=0?

a) 1; b) 2; c)3; d)4

2) x 3 -9x+14=0

a) 1; b) 2; c)3; d)4

2. Në cilat vlera të p është ekuacioni x 3 +px+8=0 ka dy rrënjë?

a) 3; b) 5; c) -3; d)5

Përgjigje: 1.d) 4

2.c) 3.

3.c)-3

Matematikani francez Francois Viète (1540-1603) 400 vjet para nesh (Shtojca 4) ishte në gjendje të krijonte një lidhje midis rrënjëve të një ekuacioni të shkallës së dytë dhe koeficientëve të tyre.

X 1 + x 2 = -p;

X 1 ∙x 2 =q.

Më interesonte të dija: a është e mundur të vendoset një lidhje midis rrënjëve të një ekuacioni të shkallës së tretë dhe koeficientëve të tyre? Nëse po, çfarë është kjo lidhje? Kështu lindi miniprojekti im. Vendosa të përdor aftësitë e mia ekzistuese në ekuacionet kuadratike për të zgjidhur problemin tim. Kam vepruar me analogji. Mora ekuacionin x 3 + px 2 +qx+r =0. Nëse shënojmë rrënjët e ekuacionit x 1, x 2, x 3 , atëherë ekuacioni mund të shkruhet në formën (x-x 1 ) (x-x 2) (x-x 3 )=0 Duke hapur kllapat, marrim: x 3 -(x 1 +x 2 +x 3)x 2 +(x 1 x 2 + x 1 x 3 +x 2 x 3)x - x 1 x 2 x 3 =0. Ne kemi sistemin e mëposhtëm:

X 1 + x 2 + x 3 = - p;

X 1 x 2 x 3 = - r.

Kështu, është e mundur të lidhen rrënjët e ekuacioneve të shkallës arbitrare me koeficientët e tyre.Çfarë mund të mësohet nga teorema e Vietës në pyetjen që më intereson?

1. Prodhimi i të gjitha rrënjëve të ekuacionit është i barabartë me modulin e termit të lirë. Nëse rrënjët e ekuacionit janë numra të plotë, atëherë ato duhet të jenë pjesëtues të termit të lirë.

Le të kthehemi te ekuacioni x 3 + 2 x 2 -5x-6=0. Numrat e plotë duhet t'i përkasin bashkësisë: ±1; ±2; ±3; ±6. Duke zëvendësuar në mënyrë të vazhdueshme numrat në ekuacion, marrim rrënjët: -3; -1; 2.

2. Nëse e zgjidhni këtë ekuacion duke faktorizuar, teorema e Vietës jep një "aluzion":Është e nevojshme që gjatë përpilimit të grupeve për zbërthim, të shfaqen numra - pjesëtues të termit të lirë. Është e qartë se mund të mos mësoni menjëherë, sepse jo të gjithë pjesëtuesit janë rrënjët e ekuacionit. Dhe, mjerisht, mund të mos funksionojë fare - në fund të fundit, rrënjët e ekuacionit mund të mos jenë numra të plotë.

Le të zgjidhim ekuacionin x 3 +2x 2 -5x-6=0 faktorizimi. X 3 +2x 2 -5x-6=x 3 +(3x 2 - x 2)-3x-2x-6=x 2 (x+3)– x(x+3) – 2(x+3)=(x+3)(x 2 –x-2)= =(x+3)(x 2 +x -2x -2)=(x+3)(x(x+1)-2(x+1))=(x+2)(x+1)(x-2) Ekuacioni origjinal është i barabartë me : ( x+2)(x+1)(x-2)=0. Dhe ky ekuacion ka tre rrënjë: -3;-1;2. Duke përdorur "aluzionin" e teoremës së Vietës, zgjidha ekuacionin e mëposhtëm: x 3 -12x+16=0 x 1 x 2 x 3 = -16. Pjesëtuesit me afat të lirë: ±1;±2;±4;±8;±16. X 3 -12x+16= x 3 -4x-8x+16= (x 3 -4x)-(8x-16)=x(x 2 -4)-8(x-2)=x(x-2)(x+2)-8(x-2)=

=(x-2)(x(x+2)-8)=(x-2)(x 2 +2x-8) (x-2)(x 2 +2x-8)=0 x-2=0 ose x 2 +2x-8=0 x=2 x 1 =-4; x 2 = 2. Përgjigju. -4; 2.

3. Duke ditur sistemin rezultues të barazive, mund të gjeni koeficientët e panjohur të ekuacionit nga rrënjët e ekuacionit.

Testet:

1. Ekuacioni x 3 + px 2 + 19x - 12=0 ka rrënjë 1, 3, 4. Gjeni koeficientin p; Përgjigju. a) 12; b) 19; c) -12; d) -8 2. Ekuacioni x 3 – 10 x 2 + 41x +r=0 ka rrënjë 2, 3, 5. Gjeni koeficientin r; Përgjigju. a) 19; b) -10; c) 30; d) -30.

Detyrat për të aplikuar rezultatet e këtij projekti në sasi të mjaftueshme mund të gjendet në manualin për aplikantët në universitete të redaktuar nga M.I. Njohja e teoremës së Vietës mund të jetë një ndihmë e paçmuar në zgjidhjen e problemeve të tilla.

№6.354

4. Përfundim

1. Ekziston një formulë që shpreh rrënjët e një ekuacioni algjebrik përmes koeficientëve të ekuacionit: ku D==() 2 + () 3 D>0, 1 zgjidhje. Formula Cardano.

2. Vetia e rrënjëve të ekuacionit kub

X 1 + x 2 + x 3 = - p;

X 1. x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = q;

X 1 x 2 x 3 = - r.

Si rezultat, arrita në përfundimin se ekziston një formulë që shpreh rrënjët e ekuacioneve kubike përmes koeficientëve të saj, dhe gjithashtu ekziston një lidhje midis rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacionit.

5. Literatura:

1. Fjalor enciklopedik i një matematikani të ri. A.P. Savin. – M.: Pedagogji, 1989.

2.Provimi i unifikuar i shtetit ne matematike - 2004. Probleme dhe zgjidhje. V.G.Agakov, N.D.Polyakov, M.P.Urukova dhe të tjerë. Shtëpia botuese Chuvash. Universiteti, 2004.

3.Ekuacionet dhe inekuacionet me parametra. V.V. Mochalov, V.V Ekuacionet dhe inekuacionet me parametra: Teksti mësimor. kompensim. - Cheboksary: ​​Shtëpia Botuese Chuvash. Univ., 2004.

4.Probleme matematike. Algjebër. Manuali i referencës. Vavilov V.V., Olehnik S.N.-M.: Nauka, 1987.

5. Zgjidhës i të gjitha problemeve konkurruese në matematikë, përmbledhja e redaktuar nga M.I. Shtëpia botuese "Enciklopedia e Ukrainës" me emrin M.P. Bazhov, 1993.

6.Pas faqeve të një teksti algjebër. L.F.Pichurin.-M.: Arsimi, 1990.

Simonyan Albina

Për të përdorur pamjet paraprake të prezantimeve, krijoni një llogari Google dhe identifikohuni në të: https://accounts.google.com

Titrat e rrëshqitjes:

Le të hedhim një vështrim në botën e formulave

Edukimi matematikor i marrë në shkollat ​​e mesme është një komponent thelbësor i arsimit të përgjithshëm dhe kulturës së përgjithshme të njeriut modern. Pothuajse gjithçka që rrethon një person është disi e lidhur me matematikën. Dhe arritjet e fundit në fizikë, teknologji dhe teknologji informacioni nuk lënë asnjë dyshim se në të ardhmen gjendja e punëve do të mbetet e njëjtë. Prandaj, zgjidhja e shumë problemeve praktike zbret në zgjidhjen e llojeve të ndryshme të ekuacioneve që duhet të mësoni t'i zgjidhni. Na mësuan zgjidhjen e ekuacioneve lineare të shkallës së parë në klasën e parë dhe nuk treguam shumë interes për to. Më interesante janë ekuacionet jolineare - ekuacione të shkallëve të mëdha. Matematika zbulon rendin, simetrinë dhe sigurinë, dhe këto janë llojet më të larta të bukurisë. Hyrje:

ekuacioni ka formën (1) transformojmë ekuacionin në mënyrë që të izolojmë kubin e saktë: shumëzojmë (1) ekuacionet me 3 (2) transformojmë (2) ekuacionet që marrim ekuacioni i mëposhtëm Le të ngremë anën e djathtë dhe të majtë (3) të ekuacionit në fuqinë e tretë, të gjejmë rrënjët e ekuacionit Shembuj të zgjidhjes së një ekuacioni kub

Ekuacionet kuadratike të formës ku dalluesja Ndër numra realë pa rrënjë

Ekuacioni i shkallës së tretë

Sfondi historik: Në ato kohë të largëta, kur të urtët filluan të mendonin për barazitë që përmbajnë sasi të panjohura, ndoshta nuk kishte monedha apo portofol. Në problemet e lashta matematikore të Mesopotamisë, Indisë, Kinës, Greqisë, sasi të panjohura shprehnin numrin e pallonjve në kopsht, numrin e demave në tufë dhe tërësinë e gjërave që merreshin parasysh gjatë ndarjes së pasurisë. Burimet që kanë arritur tek ne tregojnë se shkencëtarët e lashtë kishin disa teknika të përgjithshme për zgjidhjen e problemeve me sasi të panjohura. Megjithatë, asnjë papirus ose tabletë balte nuk përmban një përshkrim të këtyre teknikave. Një përjashtim është "Aritmetika" nga matematikani grek Diophantus i Aleksandrisë (shekulli III) - një koleksion problemesh për kompozimin e ekuacioneve me një paraqitje sistematike të zgjidhjeve të tyre. Sidoqoftë, doracaku i parë për zgjidhjen e problemeve që u bë i njohur gjerësisht ishte puna e shkencëtarit të Bagdadit të shekullit të 9-të. Muhamed Ben Musa el-Kuarizmi.

ekuacioni ka formën (1) zbato formulën 1) duke zgjedhur gjetjen dhe në mënyrë që të jetë barazia e mëposhtme, ne e transformojmë anën e majtë të (1) ekuacionit si më poshtë: duke zgjedhur kubin e plotë, marrim shumën si y, marrim një ekuacion për y (2) thjeshtoni (2) ekuacionin (3) Në (3) termi që përmban katrorin e të panjohurës u zhduk, por termi që përmban shkallën e parë të të panjohurës mbeti 2) me përzgjedhje, gjeni dhe në mënyrë që Ndjekja e barazisë është e plotësuar, pasi ka një numër pozitiv në të majtë dhe një numër negativ në të majtë, atëherë do të ngecim... Do të dështojmë në rrugën tonë të zgjedhur. Nuk mund ta zgjidhim ende ekuacionin.

Ekuacionet kubike janë ekuacione të formës ku (1) 1. Le t'i thjeshtojmë ekuacionet duke i pjesëtuar me a, atëherë koeficienti i "x" bëhet i barabartë me 1, prandaj zgjidhja e çdo ekuacioni kub bazohet në formulën e kubit të shumës. : (2) nëse marrim atëherë ekuacioni (1) ndryshon nga ekuacioni (2) vetëm nga koeficienti i x dhe termi i lirë. Le të mbledhim ekuacionet (1) dhe (2) dhe të paraqesim të ngjashme: nëse bëjmë një zëvendësim këtu, marrim një ekuacion kub për y pa një term:

Cardano Girolamo

Cardano Girolamo (24.9.1501-21.9.1576) - Matematikan, mekanik dhe mjek italian. Lindur në Pavia. Ai studioi në universitetet e Pavias dhe Padovës. Në rininë e tij studioi mjekësi. Në vitin 1534 u bë profesor i matematikës në Milano dhe Bolonja. Në matematikë, emri Cardano zakonisht shoqërohet me një formulë për zgjidhjen e një ekuacioni kub, të cilën ai e huazoi nga N. Tartaglia. Kjo formulë u botua në librin e Cardanos "Arti i madh, ose mbi rregullat e algjebrës" (1545). Që nga ajo kohë, Tartaglia dhe Cardano u bënë armiq të vdekshëm. Ky libër paraqet sistematikisht metodat moderne të Cardanos për zgjidhjen e ekuacioneve, kryesisht ato kubike. Cardano kreu një transformim linear që bëri të mundur reduktimin e një ekuacioni kub në një formë të lirë nga një term i shkallës së dytë, ai vuri në dukje marrëdhënien midis rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacionit dhe pjesëtueshmërisë së polinomit me diferencën x; –a, nëse a është rrënja e saj. Cardano ishte një nga të parët në Evropë që pranoi ekzistencën e rrënjëve negative të ekuacioneve. Në veprën e tij shfaqen për herë të parë sasitë imagjinare. Në mekanikë, Cardano studioi teorinë e levave dhe peshave. Një nga lëvizjet e një segmenti përgjatë anëve të një këndi të drejtë të mekanikës quhet lëvizje kardane. Biografia e Cardano Girolamo

Në të njëjtën kohë, në qytetin italian të Veronës, jetonte një mësues i varfër matematike, Nicolo (1499-1557), me nofkën Tartaglia (d.m.th., belbëzuesi). Ai ishte shumë i talentuar dhe arriti të rizbulonte teknikën Dal Ferro. Një duel u zhvillua mes Fiores dhe Tartaglias. Sipas kushtit, rivalët shkëmbyen 30 probleme, zgjidhja e të cilave u dha 50 ditë. Por duke qenë se Fiori në thelb dinte vetëm një problem dhe ishte i sigurt se ndonjë mësues nuk mund ta zgjidhte, të 30 problemet rezultuan të ishin të të njëjtit lloj. Tartaglia u përball me ta në dy orë. Fiore nuk ishte në gjendje të zgjidhte një problem të vetëm të propozuar nga armiku. Fitorja lavdëroi Tartaglian në të gjithë Italinë, por çështja nuk u zgjidh plotësisht Teknika e thjeshtë me të cilën ne ishim në gjendje të përballonim një anëtar të ekuacionit që përmban një katror me një vlerë të panjohur (përzgjedhja e një kubi të plotë) nuk ishte zbuluar ende. zgjidhje e ekuacioneve lloje të ndryshme nuk ishte përfshirë në sistem. Dueli i Fiores me Tartaglian

një ekuacion i formës nga një ekuacion i dhënë dhe le të llogarisim diskriminuesin e ekuacionit Jo vetëm që rrënja e këtij ekuacioni nuk nxirret tërësisht, por duhet të nxirret edhe nga një numër negativ. Çfarë është puna? Mund të supozojmë se ky ekuacion nuk ka rrënjë, sepse D

Rrënjët e një ekuacioni kub varen nga diskriminuesi, ekuacioni ka 1 zgjidhje, ekuacioni ka 3 zgjidhje, ekuacioni ka 2 zgjidhje Përfundim

ekuacioni ka formën: gjeni rrënjët e ekuacionit duke përdorur formulën Cardano Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kubike duke përdorur formulën Cardano

një ekuacion të formës (1) nga një ekuacion i dhënë dhe meqenëse, sipas kushtit, ky ekuacion duhet të ketë 1 zgjidhje, atëherë njehsoni diskriminuesin (1) të ekuacionit + - + 2 6 Përgjigje: vlera më e vogël natyrore e a-së nga kjo intervali është 1 Sa është vlera më e vogël natyrore e një ekuacioni ka 1 zgjidhje?

Zgjidhja e ekuacioneve kubike duke përdorur metodën Vieta Ekuacionet kanë formën

Zgjidh një ekuacion nëse dihet se prodhimi i dy rrënjëve të tij është i barabartë me 1 nga teorema e Vietës dhe kushti që kemi ose e zëvendësojmë vlerën në ekuacionin e parë ose zëvendësojmë vlerën nga ekuacioni i tretë në të parën marrim rrënjët e ekuacioni ose përgjigjja:

Literatura e përdorur: “Matematika. Manual edukativo-metodologjik"Yu.A. Gusman, A.O. Smirnov. Enciklopedia “Unë eksploroj botën. Matematikë" - Moskë, AST, 1996. "Matematika". Manual edukativo-metodologjik » V.T. Lisichkin. Një manual për aplikantët në universitete, redaktuar nga M.I. Beqare Provimi i shtetit në matematikë - 2004

Faleminderit për vëmendjen tuaj

Ekuacioni kub - ekuacioni algjebrik shkalla e tretë. Forma e përgjithshme e ekuacionit kub: ax3 + bx2 + cx + d = 0, a ≠ 0

Duke zëvendësuar x në këtë ekuacion me një të panjohur y të re, të lidhur me x me barazinë x = y – (b/3a), ekuacioni kub mund të reduktohet në një formë më të thjeshtë (kanonike): y3 + pу + q = 0, ku p = - b2 + c , q = 2b – bс + d

3a2 a 27a3 3a2 a zgjidhja e këtij ekuacioni mund të merret duke përdorur formulën Cardano.

1. 1 Historia e ekuacioneve kubike

Termi "ekuacion kub" u prezantua nga R. Descartes (1619) dhe W. Oughtred (1631).

Përpjekjet e para për të gjetur zgjidhje për problemet që mund të reduktohen në ekuacione kubike u bënë nga matematikanët e lashtë (për shembull, problemi i dyfishimit të një kubi dhe treprerja e një këndi).

Matematikanët e Mesjetës së Lindjes krijuan mjaft teoria e zhvilluar(V formë gjeometrike) ekuacionet kubike; është paraqitur më në detaje në traktatin mbi provat e problemeve në algjebër dhe almukabala "Omara Haya" (rreth 1070), ku çështja e gjetjes rrënjë pozitive 14 lloje ekuacionesh kubike që përmbajnë vetëm terma me koeficient pozitiv në të dyja anët.

Në Evropë për herë të parë formë trigonometrike një zgjidhje për një rast të një ekuacioni kub është dhënë nga Vieth (1953).

Zgjidhja e parë në radikale të njërit prej llojeve të ekuacioneve kubike u gjet nga S. Ferro (rreth vitit 1515), por nuk u botua. Zbulimi u përsërit në mënyrë të pavarur nga Tartaglia (1535), duke treguar një rregull për zgjidhjen e dy llojeve të tjera të ekuacioneve kubike. Këto zbulime u botuan në vitin 1545 nga G. Cardano, i cili përmendi autorësinë e N. Tartaglia.

Në fund të shekullit të 15-të. Profesori i matematikës në universitetet e Romës dhe Milanos Luca Pacioli në librin e tij të famshëm "Shuma e njohurive të aritmetikës, gjeometrisë, marrëdhënieve dhe proporcionalitetit" problemin e gjetjes metodë e përgjithshme për të zgjidhur ekuacionet kubike e vendosi në të njëjtin nivel me problemin e katrorit të rrethit. E megjithatë, me përpjekjet e algjebristëve italianë, një metodë e tillë u gjet shpejt.

Le të fillojmë me thjeshtimin

Nëse ekuacioni kub pamje e përgjithshme ax3 + bx2 + cx + d = 0, ku a ≠ 0, pjesëtuar me a, atëherë koeficienti i x3 do të jetë i barabartë me 1. Prandaj, në të ardhmen do të vazhdojmë nga ekuacioni x3 + Px2 + Qx + R = 0 (1)

Ashtu si zgjidhja e një ekuacioni kuadratik bazohet në formulën për katrorin e shumës, zgjidhja e një ekuacioni kub bazohet në formulën për kubin e shumës:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Për të mos u ngatërruar në koeficientët, le të zëvendësojmë a këtu me x dhe të riorganizojmë termat:

(x + b)3 = x3 + 3bx2 + 3b2x + b3. (2)

Ne shohim se duke përdorur b në mënyrë të përshtatshme, domethënë duke marrë b = P/3, ne mund ta arrijmë atë anën e djathtë Kjo formulë do të ndryshojë nga ana e majtë e ekuacionit x3 + Px2 + Qx + R = 0 vetëm nga koeficienti i x dhe termi i lirë. Le të shtojmë ekuacionin x3 + Px2 + Qx + R = 0 dhe (x + b)3 = x3 + 3bx2 + 3b2x + b3 dhe të japim të ngjashëm:

(x + b)3 + (Q – 3b2)x + R – b3 = 0.

Nëse këtu bëjmë zëvendësimin y = x + b, marrim një ekuacion kub për y pa termin me y2: y3 + py + q = 0.

Pra, kemi treguar se në ekuacionin kub x3 + Px2 + Qx + R = 0, duke përdorur një zëvendësim të përshtatshëm, mund të heqim qafe termin që përmban katrorin e të panjohurës. Prandaj, tani do të zgjidhim një ekuacion të formës x3 + рх + q = 0. (3)

1. 2 Historia e formulës Cardano

Formula Cardano është emëruar pas G. Cardano, i cili e botoi për herë të parë në 1545.

Autori i kësaj formule është Niccolo Tartaglia. Ai e krijoi këtë zgjidhje në 1535 posaçërisht për të marrë pjesë në një konkurs matematikor, të cilin, natyrisht, e fitoi. Tartaglia, duke i komunikuar formulën (në formë poetike) Cardano-s, paraqiti vetëm atë pjesë të zgjidhjes së ekuacionit kub në të cilin rrënja ka një vlerë (reale).

Rezultatet e Cardano-s në këtë formulë kanë të bëjnë me marrjen në konsideratë të të ashtuquajturës rast të pakësueshëm, në të cilin ekuacioni ka tre vlera ( vlerat reale, në ato ditë nuk kishte as numra imagjinarë e as negativë, megjithëse kishte përpjekje në këtë drejtim). Sidoqoftë, ndryshe nga sa tregoi Cardano në botimin e tij si autorësia e Tartaglia, formula quhet me emrin e Cardano.

1. Formula 3 Cardano

Tani le t'i kthehemi përsëri formulës së kubit të shumës, por shkruajmë atë ndryshe:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b).

Krahasoni këtë hyrje me ekuacionin x3 + px + q = 0 dhe përpiquni të krijoni një lidhje midis tyre. Le të zëvendësojmë x = a + b në formulën tonë: x3 = a3 + b3 + 3abx, ose x3 - 3abx - (a3 + b3) = 0

Tani është e qartë: për të gjetur rrënjën e ekuacionit x3 + рх + q = 0, mjafton të zgjidhet sistemi i ekuacioneve a3 + b3 = - q, a3 + b3 = - q, ose

3ab = - p,a3b3 = - p 3,

3 dhe merrni si x shumën e a dhe b. Duke zëvendësuar u = a3, v = b3, ky sistem reduktohet në plotësisht pamje e thjeshtë: dhe + v = - q, dhe v = - p 3.

Atëherë mund të veproni në mënyra të ndryshme, por të gjitha "rrugët" do të çojnë në të njëjtin ekuacion kuadratik. Për shembull, sipas teoremës së Vietës, shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar është e barabartë me koeficientin e x me një shenjë minus, dhe produkti është i barabartë me termin e lirë. Nga kjo rrjedh se të dyja dhe v janë rrënjë të ekuacionit t2 + qt – (p/3) 3 = 0.

Le të shkruajmë këto rrënjë: t1,2 = - q ± q 2 + p 3.

Variablat a dhe b janë të barabartë rrënjët kubike nga t1 dhe t2, dhe zgjidhja e dëshiruar për ekuacionin kub x3 + рх + q = 0 është shuma e këtyre rrënjëve: x = 3 – q + q 2 + p 3+ 3 – q – q 2 + p 3.

Kjo formulë njihet si formula e Cardanos.

Zgjidhja e ekuacioneve

Përpara se të shohim formulën e Cardanos në punë, le të shpjegojmë se si të përdorim një rrënjë të ekuacionit kub x3 + px + q = 0 për të gjetur rrënjët e tjera të tij, nëse ka.

Le të dihet se ekuacioni ynë ka rrënjë h. Pastaj ana e saj e majtë mund të zbërthehet në lineare dhe faktorë katrorë. Kjo bëhet shumë thjesht. Shprehjen e termit të lirë e zëvendësojmë në ekuacion përmes rrënjës q = - h3 – ph dhe përdorim formulën për ndryshimin e kubeve:

0 = x3 – h3 + px – ph = (x – h)(x2 + hx + h2) + p(x - h) = (x – h)(x2 + hx + h2 + p).

Tani mund të zgjidhni ekuacionin kuadratik x2 + hx + h2 + p = 0 dhe të gjeni rrënjët e mbetura të këtij ekuacioni kub.

Pra, ne jemi plotësisht të armatosur dhe, siç duket, ne mund të përballojmë çdo ekuacion kub. Le të provojmë dorën tonë.

1. Le të fillojmë me ekuacionin x3 + 6x – 2 = 0

Zëvendësojmë p = 6 dhe q = -2 në formulën Cardano dhe pas shkurtimeve të thjeshta marrim përgjigjen: x = 3√4 – 3√2. Epo, formula është mjaft e bukur. Vetëm perspektiva e heqjes së faktorit x - (3√4 - 3√2) nga ana e majtë e ekuacionit dhe zgjidhjes së ekuacionit kuadratik të mbetur me koeficientë "të tmerrshëm" për të llogaritur rrënjët e tjera nuk është shumë frymëzuese. Sidoqoftë, duke e parë më nga afër ekuacionin, mund të qetësoheni: funksioni në anën e majtë po rritet rreptësisht dhe për këtë arsye mund të zhduket vetëm një herë. Kjo do të thotë se numri i gjetur është e vetmja rrënjë reale e ekuacionit.

y y = x3 + 6x – 2

3√4 – 3√2 x

Oriz. 1 Grafiku i funksionit y = x3 + 6x – 2 e pret boshtin x në një pikë - 3√4 – 3√2.

2. Shembulli tjetër– ekuacioni x3 + 3x – 4 = 0.

Formula e Cardanos jep x = 3 2 + √5 + 3 2 - √5.

Si në shembullin e mëparshëm, ne shohim se kjo rrënjë është unike. Por nuk keni nevojë të jeni super mendjemprehtë që, duke parë ekuacionin, të merrni me mend rrënjën e tij: x = 1. Duhet të pranojmë se formula prodhoi një njësi të zakonshme në një formë kaq të çuditshme. Meqë ra fjala, për të thjeshtuar këtë shprehje të rëndë, por jo pa hiri transformimet algjebrike dështon - irracionalitetet kubike në të janë të pazgjidhshme.

3. Epo, tani le të marrim një ekuacion që padyshim ka tre rrënjë reale. Është e lehtë për t'u krijuar - mjafton të shumëzosh tre kllapa të formës x - b. Thjesht duhet të siguroheni që shuma e rrënjëve të jetë e barabartë me zero, sepse, sipas teorema e përgjithshme Vieta, ndryshon nga koeficienti në x2 vetëm në shenjë. Grupi më i thjeshtë i rrënjëve të tilla është 0, 1 dhe – 1.

Le të zbatojmë formulën e Cardanos në ekuacionin x (x – 1) (x + 1) = 0, ose x3 – x = 0.

Duke vendosur p = -1 dhe q = 0 në të, marrim x = 3 √ - 1/27 + 3 - √ - 1/27.

y y = x (x - 1)(x + 1)

Oriz. 2 Ekuacioni x (x – 1)(x + 1) = 0 ka tre rrënjë reale: -1, 0 dhe 1. Prandaj, grafiku i funksionit y = x (x – 1) (x + 1) pret boshti x në tre pika.

Një numër negativ u shfaq nën shenjën e rrënjës katrore. Kjo ndodh edhe kur zgjidhen ekuacionet kuadratike. Por ekuacioni kuadratik në këtë rast nuk ka rrënjë reale, ndërsa ekuacioni kub ka tre!

Më shumë analizë e plotë tregon se ne nuk ramë rastësisht në këtë kurth. Ekuacioni x3 + px + q = 0 ka tre rrënjë reale nëse dhe vetëm nëse shprehja Δ = (q/2)2 + (p/3)3 rrënjë katrore në formulën Cardano është negative. Nëse Δ > 0, atëherë ka një rrënjë reale (Fig. 3, b), dhe nëse Δ = 0, atëherë janë dy prej tyre (njëra prej tyre është dyfish), përveç rastit p = q = 0, kur të tre rrënjët bashkohen.

y Δ 0 y = -pх - q y = x3

0 x 0 x y = -pх - q y = x3 a) b)

Oriz. 3 Ekuacioni kub x3 + px + q = 0 mund të paraqitet si x3 = -px – q. Nga kjo mund të shohim se rrënjët e ekuacionit do të korrespondojnë me abshisat e pikave të kryqëzimit të dy grafikëve: y = x3 dhe y = -px – q. Nëse Δ 0 – një.

1. 4 Teorema e Vietës

Teorema e Vietës. Nëse e tërë ekuacioni racional shkalla n, e reduktuar në pamje standarde, ka n rrënjë reale të ndryshme x1, x2,. xn, atëherë plotësojnë barazitë: x1 + x2 + + xn = - a1, a0 x1x2 + x1x3 + + xn-1xn = a2 a0 x1 · x2 · · xn = (-1)nаn.

Për rrënjët e ekuacionit të shkallës së tretë a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = 0, ku a0 ≠ 0 vlejnë barazitë e mëposhtme: x1 + x2 + x3 = - a1, a0 x1x2 + x1x3 + x2x3 = a2, a0 x1x2x3 = - a3.

1. 5 Teorema e Bezout. Skema Horner

Zgjidhja e ekuacioneve është e lidhur ngushtë me faktorizimin e polinomeve. Prandaj, gjatë zgjidhjes së ekuacioneve, gjithçka që lidhet me përzgjedhjen në polinom është e rëndësishme shumëzues linearë, pra me pjesëtimin e polinomit A(x) me binomin x – α. Baza e shumë njohurive rreth pjesëtimit të polinomit A(x) me binomin x – α është teorema për shkak të Matematikan francez Etienne Bezout (1730-1783) dhe që mban emrin e tij.

Teorema e Bezout. Pjesa e mbetur e pjesëtimit të polinomit A(x) me binomin x – α është e barabartë me A(α) (d.m.th., vlera e polinomit A(x) në x = α).

Le të gjejmë mbetjen kur pjesëtojmë polinomin A(x) = x4 – 6x3 + 8 me x + 2.

Zgjidhje. Sipas teoremës së Bezout, pjesa e mbetur e pjesëtimit me x + 2 është A(-2) = (-2)4 – 6(-2)3 + 8 = 72.

Një mënyrë e përshtatshme për të gjetur vlerat e një polinomi kur vlera e vendosur Ndryshorja x u prezantua nga matematikani anglez Williams George Horner (1786-1837). Kjo metodë më vonë u bë e njohur si skema Horner. Ai konsiston në plotësimin e një tabele me dy rreshta. Për shembull, për të llogaritur A(-2) në shembullin e mëparshëm, në rreshtin e sipërm të tabelës rendisim koeficientët e këtij polinomi, të shkruar në formën standarde x4 – 6x3 + 8 = x4 + (-6)x3 + 0. x2 + 0 x + 8.

Koeficientin e shkallës më të lartë e dublikojmë në vijën fundore dhe para tij shkruajmë vlerën e ndryshores x = -2, në të cilën llogaritet vlera e polinomit. Kjo rezulton në tabelën e mëposhtme:

Plotësoni qelizat boshe të tabelës sipas rregulli tjetër: Numri më i djathtë në rreshtin e poshtëm shumëzohet me -2 dhe i shtohet numrit mbi qelizën e zbrazët. Sipas këtij rregulli, qeliza e parë bosh përmban numrin (-2) 1 + (-6) = -8, qeliza e dytë përmban numrin (-2) (-8) + 0 = 16, qeliza e tretë përmban numrin numri (- 2) · 16 + 0 = - 32, në qelizën e fundit - numri (-2) · (-32) + 8 = 72. Tabela e plotësuar plotësisht sipas skemës së Horner duket si kjo:

2 1 -8 16 -32 72

Numri në qelizën e fundit është mbetja kur pjesëtohet polinomi me x + 2, A(-2) = 72.

Në fakt, nga tabela që rezulton, e plotësuar sipas skemës së Hornerit, është e mundur të shënohet jo vetëm pjesa e mbetur, por edhe koeficienti jo i plotë.

Q(x) = x3 – 8x2 + 16x – 32, pasi numri në rreshtin e dytë (duke mos llogaritur nga i fundit) është koeficienti i polinomit Q(x) - herësi jo i plotë i pjesëtimit me x + 2.

Le të zgjidhim ekuacionin x3 – 2x2 – 5x + 6 = 0

Le të shkruajmë të gjithë pjesëtuesit e termit të lirë të ekuacionit: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.

x = 1, x = -2, x = 3

Përgjigje: x = 1, x = -2, x = 3

2. PËRFUNDIM

Unë do të formuloj përfundimet kryesore për punën e bërë.

Në procesin e punës, u njoha me historinë e zhvillimit të problemit të zgjidhjes së një ekuacioni të shkallës së tretë. Rëndësia teorike e rezultateve të marra qëndron në faktin se me vetëdije zë vendin e formulës Cardano në zgjidhjen e disa ekuacioneve të shkallës së tretë. Isha i bindur se ekziston një formulë për zgjidhjen e një ekuacioni të shkallës së tretë, por për shkak të natyrës së tij të rëndë, nuk është e njohur dhe jo shumë e besueshme, pasi jo gjithmonë arrin rezultatin përfundimtar.

Në të ardhmen, mund të shqyrtojmë pyetjet e mëposhtme: si të zbulojmë paraprakisht se çfarë rrënjësh ka një ekuacion i shkallës së tretë; A është e mundur të zgjidhet një ekuacion kub? grafikisht, nëse është e mundur, atëherë si; Si të vlerësohen afërsisht rrënjët e një ekuacioni kub?