Ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze:

Raste të veçanta të ekuacionit të përgjithshëm të një drejtëze:

a) Nëse C= 0, ekuacioni (2) do të ketë formën

Sëpatë + Nga = 0,

dhe drejtëza e përcaktuar nga ky ekuacion kalon përmes origjinës, pasi koordinatat e origjinës janë x = 0, y= 0 e plotëson këtë ekuacion.

b) Nëse në ekuacionin e përgjithshëm të drejtëzës (2) B= 0, atëherë ekuacioni merr formën

Sëpatë + ME= 0, ose .

Ekuacioni nuk përmban një ndryshore y, dhe drejtëza e përcaktuar nga ky ekuacion është paralele me boshtin Oy.

c) Nëse në ekuacionin e përgjithshëm të drejtëzës (2) A= 0, atëherë ky ekuacion do të marrë formën

Nga + ME= 0, ose ;

ekuacioni nuk përmban një ndryshore x, dhe drejtëza që ajo përcakton është paralele me boshtin kau.

Duhet mbajtur mend: nëse një vijë e drejtë është paralele me një bosht koordinativ, atëherë në ekuacionin e saj nuk ka asnjë term që përmban një koordinatë me të njëjtin emër si ky bosht.

d) Kur C= 0 dhe A= 0 ekuacioni (2) merr formën Nga= 0, ose y = 0.

Ky është ekuacioni i boshtit kau.

d) Kur C= 0 dhe B= 0 ekuacioni (2) do të shkruhet në formë Sëpatë= 0 ose x = 0.

Ky është ekuacioni i boshtit Oy.

Pozicioni relativ i vijave në një plan. Këndi ndërmjet vijave të drejta në një plan. Kushti për drejtëza paralele. Kushti i pingulitetit të drejtëzave.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Vektorët S 1 dhe S 2 quhen udhërrëfyes për vijat e tyre.

Këndi ndërmjet vijave të drejta l 1 dhe l 2 përcaktohet nga këndi midis vektorëve të drejtimit.
Teorema 1: cos i këndit ndërmjet l 1 dhe l 2 = cos(l 1 ; l 2) =

Teorema 2: Që 2 rreshta të jenë të barabarta është e nevojshme dhe e mjaftueshme:

Teorema 3: Që 2 vija të drejta të jenë pingule është e nevojshme dhe e mjaftueshme:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Ekuacioni i planit të përgjithshëm dhe rastet e veçanta të tij. Ekuacioni i një rrafshi në segmente.

Ekuacioni i planit të përgjithshëm:

Ax + By + Cz + D = 0

Raste të veçanta:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – rrafshi kalon nëpër origjinë

2. С=0 Ax+By+D = 0 – rrafsh || OZ

3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – plani || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – plani || OK

5. A=0 dhe D=0 By+Cz = 0 – rrafshi kalon nëpër OX

6. B=0 dhe D=0 Ax+Cz = 0 – rrafshi kalon nëpër OY

7. C=0 dhe D=0 Ax+By = 0 – rrafshi kalon nëpër OZ

Pozicioni relativ i planeve dhe vijave të drejta në hapësirë:

1. Këndi ndërmjet drejtëzave në hapësirë ​​është këndi ndërmjet vektorëve të drejtimit të tyre.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. Këndi ndërmjet rrafsheve përcaktohet përmes këndit ndërmjet vektorëve normalë të tyre.

Cos (l 1 ; l 2) = cos (N 1 ; N 2) = =

3. Kosinusi i këndit ndërmjet drejtëzës dhe rrafshit mund të gjendet përmes sinonit të këndit ndërmjet vektorit të drejtimit të drejtëzës dhe vektorit normal të rrafshit.

4. 2 drejt || në hapësirë ​​kur e tyre || udhëzues vektoriale

5. 2 avionë || kur || vektorë normalë

6. Ngjashëm paraqiten konceptet e pingulitetit të drejtëzave dhe rrafsheve.

Pyetja nr 14

Lloje të ndryshme të ekuacioneve të një vije të drejtë në një plan (ekuacioni i një drejtëze në segmente, me një koeficient këndi, etj.)

Ekuacioni i një drejtëze në segmente:
Le të supozojmë se në ekuacionin e përgjithshëm të drejtëzës:

1. C = 0 Ах + Ву = 0 – drejtëza kalon nëpër origjinë.

2. a = 0 Vu + C = 0 y =

3. b = 0 Ax + C = 0 x =

4. b=C=0 Ax = 0 x = 0

5. a=C=0 Ву = 0 у = 0

Ekuacioni i një vije të drejtë me një pjerrësi:

Çdo vijë e drejtë që nuk është e barabartë me boshtin op-amp (B jo = 0) mund të shkruhet në rreshtin tjetër. forma:

k = tanα α – këndi ndërmjet drejtëzës dhe vijës së drejtuar pozitivisht OX

b – pika e prerjes së drejtëzës me boshtin e op-amp

Dokumenti:

Ax+By+C = 0

Wu= -Ah-S |:B

Ekuacioni i një drejtëze të bazuar në dy pika:

Pyetja nr. 16

Kufiri i fundëm i një funksioni në një pikë dhe për x→∞

Kufiri i fundit në x0:

Numri A quhet kufi i funksionit y = f(x) për x→x 0 nëse për çdo E > 0 ekziston b > 0 i tillë që për x ≠x 0 që plotëson pabarazinë |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Kufiri tregohet nga: = A

Kufiri i fundit në pikën +∞:

Numri A quhet kufi i funksionit y = f(x) në x → + ∞ , nëse për çdo E > 0 ekziston C > 0 e tillë që për x > C pabarazia |f(x) - A|< Е

Kufiri tregohet nga: = A

Kufiri i fundit në pikën -∞:

Numri A quhet kufi i funksionit y = f(x) për x→-∞, nëse për ndonjë E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar në një drejtim të caktuar. Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër dy pika të dhëna. Këndi ndërmjet dy vijave të drejta. Kushti i paralelizmit dhe pingulitetit të dy drejtëzave. Përcaktimi i pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave

1. Ekuacioni i drejtëzës që kalon në një pikë të caktuar A(x 1 , y 1) në një drejtim të caktuar, të përcaktuar nga pjerrësia k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ky ekuacion përcakton një laps me vija që kalojnë nëpër një pikë A(x 1 , y 1), e cila quhet qendra e rrezes.

2. Ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pika: A(x 1 , y 1) dhe B(x 2 , y 2), e shkruar kështu:

Koeficienti këndor i një vije të drejtë që kalon nëpër dy pika të dhëna përcaktohet nga formula

3. Këndi midis vijave të drejta A Dhe Bështë këndi me të cilin duhet të rrotullohet drejtëza e parë A rreth pikës së kryqëzimit të këtyre vijave në drejtim të kundërt të akrepave të orës derisa të përputhet me vijën e dytë B. Nëse dy drejtëza jepen me ekuacione me pjerrësi

y = k 1 x + B 1 ,

Drejtëza që kalon nëpër pikën K(x 0 ; y 0) dhe paralele me drejtëzën y ​​= kx + a gjendet me formulën:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Ku k është pjerrësia e vijës.

Formula alternative:
Drejtëza që kalon nëpër pikën M 1 (x 1 ; y 1) dhe paralele me drejtëzën Ax+By+C=0 përfaqësohet nga ekuacioni

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Shembulli nr. 2. Shkruani ekuacionin e një drejtëze paralele me drejtëzën 2x + 5y = 0 dhe duke formuar, së bashku me boshtet e koordinatave, një trekëndësh, sipërfaqja e të cilit është 5.
Zgjidhje . Meqenëse vijat janë paralele, ekuacioni i vijës së dëshiruar është 2x + 5y + C = 0. Sipërfaqja e një trekëndëshi kënddrejtë, ku a dhe b janë këmbët e tij. Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të vijës së dëshiruar me boshtet e koordinatave:
;
.
Pra, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Le ta zëvendësojmë atë në formulën për zonën: . Marrim dy zgjidhje: 2x + 5y + 10 = 0 dhe 2x + 5y – 10 = 0.

Shembulli nr. 3. Shkruani një ekuacion për një drejtëz që kalon në pikën (-2; 5) dhe paralel me drejtëzën 5x-7y-4=0.
Zgjidhje. Kjo vijë e drejtë mund të përfaqësohet nga ekuacioni y = 5 / 7 x – 4 / 7 (këtu a = 5 / 7). Ekuacioni i vijës së dëshiruar është y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), d.m.th. 7(y-5)=5(x+2) ose 5x-7y+45=0 .

Shembulli nr. 4. Pasi kemi zgjidhur shembullin 3 (A=5, B=-7) duke përdorur formulën (2), gjejmë 5(x+2)-7(y-5)=0.

Shembulli nr. 5. Shkruani një ekuacion për një drejtëz që kalon në pikën (-2;5) dhe paralel me drejtëzën 7x+10=0.
Zgjidhje. Këtu A=7, B=0. Formula (2) jep 7(x+2)=0, d.m.th. x+2=0. Formula (1) nuk është e zbatueshme, pasi ky ekuacion nuk mund të zgjidhet në lidhje me y (kjo drejtëz është paralele me boshtin e ordinatave).

Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër dy pika. Në artikull" " Ju premtova të shikoni mënyrën e dytë për zgjidhjen e problemeve të paraqitura të gjetjes së derivatit, duke pasur parasysh një grafik të një funksioni dhe një tangjente me këtë grafik. Ne do të diskutojmë këtë metodë në , mos e humbisni! Pse në tjetrën?

Fakti është se formula për ekuacionin e një vije të drejtë do të përdoret atje. Sigurisht, ne thjesht mund të tregojmë këtë formulë dhe t'ju këshillojmë ta mësoni atë. Por është më mirë të shpjegojmë se nga vjen (si rrjedh). Kjo është e nevojshme! Nëse e harroni, mund ta rivendosni shpejtnuk do të jetë e vështirë. Gjithçka është përshkruar më poshtë në detaje. Pra, kemi dy pika A në planin koordinativ(x 1; y 1) dhe B (x 2; y 2), vizatohet një vijë e drejtë nëpër pikat e treguara:

Këtu është vetë formula e drejtpërdrejtë:

*Dmth, kur zëvendësojmë koordinatat specifike të pikave, marrim një ekuacion të formës y=kx+b.

**Nëse thjesht e "mësoni përmendësh" këtë formulë, atëherë ka një probabilitet të lartë për t'u ngatërruar me indekset kur X. Për më tepër, indekset mund të përcaktohen në mënyra të ndryshme, për shembull:

Kjo është arsyeja pse është e rëndësishme të kuptojmë kuptimin.

Tani derivimi i kësaj formule. Është shumë e thjeshtë!

Trekëndëshat ABE dhe ACF janë të ngjashëm në këndin akut (shenja e parë e ngjashmërisë së trekëndëshave kënddrejtë). Nga kjo rrjedh se raportet e elementeve përkatëse janë të barabarta, domethënë:

Tani ne thjesht i shprehim këto segmente përmes ndryshimit në koordinatat e pikave:

Sigurisht, nuk do të ketë asnjë gabim nëse shkruani marrëdhëniet e elementeve në një mënyrë tjetër (gjëja kryesore është të ruani qëndrueshmërinë):

Rezultati do të jetë i njëjti ekuacion i vijës. Kjo është e gjitha!

Kjo do të thotë, pavarësisht se si caktohen vetë pikat (dhe koordinatat e tyre), duke kuptuar këtë formulë, gjithmonë do të gjeni ekuacionin e një vije të drejtë.

Formula mund të nxirret duke përdorur vetitë e vektorëve, por parimi i derivimit do të jetë i njëjtë, pasi do të flasim për proporcionalitetin e koordinatave të tyre. Në këtë rast, funksionon e njëjta ngjashmëri e trekëndëshave kënddrejtë. Sipas mendimit tim, përfundimi i përshkruar më sipër është më i qartë)).

Shikoni daljen duke përdorur koordinatat vektoriale >>>

Le të ndërtohet një drejtëz në rrafshin koordinativ që kalon nëpër dy pika të dhëna A(x 1;y 1) dhe B(x 2;y 2). Le të shënojmë një pikë arbitrare C në vijë me koordinata ( x; y). Ne gjithashtu shënojmë dy vektorë:

Dihet se për vektorët që shtrihen në vija paralele (ose në të njëjtën linjë), koordinatat e tyre përkatëse janë proporcionale, domethënë:

— shkruajmë barazinë e raporteve të koordinatave përkatëse:

Le të shohim një shembull:

Gjeni ekuacionin e drejtëzës që kalon në dy pika me koordinata (2;5) dhe (7:3).

Ju as nuk duhet të ndërtoni vetë vijën e drejtë. Ne aplikojmë formulën:

Është e rëndësishme që të kuptoni korrespondencën kur hartoni raportin. Nuk mund të gaboni nëse shkruani:

Përgjigje: y=-2/5x+29/5 go y=-0,4x+5,8

Për t'u siguruar që ekuacioni që rezulton është gjetur saktë, sigurohuni që të kontrolloni - zëvendësoni koordinatat e të dhënave në gjendjen e pikave në të. Ekuacionet duhet të jenë të sakta.

Kjo është e gjitha. Shpresoj se materiali ishte i dobishëm për ju.

Përshëndetje, Aleksandër.

P.S: Do të isha mirënjohës nëse më tregoni për faqen në rrjetet sociale.