Kurbat e rendit të dytë në një rrafsh janë vija të përcaktuara nga ekuacionet në të cilat variabla koordinon x Dhe y përfshihen në shkallën e dytë. Këto përfshijnë elipsin, hiperbolën dhe parabolën.

Forma e përgjithshme e ekuacionit të kurbës së rendit të dytë është si më poshtë:

Ku A, B, C, D, E, F- numrat dhe të paktën një nga koeficientët A, B, C jo e barabartë me zero.

Gjatë zgjidhjes së problemeve me kthesa të rendit të dytë, më së shpeshti merren parasysh ekuacionet kanonike të elipsës, hiperbolës dhe parabolës. Është e lehtë të kalohet tek ata nga ekuacionet e përgjithshme shembulli 1 i problemeve me elipsat do t'i kushtohet kësaj.

Elipsa e dhënë nga ekuacioni kanonik

Përkufizimi i një elipsi. Një elipsë është bashkësia e të gjitha pikave të rrafshit për të cilat shuma e distancave në pikat e quajtura vatra është një vlerë konstante më e madhe se distanca ndërmjet vatërve.

Fokuset tregohen si në figurën më poshtë.

Ekuacioni kanonik i një elipsi ka formën:

Ku a Dhe b (a > b) - gjatësitë e gjysmëboshteve, d.m.th., gjysma e gjatësisë së segmenteve të prera nga elipsi në boshtet koordinative.

Vija e drejtë që kalon nëpër vatrat e elipsës është boshti i saj i simetrisë. Një bosht tjetër i simetrisë së një elipsi është një vijë e drejtë që kalon nga mesi i një segmenti pingul me këtë segment. Pika RRETH kryqëzimi i këtyre vijave shërben si qendër simetrie e elipsës ose thjesht qendër e elipsës.

Boshti i abshisës i elipsës kryqëzohet në pikat ( a, RRETH) Dhe (- a, RRETH), dhe boshti i ordinatave është në pika ( b, RRETH) Dhe (- b, RRETH). Këto katër pika quhen kulme të elipsës. Segmenti midis kulmeve të elipsës në boshtin x quhet boshti i tij kryesor, dhe në boshtin e ordinatave - boshti i tij i vogël. Segmentet e tyre nga maja në qendër të elipsës quhen gjysmë boshte.

Nëse a = b, atëherë ekuacioni i elipsës merr formën . Ky është ekuacioni i një rrethi me rreze a, dhe rrethi është rast i veçantë elips. Një elipsë mund të merret nga një rreth me rreze a, nëse e ngjesh në a/b herë përgjatë boshtit Oy .

Shembulli 1. Kontrolloni nëse një vijë e dhënë nga një ekuacion i përgjithshëm është , elips.

Zgjidhje. Ne bëjmë transformime ekuacioni i përgjithshëm. Ne aplikojmë transferimin e afatit të lirë në anën e djathtë, duke pjesëtuar termin e ekuacionit me term me të njëjtin numër dhe duke reduktuar thyesat:

Përgjigju. Ekuacioni që rezulton është ekuacioni kanonik elips. Prandaj, këtë linjë- elips.

Shembulli 2. Hartoni ekuacionin kanonik të një elipsi nëse gjysmëboshtet e saj janë përkatësisht të barabartë me 5 dhe 4.

Zgjidhje. Ne shikojmë formulën për ekuacionin kanonik të një elipse dhe zëvendësojmë: boshti gjysmë i madh është a= 5, boshti gjysëmminor është b= 4. Ne marrim ekuacionin kanonik të elipsës:

Pikat dhe , të treguara me të gjelbër në boshtin kryesor, ku

quhen truket.

thirrur ekscentricitet elips.

Qëndrimi b/a karakterizon "shtresën" e elipsës. Sa më i vogël ky raport, aq më shumë zgjatet elipsa përgjatë boshtit kryesor. Megjithatë, shkalla e zgjatjes së një elipsi shprehet më shpesh përmes ekscentricitetit, formula për të cilën është dhënë më sipër. Për elipsa të ndryshme, ekscentriciteti varion nga 0 në 1, duke mbetur gjithmonë më pak se uniteti.

Shembulli 3. Hartoni ekuacionin kanonik të një elipsi nëse distanca midis vatërve është 8 dhe boshtit kryesor është 10.

Zgjidhje. Le të bëjmë disa përfundime të thjeshta:

Nëse boshti kryesor është i barabartë me 10, atëherë gjysma e tij, d.m.th., gjysmë-boshti a = 5 ,

Nëse distanca midis vatrave është 8, atëherë numri c e koordinatave fokale është e barabartë me 4.

Zëvendësojmë dhe llogarisim:

Rezultati është ekuacioni kanonik i elipsës:

Shembulli 4. Hartoni ekuacionin kanonik të një elipse nëse boshti i saj kryesor është 26 dhe ekscentriciteti i saj është .

Zgjidhje. Siç del si nga madhësia e boshtit kryesor ashtu edhe nga ekuacioni i ekscentricitetit, boshti gjysmë i madh i elipsës a= 13. Nga ekuacioni i ekscentricitetit shprehim numrin c, e nevojshme për të llogaritur gjatësinë e gjysmë-boshtit të vogël:

.

Ne llogarisim katrorin e gjatësisë së gjysmëboshtit të vogël:

Ne hartojmë ekuacionin kanonik të elipsës:

Shembulli 5. Përcaktoni vatrat e elipsës të dhëna nga ekuacioni kanonik.

Zgjidhje. Gjeni numrin c, i cili përcakton koordinatat e para të vatrave të elipsës:

.

Ne marrim fokuset e elipsit:

Shembulli 6. Fokuset e elipsës janë të vendosura në bosht kau simetrike për origjinën. Hartoni ekuacionin kanonik të elipsës nëse:

1) distanca midis fokuseve është 30, dhe boshti kryesor 34

2) boshti i vogël 24, dhe një nga fokuset është në pikën (-5; 0)

3) ekscentriciteti, dhe një nga fokuset është në pikën (6; 0)

Le të vazhdojmë së bashku të zgjidhim problemet e elipsit

Nëse është një pikë arbitrare e elipsës (e treguar me ngjyrë të gjelbër në pjesën e sipërme djathtas të elipsës në vizatim) dhe është distanca deri në këtë pikë nga vatrat, atëherë formulat për distancat janë si më poshtë:

Për çdo pikë që i përket elipsit, shuma e distancave nga vatrat është një vlerë konstante e barabartë me 2 a.

Vijat e përcaktuara me ekuacione

quhen drejtoresha elips (në vizatim ka vija të kuqe përgjatë skajeve).

Nga dy ekuacionet e mësipërme rezulton se për çdo pikë të elipsës

,

ku dhe janë distancat e kësaj pike me drejtimet dhe .

Shembulli 7. Jepet një elips. Shkruani një ekuacion për drejtimet e tij.

Zgjidhje. Ne shikojmë ekuacionin direktriks dhe zbulojmë se duhet të gjejmë ekscentricitetin e elipsës, d.m.th. Ne kemi të gjitha të dhënat për këtë. Ne llogarisim:

.

Marrim ekuacionin e drejtimeve të elipsës:

Shembulli 8. Hartoni ekuacionin kanonik të një elipsi nëse vatra të saj janë pika dhe drejtimet janë vija.

Përkufizimi: Një elipsë është një grup pikash në një plan, shuma e distancave nga secila prej të cilave është dy pikët e dhënaështë konstante.

M është një pikë arbitrare e elipsës. O – mes F 1 F 2 . F 1 F 2 =2 s. Shuma e distancave është 2a Ne zgjedhim sistemin e koordinatave në atë mënyrë që Ox të kalojë nëpër F 1, F 2 dhe Oy e ndan 2c në gjysmë.

F 1 M+ F 2 M=2a. - ur-e e elipsit.

Le të transformojmë: ; 2a>2c, a>c,a 2 -c 2 =b 2

Është e qartë se çdo pikë e elipsës e plotëson këtë ekuacion. Por sepse Gjatë procesit të transformimit, ne i vendosëm në katror të dy anët dy herë, atëherë duhet të kontrollojmë nëse janë marrë pikë shtesë. Me fjalë të tjera, duhet të kontrolloni që secila pikë e ekuacionit (4) i përket elipsit. Së pari, le të bëjmë disa vërejtje për formën e vijës që korrespondon me ekuacionin (4).

. Nga ekuacionet shihet qartë se vija e drejtë është simetrike në lidhje me origjinën. Me rritjen nga 0 në një, zvogëlohet nga b në 0. Pikat e lakores shtrihen në drejtkëndësh

Le të kontrollojmë tani që çdo pikë në vijën e përcaktuar nga ekuacioni që rezulton i përket elipsës. Për ta bërë këtë, duhet të tregohet se nëse koordinatat e pikës M(x 0,y 0) plotësojnë (4) atëherë F 1 M+ F 2 M=2a.

Kështu, nuk u shfaqën pikë shtesë.

Numrat Dhe - gjysmë boshtet e mëdha dhe të vogla të elipsës F 1, F 2 – vatra të elipsës.

Në
marrim
- ekuacioni i një rrethi.

Ekuacionet parametrike të elipsës: Të ndërtojmë dy rrathë me rreze Dhe me qendër në origjinë. Nga pika O vizatojmë një rreze të prirur nga Ox në një kënd t. Le të vizatojmë një vijë horizontale përmes B dhe një vijë vertikale përmes A. Duke ndryshuar t nga 0 në 2 π, pika M do të përshkruajë një elips.
- parametrat e ekuacionit të elipsit. Për a=b marrim
- ekuacionet parametrike rrathët.

Përkufizimi. Ekscentriciteti i një elipsi është raporti i gjysmës së distancës midis vatrave me gjatësinë e boshtit të saj kryesor: .

Sepse
, prandaj < 1.
, pra,

Koment: Ekscentriciteti i një elipsi mund të konsiderohet si një masë e zgjatjes së saj. Sa më i madh të jetë ekscentriciteti, aq më i vogël është raporti (i boshtit të vogël të elipsës me boshtin e tij gjysmë të madh).

ekscentriciteti i hiperbolës.

Përkufizimi: Hiperbola quhet vendndodhja pikat e rrafshit për të cilat vlera absolute e diferencës në largësi në dy pika fikse F 1 dhe F 2 të këtij plani, të quajtura vatra, është vlerë konstante dhe jo e barabartë me 0.

Le të zgjedhim përsëri boshtet e koordinatave dhe origjinën në mes të segmentit F 1 F 2 . Distanca F 1 F 2 është 2 s. Dhe ndryshimin në distanca e shënojmë me 2a.

Nga përkufizimi kemi:
. 2a<2c, а

DHE ne do të thotë:

Le ta sheshojmë.

sërish katror. Pas transformimeve të thjeshta marrim:

Duke i ndarë të dyja pjesët me
marrim:
.

Ashtu si në rastin e një elipsi, është e nevojshme të kontrollojmë që pavarësisht nga katrori dy herë, nuk do të marrim pikë shtesë. Dhe prandaj ekuacioni (1) është ekuacioni i një hiperbole.

Le të vëmë re së pari disa veti të vijës të përcaktuar nga ekuacioni (1). Nga ekuacioni (1) rezulton se
.

Vija (1) është simetrike në lidhje me boshtet koordinative dhe në lidhje me origjinën. Është e qartë se
. Pra në korsi
nuk ka pika kurbë. Rrjedhimisht, kurba përbëhet nga dy degë të veçanta, njëra prej të cilave ndodhet në gjysmërrafsh.
(dega e djathtë), dhe e dyta - në gjysmë rrafshi -
(dega e majtë).

Le të jetë M(x 0,y 0) një pikë arbitrare në vijën e përcaktuar nga ekuacioni (1).
. Nëse e vërtetojmë këtë
, atëherë do të vërtetojmë se ekuacioni (1) është një ekuacion hiperbolë.

Pastaj zëvendësojmë y 0 në këtë formulë, hapim kllapat, japim të ngjashme dhe duke marrë parasysh që
Le të zgjedhim katrorë të plotë nën secilën rrënjë. Si rezultat marrim:
. Le
(për pikat e degës së djathtë), më pas.

Në
(për pikat e degës së majtë) pastaj.

Kështu. Ne e kuptojmë atë
. Kjo do të thotë se ekuacioni (1) është një ekuacion hiperbolë. Nuk kishte pikë shtesë.

Numri a quhet gjysmëbosht real i hiperbolës, numri b quhet gjysmëbosht imagjinar. Pikat e prerjes së hiperbolës me boshtin e saj të simetrisë quhen kulme të hiperbolës. Pikat F 1 dhe F 2 janë pikat qendrore të hiperbolës.

RRETH
Le të vërejmë një veçori tjetër të formulës së hiperbolës. Së bashku me hiperbolën, merrni parasysh një palë vija të drejta
. Në tremujorin e parë, me të njëjtën abshisë, ordinatat e pikave të hiperbolës janë më të vogla se ordinatat përkatëse të pikave përkatëse të drejtëzës, sepse
. , sepse . Ato. pikat e hiperbolës, me një rritje të pakufizuar të abshisës, afrohen sa të dëshirohet me pikat përkatëse të drejtëzës.
. Për shkak të simetrisë, pikat e hiperbolës në kuadratet e tjera u afrohen në mënyrë të pacaktuar pikave të drejtëzave kur
.

Direkt
- asimptotat e një hiperbole. Asimptotat e hiperbolës drejtohen përgjatë diagonaleve të një drejtkëndëshi me brinjë 2a dhe 2b, të vendosura në mënyrë simetrike në lidhje me boshtet e simetrisë së hiperbolës.

Nëse a=b atëherë ekuacioni i hiperbolës merr formën
. Një hiperbolë e tillë quhet barabrinjës.

Ekscentriciteti i një hiperbole. Le të jetë c gjysma e distancës ndërmjet vatrave të hiperbolës dhe le të jetë gjysmë boshti real i hiperbolës.

Përkufizimi: Ekscentriciteti i një hiperbole është sasia .

Duke marrë parasysh lidhjen midis c,a,b marrim:
. Ekscentriciteti i hiperbolës është më i madh se 1.

Koment: Ekscentriciteti i një hiperbole mund të konsiderohet si vlera e këndit midis asimptotave të saj, pasi
, ku φ është vlera e këndit ndërmjet asimptotave të hiperbolës.

Përkufizimi 7.1. Bashkësia e të gjitha pikave në rrafsh për të cilat shuma e distancave në dy pika fikse F 1 dhe F 2 është një vlerë e caktuar konstante quhet elips.

Përkufizimi i një elipsi jep metodën e mëposhtme të ndërtimit të saj gjeometrik. Ne rregullojmë dy pika F 1 dhe F 2 në aeroplan dhe shënojmë një vlerë konstante jo negative me 2a. Le të jetë distanca ndërmjet pikave F 1 dhe F 2 2c. Le të imagjinojmë që një fije e pazgjatshme me gjatësi 2a është e fiksuar në pikat F 1 dhe F 2, për shembull, duke përdorur dy gjilpëra. Është e qartë se kjo është e mundur vetëm për një ≥ c. Pasi të keni tërhequr fillin me laps, vizatoni një vijë, e cila do të jetë një elips (Fig. 7.1).

Pra, grupi i përshkruar nuk është bosh nëse a ≥ c. Kur a = c, elipsa është një segment me skajet F 1 dhe F 2, dhe kur c = 0, d.m.th. Nëse pikat fikse të specifikuara në përkufizimin e një elipsi përkojnë, ai është një rreth me rreze a. Duke i hedhur poshtë këto raste të degjeneruara, ne do të supozojmë më tej, si rregull, se a > c > 0.

Pikat fikse F 1 dhe F 2 në përkufizimin 7.1 të elipsit (shih Fig. 7.1) quhen vatra elipse, distanca midis tyre, e treguar me 2c, - gjatësia fokale, dhe segmentet F 1 M dhe F 2 M që lidhin pikë arbitrare M në një elips me vatrat e saj, - rrezet fokale.

Forma e elipsës përcaktohet plotësisht nga gjatësia fokale |F 1 F 2 | = 2c dhe parametri a, dhe pozicioni i tij në aeroplan - një palë pika F 1 dhe F 2.

Nga përkufizimi i një elipsi rezulton se ajo është simetrike në lidhje me vijën që kalon nëpër vatrat F 1 dhe F 2, si dhe në lidhje me vijën që ndan segmentin F 1 F 2 në gjysmë dhe është pingul me të (Fig. 7.2, a). Këto rreshta quhen sëpata elipsore. Pika O e kryqëzimit të tyre është qendra e simetrisë së elipsës dhe quhet qendra e elipsës, dhe pikat e kryqëzimit të elipsës me boshtet e simetrisë (pikat A, B, C dhe D në Fig. 7.2, a) - kulmet e elipsës.

Numri a quhet gjysmë boshti kryesor i elipsës, dhe b = √(a 2 - c 2) - e saj aks i vogël. Është e lehtë të shihet se për c > 0, boshti gjysmë i madh a është i barabartë me distancën nga qendra e elipsës me ato të kulmeve të saj që janë në të njëjtin bosht me vatrat e elipsës (kulmet A dhe B në Fig. 7.2, a), dhe boshti gjysmë i vogël b është i barabartë me distancën nga elipsa qendrore në dy kulmet e tjera të saj (kulmet C dhe D në Fig. 7.2, a).

Ekuacioni i elipsit. Le të shqyrtojmë një elips në rrafsh me fokus në pikat F 1 dhe F 2, boshti kryesor 2a. Le të jetë 2c gjatësia fokale, 2c = |F 1 F 2 |

Le të zgjedhim sistem drejtkëndor koordinon Oxy në aeroplan në mënyrë që origjina e tij të përputhet me qendrën e elipsës dhe fokuset janë në boshti x(Fig. 7.2, b). Një sistem i tillë koordinativ quhet kanonike për elipsin në fjalë, dhe variablat përkatëse janë kanonike.

Në sistemin e zgjedhur të koordinatave, vatrat kanë koordinatat F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Duke përdorur formulën për distancën ndërmjet pikave, shkruajmë kushtin |F 1 M| + |F 2 M| = 2a në koordinata:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Ky ekuacion është i papërshtatshëm sepse përmban dy radikale katrore. Pra, le ta transformojmë atë. Le ta zhvendosim radikalin e dytë në ekuacionin (7.2) në anën e djathtë dhe ta katrorojmë atë:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.

Pas hapjes së kllapave dhe derdhjes terma të ngjashëm marrim

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

ku ε = c/a. Ne përsërisim operacionin e katrorit për të hequr radikalin e dytë: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, ose, duke marrë parasysh vlerën e parametrit të futur ε, (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2. Meqenëse a 2 - c 2 = b 2 > 0, atëherë

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

Ekuacioni (7.4) plotësohet nga koordinatat e të gjitha pikave që shtrihen në elips. Por gjatë nxjerrjes së këtij ekuacioni, u përdorën transformime joekuivalente ekuacioni origjinal(7.2) - dy katrorë, duke hequr radikalët katrorë. Katrorja e ekuacionit është transformim ekuivalent, nëse të dyja pjesët e tij kanë vlera c me të njëjtën shenjë, por ne nuk e kontrolluam këtë në transformimet tona.

Mund të shmangim kontrollin e ekuivalencës së transformimeve nëse marrim parasysh sa vijon. Një çift pikash F 1 dhe F 2, |F 1 F 2 | = 2c, në rrafsh përcakton një familje elipsësh me vatra në këto pika. Çdo pikë e rrafshit, me përjashtim të pikave të segmentit F 1 F 2, i përket ndonjë elipsi të familjes së treguar. Në këtë rast, nuk ka dy elipsa të kryqëzuara, pasi shuma e rrezeve fokale përcakton në mënyrë unike një elipsë specifike. Pra, familja e përshkruar e elipseve pa kryqëzime mbulon të gjithë rrafshin, me përjashtim të pikave të segmentit F 1 F 2. Le të shqyrtojmë një grup pikash, koordinatat e të cilave plotësojnë ekuacionin (7.4) me një vlerë të caktuar të parametrit a. A mund të shpërndahet ky grup midis disa elipsave? Disa nga pikat e grupit i përkasin një elipse me bosht gjysmë të madh a. Le të ketë një pikë në këtë grup të shtrirë në një elips me bosht gjysmë të madh a. Atëherë koordinatat e kësaj pike i binden ekuacionit

ato. ekuacionet (7.4) dhe (7.5) kanë zgjidhjet e përgjithshme. Megjithatë, është e lehtë të verifikohet se sistemi

për ã ≠ a nuk ka zgjidhje. Për ta bërë këtë, mjafton të përjashtoni, për shembull, x nga ekuacioni i parë:

i cili pas transformimeve çon në ekuacionin

e cila nuk ka zgjidhje për ã ≠ a, pasi . Pra, (7.4) është ekuacioni i një elipsi me bosht gjysmë të madh a > 0 dhe bosht gjysmë të vogël b =√(a 2 - c 2) > 0. Quhet ekuacioni kanonik i elipsit.

Pamje elipse. Diskutuar më lart metodë gjeometrike ndërtimi i një elipsi jep një ide të mjaftueshme të pamjen elips. Por forma e elipsës mund të studiohet edhe duke përdorur ekuacionin e saj kanonik (7.4). Për shembull, ju mund, duke supozuar y ≥ 0, të shprehni y përmes x: y = b√(1 - x 2 /a 2), dhe, pasi të keni studiuar këtë funksion, të ndërtoni grafikun e tij. Ekziston një mënyrë tjetër për të ndërtuar një elips. Një rreth me rreze a me qendër në origjinën e sistemit kanonik të koordinatave të elipsës (7.4) përshkruhet nga ekuacioni x 2 + y 2 = a 2. Nëse është i ngjeshur me një koeficient a/b > 1 përgjatë boshti y, atëherë ju merrni një kurbë që përshkruhet nga ekuacioni x 2 + (ya/b) 2 = a 2, d.m.th., një elips.

Vërejtje 7.1. Nëse i njëjti rreth është i ngjeshur nga një faktor a/b

Ekscentriciteti i elipsit. Raporti i gjatësisë fokale të një elipsi me boshtin e saj kryesor quhet ekscentriciteti i elipsës dhe shënohet me ε. Për një elipsë të dhënë

ekuacioni kanonik (7.4), ε = 2c/2a = c/a. Nëse në (7.4) parametrat a dhe b lidhen me pabarazinë a

Kur c = 0, kur elipsa kthehet në një rreth, dhe ε = 0. Në raste të tjera, 0

Ekuacioni (7.3) është ekuivalent me ekuacionin (7.4), pasi ekuacionet (7.4) dhe (7.2) janë ekuivalente. Prandaj, ekuacioni i elipsës është gjithashtu (7.3). Përveç kësaj, lidhja (7.3) është interesante sepse jep një formulë të thjeshtë, pa radikale për gjatësinë |F 2 M| njëra nga rrezet fokale të pikës M(x; y) të elipsës: |F 2 M| = a + εx.

Një formulë e ngjashme për rrezen e dytë fokale mund të merret nga konsideratat e simetrisë ose duke përsëritur llogaritjet në të cilat, përpara se të kuadrosh ekuacionin (7.2), radikali i parë transferohet në anën e djathtë, dhe jo i dyti. Pra, për çdo pikë M(x; y) në elips (shih Fig. 7.2)

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

dhe secili prej këtyre ekuacioneve është një ekuacion i një elipsi.

Shembulli 7.1. Le të gjejmë ekuacionin kanonik të një elipsi me bosht gjysmë të madh 5 dhe ekscentricitet 0,8 dhe ta ndërtojmë atë.

Duke ditur gjysmëboshtin kryesor të elipsës a = 5 dhe ekscentricitetin ε = 0,8, do të gjejmë boshtin e saj gjysmë të vogël b. Meqenëse b = √(a 2 - c 2), dhe c = εa = 4, atëherë b = √(5 2 - 4 2) = 3. Pra, ekuacioni kanonik ka formën x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1. Për të ndërtuar një elipsë, është e përshtatshme të vizatoni një drejtkëndësh me qendër në origjinën e sistemit të koordinatave kanonik, anët e të cilit janë paralele me boshtet e simetrisë së elipsës dhe të barabarta me boshtet e tij përkatëse (Fig. 7.4). Ky drejtkëndësh kryqëzohet me

boshtet e elipsës në kulmet e saj A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), dhe vetë elipsa është brendashkruar në të. Në Fig. 7.4 tregon gjithashtu vatrat F 1.2 (±4; 0) të elipsës.

Vetitë gjeometrike të elipsës. Le ta rishkruajmë ekuacionin e parë në (7.6) si |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Vini re se vlera a/ε - x për a > c është pozitive, pasi fokusi F 1 nuk i përket elipsit. Kjo vlerë paraqet distancën deri në vijën vertikale d: x = a/ε nga pika M(x; y) e shtrirë në të majtë të kësaj vije. Ekuacioni i elipsit mund të shkruhet si

|F 1 M|/(a/ε - x) = ε

Do të thotë që kjo elipsë përbëhet nga ato pika M(x; y) të rrafshit për të cilat raporti i gjatësisë së rrezes fokale F 1 M me distancën në vijën e drejtë d është një vlerë konstante e barabartë me ε (Fig. 7.5).

Drejtëza d ka një "dyfish" - drejtëza vertikale d, simetrike me d në lidhje me qendrën e elipsit, e cila jepet nga ekuacioni x = -a/ε Në lidhje me d, elipsa përshkruhet në në të njëjtën mënyrë si në lidhje me d. Të dy rreshtat d dhe d" quhen drejtimet e elipsës. Drejtorët e elipsës janë pingul me boshtin e simetrisë së elipsës në të cilën ndodhen vatrat e saj dhe janë të ndara nga qendra e elipsës në një distancë a/ε = a 2 /c (shih Fig. 7.5).

Distanca p nga direktriksi në fokusin më të afërt me të quhet parametri fokal i elipsës. Ky parametër është i barabartë me

p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c

Elipsa ka një tjetër të rëndësishme veti gjeometrike: rrezet fokale F 1 M dhe F 2 M janë të barabarta me tangjenten me elipsin në pikën M kënde të barabarta(Fig. 7.6).

Kjo pronë ka një të qartë kuptimi fizik. Nëse një burim drite vendoset në fokusin F 1, atëherë rrezja që del nga ky fokus, pas reflektimit nga elipsi, do të shkojë përgjatë rrezes së dytë fokale, pasi pas reflektimit do të jetë në të njëjtin kënd me lakoren si përpara reflektimit. Kështu, të gjitha rrezet që dalin nga fokusi F 1 do të përqendrohen në fokusin e dytë F 2, dhe anasjelltas. Bazuar në këtë interpretim, kjo pronë quhet vetia optike e elipsës.

Linjat e rendit të dytë.
Elipsa dhe ekuacioni i saj kanonik. Rretho

Pas një studimi të plotë vijat e drejta në aeroplan Ne vazhdojmë të studiojmë gjeometrinë e botës dy-dimensionale. Aksionet janë dyfishuar dhe ju ftoj të vizitoni një galeri piktoreske elipsash, hiperbolash, parabolash, të cilat janë përfaqësuese tipike linjat e rendit të dytë. Ekskursioni tashmë ka filluar, dhe së pari informacion të shkurtër për të gjithë ekspozitën në kate të ndryshme të muzeut:

Koncepti i vijës algjebrike dhe renditja e saj

Një vijë në një aeroplan quhet algjebrike, nëse në sistemi i koordinatave afine ekuacioni i tij ka formën , ku është një polinom i përbërë nga termat e formës ( – numër real, – numra të plotë jo negativë).

Siç mund ta shihni, ekuacioni i një linje algjebrike nuk përmban sinus, kosinus, logaritme dhe beau monde të tjera funksionale. Vetëm X dhe Y janë brenda numra të plotë jo negativë gradë.

Rendi i linjës e barabartë me vlerën maksimale të termave të përfshirë në të.

Sipas teoremës përkatëse, koncepti i një linje algjebrike, si dhe rendi i saj, nuk varen nga zgjedhja sistemi i koordinatave afine, prandaj, për lehtësinë e ekzistencës, supozojmë se të gjitha llogaritjet e mëvonshme bëhen në Koordinatat karteziane.

Ekuacioni i përgjithshëm rreshti i rendit të dytë ka formën , ku - arbitrare numra realë (Është zakon ta shkruajmë me një faktor dy), dhe koeficientët nuk janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë.

Nëse , atëherë ekuacioni thjeshtohet në , dhe nëse koeficientët nuk janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë, atëherë kjo është saktësisht ekuacioni i përgjithshëm i një vije "të sheshtë"., që përfaqëson linjë e rendit të parë.

Shumë e kanë kuptuar kuptimin e termave të rinj, por, megjithatë, për të zotëruar 100% materialin, ne i fusim gishtat në prizë. Për të përcaktuar rendin e rreshtit, duhet të përsërisni të gjitha kushtet ekuacionet e tij dhe gjeni për secilën prej tyre shuma e gradave variablat hyrëse.

Për shembull:

termi përmban "x" në fuqinë 1;
termi përmban "Y" në fuqinë e parë;
Nuk ka variabla në term, kështu që shuma e fuqive të tyre është zero.

Tani le të kuptojmë pse ekuacioni përcakton vijën e dyta porosit:

termi përmban "x" në fuqinë e dytë;
mbledhja ka shumën e fuqive të ndryshoreve: 1 + 1 = 2;
termi përmban "Y" në fuqinë e 2-të;
të gjitha kushtet e tjera - më pak gradë.

Vlera maksimale: 2

Nëse shtojmë shtesë, të themi, në ekuacionin tonë, atëherë ai tashmë do të përcaktojë linjë e rendit të tretë. Është e qartë se forma e përgjithshme e ekuacionit të linjës së rendit të tretë përmban një "bashkësi të plotë" termash, shuma e fuqive të ndryshoreve në të cilat është e barabartë me tre:
, ku koeficientët nuk janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë.

Nëse shtoni një ose më shumë terma të përshtatshëm që përmbajnë , atëherë do të flasim tashmë Linjat e rendit të 4-të, etj.

ME vijat algjebrike Ne do të duhet të ndeshemi me urdhrat e 3-të, të 4-të dhe më të lartë më shumë se një herë, veçanërisht kur të njihemi me sistemi i koordinatave polar.

Megjithatë, le të kthehemi te ekuacioni i përgjithshëm dhe të kujtojmë variacionet e tij më të thjeshta shkollore. Si shembull, një parabolë sugjeron vetveten, ekuacioni i së cilës mund të reduktohet lehtësisht në pamjen e përgjithshme, dhe një hiperbolë me ekuacionin ekuivalent . Megjithatë, jo gjithçka është aq e qetë ...

Një pengesë e rëndësishme e ekuacionit të përgjithshëm është se pothuajse gjithmonë nuk është e qartë se cilën linjë përcakton. Edhe në rastin më të thjeshtë, nuk do ta kuptoni menjëherë se kjo është një hiperbolë. Paraqitjet e tilla janë të mira vetëm në një maskaradë, prandaj jini të vetëdijshëm gjeometria analitikeështë duke u konsideruar detyrë tipike duke sjellë ekuacionin e vijës së rendit të dytë në formën kanonike.

Cila është forma kanonike e një ekuacioni?

Kjo është përgjithësisht e pranuar pamje standarde ekuacion, kur brenda pak sekondash bëhet e qartë se çfarë objekti gjeometrik përcakton. Për më tepër, forma kanonike është shumë e përshtatshme për zgjidhjen e shumë detyra praktike. Kështu, për shembull, sipas ekuacionit kanonik "i sheshtë" drejt, së pari, është menjëherë e qartë se kjo është një vijë e drejtë, dhe së dyti, pika që i përket dhe vektori i drejtimit janë lehtësisht të dukshëm.

Natyrisht, çdo Linja e rendit të parëështë një vijë e drejtë. Në katin e dytë, nuk është më roja që na pret, por një shoqëri shumë më e larmishme prej nëntë statujash:

Klasifikimi i linjave të rendit të dytë

Duke përdorur një grup të veçantë veprimesh, çdo ekuacion i një rreshti të rendit të dytë reduktohet në një nga format e mëposhtme:

(dhe janë numra realë pozitivë)

1) – ekuacioni kanonik i elipsës;

2) – ekuacioni kanonik i hiperbolës;

3) – ekuacioni kanonik i një parabole;

4) – imagjinare elips;

5) - një palë vija të kryqëzuara;

6) – çift imagjinare vija kryqëzuese (me një pikë të vetme të vlefshme kryqëzimi në origjinë);

7) - një palë vija paralele;

8) – çift imagjinare vija paralele;

9) - një palë vijash që përputhen.

Disa lexues mund të kenë përshtypjen se lista nuk është e plotë. Për shembull, në pikën nr. 7, ekuacioni specifikon çiftin e drejtpërdrejtë, paralel me boshtin dhe lind pyetja: ku ndodhet ekuacioni që përcakton drejtëzat paralele me boshtin e ordinatës? Përgjigje: ajo nuk konsiderohet kanonike. Vijat e drejta përfaqësojnë të njëjtin rast standard, të rrotulluar me 90 gradë, dhe futja shtesë në klasifikim është e tepërt, pasi nuk sjell asgjë thelbësisht të re.

Kështu janë nëntë dhe vetëm nëntë lloje të ndryshme linjat e rendit të dytë, por në praktikë ato gjenden më shpesh elipsa, hiperbola dhe parabola.

Le të shohim së pari elipsin. Si zakonisht, fokusohem në ato pika që kanë vlerë të madhe për të zgjidhur problemet, dhe nëse keni nevojë për një derivim të detajuar të formulave, vërtetimeve të teoremave, ju lutemi referojuni, për shembull, tekstit shkollor nga Bazylev/Atanasyan ose Aleksandrov.

Elipsa dhe ekuacioni i saj kanonik

Drejtshkrimi... ju lutemi mos përsëritni gabimet e disa përdoruesve të Yandex të cilët janë të interesuar "si të ndërtoni një elipsë", "dallimi midis një elipsi dhe një ovale" dhe "ekscentriciteti i një elipsi".

Ekuacioni kanonik i një elipsi ka formën , ku janë numra realë pozitivë dhe . Do të formuloj vetë përkufizimin e një elipsi më vonë, por tani për tani është koha për të marrë një pushim nga dyqani që flet dhe për të zgjidhur një problem të zakonshëm:

Si të ndërtoni një elips?

Po, thjesht merrni dhe vizatoni. Detyra ndodh shpesh dhe një pjesë e konsiderueshme e studentëve nuk e përballojnë saktë vizatimin:

Shembulli 1

Ndërtoni elipsin e dhënë nga ekuacioni

Zgjidhje: së pari le ta reduktojmë ekuacionin në formë kanonike:

Pse të sjellë? Një nga avantazhet e ekuacionit kanonik është se ju lejon të përcaktoni menjëherë kulmet e elipsës, të cilat ndodhen në pika. Është e lehtë të shihet se koordinatat e secilës prej këtyre pikave plotësojnë ekuacionin.

NË në këtë rast :


Segmenti thirrur boshti kryesor elips;
segment – aks i vogël;
numri thirrur bosht gjysmë i madh elips;
numri – aks i vogël.
në shembullin tonë: .

Për të imagjinuar shpejt se si duket një elips i veçantë, thjesht shikoni vlerat e "a" dhe "be" të ekuacionit të saj kanonik.

Gjithçka është në rregull, e qetë dhe e bukur, por ka një paralajmërim: e bëra vizatimin duke përdorur programin. Dhe mund ta bëni vizatimin duke përdorur çdo aplikacion. Sidoqoftë, në realitetin e ashpër, ka një copë letre me kuadrate në tryezë, dhe minjtë kërcejnë në rrathë në duart tona. Njerëzit me talent artistik, natyrisht, mund të debatojnë, por ju keni edhe minj (ndonëse më të vegjël). Nuk është e kotë që njerëzimi shpiku sundimtarin, busullën, raportin dhe pajisje të tjera të thjeshta për vizatim.

Për këtë arsye, nuk ka gjasa të jemi në gjendje të vizatojmë me saktësi një elips duke ditur vetëm kulmet. Është në rregull nëse elipsa është e vogël, për shembull, me gjysmë akse. Përndryshe, ju mund të zvogëloni shkallën dhe, në përputhje me rrethanat, dimensionet e vizatimit. Por në rast i përgjithshëm shumë e dëshirueshme për të gjetur pikë shtesë.

Ekzistojnë dy qasje për ndërtimin e një elipsi - gjeometrike dhe algjebrike. Nuk më pëlqen ndërtimi duke përdorur një busull dhe vizore, sepse algoritmi nuk është më i shkurtri dhe vizatimi është shumë i rrëmujshëm. Në rast emergjente, ju lutem referojuni tekstit shkollor, por në realitet është shumë më racionale të përdoren mjetet e algjebrës. Nga ekuacioni i elipsës në draft shprehim shpejt:

Më pas ekuacioni ndahet në dy funksione:
– përcakton harkun e sipërm të elipsës;
– përcakton harkun e poshtëm të elipsës.

Elipsa e përcaktuar nga ekuacioni kanonik është simetrik në lidhje me boshtet e koordinatave, dhe gjithashtu në lidhje me origjinën. Dhe kjo është e shkëlqyeshme - simetria është pothuajse gjithmonë një pararojë e lirive. Natyrisht, mjafton të merremi me tremujorin e 1-rë të koordinatave, ndaj na duhet funksioni . Kërkon të gjenden pikë shtesë me abshisa . Le të prekim tre mesazhe SMS në kalkulator:

Sigurisht, është gjithashtu mirë që nëse bëhet një gabim serioz në llogaritjet, do të bëhet menjëherë e qartë gjatë ndërtimit.

Le të shënojmë pika në vizatim (të kuqe), pika simetrike në harqet e mbetura ( blu) dhe lidhni me kujdes të gjithë kompaninë me një linjë:


Është më mirë të vizatoni skicën fillestare shumë hollë, dhe vetëm atëherë të bëni presion me laps. Rezultati duhet të jetë një elips mjaft i mirë. Nga rruga, do të dëshironit të dini se çfarë është kjo kurbë?

Përkufizimi i një elipsi. Vatra elipsore dhe ekscentriciteti i elipseve

Një elipsë është një rast i veçantë i një ovali. Fjala "ovale" nuk duhet kuptuar në kuptimin filistin ("fëmija vizatoi një ovale", etj.). Kjo term matematikor, e cila ka një formulim të detajuar. Qëllimi këtë mësim nuk është një shqyrtim i teorisë së ovaleve dhe llojeve të ndryshme të tyre, të cilave praktikisht nuk u kushtohet vëmendje në kursin standard të gjeometrisë analitike. Dhe, në përputhje me nevojat më të ngutshme, ne kalojmë menjëherë në përkufizimin e rreptë të një elipsi:

Elipsaështë bashkësia e të gjitha pikave të rrafshit, shuma e largësive në secilën prej të cilave nga dy pika të dhëna, të quajtura truket elipsa - është një sasi konstante, numerikisht e barabartë me gjatësinë boshti kryesor i kësaj elipse: .
Në të njëjtën kohë, distancat midis fokuseve janë më të vogla vlerën e dhënë: .

Tani gjithçka do të bëhet më e qartë:

Imagjinoni që pika blu "udhëton" përgjatë një elipsi. Pra, pavarësisht nga pika e elipsës që marrim, shuma e gjatësive të segmenteve do të jetë gjithmonë e njëjtë:

Le të sigurohemi që në shembullin tonë vlera e shumës të jetë vërtet e barabartë me tetë. Vendosni mendërisht pikën "um" në kulmin e djathtë të elipsës, pastaj: , që është ajo që duhet të kontrollohet.

Një mënyrë tjetër e vizatimit të tij bazohet në përkufizimin e një elipsi. Matematikë e lartë, ndonjëherë shkaku i tensionit dhe stresit, kështu që është koha për të kryer një seancë tjetër shkarkimi. Ju lutemi merrni letrën whatman ose një fletë të madhe kartoni dhe ngjiteni në tryezë me dy gozhdë. Këto do të jenë truket. Lidhni një fije jeshile në kokat e thonjve të dalë dhe tërhiqeni deri në fund me një laps. Plumbi i lapsit do të përfundojë në një pikë të caktuar që i përket elipsit. Tani filloni të vizatoni lapsin përgjatë fletës së letrës, duke e mbajtur fillin e gjelbër të tendosur. Vazhdoni procesin derisa të ktheheni në pikën fillestare... shumë mirë... vizatimi mund të kontrollohet nga mjeku dhe mësuesi =)

Si të gjeni vatrat e një elipsi?

Në shembullin e mësipërm, unë përshkrova pika fokale "të gatshme", dhe tani do të mësojmë se si t'i nxjerrim ato nga thellësitë e gjeometrisë.

Nëse një elipsë jepet nga një ekuacion kanonik, atëherë vatrat e saj kanë koordinata , ku është kjo distanca nga çdo fokus në qendrën e simetrisë së elipsës.

Llogaritjet janë më të thjeshta se të thjeshta:

! Koordinatat specifike të vatrave nuk mund të identifikohen me kuptimin e "tse"! E përsëris se kjo është DISTANCA nga çdo fokus në qendër(që në rastin e përgjithshëm nuk ka pse të gjendet pikërisht në origjinë).
Dhe, prandaj, distanca midis vatrave gjithashtu nuk mund të lidhet me pozicionin kanonik të elipsit. Me fjalë të tjera, elipsa mund të zhvendoset në një vend tjetër dhe vlera do të mbetet e pandryshuar, ndërsa vatrat natyrisht do të ndryshojnë koordinatat e tyre. Ju lutem konsideroni për momentin gjatë studimit të mëtejshëm të temës.

Ekscentriciteti i elipsit dhe kuptimi i tij gjeometrik

Ekscentriciteti i një elipsi është një raport që mund të marrë vlera brenda intervalit.

Në rastin tonë:

Le të zbulojmë se si forma e një elipsi varet nga ekscentriciteti i saj. Për këtë rregulloni kulmet majtas dhe djathtas e elipsës në shqyrtim, pra vlera e boshtit gjysmë të madh do të mbetet konstante. Atëherë formula e ekscentricitetit do të marrë formën: .

Le të fillojmë ta afrojmë vlerën e ekscentricitetit më pranë unitetit. Kjo është e mundur vetëm nëse. Çfarë do të thotë? ...kujtoni truket . Kjo do të thotë që vatrat e elipsës do të "lëvizin larg" përgjatë boshtit të abshisës në kulmet anësore. Dhe, meqenëse "segmentet e gjelbra nuk janë gome", elipsa në mënyrë të pashmangshme do të fillojë të rrafshohet, duke u shndërruar në një sallam më të hollë dhe më të hollë të lidhur në një bosht.

Kështu, si vlerë më të afërt ekscentriciteti i elipsës në unitet, aq më i zgjatur është elipsa.

Tani le të modelojmë procesin e kundërt: vatrat e elipsës ecën drejt njëri-tjetrit, duke iu afruar qendrës. Kjo do të thotë që vlera e "ce" bëhet gjithnjë e më pak dhe, në përputhje me rrethanat, ekscentriciteti tenton në zero: .
Në këtë rast, "segmentet e gjelbra", përkundrazi, "do të bëhen të mbushura me njerëz" dhe ata do të fillojnë të "shtyjnë" vijën e elipsit lart e poshtë.

Kështu, Sa më afër zeros të jetë vlera e ekscentricitetit, aq më e ngjashme është elipsa... shikoni rastin kufizues kur vatrat ribashkohen me sukses në origjinë:

Një rreth është një rast i veçantë i një elipsi

Në të vërtetë, në rastin e barazisë së gjysmëboshteve, ekuacioni kanonik i elipsës merr formën , i cili në mënyrë refleksive shndërrohet në ekuacionin e një rrethi me qendër në origjinën e rrezes "a", i njohur mirë nga shkolla.

Në praktikë më shpesh përdoret shënimi me shkronjën “e folur” “er”: . Rrezja është gjatësia e një segmenti, me secilën pikë të rrethit të hequr nga qendra me një distancë rreze.

Vini re se përkufizimi i një elipsi mbetet plotësisht i saktë: vatrat përkojnë dhe shuma e gjatësive të segmenteve që përputhen për secilën pikë në rreth është një konstante. Meqenëse distanca midis vatrave është , atëherë ekscentriciteti i çdo rrethi është zero.

Ndërtimi i një rrethi është i lehtë dhe i shpejtë, thjesht përdorni një busull. Sidoqoftë, ndonjëherë është e nevojshme të zbuloni koordinatat e disa pikave të tij, në këtë rast ne shkojmë në mënyrën e njohur - e sjellim ekuacionin në formën e gëzuar Matanov:

– funksioni i gjysmërrethit të sipërm;
– funksioni i gjysmërrethit të poshtëm.

Pas së cilës gjejmë vlerat e kërkuara, dallojnë, integrohen dhe bëni gjëra të tjera të mira.

Artikulli, natyrisht, është vetëm për referencë, por si mund të jetoni në botë pa dashuri? Detyrë krijuese Për vendim i pavarur

Shembulli 2

Hartoni ekuacionin kanonik të një elipse nëse dihet një nga vatra dhe boshti gjysmë i vogël (qendra është në origjinë). Gjeni kulme, pika shtesë dhe vizatoni një vijë në vizatim. Llogaritni ekscentricitetin.

Zgjidhje dhe vizatim në fund të orës së mësimit

Le të shtojmë një veprim:

Rrotulloni dhe përktheni paralelisht një elipsë

Le të kthehemi te ekuacioni kanonik i elipsës, përkatësisht te kushti, misteri i së cilës ka munduar mendjet kureshtare që nga përmendja e parë e kësaj kurbë. Kështu që ne shikuam elipsin , por a nuk është e mundur në praktikë të përmbushet ekuacioni ? Në fund të fundit, megjithatë, edhe këtu duket se është një elips!

Ky lloj ekuacioni është i rrallë, por haset. Dhe në fakt përcakton një elips. Le të çmitizojmë:

Si rezultat i ndërtimit, u përftua elipsa jonë amtare, e rrotulluar me 90 gradë. Kjo është, - Kjo hyrje jokanonike elips . Regjistro!– ekuacioni nuk përcakton asnjë elipsë tjetër, pasi nuk ka pika (vatra) në bosht që do të kënaqnin përkufizimin e një elipsi.

Para se të vizatoni një elipsë, le të zbulojmë disa nga vetitë e saj.

Pasuria 33.1. Një elipsë ka dy boshte simetrie pingule, njëra prej të cilave përmban vatrat e saj dhe një qendër simetrie. Nëse një elipsë jepet nga ekuacioni kanonik (33.4), atëherë boshtet e saj të simetrisë janë boshtet Ox dhe Oy, dhe origjina është qendra e simetrisë.

Dëshmi. Le të kryejmë vërtetimin bazuar në ekuacionin (33.4).

Le të jepet elipsa me ekuacionin (33.4) dhe M 1 (x 1 ;y 1)–– një pikë e elipsës. Pastaj

Pika M 2 (-x 1 ; y 1)është pika pikë simetrike M 1 në lidhje me boshtin Oy (Fig. 33.2).

Oriz. 33.2 Simetria e pikave

Ne llogarisim vlerën e anës së majtë të ekuacionit (33.4) në pikën M 2

Në bazë të barazisë (33.6), marrim

prandaj pika M 2 shtrihet në një elips. Pika M 3 (x 1 ; -y 1)është një pikë simetrike me pikën M 1 në raport me boshtin kau(Fig. 33.2). Për të, në mënyrë të ngjashme jemi të bindur se

pra M 3është një pikë e elipsës. Më në fund pika M 4 (-x 1 ; -y 1)është simetrik në pikën M 1 në lidhje me origjinën (Fig. 33.2). Duke përsëritur argumentet e mëparshme, gjejmë se kjo pikë shtrihet edhe në elips. Pra, pohimi vërtetohet nëse elipsa ka ekuacionin (33.4). Dhe meqenëse, nga Teorema 1, çdo elips në një sistem koordinativ ka një ekuacion të tillë, lema vërtetohet plotësisht.

Le të ndërtojmë një elips, dhënë nga ekuacioni(33.4). Vini re se për shkak të simetrisë, mjafton të vizatoni pjesën e elipsës që shtrihet në gjysmë rrafshin e sipërm. Ne marrim ekuacionin e kësaj rreshti duke shprehur y nga ekuacioni (33.4) dhe duke marrë shenjën "+" përpara rrënjës,

Le ta përshkruajmë këtë funksion. Domen - segment [-a; a], y(0)=b, me variabël në rritje x nga 0 te a funksioni zvogëlohet në mënyrë monotonike. Për shkak të simetrisë së grafikut në lidhje me boshtin Oy funksionin y rritet në mënyrë monotone ndërsa ndryshon nga -a te 0 . Derivat të përcaktuara në të gjitha pikat e intervalit (0; a) dhe, për rrjedhojë, grafiku është i lëmuar (nuk përmban kthesa, ka një tangjente në çdo pikë). Derivati ​​i dytë negative në të gjitha pikat e intervalit (a; b), pra, grafiku është konveks lart.

Sjellja e kurbës pranë skajeve të segmentit [-α; α]. Le të shprehim variablin nga ekuacioni (33.4) x përmes y: . Natyrisht, në pikën y = 0 ky funksion ka një derivat, domethënë një tangjente me këtë grafik në pikë (a, 0) ekziston. Është e lehtë të kontrollohet nëse është paralel me boshtin Oy. Nga simetria e elipsës arrijmë në përfundimin se kjo është një kurbë e lëmuar dhe e ndërtojmë duke marrë parasysh të dhënat e marra (Fig. 33.3).

Oriz. 33.3.Elipsa

Përkufizimi 33.4. Quhen pikat e prerjes së një elipse me boshtet e saj të simetrisë majatelipsë, qendër simetrie –– qendër elips, quhet segmenti ndërmjet dy kulmeve që përmbajnë vatrat boshti kryesor elipsë, gjysma e gjatësisë së saj –– bosht gjysmë i madh elips. Një segment midis kulmeve në një bosht simetrie që nuk përmban vatra quhet aks i vogël elipsë, gjysma e gjatësisë së saj –– aks i vogël. Sasia quhet ekscentricitet elips .