Ekuacionet kuadratike. Diskriminues. Zgjidhje, shembuj.

Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")

Llojet e ekuacioneve kuadratike

Çfarë është një ekuacion kuadratik? Si duket? Në terma ekuacioni kuadratik fjala kyçe është "katror". Kjo do të thotë se në ekuacion Domosdoshmërisht duhet të ketë një x në katror. Përveç tij, ekuacioni mund (ose jo!) të përmbajë vetëm X (në fuqinë e parë) dhe vetëm një numër (anëtar i lirë). Dhe nuk duhet të ketë X për një fuqi më të madhe se dy.

Duke folur gjuha matematikore, një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës:

Këtu a, b dhe c- disa numra. b dhe c- absolutisht çdo, por A– çdo gjë tjetër përveç zeros. Për shembull:

Këtu A =1; b = 3; c = -4

Këtu A =2; b = -0,5; c = 2,2

Këtu A =-3; b = 6; c = -18

Epo, ju e kuptoni ...

Në këto ekuacione kuadratike në të majtë ka komplet komplet anëtarët. X në katror me një koeficient A, x në fuqinë e parë me koeficient b Dhe anëtar i lirë s.

Ekuacionet e tilla kuadratike quhen plot.

Po sikur b= 0, çfarë marrim? ne kemi X do të humbasë në fuqinë e parë. Kjo ndodh kur shumëzohet me zero.) Rezulton, për shembull:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

etj. Dhe nëse të dy koeficientët b Dhe c janë të barabarta me zero, atëherë është edhe më e thjeshtë:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0

Ekuacione të tilla ku diçka mungon quhen ekuacionet kuadratike jo të plota. E cila është mjaft logjike.) Ju lutemi vini re se x në katror është i pranishëm në të gjitha ekuacionet.

Nga rruga, pse A nuk mund të jetë e barabartë me zero? Dhe ju zëvendësoni në vend të kësaj A zero.) X-ja jonë në katror do të zhduket! Ekuacioni do të bëhet linear. Dhe zgjidhja është krejtësisht e ndryshme ...

Këto janë të gjitha llojet kryesore të ekuacioneve kuadratike. E plotë dhe e paplotë.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike.

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike.

Ekuacionet kuadratike janë të lehta për t'u zgjidhur. Sipas formulave dhe të qarta rregulla të thjeshta. Në fazën e parë ju duhet ekuacioni i dhënë të çojë në pamje standarde, d.m.th. në formën:

Nëse ekuacioni ju është dhënë tashmë në këtë formë, nuk keni nevojë të bëni fazën e parë.) Gjëja kryesore është të përcaktoni saktë të gjithë koeficientët, A, b Dhe c.

Formula për gjetjen e rrënjëve ekuacioni kuadratik duket si kjo:

Shprehja nën shenjën e rrënjës quhet diskriminuese. Por më shumë rreth tij më poshtë. Siç mund ta shihni, për të gjetur X, ne përdorim vetëm a, b dhe c. Ato. koeficientët nga një ekuacion kuadratik. Thjesht zëvendësoni me kujdes vlerat a, b dhe c Ne llogarisim në këtë formulë. Le të zëvendësojmë me shenjat tuaja! Për shembull, në ekuacionin:

A =1; b = 3; c= -4. Këtu e shkruajmë atë:

Shembulli është pothuajse i zgjidhur:

Kjo është përgjigja.

Është shumë e thjeshtë. Dhe çfarë, mendoni se është e pamundur të bëni një gabim? Epo, po, si ...

Gabimet më të zakonshme janë konfuzioni me vlerat e shenjave a, b dhe c. Ose më mirë, jo me shenjat e tyre (ku të ngatërrohemi?), por me zëvendësimin e vlerave negative në formulën për llogaritjen e rrënjëve. Ruan këtu hyrje e detajuar formulat me numra të caktuar. Nëse ka probleme me llogaritjet, bëje atë!

Supozoni se duhet të zgjidhim shembullin e mëposhtëm:

Këtu a = -6; b = -5; c = -1

Le të themi se e dini se rrallë merrni përgjigje herën e parë.

Epo, mos u bëj dembel. Do të duhen rreth 30 sekonda për të shkruar një rresht shtesë dhe numrin e gabimeve do të ulet ndjeshëm. Pra, ne shkruajmë në detaje, me të gjitha kllapat dhe shenjat:

Duket tepër e vështirë të shkruash me kaq kujdes. Por vetëm kështu duket. Provojeni. Epo, ose zgjidhni. Çfarë është më mirë, e shpejtë apo e drejtë?

Përveç kësaj, unë do t'ju bëj të lumtur. Pas një kohe, nuk do të ketë nevojë të shkruani gjithçka me kaq kujdes. Do të dalë vetë. Sidomos nëse përdorni teknika praktike që përshkruhen më poshtë. Ky shembull i keq me një mori minusesh mund të zgjidhet lehtësisht dhe pa gabime!

Por, shpesh, ekuacionet kuadratike duken paksa të ndryshme. Për shembull, si kjo: A e keni njohur?) Po! Kjo.

ekuacionet kuadratike jo të plota

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota. a, b dhe c.

Ato gjithashtu mund të zgjidhen duke përdorur një formulë të përgjithshme. Thjesht duhet të kuptoni saktë se me çfarë janë të barabarta këtu. E keni kuptuar? Në shembullin e parë a = 1; b = -4; c A ? Nuk është fare aty! Epo po, ashtu është. Në matematikë kjo do të thotë se c = 0 ! Kjo është ajo. Në vend të kësaj, zero në formulë c, dhe ne do të kemi sukses. E njëjta gjë me shembullin e dytë. Vetëm ne nuk kemi zero këtu Me b !

, A

Por ekuacionet kuadratike jo të plota mund të zgjidhen shumë më thjesht. Pa asnjë formulë. Le të shqyrtojmë ekuacionin e parë jo të plotë. Çfarë mund të bëni në anën e majtë? Ju mund të hiqni X nga kllapa! Le ta nxjerrim.
Pra, çfarë nga kjo? Dhe fakti që produkti është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse ndonjë nga faktorët është i barabartë me zero! Nuk me beson? Mirë, atëherë dilni me dy numra jo zero që, kur shumëzohen, do të japin zero!
Nuk funksionon? Kjo është ajo ... Prandaj, mund të shkruajmë me besim:, x 1 = 0.

x 2 = 4 Të gjitha. Këto do të jenë rrënjët e ekuacionit tonë. Të dyja janë të përshtatshme. Kur zëvendësoni ndonjë prej tyre në, marrim identitetin e saktë 0 = 0. Siç mund ta shihni, zgjidhja është shumë më e thjeshtë sesa përdorimi i formulës së përgjithshme. Më lejoni të vërej, meqë ra fjala, cili X do të jetë i pari dhe cili do të jetë i dyti - absolutisht indiferent. Është i përshtatshëm për të shkruar në mënyrë, x 1- çfarë është më e vogël dhe x 2- ajo që është më e madhe.

Ekuacioni i dytë gjithashtu mund të zgjidhet thjesht. Zhvendosni 9 në anën e djathtë. Ne marrim:

Gjithçka që mbetet është të nxjerrim rrënjën nga 9, dhe kaq. Do të rezultojë:

Gjithashtu dy rrënjë . x 1 = -3, x 2 = 3.

Kështu zgjidhen të gjitha ekuacionet kuadratike jo të plota. Ose duke vendosur X jashtë kllapave, ose thjesht duke e lëvizur numrin në të djathtë dhe më pas duke nxjerrë rrënjën.
Është jashtëzakonisht e vështirë të ngatërrosh këto teknika. Thjesht sepse në rastin e parë do të duhet të nxirrni rrënjën e X-it, e cila është disi e pakuptueshme, dhe në rastin e dytë nuk ka asgjë për të nxjerrë nga kllapa...

Diskriminues. Formula diskriminuese.

Fjalë magjike diskriminuese ! Rrallëherë një gjimnazist nuk e ka dëgjuar këtë fjalë! Shprehja "ne zgjidhim përmes një diskriminuesi" frymëzon besim dhe siguri. Sepse nga diskriminuesi nuk ka nevojë të presësh marifete! Është i thjeshtë dhe pa probleme në përdorim.) Ju kujtoj më së shumti formulë e përgjithshme për të zgjidhur ndonjë ekuacionet kuadratike:

Shprehja nën shenjën e rrënjës quhet diskriminuese. Zakonisht diskriminuesi shënohet me shkronjë D. Formula diskriminuese:

D = b 2 - 4ac

Dhe çfarë është kaq e mrekullueshme në këtë shprehje? Pse e meritonte emër i veçantë? Çfarë kuptimi i diskriminuesit? Në fund të fundit -b, ose 2a në këtë formulë nuk e quajnë konkretisht asgjë... Letrat dhe shkronjat.

Këtu është gjëja. Kur zgjidhni një ekuacion kuadratik duke përdorur këtë formulë, është e mundur vetëm tre raste.

1. Diskriminuesi është pozitiv. Kjo do të thotë se rrënja mund të nxirret prej saj. Nëse rrënja nxirret mirë apo dobët është një pyetje tjetër. E rëndësishme është ajo që nxirret në parim. Atëherë ekuacioni juaj kuadratik ka dy rrënjë. Dy zgjidhje të ndryshme.

2. Diskriminuesi është zero. Atëherë do të keni një zgjidhje. Meqenëse mbledhja ose zbritja e zeros në numërues nuk ndryshon asgjë. Në mënyrë të rreptë, kjo nuk është një rrënjë, por dy identike. Por, në një version të thjeshtuar, është zakon të flasim një zgjidhje.

3. Diskriminuesi është negativ. Rrënja katrore e një numri negativ nuk mund të merret. Oh mirë. Kjo do të thotë se nuk ka zgjidhje.

Sinqerisht, kur zgjidhje e thjeshtë ekuacionet kuadratike, koncepti i një diskriminuesi nuk kërkohet veçanërisht. Ne zëvendësojmë vlerat e koeficientëve në formulë dhe numërojmë. Gjithçka ndodh atje vetvetiu, dy rrënjë, një dhe asnjë. Megjithatë, kur zgjidhni më shumë detyra të vështira, pa njohuri kuptimi dhe formula e diskriminuesit nuk ia del dot. Sidomos në ekuacionet me parametra. Ekuacione të tilla janë aerobatikë për Provimin e Shtetit dhe Provimin e Unifikuar të Shtetit!)

Pra, si të zgjidhim ekuacionet kuadratike nepermjet diskriminuesit qe kujtove. Ose keni mësuar, gjë që gjithashtu nuk është e keqe.) Ju dini të përcaktoni saktë a, b dhe c. A e dini se si? me vëmendje zëvendësojini ato në formulën rrënjësore dhe me vëmendje numëroni rezultatin. A e kuptove këtë fjalë kyçe Këtu - me vëmendje?

Tani merrni parasysh teknikat praktike që reduktojnë në mënyrë dramatike numrin e gabimeve. Të njëjtat që janë për shkak të pavëmendjes... Për të cilat më vonë bëhet e dhimbshme dhe fyese...

Takimi i parë . Mos u bëni dembel përpara se të zgjidhni një ekuacion kuadratik dhe ta sillni atë në formën standarde. Çfarë do të thotë kjo?
Le të themi se pas të gjitha transformimeve ju merrni ekuacionin e mëposhtëm:

Mos nxitoni të shkruani formulën rrënjë! Ju pothuajse me siguri do t'i ngatërroni shanset a, b dhe c. Ndërtoni saktë shembullin. Së pari, X në katror, ​​pastaj pa katror, ​​pastaj termi i lirë. Si kjo:

Dhe përsëri, mos nxitoni! Një minus para një X në katror mund t'ju shqetësojë vërtet. Është e lehtë të harrosh... Hiqni qafe minusin. Si? Po, siç u mësua në temën e mëparshme! Duhet të shumëzojmë të gjithë ekuacionin me -1. Ne marrim:

Por tani mund të shkruani me siguri formulën për rrënjët, të llogarisni diskriminuesin dhe të përfundoni zgjidhjen e shembullit. Vendosni vetë.

Tani duhet të keni rrënjët 2 dhe -1. Pritja e dyta. Kontrolloni rrënjët! Sipas teoremës së Vietës. Mos kini frikë, unë do t'ju shpjegoj gjithçka! Duke kontrolluar e fundit ekuacioni. Ato. ai që përdorëm për të shkruar formulën rrënjësore. Nëse (si në këtë shembull) koeficienti a = 1 , kontrollimi i rrënjëve është i lehtë. Mjafton t'i shumohen ato. Rezultati duhet të jetë një anëtar i lirë, d.m.th. në rastin tonë -2. Ju lutemi vini re, jo 2, por -2! Anëtar i lirë me shenjën tuaj

. Nëse nuk funksionon, kjo do të thotë që tashmë keni dështuar diku. Kërkoni për gabimin. b Nëse funksionon, duhet të shtoni rrënjët. Kontrolli i fundit dhe i fundit. Koeficienti duhet të jetë Me përballë b i njohur. Në rastin tonë -1+2 = +1. Një koeficient
, e cila është para X, është e barabartë me -1. Pra, gjithçka është e saktë! Është për të ardhur keq që kjo është kaq e thjeshtë vetëm për shembujt ku x në katror është i pastër, me një koeficient a = 1.

Por të paktën kontrolloni në ekuacione të tilla! Do të ketë gjithnjë e më pak gabime. Pritja e treta . Nëse ekuacioni juaj ka koeficientë thyesorë, hiqni qafe thyesat! Shumëzoni ekuacionin me emërues i përbashkët

, siç përshkruhet në mësimin "Si të zgjidhim ekuacione? Shndërrime identike". Kur punoni me thyesa, gabimet vazhdojnë të zvarriten për disa arsye ...

Nga rruga, unë premtova të thjeshtoja shembullin e keq me një mori minusesh. Ju lutem! Këtu është ai.

Kjo është ajo! Zgjidhja është një kënaqësi!

Pra, le të përmbledhim temën.

Këshilla praktike:

1. Para se ta zgjidhim, e sjellim ekuacionin kuadratik në formë standarde dhe e ndërtojmë E drejta.

2. Nëse ka një koeficient negativ përballë katrorit X, e eliminojmë duke shumëzuar të gjithë ekuacionin me -1.

3. Nëse koeficientët janë thyesorë, i eliminojmë thyesat duke shumëzuar të gjithë ekuacionin me faktorin përkatës.

4. Nëse x në katror është i pastër, koeficienti i tij e barabartë me një, zgjidhja mund të verifikohet lehtësisht duke përdorur teoremën e Vietës. Bëje atë!

Tani mund të vendosim.)

Zgjidh ekuacionet:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Përgjigjet (në rrëmujë):

Prandaj, mund të shkruajmë me besim:
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - çdo numër

x 1 = -3
x 2 = 3

asnjë zgjidhje

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

A përshtatet gjithçka? E shkëlqyeshme! Ekuacionet kuadratike nuk janë gjëja juaj dhimbje koke. Tre të parat funksionuan, por pjesa tjetër jo? Atëherë problemi nuk është me ekuacionet kuadratike. Problemi është në transformimet identike të ekuacioneve. Hidhini një sy lidhjes, është e dobishme.

Nuk funksionon fare? Apo nuk funksionon fare? Më pas, Seksioni 555 do t'ju ndihmojë të gjithë këta shembuj. Treguar kryesore gabimet në zgjidhje. Natyrisht, flet edhe për përdorimin transformimet e identitetit në vendim ekuacione të ndryshme. Ndihmon shumë!

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

NË shoqëri moderne aftësia për të kryer veprime me ekuacione që përmbajnë një variabël në katror mund të jetë e dobishme në shumë fusha të veprimtarisë dhe përdoret gjerësisht në praktikë në zhvillimet shkencore dhe teknike. Dëshmi për këtë mund të gjenden në hartimin e detare dhe varkat e lumit, aeroplanë dhe raketa. Duke përdorur llogaritjet e tilla, trajektoret e lëvizjes më të madhe trupa të ndryshëm, duke përfshirë objektet hapësinore. Shembujt me zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike përdoren jo vetëm në parashikimi ekonomik, në projektimin dhe ndërtimin e ndërtesave, por edhe në rrethanat më të zakonshme të përditshme. Ato mund të nevojiten në udhëtimet e ecjes, në ngjarje sportive, në dyqane kur bëni blerje dhe në situata të tjera shumë të zakonshme.

Le ta ndajmë shprehjen në faktorët përbërës të saj

Përcaktohet shkalla e ekuacionit vlera maksimale shkalla e variablit që përmban kjo shprehje. Nëse është e barabartë me 2, atëherë një ekuacion i tillë quhet kuadratik.

Nëse shprehet në gjuhën e formulave, atëherë shprehjet e specifikuara, pavarësisht se si duken, ato gjithmonë mund të reduktohen në formën kur ana e majtë e shprehjes përbëhet nga tre mandate. Midis tyre: ax 2 (d.m.th., një ndryshore në katror me koeficientin e saj), bx (një e panjohur pa një katror me koeficientin e saj) dhe c (një përbërës i lirë, d.m.th. numër i rregullt). E gjithë kjo në anën e djathtë është e barabartë me 0. Në rastin kur një polinomi të tillë i mungon një nga termat përbërës, me përjashtim të sëpatës 2, quhet ekuacion kuadratik jo i plotë. Shembujt me zgjidhjen e problemeve të tilla, vlerat e variablave në të cilat gjenden lehtësisht, duhet të merren parasysh së pari.

Nëse shprehja duket sikur ka dy terma në anën e djathtë, më saktë ax 2 dhe bx, mënyra më e lehtë për të gjetur x është duke e vendosur variablin jashtë kllapave. Tani ekuacioni ynë do të duket kështu: x(ax+b). Më pas, bëhet e qartë se ose x=0, ose problemi zbret në gjetjen e një ndryshoreje nga shprehja e mëposhtme: ax+b=0. Kjo diktohet nga një nga vetitë e shumëzimit. Rregulli thotë se prodhimi i dy faktorëve rezulton në 0 vetëm nëse njëri prej tyre është zero.

Shembull

x=0 ose 8x - 3 = 0

Si rezultat, marrim dy rrënjë të ekuacionit: 0 dhe 0.375.

Ekuacionet e këtij lloji mund të përshkruajnë lëvizjen e trupave nën ndikimin e gravitetit, të cilët filluan të lëviznin nga një pikë e caktuar e marrë si origjinë e koordinatave. Këtu shënimi matematik pranon formën e mëposhtme: y = v 0 t + gt 2 /2. Zëvendësimi vlerat e kërkuara Duke barazuar anën e djathtë me 0 dhe duke gjetur të panjohurat e mundshme, mund të zbuloni kohën që kalon nga momenti kur trupi ngrihet deri në momentin kur ai bie, si dhe shumë sasi të tjera. Por ne do të flasim për këtë më vonë.

Faktorizimi i një shprehjeje

Rregulli i përshkruar më sipër bën të mundur zgjidhjen e këtyre problemeve në më shumë raste të vështira. Le të shohim shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike të këtij lloji.

X 2 - 33x + 200 = 0

Kjo trinomi kuadratikështë i plotë. Së pari, le të transformojmë shprehjen dhe ta faktorizojmë atë. Janë dy prej tyre: (x-8) dhe (x-25) = 0. Si rezultat, kemi dy rrënjë 8 dhe 25.

Shembujt me zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike në klasën 9 lejojnë që kjo metodë të gjejë një ndryshore në shprehjet jo vetëm të rendit të dytë, por edhe të rendit të tretë dhe të katërt.

Për shembull: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kur faktorizon anën e djathtë në faktorë me një ndryshore, janë tre prej tyre, domethënë (x+1), (x-3) dhe (x+ 3).

Si rezultat, bëhet e qartë se ky ekuacion ka tre rrënjë: -3; -1; 3.

Rrënja katrore

Një rast tjetër ekuacion jo të plotë rendi i dytë është një shprehje e përfaqësuar në gjuhën e shkronjave në mënyrë të tillë që ana e djathtë të ndërtohet nga përbërësit ax 2 dhe c. Këtu, për të marrë vlerën e ndryshores, termi i lirë transferohet në anën e djathtë, dhe pas kësaj nga të dyja anët e barazisë nxjerrim rrënjë katrore. Duhet theksuar se në në këtë rast Zakonisht ka dy rrënjë të ekuacionit. Përjashtimet e vetme mund të jenë barazitë që nuk përmbajnë fare term me, ku ndryshorja është e barabartë me zero, si dhe variantet e shprehjeve kur ana e djathtë rezulton negative. NË rastin e fundit Nuk ka zgjidhje fare, pasi veprimet e mësipërme nuk mund të kryhen me rrënjë. Duhet të merren parasysh shembuj të zgjidhjeve të ekuacioneve kuadratike të këtij lloji.

Në këtë rast, rrënjët e ekuacionit do të jenë numrat -4 dhe 4.

Llogaritja e sipërfaqes së tokës

Nevoja për këtë lloj llogaritjeje u shfaq në kohët e lashta, sepse zhvillimi i matematikës ishte kryesisht në ato kohë të largëta ishte për shkak të nevojës për të përcaktuar me saktësinë më të madhe sipërfaqet dhe perimetrat e parcelave të tokës.

Duhet të shqyrtojmë edhe shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike bazuar në problema të këtij lloji.

Pra, le të themi se ekziston një truall drejtkëndor, gjatësia e së cilës është 16 metra më e madhe se gjerësia. Ju duhet të gjeni gjatësinë, gjerësinë dhe perimetrin e truallit nëse e dini se sipërfaqja e tij është 612 m2.

Për të filluar, le të krijojmë së pari ekuacionin e nevojshëm. Le të shënojmë me x gjerësinë e zonës, atëherë gjatësia e saj do të jetë (x+16). Nga ajo që është shkruar del se sipërfaqja përcaktohet me shprehjen x(x+16), e cila sipas kushteve të problemit tonë është 612. Kjo do të thotë se x(x+16) = 612.

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike, dhe kjo shprehje është pikërisht ajo, nuk mund të bëhet në të njëjtën mënyrë. Pse? Megjithëse ana e majtë ende përmban dy faktorë, produkti i tyre nuk është aspak i barabartë me 0, kështu që këtu përdoren metoda të ndryshme.

Diskriminues

Së pari, le të bëjmë transformimet e nevojshme, pastaj pamjen shprehje e dhënë do të duket kështu: x 2 + 16x - 612 = 0. Kjo do të thotë se ne kemi marrë një shprehje në një formë që korrespondon me standardin e specifikuar më parë, ku a=1, b=16, c=-612.

Ky mund të jetë një shembull i zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike duke përdorur një diskriminues. Këtu llogaritjet e nevojshme prodhohen sipas skemës: D = b 2 - 4ac. Kjo sasi ndihmëse jo vetëm që bën të mundur gjetjen e sasive të kërkuara në një ekuacion të rendit të dytë, por edhe përcakton sasinë opsionet e mundshme. Nëse D>0, janë dy prej tyre; për D=0 ka një rrënjë. Në rastin D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Rreth rrënjëve dhe formulës së tyre

Në rastin tonë, diskriminuesi është i barabartë me: 256 - 4(-612) = 2704. Kjo sugjeron që problemi ynë ka një përgjigje. Nëse e dini k, zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duhet të vazhdohet duke përdorur formulën e mëposhtme. Kjo ju lejon të llogaritni rrënjët.

Kjo do të thotë se në rastin e paraqitur: x 1 =18, x 2 =-34. Opsioni i dytë në këtë dilemë nuk mund të jetë zgjidhje, sepse përmasat e truallit nuk mund të maten në sasi negative, që do të thotë se x (pra gjerësia e parcelës) është 18 m Nga këtu llogarisim gjatësinë: 18 +16=34, dhe perimetri 2(34+ 18)=104(m2).

Shembuj dhe detyra

Ne vazhdojmë studimin tonë të ekuacioneve kuadratike. Shembuj dhe zgjidhje të detajuara të disa prej tyre do të jepen më poshtë.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Le të zhvendosim gjithçka në anën e majtë barazi, do të bëjmë një transformim, domethënë do të marrim një formë ekuacioni që zakonisht quhet standard dhe do ta barazojmë me zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Duke shtuar të ngjashme, ne përcaktojmë diskriminuesin: D = 49 - 48 = 1. Kjo do të thotë se ekuacioni ynë do të ketë dy rrënjë. Le t'i llogarisim ato sipas formulës së mësipërme, që do të thotë se e para prej tyre do të jetë e barabartë me 4/3 dhe e dyta me 1.

2) Tani le të zgjidhim misteret e një lloji tjetër.

Le të zbulojmë nëse ka ndonjë rrënjë këtu x 2 - 4x + 5 = 1? Për të marrë një përgjigje gjithëpërfshirëse, le të reduktojmë polinomin në formën përkatëse të zakonshme dhe të llogarisim diskriminuesin. Në shembullin e mësipërm, nuk është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni kuadratik, sepse ky nuk është fare thelbi i problemit. Në këtë rast, D = 16 - 20 = -4, që do të thotë se me të vërtetë nuk ka rrënjë.

Teorema e Vietës

Është e përshtatshme të zgjidhen ekuacionet kuadratike duke përdorur formulat e mësipërme dhe diskriminuesin, kur rrënja katrore merret nga vlera e kësaj të fundit. Por kjo nuk ndodh gjithmonë. Megjithatë, ka shumë mënyra për të marrë vlerat e variablave në këtë rast. Shembull: zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur teoremën e Vietës. Ajo është emëruar pas asaj që jetoi në shekullin e 16-të në Francë dhe bëri një karrierë të shkëlqyer falë talentit të tij matematikor dhe lidhjeve në gjykatë. Portreti i tij mund të shihet në artikull.

Modeli që vuri re francezi i famshëm ishte si më poshtë. Ai vërtetoi se rrënjët e ekuacionit mblidhen numerikisht në -p=b/a, dhe produkti i tyre korrespondon me q=c/a.

Tani le të shohim detyrat specifike.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Për thjeshtësi, le të transformojmë shprehjen:

x 2 + 7x - 18 = 0

Le të përdorim teoremën e Vietës, kjo do të na japë si vijon: shuma e rrënjëve është -7, dhe prodhimi i tyre është -18. Nga këtu marrim se rrënjët e ekuacionit janë numrat -9 dhe 2. Pas kontrollit, do të sigurohemi që këto vlera të ndryshueshme përshtaten me të vërtetë në shprehje.

Grafiku i parabolës dhe ekuacioni

Konceptet e funksionit kuadratik dhe ekuacioneve kuadratike janë të lidhura ngushtë. Shembuj të kësaj tashmë janë dhënë më herët. Tani le të shohim disa gjëegjëza matematikore në pak më shumë detaje. Çdo ekuacion i tipit të përshkruar mund të paraqitet vizualisht. Një marrëdhënie e tillë, e vizatuar si grafik, quhet parabolë. Llojet e tij të ndryshme janë paraqitur në figurën më poshtë.

Çdo parabolë ka një kulm, domethënë një pikë nga e cila dalin degët e saj. Nëse a>0, ato shkojnë lart në pafundësi, dhe kur a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Paraqitjet vizuale të funksioneve ndihmojnë në zgjidhjen e çdo ekuacioni, duke përfshirë edhe ato kuadratike. Kjo metodë quhet grafike. Dhe vlera e ndryshores x është koordinata e abshisës në pikat ku vija e grafikut kryqëzohet me 0x. Koordinatat e kulmit mund të gjenden duke përdorur formulën e sapo dhënë x 0 = -b/2a. Dhe duke zëvendësuar vlerën që rezulton në ekuacionin origjinal të funksionit, mund të zbuloni y 0, domethënë koordinatën e dytë të kulmit të parabolës, e cila i përket boshtit të ordinatave.

Prerja e degëve të një parabole me boshtin e abshisës

Ka shumë shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike, por ka edhe modele të përgjithshme. Le t'i shikojmë ato. Është e qartë se kryqëzimi i grafikut me boshtin 0x për a>0 është i mundur vetëm nëse y 0 merr vlerat negative. Dhe për një<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Përndryshe D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Nga grafiku i parabolës mund të përcaktoni edhe rrënjët. E kundërta është gjithashtu e vërtetë. Kjo do të thotë, nëse merrni një imazh vizual funksion kuadratik Nuk është e lehtë, ju mund të barazoni anën e djathtë të shprehjes me 0 dhe të zgjidhni ekuacionin që rezulton. Dhe duke ditur pikat e kryqëzimit me boshtin 0x, është më e lehtë të ndërtohet një grafik.

Nga historia

Duke përdorur ekuacione që përmbajnë një ndryshore në katror, ​​në kohët e vjetra ata jo vetëm që bënin llogaritjet matematikore dhe përcaktonin sipërfaqet e figurave gjeometrike. Të lashtëve u duheshin llogaritje të tilla për zbulime madhështore në fushën e fizikës dhe astronomisë, si dhe për të bërë parashikime astrologjike.

Siç sugjerojnë shkencëtarët modernë, banorët e Babilonisë ishin ndër të parët që zgjidhën ekuacionet kuadratike. Kjo ndodhi katër shekuj para erës sonë. Sigurisht, llogaritjet e tyre ishin rrënjësisht të ndryshme nga ato të pranuara aktualisht dhe doli të ishin shumë më primitive. Për shembull, matematikanët e Mesopotamisë nuk kishin asnjë ide për ekzistencën e numrave negativë. Ata gjithashtu nuk ishin të njohur me hollësitë e tjera që i njeh çdo nxënës i shkollës moderne.

Ndoshta edhe më herët se shkencëtarët e Babilonisë, i urti nga India Baudhayama filloi të zgjidhte ekuacionet kuadratike. Kjo ndodhi rreth tetë shekuj para epokës së Krishtit. Vërtetë, ekuacionet e rendit të dytë, metodat për zgjidhjen e të cilave ai dha, ishin më të thjeshtat. Përveç tij, matematikanët kinezë ishin gjithashtu të interesuar për pyetje të ngjashme në kohët e vjetra. Në Evropë, ekuacionet kuadratike filluan të zgjidheshin vetëm në fillim të shekullit të 13-të, por më vonë ato u përdorën në veprat e tyre nga shkencëtarë të tillë të mëdhenj si Njutoni, Dekarti dhe shumë të tjerë.

Le të jepet ekuacioni kuadratik ax 2 + bx + c = 0.
Le të zbatojmë për trinomin kuadratik ax 2 + bx + c të njëjtat shndërrime që kemi kryer në § 13 kur vërtetuam teoremën se grafiku i funksionit y = ax 2 + bx + c është një parabolë.
ne kemi

Zakonisht shprehja b 2 - 4ac shënohet me shkronjën D dhe quhet diskriminues i ekuacionit kuadratik ax 2 + bx + c = 0 (ose diskriminues i sëpatës së trinomit kuadratik + bx + c).

Kështu

Kjo do të thotë se ekuacioni kuadratik ax 2 + ato + c = O mund të rishkruhet në formën

Çdo ekuacion kuadratik mund të shndërrohet në formën (1), gjë që është e përshtatshme, siç do ta shohim tani, për të përcaktuar numrin e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik dhe për të gjetur këto rrënjë.

Dëshmi. Nëse D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

Shembulli 1. Zgjidheni ekuacionin 2x 2 + 4x + 7 = 0.
Zgjidhje. Këtu a = 2, b = 4, c = 7,
D = b 2 -4ac = 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Që nga D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Dëshmi. Nëse D = 0, atëherë ekuacioni (1) merr formën

është rrënja e vetme e ekuacionit.

Shënim 1. A ju kujtohet se x = - është abshisa e kulmit të parabolës, e cila shërben si grafiku i funksionit y = ax 2 + ato + c? Pse kjo
vlera doli të jetë rrënja e vetme e ekuacionit kuadratik sëpatë 2 + ato + c - 0? "Arkivol" hapet thjesht: nëse D është 0, atëherë, siç kemi vendosur më parë,

Grafiku i të njëjtit funksion është një parabolë me një kulm në një pikë (shih, për shembull, Fig. 98). Kjo do të thotë se abshisa e kulmit të parabolës dhe rrënja e vetme e ekuacionit kuadratik për D = 0 janë të njëjtin numër.

Shembulli 2. Zgjidheni ekuacionin 4x 2 - 20x + 25 = 0.
Zgjidhje. Këtu a = 4, b = -20, c = 25, D = b 2 - 4ac = (-20) 2 - 4. 4. 25 = 400 - 400 = 0.

Meqenëse D = 0, atëherë nga teorema 2 ky ekuacion kuadratik ka një rrënjë. Kjo rrënjë gjendet nga formula

Përgjigje: 2.5.

Shënim 2. Vini re se 4x 2 - 20x +25 është një katror i përsosur: 4x 2 - 20x + 25 = (2x - 5) 2.
Nëse do ta kishim vënë re këtë menjëherë, do ta kishim zgjidhur ekuacionin si ky: (2x - 5) 2 = 0, që do të thotë 2x - 5 = 0, nga i cili marrim x = 2.5. Në përgjithësi, nëse D = 0, atëherë

sëpatë 2 + bx + c = - e vumë re këtë më herët në vërejtjen 1.
Nëse D > 0, atëherë ekuacioni kuadratik ax 2 + bx + c = 0 ka dy rrënjë, të cilat gjenden me formulat

Dëshmi. Le të rishkruajmë ekuacionin kuadratik ax 2 + b x + c = 0 në formën (1)

Le të vendosim
Sipas kushtit, D > 0, që do të thotë ana e djathtë e ekuacionit numër pozitiv. Pastaj nga ekuacioni (2) marrim atë

Pra, ekuacioni i dhënë kuadratik ka dy rrënjë:

Shënim 3. Në matematikë, rrallë ndodh që termi i futur të mos ketë, në mënyrë figurative, sfond të përditshëm. Le të marrim diçka të re
koncept - diskriminues. Mos harroni fjalën "diskriminim". Çfarë do të thotë? Do të thotë poshtërimi i disave dhe lartësimi i të tjerëve, d.m.th. qëndrim të ndryshëm
ndaj njerëzve të ndryshëm. Të dyja fjalët (diskriminues dhe diskriminues) vijnë nga latinishtja discriminans - "diskriminues". Diskriminuesi dallon ekuacionet kuadratike sipas numrit të rrënjëve.

Shembulli 3. Zgjidheni ekuacionin 3x 2 + 8x - 11 = 0.
Zgjidhje. Këtu a = 3, b = 8, c = - 11,
D = b 2 - 4ac = 8 2 - 4. 3. (-11) = 64 + 132 = 196.
Meqenëse D > 0, atëherë nga teorema 3 ky ekuacion kuadratik ka dy rrënjë. Këto rrënjë gjenden sipas formulave (3)

Në fakt, ne kemi zhvilluar rregullin e mëposhtëm:

Rregulla për zgjidhjen e ekuacionit
sëpatë 2 + bx + c = 0

Ky rregull është universal dhe zbatohet për ekuacionet kuadratike të plota dhe jo të plota. Megjithatë, ekuacionet kuadratike jo të plota zakonisht nuk zgjidhen duke përdorur këtë rregull, është më e përshtatshme për t'i zgjidhur ato siç bëmë në paragrafin e mëparshëm.

Shembulli 4. Zgjidh ekuacionet:

a) x 2 + 3x - 5 = 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x 2 -x + 3,5 = 0.

Zgjidhje a) Këtu a = 1, b = 3, c = - 5,
D = b 2 - 4ac = Z 2 - 4. 1. (- 5) = 9 + 20 = 29.

Meqenëse D > 0, ky ekuacion kuadratik ka dy rrënjë. Ne i gjejmë këto rrënjë duke përdorur formulat (3)

B) Siç tregon përvoja, është më e përshtatshme të trajtohen ekuacionet kuadratike në të cilat koeficienti kryesor është pozitiv. Prandaj, së pari i shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me -1, marrim

9x 2 - 6x + 1 = 0.
Këtu a = 9, b = -6, c = 1, D = b 2 - 4ac = 36 - 36 = 0.
Meqenëse D = 0, ky ekuacion kuadratik ka një rrënjë. Kjo rrënjë gjendet me formulën x = -. Mjetet,

Ky ekuacion mund të zgjidhej ndryshe: pasi
9x 2 - 6x + 1 = (Зх - IJ, atëherë marrim ekuacionin (Зх - I) 2 = 0, nga ku gjejmë Зх - 1 = 0, d.m.th. x = .

c) Këtu a = 2, b = - 1, c = 3,5, D = b 2 - 4ac = 1 - 4. 2. 3.5= 1 - 28 = - 27. Meqenëse D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Matematikanët janë njerëz praktik, ekonomikë. Pse, thonë ata, përdorni një rregull kaq të gjatë për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik, është më mirë të shkruani menjëherë një formulë të përgjithshme:

Nëse rezulton se diskriminuesi D = b 2 - 4ac është një numër negativ, atëherë formula e shkruar nuk ka kuptim (ka një numër negativ nën shenjën e rrënjës katrore), që do të thotë se nuk ka rrënjë. Nëse rezulton se diskriminuesi është i barabartë me zero, atëherë marrim

Kjo është, një rrënjë (ata thonë gjithashtu se ekuacioni kuadratik në këtë rast ka dy rrënjë të njëjta:

Së fundi, nëse rezulton se b 2 - 4ac > 0, atëherë marrim dy rrënjë x 1 dhe x 2, të cilat llogariten duke përdorur të njëjtat formula (3) siç tregohet më sipër.

Vetë numri në këtë rast është pozitiv (si çdo rrënjë katrore e një numri pozitiv), dhe shenja e dyfishtë përpara tij do të thotë që në një rast (kur gjendet x 1) ky numër pozitiv i shtohet numrit - b, dhe në një rast tjetër (kur gjendet x 2) ky është një numër pozitiv
lexo nga numri - b.

Ju keni lirinë e zgjedhjes. Dëshironi të zgjidhni ekuacionin kuadratik në detaje duke përdorur rregullin e formuluar më sipër; Nëse dëshironi, shkruani menjëherë formulën (4) dhe përdorni atë për të nxjerrë përfundimet e nevojshme.

Shembulli 5. Zgjidh ekuacionet:

Zgjidhja, a) Sigurisht, ju mund të përdorni formulat (4) ose (3), duke marrë parasysh se në këtë rast Por pse t'i bëjmë gjërat me thyesa kur është më e lehtë dhe, më e rëndësishmja, më e këndshme të trajtosh numrat e plotë? Le të heqim qafe emëruesit. Për ta bërë këtë, ju duhet të shumëzoni të dy anët e ekuacionit me 12, domethënë me emëruesin më të ulët të përbashkët të fraksioneve që shërbejnë si koeficientë të ekuacionit. marrim

prej nga 8x 2 + 10x - 7 = 0.

Tani le të përdorim formulën (4)

B) Kemi përsëri një ekuacion me shanset thyesore: a = 3, b = - 0,2, c = 2,77. Le të shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me 100, atëherë marrim një ekuacion me koeficientë të plotë:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
Më pas, ne përdorim formulën (4):

Një llogaritje e thjeshtë tregon se diskriminuesi (shprehja radikale) është një numër negativ. Kjo do të thotë se ekuacioni nuk ka rrënjë.

Shembulli 6. Zgjidhe ekuacionin
Zgjidhje. Këtu, ndryshe nga shembulli i mëparshëm, preferohet të veprohet sipas rregullit dhe jo sipas formulës së shkurtuar (4).

Kemi a = 5, b = -, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-) 2 - 4. 5. 1 = 60 - 20 = 40. Meqenëse D > 0, ekuacioni kuadratik ka dy rrënjë, të cilat do t'i kërkojmë duke përdorur formulat (3)

Shembulli 7. Zgjidhe ekuacionin
x 2 - (2p + 1)x + (p 2 +p-2) = 0

Zgjidhje. Ky ekuacion kuadratik ndryshon nga të gjitha ekuacionet kuadratike të shqyrtuara deri më tani në atë që koeficientët nuk janë numra specifikë, por shprehje fjalë për fjalë. Ekuacione të tilla quhen ekuacione me koeficientë shkronjash ose ekuacione me parametra. Në këtë rast, parametri (shkronja) p përfshihet në koeficientin e dytë dhe termin e lirë të ekuacionit.
Le të gjejmë diskriminuesin:

Shembulli 8. Zgjidheni ekuacionin px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
Zgjidhje. Ky është gjithashtu një ekuacion me parametrin p, por, ndryshe nga shembulli i mëparshëm, ai nuk mund të zgjidhet menjëherë duke përdorur formulat (4) ose (3). Fakti është se këto formula janë të zbatueshme për ekuacionet kuadratike, por rreth ekuacioni i dhënë Këtë nuk mund ta themi ende. Në të vërtetë, çka nëse p = 0? Pastaj
ekuacioni do të marrë formën 0. x 2 + (1-0)x- 1 = 0, d.m.th. x - 1 = 0, nga e cila marrim x = 1. Tani, nëse e dini me siguri se , atëherë mund të aplikoni formulat për rrënjët e kuadratit ekuacioni:

Shënime të rëndësishme!
1. Nëse shihni gobbledygook në vend të formulave, pastroni cache-in tuaj. Si ta bëni këtë në shfletuesin tuaj është shkruar këtu:
2. Para se të filloni të lexoni artikullin, kushtojini më shumë vëmendje navigatorit tonë burim i dobishëm Për

Në termin "ekuacion kuadratik", fjala kyçe është "kuadratike". Kjo do të thotë se ekuacioni duhet të përmbajë domosdoshmërisht një ndryshore (të njëjtin x) në katror, ​​dhe nuk duhet të ketë xes për fuqinë e tretë (ose më të madhe).

Zgjidhja e shumë ekuacioneve zbret në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Le të mësojmë të përcaktojmë se ky është një ekuacion kuadratik dhe jo ndonjë ekuacion tjetër.

Shembulli 1.

Le të heqim qafe emëruesin dhe të shumëzojmë çdo term të ekuacionit me

Le të lëvizim gjithçka në anën e majtë dhe t'i rregullojmë termat në rendin zbritës të fuqive të X

Tani mund të themi me besim se ky ekuacion është kuadratik!

Shembulli 2.

Shumëzoni anët e majta dhe të djathta me:

Ky ekuacion, megjithëse ishte fillimisht në të, nuk është kuadratik!

Shembulli 3.

Le të shumëzojmë gjithçka me:

E frikshme? Shkalla e katërt dhe e dytë... Megjithatë, nëse bëjmë një zëvendësim, do të shohim se kemi një ekuacion të thjeshtë kuadratik:

Shembulli 4.

Duket se është atje, por le të hedhim një vështrim më të afërt. Le të lëvizim gjithçka në anën e majtë:

Shihni, është reduktuar - dhe tani është një ekuacion i thjeshtë linear!

Tani përpiquni të përcaktoni vetë se cilat prej tyre ekuacionet e ardhshme janë katrore dhe cilat nuk janë:

Shembuj:

Përgjigjet:

1. katror;
2. katror;
3. jo katror;
4. jo katror;
5. jo katror;
6. katror;
7. jo katror;
8. katrore.

Matematikanët në mënyrë konvencionale i ndajnë të gjitha ekuacionet kuadratike në llojet e mëposhtme:

• Ekuacionet e plota kuadratike- ekuacionet në të cilat koeficientët dhe, si dhe termi i lirë c, nuk janë të barabartë me zero (si në shembull). Përveç kësaj, midis ekuacioneve të plota kuadratike ekzistojnë dhënë- këto janë ekuacione në të cilat koeficienti (ekuacioni nga shembulli i parë nuk është vetëm i plotë, por edhe i reduktuar!)

• Ekuacionet kuadratike jo të plota- ekuacionet në të cilat koeficienti dhe ose termi i lirë c janë të barabartë me zero:

  Ato janë të paplota sepse u mungon një element. Por ekuacioni duhet të përmbajë gjithmonë X në katror!!! Përndryshe, nuk do të jetë më një ekuacion kuadratik, por një ekuacion tjetër.

Pse dolën me një ndarje të tillë? Duket se ka një X në katror, ​​dhe në rregull. Kjo ndarje përcaktohet nga metodat e zgjidhjes. Le të shohim secilën prej tyre në më shumë detaje.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota

Së pari, le të përqendrohemi në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota - ato janë shumë më të thjeshta!

Ekzistojnë lloje të ekuacioneve kuadratike jo të plota:

1. , në këtë ekuacion koeficienti është i barabartë.
2. , në këtë ekuacion termi i lirë është i barabartë me.
3. , në këtë ekuacion koeficienti dhe termi i lirë janë të barabartë.

1. i. Meqenëse dimë të marrim rrënjën katrore, le të përdorim këtë ekuacion për t'u shprehur

Shprehja mund të jetë ose negative ose pozitive. Një numër në katror nuk mund të jetë negativ, sepse kur shumëzohen dy numra negativë ose dy numra pozitivë, rezultati do të jetë gjithmonë një numër pozitiv, pra: nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje.

Dhe nëse, atëherë marrim dy rrënjë. Nuk ka nevojë të mësoni përmendësh këto formula. Gjëja kryesore është që ju duhet të dini dhe të mbani mend gjithmonë se nuk mund të jetë më pak.

Le të përpiqemi të zgjidhim disa shembuj.

Shembulli 5:

Zgjidhe ekuacionin

Tani mbetet vetëm nxjerrja e rrënjës nga anët e majta dhe të djathta. Në fund të fundit, ju kujtohet se si të nxirrni rrënjët?

Përgjigje:

Mos harroni kurrë për rrënjët me një shenjë negative!!!

Shembulli 6:

Zgjidhe ekuacionin

Përgjigje:

Shembulli 7:

Zgjidhe ekuacionin

Oh! Katrori i një numri nuk mund të jetë negativ, që do të thotë se ekuacioni

pa rrënjë!

Për ekuacione të tilla që nuk kanë rrënjë, matematikanët dolën me një ikonë të veçantë - (grup bosh). Dhe përgjigja mund të shkruhet kështu:

Përgjigje:

Kështu, ky ekuacion kuadratik ka dy rrënjë. Këtu nuk ka kufizime, pasi nuk e kemi nxjerrë rrënjën.
Shembulli 8:

Zgjidhe ekuacionin

Le të heqim faktorin e përbashkët nga kllapat:

Kështu,

Ky ekuacion ka dy rrënjë.

Përgjigje:

Lloji më i thjeshtë i ekuacioneve kuadratike jo të plota (edhe pse të gjitha janë të thjeshta, apo jo?). Natyrisht, ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë:

Këtu do të bëjmë pa shembuj.

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike

Ju kujtojmë se një ekuacion i plotë kuadratik është një ekuacion i ekuacionit të formës ku

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike është pak më e vështirë (vetëm pak) se këto.

Mbani mend Çdo ekuacion kuadratik mund të zgjidhet duke përdorur një diskriminues! Madje e paplotë.

Metodat e tjera do t'ju ndihmojnë ta bëni atë më shpejt, por nëse keni probleme me ekuacionet kuadratike, së pari zotëroni zgjidhjen duke përdorur diskriminuesin.

1. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur një diskriminues.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur këtë metodë është shumë e thjeshtë, gjëja kryesore është të mbani mend sekuencën e veprimeve dhe disa formula.

Nëse, atëherë ekuacioni ka një rrënjë. vëmendje të veçantë bëj një hap. Diskriminuesi () na tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit.

• Nëse, atëherë formula në hap do të reduktohet në. Kështu, ekuacioni do të ketë vetëm një rrënjë.
• Nëse, atëherë nuk do të jemi në gjendje të nxjerrim rrënjën e diskriminuesit në hap. Kjo tregon se ekuacioni nuk ka rrënjë.

Le të kthehemi te ekuacionet tona dhe të shohim disa shembuj.

Shembulli 9:

Zgjidhe ekuacionin

Hapi 1 ne kapërcejmë.

Hapi 2.

Gjejmë diskriminuesin:

Kjo do të thotë se ekuacioni ka dy rrënjë.

Hapi 3.

Përgjigje:

Shembulli 10:

Zgjidhe ekuacionin

Ekuacioni paraqitet në formë standarde, pra Hapi 1 ne kapërcejmë.

Hapi 2.

Gjejmë diskriminuesin:

Kjo do të thotë që ekuacioni ka një rrënjë.

Përgjigje:

Shembulli 11:

Zgjidhe ekuacionin

Ekuacioni paraqitet në formë standarde, pra Hapi 1 ne kapërcejmë.

Hapi 2.

Gjejmë diskriminuesin:

Kjo do të thotë që ne nuk do të jemi në gjendje të nxjerrim rrënjën e diskriminuesit. Nuk ka rrënjë të ekuacionit.

Tani ne e dimë se si t'i shkruajmë saktë përgjigje të tilla.

Përgjigje: pa rrënjë

2. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur teoremën e Vietës.

Nëse ju kujtohet, ekziston një lloj ekuacioni që quhet i reduktuar (kur koeficienti a është i barabartë me):

Ekuacione të tilla janë shumë të lehta për t'u zgjidhur duke përdorur teoremën e Vieta:

Shuma e rrënjëve dhënë ekuacioni kuadratik është i barabartë, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë.

Shembulli 12:

Zgjidhe ekuacionin

Ky ekuacion mund të zgjidhet duke përdorur teoremën e Vietës sepse .

Shuma e rrënjëve të ekuacionit është e barabartë, d.m.th. marrim ekuacionin e parë:

Dhe produkti është i barabartë me:

Le të hartojmë dhe zgjidhim sistemin:

• Dhe. Shuma është e barabartë me;
• Dhe. Shuma është e barabartë me;
• Dhe. Shuma është e barabartë.

dhe janë zgjidhja e sistemit:

Përgjigje: ; .

Shembulli 13:

Zgjidhe ekuacionin

Përgjigje:

Shembulli 14:

Zgjidhe ekuacionin

Ekuacioni është dhënë, që do të thotë:

Përgjigje:

EKUACIONET KUADRATE. NIVELI I MESËM

Çfarë është një ekuacion kuadratik?

Me fjalë të tjera, një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës, ku - e panjohura, - disa numra dhe.

Numri quhet më i larti ose koeficienti i parë ekuacioni kuadratik, - koeficienti i dytë, A - anëtar i lirë.

Pse? Sepse nëse ekuacioni bëhet menjëherë linear, sepse do të zhduket.

Në këtë rast, dhe mund të jetë e barabartë me zero. Në këtë karrige ekuacioni quhet jo i plotë. Nëse të gjithë termat janë në vend, domethënë, ekuacioni është i plotë.

Zgjidhje të llojeve të ndryshme të ekuacioneve kuadratike

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota:

Së pari, le të shohim metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota - ato janë më të thjeshta.

Mund të dallojmë llojet e mëposhtme të ekuacioneve:

I., në këtë ekuacion koeficienti dhe termi i lirë janë të barabartë.

II. , në këtë ekuacion koeficienti është i barabartë.

III. , në këtë ekuacion termi i lirë është i barabartë me.

Tani le të shohim zgjidhjen për secilin nga këto nëntipe.

Natyrisht, ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë:

Një numër në katror nuk mund të jetë negativ, sepse kur shumëzoni dy numra negativë ose dy numra pozitivë, rezultati do të jetë gjithmonë një numër pozitiv. Kjo është arsyeja pse:

nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje;

nëse kemi dy rrënjë

Nuk ka nevojë të mësoni përmendësh këto formula. Gjëja kryesore për të mbajtur mend është se nuk mund të jetë më pak.

Shembuj:

Zgjidhjet:

Përgjigje:

Asnjëherë mos harroni për rrënjët me një shenjë negative!

Katrori i një numri nuk mund të jetë negativ, që do të thotë se ekuacioni

pa rrënjë.

Për të shkruar shkurtimisht se një problem nuk ka zgjidhje, ne përdorim ikonën e setit bosh.

Përgjigje:

Pra, ky ekuacion ka dy rrënjë: dhe.

Përgjigje:

Do ta nxjerrim shumëzues i përbashkët jashtë kllapave:

Produkti është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Kjo do të thotë që ekuacioni ka një zgjidhje kur:

Pra, ky ekuacion kuadratik ka dy rrënjë: dhe.

Shembull:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Le të faktorizojmë anën e majtë të ekuacionit dhe të gjejmë rrënjët:

Përgjigje:

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike:

1. Diskriminues

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike në këtë mënyrë është e lehtë, gjëja kryesore është të mbani mend sekuencën e veprimeve dhe disa formula. Mos harroni, çdo ekuacion kuadratik mund të zgjidhet duke përdorur një diskriminues! Madje e paplotë.

E keni vënë re rrënjën nga diskriminuesi në formulën për rrënjët? Por diskriminuesi mund të jetë negativ. Çfarë duhet bërë? Duhet t'i kushtojmë vëmendje të veçantë hapit 2. Diskriminuesi na tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit.

• Nëse, atëherë ekuacioni ka rrënjë:
• Nëse, atëherë ekuacioni ka të njëjtat rrënjë, dhe në fakt, një rrënjë:

  Rrënjë të tilla quhen rrënjë të dyfishta.

• Nëse, atëherë rrënja e diskriminuesit nuk nxirret. Kjo tregon se ekuacioni nuk ka rrënjë.

Pse është e mundur sasi të ndryshme rrënjët? Le të kthehemi tek kuptimi gjeometrik ekuacioni kuadratik. Grafiku i funksionit është një parabolë:

Në një rast të veçantë, i cili është një ekuacion kuadratik, . Kjo do të thotë se rrënjët e një ekuacioni kuadratik janë pikat e kryqëzimit me boshtin (boshtin) abshisë. Një parabolë mund të mos e presë fare boshtin, ose mund ta presë atë në një (kur kulmi i parabolës shtrihet në bosht) ose dy pika.

Përveç kësaj, koeficienti është përgjegjës për drejtimin e degëve të parabolës. Nëse, atëherë degët e parabolës janë të drejtuara lart, dhe nëse, atëherë poshtë.

Shembuj:

Zgjidhjet:

Përgjigje:

Përgjigje:.

Përgjigje:

Kjo do të thotë se nuk ka zgjidhje.

Përgjigje:.

2. Teorema e Vietës

Është shumë e lehtë të përdoret teorema e Vietës: thjesht duhet të zgjidhni një çift numrash produkti i të cilëve është i barabartë me termin e lirë të ekuacionit, dhe shuma është e barabartë me koeficientin e dytë të marrë me shenjën e kundërt.

Është e rëndësishme të mbani mend se teorema e Vietës mund të zbatohet vetëm në ekuacionet kuadratike të reduktuara ().

Le të shohim disa shembuj:

Shembulli #1:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Ky ekuacion mund të zgjidhet duke përdorur teoremën e Vietës sepse . Koeficientët e tjerë: ; .

Shuma e rrënjëve të ekuacionit është:

Dhe produkti është i barabartë me:

Le të zgjedhim çifte numrash prodhimi i të cilëve është i barabartë dhe të kontrollojmë nëse shuma e tyre është e barabartë:

• Dhe. Shuma është e barabartë me;
• Dhe. Shuma është e barabartë me;
• Dhe. Shuma është e barabartë.

dhe janë zgjidhja e sistemit:

Kështu, dhe janë rrënjët e ekuacionit tonë.

Përgjigje: ; .

Shembulli #2:

Zgjidhja:

Le të zgjedhim çifte numrash që japin produktin dhe më pas të kontrollojmë nëse shuma e tyre është e barabartë:

dhe: japin gjithsej.

dhe: japin gjithsej. Për të marrë, mjafton thjesht të ndryshoni shenjat e rrënjëve të supozuara: dhe, në fund të fundit, produktin.

Përgjigje:

Shembulli #3:

Zgjidhja:

Termi i lirë i ekuacionit është negativ, dhe për këtë arsye produkti i rrënjëve është një numër negativ. Kjo është e mundur vetëm nëse njëra prej rrënjëve është negative dhe tjetra është pozitive. Prandaj shuma e rrënjëve është e barabartë me dallimet e moduleve të tyre.

Le të zgjedhim çifte numrash që japin në produkt dhe ndryshimi i të cilëve është i barabartë me:

dhe: dallimi i tyre është i barabartë - nuk përshtatet;

dhe: - jo i përshtatshëm;

dhe: - jo i përshtatshëm;

dhe: - të përshtatshme. Mbetet vetëm të kujtojmë se njëra prej rrënjëve është negative. Meqenëse shuma e tyre duhet të jetë e barabartë, rrënja me modul më të vogël duhet të jetë negative: . Ne kontrollojmë:

Përgjigje:

Shembulli #4:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Ekuacioni është dhënë, që do të thotë:

Termi i lirë është negativ, dhe për këtë arsye produkti i rrënjëve është negativ. Dhe kjo është e mundur vetëm kur njëra rrënjë e ekuacionit është negative dhe tjetra është pozitive.

Le të zgjedhim çifte numrash prodhimi i të cilëve është i barabartë dhe më pas të përcaktojmë se cilat rrënjë duhet të kenë një shenjë negative:

Natyrisht, vetëm rrënjët dhe janë të përshtatshme për kushtin e parë:

Përgjigje:

Shembulli #5:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Ekuacioni është dhënë, që do të thotë:

Shuma e rrënjëve është negative, që do të thotë se të paktën njëra prej rrënjëve është negative. Por meqenëse produkti i tyre është pozitiv, do të thotë që të dy rrënjët kanë një shenjë minus.

Le të zgjedhim çifte numrash prodhimi i të cilëve është i barabartë me:

Natyrisht, rrënjët janë numrat dhe.

Përgjigje:

Pajtohem, është shumë e përshtatshme të thuash rrënjë me gojë, në vend që të numërosh këtë diskriminues të keq. Mundohuni të përdorni teoremën e Vietës sa më shpesh të jetë e mundur.

Por teorema e Vietës është e nevojshme për të lehtësuar dhe përshpejtuar gjetjen e rrënjëve. Në mënyrë që të përfitoni nga përdorimi i tij, duhet t'i çoni veprimet në automatik. Dhe për këtë, zgjidhni pesë shembuj të tjerë. Por mos mashtroni: nuk mund të përdorni një diskriminues! Vetëm teorema e Vietës:

Zgjidhje për detyrat për punë të pavarur:

Detyra 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Sipas teoremës së Vietës:

Si zakonisht, ne e fillojmë përzgjedhjen me pjesën:

Jo i përshtatshëm për shkak të sasisë;

: shuma është pikërisht ajo që ju nevojitet.

Përgjigje: ; .

Detyra 2.

Dhe përsëri teorema jonë e preferuar Vieta: shuma duhet të jetë e barabartë dhe produkti duhet të jetë i barabartë.

Por meqenëse nuk duhet të jetë, por, ne ndryshojmë shenjat e rrënjëve: dhe (në total).

Përgjigje: ; .

Detyra 3.

Hmm... Ku është?

Ju duhet të zhvendosni të gjitha termat në një pjesë:

Shuma e rrënjëve është e barabartë me produktin.

Në rregull, ndalo! Ekuacioni nuk është dhënë. Por teorema e Vietës është e zbatueshme vetëm në ekuacionet e dhëna. Pra, së pari ju duhet të jepni një ekuacion. Nëse nuk mund të udhëheqni, hiqni dorë nga kjo ide dhe zgjidheni atë në një mënyrë tjetër (për shembull, përmes një diskriminuesi). Më lejoni t'ju kujtoj se të japësh një ekuacion kuadratik do të thotë të bësh koeficientin kryesor të barabartë:

E madhe. Atëherë shuma e rrënjëve është e barabartë me dhe produktin.

Këtu është po aq e lehtë sa të zgjidhësh dardhat: në fund të fundit, është një numër kryesor (më falni për tautologjinë).

Përgjigje: ; .

Detyra 4.

Anëtari i lirë është negativ. Çfarë të veçantë ka kjo? Dhe fakti është se rrënjët do të kenë shenja të ndryshme. Dhe tani, gjatë përzgjedhjes, ne kontrollojmë jo shumën e rrënjëve, por ndryshimin në modulet e tyre: ky ndryshim është i barabartë, por një produkt.

Pra, rrënjët janë të barabarta me dhe, por njëra prej tyre është minus. Teorema e Vietës na thotë se shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin e dytë me shenjë të kundërt, d.m.th. Kjo do të thotë që rrënja më e vogël do të ketë një minus: dhe, pasi.

Përgjigje: ; .

Detyra 5.

Çfarë duhet të bëni së pari? Është e drejtë, jepni ekuacionin:

Përsëri: ne zgjedhim faktorët e numrit dhe ndryshimi i tyre duhet të jetë i barabartë me:

Rrënjët janë të barabarta me dhe, por njëra prej tyre është minus. Cilin? Shuma e tyre duhet të jetë e barabartë, që do të thotë se minusi do të ketë një rrënjë më të madhe.

Përgjigje: ; .

Më lejoni të përmbledh:

1. Teorema e Vietës përdoret vetëm në ekuacionet kuadratike të dhëna.
2. Duke përdorur teoremën e Vietës, mund të gjeni rrënjët me përzgjedhje, me gojë.
3. Nëse ekuacioni nuk është dhënë ose nuk gjendet asnjë çift i përshtatshëm faktorësh të termit të lirë, atëherë nuk ka rrënjë të tëra dhe ju duhet ta zgjidhni atë në një mënyrë tjetër (për shembull, përmes një diskriminuesi).

3. Metoda për zgjedhjen e një katrori të plotë

Nëse të gjithë termat që përmbajnë të panjohurën përfaqësohen në formën e termave nga formulat e shkurtuara të shumëzimit - katrori i shumës ose ndryshimit - atëherë pas zëvendësimit të variablave, ekuacioni mund të paraqitet në formën e një ekuacioni kuadratik jo të plotë të llojit.

Për shembull:

Shembulli 1:

Zgjidheni ekuacionin: .

Zgjidhja:

Përgjigje:

Shembulli 2:

Zgjidheni ekuacionin: .

Zgjidhja:

Përgjigje:

NË pamje e përgjithshme transformimi do të duket si ky:

Më poshtë vijon: .

Nuk ju kujton asgjë? Kjo është një gjë diskriminuese! Pikërisht kështu kemi marrë formulën e diskriminimit.

EKUACIONET KUADRATE. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Ekuacioni kuadratik- ky është një ekuacion i formës, ku - e panjohura, - koeficientët e ekuacionit kuadratik, - termi i lirë.

Ekuacioni i plotë kuadratik- një ekuacion në të cilin koeficientët nuk janë të barabartë me zero.

Ekuacioni kuadratik i reduktuar- një ekuacion në të cilin koeficienti, që është: .

Ekuacion kuadratik jo i plotë- një ekuacion në të cilin koeficienti dhe ose termi i lirë c janë të barabartë me zero:

• nëse koeficienti, ekuacioni duket si: ,
• nëse ka një term të lirë, ekuacioni ka formën:
• nëse dhe, ekuacioni duket si: .

1. Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota

1.1. Një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës, ku, :

1) Le të shprehim të panjohurën: ,

2) Kontrolloni shenjën e shprehjes:

• nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje,
• nëse, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë.

1.2. Një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës, ku, :

1) Le të nxjerrim faktorin e përbashkët nga kllapat: ,

2) Produkti është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Prandaj, ekuacioni ka dy rrënjë:

1.3. Ekuacioni kuadratik jo i plotë i formës, ku:

Ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë: .

2. Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike të formës ku

2.1. Zgjidhje duke përdorur diskriminues

1) Le ta sjellim ekuacionin në formën standarde: ,

2) Le të llogarisim diskriminuesin duke përdorur formulën: , e cila tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit:

3) Gjeni rrënjët e ekuacionit:

• nëse, atëherë ekuacioni ka rrënjë, të cilat gjenden me formulën:
• nëse, atëherë ekuacioni ka një rrënjë, e cila gjendet me formulën:
• nëse, atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë.

2.2. Zgjidhje duke përdorur teoremën e Vietës

Shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar (ekuacioni i formës ku) është i barabartë, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë, d.m.th. , A.

2.3. Zgjidhja me metodën e zgjedhjes së një katrori të plotë

Nëse një ekuacion kuadratik i formës ka rrënjë, atëherë ai mund të shkruhet në formën: .

Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, do të thotë se jeni shumë i lezetshëm.

Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse lexoni deri në fund, atëherë jeni në këtë 5%!

Tani gjëja më e rëndësishme.

Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, kjo... kjo është thjesht super! Ju jeni tashmë më mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.

Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...

Për çfarë?

Për përfundim me sukses Provimi i Unifikuar i Shtetit, për pranim në kolegj me buxhet dhe, ME E RËNDËSISHME, për gjithë jetën.

Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...

Njerëzit që morën arsim të mirë, fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë. Kjo është statistika.

Por kjo nuk është gjëja kryesore.

Kryesorja është se ata janë MË TË LUMTUR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse ka shumë më të hapur para tyre më shumë mundësi dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...

Por mendoni vetë...

Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe në fund të fundit të jesh... më i lumtur?

FITO DORA TUAJ DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.

Nuk do t'ju kërkohet teori gjatë provimit.

Do t'ju duhet zgjidh problemet me kohën.

Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUMË!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do të keni kohë.

Është si në sport - duhet ta përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.

Gjeni koleksionin ku të doni, domosdoshmërisht me zgjidhje, analiza e detajuar dhe vendosni, vendosni, vendosni!

Ju mund të përdorni detyrat tona (opsionale) dhe ne, natyrisht, i rekomandojmë ato.

Në mënyrë që të përmirësoheni në përdorimin e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.

Si? Ka dy opsione:

1. Zhbllokoni të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull -
2. Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e librit shkollor - Bleni një libër shkollor - 499 RUR

Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në tekstin tonë shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.

Qasja në të gjitha detyrat e fshehura ofrohet për TË GJITHË jetën e faqes.

Dhe në përfundim ...

Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni në teori.

"Kuptuar" dhe "Unë mund të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.

Gjeni problemet dhe zgjidhni ato!

Ekuacioni kuadratik - i lehtë për t'u zgjidhur! *Këtej e tutje referuar si “KU”. Miq, duket se nuk mund të ketë asgjë më të thjeshtë në matematikë sesa zgjidhja e një ekuacioni të tillë. Por diçka më tha se shumë njerëz kanë probleme me të. Vendosa të shikoj sa përshtypje sipas kërkesës jep Yandex në muaj. Ja çfarë ndodhi, shikoni:

Çfarë do të thotë? Kjo do të thotë se rreth 70,000 njerëz në muaj janë në kërkim ky informacion, çfarë lidhje ka kjo verë dhe çfarë do të ndodhë mes tyre viti akademik— do të ketë dy herë më shumë kërkesa. Kjo nuk është për t'u habitur, sepse ata djem dhe vajza që kanë mbaruar shkollën shumë kohë më parë dhe po përgatiten për Provimin e Unifikuar të Shtetit, po kërkojnë këtë informacion, dhe nxënësit e shkollës gjithashtu përpiqen të freskojnë kujtesën e tyre.

Pavarësisht se ka shumë faqe që ju tregojnë se si ta zgjidhni këtë ekuacion, vendosa gjithashtu të kontribuoj dhe të publikoj materialin. Së pari, unë dua që vizitorët të vijnë në faqen time bazuar në këtë kërkesë; së dyti, në artikuj të tjerë, kur të vijë tema e “KU”, do të jap një lidhje me këtë artikull; së treti, unë do t'ju tregoj pak më shumë për zgjidhjen e tij sesa thuhet zakonisht në faqet e tjera. Le të fillojmë! Përmbajtja e artikullit:

Një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës:

ku koeficientët a,bdhe me numra arbitrar, ku a≠0.

NË kursi shkollor materiali është dhënë në formën e mëposhtme - ekuacionet ndahen me kusht në tre klasa:

1. Kanë dy rrënjë.

2. *Kanë vetëm një rrënjë.

3. Nuk kanë rrënjë. Vlen veçanërisht të theksohet këtu se ato nuk kanë rrënjë të vërteta

Si llogariten rrënjët? Vetëm!

Ne llogarisim diskriminuesin. Nën këtë fjalë "të tmerrshme" qëndron një formulë shumë e thjeshtë:

Formulat e rrënjës janë si më poshtë:

*Këto formula duhet t'i dini përmendësh.

Ju menjëherë mund të shkruani dhe zgjidhni:

Shembull:

1. Nëse D > 0, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë.

2. Nëse D = 0, atëherë ekuacioni ka një rrënjë.

3. Nëse D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Le të shohim ekuacionin:

Në këtë drejtim, kur diskriminuesi është i barabartë me zero, kursi i shkollës thotë se fitohet një rrënjë, këtu është e barabartë me nëntë. Gjithçka është e saktë, ashtu është, por...

Kjo ide është disi e pasaktë. Në fakt, ka dy rrënjë. Po, po, mos u çuditni, rezulton dy rrënjë të barabarta, dhe për të qenë matematikisht i saktë, përgjigja duhet të përmbajë dy rrënjë:

x 1 = 3 x 2 = 3

Por kjo është kështu - një digresion i vogël. Në shkollë mund ta shkruani dhe të thoni se ka një rrënjë.

Tani shembulli tjetër:

Siç e dimë, rrënja e një numri negativ nuk mund të merret, kështu që nuk ka zgjidhje në këtë rast.

Ky është i gjithë procesi i vendimmarrjes.

Funksioni kuadratik.

Kjo tregon se si duket zgjidhja gjeometrikisht. Kjo është jashtëzakonisht e rëndësishme për t'u kuptuar (në të ardhmen, në një nga artikujt do të analizojmë në detaje zgjidhjen e pabarazisë kuadratike).

Ky është një funksion i formës:

ku x dhe y janë ndryshore

a, b, c - numrat e dhënë, ku a ≠ 0

Grafiku është një parabolë:

Kjo do të thotë, rezulton se zgjidhja e një ekuacioni kuadratik në "y" e barabartë me zero gjejmë pikat e kryqëzimit të parabolës me boshtin x. Mund të ketë dy nga këto pika (diskriminuesi është pozitiv), një (diskriminuesi është zero) dhe asnjë (diskriminuesi është negativ). Detaje rreth funksionit kuadratik ju mund të shikoni artikull nga Inna Feldman.

Le të shohim shembuj:

Shembulli 1: Zgjidh 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Përgjigje: x 1 = 8 x 2 = –12

*Ishte e mundur që menjëherë të ndahej anët e majta dhe të djathta të ekuacionit me 2, domethënë ta thjeshtonin atë. Llogaritjet do të jenë më të lehta.

Shembulli 2: Vendosni x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Ne zbuluam se x 1 = 11 dhe x 2 = 11

Lejohet të shkruhet x = 11 në përgjigje.

Përgjigje: x = 11

Shembulli 3: Vendosni x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminuesi është negativ, nuk ka zgjidhje në numra realë.

Përgjigje: nuk ka zgjidhje

Diskriminuesi është negativ. Ka zgjidhje!

Këtu do të flasim për zgjidhjen e ekuacionit në rastin kur del diskriminues negativ. A dini ndonjë gjë për numra komplekse? Unë nuk do të flas në detaje këtu se pse dhe ku lindën dhe çfarë janë rol specifik dhe nevoja për matematikë, kjo është një temë për një artikull të madh të veçantë.

Koncepti i një numri kompleks.

Pak teori.

Një numër kompleks z është një numër i formës

z = a + bi

ku janë a dhe b numra realë, i është e ashtuquajtura njësi imagjinare.

a+bi - ky është një numër i vetëm, jo ​​një shtesë.

Njësia imagjinare është e barabartë me rrënjën e minus një:

Tani merrni parasysh ekuacionin:

Marrim dy rrënjë të konjuguara.

Ekuacion kuadratik jo i plotë.

Le të shqyrtojmë raste të veçanta, kjo është kur koeficienti "b" ose "c" është i barabartë me zero (ose të dy janë të barabartë me zero). Ato mund të zgjidhen lehtësisht pa asnjë dallim.

Rasti 1. Koeficienti b = 0.

Ekuacioni bëhet:

Le të transformojmë:

Shembull:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Rasti 2. Koeficienti c = 0.

Ekuacioni bëhet:

Le të transformojmë dhe faktorizojmë:

*Produkti është i barabartë me zero kur të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero.

Shembull:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ose x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Rasti 3. Koeficientët b = 0 dhe c = 0.

Këtu është e qartë se zgjidhja e ekuacionit do të jetë gjithmonë x = 0.

Vetitë e dobishme dhe modelet e koeficientëve.

Ka veti që ju lejojnë të zgjidhni ekuacione me koeficientë të mëdhenj.

Ax 2 + bx+ c=0 barazia vlen

a + b+ c = 0, Se

- nëse për koeficientët e ekuacionit Ax 2 + bx+ c=0 barazia vlen

a+ c =b, Se

Këto veti ndihmojnë për të vendosur një lloj të caktuar ekuacionet

Shembulli 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Shuma e gjasave është 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, që do të thotë

Shembulli 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Barazia qëndron a+ c =b, Mjetet

Rregullsitë e koeficientëve.

1. Nëse në ekuacionin ax 2 + bx + c = 0 koeficienti "b" është i barabartë me (a 2 +1), dhe koeficienti "c" është numerikisht i barabartë me koeficientin "a", atëherë rrënjët e tij janë të barabarta.

sëpatë 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Shembull. Merrni parasysh ekuacionin 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Nëse në ekuacionin ax 2 – bx + c = 0 koeficienti “b” është i barabartë me (a 2 +1), dhe koeficienti “c” numerikisht është i barabartë me koeficientin “a”, atëherë rrënjët e tij janë të barabarta.

sëpatë 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Shembull. Merrni parasysh ekuacionin 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Nëse në barazimin. ax 2 + bx – c = 0 koeficienti “b” është e barabartë me (a 2 – 1), dhe koeficienti “c” është numerikisht i barabartë me koeficientin "a", atëherë rrënjët e tij janë të barabarta

sëpatë 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Shembull. Merrni parasysh ekuacionin 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Nëse në ekuacionin ax 2 – bx – c = 0 koeficienti “b” është i barabartë me (a 2 – 1), dhe koeficienti c është numerikisht i barabartë me koeficientin “a”, atëherë rrënjët e tij janë të barabarta.

sëpatë 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Shembull. Merrni parasysh ekuacionin 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Teorema e Vietës.

Teorema e Vieta është emëruar pas të famshmit Matematikan francez Francois Vieta. Duke përdorur teoremën e Vietës, ne mund të shprehim shumën dhe produktin e rrënjëve të një KU arbitrare në termat e koeficientëve të saj.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Në total, numri 14 jep vetëm 5 dhe 9. Këto janë rrënjët. Me një aftësi të caktuar, duke përdorur teoremën e paraqitur, mund të zgjidhni menjëherë shumë ekuacione kuadratike gojarisht.

Teorema e Vieta-s, përveç kësaj. Është i përshtatshëm në atë që pas zgjidhjes së një ekuacioni kuadratik në mënyrën e zakonshme (përmes një diskriminuesi), rrënjët që rezultojnë mund të kontrollohen. Unë rekomandoj ta bëni këtë gjithmonë.

MËNYRA E TRANSPORTIT

Me këtë metodë, koeficienti "a" shumëzohet me termin e lirë, sikur "i hidhet" atij, prandaj quhet Metoda e "transferimit". Kjo metodë përdoret kur rrënjët e ekuacionit mund të gjenden lehtësisht duke përdorur teoremën e Vieta-s dhe, më e rëndësishmja, kur diskriminuesi është një katror i saktë.

Nëse A± b+c≠ 0, atëherë përdoret teknika e transferimit, për shembull:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Duke përdorur teoremën e Vieta-s në ekuacionin (2), është e lehtë të përcaktohet se x 1 = 10 x 2 = 1

Rrënjët rezultuese të ekuacionit duhet të ndahen me 2 (pasi të dyja "u hodhën" nga x 2), marrim

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Cili është arsyetimi? Shikoni çfarë po ndodh.

Diskriminuesit e ekuacioneve (1) dhe (2) janë të barabartë:

Nëse shikoni rrënjët e ekuacioneve, vetëm merrni emërues të ndryshëm, dhe rezultati varet pikërisht nga koeficienti x 2:

E dyta (e modifikuar) ka rrënjë që janë 2 herë më të mëdha.

Prandaj, rezultatin e ndajmë me 2.

*Nëse i rimbështjellim të tre, rezultatin do ta ndajmë me 3, etj.

Përgjigje: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Sq. ur-ie dhe Provimi i Unifikuar i Shtetit.

Do t'ju tregoj shkurtimisht për rëndësinë e tij - DUHET TË JENI TË GJITHË TË VENDOSNI shpejt dhe pa u menduar, duhet të dini përmendësh formulat e rrënjëve dhe diskriminuesve. Shumë probleme të përfshira në detyrat e Provimit të Unifikuar të Shtetit zbresin në zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik (përfshirë edhe ato gjeometrike).

Diçka që vlen të përmendet!

1. Forma e shkrimit të një ekuacioni mund të jetë “i nënkuptuar”. Për shembull, hyrja e mëposhtme është e mundur:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ose 15x+42+9x 2 - 45x=0 ose 15 -5x+10x 2 = 0.

Ju duhet ta sillni atë në një formë standarde (në mënyrë që të mos ngatërroheni gjatë zgjidhjes).

2. Mos harroni se x është një madhësi e panjohur dhe mund të shënohet me ndonjë shkronjë tjetër - t, q, p, h dhe të tjera.