Shënimi shpjegues për punën e kursit është bërë në vëllimin prej 36 fletësh. Ai përmban një tabelë të vlerave të funksionit gama për vlera të caktuara të variablave dhe tekste të programeve për llogaritjen e vlerave të funksionit gama dhe për vizatimin e një grafiku, si dhe 2 figura.

Për të shkruar punën e kursit janë përdorur 7 burime.

Hyrje

Ekziston një klasë e veçantë funksionesh që mund të përfaqësohen në formën e një integrali të duhur ose jo të duhur, i cili varet jo vetëm nga ndryshorja formale, por edhe nga parametri.

Funksione të tilla quhen integrale të varura nga parametrat. Këto përfshijnë funksionet gama dhe beta të Euler-it.

Funksionet beta mund të përfaqësohen nga integrali Euler i llojit të parë:

Funksioni gama përfaqësohet nga integrali Euler i llojit të dytë:

Funksioni gama është një nga funksionet speciale më të thjeshta dhe më domethënëse, njohja e vetive të të cilit është e nevojshme për të studiuar shumë funksione të tjera të veçanta, për shembull, cilindrike, hipergjeometrike dhe të tjera.

Falë prezantimit të tij, aftësitë tona në llogaritjen e integraleve janë zgjeruar ndjeshëm. Edhe në rastet kur formula përfundimtare nuk përmban funksione të tjera përveç atyre elementare, marrja e saj përsëri shpesh lehtëson përdorimin e funksionit Г, të paktën në llogaritjet e ndërmjetme.

Integralet e Euler-it janë funksione jo elementare të studiuara mirë. Problemi konsiderohet i zgjidhur nëse çon në llogaritjen e integraleve të Euler-it.

1. Veçoritë beta Unë jam Euler

Funksionet beta përcaktohen nga integrali Euler i llojit të parë:

=(1.1)

Ai përfaqëson një funksion të dy parametrave të ndryshueshëm

dhe : funksion B. Nëse këta parametra plotësojnë kushtet dhe , atëherë integrali (1.1) do të jetë një integral jo i duhur në varësi të parametrave dhe , dhe pikat njëjës të këtij integrali do të jenë pikat dhe

Integrali (1.1) konvergjon në

.Duke supozuar se marrim: = -

dmth. argument

dhe futeni në mënyrë simetrike. Duke marrë parasysh identitetin

sipas formulës së integrimit të nderimeve që kemi

Nga e marrim?

Për numrin e plotë b = n, duke aplikuar në mënyrë të njëpasnjëshme (1.2)

për numrat e plotë

= m, = n, kemi

por B(1,1) = 1, pra:

Le të vendosim (1.1)

.Që nga grafiku i funksionit

është simetrik në lidhje me një vijë të drejtë, atëherë

dhe si rezultat i zëvendësimit

, marrim

duke vendosur (1.1)

, nga ku marrim

duke e pjesëtuar integralin me dy në rangun nga 0 në 1 dhe nga 1 në

dhe duke aplikuar zëvendësimin në integralin e dytë, marrim

2. Funksioni gama

2.1 Përkufizimi

Një pikëçuditëse në veprat matematikore zakonisht nënkupton marrjen e faktorialit të një numri të plotë jo negativ:

n! = 1·2·3·...·n.

Funksioni faktorial mund të shkruhet gjithashtu si një relacion rekursioni:

(n+1)! = (n+1)·n!.

Kjo marrëdhënie mund të konsiderohet jo vetëm për vlerat e plota të n.

Merrni parasysh ekuacionin e diferencës

Pavarësisht formës së thjeshtë të shënimit, ky ekuacion nuk mund të zgjidhet në funksionet elementare. Zgjidhja e tij quhet funksioni gama. Funksioni gama mund të shkruhet si një seri ose si një integral. Për të studiuar vetitë globale të funksionit gama, zakonisht përdoret paraqitja integrale.

2.2 Përfaqësimi integral

Le të kalojmë në zgjidhjen e këtij ekuacioni. Ne do të kërkojmë një zgjidhje në formën e integralit Laplace:

Në këtë rast, ana e djathtë e ekuacionit (2.1) mund të shkruhet si:

Kjo formulë është e vlefshme nëse ka kufizime për termin jointegral. Nuk e dimë paraprakisht sjelljen e figurës [(G)\tilde](p) për p®±¥. Le të supozojmë se imazhi i funksionit gama është i tillë që termi jointegral është i barabartë me zero. Pasi të gjendet zgjidhja, do të jetë e nevojshme të kontrollohet nëse supozimi për termin jointegral është i saktë, përndryshe do të duhet të kërkojmë G(z) në ndonjë mënyrë tjetër.

FUNKSIONI GAMMA, G-funksioni, është një funksion transcendental T(z), duke përhapur vlerat e faktorialit z! për rastin e çdo kompleksi z ≠ 0, -1, -2, .... G.-f. prezantuar nga L. Euler [(L. Euler), 1729, letër X. Goldbach (Ch. Goldbach)] duke përdorur një produkt të pafund

nga i cili L. Euler mori një paraqitje integrale (integrali Eulerian i llojit të dytë)

e vërtetë për Re z > 0. Funksioni x z-1 është i paqartë me formulën x z-1 = e (z-1)ln x me ln x real. Emërtimi Г(z) dhe emri. G.-f. u propozuan nga A. M. Legendre (A. M. Legendre, 1814).

Në të gjithë rrafshin z me pika të rënë z = 0, -1, -2, ... për G.-f. Përfaqësimi integral i Hankelit është i vlefshëm:

ku s z-1 = e (z-1)ln s, dhe ln s është një degë e logaritmit, për të cilin 0

Marrëdhëniet dhe vetitë themelore të funksioneve gjeometrike.

1) Ekuacioni funksional i Euler-it:

zГ(z) = Г(z + 1),

Г(1) = 1, Г(n + 1) = n!, nëse n > 0 është një numër i plotë, atëherë numëro 0! = Г(1) = 1.

2) Formula e mbledhjes së Euler-it:

Г(z)Г(1 - z) = π/sin πz.

Në veçanti,

nëse n > 0 është një numër i plotë, atëherë

y - real.

3) Formula e shumëzimit Gaussian:

Për m = 2 kjo është formula e dyfishimit të Lezhandrit.

4) Kur Re z ≥ δ > 0 ose |Im z| ≥ δ > 0 asimptotike. zgjerimi i ln Г(z) në një seri Stirling:

ku B 2n janë numrat e Bernulit. Çfarë do të thotë barazi?

Në veçanti,

Formula e Sonin është më e saktë:

5) Në rajonin real Г(х) > 0 për x > 0 dhe merr shenjën (-1) k+1 në seksionet -k - 1

GG"" > Г" 2 ≥ 0,

d.m.th., të gjitha degët e të dy |Г(x)| dhe ln |Г(x)| - funksionet konvekse. Vetia logaritmike konveksiteti përcaktohet nga G.-f. ndër të gjitha zgjidhjet e ekuacionit funksional

Г(1 + x) = xГ(x)

deri në një faktor konstant.

Oriz. 2. Grafiku i funksionit y = Г(х).

Për x pozitiv G.-f. ka një minimum të vetëm në x = 1.4616321..., e barabartë me 0.885603.... Minimumet lokale të funksionit |Г(х)| pasi x → -∞ formojnë një sekuencë që priret në zero.

Oriz. 3. Grafiku i funksionit 1/Г(x).

6) Në rajonin kompleks, për Re z > 0, G.-f. zvogëlohet me shpejtësi si |Im z| → -∞

7) Funksioni 1/Г(z) (shih Fig. 3) është një funksion i tërë i rendit të parë të tipit maksimal, dhe asimptotikisht si Г → ∞

ln M(r) ~ r ln r,

Mund të përfaqësohet nga produkti i pafund i Weierstrass:

absolutisht dhe uniformisht konvergjente në çdo grup kompakt të planit kompleks (këtu konstanta C-Euler). Përfaqësimi integral i Hankelit është i vlefshëm:

ku kontura C * është paraqitur në Fig. 4.

Paraqitje integrale për fuqitë e G.-f. janë marrë nga G. F. Voronoi.

Në aplikacionet, të ashtuquajturat funksionet e poligamës që janë derivate të ln Г(z). Funksioni (funksioni ψ Gaussian)

është meromorfik, ka pole të thjeshta në pikat z = 0,- 1,_-2, ... dhe plotëson ekuacionin funksional

ψ(z + 1) - ψ(z) = 1/z.

Nga paraqitja e ψ(z) për |z|

kjo formulë është e dobishme për llogaritjen Г(z) në afërsi të pikës z = 1.

Për funksione të tjera të poligamës, shih. Funksioni i paplotë gama përcaktohet nga barazia

Funksionet Г(z), ψ(z) janë funksione transcendentale që nuk plotësojnë asnjë ekuacion diferencial linear me koeficientë racionalë (teorema e Holderit).

Roli ekskluziv i G.-f. në matematikë analiza përcaktohet nga fakti se me ndihmën e G.-f. shprehen një numër i madh integralësh të caktuar, prodhime të pafundme dhe shuma serish (shih, për shembull, funksionin Beta). Përveç kësaj, G.-f. gjen zbatime të gjera në teorinë e funksioneve të veçanta (funksionet hipergjeometrike, për të cilat funksioni gjeometrik është rast kufizues, funksionet cilindrike etj.), në analitikë. teoria e numrave etj.

Lit.: Whittaker E. T., Watson J. N., Kursi i analizës moderne, përkth. nga anglishtja, vëll. 2, botimi i dytë, M., 1963; Bateman G., Erdelyi A., Funksionet më të larta transcendentale Funksioni hipergjeometrik. Funksionet e Lezhandrit, përkth. nga anglishtja, M., 1965; Bourbaki N., Funksionet e një ndryshoreje reale. Teoria elementare, përkth. nga frengjishtja, M., 1965; Analiza matematikore. Funksionet, limitet, seritë, thyesat e vazhdueshme, (Biblioteka matematikore e referencës), M., 1961; Nielsen N.. Handbuch der Theorie der Gamma-funktion, Lpz., 1906; Sonin N. Ya., Kërkim mbi funksionet cilindrike dhe polinomet speciale, M., 1954; Voronoi G.F., Koleksion. soch., vëll 2, K., 1952, f. 53-62; Janke E., Emde F., Lesch F., Funksionet speciale. Formulat, grafikët, tabelat, trans. nga gjermanishtja, botimi i dytë, M., 1968; Ango A., Matematikë për inxhinierë elektrikë dhe radio, përkth. nga frëngjishtja, botimi i dytë, M., 1967.

L. P. Kuptsov.

Burimet:

Enciklopedia matematikore. T. 1 (A - D). Ed. bordi: I. M. Vinogradov (kryeredaktor) [dhe të tjerë] - M., "Enciklopedia Sovjetike", 1977, 1152 stb. nga ilus.

Fusha e përcaktimit të funksionit gama Г(х) Në integralin (1) ekzistojnë veçori të dy llojeve: 1) integrim përgjatë një gjysmëdrejtëze 2) në një pikë integrandi shkon në pafundësi. Për t'i ndarë këto veçori, ne paraqesim funksionin Г(х) si shuma e dy integraleve. Funksioni gama quhet integral domeni i funksionit beta Zbatimi i integraleve të Euler-it në llogaritjen e integraleve të përcaktuara dhe Le të shohim secilin prej tyre veç e veç. Që atëherë, integrali konvergon në (për krahasim). Integrali konvergjon për çdo x. Në fakt, duke marrë një arbitrar, gjejmë se për çdo x Në integral konvergjon, pra, integrali konvergjon për çdo x. Kështu, ai konvergjon në dhe ne kemi vërtetuar se domeni i përcaktimit të funksionit gama Г(х) është një gjysmëdrejtëzë Le të tregojmë se integrali (1) konvergjon në mënyrë të njëtrajtshme në x në çdo interval Let. Pastaj, kur kemi, integralet në anën e djathtë të formulave (2) dhe (3) konvergojnë dhe sipas kriterit Weierstrass, integralet në anën e majtë të pabarazive (2) dhe (3) në mënyrë të njëtrajtshme. konvergojnë. Rrjedhimisht, në bazë të barazisë, marrim konvergjencë uniforme të Г(х) në çdo interval [c, d], ku. Konvergjenca uniforme e Г(х) nënkupton vazhdimësinë e këtij funksioni për Disa veti të funksionit gama 1. (funksioni gama për x > 0 nuk ka zero). 2. Për çdo x > 0, formula e reduktimit për funksionin gama vlen 3. Për x = n, formula vlen Për x = 1, kemi Duke përdorur formulën (4), marrim Duke zbatuar formulën n herë, sepse marrim 4. Lakorja y = Г( x) konvekse poshtë. Në fakt, rrjedh se derivati në gjysmëdrejtëz mund të ketë vetëm një zero. Dhe meqenëse, sipas teoremës së Rolle-s, kjo zero x0 e derivatit Γ"(x) ekziston dhe shtrihet në intervalin (1.2). Meqenëse, atëherë në pikën x0 funksioni Γ(x) ka një minimum. Mund të tregohet se në (0, +oo) funksioni Г(х) është i diferencueshëm për çdo numër herë nga formula për të është i vazhdueshëm për 6. Formula e komplementit ka formën e treguar në figurën 4. § 4. Funksioni beta dhe. Vetitë e tij quhet integral në varësi të parametrave 4.1. Domeni i përcaktimit të funksionit beta dy integrale, i pari prej të cilëve (at) ka një pikë njëjës, dhe i dyti (në - pikën e njëjës t = 1. Integrali është një integral i papërshtatshëm i llojit të 2-të. Ai konvergjon me kusht që për, dhe integrali quhet Domeni i funksionit gama. Funksioni beta dhe përkufizimet e tij në llogaritjen e integraleve të përcaktuara. y) është përcaktuar për të gjitha vlerat pozitive të hnu. Mund të vërtetohet se integrali (7) konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në çdo rajon x^a>0, Y>b>Oy kështu që funksioni beta është i vazhdueshëm për disa veti të funksionit beta 1. Për formulën Funksioni beta është simetrik në lidhje me xn Kjo rrjedh nga formula (9). §5. Zbatimi i integraleve të Euler-it në llogaritjen e integraleve të caktuar Le të shqyrtojmë disa shembuj. Shembulli 1. Llogaritni integralin 4 Le të prezantojmë zëvendësimin dhe të marrim Prandaj Shembulli 2. Llogaritni integralin Le të supozojmë se kufijtë e integrimit mbeten të njëjtë, kështu që integrali i dhënë reduktohet në funksionin beta: Shembulli 3. Bazuar mbi barazinë, njehsoni integralin Këtu kemi përdorur përkufizimin e funksionit beta dhe formulat Ushtrime Llogaritni kufijtë: Gjeni derivatet F "(y) për funksionet e mëposhtme: o. Në bazë të barazisë, njehsoni integralin 7. Duke përdorur barazisë, duke diferencuar në lidhje me parametrin, merrni formulën e mëposhtme: 8. Vërtetoni se integrali konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në y në të gjithë boshtin real 7 dx 9. Vërtetoni se integrali konvergjon në mënyrë të njëtrajtshme në lidhje me parametrin s në çdo segment. 10. Duke përdorur barazinë, njehsoni integralin me diferencim në lidhje me parametrin Duke përdorur integralet e Euler-it, llogaritni integralet e mëposhtme: Shprehni në terma të integraleve të Euler-it: Funksioni gama është domeni integral i funksioneve gama Disa veti të funksionit gama Beta. Funksioni dhe vetitë e tij Fusha e përcaktimit të funksionit beta Zbatimi i integraleve të Euler-it në llogaritjen e integraleve të caktuar është një numër i plotë pozitiv) Le të vërtetojmë se integrali konvergjon në mënyrë të njëtrajtshme në të gjithë boshtin real: 1) lidhja e ndonjë si A(e ) vlen ), i përmendur në përkufizimin e një integrali të papërshtatshëm uniformisht konvergjent në lidhje me parametrin y, mund të marrim për B > A do të kemi Vërtetojmë se integrali f(α) = / konvergon në mënyrë të njëtrajtshme për një Meqenëse integrali konvergjon për 0 1, atëherë me kriterin e mjaftueshëm të Weierstrass-it arrijmë në përfundimin se ky integral konvergon në mënyrë të njëtrajtshme. 10. Kemi n herë diferencuese

46. Natyra, origjina dhe vetitë e rrezatimit gama dhe rreze x. Mekanizmat e bashkëveprimit të kuanteve të gama dhe rreze x me atomet e materies. Probabiliteti i mënyrave të ndryshme të bashkëveprimit të kuanteve me atomet në varësi të energjisë së kuanteve.

Karakteristika më e rëndësishme e çdo rrezatimi jonizues është fenomeni. Aftësia e tij jonizuese. Një masë sasiore e kësaj aftësie është dendësia lineare e jonizimit (LID). Është e barabartë me numrin e çifteve të joneve të krijuara nga një grimcë (kuanta) për njësi shteg në një substancë. ABI varet nga natyra dhe energjia e grimcave dhe nga vetitë e substancës. Në literaturë, ABI zakonisht tregohet për një substancë standarde - ajrin e thatë, dhe një centimetër merret si njësi e distancës. Është e lehtë të kuptohet se sa më i madh të jetë ABI, aq më i madh është efekti dëmtues në trup. Ndërsa kuantet kalojnë nëpër materie, ato gradualisht humbasin energjinë, e cila shpenzohet për jonizimin e molekulave dhe atomeve. Shkalla e humbjes së energjisë përcakton aftësinë depërtuese të një rrezatimi të caktuar jonizues. Masa e fuqisë depërtuese për grimcat është distanca në të cilën grimca ngadalësohet në një energji afër energjisë mesatare të lëvizjes termike. Për kuantet e rrezeve X ose rrezet gama, distanca në të cilën fuqia e rrezatimit bie me një faktor "e" merret si masë e fuqisë depërtuese. Sa më i lartë të jetë ABI, aq më e ulët është fuqia depërtuese e rrezatimit në një substancë të caktuar. Rrezatimet me një PV të lartë quhen të forta; nëse PS është i vogël, një rrezatim i tillë quhet i butë. Por këto terma janë relative. Grimcat alfa kanë një PS shumë të vogël; edhe në ajër diapazoni i tyre është disa cm Substancat më të dendura janë të padepërtueshme ndaj grimcave alfa me trashësi prej një fraksioni mm. Rrjedha e grimcave alfa që bien mbi një person absorbohet plotësisht në shtresat e sipërme të lëkurës. Për shkak të PS-së së tyre të ulët, grimcat alfa janë pothuajse plotësisht të sigurta për njerëzit gjatë rrezatimit të jashtëm. Por nëse izotopi alfa aktiv futet brenda trupit, rreziku do të jetë shumë i madh, sepse Grimcat e emetuara nga izotopi brenda indeve do të shkaktojnë jonizimin shumë të fortë, duke dëmtuar strukturat e gjalla. PS e grimcave beta është afërsisht 100 herë më e madhe; në ajër ata udhëtojnë disa metra, në media të ngurta - disa mm (në varësi të energjisë). Rrezet X dhe rrezet gama, të cilat kanë një ABI të ulët, depërtojnë thellë edhe në media të dendura. Rrezet gama me energji të lartë mund të kalojnë nëpër një shtresë toke ose betoni disa metra të thellë.

Ndërveprimi me lëndën e grimcave alfa dhe beta

Grimcat individuale alfa dhe beta mund të depërtojnë në bërthamat e atomeve dhe të shkaktojnë reaksione të caktuara bërthamore atje. Por numri dërrmues i grimcave ndërvepron vetëm me predha elektronike. Duke pasur një masë të madhe, grimcat alfa praktikisht nuk devijojnë nga një trajektore e drejtë kur përplasen me elektronet e një atomi. Elektronet shkëputen nga atomet dhe molekulat, d.m.th. ndodh jonizimi. Për një izotop të caktuar, të gjitha grimcat alfa kanë përafërsisht të njëjtën energji, kështu që të gjitha grimcat alfa të një izotopi të caktuar kanë të njëjtin gamë në një substancë. Grimcat beta janë të lehta, kështu që ato ndryshojnë ndjeshëm drejtimin e lëvizjes kur përplasen me një atom. Ky proces quhet shpërndarje. Grimcat e shpërndara beta fluturojnë në të gjitha drejtimet dhe mund të jenë një burim lëndimi për njerëzit që ndodhen afër trupit mbi të cilin bie rryma e grimcave beta, edhe nëse kjo rrymë nuk e godet drejtpërdrejt personin. Një burim rreziku mund të jetë bremsstrahlung me rreze X, që ndodh gjatë frenimit ** në substanca të ngurta. Për shkak të ekzistencës së bremsstrahlung, edhe emetuesit beta të pastër kërkojnë mbrojtje mjaft serioze gjatë ruajtjes ose transportit. Së fundi, në sendet me aktivitet pozitron, ndodh asgjësimi, d.m.th. Kur pozitronet përplasen me elektronet e një substance, grimcat kthehen në dy kuanta gama me një energji prej 0,51 MeV secila, pra të gjithë izotopet aktive të fenomenit me pozitron. Njëkohësisht burimet e rrezatimit gama.

Efekte praktikisht të rëndësishme për shkak të shpërndarjes

A. Përhapja e rrezatimit të shpërndarë. Në të gjitha drejtimet. Kjo kërkon miratimin e shtesë Masat paraprake. Për shembull, në një rreze x, rrezja e drejtpërdrejtë e rrezeve drejtohet poshtë, por rrezatimi i shpërndarë në trupin e pacientit shkon anash dhe lart, gjë që detyron të merren masa për të mbrojtur dhomat fqinje dhe madje edhe ato më të larta. Në mënyrë të ngjashme, rrezatimi gama i krijuar nga reaktori i një nëndetëse shpërndahet në ujin e detit dhe një pjesë e tij kthehet në ndarjet e nëndetëses, duke rritur rrezatimin e sfondit.

B. Nëse, gjatë matjes së rrezatimit jonizues, pajisja matëse është afër objekteve ose mureve masive, rrezatimi i shpërndarë në to mund të shtrembërojë ndjeshëm rezultatet e matjes.

B. Rrezatimi i shpërndarë prish imazhin me rreze x. Kuantet që devijojnë nga drejtimi origjinal përfundojnë në vende të rastësishme në ekran ose film, duke e "ekspozuar" atë dhe duke e bërë imazhin më pak të qartë dhe me kontrast.

Abstrakt

Qëllimi i kësaj pune të kursit është të studiojë vetitë e veçanta të funksionit Euler Gamma. Gjatë punës u studiuan funksioni Gamma, vetitë kryesore të tij dhe u përpilua një algoritëm llogaritës me shkallë të ndryshme saktësie. Algoritmi u shkrua në një gjuhë të nivelit të lartë - C. Rezultati i programit kontrollohet në tabelë. Nuk u gjetën mospërputhje në vlera.

Për të shkruar punën e kursit janë përdorur 7 burime.

Hyrje

Ekziston një klasë e veçantë funksionesh që mund të përfaqësohen në formën e një integrali të duhur ose jo të duhur, i cili varet jo vetëm nga ndryshorja formale, por edhe nga parametri.

Funksione të tilla quhen integrale të varura nga parametrat. Këto përfshijnë funksionet gama dhe beta të Euler-it.

Funksionet beta mund të përfaqësohen nga integrali Euler i llojit të parë:

Funksioni gama përfaqësohet nga integrali Euler i llojit të dytë:

Integralet e Euler-it janë funksione jo elementare të studiuara mirë. Problemi konsiderohet i zgjidhur nëse çon në llogaritjen e integraleve të Euler-it.

1. Veçoritë beta Unë jam Euler

Funksionet beta përcaktohen nga integrali Euler i llojit të parë:

Ai përfaqëson një funksion të dy parametrave të ndryshueshëm dhe : funksionit B. Nëse këta parametra plotësojnë kushtet dhe , atëherë integrali (1.1) do të jetë një integral jo i duhur në varësi të parametrave dhe , dhe pikat njëjës të këtij integrali do të jenë pikat dhe

Integrali (1.1) konvergjon në .

= - =

dmth. argument dhe hyjnë në mënyrë simetrike. Duke marrë parasysh identitetin

sipas formulës së integrimit të nderimeve që kemi

Nga e marrim?

Për numrin e plotë b = n, duke aplikuar në mënyrë të njëpasnjëshme (1.2)

për numra të plotë = m, = n, kemi

por B(1,1) = 1, pra:

Le të vendosim (1.1) Që nga grafiku i funksionit është simetrik në lidhje me një vijë të drejtë, atëherë

dhe si rezultat i zëvendësimit, marrim

duke vënë në (1.1) , nga ku , marrim

duke e pjesëtuar integralin me dy në rangun nga 0 në 1 dhe nga 1 në dhe duke aplikuar zëvendësimin në integralin e dytë, marrim

2. Funksioni gama

2.1 Përkufizimi

Një pikëçuditëse në veprat matematikore zakonisht nënkupton marrjen e faktorialit të një numri të plotë jo negativ:

n! = 1·2·3·...·n.

Funksioni faktorial mund të shkruhet gjithashtu si një relacion rekursioni:

(n+1)! = (n+1)·n!.

Kjo marrëdhënie mund të konsiderohet jo vetëm për vlerat e plota të n.

Merrni parasysh ekuacionin e diferencës

2.2 Përfaqësimi integral

Le të kalojmë në zgjidhjen e këtij ekuacioni. Ne do të kërkojmë një zgjidhje në formën e integralit Laplace:

Në këtë rast, ana e djathtë e ekuacionit (2.1) mund të shkruhet si:

Ana e majtë e barazisë (2.1) shkruhet si më poshtë:

Atëherë ekuacioni (2.1) për imazhin e funksionit gama ka formën:

Ky ekuacion zgjidhet lehtë:

Është e lehtë të shihet se funksioni i gjetur [(Г)\tilde](p) është në fakt i tillë që termi jashtë integral në formulën (2.2) është i barabartë me zero.

Duke ditur imazhin e funksionit gama, është e lehtë të merret një shprehje për prototipin:

Kjo është një formulë jo-kanonike për ta sjellë atë në formën e marrë nga Euler, është e nevojshme të zëvendësohet ndryshorja e integrimit: t = exp(-p), atëherë integrali do të marrë formën:

Konstanta C zgjidhet në mënyrë që për vlerat e numrave të plotë të z funksioni gama të përputhet me funksionin faktorial: Г(n+1) = n!, atëherë:

prandaj C = 1. Së fundi, marrim formulën e Euler-it për funksionin gama:

Ky funksion është shumë i zakonshëm në tekstet matematikore. Kur punoni me funksione të veçanta, ndoshta edhe më shpesh sesa një pikëçuditëse.

Mund të kontrolloni nëse funksioni i përcaktuar nga formula (2.3) përmbush në të vërtetë ekuacionin (2.1) duke integruar integralin në anën e djathtë të kësaj formule sipas pjesëve:

2.3 Domeni dhe polet

Në integrandin e funksionit integral (2.3) me eksponencialin exp( -tz) me R( z) > 0 zvogëlohet shumë më shpejt sesa rritet funksioni algjebrik t(z-1) . Singulariteti në zero është i integrueshëm, prandaj integrali i papërshtatshëm në (2.3) konvergon absolutisht dhe në mënyrë të njëtrajtshme për R (z) > 0. Për më tepër, nga diferencimi i njëpasnjëshëm në lidhje me parametrin zështë e lehtë të verifikohet se Г( z) është një funksion holomorfik për R ( z) > 0. Megjithatë, papërshtatshmëria e paraqitjes integrale (2.3) për R ( z) 0 nuk do të thotë se vetë funksioni gama nuk është përcaktuar atje - zgjidhja e ekuacionit (2.1).

Le të shqyrtojmë sjelljen e Г(z) në afërsi të zeros. Për ta bërë këtë, le të imagjinojmë:

ku është një funksion holomorfik në lagje z = 0. Nga formula (2.1) rezulton:

domethënë, Г(z) ka një pol të rendit të parë në z = 0.

Është gjithashtu e lehtë për të marrë:

domethënë, në një fqinjësi të pikës funksioni Г( z) gjithashtu ka një shtyllë të rendit të parë.

Në të njëjtën mënyrë mund të merrni formulën:

Nga kjo formulë del se pikat z = 0,-1,-2,... janë pole të thjeshta të funksionit gama dhe ky funksion nuk ka pole të tjera në boshtin real. Është e lehtë për të llogaritur mbetjen në pikën z = -n, n = 0,1,2,...:

2.4 Paraqitja e Hankelit nëpërmjet integralit të ciklit

Le të zbulojmë nëse funksioni gama ka zero. Për ta bërë këtë, merrni parasysh funksionin

Polet e këtij funksioni janë zerot e funksionit Г(z).

Ekuacioni i diferencës për I( z) mund të merret lehtësisht duke përdorur shprehjen për Г( z):

Shprehja për zgjidhjen e këtij ekuacioni në formën e një integrali mund të merret në të njëjtën mënyrë siç është marrë shprehja integrale për funksionin gama - përmes transformimit Laplace. Më poshtë janë llogaritjet ato nuk janë të njëjta si në hapin 1 dhe integrali do të jetë _________________________________________________________________.

Pas ndarjes së variablave marrim:

Duke u integruar marrim:

Kalimi në paraimazhin e Laplace jep:

Në integralin që rezulton, ne bëjmë një zëvendësim të ndryshores së integrimit:

Pastaj

Është e rëndësishme të theksohet këtu se integranti për vlerat jo të plota z ka një pikë dege t= 0. Në rrafshin kompleks të ndryshores t Le të bëjmë një prerje përgjatë gjysmë-boshtit real negativ. Le të paraqesim integralin përgjatë këtij gjysmë boshti si shumën e integralit përgjatë bregut të sipërm të kësaj prerjeje nga në 0 dhe integralin nga 0 në përgjatë bregut të poshtëm të prerjes. Për të parandaluar që integrali të kalojë nëpër pikën e degëzimit, ne do të organizojmë një lak rreth tij.

Fig1: Lak në paraqitjen integrale të Hankelit.

Si rezultat marrim:

Për të gjetur vlerën e konstantës, mbani mend se I(1) = 1, nga ana tjetër:

Përfaqësimi integral

quhet përfaqësimi Hankel përgjatë një laku.

Është e lehtë të shihet se funksioni 1/Г( z) nuk ka pole në rrafshin kompleks, prandaj funksioni gama nuk ka zero.

Duke përdorur këtë paraqitje integrale, mund të marrim një formulë për produktin e funksioneve gama. Për ta bërë këtë, ne bëjmë një ndryshim të ndryshores në integral, pastaj:

2.5 Forma kufitare e Euler-it

Funksioni gama mund të përfaqësohet si një produkt i pafund. Kjo mund të shihet nëse përfaqësojmë në integralin (2.3)

Pastaj paraqitja integrale e funksionit gama:

Në këtë formulë ne mund të ndryshojmë kufijtë - kufirin e integrimit në integralin e papërshtatshëm dhe kufirin brenda integralit. Ja rezultati:

Le ta marrim këtë integral në pjesë:

Nëse e kryejmë këtë procedurë n herë, marrim:

Duke kaluar në kufi, marrim formën e kufirit të Euler për funksionin gama:

2.6 Formula për produktin

Më poshtë do të na duhet një formulë në të cilën produkti i dy funksioneve gama përfaqësohet përmes një funksioni gama. Le ta nxjerrim këtë formulë duke përdorur paraqitjen integrale të funksioneve gama.

Le të paraqesim integralin e përsëritur si një integral të dyfishtë jo të duhur. Kjo mund të bëhet duke përdorur teoremën e Fubinit. Si rezultat marrim:

Integrali i papërshtatshëm konvergon në mënyrë të njëtrajtshme. Mund të konsiderohet, për shembull, si një integral mbi një trekëndësh të kufizuar nga boshtet e koordinatave dhe drejtëza x+y = R për R. Në integralin e dyfishtë, ne bëjmë një ndryshim të ndryshoreve:

Jakobiani i këtij zëvendësimi

Kufijtë e integrimit: u varion nga 0 në ∞, v në këtë rast ndryshon nga 0 në 1. Si rezultat, marrim:

Le ta rishkruajmë këtë integral përsëri si një përsëritës, dhe si rezultat marrim:

ku R fq> 0, R v > 0.

2. Funksioni gama derivative

Integrale

konvergon për çdo , pasi , dhe integrali at konvergon.

Në rajonin ku është një numër pozitiv arbitrar, ky integral konvergon në mënyrë uniforme, pasi dhe mund të zbatojmë kriterin Weirstras. I gjithë integrali është konvergjent për të gjitha vlerat meqenëse termi i dytë në anën e djathtë është një integral që padyshim konvergon për cilindo ku është arbitrare. E vlefshme për të gjitha vlerat e specifikuara dhe për të gjithë, dhe që nga ajo kohë konvergon, atëherë plotësohen kushtet e testit të Weierstrass. Kështu, në zonë integrale konvergon në mënyrë të njëtrajtshme.

Kjo nënkupton vazhdimësinë e funksionit gama për është e vazhdueshme për dhe, dhe do të tregojmë se integrali:

konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në çdo segment, . Le të zgjedhim një numër në mënyrë që ; atëherë në .Prandaj, ka një numër të tillë si on.Por atëherë në pabarazia është e vërtetë

dhe meqenëse integrali konvergon, atëherë integrali konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në lidhje me . Në mënyrë të ngjashme, sepse ekziston një numër i tillë që pabarazia vlen për të gjithë . Me të tilla dhe të gjitha ne marrim , nga e cila për shkak të kriterit të krahasimit del se integrali konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në lidhje me . Së fundi, integrali

në të cilat integrimi është i vazhdueshëm në rajon

Natyrisht, konvergon në mënyrë uniforme në lidhje me . Kështu, në integrale

konvergon në mënyrë të njëtrajtshme, dhe, për rrjedhojë, funksioni gama është pafundësisht i diferencueshëm për cilindo dhe barazinë

Për sa i përket integralit, mund të përsërisim të njëjtin arsyetim dhe të konkludojmë se

Është vërtetuar me induksion se funksioni-Γ është pafundësisht i diferencueshëm dhe derivati i tij i-të plotëson barazinë

Le të studiojmë tani sjelljen e funksionit dhe të ndërtojmë një skicë të grafikut të tij. (shih Shtojcën 1)

Nga shprehja për derivatin e dytë të funksionit del qartë se për të gjithë . Prandaj, rritet. Meqenëse, atëherë nga teorema e Rolit në një segment derivati në dhe në, d.m.th., zvogëlohet në mënyrë monotonike në dhe rritet monotonisht në. Më pas, sepse , pastaj në. Kur nga formula rezulton se kur .

Barazia , e vlefshme për , mund të përdoret kur zgjerohet funksioni në një vlerë negative.

Le të supozojmë se . Ana e djathtë e kësaj barazie është përcaktuar për (-1,0) . Ne gjejmë se funksioni i zgjeruar në këtë mënyrë merr vlera negative në (-1,0) si për, ashtu edhe për funksionin.

Duke e përcaktuar kështu në , ne mund të përdorim të njëjtën formulë për ta shtrirë atë në intervalin (-2,-1). Në këtë interval, vazhdimi do të jetë një funksion që merr vlera pozitive dhe i tillë që për dhe . Duke vazhduar këtë proces, ne përcaktojmë një funksion që ka ndërprerje në pikat e plota (Shih Shtojcën 1.)

Vini re përsëri se integrali

përcakton funksionin G vetëm për vlerat pozitive, ne kryem vazhdimin e vlerave negative duke përdorur formulën e reduktimit .

4. Llogaritja e disa integraleve.

Formula Stirling

Le të zbatojmë funksionin gama për të llogaritur integralin:

ku m > -1,n > -1 Duke supozuar se , kemi

dhe në bazë të (2.8) kemi

Në integrale

Ku k > -1,n > 0, mjafton të vendoset

Integrale

Ku s > 0, zgjerojeni në një seri

ku është funksioni zeta i Riemann-it

Le të shqyrtojmë funksionet e paplota gama (funksionet Prym)

i kufizuar nga pabarazia

Duke u zgjeruar në një seri kemi

Duke kaluar te derivimi i formulës Stirling, e cila jep, në veçanti, një vlerë të përafërt prej n! për vlera të mëdha të n, le të shqyrtojmë së pari funksionin ndihmës

(4.2)

E vazhdueshme në intervalin (-1,) rritet monotonisht nga në kur ndryshon nga në dhe kthehet në 0 në u = 0.

Dhe kështu derivati është i vazhdueshëm dhe pozitiv gjatë gjithë intervalit, duke përmbushur kushtin

Nga ai i mëparshmi rrjedh se ka një funksion të anasjelltë të përcaktuar në një interval të vazhdueshëm dhe në rritje monotonike në këtë interval,

Kthehet në 0 në v=0 dhe plotëson kushtin

Ne nxjerrim formulën Stirling nga barazia

duke supozuar se kemi

Duke supozuar në fund, ne marrim

në kufirin në d.m.th. në (shih 4.3)

nga vjen formula e Stirling?

të cilat mund të merren në formë

ku, në

për mjaftueshëm i madh supozohet

llogaritja bëhet duke përdorur logaritme

nëse numri i plotë është pozitiv, atëherë (4.5) kthehet në një formulë të përafërt për llogaritjen e faktorëve për vlera të mëdha të n

Le të japim një formulë më të saktë pa derivim

ku në kllapa ka një seri jokonvergjente.

5. Shembuj të llogaritjes së integraleve

Formulat e nevojshme për llogaritjen:

G()

Vlerësoni integralet

PJESA PRAKTIKE

Për të llogaritur funksionin gama, përdoret një përafrim i logaritmit të tij. Për të përafruar funksionin gama në intervalin x>0, përdorni formulën e mëposhtme (për z kompleks):

Г(z+1)=(z+g+0,5) z+0,5 exp(-(z+g+0,5))

Kjo formulë është e ngjashme me përafrimin e Stirling, por ka një seri korrigjimi. Për vlerat g=5 dhe n=6, verifikohet që gabimi është ε nuk kalon 2*10 -10. Për më tepër, gabimi nuk e kalon këtë vlerë në të gjithë gjysmën e djathtë të planit kompleks: z > 0.

Për të marrë funksionin gama (real) në intervalin x>0, përdoret formula rekurente Г(z+1)=zГ(z) dhe përafrimi i mësipërm Г(z+1). Përveç kësaj, mund të vëreni se është më i përshtatshëm të përafrohet logaritmi i funksionit gama sesa vetë funksioni gama. Së pari, kjo do të kërkojë thirrjen e vetëm një funksioni matematik - logaritmin, dhe jo dy - eksponentin dhe fuqinë (ky i fundit ende përdor thirrjen e logaritmit), së dyti, funksioni gama po rritet me shpejtësi për x të madh dhe duke e përafruar atë me një logaritmi heq problemet e tejmbushjes.

Për të përafruar Ln(Г(х) - logaritmin e funksionit gama - fitohet formula e mëposhtme:

log(G(x))=(x+0.5)log(x+5.5)-(x+5.5)+

log(C 0 (C 1 +C 2 /(x+1)+C 3 /(x+2)+...+C 7 /(x+8))/x)

Vlerat e koeficientit C k- të dhënat tabelare (shihni në program).

Vetë funksioni gama merret nga logaritmi i tij duke marrë eksponentin.

konkluzioni

Funksionet gama janë një mjet i përshtatshëm për llogaritjen e integraleve të caktuara, veçanërisht shumë prej atyre integraleve që nuk mund të përfaqësohen në funksionet elementare.

Për shkak të kësaj, ato përdoren gjerësisht në matematikë dhe aplikimet e saj, mekanikë, termodinamikë dhe degë të tjera të shkencës moderne.

Referencat

1. Funksionet speciale dhe aplikimet e tyre:

Lebedev I.I., M., Gostekhterioizdat, 1953

2. Analiza matematikore pjesa 2:

Ilyin O.A., Sadovnichy V.A., Sendov Bl.Kh., M., "Universiteti i Moskës", 1987

3. Mbledhja e problemeve në analizën matematikore:

Demidovich B.P., M., Nauka, 1966

4. Integrale dhe seri funksionesh speciale:

Prudnikov A.P., Brychkov Yu.A., M., Nauka, 1983

5. Karakteristikat e veçanta:

Kuznetsov, M., "Shkolla e Lartë", 1965

6.Asimptotika dhe funksionet e veçanta

F. Olver, M., Shkencë, 1990.

7. Kopshti zoologjik i përbindëshave ose hyrje në funksione të veçanta

O.M Kiselev,

APLIKACIONET

Shtojca 1 - Grafiku i funksionit gama të një ndryshoreje reale

Shtojca 2 – Grafiku i funksionit gama

Tabela - një tabelë e vlerave të funksionit gama për vlera të caktuara të argumentit.

Shtojca 3 është një listë programi që vizaton një tabelë të vlerave të funksionit gama për vlera të caktuara të argumentit.

Shtojca 4 – renditja e një programi që vizaton një grafik të funksionit gama

Abstrakt ................................................ ..........................................3

hyrje................................................ ....... .......... ................................4

Pjesa teorike…………………………………………………….5

Funksioni beta i Euler-it………………………………………………………….5

Funksioni gama................................................ ...................................8

2.1. Përkufizimi…………………………………………………………………………………………

2.2. Përfaqësimi integral……………………………8

2.3. Domeni dhe polet……………………………..10

2.4. Paraqitja e Hankelit përmes integralit të ciklit………..10

2.5. Forma e kufirit të Euler-it……………………………………12

2.6. Formula për produktin………………………………..13

Funksioni i gamës derivatore.......................................................... ..........15

Llogaritja e integraleve. Formula Stirling..........................18

Shembuj të llogaritjeve integrale................................................ ...................... 23

Pjesa praktike…………………………………………………….24

konkluzioni................................................ .....................................25

Referencat…………………………………………………………………… 26

Aplikimet………………………………………………………..27

SHTOJCA 1

Grafiku i funksionit gama të një ndryshoreje reale

SHTOJCA 2

Grafiku i funksionit gama

TABELA

X	g(x)

SHTOJCA 3

#përfshi

cof statike e dyfishte =(

2.5066282746310005,

1.0000000000190015,

76.18009172947146,

86.50532032941677,

24.01409824083091,

1.231739572450155,

0.1208650973866179e-2,

0.5395239384953e-5,

GammLn e dyfishtë (x dyfishtë) (

log1=log(cof*(cof+cof/(x+1)+cof/(x+2)+cof/(x+3)+cof/(x+4)+cof/(x+5)+cof /(x+6))/x);

log=(x+0.5)*log(x+5.5)-(x+5.5)+lg1;

gama e dyfishtë (x dyfishtë) (

return(exp(GammLn(x)));

cout<<"vvedite x";

printf("\n\t\t\t| x |Gama(x) |");

printf("\n\t\t\t________________________________________________");

për(i=1;i<=8;i++)

x=x[i]+0,5;

g[i]=Gama(x[i]);

printf("\n\t\t\t| %f | %f |", x[i],g[i]);

printf("\n\t\t\t________________________________________________");

printf("\n Dlia vuhoda iz programmu najmite lybyiy klavishy");

SHTOJCA 4

#përfshi

Lojë e dyfishtë (x dyfishtë, eps dyfish)

Int I, j, n, nb;

Double dze=(1.6449340668422643647,

1.20205690315959428540,

1.08232323371113819152,

1.03692775514336992633,

1.01734306198444913971};

Dyfishi a=x, y, fc=1.0, s, s1, b;

Printf ("keni futur të dhëna të pasakta, ju lutemi provoni përsëri\n"); kthimi -1.0;

Nëse(a==0) kthe fc;

Për (i=0;i<5;i++)

S=s+b*dze[i]/(i+2.0);

Nb=exp((i.0/6.0)*(7.0*log(a)-log(42/0)-log(eps)))+I;

Për (n=1;n<=nb;n++)

Për(j=0; j<5; j++)

Si=si+b/(j+1.0);

S=s+si-log(1.0+a/n);

Dyfishtë dx,dy, xfrom=0,xto=4, yto=5, h, maxy, miny;

Int n=100, I, gdriver=DETECT, gmode, X0, YN0, X, Y, Y0,pr=0;

Initgraph (&gdriver,&gmode, " ");

YN0=getmaxy()-20;

Linja (30, getmaxy () -10,30,30);

Line(20, getmaxy()-30, getmaxx()-20, getmaxy()-30);

)ndërsa (Y>30);

) ndërsa (X<700);

) ndërsa (X<=620);

)ndërsa (y>=30);

X=30+150.0*0.1845;

For9i=1;i

Dy=gam(dx,1e-3);

X=30+(600/0*i)/n;

Nëse (Y<30) continue;

X=30+150.0*308523;

Linja (30,30,30,10);

Linja (620,450,640,450);

Linja (30,10,25,15);

Linja (640,450,635,445);

Linja (640,450,635,455);

Linja (170,445,170,455);

Linja (320,445,320,455);

Linja (470,445,470,455);

Linja (620,445,620,455);

Linja (25,366,35,366);

Linja (25,282,35,282);

Linja (25,114,35,114);

Linja (25,30,35,30);

Outtexty (20,465,0");

Outtexty (165,465, "1";

Outtexty (315,465, "2";

Outtexty (465,465, "3";

Outtexty (615,465, "4";

Outtexty(630,465, "x";

Outtexty (15,364, "1";

Outtexty (15,280, "2";

Outtexty (15,196, "3";

Outtexty (15,112, "4";

Outtexty (15,30, "5";

Puna e lëndës: Vetitë e veçanta të funksionit Gamma të Euler-it.

Hyrje

Hyrje

2. Funksioni gama derivative

Le të zbatojmë funksionin gama për të llogaritur integralin:

konkluzioni

Referencat

1. Funksionet speciale dhe aplikimet e tyre:

Lebedev I.I., M., Gostekhterioizdat, 1953